Решения текстовых задач на составление уравнений будут полезными в первую очередь для школьников. Учебная программа за 9, 10 класс охватывает широкий класс задач в которых требуется определить неизвестные, составить уравнение и решить. Ниже приведена лишь малая часть возможных задач и методика их вычислений.

Пример 1. Первый велосипедист ежеминутно проезжает на 50 метров меньше чем второй, поэтому на путь 120 км он тратит на 2 часа больше чем второй. Найти скорость второго велосипедиста (в км за час).
Решение: Задача для многих тяжела, но на самом деле все просто.
Под фразой "Проезжает ежеминутно на 50 метров меньше" спрятана скорость 50 м/мин. Поскольку остальные данные в км и часах то 50 м/мин приводим к км/час.
50/1000*60=3000/1000=3 (км/ч ).
Обозначим скорость второго велосипедиста через V , а время движения - t .
Умножением скорости на время движения получим путь
V*t=120.
Первый велосипедист едет медленнее, поэтому и дольше. Составляем соответствующее уравнение движения
(V-3)(t+2)=120.
Имеем систему двух уравнений с двумя неизвестными.
Из первого уравнения выразим время движения и подставим во второе
t=120/V; (V-3)(120/V+2)=120.
После умножения на V/2 и группировки подобных слагаемых можно получить такое квадратное уравнение
V^2-3V-180=0.
Вычисляем дискриминант уравнения
D=9+4*180=729=27*27
и корни
V=(3+27)/2=15;
V=(3-27)/2=-12.
Второй отвергаем, он не имеет физического смысла. Найденное значение V = 15 км/час является скоростью второго велосипедиста.
Ответ: 15 км/час.

Пример 2. Морская вода содержит 5% соли по массе. Сколько пресной воды надо добавить к 30 кг морской, чтобы концентрация соли уменьшилась на 70% ?
Решение: Найдем сколько соли в 30 кг морской воды
30*5/100=1,5 (кг).
В новом растворе это составит
(100%-70%)=30% от 5% , составляем пропорции
5% – 100%
Х– 30%.
Выполняем вычисления
Х=5*30/100=150/100=1,5%.
Таким образом 1,5 кг соли соответствует 1,5% в новом растворе. Опять складываем пропорции
1,5 – 1,5% Y – 100% .
Находим массу раствора морской воды
Y=1,5*100/1,5=100 (кг).
Вычтем масс соленой воды, чтобы найти количество пресной
100-30=70 (кг) .
Ответ: 70 кг пресной воды.

Пример 3. Мотоциклист задержался у шлагбаума на 24 минуты. Увеличив после этого свою скорость на 10 километров в час он искупил опоздание на перегоне 80 км. Определить скорость мотоциклиста перед замедлением (в км в час).
Решение: Задача на составление уравнения на скорость. Обозначим начальную скорость мотоциклиста через V , а время за которое он должен был проехать через t . Есть две неизвестные, следовательно уравнений должно быть тоже 2 . Согласно условию, за это время он должен был проехать 80 км.
V*t=80 (км) .
Задержался означает, что время уменьшилось на 24 минуты. Также стоит заметить, что в подобных задачах время нужно переводить в часы или минуты (в зависимости от условия) и тогда решать. Составляем уравнение движения с учетом меньшего времени и большей скорости
(V+10)(t-24/60)=80.
Есть два уравнения для определения времени и скорости. Поскольку в задачи спрашивают скорость, то выразим время из первого уравнения и подставим во второе
t=80/V;
(V+10)(80/V-24/60)=80.
Наша цель - научить Вас составлять уравнения к задачам, из которых можно определить искомые величины.
Поэтому не вдаваясь в детали, полученное уравнение умножением на 60 * V и делением на 24 может быть сведено к следующему квадратного уравнения
V^2+10*V-2000=0.
Самостоятельно найдите дискриминант и корни уравнения. Вы должны получить значение
V=-50;
V=40.
Первое значение отбрасываем, оно не имеет физического смысла. Второе V = 40 км/час является искомой скоростью мотоциклиста.
Ответ: 40 км/час.

Пример 4. Товарный поезд задержался в пути на 12 минут, а затем на расстоянии 112 километров наверстал упущенное время, увеличив скорость на 10 км/час. Найти начальную скорость поезда (в км/час).
Решение: Имеем задачу в которой неизвестными выступают скорость поезда V и время движения t .
Поскольку задача по схеме уравнений соответствует предыдущей, то записываем два уравнения на неизвестные
V*t=112;
(V+10)*(t-12/60)=112.
Уравнения следует составлять именно в таких обозначениях. Это позволяет в простом виде выразить с первого уравнения время
t =112/V
и, подставив во второе получить уравнение только относительно скорости
(V+10)*(112/ V -12/60)=112.
Если неудачно выбрать обозначение, то можно получить уравнение на неизвестные такого плана
V*(t+12)=112;
(V+10)*t=112.
Здесь t соответствует времени после увеличения скорости на 10 км/ч, но суть не в этом. Приведенные уравнения тоже правильные, но не удобны с точки зрения вычислений.
Попробуйте решить первые два уравнения и последние и Вы поймете, что второй схемы следует избегать при составлении уравнений. Поэтому хорошо обдумывайте, какие обозначения вводить, чтобы минимизировать количество вычислений.
Полученное уравнение
(V+10)*(112/ V -12/60)=112.
сводим к квадратному уравнению (умножаем на 60*V/12)
V^2+10*V-5600=0.
Не вдаваясь в промежуточные вычисления, корнями будут
V=-80;
V=70.
В задачах такого типа всегда получим отрицательный корень (V=-80) который нужно отбросить. Скорость поезда равна 70 км/час.

Пример 5. Отправившись с автостанции на 10 минут позже, автобус ехал к первой остановки со скоростью на 16 км/час больше, чем по расписанию и приехал вовремя. Какую скорость (в км/час) должен иметь автобус по расписанию если расстояние от автостанции до первой остановки равно 16 километров?
Решение: Неизвестными выступают скорость автобуса V и время t .
Составляем уравнение, учитывая что время опоздания задано в минутах, а не часах
V * t = 16 - так должен был ехать автобус в обычном режиме;
(V + 16) (t-10/60) = 16 - уравнение движения из-за позднего отправления автобуса.
Есть два уравнения и две неизвестные.
С первого уравнения выразим время и подставим во второе
t=16/V;
(V+16)(16/V-1/6)=16.
Полученное уравнение относительно скорости сводим к квадратному (*6*V)
V^2+16*V-1536=0.
Корнями квадратного уравнения являются
V=32; V=-48.
Искомая скорость автобуса равна 32 км/час.
Ответ: 32 км/ч.

Пример 6. Водитель автомобиля остановился для замены колеса на 12 минут. После этого увеличив скорость движения на 15 км/час он искупил затраченное время на 60 километрах. С какой скоростью (в км/час) он двигался после остановки?
Решение: Алгоритм решения задачи несколько раз приводился в предыдущих примерах. Стандартно обозначаем скорость и время через V, t.
При составлении уравнения не забывайте перевести минуты в часы. Система уравнений будет иметь вид
V*t=60;
(V+15)(t-12/60)=60.
Дальнейшие манипуляции Вы также должны знать или заучить.
t=60/V;
(V+15)(60/V -12/60)=60.
Данное уравнение можно свести к квадратному уравнению
V^2+15*V-4500=0.
Решив квадратное уравнение, получим следующие значения скоростей
V=60; V=-75.
Скорость отрицательной не бывает, поэтому единственная правильный ответ V=60 км/час.

Пример 7. Некоторое двузначное число в 4 раза больше суммы и в 3 раза больше произведение своих цифр. Найти это число.
Решение: Задача на числа занимают важное место среди задач на составление уравнений и бывают не менее интересными в построении решений чем задания на скорость. Все что нужно, это хорошо понять условие задачи. Обозначим число через ab, то есть число равно 10 * a + b. По условию составим систему уравнений
10*a+b=4*(a+b);
10*a+b=3*a*b.
Поскольку в первое уравнение неизвестные входят линейно то его расписываем и выражаем одну из неизвестных через другую
10*a+b-4*a-4*b=0;
6*a-3*b=0; b=2*a.
Подставим b = 2 * a во второе уравнение
10*a+2*a=3*a*2*a;
6*a2-12*a=0; a(a-2)=0.
Отсюда a=0; a=2 . Первое значение нет смысла рассматривать, при a=2 вторая цифра равна b=2*a=2*2=4 , а искомое число 24 .
Ответ: число равно 24.

Поговорим о том, как составить уравнение химической реакции. Именно этот вопрос в основном вызывает серьезные затруднения у школьников. Одни не могут понять алгоритм составления формул продуктов, другие неправильно расставляют коэффициенты в уравнении. Учитывая, что все количественные вычисления осуществляются именно по уравнениям, важно понять алгоритм действий. Попробуем выяснить, как составлять уравнения химических реакций.

Составление формул по валентности

Для того чтобы правильно записывать процессы, происходящие между различными веществами, нужно научиться записывать формулы. Бинарные соединения составляют с учетом валентностей каждого элемента. Например, у металлов главных подгрупп она соответствует номеру группы. При составлении конечной формулы между этими показателями определяется наименьшее кратное, затем расставляются индексы.

Что такое уравнение

Под ним понимают символьную запись, которая отображает взаимодействующие химические элементы, их количественные соотношения, а также те вещества, которые получаются в результате процесса. Одно из заданий, предлагаемых ученикам девятого класса на итоговой аттестации по химии, имеет следующую формулировку: «Составьте уравнения реакций, характеризующих химические свойства предложенного класса веществ». Для того чтобы справиться с поставленной задачей, ученики должны владеть алгоритмом действий.

Алгоритм действий

Например, нужно написать процесс горения кальция, пользуясь символами, коэффициентами, индексами. Поговорим о том, как составить уравнение химической реакции, воспользовавшись порядком действий. В левой части уравнения через "+" записываем знаками вещества, которые участвуют в данном взаимодействии. Так как горение происходит с участием кислорода воздуха, который относится к двухатомным молекулам, его формулу пишем О2.

За знаком равенства формируем состав продукта реакции, используя правила расстановки валентности:

2Ca + O2 = 2CaO.

Продолжая разговор о том, как составить уравнение химической реакции, отметим необходимость использования закона постоянства состава, а также сохранения состава веществ. Они позволяют проводить процесс уравнивания, расставлять в уравнении недостающие коэффициенты. Данный процесс является одним из простейших примеров взаимодействий, происходящих в неорганической химии.

Важные аспекты

Для того чтобы понять, как составить уравнение химической реакции, отметим некоторые теоретические вопросы, касающиеся этой темы. Закон сохранения массы веществ, сформулированный М. В. Ломоносовым, объясняет возможность расстановки коэффициентов. Так как количество атомов каждого элемента до и после взаимодействия остается неизменным, можно проводить математические расчеты.

При уравнивании левой и правой частей уравнения используют наименьшее общее кратное, аналогично тому, как составляется формула соединения с учетом валентностей каждого элемента.

Окислительно-восстановительные взаимодействия

После того как у школьников будет отработан алгоритм действий, они смогут составить уравнение реакций, характеризующих химические свойства простых веществ. Теперь можно переходить к разбору более сложных взаимодействий, например протекающих с изменением степеней окисления у элементов:

Fe + CuSO4 = FeSO4 + Cu.

Существуют определенные правила, согласно которым расставляют степени окисления в простых и сложных веществах. Например, у двухатомных молекул этот показатель равен нулю, в сложных соединениях сумма всех степеней окисления также должна быть равна нулю. При составлении электронного баланса определяют атомы или ионы, которые отдают электроны (восстановитель), принимают их (окислитель).

Между этими показателями определяется наименьшее кратное, а также коэффициенты. Завершающим этапом разбора окислительно-восстановительного взаимодействия является расстановка коэффициентов в схеме.

Ионные уравнения

Одним из важных вопросов, который рассматривается в курсе школьной химии, является взаимодействие между растворами. Например, дано задание следующего содержания: «Составьте уравнение химической реакции ионного обмена между хлоридом бария и сульфатом натрия». Оно предполагает написание молекулярного, полного, сокращенного ионного уравнения. Для рассмотрения взаимодействия на ионном уровне необходимо по таблице растворимости указать ее для каждого исходного вещества, продукта реакции. Например:

BaCl2 + Na2SO4 = 2NaCl + BaSO4

Вещества, которые не растворяются на ионы, записывают в молекулярном виде. Реакция обмена ионами протекает полностью в трех случаях:

  • образование осадка;
  • выделение газа;
  • получение малодиссоциируемого вещества, например воды.

При наличии у вещества стереохимического коэффициента он учитывается при написании полного ионного уравнения. После того как будет написано полное ионное уравнение, проводят сокращение тех ионов, которые не были связаны в растворе. Конечным итогом любого задания, предполагающего рассмотрение процесса, протекающего между растворами сложных веществ, будет запись сокращенной ионной реакции.

Заключение

Химические уравнения позволяют объяснять с помощью символов, индексов, коэффициентов те процессы, которые наблюдаются между веществами. В зависимости от того, какой именно протекает процесс, существуют определенные тонкости записи уравнения. Общий алгоритм составления реакций, рассмотренный выше, основывается на валентности, законе сохранения массы веществ, постоянстве состава.

Уравнение прямой на плоскости.
Направляющий вектор прямой. Вектор нормали

Прямая линия на плоскости – это одна из простейших геометрических фигур, знакомая вам ещё с младших классов, и сегодня мы узнаем, как с ней справляться методами аналитической геометрии. Для освоения материала необходимо уметь строить прямую; знать, каким уравнением задаётся прямая, в частности, прямая, проходящая через начало координат и прямые, параллельные координатным осям. Данную информацию можно найти в методичке Графики и свойства элементарных функций , я её создавал для матана, но раздел про линейную функцию получился очень удачным и подробным. Поэтому, уважаемые чайники, сначала разогрейтесь там. Кроме того, нужно обладать базовыми знаниями о векторах , иначе понимание материала будет неполным.

На данном уроке мы рассмотрим способы, с помощью которых можно составить уравнение прямой на плоскости. Рекомендую не пренебрегать практическими примерами (даже если кажется очень просто), так как я буду снабжать их элементарными и важными фактами, техническими приёмами, которые потребуются в дальнейшем, в том числе и в других разделах высшей математики.

и мы начинаем:

Уравнение прямой с угловым коэффициентом

Всем известный «школьный» вид уравнения прямой называется уравнением прямой с угловым коэффициентом . Например, если прямая задана уравнением , то её угловой коэффициент: . Рассмотрим геометрический смысл данного коэффициента и то, как его значение влияет на расположение прямой:

В курсе геометрии доказывается, что угловой коэффициент прямой равен тангенсу угла между положительным направлением оси и данной прямой : , причём угол «откручивается» против часовой стрелки.

Чтобы не загромождать чертёж, я нарисовал углы только для двух прямых. Рассмотрим «красную» прямую и её угловой коэффициент . Согласно вышесказанному: (угол «альфа» обозначен зелёной дугой). Для «синей» прямой с угловым коэффициентом справедливо равенство (угол «бета» обозначен коричневой дугой). А если известен тангенс угла, то при необходимости легко найти и сам угол с помощью обратной функции – арктангенса. Как говорится, тригонометрическая таблица или микрокалькулятор в руки. Таким образом, угловой коэффициент характеризует степень наклона прямой к оси абсцисс .

При этом возможны следующие случаи:

1) Если угловой коэффициент отрицателен: , то линия, грубо говоря, идёт сверху вниз. Примеры – «синяя» и «малиновая» прямые на чертеже.

2) Если угловой коэффициент положителен: , то линия идёт снизу вверх. Примеры – «чёрная» и «красная» прямые на чертеже.

3) Если угловой коэффициент равен нулю: , то уравнение принимает вид , и соответствующая прямая параллельна оси . Пример – «жёлтая» прямая.

4) Для семейства прямых , параллельных оси (на чертеже нет примера, кроме самой оси ), углового коэффициента не существует (тангенс 90 градусов не определён) .

Чем больше угловой коэффициент по модулю, тем круче идёт график прямой .

Например, рассмотрим две прямые . Здесь , поэтому прямая имеет более крутой наклон. Напоминаю, что модуль позволяет не учитывать знак, нас интересуют только абсолютные значения угловых коэффициентов.

В свою очередь, прямая более крутА, чем прямые .

Обратно: чем меньше угловой коэффициент по модулю, тем прямая является более пологой .

Для прямых справедливо неравенство , таким образом, прямая более полога. Детская горка, чтобы не насадить себе синяков и шишек.

Зачем это нужно?

Продлить ваши мучения Знания вышеперечисленных фактов позволяет немедленно увидеть свои ошибки, в частности, ошибки при построении графиков – если на чертеже получилось «явно что-то не то». Желательно, чтобы вам сразу было понятно, что, например, прямая весьма крутА и идёт снизу вверх, а прямая – очень полога, близко прижата к оси и идёт сверху вниз.

В геометрических задачах часто фигурируют несколько прямых, поэтому их удобно как-нибудь обозначать.

Обозначения : прямые обозначаются маленькими латинскими буквами: . Популярный вариант – обозначение одной и той же буквой с натуральными подстрочными индексами. Например, те пять прямых, которые мы только что рассмотрели, можно обозначить через .

Поскольку любая прямая однозначно определяется двумя точками, то её можно обозначать данными точками: и т.д. Обозначение совершенно очевидно подразумевает, что точки принадлежат прямой .

Пора немного размяться:

Как составить уравнение прямой с угловым коэффициентом?

Если известна точка , принадлежащая некоторой прямой, и угловой коэффициент этой прямой, то уравнение данной прямой выражается формулой :

Пример 1

Составить уравнение прямой с угловым коэффициентом , если известно, что точка принадлежит данной прямой.

Решение : Уравнение прямой составим по формуле . В данном случае:

Ответ :

Проверка выполняется элементарно. Во-первых, смотрим на полученное уравнение и убеждаемся, что наш угловой коэффициент на своём месте. Во-вторых, координаты точки должны удовлетворять данному уравнению. Подставим их в уравнение:

Получено верное равенство, значит, точка удовлетворяет полученному уравнению.

Вывод : уравнение найдено правильно.

Более хитрый пример для самостоятельного решения:

Пример 2

Составить уравнение прямой, если известно, что её угол наклона к положительному направлению оси составляет , и точка принадлежит данной прямой.

Если возникли затруднения, перечитайте теоретический материал. Точнее больше практический, многие доказательства я пропускаю.

Прозвенел последний звонок, отгремел выпускной бал, и за воротами родной школы нас поджидает, собственно, аналитическая геометрия. Шутки закончились…. А может быть только начинаются =)

Ностальгически машем ручкой привычному и знакомимся с общим уравнением прямой. Поскольку в аналитической геометрии в ходу именно оно:

Общее уравнение прямой имеет вид : , где – некоторые числа. При этом коэффициенты одновременно не равны нулю, так как уравнение теряет смысл.

Оденем в костюм и галстук уравнение с угловым коэффициентом . Сначала перенесём все слагаемые в левую часть:

Слагаемое с «иксом» нужно поставить на первое место:

В принципе, уравнение уже имеет вид , но по правилам математического этикета коэффициент первого слагаемого (в данном случае ) должен быть положительным. Меняем знаки:

Запомните эту техническую особенность! Первый коэффициент (чаще всего ) делаем положительным!

В аналитической геометрии уравнение прямой почти всегда будет задано в общей форме. Ну, а при необходимости его легко привести к «школьному» виду с угловым коэффициентом (за исключением прямых, параллельных оси ординат).

Зададимся вопросом, что достаточно знать, чтобы построить прямую? Две точки. Но об этом детском случае позже, сейчас властвуют палочки со стрелочками. У каждой прямой есть вполне определённый наклон, к которому легко «приспособить» вектор .

Вектор, который параллелен прямой, называется направляющим вектором данной прямой . Очевидно, что у любой прямой бесконечно много направляющих векторов, причём все они будут коллинеарны (сонаправлены или нет – не важно).

Направляющий вектор я буду обозначать следующим образом: .

Но одного вектора недостаточно для построения прямой, вектор является свободным и не привязан к какой-либо точке плоскости. Поэтому дополнительно необходимо знать некоторую точку , которая принадлежит прямой.

Как составить уравнение прямой по точке и направляющему вектору?

Если известна некоторая точка , принадлежащая прямой, и направляющий вектор этой прямой, то уравнение данной прямой можно составить по формуле :

Иногда его называют каноническим уравнением прямой .

Что делать, когда одна из координат равна нулю, мы разберёмся в практических примерах ниже. Кстати, заметьте – сразу обе координаты не могут равняться нулю, так как нулевой вектор не задаёт конкретного направления.

Пример 3

Составить уравнение прямой по точке и направляющему вектору

Решение : Уравнение прямой составим по формуле . В данном случае:

С помощью свойств пропорции избавляемся от дробей:

И приводим уравнение к общему виду:

Ответ :

Чертежа в таких примерах, как правило, делать не нужно, но понимания ради:

На чертеже мы видим исходную точку , исходный направляющий вектор (его можно отложить от любой точки плоскости) и построенную прямую . Кстати, во многих случаях построение прямой удобнее всего осуществлять как раз с помощью уравнения с угловым коэффициентом. Наше уравнение легко преобразовать к виду и без проблем подобрать ещё одну точку для построения прямой.

Как отмечалось в начале параграфа, у прямой бесконечно много направляющих векторов, и все они коллинеарны. Для примера я нарисовал три таких вектора: . Какой бы направляющий вектор мы не выбрали, в результате всегда получится одно и то же уравнение прямой .

Составим уравнение прямой по точке и направляющему вектору :

Разруливаем пропорцию:

Делим обе части на –2 и получаем знакомое уравнение:

Желающие могут аналогичным образом протестировать векторы или любой другой коллинеарный вектор.

Теперь решим обратную задачу:

Как найти направляющий вектор по общему уравнению прямой?

Очень просто:

Если прямая задана общим уравнением в прямоугольной системе координат, то вектор является направляющим вектором данной прямой.

Примеры нахождения направляющих векторов прямых:

Утверждение позволяет найти лишь один направляющий вектор из бесчисленного множества, но нам больше и не нужно. Хотя в ряде случаев координаты направляющих векторов целесообразно сократить:

Так, уравнение задаёт прямую, которая параллельна оси и координаты полученного направляющего вектора удобно разделить на –2, получая в точности базисный вектор в качестве направляющего вектора. Логично.

Аналогично, уравнение задаёт прямую, параллельную оси , и, разделив координаты вектора на 5, получаем в качестве направляющего вектора орт .

Теперь выполним проверку Примера 3 . Пример уехал вверх, поэтому напоминаю, что в нём мы составили уравнение прямой по точке и направляющему вектору

Во-первых , по уравнению прямой восстанавливаем её направляющий вектор: – всё нормально, получили исходный вектор (в ряде случаев может получиться коллинеарный исходному вектор, и это обычно несложно заметить по пропорциональности соответствующих координат).

Во-вторых , координаты точки должны удовлетворять уравнению . Подставляем их в уравнение:

Получено верное равенство, чему мы очень рады.

Вывод : задание выполнено правильно.

Пример 4

Составить уравнение прямой по точке и направляющему вектору

Это пример для самостоятельного решения. Решение и ответ в конце урока. Крайне желательно сделать проверку по только что рассмотренному алгоритму. Старайтесь всегда (если это возможно) выполнять проверку на черновике. Глупо допускать ошибки там, где их 100%-но можно избежать.

В том случае, если одна из координат направляющего вектора нулевая, поступают очень просто:

Пример 5

Решение : Формула не годится, так как знаменатель правой части равен нулю. Выход есть! Используя свойства пропорции, перепишем формулу в виде , и дальнейшее покатилось по глубокой колее:

Ответ :

Проверка :

1) Восстановим направляющий вектор прямой :
– полученный вектор коллинеарен исходному направляющему вектору.

2) Подставим координаты точки в уравнение :

Получено верное равенство

Вывод : задание выполнено правильно

Возникает вопрос, зачем маяться с формулой , если существует универсальная версия , которая сработает в любом случае? Причин две. Во-первых, формула в виде дроби гораздо лучше запоминается . А во-вторых, недостаток универсальной формулы состоит в том, что заметно повышается риск запутаться при подстановке координат.

Пример 6

Составить уравнение прямой по точке и направляющему вектору .

Это пример для самостоятельного решения.

Вернёмся к вездесущим двум точкам:

Как составить уравнение прямой по двум точкам?

Если известны две точки , то уравнение прямой, проходящей через данные точки, можно составить по формуле:

На самом деле это разновидность формулы и вот почему: если известны две точки , то вектор будет направляющим вектором данной прямой. На уроке Векторы для чайников мы рассматривали простейшую задачу – как найти координаты вектора по двум точкам. Согласно данной задаче, координаты направляющего вектора:

Примечание : точки можно «поменять ролями» и использовать формулу . Такое решение будет равноценным.

Пример 7

Составить уравнение прямой по двум точкам .

Решение : Используем формулу:

Причёсываем знаменатели:

И перетасовываем колоду:

Именно сейчас удобно избавиться от дробных чисел. В данном случае нужно умножить обе части на 6:

Раскрываем скобки и доводим уравнение до ума:

Ответ :

Проверка очевидна – координаты исходных точек должны удовлетворять полученному уравнению:

1) Подставим координаты точки :

Верное равенство.

2) Подставим координаты точки :

Верное равенство.

Вывод : уравнение прямой составлено правильно.

Если хотя бы одна из точек не удовлетворяет уравнению, ищите ошибку.

Стоит отметить, что графическая проверка в данном случае затруднительна, поскольку построить прямую и посмотреть, принадлежат ли ей точки , не так-то просто.

Отмечу ещё пару технических моментов решения. Возможно, в данной задаче выгоднее воспользоваться зеркальной формулой и, по тем же точкам составить уравнение:

Таки дробей поменьше. Если хотите, можете довести решение до конца, в результате должно получиться то же самое уравнение.

Второй момент состоит в том, чтобы посмотреть на итоговый ответ и прикинуть, нельзя ли его ещё упростить? Например, если получилось уравнение , то здесь целесообразно сократить на двойку: – уравнение будет задавать ту же самую прямую. Впрочем, это уже тема разговора о взаимном расположении прямых .

Получив ответ в Примере 7, я на всякий случай, проверил, не делятся ли ВСЕ коэффициенты уравнения на 2, 3 или 7. Хотя, чаще всего подобные сокращения осуществляются ещё по ходу решения.

Пример 8

Составить уравнение прямой, проходящей через точки .

Это пример для самостоятельного решения, который как раз позволит лучше понять и отработать технику вычислений.

Аналогично предыдущему параграфу: если в формуле один из знаменателей (координата направляющего вектора) обращается в ноль, то переписываем её в виде . И снова заметьте, как неуклюже и запутанно она стала выглядеть. Не вижу особого смысла приводить практические примеры, поскольку такую задачу мы уже фактически прорешали (см. № 5, 6).

Вектор нормали прямой (нормальный вектор)

Что такое нормаль? Простыми словами, нормаль – это перпендикуляр. То есть, вектор нормали прямой перпендикулярен данной прямой. Очевидно, что у любой прямой их бесконечно много (так же, как и направляющих векторов), причём все векторы нормали прямой будут коллинеарными (сонаправленными или нет – без разницы).

Разборки с ними будут даже проще, чем с направляющими векторами:

Если прямая задана общим уравнением в прямоугольной системе координат, то вектор является вектором нормали данной прямой.

Если координаты направляющего вектора приходится аккуратно «вытаскивать» из уравнения, то координаты вектора нормали достаточно просто «снять».

Вектор нормали всегда ортогонален направляющему вектору прямой. Убедимся в ортогональности данных векторов с помощью скалярного произведения :

Приведу примеры с теми же уравнениями, что и для направляющего вектора:

Можно ли составить уравнение прямой, зная одну точку и вектор нормали? Нутром чувствуется, можно. Если известен вектор нормали, то однозначно определено и направление самой прямой – это «жёсткая конструкция» с углом в 90 градусов.

Как составить уравнение прямой по точке и вектору нормали?

Если известна некоторая точка , принадлежащая прямой, и вектор нормали этой прямой, то уравнение данной прямой выражается формулой :

Тут всё обошлось без дробей и прочих нежданчиков. Такой вот у нас нормальный вектор. Любите его. И уважайте =)

Пример 9

Составить уравнение прямой по точке и вектору нормали . Найти направляющий вектор прямой.

Решение : Используем формулу:

Общее уравнение прямой получено, выполним проверку:

1) «Снимаем» координаты вектора нормали с уравнения : – да, действительно, получен исходный вектор из условия (либо должен получиться коллинеарный исходному вектор).

2) Проверим, удовлетворяет ли точка уравнению :

Верное равенство.

После того, как мы убедились в том, что уравнение составлено правильно, выполним вторую, более лёгкую часть задания. Вытаскиваем направляющий вектор прямой:

Ответ :

На чертеже ситуация выглядит следующим образом:

В целях тренировки аналогичная задача для самостоятельного решения:

Пример 10

Составить уравнение прямой по точке и нормальному вектору . Найти направляющий вектор прямой.

Заключительный раздел урока будет посвящен менее распространённым, но тоже важным видам уравнений прямой на плоскости

Уравнение прямой в отрезках.
Уравнение прямой в параметрической форме

Уравнение прямой в отрезках имеет вид , где – ненулевые константы. Некоторые типы уравнений нельзя представить в таком виде, например, прямую пропорциональность (так как свободный член равен нулю и единицу в правой части никак не получить).

Это, образно говоря, «технический» тип уравнения. Обыденная задача состоит в том, чтобы общее уравнение прямой представить в виде уравнения прямой в отрезках . Чем оно удобно? Уравнение прямой в отрезках позволяет быстронайти точки пересечения прямой с координатными осями, что бывает очень важным в некоторых задачах высшей математики.

Найдём точку пересечения прямой с осью . Обнуляем «игрек», и уравнение принимает вид . Нужная точка получается автоматически: .

Аналогично с осью – точка, в которой прямая пересекает ось ординат.