Решение текстовых задач

Карпова Ирина Викторовна, старший преподаватель кафедры алгебры ХГПУ

Задачи на составление уравнений, или текстовые алгебраические задачи, можно условно классифицировать по типам:

задачи на числовые зависимости;

задачи, связанные с понятием «процента»;

задачи на прогрессии;

задачи на движение;

задачи на совместную работу;

задачи на смеси и сплавы.

Стандартная схема решения текстовой задачи состоит из нескольких этапов:

Обозначение буквами x, y, z, ... неизвестных величин, о которых идет речь в задаче.

Составление с помощью введенных переменных и известных из условия задачи величин уравнения или системы уравнений (в некоторых случаях – систем неравенств).

Решение полученного уравнения или системы уравнений.

Отбор решений, подходящих по смыслу задачи.

Выбирая неизвестные и составляя уравнения, мы создаем математическую модель ситуации, описанной в условии задачи. Это означает, что все соотношения должны следовать из конкретных условий задачи, то есть каждое условие должно быть представлено в виде уравнения (или неравенства).

Рассмотрим примеры решения некоторых типов задач из приведенной выше классификации, предварительно выделив особенности задач каждого типа, которые надо учитывать при их решении.

Задачи на движение

Уравнения, которые составляются на основании условий задач на движение, обычно содержат такие величины, как расстояние, скорости движущихся объектов, время, а также скорость течения воды (при движении по реке). При решении этих задач принимают следующие допущения:

Если нет специальных оговорок, то движение считается равномерным.

Повороты движущихся тел, переходы на новый режим движения считаются происходящими мгновенно.

Если тело с собственной скоростью х движется по реке, скорость течения которой равна у, то скорость движения тела по течению считается равной (х+у), а против течения – (х-у).

При решении задач на движение рекомендуется сделать рисунок, отображающий все условия задачи. При этом решающий задачу должен выбрать схему решения: какого вида уравнения составлять, то есть что сравнивать: время, затраченное на движение на отдельных участках пути, или пройденный каждым объектом путь.

При решении задач такого типа часто необходимо узнать время встречи двух объектов, начинающих движение одновременно из двух точек с разными скоростями и движущихся навстречу друг другу либо в случае, когда один объект догоняет другой.

А С В v 1 v 2 Пусть расстояние между точками А и В равно S. Два тела начинают движение одновременно, но имеют разные скорости v1 и v2. Пусть С – точка встречи, а t – время движения тел до встречи. В случае движения навстречу друг другу имеем АС=v1t, BC=v2t. Сложим эти два равенства:

АС +СВ =v1t+v2t=(v1+v2)t  AB=S=(v1+v2)t  .

Если одно тело догоняет другое, то теперь получаем АС=v1t, BC=v2t. Вычтем эти равенства:

А С В v 1 v 2 АС–ВС=(v1–v2)t.

Так как АС–ВС=AB=S, то время, через которое первое тело догонит второе, определяется равенством

Задача 1. Пароход прошел 4 км против течения реки, а затем прошел еще 33 км по течению, затратив на весь путь один час. Найдите собственную скорость парохода, если скорость течения реки равна 6,5 км/ч.

Решение:

Пусть х км/ч – собственная скорость парохода.

Тогда (х+6,5) км/ч – скорость парохода по течению.

(х–6,5) км/ч – скорость парохода против течения.

Так как против течения пароход прошел 4 км со скоростью (х–6,5) км/ч, то

ч. – время движения парохода против течения.

Так как по течению пароход прошел 33 км со скоростью (х+6,5) км/ч, то

ч. – время движения парохода по течению.

По условию

решим полученное уравнение

Откуда получаем квадратное уравнение

х2–37х+146,25=0  х1=4,5 км/ч и х2=32,5 км/ч.

Осуществим отбор полученных решений.

Через х мы обозначили собственную скорость парохода, при этом скорость течения реки 6,5 км/ч, поэтому х1=4,5 км/ч не подходит по смыслу задачи (при такой скорости пароход не выплыл бы против течения).

Поэтому, собственная скорость парохода равна 32,5 км/ч.

Ответ: v=32,5 км/ч.

Задача 2. Расстояние между городами А и В равно 60 км. Два поезда выходят одновременно: один из А в В, другой из В в А. Пройдя 20 км, поезд, идущий из А в В, останавливается на полчаса, затем, пройдя 4 минуты, встречает поезд, идущий из В. Оба поезда прибывают к месту назначения одновременно. Найдите скорости поездов.

Решение:

4 мин.

A B C D v 1 v 2 60 км Отобразим все условия задачи на рисунке.

Заметим, что если время в условии задачи выражено как в часах, так и в минутах, то минуты надо перевести в часы. В нашем случае 4 мин=4/10 часа=1/15 часа.

Так как в задаче надо определить две величины, введем две переменные и составим два уравнения.

Пусть х км/ч – скорость поезда, вышедшего из пункта А;

у км/ч – скорость поезда, вышедшего из пункта В.

Так как в задаче известно расстояние, выразим время через скорость и расстояние.

– время, за которое поезд из А прошел 20 км.

– время, затраченное поездом из А до встречи в пункте D.

– расстояние, которое прошел поезд из А за 4 минуты после остановки.

Тогда поезд из А до встречи в пункте D прошел км.

км – расстояние, пройденное поездом из В до встречи.

– время, пройденное поездом из В до встречи в пункте D.

Так как по условию в пункте D поезда встретились, они затратили на путь до встречи одинаковое время, поэтому получаем первое уравнение

С другой стороны, выразим время движения поездов после встречи в пункте D.

Так как , то – время движения поезда из В после встречи.

Так как , то – время движения поезда из А после встречи.

По условию .

Таким образом, мы составили систему двух уравнений с двумя переменными.

Решим систему, для чего из первого уравнения выразим у и подставим это выражение вместо у во второе уравнение.

.

Решим полученное уравнение

;

;

х1=60; х2=–600.

Так как х – скорость, то х2 не подходит по смыслу задачи. Подставим полученное значение х в выражение для у

.

Ответ: vA=60 км/ч, vB=40 км/ч.

Задачи на совместную работу

Содержание задач этого типа сводится обычно к следующему: некоторую работу, объем которой не указывается и не является искомым, выполняют несколько человек или механизмов, работающих равномерно, то есть с постоянной для каждого из них производительностью. В таких задачах объем всей работы, которая должна быть выполнена, принимается за 1; время t, требующееся для выполнения всей работы, и р – производительность труда, то есть объем работы, сделанной за единицу времени, связаны соотношением

Рассмотрим стандартную схему решения задач этого типа.

Пусть х – время выполнения некоторой работы первым рабочим,

у – время выполнения этой же работы вторым рабочим.

Тогда

–

– совместная производительность труда.

– время, за которое они выполнят задание, работая вместе.

Задача 1. Двое рабочих выполняют некоторую работу. После 45 минут совместной работы первый рабочий был переведен на другую работу, и второй рабочий закончил оставшуюся часть работы за 2 часа 15 минут. За какое время мог бы выполнить работу каждый рабочий в отдельности, если известно, что второму для этого понадобится на 1 час больше, чем первому.

Решение:

Пусть х – время работы первого по выполнению всей работы.

у – время работы второго рабочего.

По условию х=у–1, и первое уравнение составлено.

Пусть объем всей работы равен 1.

Тогда – производительность труда первого рабочего,

– производительность труда второго рабочего.

Так как они работали 45 мин.=3/4 часа совместно, то

– объем работы, выполненной рабочими за 45 минут.

Так как второй рабочий работал один 2 часа 15 минут=2¼=9/4 часа, то

– объем работы, выполненной вторым рабочим за 2 часа 15 минут.

По условию .

Таким образом, мы получили систему двух уравнений

Решим ее, для этого выражение для х из первого уравнения подставим во второе

 4у2–19у+12=0

ч. и у2=4 ч.

Из двух значений для у выберем то, которое подходит по смыслу задачи у1=45 мин., но 45 мин. рабочие работали вместе, а потом второй рабочий работал еще отдельно, поэтому не подходит по смыслу задачи. Для полученного у2=4 ч. найдем из первого уравнения первоначальной системы значение х

х=4–1  х=3 ч.

Ответ: первый рабочий выполнит работу за 3 часа, второй – за 4 часа.

Замечание: эту задачу можно было решить, не вводя вторую переменную у, а выразить время работы второго рабочего через х, тогда нужно было составить одно уравнение и решить его.

Задача 2. Две бригады рабочих начали работу в 8 часов. Сделав вместе 72 детали, они стали работать раздельно. В 15 часов выяснилось, что за время раздельной работы первая бригада сделала на 8 деталей больше, чем вторая. На другой день первая бригада делала за 1 час на одну деталь больше, а вторая бригада за 1 час на одну деталь меньше. Работу бригады начали вместе в 8 часов и, сделав 72 детали, снова стали работать раздельно. Теперь за время раздельной работы первая бригада сделала на 8 деталей больше, чем вторая, уже к 13 часам. Сколько деталей в час делала каждая бригада?

Решение:

Пусть х деталей в час изготовляет первая бригада (производительность первой бригады).

у – производительность второй бригады.

х+у – совместная производительность бригад.

Так как вместе они сделали 72 детали, то

– время совместной работы бригад.

Так как бригады работали с 8 до 15 часов, всего 7 часов, то

– время работы бригад раздельно, тогда

– число деталей, которое изготовила первая бригада, работая отдельно

– число деталей, которое изготовила вторая бригада, работая отдельно

По условию или

Составим второе уравнение. По условию:

х+1 – производительность труда первой бригады на другой день.

у–1 – производительность труда второй бригады на другой день.

х+1+у–1=х+у – совместная производительность (такая же, как и в первый день).

Так как бригады работали с 8 до 13 часов – всего 5 часов, то

– число деталей, которые изготовила первая бригада, работая отдельно, во второй день.

– число деталей, которые изготовила вторая бригада, работая отдельно, во второй день.

По условию или .

Таким образом, мы составили систему двух уравнений:

Решим эту систему методом замены переменных:

Пусть ...................()

Тогда имеем:

Выразим из первого уравнения и подставим во второе уравнение

v2+2v–8=0  v1=2, v2=–4.

Значение v2=–4 не подходит по смыслу задачи (из условия ясно, что производительность первой бригады выше, чем второй, а значит х–у=v>0). Найдем значение u, соответствующее v2=2, подставив значение v2 в выражение для u:

Так как нам нужно найти значения х и у, подставим полученные значения для u и v в ()

   

Ответ: 13 деталей в час изготавливала первая бригада; 11 деталей в час изготавливала вторая бригада.

Задачи на смеси и сплавы

В задачах этого типа основным является понятие «концентрация». Что же это такое?

Рассмотрим, например, раствор кислоты в воде. Пусть в сосуде содержится 10 литров раствора, который состоит из 3 литров кислоты и 7 литров воды. Тогда относительное (по отношению ко всему объему) содержание кислоты в растворе равно . Это число и определяет концентрацию кислоты в растворе. Иногда говорят о процентном содержании кислоты в растворе. В приведенном примере процентное содержание будет таково: . Как видно, переход от концентрации к процентному содержанию и наоборот весьма прост.

Итак, пусть смесь массы М содержит некоторое вещество массой m. Тогда:

концентрацией данного вещества в смеси (сплаве) называется величина ;

процентным содержанием данного вещества называется величина с100%;

Из последней формулы следует, что при известных величинах концентрации вещества и общей массы смеси (сплава) масса данного вещества определяется по формуле m=cM.

Задачи на смеси (сплавы) можно разделить на два вида:

Задаются, например, две смеси (сплава) с массами m1 и m2 и с концентрациями в них некоторого вещества, равными соответственно с1 и с2. Смеси (сплавы) сливают (сплавляют). Требуется определить массу этого вещества в новой смеси (сплаве) и его новую концентрацию. Ясно, что в новой смеси (сплаве) масса данного вещества равна c1m1+c2m2, а концентрация .

Задается некоторый объем смеси (сплава) и от этого объема начинают отливать (убирать) определенное количество смеси (сплава), а затем доливать (добавлять) такое же или другое количество смеси (сплава) с такой же концентрацией данного вещества или с другой концентрацией. Эта операция проводится несколько раз.

При решении таких задач необходимо установить контроль за количеством данного вещества и его концентрацией при каждом отливе, а также при каждом доливе смеси. В результате такого контроля получаем разрешающее уравнение. Рассмотрим конкретные задачи.

Задача 1. Имеется кусок сплава меди с оловом общей массой 12 кг, содержащий 45% меди. Сколько чистого олова надо добавить к этому куску сплава, чтобы получившийся новый сплав содержал 40% меди?

Решение:

Пусть х кг олова надо добавить к сплаву. Так как процентное содержание меди в сплаве равно 45 %, то масса меди в первоначальном сплаве m=0,4512=5,4 кг (где 0,45 – концентрация меди в сплаве).

Тогда 12+х – масса нового сплава

И так как масса меди в первоначальном сплаве равна 5,4 кг, то

– концентрация меди в новом сплаве.

По условию , решая уравнение, получаем х=1,5 кг.

Ответ: нужно добавить 1,5 кг чистого олова.

Задача 2. Имеются два раствора кислоты разной концентрации. Объем одного раствора 4 л, другого – 6 л. Если их слить вместе, то получится 35 % раствор кислоты. Если же слить равные объемы этих растворов, то получится 36 % раствор кислоты. Сколько литров кислоты содержится в каждом из первоначальных растворов?

Решение:

Пусть х л кислоты содержится в первом растворе,

у л кислоты содержится во втором растворе.

Тогда – концентрация кислоты в первом растворе,

– концентрации кислоты во втором растворе.

Если слить два раствора, то получим раствор массой 4л+6л=10л, причем масса кислоты в нем будет х+у, тогда

– концентрация кислоты, после сливания обоих растворов.  

Ответ: в первом растворе содержится 1,64 л кислоты, во втором – 1,86 л.

Задачи на проценты

Решение задач этого типа тесно связано с тремя алгоритмами: нахождения части от целого, восстановление целого по его известной части, нахождение процентного прироста. Рассмотрим эти алгоритмы.

Пусть известна некоторая величина А, надо найти а % этой величины.

имеем .

Пусть известно, что некоторое число b составляет а % от неизвестной величины А. Требуется найти А.

Рассуждая аналогично, из пропорции получаем .

Пусть некоторая переменная величина А, зависящая от времени t, в начальный момент t0 имеет значение А0, а в момент t1 – значение А1.

Тогда абсолютный прирост величины А за время t1–t0 будет равен А1–А0; относительный прирост этой величины вычисляется по формуле , а процентный прирост по формуле .

Задача 1. Для офиса решили купить 4 телефона и 3 факса на сумму 1470 долларов. Удалось снизить цену на телефон на 20%, и в результате за эту же покупку уплатили 1326 долларов. Найти цену факса.

Решение:

Пусть х – стоимость факса,

у – стоимость телефона.

По условию 4у+3х=1470.

Так как цену на телефон снизили на 20%, то телефон стал стоить 80% от первоначальной цены, то есть

0,8у – стоимость телефона после снижения.

По условию 3х+40,8у=1326.

Решим полученную систему двух уравнений методом алгебраического сложения.

Так как нам нужно найти только х, исключим у из системы, для чего первое уравнение умножим на (–0,8) и сложим со вторым: 0,6х=150  х=250.

Ответ: факс стоит 250 долларов.

Задачи для самостоятельного решения

Уважаемые ребята, ниже приводятся задания для самостоятельного решения, которые следует выполнить, оформить отдельно от заданий по другим предметам и выслать в адрес Хабаровской краевой заочной физико-математической школы.

Наш адрес: 680000, г. Хабаровск, ул. Дзержинского, 48, ХКЦТТ (ХКЗФМШ).

М9.9.1. Расстояние 450 км один из поездов проходит на 1,5 ч. быстрее другого. Найдите скорость каждого из поездов, если известно, что первый проходит 240 км за то же время, что второй проходит 200 км.

М9.9.2. Расстояние между городами А и В равно 50 км. Из города А в город В выехал велосипедист, а через 1 ч. 30 мин. вслед за ним выехал мотоциклист. Обогнав велосипедиста, он прибыл в город В на 1 ч. раньше него. Найдите скорость мотоциклиста, если известно, что она в 2,5 раза больше скорости велосипедиста.

М9.9.3. В реку впадает приток. Катер отходит от пункта А, находящегося на притоке, идет по течению 80 км до впадения притока в реку в пункте В, а затем идет вверх по реке до пункта С. На путь от А до С он затратил 18 ч., на обратный – от А до С – 15 ч. Найдите расстояние от пункта А до С, если известно, что скорость течения реки 3 км/ч, а собственная скорость катера 18 км/ч.

М9.9.4. Бассейн может наполниться водой из двух кранов. Если первый кран открыть на 10 мин., а второй – на 20 мин., то бассейн будет наполнен. Если первый кран открыть на 5 мин., а второй – на 15 мин., то заполнится 3/5 бассейна. За какое время из каждого крана в отдельности может заполниться весь бассейн?

М9.9.5. Двум рабочим была поручена работа. Второй приступил к работе на час позже первого. Через 3 ч. после того, как первый приступил к работе, им осталось выполнить 9/20 всей работы. По окончанию работы оказалось, что каждый выполнил половину всей работы. За сколько часов каждый, работая отдельно, может выполнить свою работу?

М9.9.6. Двое рабочих вытачивают вместе 136 деталей за 8 часов. Если бы первый делал на две детали в час меньше, а второй на 1 деталь больше, то на изготовление одной детали второй рабочий затратил бы на 4 минуты меньше, чем первый. Сколько деталей в час изготавливается первый рабочий?

М9.9.7. В сосуде было 12 л соляной кислоты. Часть кислоты отлили и сосуд долили водой. Затем снова отлили столько же и опять залили водой. Сколько жидкости отливали каждый раз, если в сосуде оказался 25% раствор кислоты?

М9.9.8. Имеется сталь двух сортов с содержанием никеля 5% и 40%. Сколько стали того и другого сорта надо взять, чтобы после переплавки получить 140 тонн стал и с содержанием никеля 30%?

М9.9.9. Из 22 кг свежих грибов получается 2,5 кг сухих грибов. Содержащих 12% воды. Какой процент воды в свежих грибах?

М9.9.10. Два завода по плану должны были выпустить за месяц 360 станков. Первый завод выполнил план на 112%, а второй – на 110%, вместе заводы выполнили за месяц 400 станков. Сколько станков сверх плана выпустил каждый завод в отдельности?

ГЛАВА 8

АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ И АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ

793. Машинистка рассчитала, что если она будет печатать ежедневно на 2 листа больше установленной для нее нормы, то окончит работу ранее намеченного срока на 3 дня; если же будет печатать по 4 листа сверх нормы, то окончит работу на 5 дней ранее срока. Сколько листов она должна перепечатать и в какой срок? .Решение

794. Рабочий изготовил в назначенный ему срок некоторое число одинаковых деталей. Если бы он ежедневно изготовлял их на 10 штук больше, то выполнил бы эту работу на 4 1 / 2 дня раньше срока, а если бы он делал в день на 5 деталей меньше, то опоздал бы на 3 дня против назначенного срока. Сколько деталей и в какой срок он выполнил? .Решение

795. Машинистка должна была выполнить работу в определенный срок, ежедневно печатая определенное количество листов. Она рассчитала, что если будет печатать ежедневно на 2 листа больше установленной нормы, то окончит работу раньше намеченного срока на 2 дня, если же будет печатать на 60% больше нормы, то закончив работу на 4 дня раньше срока, напечатает на 8 листов больше намеченной работы. Сколько листов она должна печатать в день и в какой срок окончить работу? .Решение

796. Двое рабочих, работая вместе, выполняют некоторую работу за 8 час. Первый из них, работая отдельно, может выполнить всю работу на 12 час. скорее, чем второй рабочий, если этот последний будет работать отдельно. Во сколько часов каждый из них, работая отдельно, может выполнить работу?.Решение

797. Бассейн наполняется двумя трубами за 6 час. Одна первая труба заполняет его на 5 час. скорее, чем одна вторая. Во сколько времени каждая труба, действуя отдельно, может наполнить бассейн?.Решение

798. Двум рабочим было поручено изготовить партию одинаковых деталей. После того как первый проработал 7 час, а второй 4 часа, оказалось, что они выполнили 5 / 9 всей работы. Проработав совместно еще 4 часа, они установили, что им остается выполнить 1 / 18 всей работы. Во сколько часов каждый из них, работая отдельно, мог бы выполнить всю работу?.Решение

799. Пароход грузится подъемными кранами. Сначала начали грузить 4 крана одинаковой мощности. После того как они проработали 2 часа, к ним присоединили еще 2 крана меньшей мощности, и после этого погрузка была окончена через 3 часа. Если бы все краны начали работать одновременно, то погрузка была бы окончена в 4,5 часа. Определить, во сколько часов мог бы окончить погрузку один кран большей и один кран меньшей мощности. .Решение

800. Для строительства требовалось в течение 8 час. перевезти со станции строительный материал. Для перевозки было направлено сначала 30 трехтонных машин.После двухчасовой работы этих машин было послано в помощь им еще 9 пятитонных машин, совместно с которыми перевозка и была закончена в срок. Если бы сначала были направлены пятитонные машины, а спустя 2 часа- трехтонные, то за указанный срок было бы вывезено только 13 / 15 всего груза. Определить, во сколько часов могла бы перевезти весь этот груз одна трехтонная машина, одна пятитонная и в какой срок перевезли бы весь груз 30 пятитонных машин..Решение

801. Двум машинисткам было поручено выполнить некоторую работу. Вторая из них приступила к работе на 1 час позднее первой. Через 3 часа после того, как первая начала работу, им оставалось выполнить еще 9 / 20 всей работы. По окончании работы оказалось, что каждая машинистка выполнила половину всей работы. Во сколько часов каждая из них в отдельности могла бы выполнить всю работу?.Решение

802. Со станции А и В вышли два поезда навстречу друг другу, причем второй из них вышел на полчаса позже первого. Через 2 часа после выхода первого поезда расстояние между поездами составляло 19 / 30 всего пути между А и В. Продолжая движение, они встретились на середине пути между А и В. Сколько времени потребуется каждому поезду, чтобы пройти весь путь между конечными станциями? Решение

803. Для промывания фотографических негативов служит ванна, имеющая форму прямоугольного параллелепипеда, размерами 20 см х 90 см х 25 см. Для постоянного смешения воды в ванне в нее поступает вода через один кран и одновременно вытекает через другой. Для того чтобы опорожнить посредством второго крана полную ванну, требуется на 5 мин. меньше времени, чем для того, чтобы наполнить ее первым краном, если закрыть второй. Если же открыть оба крана, то полная ванна опорожнится за 1 час. Найти количество воды, пропускаемое каждым краном в 1 мин. .Решение

804. При постройке здания требовалось вынуть 8000 м 3 земли в определенный срок. Работа была закончена раньше срока на 8 дней вследствие того, что бригада землекопов ежедневно перевыполняла план на 50 м 3 . Определить, в какой срок должна быть окончена работа, и найти ежедневный процент перевыполнения. Решение

805. Ремонт пути производили две бригады. Каждая из них отремонтировала по 10 км, несмотря на то, что вторая бригада работала на один день меньше первой. Сколько километров пути ремонтировала каждая бригада в день, если обе вместе ремонтировали в день 4,5 км? .Решение

806. Двое рабочих выполнили вместе некоторую работу за 12 час. Если бы сначала первый сделал половину этой работы, а затем другой остальную часть, то вся работа была бы выполнена за 25 час. За какое время мог выполнить эту работу каждый в отдельности?.Решение

807. Два трактора различной мощности, работая совместно, вспахали поле за t дней. Если бы сначала работал только один трактор и вспахал бы половину поля, а затем один второй закончил бы работу, то при таких условиях поле было бы вспахано за k дней. За сколько дней каждый трактор, работая отдельно, может вспахать все поле? .Решение

808. Для углубления фарватера при входе в гавань работали 3 разных землечерпалки. Если бы действовала только первая из них, то на работу потребовалось бы на 10 дней больше времени; если бы работала только вторая, то работа затянулась бы на 20 лишних дней. При работе одной лишь третьей землечерпалки углубление фарватера заняло бы в шесть раз больше времени, чем при одновременном действии всех трех машин. Сколько времени потребуется для выполнения всей работы каждой землечерпалкой в отдельности?.Решение

809. Двое рабочих, из которых второй начинает работать 1 1 / 2 днями позже первого, могут выполнить работу за 7 дней. Если бы эту работу выполнял каждый отдельно, то первому потребовалось бы на 3 дня больше, чем второму. За сколько дней каждый из них отдельно выполнит эту работу? Решение

810. При совместной работе двух тракторов различной мощности колхозное поле было вспахано за 8 дней. Если бы половину поля вспахать сначала одним трактором, то при дальнейшей работе двух тракторов вся работа была бы закончена за 10 дней. За сколько дней можно было бы вспахать все поле каждым трактором отдельно? .Решение

811. Несколько человек взялись вырыть канаву и могли бы окончить работу за 6 час, если бы начали ее одновременно, но они приступили к работе один за другим через одинаковые промежутки времени. Через такой же промежуток времени после выхода на работу последнего участника канава была вырыта, причем каждый из участников оставался на работе до конца. Сколько времени они рыли канаву, если приступивший к работе первым проработал в 5 раз больше времени, чем приступивший последним? .Решение

812. Трое рабочих могут совместно выполнить некоторую работу за t час. Первый из них, работая один, может выполнить эту работу вдвое скорее третьего и на один час скорее второго. За сколько времени каждый из них, работая отдельно, может выполнить эту работу? .Решение

813. Бассейн наполняется водой из двух кранов. Сначала первый кран был открыт одну треть того времени, какое нужно было бы, чтобы наполнить бассейн, открыв только второй кран. Затем, наоборот, второй кран был открыт одну треть того времени, которое требуется для наполнения бассейна одним первым краном. После этого оказалось наполненным 13 / 18 бассейна. Вычислить, сколько времени нужно для наполнения бассейна каждым краном в отдельности, если оба крана, открытые вместе, наполняют бассейн за 3 часа 36 мин..Решение

814. При постройке электростанции бригада каменщиков должна была в определенный срок уложить 120 тысяч кирпичей. Бригада выполнила работу на 4 дня раньше срока. Определить, какова была норма ежедневной кладки кирпича и сколько укладывали кирпичей ежедневно в действительности, если известно, что бригада за 3 дня укладывала на 5000 кирпичей больше, чем полагалось укладывать за 4 дня по норме. .Решение

815. В трех сосудах налита вода. Если 1 / 3 воды из первого сосуда перелить во второй, затем 1 / 4 воды, оказавшейся во втором, перелить в третий и, наконец, 1 / 10 воды, оказавшейся в третьем, перелить в первый, то в каждом сосуде окажется по 9 л. Сколько воды было в каждом сосуде? Решение

816. Из бака, наполненного чистым спиртом, вылили часть спирта и долили тем же количеством воды; потом из бака вылили столько же литров смеси; тогда в баке осталось 49 л чистого спирта. Вместимость бака 64 л. Сколько спирта вылили в первый раз и сколько во второй раз? Задача составлена в предположении, что объем смеси равен сумме объемов спирта и воды. На самом деле он несколько меньше. Решение

817. Сосуд в 20 л наполнен спиртом. Из него выливают некоторое количество спирта в другой, равный ему, и, дополнив остальную часть второго сосуда водой, дополняют этой смесью первый сосуд. Затем из первого отливают 6 2 / 3 л во второй, после чего в обоих сосудах содержится одинаковое количество спирта. Сколько отлито первоначально спирта из первого сосуда во второй? .Решение

818. Сосуд емкостью 8 л наполнен воздухом, содержащим 16% кислорода. Из этого сосуда выпускают некоторое количество воздуха и впускают такое же количество азота, после чего опять выпускают такое же, как и в первый раз, количество смеси и опять дополняют таким же количеством азота. В новой смеси оказалось кислорода 9%. Определить, по скольку литров выпускалось каждый раз из сосуда. .Решение

819. Две колхозницы принесли на рынок вместе 100 яиц. Продав яйца по разной цене, обе выручили одинаковые суммы. Если бы первая продала столько яиц, сколько вторая, то она выручила бы 9 руб., если бы вторая продала столько яиц, сколько первая, то она выручила бы 4 руб. Сколько яиц было у каждой? .Решение

820. .Две колхозницы, имея вместе а л молока, получили при продаже его одинаковые суммы, продавая молоко по разной цене. Если бы первая продала столько, сколько вторая, то получила бы т руб., а если бы вторая продала столько, сколько первая, то получила бы п , руб. (т>п ). Сколько литров молока было у каждой колхозницы? Решение

821. При испытании на экономичность двух двигателей внутреннего сгорания одинаковой мощности было установлено, что один из них израсходовал 600 г бензина, а второй, работавший на 2 часа меньше, 384 г. Если бы первый двигатель расходовал в час столько бензина, сколько второй, а второй, наоборот, столько, сколько первый, то за то же время работы расход бензина в обоих двигателях был бы одинаковым. Сколько бензина в час расходует каждый двигатель? .Решение

822. Имеются два сплава золота и серебра; в одном количество этих металлов находится в отношении 2:3, в другом - в отношении 3: 7. Сколько нужно взять каждого сплава, чтобы получить 8 кг нового сплава, в котором золото и серебро были бы в отношении 5:11? .Решение

823. Одна бочка содержит смесь спирта с водой в отношении 2: 3, а другая - в отношении 3:7. По скольку ведер нужно взять из каждой бочки, чтобы составить 12 ведер смеси, в которой спирт и вода были бы в отношении 3:5? Решение

824. Некоторый сплав состоит из двух металлов, входящих в отношении 1:2, а другой содержит те же металлы в отношении 2:3. Из скольких частей обоих сплавов можно получить третий сплав, содержащий те же металлы в отношении 17: 27?

Задачи на работу с решениями

  1. Двое рабочих выполняют некоторую работу. После 45 мин совместной работы первый рабочий был переведен на другую работу, и второй рабочий закончил оставшуюся часть работы за 2 ч 15 мин. За какое время мог бы выполнить всю работу каждый рабочий в отдельности, если известно, что второму для этого понадобится на 1 ч больше, чем первому?
  2. Две бригады, работая одновременно, обрабатывают участок земли за 12 ч. За какое время этот участок могла бы обработать первая бригада отдельно, если скорости выполнения работы первой и второй бригадами относятся как 3: 2?
  3. Одна бригада может убрать поле за 12 дней, а другая выполняет ту же работу за 75% времени, необходимого первой бригаде. После того как в течение 5 дней работала первая бригада, к ней присоединилась вторая и они вместе закончили работу. Сколько дней бригады работали вместе?
  4. Два мастера, из которых второй начинает работать на 1,5 дня позже первого, могут выполнить задание за 7 дней. Если бы это задание выполнял каждый отдельно, то первому потребовалось бы на 3 дня больше, чем второму. За сколько дней каждый мастер в отдельности выполнил бы это задание?
  5. Бассейн может наполнится водой из двух кранов. Если первый кран открыть на 10 мин, а второй - на 20 мин, то бассейн будет наполнен. Если первый кран открыть на 5 мин, а второй - на 15 мин, то заполнится 3/5 бассейна. За какое время из каждого крана в отдельности может заполниться весь бассейн?
  6. Двум машинисткам было поручено выполнить некоторое задание. Вторая приступила к работе на 1 ч позже первой. Через 3 ч после того как первая начала работу, им осталось выполнить еще всего задания. По окончании работы оказалось, что каждая машинистка выполнила половину всего задания. За сколько часов каждая из них в отдельности могла бы выполнить все задание?
  7. Имеются два двигателя одинаковой мощности. Один из них, работая, израсходовал 600 г бензина, а второй, работавший на 2 ч меньше, израсходовал 384 г бензина. Если бы первый двигатель расходовал в час столько бензина, сколько второй, а второй, наоборот, столько, сколько первый, то за одно и то же время работы расход бензина в обоих двигателях был бы одинаковым. Сколько бензина в час расходует каждый двигатель?
  8. Двое выполняют работу. Сначала первый работал времени, за которое второй выполняет всю работу. Затем второй работал времени, за которое первый закончил бы оставшуюся часть работы. Они выполнили только все работы. Сколько времени требуется каждому для выполнения этой работы, если известно, что при совместной работе они сделают ее за 3 ч 36 мин?
  9. Две бригады, работая вместе, должны отремонтировать некоторый участок дороги за 18 дней. В действительности же получилось так, что сначала работала только первая бригада, а заканчивала ремонт участка одна вторая бригада, производительность которой выше, чем у пер-вой бригады. В результате ремонт участка продолжался 40 дней, при-чем первая бригада в свое рабочее время выполнила всей работы. За сколько дней был бы отремонтирован участок дороги каждой бригадой отдельно?
  10. Три каменщика (разной квалификации) выложили кирпичную стену, причем причем первый проработал 6 ч, второй - 4 ч, а третий - 7 ч. Если бы первый каменщик работал 4 ч, второй -2 ч, третий - 5 ч, то было бы выполнено лишь всей работы. За сколько часов каменщики закончили бы кладку, если бы они работали вместе одно и то же время?
  11. В котлован равномерно поступает вода. Десять одинаковых насосов, действуя одновременно, могут откачать воду из заполненного котлована за 12 ч, а 15 таких насосов - за 6 часов. За сколько времени могут откачать воду из заполненного котлована 25 таких насосов при совместной работе?
  12. В резервуар поступает вода из двух труб различных диаметров. В первый день обе трубы, работая одновременно, подали 14 м 3 воды. Во второй день работала лишь малая труба и подала также 14 м 3 воды, поскольку проработала на 5 ч дольше, чем в предыдущий день. В третий день обе трубы сначала подали 21 м 3 воды, а затем работала лишь большая труба, подавшая еще 20 м 3 воды, причем общая продолжительность времени подача воды была такой же, как и во второй день. Определить производительность каждой трубы.

Задачи для самостоятельного решения

  1. Бассейн наполняется двумя трубами за 6 ч. Одна первая труба заполняет его на 5 ч быстрее, чем одна вторая труба. За какое время каждая труба, действуя отдельно, наполнить бассейн? Ответ: 10 ч; 15 ч
  2. Школьник прочел книгу в 480 страниц. Ежедневно он прочиты-вал одинаковое количество страниц. Если бы ежедневно он читал на 16 страниц больше, то прочел бы книгу за 5 дней. Сколько дней школьник читал книгу? Ответ: 6 дней
  3. Для разгрузки парохода выделено две бригады. Если сложить промежутки времени, за которые могут самостоятельно разгрузить пароход первая и вторая бригады, то получится 12 ч. Определить эти промежутки, если их разность составляет 45% времени, за которое обе бригады могут разгрузить пароход совместно. Ответ: ч; ч
  4. Бригада монтеров могла бы окончить проводку в 16 ч, прокладывая в час по 8 м кабеля. После выполнения половины всего задания один рабочий выбыл из бригады. В связи с этим бригада стала прокладывать по 6 м кабеля в час и закончила запланированную на день работу в 18 ч. Сколько метров кабеля было проложено и за сколько часов? Ответ: 96 мин, за 14 ч
  5. К бассейну подключены две трубы. Через первую бассейн наполняется, а через вторую вода из бассейна вытекает. Спустя полчаса после одновременного начала работы труб первую из них также переключи-ли на спуск воды из бассейна. Через какое время после переключения первой трубы уровень воды в бассейне станет первоначальным, если производительность первой трубы вдвое больше производительности второй? Ответ: через 10 мин
  6. Некоторое число рабочих выполнили работу за несколько дней. Если число рабочих увеличится на 3, то работа будет сделана на 2 дня скорее, а если число рабочих увеличится на 12, то на 5 дней скорее. Определите число рабочих и время, необходимое для выполнения этой работы. Ответ: 12 рабочих, 10 дней
  7. Бассейн может наполняться водой с помощью двух насосов раз-ной производительности. Если половину бассейна наполнить, включив лишь первый насос, а затем, выключив его, продолжить наполнение с помощью второго насоса, то весь бассейн наполнится за 2 ч 30 мин. При одновременной работе обоих насосов бассейн наполнится за 1 ч 12 мин. Какую часть бассейна наполняет за 20 мин работы насос меньшей производительности? Ответ: 1/9
  8. Пять человек выполняют некоторое задание. Первые три из них, работая вместе, выполнят все задание за 7,5 ч; первый, третий и пятый - за 5 ч; первый, третий и четвертый - за 6 ч; второй, четвертый и пятый - за 4 ч. За какое время выполнят это задание все пять человек, работая вместе? Ответ: за 3 часа
  9. Двое рабочих выполнили вместе некоторую работу за 12 ч. Если бы сначала первый рабочий сделал половину этой работы, а затем другой - остальную часть, то вся работа была бы выполнена за 25 часов. За какое время мог бы выполнить эту работу каждый рабочий в отдельности? Ответ: 16 ч, 16/3 ч
  10. Мастера A и B работали одинаковое количество дней. Если бы A работал на один день меньше, а B - на 7 дней меньше, то A заработал бы 7200 р, а B - 6480 р. Если бы, наоборот, A работал на 7 дней меньше, а B - на один день меньше, то B заработал бы на 3240 р. больше A. Сколько заработал каждый мастер в действительности? Ответ: 7500 р.; 9000 р.
  11. Для заполнения резервуара были открыты две трубы, по которым подавали воду 20 мин, затем открыли третью трубу, и через 5 мин после этого резервуар был заполнен, а все трубы закрыты. Производительность второй трубы в 1,2 раза больше производительности первой. Через вторую и третью трубы, открытые одновременно, резервуар заполняется за 0,9 того времени, которое требуется для заполнения его через первую и третью трубы при их совместной работе. За какое время заполнится резервуар, если одновременно открыть все три трубы? Ответ: 16 мин
  12. Три автоматические линии выпускают одинаковую продукцию, но имеют разную производительность. Производительность всех трех одновременно действующих линий в 1,5 раза выше производительности первой и второй линий, работающих одновременно. Вторая и третья линии, работая одновременно, могут выполнить сменное задание первой линии на 4 ч 48 мин быстрее, чем его выполняет первая линия; это же задание вторая линия выполняет на 2 ч быстрее по сравнению с первой. Найти время выполнения первой линией своего сменного задания. Ответ: 8 ч

Внимание! Решения предоставлены обычными людьми, поэтому в решениях могут быть ошибки или неточности. Используя решения, не забудьте их перепроверить!

Решение

Двое рабочих сделали работу за 12 часов.Если бы сначала первый сделал половину этой работы,а затем второй-остальную её часть,то вся работа была бы выполнена за 25 часов.За какое время мог бы выполнить всю работу каждый рабочий в отдельности?

Решение

Двое рабочих выполнили вместе некоторую работу за 12 часов. Если бы сначалапервый рабочий сделал половину этой работы, а затем другой остальную часть, то вся работа была бы выполнена за 25 чпсов. За какое время мог выполнить эту работу каждый рабочий в отдельности?

Решение

двое рабочих выполнили работу за 6 часов. если бы сначала первый сделал половину этой работы, а затем второй- остальную часть, то вся работа была бы выполнена за 12,5 часов. за какое время мог бы выполнить всю работу каждый рабочий в отдельности?? помогите пожалуйста!! Заранее спасибо))))