В качестве основного понятия при аксиоматическом построении арифметики натуральных чисел взято отношение , заданное на непустом множестве N. Известными также считаются понятие множества, элемента множества и другие теоретико-множественные понятия, а также правила логики.

Элемент, непосредственно следующий за элементом а, обозначают а".

Суть отношения «непосредственно следовать за» раскрывается в следующих аксиомах.

Аксиома 1 .В множестве N существует элемент, непосредственно не следующий ни за каким элементом этого множества. Будем называть его единицей, и обозначать символом 1.

Аксиома 2 .Для каждого элемента а из N существует единственный элемент а", непосредственно следующий за а.

Аксиома 3. Для каждого элемента а из N существует не более одного элемента, за которым непосредственно следует а.

Аксиома 4 .Всякое подмножество М множества N совпадает с N, если обладает свойствами: 1) 1 содержится в М; 2) из того, что а содержится в М, следует, что и а" содержится в М.

Сформулированные аксиомы часто называют аксиомами Пеано.

Используя отношение «непосредственно следовать за» и аксиомы 1-4, можно дать следующее определение натурального числа.

Определение. Множество N, для элементов которого установлено отношение «непосредственно следовать за», удовлетворяющее аксиомам 1-4, называется множеством натуральных чисел, а его элементы - натуральными числами.

В данном определении ничего не говорится о природе элементов множества N.Значит, она может быть какой угодно. Выбирая в качестве множества N некоторое конкретное множество, на котором задано конкретное отношение «непосредственно следовать за», удовлетворяющее аксиомам 1- 4, мы получим модель данной системы аксиом. В математике доказано, что между всеми такими моделями можно установить взаимно однозначное соответствие, сохраняющее отношение «непосредственно следовать за», и все такие модели будут отличаться только природой элементов, их названием и обозначением. Стандартной моделью системы аксиом Пеано является возникший в процессе исторического развития общества ряд чисел: 1, 2, 3, 4, ...

Каждое число этого ряда имеет свое обозначение и название, которое мы будем считать известными.

Рассматривая натуральный ряд чисел в качестве одной из моделей аксиом 1- 4, следует отметить, что они описывают процесс образования этого ряда, причем происходит это при раскрытии в аксиомах свойств отношения «непосредственно следовать за». Так, натуральный ряд начинается с числа 1 (аксиома 1); за каждым натуральным числом непосредственно следует единственное натуральное число (аксиома 2); каждое натуральное число непосредственно следует не более чем за одним натуральным числом (аксиома 3); начиная от числа 1 и переходя по порядку к непосредственно следующим друг за другом натуральным числам, получаем все множество этих чисел (аксиома 4). Заметим, что аксиома 4 в формализованном виде описывает бесконечность натурального ряда, и на ней основано доказательство утверждений о натуральных числах.

Вообще моделью системы аксиом Пеано может быть любое счетное множество, например:

I,II,III,IIII,...

один, два, три, четыре,...

То обстоятельство, что в аксиоматических теориях не говорят об «истинной» природе изучаемых понятий, делает на первый взгляд эти теории слишком абстрактными и формальными, - оказывается, что одним и тем же аксиомам удовлетворяют различные множества объектов и разные отношения между ними. Однако в этой кажущейся абстрактности и состоит сила аксиоматического метода: каждое утверждение, выведенное логическим путем из данных аксиом, применимо к любым множествам объектов, лишь бы в них были определены отношения, удовлетворяющие аксиомам.

Итак, мы начали аксиоматическое построение системы натуральных чисел с выбора основного отношения «непосредственно следовать за» и аксиом, в которых описаны его свойства. Дальнейшее построение теории предполагает рассмотрение известных свойств натуральных чисел и операций над ними. Они должны быть раскрыты в определениях и теоремах, т.е. выведены чисто логическим путем из отношения «непосредственно следовать за», и аксиом 1- 4.

Первое понятие, которое мы введем после определения натурального числа, - это отношение «непосредственно предшествует», которое часто используют при рассмотрении свойств натурального ряда.

Определение. Если натуральное число b непосредственно следует за натуральным числом а, то число а называется непосредственно предшествующим (или предшествующим) числу b.

Отношение «предшествует» обладает рядом свойств. Они формулируются в виде теорем и доказываются с помощью аксиом 1 - 4.

Теорема 1. Единица не имеет предшествующего натурального числа.

Истинность данного утверждения вытекает сразу из аксиомы 1.

Теорема 2. Каждое натуральное число а, отличное от 1, имеет предшествующее число b , такое, что b " = а.

Доказательство. Обозначим через М множество натуральных чисел, состоящее из числа 1 и из всех чисел, имеющих предшествующее. Если число а содержится в М, то и число а" также есть в М, поскольку предшествующим для а" является число а. Это значит, что множество М содержит 1, и из того, что число а принадлежит множеству М, следует, что и число а" принадлежит М. Тогда по аксиоме 4 множество М совпадает с множеством всех натуральных чисел. Значит, все натуральные числа, кроме 1, имеют предшествующее число.

Отметим, что в силу аксиомы 3 числа, отличные от 1, имеют единственное предшествующее число.

Аксиоматическое построение теории натуральных чисел не рассматривается ни в начальной, ни в средней школе. Однако те свойства отношения «непосредственно следовать за», которые нашли отражение в аксиомах Пеано, являются предметом изучения в начальном курсе математики. Уже в первом классе при рассмотрении чисел первого десятка выясняется, как может быть получено каждое число. При этом используются понятия «следует» и «предшествует». Каждое новое число выступает как продолжение изученного отрезка натурального ряда чисел. Учащиеся убеждаются в том, что за каждым числом идет следующее, и притом только одно, что натуральный ряд чисел бесконечен. И конечно, знание аксиоматической теории поможет учителю методически грамотно организовать усвоение детьми особенностей натурального ряда чисел.

Неявное определение понятия путем указания множества аксиом, в которые оно вхо­дит наряду с другими понятиями. Аксиома представляет собой ут­верждение, принимаемое без доказательства. Совокупность акси­ом какой-то теории является одновременно и свернутой форму­лировкой этой теории, и тем контекстом, который определяет все входящие в нее понятия. Напр., аксиомы геометрии Евклида являются тем ограниченным по своему объекту текстом, в кото­ром встречаются понятия точки, прямой, плоскости и т. д., опре­деляющим значения данных понятий. Аксиомы классической механики Ньютона задают значения понятий «масса», «сила», «ус­корение» и др. Положения «Сила равна массе, умноженной на ускорение», «Сила действия равна силе противодействия» не яв­ляются явными определениями. Но они раскрывают, что пред­ставляет собой сила, указывая связи этого понятия с другими понятиями механики.

О. а. является частным случаем определения контекстуального. Принципиальная особенность О. а. заключается в том, что аксио­матический контекст строго ограничен и фиксирован. Он содер­жит все, что необходимо для понимания входящих в него поня­тий. Он ограничен по своей длине, а также по своему составу. В нем есть все необходимое и нет ничего лишнего.

О. а. - одна из высших форм научного определения понятий. Не всякая научная теория способна определить свои исходные поня­тия аксиоматически. Для этого требуется относительно высокий уровень развития знаний об исследуемой области; изучаемые объек­ты и их отношения должны быть также сравнительно просты. Точ­ку, линию и плоскость Евклиду удалось определить с помощью немногих аксиом еще две с лишним тысячи лет назад. Но попытка охарактеризовать с помощью нескольких утверждений такие слож­ные, многоуровневые объекты, как общество, история или ра­зум, не может привести к успеху. Аксиоматический метод здесь неуместен, он только огрубил бы и исказил реальную картину.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ГЕНЕТИЧЕСКОЕ (от греч. genesis - происхож­дение, источник)

Классическое, или родо-видовое, определе­ние, в котором спецификация определяемого предмета осуще­ствляется путем указания способа его образования, возникнове­ния, получения или построения. Напр.: «Окружность есть замкнутая кривая, описываемая концом отрезка прямой, вращаемого на плоскости вокруг неподвижного центра». О. г. отличаются большой эффективностью и часто встречаются в различных инструкциях и наставлениях, имеющих целью научить ч.-л.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ КЛАССИЧЕСКОЕ, или: Определение через род и видовое отличие,

Определение, в котором пред­меты определяемого понятия вводятся в объем более широкого понятия и при этом с помощью отличительных признаков (видо­вое отличие) выделяются среди предметов этого более широкого понятия. Примерами О. к. могут быть: «Ромб есть плоский четыре­хугольник, у которого все стороны равны» (1), «Лексикология есть наука, изучающая словарный состав языка» (2). В О. к. (1) ромб (определяемый предмет) вводится сначала в класс плоских четырехугольников (род), а затем при помощи специфицирующего признака «иметь равные стороны» (видовое отличие) вы­деляется среди других плоских четырехугольников, отличается от них. В определении (2) определяемый предмет вводится в класс наук (род), а затем посредством указания специфицирующего признака «изучать словарный состав языка» (видовое отличие) выделяется среди других наук, которые не обладают этим при­знаком. В отличие от О. к. (1), объем определяемого понятия в О. к. (2) представляет класс, состоящий лишь из одного элемен­та (см.: Класс, Множество в логике). Многие научные и повсед­невные определения принимают форму О. к. В отличие от по­вседневных, в научных О. к. (если речь идет об опытных науках) видовое отличие всегда должно представлять собой существен­ный признак. По отношению именно к О. к. (или к тем, которые могут быть интерпретированы как О. к.) формулируются извес­тные правила (см.: Определение). Родо-видовые отношения игра­ют большую роль не только в О. к., но и при делении понятий и в классификациях, где процесс деления родового понятия на со­ставляющие его виды играет важную роль. Поэтому o.k. или оп­ределения через род и видовое отличие часто в логике называют классификационными.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ НЕЯВНОЕ - определение, не имеющее формы равенства двух понятий. К О. н. относятся определение контексту­альное, определение остенсивное, определение аксиоматическое и др. О. н. противопоставляется определению явному, приравнивающе­му, или отождествляющему, два понятия.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ НОМИНАЛЬНОЕ

Определение, выражаю­щее требование, как должно употребляться вводимое понятие, к каким объектам оно должно применяться. О. н. противопостав­ляется определению реальному, представляющему собой описа­ние определяемых объектов. Различие между этими двумя типа­ми определений принципиально важно, но его не всегда легко провести. Является ли некоторое определение описанием или же предписанием (требованием), во многом зависит от кон­текста употребления этого определения. Кроме того, некоторые определения носят смешанный, описательно-предписательный характер и функционируют в одних контекстах как описания, а в других - как предписания. Таковы, в частности, определения толковых словарей, описывающие обычные значения слов и одновременно указывающие, как следует правильно употреб­лять эти слова.

Реальное определение является истинным или ложным, как и всякое описательное высказывание. О. н., как и всякое предписание, не имеет истинностного значения. Оно может быть целесо­образным или нецелесообразным, эффективным или неэффек­тивным, но не истинным или ложным.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОПЕРАЦИОНАЛЬНОЕ - определение физи­ческих величин (длины, массы, силы и др.) через описание совокупности специфицирующих их экспериментально-изме­рительных операций, напр.: «Сила есть физическая величина, пропорциональная растяжению пружины в пружинных весах». Иногда О. о. формулируются в сокращенной форме, напр.: «Тем­пература есть то, что измеряется термометром», где Dfn (опре­деляющее) в действительности представляет собой указание не только на прибор, которым измеряется определяемая физичес­кая величина, но и на совокупность операций, используемых при измерении температуры, которые в определении подразу­меваются. Одна и та же физическая величина может быть опре­делена не только операционально, но и при помощи определе­ний на теоретическом уровне. Напр., на теоретическом уровне температура может быть определена как величина, пропорцио­нальная кинетической энергии молекул. В соответствующих фи­зических теориях формулируются т.наз. правила соответствия, устанавливающие связь между понятиями, определенными опе­рационально, и понятиями, определенными на теоретическом уровне. Так, в кинетической теории газов формулируется следу­ющее проверяемое (и притом истинное) правило соответствия: «Числовые значения температуры газа, получаемые на основе показаний термометра, являются показателем средней кинети­ческой энергии молекул». Правила соответствия, таким образом, обеспечивают целостность эмпирического и теоретического уров­ней исследования. О. о. широко используются не только в физи­ке, но и в других опытно-экспериментальных науках.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОСТЕНСИВНОЕ (от лат. ostentus - показыва­ние, выставление напоказ) - неявное определение, раскрываю­щее содержание понятия путем непосредственного показа, озна­комления обучаемого с предметами, действиями и ситуациями, обозначаемыми данным понятием. Напр., затрудняясь определить, что представляет собой зебра, мы можем подвести спрашиваю­щего к клетке с зеброй и сказать: «Это и есть зебра». О. о. не явля­ется чисто вербальным, поскольку включает не только слова, но и определенные действия.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ РЕАЛЬНОЕ

Определение, дающее описание каких-то объектов. О. р. противопоставляется определению номиналь­ному, выражающему требование (предписание, норму), каким должны быть рассматриваемые объекты. Различие между О. р. и определением номинальным опирается на различие между опи­санием и пред писанием. Описать предмет - значит пере­числить те признаки, которые ему присущи; описание, соответ­ствующее предмету, является истинным, не соответствующее - ложным. Иначе обстоит дело с предписанием, его функция от­лична от функции описания. Описание говорит о том, каким является предмет, предписание указывает, каким он должен быть. «Ружье заряжено» - описание, и оно истинно, если ружье на самом деле заряжено. «Зарядите ружье!» - предписание, и его нельзя отнести к истинным или ложным.

Хотя различие между определениями-описаниями и опреде­лениями-предписаниями несомненно важно, его обычно нелег­ко провести. Зачастую утверждение в одном контексте звучит как О. р., а в другом выполняет функцию номинального. Иногда О. р., описывающее к.-л. объекты, обретает оттенок требования, как употреблять понятие, соотносимое с ними; номинальное опреде­ление может нести отзвук описания. Напр., задача обычного тол­кового словаря - дать достаточно полную картину стихийно сложившегося употребления слов, описать те значения, которые при­даются им в обычном языке. Но составители словарей ставят пе­ред собой и другую цель - нормализовать и упорядочить обычное употребление слов, привести его в определенную систему. Сло­варь не только описывает, как реально используются слова, он указывает также, как они должны правильно употребляться. Опи­сание здесь соединяется с требованием.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЯВНОЕ

Определение, имеющее форму ра­венства двух понятий. Напр.: «Манометр - это прибор для изме­рения давления» или «Графомания - это болезненное пристрас­тие к писанию, к многословному, пустому, бесполезному сочи­нительству». В О. я. отождествляются, приравниваются друг к другу два понятия. Одно из них - определяемое понятие, со­держание которого требуется раскрыть, другое - определяю­щее понятие, решающее эту задачу. В определении маномет­ра определяемым понятием является «манометр», определяю­щим - «прибор для измерения давления».

О. я. имеет структуру: «S= DfР», где S - определяемое понятие, Р- определяющее понятие и знак «=Df» указывает на равенство понятий S и Р по определению.

Важным частным случаем О. я. является определение классичес­кое, или родо-видовое определение.

ОПРОВЕРЖЕНИЕ

Рассуждение, направленное против выдви­нутого тезиса и имеющее своей целью установление его ложности или недосказанности. Наиболее распространенный прием О. - выведение из опровергаемого утверждения следствий, противо­речащих истине. Если хотя бы одно следствие какого-то положе­ния ложно, то ложным является и само утверждение. Другой прием О. - доказательство истинности отрицания тезиса. Утвер­ждение и отрицание не могут быть одновременно истинными. Как только удается показать, что верным является отрицание тезиса, вопрос о его истинности отпадает.

ОШИБКА ЛОГИЧЕСКАЯ

Нарушения к.-л. законов, правил и схем логики. Если ошибка допущена неумышленно, она называ­ется паралогизмом; если правила логики нарушают умышленно, то это - софизм. Логические ошибки следует отличать от фактических ошибок. Последние обусловлены не нарушением пра­вил логики, а незнанием предмета, фактического положения дел, о котором идет речь. К О. л. нельзя причислять также ошибки сло­весного выражения наших мыслей. К числу последних относится широко известная омонимия - смешение понятий, происходя­щее вследствие того, что разные понятия часто выражаются од­ним и тем же словом, напр. «материализм» философский и «мате­риализм» в практической жизни, близкий к бездуховности.

Классификация О. л. обычно связывается с различными логи­ческими операциями и видами умозаключений. Так, можно выде­лить ошибки в делении понятий, в определении понятий; ошибки в индуктивном выводе; ошибки в дедуктивных умозаключениях; ошибки в доказательстве: по отношению к тезису, к аргументам, к демонстрации.

ПАРАДИГМА (от греч. paradeigma - пример, образец) - совокуп­ность теоретических и методологических положений, принятых на­учным сообществом на известном этапе развития науки и исполь­зуемых в качестве образца, модели, стандарта для научного исследо­вания, интерпретации, оценки и систематизации научных данных, для осмысления гипотез и решения задач, возникающих в процессе научного познания. Неизбежные в ходе научного познания затрудне­ния то или иное сообщество ученых стремится разрешать в рамках принятой им парадигмы. Так, в свое время ученые стремились интер­претировать новые эмпирические данные науки в рамках механисти­ческого мировоззрения, абсолютизировавшего представления класси­ческой механики, представлявшего собой некоторую П. Революцион­ные сдвиги в развитии науки связаны с изменением П.

ПЕРЕСЕЧЕНИЕ КЛАССОВ (МНОЖЕСТВ) - логическая опера­ция по нахождению общих для класса (множества) элементов. Так, П. к. студентов (A) и спортсменов (В) будет класс тех студентов, которые одновременно являются спортсменами. Результат может быть представлен в виде двух пересекающихся кругов (см. рис.), где заштрихованная часть будет представлять множество студентов, яв­ляющихся одновременно спортсмена­ми (см.: Множеств теория). В логике чаще говорят не о П. к., а о пересече­нии понятий. При этом имеется в виду операция нахождения общей части объема понятий.

ПОДМЕНА ТЕЗИСА (лат. ignoratio elenchi) - логическая ошибка в доказательстве, состоящая в том, что начав доказывать некоторый тезис, постепенно в ходе доказательства переходят к доказательству другого положения, сходного с тезисом. При этом происходит на­рушение закона тождества по отношению к тезису: тезис на всем протяжении доказательства должен оставаться одним и тем же. Опасность этой ошибки заключается в том, что благодаря сходству доказанного положения с тезисом создается иллюзия о доказаннос­ти именно тезиса. Напр.. доказывая положение «Н. невиновен», при­водят следующие аргументы: «Н. - хороший семьянин», «Н. - пере­довик производства» и т. п. Из этих аргументов вытекает вывод, что Н. - хороший человек. Но этот вывод не тождествен доказываемому тезису. Налицо подмена. П. т. часто совершается при опровержении, когда опровержение положения, лишь внешне сходного с тезисом, выдают за опровержение самого тезиса или опровержение одного из аргументов (или демонстрации) рассматривают как опровержение тезиса.

Тезис в процессе доказательства можно изменять. Иногда, дока­зывая некоторое положение, мы осознаем, что оно не совсем верно и нужно доказывать другое положение. В таком случае следует прямо сказать об этом, отказаться от ранее выставленного тезиса и сфор­мулировать новый тезис и после этого продолжить доказательство уже нового тезиса.

ПОДТВЕРЖДЕНИЕ - соответствие теории, закона, гипотезы некоторому факту или экспериментальному результату. В методоло­гии научного познания П. рассматривается как один из критериев истинности теории или закона. Для того чтобы установить, соответ­ствует ли теория действительности, т. е. верна ли она, из нее дедуци­руют предложение, говорящее о наблюдаемых или эксперименталь­но обнаруживаемых явлениях. Затем проводят наблюдения или ста­вят эксперимент, устанавливая истинность или ложность данного предложения. Если оно истинно, то это считается П. теории. Напр., обнаружение химических элементов, предсказанных Д. И. Менделе­евым на основе его таблицы, было П. этой таблицы; обнаружение планеты Уран в месте, вычисленном согласно уравнениям небесной механики Ньютона, было П. механики и т. п. С логической точки зрения процедура П. описывается следующим образом. Пусть Т~ проверяемая теория, A - эмпирическое следствие этой теории, связь между Т и А может быть выражена условным суждением «Если Т, то A». В процессе проверки обнаруживается, что A истинно; делается вывод о том, что Т подтверждена. Схема рассуждения выглядит следующим образом:

Такой вывод не дает достоверного заключения, поэтому на основа­нии истинности A мы не можем заключить, что теория Т также истинна, и говорим лишь, что теория Т подтверждена. Чем больше проверенных истинных следствий имеет теория, тем в большей сте­пени она считается подтвержденной.

ПОЗНАНИЕ - высшая форма отражения объективной действи­тельности, процесс выработки истинных знаний. Первоначально П. представляло собой одну из сторон практической деятельности лю­дей, постепенно в ходе исторического развития человечества П. стало особой деятельностью.

В П. выделяют два уровня: чувственное П., осуществляемое с помощью ощущения, восприятия, представления, и рациональное П., протекающее в понятиях, суждениях, умозаключениях и фиксируемое в теориях. Различают также обыденное, художе­ственное и научное П., а в рамках последнего - П. природы и П. общества. Различные стороны процесса П. исследуются рядом спе­циальных наук: когнитивной психологией, историей науки, социо­логией науки и т. п. Общее учение о П. дает философская теория П.

ПОЛЕМИКА - разновидность спора, отличающаяся тем, что ос­новные усилия спорящих сторон направлены на утверждение своей точки зрения по обсуждаемому вопросу.

Наряду с дискуссией, П. является одной из наиболее распростра­ненных форм спора. С дискуссией ее сближает наличие достаточно определенного тезиса, выступающего предметом разногласий, из­вестная содержательная связность, предполагающая внимание к аргументам противной стороны, очередность выступлений споря­щих, некоторая ограниченность приемов, с помощью которых оп­ровергается противная сторона и обосновывается собственная точ­ка зрения.

Вместе с тем П. существенно отличается от дискуссии. Если целью дискуссии являются прежде всего поиски общего согласия, того, что объединяет разные точки зрения, то основная задача П. - утвержде­ние одной из противостоящих позиций. Полемизирующие стороны менее, чем в дискуссии, ограничены в выборе средств спора, его стратегии и тактики. В П., как и в споре вообще, недопустимы не­корректные приемы (подмена тезиса, аргумент к силе или к неве­жеству, использование ложных и недоказанных аргументов и т. п.). В П. может применяться гораздо более широкий, чем в дискуссии, спектр корректных приемов. Большое значение имеют, в частности, инициатива, навязывание своего сценария обсуждения темы, вне­запность в использовании доводов, выбор наиболее удачного вре­мени для изложения решающих аргументов и т. п.

Хотя П. и направлена по преимуществу на утверждение своей позиции, нужно постоянно помнить, что главным в споре является достижение истины. Победа ошибочной точки зрения, добытая бла­годаря уловкам и слабости другой стороны, как правило, недолговеч­на, и она не способна принести моральное удовлетворение.

ПОНЯТИЕ - общее имя, имеющее относительно ясное и устой­чивое содержание и сравнительно четко очерченный объем. П. явля­ются, напр., «дом», «квадрат», «молекула», «кислород», «атом», «любовь», «бесконечный ряд» и т. п. Отчетливой границы между теми именами, которые можно назвать П., и теми, которые не относятся к П., не существует. «Атом» уже с античности является достаточно оформив­шимся П., в то время как «кислород» и «молекула» до XVIII в. вряд ли могли быть отнесены к П.

Имя «П.» широко используется и в повседневном языке, и в языке науки. Однако в истолковании содержания этого имени един­ства мнений нет. В одних случаях под П. имеют в виду все имена, включая и единичные, и пустые. К П. относят не только «столицу» и «европейскую реку», но и «столицу Белоруссии» и «самую большую реку Европы». В других случаях П. понимается как общее имя, отра­жающее предметы и явления в их общих и существенных признаках. Иногда П. отождествляется с содержанием общего имени, со смыс­лом, стоящим за таким именем.

Термин «П.» широко употреблялся в традиционной логике, кото­рая начинала с анализа П., затем переходила к исследованию сужде­ния, которое мыслилось составленным из П., и далее к описаниям умозаключения, составленного из суждений как более простых эле­ментов. В современной логике термины «П.», суждение и умозаключе­ние употребляются редко. Схема изложения логики «понятие -> суж­дение -> умозаключение» отброшена как устаревшая. Изложение со­временной логики начинается с логики высказываний, которая лежит в фундаменте всех иных логических систем и в которой простое высказывание не разлагается на составляющие его части.

ПОРОЧНЫЙ КРУГ - логическая ошибка в определении понятий и в доказательстве, суть которой заключается в том, что некоторое понятие определяется с помощью другого понятия, которое в свою очередь определяется через первое, или некоторый тезис доказывает­ся с помощью аргумента, истинность которого обосновывается с по­мощью доказываемого тезиса. Пример П. к. в определении: «Вращение есть движение вокруг собственной оси». Понятие «ось» само опреде­ляется через понятие «вращение» («ось - прямая, вокруг которой происходит вращение»). Частным случаем П.к. в определении поня­тий могут быть тавтологии, напр., «Демократ есть человек демократи­ческих убеждений». Примером П. к. в доказательстве могут служить многочисленные попытки математиков (до открытия Лобачевского) доказать независимость пятого постулата от других постулатов геометрии Евклида, использовавших при этом в качестве аргументов положения, эквивалентные доказываемому пятому постулату.

«ПОСЛЕ ЭТОГО ЗНАЧИТ ПО ПРИЧИНЕ ЭТОГО» (лат. post hoc ergo propter hoc)

Логическая ошибка, заключающаяся в том, что простую последовательность событий во времени принимают за их причинную связь. Напр., когда после появления кометы возникали какие-то несчастья, часто комету считали причиной несчастья; когда в трубке возникала пустота и вода в ней поднималась, то думали, что пустота есть причина поднятия воды и т. д. Данная ошибка лежит в основе многочисленных суеверий, легко возникающих в результате соединения во времени двух событий, никак не связан­ных друг с другом.

ПОСПЕШНОЕ ОБОБЩЕНИЕ - логическая ошибка в индуктив­ном выводе. Суть ее заключается в том, что, рассмотрев несколько частных случаев из какого-либо класса явлений, делают вывод обо всем классе. Напр.: 1 - простое число, 2 - простое число, 3 - простое число; следовательно, все натуральные числа - простые. Ошибка П.о. особенно часто совершается в повседневной жизни, когда люди по одному-двум случаям судят о целом классе.

ПРАВИЛО ВЫВОДА - правило, определяющее переход от посы­лок к следствиям. П. в. указывает, каким образом высказывания, ис­тинность которых известна, могут быть видоизменены, чтобы полу­чить новые истинные высказывания. Напр., правило отделе­ния устанавливает, что если истинны два высказывания, одно из которых имеет форму импликации, а другое является основанием (антецедентом) этой импликации, то и высказывание, являющееся следствием (консеквентом) импликации, истинно. Это правило, на­зываемое также правилом модус поненс, позволяет «отделить» след­ствие истинной импликации, при условии, что ее основание истинно. Скажем, от посылок «Если цирконий - металл, он электропроводен» и «Цирконий - металл» можно перейти к заключению «Цирконий электропроводен».

ПРАГМАТИКА - раздел семиотики, изучающий отношения между знаковыми системами и теми, кто воспринимает, интерпрети­рует и использует их. Для исследования прагматических свойств и отношений, существенных для адекватного восприятия и понимания текстов, чисто лингвистических и логических методов часто оказы­вается недостаточно и приходится прибегать также к методам пси­хологии, психолингвистики, этологии.

ПРЕВРАЩЕНИЕ (лат. obversio) в традиционной логике - вид непосредственного умозаключения, характеризующегося тем, что в исходных суждениях вида A, Е, I, О (см.: Суждение) предикат Р заменяется на не-Р (т. е. на его дополнение), и наоборот, и при этом качество суждения изменяется (утвердительное суждение преобра­зуется в отрицательное, и наоборот), а его общность (т. е. количество суждения) остается прежней. Так, из истинного суждения вида «Все S суть Р» путем его П. можно получить истинное суждение вида «Ни одно S не есть не-Р» (ср.: «Все тигры - хищные животные» и «Ни один тигр не является не-хищным животным»). Из истинного суждения вида «Ни одно S не есть Р» можно путем П. получить истинное суждение вида «Все S суть не-Р» (ср.: «Ни один кит не есть рыба» и «Все киты суть не-рыбы»). Из истинного суждения вида «Некоторые S суть Р» путем П. можно получить истинное суж­дение вида «Некоторые S не суть не-Р» (ср.: «Некоторые металлы являются жидкими» и «Некоторые металлы не являются не-жидкими»). Из истинного суждения вида «Некоторые S не суть Р» путем П. можно получить истинное суждение вида «Некоторые S есть не-Р» (ср.: «Некоторые учащиеся не являются отличниками» и «Неко­торые учащиеся являются не-отличниками»).

«ПРЕДВОСХИЩЕНИЕ ОСНОВАНИЯ» (лат. petitio principii) - ошиб­ка логическая в доказательстве, заключающаяся в том, что в качестве аргумента (основания), обосновывающего тезис, приводится поло­жение, которое хотя и не является заведомо ложным, однако нуж­дается в доказательстве. Так, социологическое учение англ. эконо­миста и священника Т. Р. Мальтуса (1766-1834) опиралось на два основных аргумента: население растет в геометрической прогрес­сии, в то время как средства к существованию возрастают лишь в арифметической прогрессии. Оба эти аргумента были недоказанны­ми, поэтому Мальтус совершал ошибку П. о. Ошибка стала явной, когда было показано, что население растет гораздо медленнее, чем предполагал Мальтус, а объем средств к существованию, напротив, возрастает намного быстрее.

ПРЕДИКАТ (от лат. praedicatum - сказанное) - языковое выра­жение, обозначающее какое-то свойство или отношение. П., указы­вающий на свойство отдельного предмета (напр., «быть зеленым»), называется одноместным. П., обозначающий отношение, назы­вается двухместным, трехместным и т. д., в зависимости от числа членов данного отношения («любит», «находится между» и т. д.).

В традиционной логике П. понимался только как свойство, преди­кативная связь означала, что предмету (субъекту) присущ опреде­ленный признак.

ПРИВЕДЕНИЕ К АБСУРДУ , или: Редукция к абсурду, приведение к нелепости (лат. reductio ad absurdum),

Рас­суждение, показывающее ошибочность какого-то положения путем выведения из него абсурда, т. е. противоречия. Если из высказывания А выводится как высказывание B, так и его отрицание, то верным является отрицание A. Напр., из высказывания «Треугольник - это окружность» вытекает как то, что треугольник имеет углы (так как быть треугольником значит иметь три угла), так и то, что у него нет углов (поскольку он окружность); следовательно, верным явля­ется не исходное высказывание, а его отрицание «Треугольник не является окружностью».

ПРИЧИННАЯ СВЯЗЬ

Физически необходимая связь между яв­лениями, при которой за одним из них всякий раз следует другое. Первое явление называется причиной, второе - действием или следствием.

ПРОПОЗИЦИОНАЛЬНАЯ СВЯЗКА - операция, позволяющая из данных суждений (высказываний) строить новые суждения (выс­казывания). В логике высказываний высказывания (формулы) рас­сматриваются лишь с точки зрения их истинности или ложности. Если A и В - к.-л. формулы (простые, элементарные или сложные, построенные из элементарных), то из них с помощью П. с. могут строиться новые формулы: А & В, AvB, A-> B, А = В, если А - формула, то ~А - также формула. Символы «&», «v», «->», «=», «~» выража­ют П. с., которые определяются на семантическом, содержательно-алгоритмическом уровне при помощи таблиц истинности. Эти П. с. соответственно называются: конъюнкцией, дизъюнкцией, импликаци­ей, эквиваленцией, отрицанием. Смысл П. с. в русском языке переда­ется при помощи следующих выражений:

конъюнкция - с помощью союзов «и», «а», «но», «хотя» и др.;

дизъюнкция (нестрогая) - с помощью выражений: «или», «или, или оба»;

импликация - с помощью выражений «если..., то», «влечет», «сле­дует» (ср.: «Если А, то В», «А влечет В», «Из А следует В»);

эквиваленция - с помощью выражений «эквивалентно», «равно­сильно», «тогда и только тогда», «если и только если»;

отрицание - с помощью выражений «не», «неверно, что».


Похожая информация.


Остенсивные определения

Еще одна интересная разновидность неявных определений - это так называемые остенсивные определения, или определения путем показа.

Нас просят объяснить, что представляет собой жираф. Мы, затрудняясь сделать это, ведем спрашивающего в зоопарк, подводим его к клетке с жирафом и показываем: «Это и есть жираф».

Определения такого типа напоминают обычные контекстуальные определения. Но контекстом здесь является не отрывок какого-то текста, а ситуация, в которой встречается объект, обозначаемый интересующим нас понятием. В случае с жирафом - это зоопарк, клетка, животное в клетке и т.д.

Остенсивные определения, так же как и все контекстуальные определения, отличаются некоторой незавершенностью, неокончательностью.

Определение посредством показа не выделяет жирафа из его окружения и не отделяет того, что является


общим для всех жирафов, от того, что характерно для данного конкретного их представителя. Единичное, индивидуальное слито в таком определении с общим, с тем, что свойственно всем жирафам.

Человек, которому впервые показали жирафа, вполне может подумать, что жираф всегда в клетке, что он всегда вял, что вокруг него постоянно толпятся люди и т.д.

Остенсивные определения - и только они - связывают слова с вещами. Без них язык - только словесное кружево, лишенное объективного, предметного содержания.

Определить путем показа можно, конечно, не все понятия, а только самые простые, самые конкретные. Можно предъявить стол и сказать: «Это - стол, и все вещи, похожие на него, тоже столы». Но нельзя показать и увидеть бесконечное, абстрактное, конкретное и т.п. Нет предмета, указав на который, можно было бы заявить: «Это и есть то, что обозначается словом «конкретное». Здесь необходимо уже не остенсивное, а вербальное определение, т.е. чисто словесное определение, не предполагающее показа определяемого предмета.

Далеко не все остенсивно определимо. Показ лишен однозначности, не отделяет важное от второстепенного, а то и вовсе не относящегося к делу. Все это так. И тем не менее, без остенсивных определений нет языка как средства постижения окружающего мира. Не всякое слово можно напрямую связать с вещами. Но важно, чтобы какая-то опосредованная связь все-таки существовала. Слова, полностью оторвавшиеся от видимых, слышимых, осязаемых и т.п. вещей, бессильны и пусты.

Частым и важным для науки случаем контекстуальных определений являются аксиоматические определения, т.е. определения понятий с помощью аксиом.

Аксиомы - это утверждения, принимаемые без доказательства. Совокупность аксиом какой-то теории является одновременно и свернутой формулировкой этой теории, и тем контекстом, который неявно определяет все входящие в нее понятия.



Откуда мы знаем, например, что такое точка, прямая, плоскость? Из аксиом геометрии Евклида. Они являются тем ограниченным по своему объему текстом, в котором встречаются данные понятия и с помощью которого мы устанавливаем их значения.

Чтобы узнать, что представляют собой масса, сила, ускорение и т.п., мы обращаемся к аксиомам класси-


ческой механики И.Ньютона. «Сила равна массе, умноженной на ускорение», «Сила действия равна силе противодействия» - эти положения не являются, конечно, явными определениями. Но они раскрывают, что представляет собой сила, указывая связи этого понятия с другими понятиями механики.

Принципиальное отличие аксиоматических определений от всех иных контекстуальных определений в том, что аксиоматический контекст строго ограничен и фиксирован. Он содержит все, что необходимо для понимания входящих в него понятий. Он ограничен по своей длине, а также по своему составу. В нем есть все необходимое и нет ничего лишнего.

Аксиоматические определения - одна из высших форм научного определения понятий. Не всякая теория способна определить свои исходные понятия аксиоматически. Для этого требуется относительно высокий уровень развития знаний об исследуемой области. Изучаемые объекты и их отношения должны быть также сравнительно просты.

Точку, линию и плоскость Евклиду удалось определить с помощью немногих аксиом еще две с лишним тысячи лет назад. Но как охарактеризовать с помощью нескольких утверждений такие сложные, многоуровневые и многоаспектные объекты, как общество, история или разум? Аксиоматический метод здесь вряд ли был бы уместен. Он только огрубил бы и исказил реальную картину.

§ 3. Явные определения

В явных определениях отождествляются, приравниваются друг к другу два понятия. Одно из них - определяемое понятие, содержание которого требуется раскрыть, другое - определяющее понятие, решающее эту задачу.

Обычное определение метафоры: «Метафора - это оборот речи, заключающий скрытое уподобление, образное сближение слов на базе их переносного значения». Определяющая часть выражается словами «оборот речи, заключающий...» и слагается из двух частей. Сначала понятие метафоры подводится под более широкое понятие «оборот речи». Затем метафора отграничивается от всех других оборотов речи. Это достигается указанием признаков, присущих только метафоре и отсутствующих у эпитета, метонимии и всех иных оборотов, с которыми можно было бы спутать метафору.


Определения этого типа принято называть определениями через род и видовое отличие. Их общая схема: «А есть В и С». Здесь А - определяемое понятие, В - понятие, более общее по отношению к А (род), С - такие признавай, которые выделяют предметы, обозначаемые А, среди всех предметов, обозначаемых В (видовое отличие).

Родовидовое определение - один из самых простых и распространенных способов определения. В словарях и энциклопедиях подавляющее большинство определений относится именно к этому типу. Иногда даже считают - что, разумеется, неверно, - будто всякое определение является родовидовым.

При аксиоматическом построении какой-либо математической теории соблюдаются определенные правила:

Некоторые понятия теории выбираются в качестве основных и принимаются без определения;

Каждому понятию теории, которое не содержится в списке основ­ных, дается определение, в нем разъясняется его смысл с помощью ос­новных и предшествующих данному понятий;

Формулируются аксиомы - предложения, которые в данной тео­рии принимаются без доказательства; в них раскрываются свойства основных понятий;

Каждое предложение теории, которое не содержится в списке ак­сиом, должно быть доказано; такие предложения называют теоремами и доказывают их на основе аксиом и теорем, предшествующих рас­сматриваемой.

Если построение теории осуществляется аксиоматическим мето­дом, т.е. по названным выше правилам, то говорят, что теория по­строена дедуктивно.

При аксиоматическом построении теории по существу все утверж­дения выводятся путем доказательства из аксиом. Поэтому к системе аксиом предъявляются особые требования. Прежде всего, она долж­на быть непротиворечивой и независимой.

Система аксиом называется непротиворечивой , если из нее нельзя логически вывести два взаимно исключающих друг друга предложения.

Если система аксиом не обладает этим свойством, она не может быть пригодной для обоснования научной теории.

Непротиворечивая система аксиом называется независимой , если никакая из аксиом этой системы не является следствием других акси­ом этой системы.

При аксиоматическом построении одной и той же теории можно использовать разные системы аксиом. Но они должны быть равно­сильными. Кроме того, при выборе той или иной системы аксиом математики учитывают, насколько просто и наглядно могут быть получены доказательства теорем в дальнейшем. Но если выбор акси­ом условен, то сама наука или отдельная теория не зависят от каких-либо условий, - они являются отражением реального мира.

Аксиоматическое построение системы натуральных чисел осуществ­ляется по сформулированным правилам. Изучая этот материал, мы должны увидеть, как из основных понятий и аксиом можно вывести всю арифметику натуральных чисел. Конечно, его изложение в нашем курсе будет не всегда строгим - некоторые доказательства мы опускаем в силу их большой сложности, но каждый такой случай будем оговаривать.

Упражнения

1. В чем суть аксиоматического способа построения теории?

2. Верно ли, что аксиома - это предложение, которое не требует доказательства?

3. Назовите основные понятия школьного курса планиметрии. Вспомните несколько аксиом из этого курса. Свойства каких понятий в них описываются?

4. Дайте определение прямоугольника, выбрав в качестве родового понятие параллелограмма. Назовите три понятия, которые в курсе геометрии должны предшествовать понятию «параллелограмм».

5. Какие предложения называют теоремами? Вспомните, какова логическая структура теоремы и что значит доказать теорему.

Лекция 32.Аксиоматическое построение множества целых неотрица­тельных чисел

1. Основные понятия и аксиомы Пеано. Определение целого неотрицательного числа

2. Сложение целых неотрицательных чисел. Таблицы сложения и умножения.

3. Умножение целых неотрицательных чисел. Законы сложения и умножения.

Основные понятия и аксиомы. Определение натурального числа

В качестве основного понятия при аксиоматическом построении арифметики натуральных чисел взято отношение «непосредственно следовать за», заданное на непустом множестве N. Известными также считаются понятие множества, элемента множества и другие теорети­ко-множественные понятия, а также правила логики.

Элемент, непосредственно следующий за элементом а, обозначают а".

Суть отношения «непосредственно следовать за» раскрывается в следующих аксиомах.

Аксиома 1 . В множестве N существует элемент, непосредственно не следующий ни за каким элементом этого множества. Будем назы­вать его единицей и обозначать символом 1.

Аксиома 2 . Для каждого элемента а из N существует единствен­ный элемент а ¢, непосредственно следующий за а .

Аксиома 3 . Для каждого элемента а из N существует не более од­ного элемента, за которым непосредственно следует а.

Аксиома 4. Всякое подмножество М множества N совпадает с N , если обладает свойствами: 1) 1 содержится в М; 2) из того, что а со­держится в М, следует, что и а" содержится в М.

Сформулированные аксиомы часто называют аксиомами Пеано .

Используя отношение «непосредственно следовать за» и аксиомы 1-4, можно дать следующее определение натурального числа.

Определение . Множество N, для элементов которого установ­лено отношение «непосредственно следовать за», удовлетворяю­щее аксиомам 1-4, называется множеством натуральных чисел, а его элементы - натуральными числами.

В данном определении ничего не говорится о природе элементов множества N. Значит, она может быть какой угодно. Выбирая в качестве множества N некоторое конкретное множество, на котором зада­но конкретное отношение «непосредственно следовать за», удовле­творяющее аксиомам 1-4, мы получим модель данной системы аксиом. В математике доказано, что между всеми такими моделями можно установить взаимно однозначное соответствие, сохраняющее отноше­ние «непосредственно следовать за», и все такие модели будут отли­чаться только природой элементов, их названием и обозначением. Стандартной моделью системы аксиом Пеано является возникший в процессе исторического развития общества ряд чисел:

Каждое число этого ряда имеет свое обозначение и название, кото­рое мы будем считать известными.

Рассматривая натуральный ряд чисел в качестве одной из моделей аксиом 1-4, следует отметить, что они описывают процесс образова­ния этого ряда, причем происходит это при раскрытии в аксиомах свойств отношения «непосредственно следовать за». Так, натураль­ный ряд начинается с числа 1 (аксиома 1); за каждым натуральным числом непосредственно следует единственное натуральное число (аксиома 2); каждое натуральное число непосредственно следует не более чем за одним натуральным числом (аксиома 3); начиная от чис­ла 1 и переходя по порядку к непосредственно следующим друг за другом натуральным числам, получаем все множество этих чисел (аксиома 4). Заметим, что аксиома 4 в формализованном виде описыва­ет бесконечность натурального ряда, и на ней основано доказательст­во утверждений о натуральных числах.

Вообще моделью системы аксиом Пеано может быть любое счет­ное множество, например:

I, II, III, IIII, ...

о, оо, ооо, оооо, …

один, два, три, четыре, …

Рассмотрим, например, последовательность множеств, в которой множество {оо} есть начальный элемент, а каждое последующее мно­жество получается из предыдущего приписыванием еще одного круж­ка (рис. 108,а). Тогда N есть множество, состоящее из множеств опи­санного вида, и оно является моделью системы аксиом Пеано. Дейст­вительно, в множестве N существует элемент {оо}, непосредственно не следующий ни за каким элементом данного множества, т.е. вы­полняется аксиома 1. Если счи­тать обведенные кружки за один элемент (рис. 108.6), то для каждого

А) {о о}, {о о о}, {о о о о}, …

Б) { }, { о}, { о о}, …

множества А рассматриваемой совокупности существует единст­венное множество, которое получается из А добавлением одного круж­ка, т.е. выполняется аксиома 2. Для каждого множества А существует не более одного множества, из которого образуется множество А добавле­нием одного кружка, т.е. выполняется аксиома 3. Если М Ì N и из­вестно, что множество А содержится в М, следует, что и множество, в котором на один кружок больше, чем в множестве А, также содер­жится в N , то М ~ N (и значит, выполняется аксиома 4).

Заметим, что в определении натурального числа ни одну из аксиом опустить нельзя - для любой из них можно построить множество, в котором выполнены остальные три аксиомы, а данная аксиома не вы­полняется. Это положение наглядно подтверждается примерами, приве­денными на рисунках 109 и 110. На рисунке 109, а) изображено множе­ство, в котором выполняются аксиомы 2 и 3, но не выполнена ак­сиома 1 (аксиома 4 не будет иметь смысла, так как в множестве нет эле­мента, непосредственно не следующего ни за каким другим). На рисун­ке 109, 6) показано множество, в котором выполнены аксиомы 1, 3 и 4, но за элементом а непосредственно следуют два элемента, а не один, как требуется в аксиоме 2. На рисунке 109, в) изображено множество, в котором выполнены аксиомы 1, 2, 4, но элемент с непосредственно следует как за элементом а, так и за элементом b. На рисунке 110 пока­зано множество, в котором выполнены аксиомы 1, 2, 3, но не выпол­няется аксиома 4 - множество точек, лежащих на луче, содержит 1 и вместе с

каждым числом оно содержит непосредственно следующее за ним чис­ло, но оно не совпадает со всем множест­вом точек, показанных на рисунке.

То обстоятельство, что в аксиомати­ческих теориях не говорят об «истинной» природе изучаемых понятий, делает на первый взгляд эти теории слишком абстрактными и формальными, - оказывается, что одним и тем же аксиомам удовлетворяют различные множества объектов и разные отношения между ними. Однако в этой кажущейся абстрактности и состоит сила аксиоматического метода: каждое утверждение, выведенное логиче­ским путем из данных аксиом, применимо к любым множествам объ­ектов, лишь бы в них были определены отношения, удовлетворяющие аксиомам.

Итак, мы начали аксиоматическое построение системы натураль­ных чисел с выбора основного отношения «непосредственно следо­вать за» и аксиом, в которых описаны его свойства. Дальнейшее по­строение теории предполагает рассмотрение известных свойств нату­ральных чисел и операций над ними. Они должны быть раскрыты в определениях и теоремах, т.е. выведены чисто логическим путем из отношения «непосредственно следовать за», и аксиом 1-4.

Первое понятие, которое мы введем после определения натураль­ного числа, - это отношение «непосредственно предшествует», кото­рое часто используют при рассмотрении свойств натурального ряда.

Определение. Если натуральное число b непосредственно следует за натуральным числом а, то число а называется непосредствен­но предшествующим (или предшествующим) числу b .

Отношение «предшествует» обладает рядом свойств. Они форму­лируются в виде теорем и доказываются с помощью аксиом 1-4.

Теорема 1. Единица не имеет предшествующего натурального числа.

Истинность данного утверждения вытекает сразу из аксиомы 1.

Теорема 2. Каждое натуральное число а , отличное от 1, имеет предшествующее число b , такое, что b " = а.

Доказательство. Обозначим через М множество натуральных чисел, состоящее из числа 1 и из всех чисел, имеющих предшествую­щее. Если число а содержится в М, то и число а" также есть в N , по­скольку предшествующим для а" является число а. Это значит, что множество М содержит 1, и из того, что число а принадлежит множе­ству М, следует, что и число а" принадлежит М. Тогда по аксиоме 4 множество М совпадает с множеством всех натуральных чисел. Зна­чит, все натуральные числа, кроме 1, имеют предшествующее число.

Отметим, что в силу аксиомы 3 числа, отличные от 1, имеют един­ственное предшествующее число.

Аксиоматическое построение теории натуральных чисел не рас­сматривается ни в начальной, ни в средней школе. Однако те свойства отношения «непосредственно следовать за», которые нашли отраже­ние в аксиомах Пеано, являются предметом изучения в начальном курсе математики. Уже в первом классе при рассмотрении чисел пер­вого десятка выясняется, как может быть получено каждое число. При этом используются понятия «следует» и «предшествует». Каждое новое число выступает как продолжение изученного отрезка натураль­ного ряда чисел. Учащиеся убеждаются в том, что за каждым числом идет следующее, и притом только одно, что натуральный ряд чисел бесконечен. И конечно, знание аксиоматической теории поможет учителю методически грамотно организовать усвоение детьми особенности натурального ряда чисел.

Упражнения

1. Можно ли аксиому 3 сформулировать в таком виде: «Для каждого элемента а из N существует единственный элемент, за которым непосредственно следует а »?

2. Выделите условие и заключение в аксиоме 4, запишите их, используя символы Î, =>.

3. Продолжите определение натурального числа: «Натуральным числом называется элемент множества N ,...».

Сложение

По правилам построения аксиоматической теории, определение сложения натуральных чисел нужно ввести, используя только отно­шение «непосредственно следовать за», и понятия «натуральное чис­ло» и «предшествующее число».

Предварим определение сложения следующими рассуждениями. Если к любому натуральному числу а прибавить 1, то получим число а", не­посредственно следующее за а , т.е. а + 1 = а" и, следовательно, мы получим правило прибавления 1 к любому натуральному числу. Но как прибавлять к числу а натуральное число b, отличное от 1? Вос­пользуемся следующим фактом: если известно, что 2 + 3 = 5, то сумма 2+4 равна числу 6, которое непосредственно следует за числом 5. Происходит так потому, что в сумме 2 + 4 второе слагаемое есть число, непосредственно следующее за числом 3. Таким образом, сумму а + b" можно найти, если известна сумма а + b . Эти факты и положены в основу определения сложения натуральных чисел в аксиоматической теории. Кроме того, в нем используется понятие алгебраической опе­рации.

Определение . Сложением натуральных чисел называется алгеб­раическая операция, обладающая свойствами:

1) (" а Î N ) а + 1 = а" , 2)(" а, b Î N ) а + b" =(а + b)".

Число а + b называется суммой чисел а и b , а сами числа аи b - слагаемыми.

Как известно, сумма любых двух натуральных чисел представляет собой также натуральное число, и для любых натуральных чисел а и b сумма а + b - единственна. Другими словами, сумма натуральных чисел существует и единственна. Особенностью определения является то, что заранее не известно, существует ли алгебраическая операция, обладающая указанными свойствами, а если существует, то единст­венна ли она? Поэтому при аксиоматическом построении теории на­туральных чисел доказывают следующие утверждение:

Теорема 3. Сложение натуральных чисел существует и оно един­ственно.

Эта теорема состоит из двух утверждений (двух теорем):

1) сложение натуральных чисел существует;

2) сложение натуральных чисел единственно.

Как правило, существование и единственность связывают вместе, но они чаще всего не зависят друг от друга. Существование какого-либо объекта не подразумевает его единственность. (Например, если вы говорите, что у вас есть карандаш, то это не значит, что он только один.) Утверждение о единственности означает, что не может сущест­вовать двух объектов с заданными свойствами. Единственность часто доказывается методом от противного: предполагают, что имеется два объекта, удовлетворяющих данному условию, а затем выстраивают цепочку дедуктивных умозаключений, приводящую к противоречию.

Чтобы убедиться в истинности теоремы 3, сначала докажем, что если в множестве N существует операция, обладающая свойствами 1 и 2, то эта операция единственная; затем докажем, что операция сложения со свойствами 1 и 2 существует.

Доказательство единственности сложения . Допустим, что в множестве N существует две операции сложения, обладающие свойст­вами 1 и 2. Одну из них обозначим знаком + , а другую - знаком Å. Для этих операций имеем:

1) а+1=а"; 1) а Å 1=а";

2) а + b " = (а + b)" 2) а Å b" = (а Å b)".

Докажем, что если

(" а, b Î N ) а + b = а Å b . (1)

Пусть число а выбрано произвольно, а b принимает различные на­туральные значения. Обозначим через М множество всех тех и только тех чисел b , для которых равенство (1) истинно.

Нетрудно убедиться в том, что 1 Î М. Действительно, из того, что а + 1= а" = а Å 1 следует, что а + 1 = а Å 1.

Докажем теперь, что если b Î М , то b"Î М , т.е., если а + b = а Å b, то а + b " =

а Å b". Так как а + b= а Å b, то по аксиоме 2 (а + b)" = (а Å b)" и тогда а + b " = (а + b)" =(а Å b)" = а Å b". Поскольку множество М b содержит и число b", топо аксиоме 4, множество М совпадает с N, а значит, равенство (1) истинно для любого натурального числа b. Так как число а было выбрано произвольно, то равенство (1) верно при любых натуральных числах а и b, то есть операции + и Å на множестве N могут отличаться друг от друга только обозначениями.

Доказательство существования сложения . Покажем, что алгебраическая операция, обладающая свойствами 1 и 2, указанными в определении сложения, существует.

Пусть М - множество тех и только тех чисел а , для которых можно определить а + b так, чтобы были выполнены условия 1 и 2. Покажем, что 1 Î М. Для этого при любом b положим

1 + b = b ". (2)

1) 1 + 1 =1"- по правилу (2), т.е выполняется равенство а + 1 = а при а = 1.

2) 1 + b " = (b " )" = (1 + b)" - по правилу (2.), т.е. выполняется равенство а + b " = (а + b)" при а = 1.

Итак, 1 принадлежит множеству М .

Предположим, что а принадлежит М. Исходя из этого предположения, покажем, что и а" содержится в М. т.е. что можно определить сложение а и любого числа b так, чтобы выполнялись условия 1 и 2.

Для этого положим:

а" + b = (а + b) " (3)

Так как по предположению число а + b определено, то по аксиоме 2 единственным образом определяется и число (а + b)". Проверим, что при этом выполняются условия 1 и 2:

1) а" + 1 = (а + 1)" = (а ")". Таким образом, а" + 1 = (а ")".

2) а " + b" = (а + b" )" = ((а + b)") " = (а" + b")". Таким образом, а" + b" = (а" + b )".

Итак, показали, что множество М содержит 1 и вместе с каждым числом а содержит число а". По аксиоме 4, заключаем, что множество М есть множество натуральных чисел. Таким образом, существует пра­вило, которое позволяет для любых натуральных чисел а и b одно­значно найти такое натуральное число а + b, что выполняются свой­ства 1 и 2. сформулированные в определении сложения.

Покажем, как из определения сложения и теоремы 3 можно вы­вести хорошо известную всем таблицу сложения однозначных чисел.

Условимся о следующих обозначениях: 1" = 2; 2" = 3; 3" = 4; 4" = 5 и т.д.

Составляем таблицу в такой последовательности: сначала к любо­му однозначному натуральному числу прибавляем единицу, затем число два, потом - три и т.д.

1 + 1 = 1" на основании свойства 1 определения сложения. Но 1" мы условились обозначать 2. следовательно, 1+1=2.

Аналогично 2+1 = 2" = 3; 3 + 1 = 3" = 4 и т.д.

Рассмотрим теперь случаи, связанные с прибавлением к любому однозначному натуральному числу числа 2.

1+2=1 + 1" - воспользовались принятым обозначением. Но 1 + 1" = (1 + !)" согласно свойству 2 из определения сложения, 1 + 1 - это 2, как было установлено выше. Таким образом,

1 + 2 = 1 + 1" = (1 + 1)" = 2" = 3.

Аналогично 2 + 2= 2 + 1" = (2 + 1)" = 3" = 4; 3 + 2 = 3 + 1" = (3 + 1)" = 4" = 5 и т.д.

Если продолжить этот процесс, получим всю таблицу сложения однозначных чисел.

Следующий шаг в аксиоматическом построении системы нату­ральных чисел - это доказательство свойств сложения, причем пер­вым рассматривается свойство ассоциативности, затем коммутатив­ности и др. Доказательства теорем следует рассмотреть как упражнения.

Теорема 4. (" а, b, с Î N) (а + b) + с = а + (b + с).

Теорема 5 . (" а, b Î N) а + b = b + а.

Теорема 6. (" а, b Î N) а + b ¹ b.

Все доказанные свойства изучаются в начальном курсе математики и используются для преобразования выражений.

Упражнения

1. Верно ли, что каждое натуральное число получается из предыдущего прибавлением единицы?

2. Используя определение сложения, найдите значение выражений:

а) 2 + 3; б) 3 + 3; в) 4 + 3.

3. Какие преобразования выражений можно выполнять, используя
свойство ассоциативности сложения?

4. Выполните преобразование выражения, применив ассоциативное свойство сложения:

а) (12 + 3)+17; б) 24+ (6+19); в) 27 + 13+18.

5. Докажите, что (" а, b Î N) а + b ¹ а.

6. Выясните, как формулируются в различных учебниках математики для начальной школы:

а) коммутативное свойство сложения;

б) ассоциативное свойство сложения.

7. В одном из учебников для начальной школы рассматривается
правило прибавления числа к сумме на конкретном примере (4 + 3) + 2
и предлагаются следующие пути нахождения результата:

а) (4 + 3) + 2 = 7 + 2 = 9;

б) (4 + 3) + 2 = (4 + 2) + 3 = 6 + 3 = 9;

в) (4 + 3) + 2 = 4 + (2 + 3) = 4 + 5 =9.

Обоснуйте выполненные преобразования. Можно ли утверждать, что правило прибавления числа к сумме есть следствие ассоциативно­го свойства сложения?

8. Известно, что а + b= 17. Чему равно:

а) а + (b + 3); b) (а + 6)+ b; в) (13 + b ) + а ?

9. Опишите возможные способы вычисления значения выражения вида

а + b + с. Дайте обоснование этим способам и проиллюстрируйте их на конкретных примерах.

Умножение

По правилам построения аксиоматической теории определить умножение натуральных чисел можно, используя отношение «непосредственно следовать за» и понятия, введенные ранее.

Предварим определение умножения следующими рассуждениями.

Если любое натуральное число а умножить на 1. то получится а, т.е. имеет место равенство а × 1 = а и мы получаем правило умножения любого натурального числа на 1. Но как умножать число а на натуральное число b , отличное от 1? Воспользуемся следующим фактом:

если известно, что 7 × 5 = 35, то для нахождения произведения 7 × 6 достаточно к 35 прибавить 7, так как 7 × 6 = 7 × (5 + I) = 7 × 5 + 7. Таким образом, произведение а × b" можно найти, если известно произведение: а × b = а × b + а .

Отмеченные факты и положены в основу определения умножения натуральных чисел. Кроме того, в нем используется понятие алгебраической операции.

Определение. Умножением натуральных чисел называется алгеб­раическая операция, обладающая свойствами:

1) (" а Î N) а× 1 а.

2) (" а, b Î N) а× b" = а × b + а .

Число а × b называется произведением чисел а и b , а сами числа а и b - множителями.

Особенностью данного определения, так же как и определения сложения натуральных чисел, является то, что заранее неизвестно, существует ли алгебраическая операция, обладающая указанными свойствами, а если существует, то единственная ли она. В связи с этим возникает необходимость в доказательстве этого факта..

Теорема 7 . Умножение натуральных чисел существует, и оно единственно.

Доказательство этой теоремы аналогично доказательству теоремы 3.

Используя определение умножения, теорему 7 и таблицу сложения, можно вывести таблицу умножения однозначных чисел. Делаем это в такой последовательности: сначала рассматриваем умножение на 1, затем на 2 и т.д.

Легко видеть, что умножение на 1 выполняется по свойству 1 в оп­ределении умножения: 1 1 = 1; 2 1 = 2; 3 1 = 3 и т.д.

Рассмотрим теперь случаи умножения на 2: 1 2 = 1 1" = 1 1 + 1 = 1 + 1 = 2- переход от произведения 1 2 к произведению 1 1" осуще­ствлен согласно принятым ранее обозначениям; переход от выраже­ния 1 1" к выражению 1 + 1 - на основе второго свойства умножения; произведение 1 1 заменено числом 1 в соответствии с уже полученным результатом в таблице; и, наконец, значение выражения 1 + 1 найдено в соответствии с таблицей сложения. Аналогично: 2 2 = 2 1" = 2 I + 2 = 2 + 2 = 4; 3 2 = 3 1" = 3 1 + 3 = 3 + 3 = 6.

Если продолжить этот процесс, получим всю таблицу умножения однозначных чисел.

Как известно, умножение натуральных чисел коммутативно, ассо­циативно и дистрибутивно относительно сложения. При аксиомати­ческом построении теории удобно доказывать эти свойства, начиная с дистрибутивности.

Но в связи с тем. что свойство коммутативности будет доказано позже, необходимо рассматривать дистрибутивность справа и слева относительно сложения.

Теорема 8. (" а, b, с Î N) (а + b) с = а с + b с.

Теорема 9. (" а, b, с Î N) с (а + b) = с а + с b

Это свойство дистрибутивности слева относительно сложения. Доказывается оно аналогично тому, как это сделано для дистрибутивности справа.

Теорема 10 . (" а, b, с Î N) (а b) с = а (b с).

Это свойство ассоциативности умножения. Его доказательство основывается на определении умножения и теоремах 4- 9.

Теорема 11. (" а, b Î N) а b = b а.

Доказательство этой теоремы по форме аналогично доказательству коммутативного свойства сложения.

Поход к умножению, рассматриваемый в аксиоматической теории, является основой обучения умножению в начальной школе. Умножение на 1, как правило, определяется, а второе свойство умножения иcпользуется при составлении таблицы умножения однозначных чисел и вычислениях.

В начальном курсе изучаются все рассмотренные нами свойства умножения: и коммутативность, и ассоциативность, и дистрибутивность.

Упражнения

1.. Используя определение умножения, найдите значения выражений:
а) 3 3; 6) 3 4; в) 4 3.

2. Запишите свойство дистрибутивности умножения слева относительно сложения и докажите его. Какие преобразования выражений возможны на его основе? Почему возникла необходимость в рассмотрении дистрибутивности умножения слева и справа относительно сложения?

3. Докажите свойство ассоциативности умножения натуральных чисел. Какие преобразования выражений возможны на его основе? Изучается ли это свойство в начальной школе?

4. Докажите свойство коммутативности умножения. Приведите примеры его использования в начальном курсе математики.

5. Какие свойства умножения могут быть использованы при нахождении значения выражения:

а) 5 (10 + 4); 6)125 15 6; в) (8 379) 125?

6. Известно, что 37 3 = 111. Используя это равенство, вычислите:

а) 37 18; 6) 185 12.

Все выполненные преобразования обоснуйте.

7. Определите значение выражения, не выполняя письменных вычислений. Ответ обоснуйте:

а) 8962 8 + 8962 2; б) 63402 3 + 63402 97; в) 849 +849 9.

8.. Какие свойства умножения будут использовать учащиеся началь­ных классов, выполняя следующие задания:

Можно ли, не вычисляя, сказать, значения каких выражений будут одинаковыми:

а) 3 7 + 3 5; 6) 7 (5 + 3): в) (7 + 5) 3?

Верны ли равенства:

а) 18 5 2 = 18 (5 2); в) 5 6 + 5 7 = (6 + 7) 5;

б) (3 10) 17 = 3 10 17; г) 8 (7 + 9) = 8 7 + 9 8?
Можно ли, не выполняя вычислений, сравнить значения выражений:

а) 70 32 + 9 32 ...79 30 + 79 2; 6) 87 70 + 87 8 ... 80 78 + 7 78?

Лекция 33.Вычитание и деление целых неотрицательных чисел

1. Упорядоченность множества натуральных чисел.

2. Определение вычитания целых неотрицательных чисел

3. Деление целых неотрицательных чисел. Невозможность деления на нуль. Деление с остатком.