Логарифмом положительного числа b по основанию a (a>0, a не равно 1) называют такое число с, что a c = b: log a b = c ⇔ a c = b (a > 0, a ≠ 1, b > 0)       

Обратите внимание: логарифм от неположительного числа не определен. Кроме того, в основании логарифма должно быть положительное число, не равное 1. Например, если мы возведем -2 в квадрат, получим число 4, но это не означает, что логарифм по основанию -2 от 4 равен 2.

Основное логарифмическое тождество

a log a b = b (a > 0, a ≠ 1) (2)

Важно, что области определения правой и левой частей этой формулы отличаются. Левая часть определена только при b>0, a>0 и a ≠ 1. Правая часть определена при любом b, а от a вообще не зависит. Таким образом, применение основного логарифмического "тождества" при решении уравнений и неравенств может привести к изменению ОДЗ.

Два очевидных следствия определения логарифма

log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1) (3)
log a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1) (4)

Действительно, при возведении числа a в первую степень мы получим то же самое число, а при возведении в нулевую степень - единицу.

Логарифм произведения и логарифм частного

log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (5)

Log a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (6)

Хотелось бы предостеречь школьников от бездумного применения данных формул при решении логарифмических уравнений и неравенств. При их использовании "слева направо" происходит сужение ОДЗ, а при переходе от суммы или разности логарифмов к логарифму произведения или частного - расширение ОДЗ.

Действительно, выражение log a (f (x) g (x)) определено в двух случаях: когда обе функции строго положительны либо когда f(x) и g(x) обе меньше нуля.

Преобразуя данное выражение в сумму log a f (x) + log a g (x) , мы вынуждены ограничиваться только случаем, когда f(x)>0 и g(x)>0. Налицо сужение области допустимых значений, а это категорически недопустимо, т. к. может привести к потере решений. Аналогичная проблема существует и для формулы (6).

Степень можно выносить за знак логарифма

log a b p = p log a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0) (7)

И вновь хотелось бы призвать к аккуратности. Рассмотрим следующий пример:

Log a (f (x) 2 = 2 log a f (x)

Левая часть равенства определена, очевидно, при всех значениях f(х), кроме нуля. Правая часть - только при f(x)>0! Вынося степень из логарифма, мы вновь сужаем ОДЗ. Обратная процедура приводит к расширению области допустимых значений. Все эти замечания относятся не только к степени 2, но и к любой четной степени.

Формула перехода к новому основанию

log a b = log c b log c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1) (8)

Тот редкий случай, когда ОДЗ не изменяется при преобразовании. Если вы разумно выбрали основание с (положительное и не равное 1), формула перехода к новому основанию является абсолютно безопасной.

Если в качестве нового основания с выбрать число b, получим важный частный случай формулы (8):

Log a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1) (9)

Несколько простых примеров с логарифмами

Пример 1. Вычислите: lg2 + lg50.
Решение. lg2 + lg50 = lg100 = 2. Мы воспользовались формулой суммы логарифмов (5) и определением десятичного логарифма.


Пример 2. Вычислите: lg125/lg5.
Решение. lg125/lg5 = log 5 125 = 3. Мы использовали формулу перехода к новому основанию (8).

Таблица формул, связанных с логарифмами

a log a b = b (a > 0, a ≠ 1)
log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1)
log a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1)
log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0)
log a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0)
log a b p = p log a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0)
log a b = log c b log c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1)
log a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1)

Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.

Сбор и использование персональной информации

Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.

От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.

Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.

Какую персональную информацию мы собираем:

Как мы используем вашу персональную информацию:

  • Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
  • Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
  • Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
  • Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.

Раскрытие информации третьим лицам

Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.

Исключения:

  • В случае если необходимо - в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ - раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
  • В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.

Защита персональной информации

Мы предпринимаем меры предосторожности - включая административные, технические и физические - для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.

Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.

Как известно, при перемножении выражений со степенями их показатели всегда складываются (a b *a c = a b+c). Этот математический закон был выведен Архимедом, а позже, в VIII веке, математик Вирасен создал таблицу целых показателей. Именно они послужили для дальнейшего открытия логарифмов. Примеры использования этой функции можно встретить практически везде, где требуется упростить громоздкое умножение на простое сложение. Если вы потратите минут 10 на прочтение этой статьи, мы вам объясним, что такое логарифмы и как с ними работать. Простым и доступным языком.

Определение в математике

Логарифмом называется выражение следующего вида: log a b=c, то есть логарифмом любого неотрицательного числа (то есть любого положительного) "b" по его основанию "a" считается степень "c", в которую необходимо возвести основание "a", чтобы в итоге получить значение "b". Разберем логарифм на примерах, допустим, есть выражение log 2 8. Как найти ответ? Очень просто, нужно найти такую степень, чтобы из 2 в искомой степени получить 8. Проделав в уме некоторые расчеты, получаем число 3! И верно, ведь 2 в степени 3 дает в ответе число 8.

Разновидности логарифмов

Для многих учеников и студентов эта тема кажется сложной и непонятной, однако на самом деле логарифмы не так страшны, главное - понять общий их смысл и запомнить их свойста и некоторые правила. Существует три отдельных вида логарифмических выражений:

  1. Натуральный логарифм ln a, где основанием является число Эйлера (e = 2,7).
  2. Десятичный a, где основанием служит число 10.
  3. Логарифм любого числа b по основанию a>1.

Каждый из них решается стандартным способом, включающим в себя упрощение, сокращение и последующее приведение к одному логарифму с помощью логарифмических теорем. Для получения верных значений логарифмов следует запомнить их свойства и очередность действий при их решениях.

Правила и некоторые ограничения

В математике существует несколько правил-ограничений, которые принимаются как аксиома, то есть не подлежат обсуждению и являются истиной. Например, нельзя числа делить на ноль, а еще невозможно извлечь корень четной степени из отрицательных чисел. Логарифмы также имеют свои правила, следуя которым можно с легкостью научиться работать даже с длинными и емкими логарифмическими выражениями:

  • основание "a" всегда должно быть больше нуля, и при этом не быть равным 1, иначе выражение потеряет свой смысл, ведь "1" и "0" в любой степени всегда равны своим значениям;
  • если а > 0, то и а b >0, получается, что и "с" должно быть больше нуля.

Как решать логарифмы?

К примеру, дано задание найти ответ уравнения 10 х = 100. Это очень легко, нужно подобрать такую степень, возведя в которую число десять, мы получим 100. Это, конечно же, 10 2 =100.

А теперь давайте представим данное выражение в виде логарифмического. Получим log 10 100 = 2. При решении логарифмов все действия практически сходятся к тому, чтобы найти ту степень, в которую необходимо ввести основание логарифма, чтобы получить заданное число.

Для безошибочного определения значенияя неизвестной степени необходимо научиться работать с таблицей степеней. Выглядит она следующим образом:

Как видите, некоторые показатели степени можно угадать интуитивно, если имеется технический склад ума и знание таблицы умножения. Однако для больших значений потребуется таблица степеней. Ею могут пользоваться даже те, кто совсем ничего не смыслит в сложных математических темах. В левом столбце указаны числа (основание a), верхний ряд чисел - это значение степени c, в которую возводится число a. На пересечении в ячейках определены значения чисел, являющиеся ответом (a c =b). Возьмем, к примеру, самую первую ячейку с числом 10 и возведем ее в квадрат, получим значение 100, которое указано на пересечении двух наших ячеек. Все так просто и легко, что поймет даже самый настоящий гуманитарий!

Уравнения и неравенства

Получается, что при определенных условиях показатель степени - это и есть логарифм. Следовательно, любые математические численные выражения можно записать в виде логарифмического равенства. Например, 3 4 =81 можно записать в виде логарифма числа 81 по основанию 3, равному четырем (log 3 81 = 4). Для отрицательных степеней правила такие же: 2 -5 = 1/32 запишем в виде логарифма, получим log 2 (1/32) = -5. Одной из самых увлекательных разделов математики является тема "логарифмы". Примеры и решения уравнений мы рассмотрим чуть ниже, сразу же после изучения их свойств. А сейчас давайте разберем, как выглядят неравенства и как их отличить от уравнений.

Дано выражение следующего вида: log 2 (x-1) > 3 - оно является логарифмическим неравенством, так как неизвестное значение "х" находится под знаком логарифма. А также в выражении сравниваются две величины: логарифм искомого числа по основанию два больше, чем число три.

Самое главное отличие между логарифмическими уравнениями и неравенствами заключается в том, что уравнения с логарифмами (пример - логарифм 2 x = √9) подразумевают в ответе одно или несколько определенных числовых значений, тогда как при решении неравенства определяются как область допустимых значений, так и точки разрыва этой функции. Как следствие, в ответе получается не простое множество отдельных чисел как в ответе уравнения, а а непрерывный ряд или набор чисел.

Основные теоремы о логарифмах

При решении примитивных заданий по нахождению значений логарифма, его свойства можно и не знать. Однако когда речь заходит о логарифмических уравнениях или неравенствах, в первую очередь, необходимо четко понимать и применять на практике все основные свойства логарифмов. С примерами уравнений мы познакомимся позже, давайте сначала разберем каждое свойство более подробно.

  1. Основное тождество выглядит так: а logaB =B. Оно применяется только при условии, когда а больше 0, не равно единице и B больше нуля.
  2. Логарифм произведения можно представить в следующей формуле: log d (s 1 *s 2) = log d s 1 + log d s 2. При этом обязательным условием является: d, s 1 и s 2 > 0; а≠1. Можно привести доказательство для этой формулы логарифмов, с примерами и решением. Пусть log a s 1 = f 1 и log a s 2 = f 2 , тогда a f1 = s 1 , a f2 = s 2. Получаем, что s 1 *s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (свойства степеней), а далее по определению: log a (s 1 *s 2)= f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, что и требовалось доказать.
  3. Логарифм частного выглядит так: log a (s 1/ s 2) = log a s 1 - log a s 2.
  4. Теорема в виде формулы приобретает следующий вид: log a q b n = n/q log a b.

Называется эта формула "свойством степени логарифма". Она напоминает собой свойства обычных степеней, и неудивительно, ведь вся математика держится на закономерных постулатах. Давайте посмотрим на доказательство.

Пусть log a b = t, получается a t =b. Если возвести обе части в степень m: a tn = b n ;

но так как a tn = (a q) nt/q = b n , следовательно log a q b n = (n*t)/t, тогда log a q b n = n/q log a b. Теорема доказана.

Примеры задач и неравенств

Самые распространенные типы задач на тему логарифмов - примеры уравнений и неравенств. Они встречаются практически во всех задачниках, а также входят в обязательную часть экзаменов по математике. Для поступления в университет или сдачи вступительных испытаний по математике необходимо знать, как правильно решать подобные задания.

К сожалению, единого плана или схемы по решению и определению неизвестного значения логарифма не существует, однако к каждому математическому неравенству или логарифмическому уравнению можно применить определенные правила. Прежде всего следует выяснить, можно ли упростить выражение или привести к общему виду. Упрощать длинные логарифмические выражения можно, если правильно использовать их свойства. Давайте скорее с ними познакомимся.

При решении же логарифмических уравнений, следует определить, какой перед нами вид логарифма: пример выражения может содержать натуральный логарифм или же десятичный.

Вот примеры ln100, ln1026. Их решение сводится к тому, что нужно определить ту степень, в которой основание 10 будет равно 100 и 1026 соответственно. Для решений же натуральных логарифмов нужно применить логарифмические тождества или же их свойства. Давайте на примерах рассмотрим решение логарифмических задач разного типа.

Как использовать формулы логарифмов: с примерами и решениями

Итак, рассмотрим примеры использования основных теорем о логарифмах.

  1. Свойство логарифма произведения можно применять в заданиях, где необходимо разложить большое значение числа b на более простые сомножители. Например, log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. Ответ равен 9.
  2. log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1,5 - как видите, применяя четвертое свойство степени логарифма, удалось решить на первый взгляд сложное и нерешаемое выражение. Необходимо всего лишь разложить основание на множители и затем вынести значения степени из знака логарифма.

Задания из ЕГЭ

Логарифмы часто встречаются на вступительных экзаменах, особенно много логарифмических задач в ЕГЭ (государственный экзамен для всех выпускников школ). Обычно эти задания присутствуют не только в части А (самая легкая тестовая часть экзамена), но и в части С (самые сложные и объемные задания). Экзамен подразумевает точное и идеальное знание темы "Натуральные логарифмы".

Примеры и решения задач взяты из официальных вариантов ЕГЭ. Давайте посмотрим, как решаются такие задания.

Дано log 2 (2x-1) = 4. Решение:
перепишем выражение, немного его упростив log 2 (2x-1) = 2 2 , по определению логарифма получим, что 2x-1 = 2 4 , следовательно 2x = 17; x = 8,5.

  • Все логарифмы лучше всего приводить к одному основанию, чтобы решение не было громоздким и запутанным.
  • Все выражение, стоящие под знаком логарифма, указываются как положительные, поэтому при вынесении множителем показателя степени выражения, который стоит под знаком логарифма и в качестве его основания, остающееся под логарифмом выражение должно быть положительно.

В представляемом видеоуроке мы подробно рассмотрим вопрос умножения многочлена на какое-либо выражение, отвечающее определению «моном», или одночлен. Мономом может выступать любое свободное числовое значение, представленное натуральным числом (в любой степени, с любым знаком) либо же некая переменная (с подобными атрибутами). При этом стоит помнить, что многочлен представляет собой набор алгебраических элементов, называемых членами полинома. Иногда некоторые члены могут быть приведены с подобностью и сокращены. Настоятельно рекомендуется проводить процедуру приведения подобных слагаемых после операции умножения. Конечным ответом, в таком случае, будет являться стандартизованная форма полинома.

Как следует из нашего видео, процесс умножения одночлена на многочлен можно рассматривать с двух позиций: линейной алгебры и геометрии. Рассмотрим операцию умножения многочлена с каждой стороны - это способствует универсальности применения правил, особенно в случае комплексных задач.

В алгебраическом понимании, умножение полинома на одночлен отвечает стандартному правилу умножения на сумму: каждый элемент суммы должен быть умножен на заданное значение, а полученное значение алгебраически сложено. Стоит понимать, что любой многочлен - это развернутая алгебраическая сумма. После умножения каждого члена полинома на некое значение мы получим новую алгебраическую сумму, которую принято приводить к стандартному виду, если это возможно, конечно.

Рассмотрим умножение многочлена в данном случае:

3а * (2а 2 + 3с - 3)

Легко понять, что тут выражение (2а 2 + 3с - 3) является многочленом, а 3а - свободным множителем. Для решения этого выражения достаточно переумножить каждый из трех членов полинома на 3а:

При этом стоит помнить, что знак является важным атрибутом переменной справа, и его нельзя потерять. Знак «+», как правило, не записывается, если с него начинается выражение. При умножении чисельно-буквенных выражений все коэффициенты при переменных элементарно перемножаются. Одинаковые переменные повышают степень. Разные переменные остаются неизменными, и записываются в одном элементе: а*с = ас. Знание этих простейших правил сложения способствует корректному, и быстрому решению любых подобных упражнений.

Мы получили три значения, которые являются, по сути, членами итогового многочлена, что и есть ответом на пример. Необходимо лишь алгебраически сложить данные значения:

6а 3 + 9ас +(- 9а) = 6а 3 + 9ас - 9а

Скобки раскрываем, сохраняя знаки, так как это алгебраическое сложение, и между мономами по определению стоит знак «плюс». Итоговый стандартный вид многочлена является корректным ответом на представляемый пример.

Геометрический вид умножения многочлена на одночлен представляет собой процесс нахождения площади прямоугольника. Предположим, у нас есть некий прямоугольник со сторонами а и с. Фигура разбита двумя отрезками на три прямоугольника различной площади, так, что сторона с является для всех общей, или одинаковой. А стороны а1, а2 и а3 в сумме дают начальную а. Как известно из аксиоматического определения площади прямоугольника, для нахождения этого параметра необходимо перемножить стороны: S = а*с. Либо же, S = (а1 + а2 + а3) * с. Проведем умножение многочлена (образованного сторонами меньших прямоугольников) на одночлен - главную сторону фигуры, и получим выражение для S: а1*с + а2*с + а3*с. Но если внимательно присмотреться, то можно заметить, что данный многочлен является суммой площадей трех меньших прямоугольников, которые и составляют начальную фигуру. Ведь для первого прямоугольника S = а1с (по аксиоме) и т.д. Алгебраически верность рассуждений при сложении многочлена подтверждается расчетами линейной алгебры. А геометрически - правилами сложения площадей в единой простейшей фигуре.

При проведении манипуляций с умножением многочлена на одночлен следует помнить, что при этом степени монома и полинома (общая) складываются - а полученное значение является степенью нового многочлена (ответа).

Все вышеперечисленные правила вместе с основами алгебраического сложения используются в примерах простейшего упрощения выражений, где проводится приведение подобных слагаемых и умножение элементов для упрощения всего многочлена.

Частный случай умножения многочлена на многочлен – умножение многочлена на одночлен. В этой статье сформулируем правило совершения этого действия и разберем теорию на практических примерах.

Правило умножения многочлена на одночлен

Разберемся с тем, что является основой умножения многочлена на одночлен. Данное действие опирается на распределительное свойство умножения относительно сложения. Буквенно это свойство записывается так: (a + b) · c = a · c + b · c (a , b и c – некоторые числа). В этой записи выражение (a + b) · c является как раз произведением многочлена (a + b) на одночлен c . Правая же часть равенства a · c + b · c - это сумма произведений одночленов a и b на одночлен c .

Приведенные рассуждения позволяют нам сформулировать правило умножения многочлена на одночлен:

Определение 1

Для осуществления действия умножения многочлена на одночлен необходимо:

  • записать произведение многочлена и одночлена, которые необходимо перемножить;
  • умножить каждый член многочлена на заданный одночлен;
  • найти сумму полученных произведений.

Дополнительно поясним приведенный алгоритм.

Чтобы составить произведение многочлена на одночлен, исходный многочлен заключают в скобки; далее между ним и заданным одночленом ставится знак умножения. В случае, когда запись одночлена начинается со знака минус, его также необходимо заключить в скобки. К примеру, произведение многочлена − 4 · x 2 + x − 2 и одночлена 7 · y запишем как (− 4 · x 2 + x − 2) · 7 · y , а произведение многочлена a 5 · b − 6 · a · b и одночлена − 3 · a 2 составим в виде: (a 5 · b − 6 · a · b) · (− 3 · a 2) .

Следующий шаг алгоритма – перемножение каждого члена многочлена на заданный одночлен. Составляющими многочлена служат одночлены, т.е. по сути нам необходимо выполнить умножение одночлена на одночлен. Допустим, что после первого шага алгоритма мы получили выражение (2 · x 2 + x + 3) · 5 · x , тогда вторым шагом перемножаем каждый член многочлена 2 · x 2 + x + 3 с одночленом 5 · x , получая таким образом: 2 · x 2 · 5 · x = 10 · x 3 , x · 5 · x = 5 · x 2 и 3 · 5 · x = 15 · x . Результатом станут одночлены 10 · x 3 , 5 · x 2 и 15 · x .

Последнее действие согласно правилу - сложение полученных произведений. Из предложенного примера, проделав данный шаг алгоритма, получим: 10 · x 3 + 5 · x 2 + 15 · x .

Стандартно все шаги записывают как цепочку равенств. Например, нахождение произведения многочлена 2 · x 2 + x + 3 и одночлена 5 · x запишем так: (2 · x 2 + x + 3) · 5 · x = 2 · x 2 · 5 · x + x · 5 · x + 3 · 5 · x = 10 · x 3 + 5 · x 2 + 15 · x . Исключив промежуточное вычисление второго шага, краткое решение возможно оформить следующим образом: (2 · x 2 + x + 3) · 5 · x = 10 · x 3 + 5 · x 2 + 15 · x .

Рассмотренные примеры дают возможность заметить важный нюанс: в результате перемножения многочлена и одночлена получается многочлен. Данное утверждение верно для любых перемножаемых многочлена и одночлена.

По аналогии осуществляется умножение одночлена на многочлен: заданный одночлен перемножают с каждым членом многочлена и полученные произведения суммируются.

Примеры умножения многочлена на одночлен

Пример 1

Необходимо найти произведение: 1 , 4 · x 2 - 3 , 5 · y · - 2 7 · x .

Решение

Первый шаг правила уже выполнен – произведение записано. Теперь выполняем следующий шаг, умножая каждый член многочлена на заданный одночлен. В данном случае удобно сначала перевести десятичные дробив обыкновенные. Тогда получим:

1 , 4 · x 2 - 3 , 5 · y · - 2 7 · x = 1 , 4 · x 2 · - 2 7 · x - 3 , 5 · y · - 2 7 · x = = - 1 , 4 · 2 7 · x 2 · x + 3 , 5 · 2 7 · x · y = - 7 5 · 2 7 · x 3 + 7 5 · 2 7 · x · y = - 2 5 · x 3 + x · y

Ответ: 1 , 4 · x 2 - 3 , 5 · y · - 2 7 · x = - 2 5 · x 3 + x · y .

Уточним, что, когда исходные многочлен и/или одночлен заданы в нестандартном виде, перед тем, как найти их произведение, желательно привести их к стандартному виду.

Пример 2

Заданы многочлен 3 + a − 2 · a 2 + 3 · a − 2 и одночлен − 0 , 5 · a · b · (− 2) · a . Необходимо найти их произведение.

Решение

Мы видим, что исходные данные представлены в нестандартном виде, поэтому для удобства дальнейших вычислений приведем их в стандартный вид:

− 0 , 5 · a · b · (− 2) · a = (− 0 , 5) · (− 2) · (a · a) · b = 1 · a 2 · b = a 2 · b 3 + a − 2 · a 2 + 3 · a − 2 = (3 − 2) + (a + 3 · a) − 2 · a 2 = 1 + 4 · a − 2 · a 2

Теперь осуществим перемножение одночлена a 2 · b на каждый член многочлена 1 + 4 · a − 2 · a 2

a 2 · b · (1 + 4 · a − 2 · a 2) = a 2 · b · 1 + a 2 · b · 4 · a + a 2 · b · (− 2 · a 2) = = a 2 · b + 4 · a 3 · b − 2 · a 4 · b

Мы могли бы не приводить исходные данные к стандартному виду: решение при этом оказалось бы более громоздким. При этом последним шагом возникал бы необходимость приведения подобных членов. Для понимания приведем решение по этой схеме:

− 0 , 5 · a · b · (− 2) · a · (3 + a − 2 · a 2 + 3 · a − 2) = = − 0 , 5 · a · b · (− 2) · a · 3 − 0 , 5 · a · b · (− 2) · a · a − 0 , 5 · a · · b · (− 2) · a · (− 2 · a 2) − 0 , 5 · a · b · (− 2) · a · 3 · a − 0 , 5 · a · b · (− 2) · a · (− 2) = = 3 · a 2 · b + a 3 · b − 2 · a 4 · b + 3 · a 3 · b − 2 · a 2 · b = a 2 · b + 4 · a 3 · b − 2 · a 4 · b

Ответ: − 0 , 5 · a · b · (− 2) · a · (3 + a − 2 · a 2 + 3 · a − 2) = a 2 · b + 4 · a 3 · b − 2 · a 4 · b .

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter