Все задачи B7, которые мне доводилось видеть, были сформулированы примерно одинаково: решить уравнение. При этом сами уравнения относятся к одному из трех видов:

  1. Логарифмические;
  2. Показательные;
  3. Иррациональные.

Вообще говоря, полноценное руководство по каждому типу уравнений займет не один десяток страниц, выходя далеко за рамки ЕГЭ. Поэтому мы рассмотрим лишь самые простые случаи, требующие незатейливых рассуждений и выкладок. Этих знаний будет вполне достаточно, чтобы решить любую задачу B7.

В математике термин «решить уравнение» означает найти множество всех корней данного уравнения, либо доказать, что это множество пусто. Но в бланк ЕГЭ можно вписывать только числа — никаких множеств. Поэтому, если в задании B7 оказалось больше одного корня (или, наоборот, ни одного) — в решении была допущена ошибка.

Логарифмические уравнения

Логарифмическое уравнение — это любое уравнение, которое сводится к виду log a f (x ) = k , где a > 0, a ≠ 1 — основание логарифма, f (x ) — произвольная функция, k — некоторая постоянная.

Такое уравнение решается внесением постоянной k под знак логарифма: k = log a a k . Основание нового логарифма равно основанию исходного. Получим уравнение log a f (x ) = log a a k , которое решается отбрасыванием логарифма.

Заметим, что по условию a > 0, поэтому f (x ) = a k > 0, т.е. исходный логарифм существует.

Задача. Решить уравнение: log 7 (8 − x ) = 2.

Решение. log 7 (8 − x ) = 2 ⇔ log 7 (8 − x ) = log 7 7 2 ⇔ 8 − x = 49 ⇔ x = −41.

Задача. Решить уравнение: log 0,5 (6 − x ) = −2.

Решение. log 0,5 (6 − x ) = −2 ⇔ log 0,5 (6 − x ) = log 0,5 0,5 −2 ⇔ 6 − x = 4 ⇔ x = 2.

Но что делать, если исходное уравнение окажется сложнее, чем стандартное log a f (x ) = k ? Тогда сводим его к стандартному, собирая все логарифмы в одной стороне, а числа — в другой.

Если в исходном уравнении присутствует более одного логарифма, придется искать область допустимых значений (ОДЗ) каждой функции, стоящей под логарифмом. Иначе могут появиться лишние корни.

Задача. Решить уравнение: log 5 (x + 1) + log 5 (x + 5) = 1.

Поскольку в уравнении присутствуют два логарифма, найдем ОДЗ:

  1. x + 1 > 0 ⇔ x > −1
  2. x + 5 > 0 ⇔ x > −5

Получаем, что ОДЗ — это интервал (−1, +∞). Теперь решаем уравнение:

log 5 (x + 1) + log 5 (x + 5) = 1 ⇒ log 5 (x + 1)(x + 5) = 1 ⇔ log 5 (x + 1)(x + 5) = log 5 5 1 ⇔ (x + 1)(x + 5) = 5 ⇔ x 2 + 6x + 5 = 5 ⇔ x (x + 6) = 0 ⇔ x 1 = 0, x 2 = −6.

Но x 2 = −6 не подходит по ОДЗ. Остается корень x 1 = 0.

Показательные уравнения

Показательное уравнение — это любое уравнение, которое сводится к виду a f (x ) = k , где a > 0, a ≠ 1 — основание степени, f (x ) — произвольная функция, k — некоторая постоянная.

Это определение почти дословно повторяет определение логарифмического уравнения. Решаются показательные уравнения даже проще, чем логарифмические, ведь здесь не требуется, чтобы функция f (x ) была положительна.

Для решения сделаем замену k = a t , где t — вообще говоря, логарифм (t = log a k ), но в ЕГЭ числа a и k будут подобраны так, что найти t будет легко. В полученном уравнении a f (x ) = a t основания равны, а значит, равны и показатели, т.е. f (x ) = t . Решение последнего уравнения, как правило, не вызывает проблем.

Задача. Решить уравнение: 7 x − 2 = 49.

Решение. 7 x − 2 = 49 ⇔ 7 x − 2 = 7 2 ⇔ x − 2 = 2 ⇔ x = 4.

Задача. Решить уравнение: 6 16 − x = 1/36.

Решение. 6 16 − x = 1/36 ⇔ 6 16 − x = 6 −2 ⇔ 16 − x = −2 ⇔ x = 18.

Немного о преобразовании показательных уравнений. Если исходное уравнение отличается от a f (x ) = k , применяем правила работы со степенями:

  1. a n · a m = a n + m ,
  2. a n / a m = a n − m ,
  3. (a n ) m = a n · m .

Кроме того, надо знать правила замены корней и дробей на степени с рациональным показателем:

Такие уравнения встречаются в ЕГЭ крайне редко, но без них разбор задачи B7 был бы неполным.

Задача. Решить уравнение: (5/7) x − 2 · (7/5) 2x − 1 = 125/343

Заметим, что:

  1. (7/5) 2x − 1 = ((5/7) −1) 2x − 1 = (5/7) 1 − 2x ,
  2. 125/343 = (5 3) /(7 3) = (5/7) 3 .

Имеем: (5/7) x − 2 · (7/5) 2x − 1 = 125/343 ⇔ (5/7) x − 2 · (5/7) 1 − 2x = (5/7) 3 ⇔ (5/7) x − 2 + 1 − 2x = (5/7) 3 ⇔ (5/7) −x − 1 = (5/7) 3 ⇔ −x − 1 = 3 ⇔ x = −4.

Иррациональные уравнения

Под иррациональным понимается любое уравнение, содержащее знак корня. Из всего многообразия иррациональных уравнений мы рассмотрим лишь простейший случай, когда уравнение имеет вид:

Чтобы решить такое уравнение, возведем обе стороны в квадрат. Получим уравнение f (x ) = a 2 . При этом автоматически выполняется требование ОДЗ: f (x ) ≥ 0, т.к. a 2 ≥ 0. Остается решить несложное уравнение f (x ) = a 2 .

Задача. Решить уравнение:

Возводим обе стороны в квадрат и получим: 5x − 6 = 8 2 ⇔ 5x − 6 = 64 ⇔ 5x = 70 ⇔ x = 14.

Задача. Решить уравнение:

Сначала, как и в прошлый раз, возводим обе стороны в квадрат. А затем внесем знак «минус» в числитель. Имеем:

Заметим, что при x = −4 под корнем будет положительное число, т.е. требование ОДЗ выполнено.

До сдачи ЕГЭ по математике остается все меньше времени. Обстановка накаляется, нервы у школьников, родителей, учителей и репетиторов натягиваются все сильнее. Снять нервное напряжение вам помогут ежедневные углубленные занятия по математике. Ведь ничто, как известно, так не заряжает позитивом и не помогает при сдаче экзаменов, как уверенность в своих силах и знаниях. Сегодня репетитор по математике расскажет вам о решении систем логарифмических и показательных неравенств, заданий, традиционно вызывающих трудности у многих современных старшеклассников.

Для того, чтобы научиться решать задачи C3 из ЕГЭ по математике как репетитор по математике рекомендую вам обратить внимание на следующие важные моменты.

1. Прежде чем приступить к решению систем логарифмических и показательных неравенств, необходимо научиться решать каждый из этих типов неравенств в отдельности. В частности, разобраться с тем, как находится область допустимых значений, проводятся равносильные преобразования логарифмических и показательных выражений. Некоторые связанные с этим тайны вы сможете постичь, изучив статьи « » и « ».

2. При этом необходимо осознавать, что решение системы неравенств не всегда сводится к решению отдельно каждого неравенства и пересечению полученных промежутков. Иногда, зная решение одного неравенства системы, решение второго значительно упрощается. Как репетитор по математике, занимающийся подготовкой школьников к сдаче выпускных экзаменов в формате ЕГЭ, раскрою в этой статье парочку связанных с этим секретов.

3. Необходимо четко уяснить для себя разницу между пересечением и объединением множеств. Это одно из важнейших математических знаний, которое опытный профессиональный репетитор старается дать своему ученику уже с первых занятий. Наглядное представление о пересечении и объединении множеств дают так называемые «круги Эйлера».

Пересечением множеств называется множество, которому принадлежат только те элементы, которые есть у каждого из этих множеств.

пересечением

Изображение пересечения множеств с помощью «кругов Эйлера»

Объяснение на пальцах. У Дианы в сумочке находится «множество», состоящее из {ручки , карандаша , линейки , тетрадки , расчески }. У Алисы в сумочке находится «множество», состоящее из {записной книжки , карандаша , зеркальца , тетрадки , котлеты по-киевски }. Пересечением этих двух «множеств» будет «множество», состоящее из {карандаша , тетрадки }, поскольку оба этих «элемента» есть и у Дианы, и у Алисы.

Важно запомнить! Если решением неравенства является промежуток а решением неравенства является промежуток то решением систем:

является промежуток то есть пересечение исходных промежутков. Здесь и далее под подразумевается любой из знаков title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="17" width="93" style="vertical-align: -4px;">а под — ему противоположный знак.

Объединением множеств называется множество, которое состоит из всех элементов исходных множеств.

Другими словами, если даны два множества и то их объединением будет являться множество следующего вида:

Изображение объединения множеств с помощью «кругов Эйлера»

Объяснение на пальцах. Объединением «множеств», взятых в предыдущем примере будет «множество», состоящее из {ручки , карандаша , линейки , тетрадки , расчески , записной книжки , зеркальца , котлеты по-киевски }, поскольку оно состоит из всех элементов исходных «множеств». Одно уточнение, которое может оказаться не лишним. Множество не может содержать в себе одинаковых элементов.

Важно запомнить! Если решением неравенства является промежуток а решением неравенства является промежуток то решением совокупности:

является промежуток то есть объединение исходных промежутков.

Перейдем непосредственно к примерам.

Пример 1. Решите систему неравенств:

Решение задачи C3.

1. Решаем сперва первое неравенств. Используя замену переходим к неравенству:

2. Решаем теперь второе неравенство. Область его допустимых значений определяется неравенством:

Title="Rendered by QuickLaTeX.com">

В области допустимых значений с учетом того, что основание логарифма title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="18" width="52" style="vertical-align: -4px;"> переходим к равносильному неравенству:

Исключая решения, не входящие в область допустимых значений, получаем промежуток

3. Ответом к системе неравенств будет пересечение

Полученные промежутки на числовой прямой. Решение — их пересечение

Пример 2. Решите систему неравенств:

Решение задачи C3.

1. Решаем сперва первое неравенство. Умножаем обе части на title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="14" width="55" style="vertical-align: 0px;"> и делаем замену в результате чего приходим к неравенству:

Переходим к обратной подстановке:

2.

Title="Rendered by QuickLaTeX.com">

Графическое изображение полученных промежуток. Решение системы — их пересечение

Пример 3. Решите систему неравенств:

Решение задачи C3.

1. Решаем сперва первое неравенство. Умножаем обе его части на title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="18" width="61" style="vertical-align: -4px;"> после чего получаем неравенство:

Используя подстановку переходим к следующему неравенству:

Переходим к обратной подстановке:

2. Решаем теперь второе неравенство. Определим сначала область допустимых значений этого неравенства:

ql-right-eqno">

Обращаем внимание, что

Тогда с учетом области допустимых значений получаем:

3. Находим общее решения неравенств. Сравнение полученных иррациональных значений узловых точек — задача в данном примере отнюдь не тривиальная. Сделать это можно следующим образом. Так как

Title="Rendered by QuickLaTeX.com">

то и окончательный ответ к системе имеет вид:

Пример 4. Решите систему неравенств:

Решение задачи С3.

1. Решим сперва второе неравенство:

2. Первое неравенство исходной системы представляет собой логарифмическое неравенство с переменным основанием. Удобный способ решения подобных неравенств описан в статье «Сложные логарифмические неравенства », в его основе лежит простая формула:

Вместо знака может быть подставлен любой знак неравенства, главное, чтобы он был один и тот же в обоих случаях. Использование данной формулы существенно упрощает решение неравенства:

Определим теперь область допустимых значений данного неравенства. Она задается следующей системой:

Title="Rendered by QuickLaTeX.com">

Title="Rendered by QuickLaTeX.com">

Легко видеть, что одновременно этот промежуток будет являться и решением нашего неравенства.

3. Окончательным ответом исходной системы неравенств будет пересечение полученных промежутков, то есть

Пример 5. Решите систему неравенств:

Решение задания C3.

1. Решаем сперва первое неравенство. Используем подстановку Переходим к следующему квадратному неравенству:

2. Решаем теперь второе неравенство. Область его допустимых значений определяется системой:

Title="Rendered by QuickLaTeX.com">

Данное неравенство равносильно следующей смешанной системе:

В области допустимых значений, то есть при title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="18" width="53" style="vertical-align: -4px;"> используя равносильные преобразования переходим к следующей смешанной системе:

С учетом области допустимых значений получаем:

3. Окончательным решением исходной системы является

Решение задачи C3.

1. Решаем сперва первое неравенство. Равносильными преобразованиями приводим его к виду:

2. Решаем теперь второе неравенство. Область его допустимых значений определяется промежутком: title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="14" width="68" style="vertical-align: 0px;"> Используя замену переменной переходим к следующему квадратичному неравенству:

Этот ответ целиком принадлежит области допустимых значений неравенства.

3. Пересечением полученных в предыдущих пунктах промежутков получаем окончательный ответ к системе неравенств:

Сегодня мы с вами решали системы логарифмических и показательных неравенств. Задания подобного рода предлагались в пробных вариантах ЕГЭ по математике в течение всего ныне идущего учебного года. Однако, как репетитор по математике, имеющий опыт подготовки к ЕГЭ, могу сказать, что это вовсе не означает, что аналогичные задания будут в реальных вариантах ЕГЭ по математике в июне.

Позволю себе высказать одно предостережение, адресованное в первую очередь репетиторам и школьным учителям, занимающимся подготовкой старшеклассников к сдаче ЕГЭ по математике. Весьма опасно готовить школьников к экзамену строго по заданным темам, ведь в этом случае возникает риск полностью «завалить» его даже при незначительном изменении ранее заявленного формата заданий. Математическое образование должно быть полным. Уважаемые коллеги, пожалуйста, не уподобляйте роботам своих учеников так называемым «натаскиванием» на решение определенного типа задач. Ведь нет ничего хуже формализации мышления человека.

Всем удачи и творческих успехов!


Сергей Валерьевич

Если пробовать, то есть два варианта: получится или не получится. Если не пробовать — всего один.
© Народная мудрость

Иррациональные неравенства

Под иррациональным неравенством понимается неравенство, в котором неизвестные величины стоят под знаком радикала. Решение таких неравенств обычно состоит в том, что с помощью некоторых преобразований их заменяют равносильными им рациональными уравнениями, неравенствами или системами уравнений и неравенств (зачастую смешанными системами, т.е. такими, в которые входят как уравнения, так и неравенства), и дальнейшее решение может идти по шагам, изложенным выше. Этими преобразованиями является, кроме замены переменных (введение новых переменных) и разложения на множители, еще и возвышение обеих частей неравенства в одну и ту же степень. Однако, при этом надо следить за равносильностью переходов от одного неравенства к другому. При бездумном возведении в степень корни неравенства могут одновременно и теряться, и приобретаться. Например, возведя в квадрат верное неравенство -1<2, мы получим верное неравенство 1<4; из верного неравенства -5<2 получается уже неверное неравенство 25<4;из неверного неравенства 1<-2 получим верное неравенство 1<4; наконец, из неверного неравенства 5<2 получим неверное неравенство 25<4. Вы видите, что возможны все комбинации верных и неверных неравенств!

Однако верно основное используемое здесь утверждение: если обе части неравенства неотрицательны, то оно равносильно неравенству, полученному из него почленным возведением в степень.

При решении неравенств таким способом нужно следить, чтобы не приобрести посторонних решений. Поэтому полезно там, где это возможно, находить область определения неравенства, а также область возможных значений решений.

Показательные и логарифмические неравенства

Решению показательных и логарифмических неравенств предшествует изучение свойств соответствующих функций; выполнение множества заданий на преобразования показательных и логарифмических выражений; решение уравнений, содержащих логарифмы и переменные в показателе степени. Решение простейших неравенств, которыми считаются

где означает одно из неравенств <,>,.

Дело в том, что обычно данная тема вводится как абсолютно новая, опирающаяся лишь на изученные ранее свойства этих функций. Целесообразно, на мой взгляд, связывать её и с решением неравенств в целом (т.е. с уже известным алгоритмом). Стоит заметить, что на прямую метод интервалов использовать нельзя. Но решение разнообразных показательных и логарифмических неравенств производится на основе следующих правил:

Если a>1, то,

Если 0

Если a>1, то

Если 0

Где знак означает противоположный по значению знаку.

Пользуясь которыми показательные и логарифмические неравенства обычно сводят к рациональным, которые уже можно решать описанным выше методом интервалов.

Неравенства, содержащие тригонометрические функции

Данная тема плохо освещена в учебной литературе, а в некоторых учебниках вообще вынесена за рамки изучаемого курса (о чем уже говорилось в I главе данной работы). Из тригонометрических неравенств рассматриваются, как правило, только простейшие типа

Тогда как задания, представленные в практической части, относящейся к данному пункту, встречаются в сборниках конкурсных задач, в сборниках для абитуриентов и материалах для вступительных экзаменов на технические факультеты ВУЗов. Т.е. данный материал не входит в обязательный для изучения в основной и старшей школе, но является полезным.

Метод интервалов особенно эффективен при решении неравенств, содержащих тригонометрические функции. При решении этим методом чисто тригонометрических неравенств вместо числовой оси удобно использовать числовую окружность, которая корнями соответствующих тригонометрических уравнений (числителя и знаменателя) разбивается на дуги, играющие ту же роль, что и интервалы на числовой оси. На этих дугах тригонометрическое выражение, соответствующее решаемому неравенству, имеет постоянные знаки, для определения которых можно использовать правило отдельной «удобной» точки и свойство кратности корней. Часто для определения самих дуг вовсе не надо находить все (бесконечное) множество корней соответствующих уравнений; достаточно из этих уравнений найти значения основных тригонометрических функций (синуса, косинуса, тангенса, котангенса) и на числовой окружности отметить точки, соответствующие этим значениям.

Использовать числовую окружность непосредственно для решения исходного тригонометрического неравенства метод интервалов можно, если все функции, через которые записано неравенство, имеют основной (наименьший положительный) период или, где m - некоторое целое положительное число. Если основной период этих функций больше или, то следует сначала произвести замену переменных, а затем использовать числовую окружность.

Если неравенство содержит как тригонометрические, так и другие функции, то для решения его методом интервалов следует использовать числовую ось.