8 класс Алгебра ИДЗ 3
Задание 2. Р ешите задачи
Вариант 1 .
Вариант 2 .
Вариант 3
Вариант 4
Вариант 5
Вариант 6
2.Две трубы, работая вместе, наполнили бассейн за 12 ч. Первая труба, работая в отдельности, наполняет бассейн на 18 ч быстрее, чем вторая. За сколько ч наполняет бассейн вторая труба?
Вариант 7
1. Теплоход прошел по течению реки 48 км и столько же обратно, затратив на весь путь 5 ч. Определите собственную скорость теплохода, если скорость течения реки 4 км/ч.
Вариант 8
Вариант 9
Вариант 10
Вариант 11
Вариант 12
Вариант 13
1. Путь от города до поселка автомобиль проезжает за 2,5 ч. Если он увеличит скорость на 20 км/ч, то за 2 ч проедет путь на 15 км/ч больший, чем расстояние от города до поселка. Найдите это расстояние.
2. Один рабочий затрачивает на изготовление болта на 6 мин меньше, чем второй. Сколько болтов может изготовить каждый из них за 7 ч, если первый изготавливает за это время на 8 болтов больше?
Вариант 14
1. Из Москвы в Санкт-Петербург выехал автобус. Спустя 1 ч за ним вышла легковая машина, скорость которой на 20 км/ч больше скорости автобуса. Машина обогнала автобус и через 5 ч после своего выхода находилась впереди него на 70 км. Найдите скорость автобуса.
2. Ученик тратит На обработку одной детали на 12 мин больше, чем мастер. Сколько деталей обработает каждый из них за 6 ч, если ученик обрабатывает на 5 деталей меньше, чем мастер?
Вариант 15
1. Товарный поезд был задержан в пути на18 мин, а затем на расстоянии в 60 км наверстал это время, увеличив скорость на 10 км/ч. Найти первоначальную скорость поезда.
2. Две бригады, работая совместно, закончили посадку деревьев за 4 дня. Сколько дней потребовалось бы на эту работе каждой бригаде, если одна из них может выполнить работу на 15 дней быстрее другой?
Вариант 16
1. Мотоциклист проехал 40 км от пункта А до пункта В. Возвращаясь обратно со скоростью на 10 км/ч меньше первоначальной, он затратил на 20 мин больше. Найти первоначальную скорость мотоциклиста.
2. Двое рабочих, работая вместе, могут выполнить оклейку комнаты обоями за 6 ч. За какое время каждый из них может оклеить эту комнату обоями, если один из них тратит на это на 5 ч меньше, чем другой?
Вариант 17
1. Теплоход прошел 4 км против течения реки и затем прошел еще 33 км по течению, затратив на весь путь 1 ч. Найдите скорость теплохода в стоячей воде, если скорость течения реки равна 6,5 км/ч.
2. Два экскаватора, работая совместно, могут вырыть котлован за 48 ч. За какое время каждый из них может вырыть котлован, работая в отдельности, если первому нужно на40 ч больше, чем второму?
Вариант 18
1. Моторная лодка прошла по течению 25 км и против течения 3 км, затратив на весь путь 2 ч. Какова скорость течения реки, если известно, что она не превосходит 5 км/ч, а скорость лодки в стоячей воде 12 км/ч.
2. Две трубы, работая вместе, наполнили бассейн за 12 ч. Первая труба, работая в отдельности, наполняет бассейн на 18 ч быстрее, чем вторая. За сколько ч наполняет бассейн вторая труба?
Вариант 19
1. Теплоход прошел по течению реки48 км и столько же обратно, затратив на весь путь 5 ч. Определите собственную скорость теплохода, если скорость течения реки 4 км/ч.
2. Два сборщика винограда, работая вместе, собрали виноград с участка за 12ч. Первый сборщик мог бы собрать виноград с этого участка на 10 ч быстрее, чем второй. За какое время каждый сборщик может выполнить эту работу?
Вариант 20
1. Катер, собственная скорость которого 20 кем/ч, прошел расстояние по реке, равное 60 км, и вернулся обратно. Определите скорость течения реки, если на весь путь катер потратил 6,25 ч.
2. Два компьютера, работая совместно, могут выполнить определенный объем работы за 3,75 ч. Работая отдельно, один из них выполнил бы эту работу на 4 ч быстрее другого. Сколько времени потребовалось бы каждому компьютеру для выполнения этой работы?
Вариант 21
1. Пешеход должен был пройти 12 км за определенный срок, но он был задержан с выходом на 1ч, поэтому ему пришлось увеличить скорость на 1 км/ч. С какой скоростью шел пешеход?
2. Аквариум наполняется водой, поступающей в него через две трубки, за3 ч. За сколько ч может наполнить аквариум первая трубка, если ей потребуется для этого на 2,5 меньше, чем второй?
Вариант 22
1. Велосипедист проехал с определенной скоростью путь 10 км от города до турбазы. Возвращаясь обратно, он снизил скорость на 5 км/ч. НА весь путь туда и обратно потрачено 1 ч 10 мин. Найти его скорость от турбазы до города.
2. Двое рабочих вместе могут убрать помещение за 2 ч. Первому рабочему на эту работу потребовалось бы на 3 ч больше, чем второму. За какое время может убрать помещение первый рабочий?
Вариант 23
1. Расстояние между городами 200 км. Мотоциклист проходит это расстояние на 5 ч быстрее велосипедиста. Найти их скорости, если скорость велосипедиста на 20 км/ч меньше скорости мотоциклиста.
2. Два крана, работая вместе, разгрузили баржу за 6 ч. За какое время могут разгрузить баржу, работая отдельно, каждый кран, если одному из них нужно на 9 ч меньше, чем другому?
Вариант 24
1. Яхта прошла по течению реки 9 км и такой же путь против течения. Путь по течению занял на 2 ч меньше, чем путь против течения. Найти скорость яхты в стоячей воде, если скорость течения реки 3 км/ч.
2. Два грузовика, работая вместе, могут перевезти зерно за 4 ч. За какое время перевезет то же количество зерна каждый грузовик в отдельности, если первому нужно для этого на 6 ч больше, чем второму?
В настоящее время на экзаменах предлагаются задачи, решение которых
требует составление уравнения (или неравенства), а также их систем на основании
условия задачи.
Умение решать ту или иную задачу зависит от многих факторов.
Прежде всего необходимо научиться различать основные типы задач и уметь решать
простейшие из них. В связи с этим я считаю нужным рассмотреть типовые задачи на
движение.
Задачи на движение.
1. Основными компонентами этого типа задач являются: а) пройденный путь (s); б) скорость (v); время (t). Зависимость между указанными величинами выражаются формулами:
s=vt; v=s/t; t=s/v (1)
2. План решения обычно сводится к следующему:
а) Выбираем одну из величин, которая по условию задачи является неизвестной, и обозначаем ее через x, y или z и т. д.
б) Устанавливаем, какая из величин является по условию задачи известной.
в) Третью (из оставшихся) величину выражаем через неизвестную (x) и известную с помощью одной из формул (1).
г) Составляем уравнение на основании условия задачи, в котором указано, как именно изменилась (уменьшилась, увеличилась и т.д.) третья величина.
- Надо иметь в виду, что если два каких-либо тела начинают движение одновременно, то в случае, если они встречаются, каждое с момента выхода и до встречи затрачивает одинаковое время. Аналогично и в случае, если одно тело догоняет другое.
- Если же тела выходят в разное время, то до момента встречи из них затрачивает времени больше то, которое выходит раньше.
- В задачах на движение по реке надо помнить следующие формулы:
Vпо теч.=Vсоб.+Vтеч.
Vпр.теч.=Vсоб.-Vтеч.
Vсоб.= (Vпо теч.+Vпр.теч.)/2
Вот примерное решение некоторых задач.
Движение из одного пункта в другой в одном направлении.
Задача 1.
Первый турист, проехав 1,5 ч. на велосипеде со скоростью 16 км/ч, делает остановку на 1,5 ч, а затем продолжает путь с первоначальной скоростью. Четыре часа спустя после отправки в дорогу первого туриста вдогонку ему выезжает на мотоцикле второй турист со скоростью 56км/ч. Какое расстояние они проедут, прежде чем второй турист догонит первого?
Решение.
1. Из условия ясно, что первый турист вышел в путь на 4 ч. раньше второго. В точке В (рис.1) он сделал остановку на 1,5 ч. Второй турист догнал первого в точке D. Чтобы проехать это расстояние AD, первый турист затратил больше времени, чем второй, на 2,5 ч. (4–1,5= =2,5 ч.)
Рис.1
2. Пусть x-расстояние (в км.) от точки A до точки D. Тогда t 1 =x/16 ч-время, за которое первый турист проезжает расстояние AD; t 2 =x/56 ч.– время, за которое второй турист проезжает расстояние AD.
T 1 – t 2 = 2,5 ч.
Составим и решим уравнение:
x /16 – x /56 = 2,5, x = 56 км.
Ответ. 56 км.
Движение из одного пункта в другой с остановкой в пути.
Задача 2.
Товарный поезд был задержан в пути на 12 мин., а затем на расстоянии 60 км. Наверстал потерянное время, увеличив скорость на 15 км/ч. Найти первоначальную скорость поезда.
Решение.
1. Из условия задачи следует, что если бы поезд после остановки в пункте B продолжал двигаться с прежней скоростью, то затратил бы на 12 мин. (12 мин=1/5ч) больше, чем предусмотрено расписанием.
Рис.2
2. Пусть х – первоначальная скорость поезда (в км/ч). Тогда t 1 =60/x, t 2 = 60/(х+15), t 1 – t 2 =1/5
3. Составим и решим уравнение: 60/х – 60/(х+15) =1/5, х 1 = 60, х 2 = –75 – не удовлетворяет условию задачи, так как скорость – величина неотрицательная.
Ответ. 60 км/ч.
Движение из разных пунктов навстречу друг другу.
Задача 3.
В один и тот же час навстречу друг другу должны были выйти A из поселка M и B из поселка K. Но A задержался и вышел позже на 6 ч. При встрече выяснилось, что A прошел на 12 км. Меньше, чем B. Отдохнув, они одновременно покинули место встречи и продолжили путь с прежней скоростью. В результате A пришел в K через 8 ч., а B пришел в M через 9 ч. После встречи. Определить расстояние MK и скорости пешеходов.
Решение.
1. Пусть v А =x (км/ч.), S КД =8x (км); v В =y(км/ч), S МД =9y(км). Тогда t = 9y/x ч– время, которое затратит A на путь из M в D; t В =8х/у ч – время, которое затратит В на пути из К в D (см. рис)
Рис.3
2. Из условия задачи следует, что 8x – y =12. Так как пешеход B вышел раньше, чем A, на 6 часов, то на основании этого составим второе уравнение: 8x/y – 9y/x = 6
Составим систему уравнений и решим ее:
Расстояние МК = 8*6 + 9*4 = 84 км.
Ответ. 84 км; 6 км/ч; 4 км/ч.
Основные компоненты движения заданы в общем виде.
(Задачи с параметрами.)
Задача 4.
Поезд был задержан на t часов. Увеличив скорость на a км/ч, машинист на перегоне в s км ликвидировал опоздание. Определить, какую скорость должен был иметь поезд на этом перегоне, если бы не было задержки.
Полагая, что скорость поезда по расписанию x км/ч, имеем:
2. Теперь следует выяснить, оба ли корня уравнения удовлетворяют условию задачи:
Движение по водному пути.
Задача 5.
В 9ч самоходная баржа вышла из А вверх по реке и прибыла в пункт В; 2ч спустя после прибытия в В эта баржа отправилась в обратный путь и прибыла в А в 19ч 20мин того же дня. Предполагая, что средняя скорость течения реки 3 км/ч и собственная скорость баржи все время постоянна, определить, в каком часу баржа прибыла в пункт В. Расстояние между А и В равно 60 км.
Решение.
1. Для решения этого типа задач следует использовать указание 5 (см. выше)
2. Обозначим собственную скорость баржи через x км/ч. Тогда время, затраченное на движение по течению реки, составляет 60/(x+3) часов, а против течения реки
60/(x-3) часов.
Всего было затрачено времени (в ч)
х 1 =15, х 2 = –0,6 (не удовлетворяет условию).
3. Время, затраченное на движение против течения реки, 60/(15 – 3) = 60/12 = 5 ч. Следовательно, баржа прибыла в пункт В в 14 ч.
Ответ. В 14 часов.
Определение скорости при встречном прямолинейном движении тел.
Задача 6.
Пассажир поезда знает, что на данном участке пути скорость этого поезда 40 км/ч. Как только мимо окна начал проходить встречный поезд, пассажир пустил секундомер и заметил, что встречный поезд проходил мимо окна в течение 3 с. Определить скорость встречного поезда, если известно, что его длина 75 м.
Решение.
1. Пусть скорость встречного поезда х м/с. Скорость поезда, в котором ехал пассажир, 40 км/ч =40000/3600 = 100/9 м/с.
2. Встречный поезд за 3 с прошел 3 х м, а поезд с пассажиром – (3*100)/9 = 33
3. Всего оба поезда прошли по условию 75 м, следовательно,
Ответ. 50 км/ч.
Составление неравенств.
Задача 7.
Велосипедист отправляется из А в В. Расстояние от А до В равно 60 км; скорость велосипедиста постоянна. Не задерживаясь в В, он едет обратно с той же скоростью, но через час после выезда из В делает остановку на 20 мин. После этого он продолжает путь, увеличив скорость на 4 км/ч. В каких границах заключена скорость v велосипедиста, если известно, что на обратный путь от В до А он потратил времени не более, чем на путь от А до В?
Решение.
1. Пусть х (в км/ч) – первоначальная скорость велосипедиста.
Рис. 4
2. Особенность задачи в том, что для решения требуется составить неравенство.
Решая это неравенство, получим
(х 2 +16х – 720)/(х(х + 4)) ≤ 0, (х – 20)(х + 36)/х(х + 4) ≤ 0.
Следовательно, 0 Ответ.
0 Пройденный путь принимается за 1, а единственной данной величиной является
время.
Задача 8.
Два пешехода вышли одновременно друг другу и встретились через 3 ч 20 мин.
Сколько времени понадобиться каждому из них, чтобы пройти все расстояние, если
первый пришел в то место, из которого вышел второй, на 5 ч позже, чем второй
пришел в то место, откуда вышел первый? Решение.
1. Особенностью этой задачи является то, что в ней нет никаких данных о
пройденном расстоянии. В таких случаях удобно все расстояние принять за 1, тогда
скорость v 1 =1/х, v 2 =1/у (где х часов – время в пути
первого пешехода, а у часов – время второго пешехода). 2. Из условия задачи составим систему уравнений 3. Решая эту систему, получим у=5, х=10 Ответ
.10 ч; 5 ч. Скорость выражена косвенно через время.
Задача 9.
Два велосипедиста выехали одновременно из двух пунктов в третий, куда они
договорились прибыть одновременно. Первый прибыл на место встречи через 2 ч, а
второму, чтобы прибыть вовремя, надо было проезжать каждый километр на 1 мин
быстрее первого, так как его путь был длиннее на 6 км. Какова скорость каждого
велосипедиста? Решение.
1. Особенностью этой задачи является не прямое, а косвенное указание скорости
велосипедистов. 2. Пусть первый велосипедист проезжал каждый километр за х мин, то есть его
скорость была 60/х км/ч. Тогда скорость второго 60/(х-1) км/ч 3. Составим уравнение и решим его: 60/(х – 1)*2 – (60/х)*2 = 6; х 1 = 5, х 2 = –4
(посторонний корень) 4. Следовательно, v 1 =12 км/ч, v 2 = 15 км/ч Ответ.
12 км/ч; 15 км/ч. Вот основные типы задач на движение, их классификацию можно дать учащимся на
факультативе. Задачи на движение с решениями
Задачи для самостоятельного решения
I
вариант.
1.
1) 2) Ответ: _______ 2.
Найдите значение выражения (2 - 4) 2 ∙ 2 10 . Ответ: ______ 3.
Для приготовления фарша взяли говядину и свинину в отношении 7: 13. Какой процент в фарше составляет говядина? Ответ: ______ 4.
Решите уравнение х 2 – 7х = 0. Ответ: _________ 5.
1,8 м, высота большой опоры 2,8 м. Найдите высоту средней опоры. Ответ: _______ 6.
Упростите выражение: 1) 7.
Найдите ∟С, если ∟А = 62˚. Ответ: _______. 8.
Найдите значение выражения: 1) 1200 2) 12 3) 120 4) 36 9.
Укажите в ответе номера верных
утверждений. 1) Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную этой прямой. 2) Если две стороны и угол одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу другого треугольника, то такие треугольники равны. 3) Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе. 4) Если в ромбе один из углов равен 90˚, то такой ромб – квадрат. Ответ: _______________. 10. Найдите площадь треугольника, изображённого на рисунке.
11.
Мотоциклист проехал 40 км от дома до реки. Возвращаясь обратно со скоростью на 10 км/ч меньшей первоначальной, он затратил на этот путь на 20 минут больше. Найдите первоначальную скорость мотоциклиста. Если эту скорость обозначить за х км/ч, то задача может быть решена с помощью уравнения: 1) 3) I
вариант.
Часть II.
12. (2 балла)
Решите уравнение: 13. (2 балла)
у = 14. (3 балла)
На сторонах АС и АВ треугольника АВС отмечены соответственно точки В 1 и С 1 . Известно, что АВ 1 = 3 см, В 1 С = 17 см, АС 1 = 5 см, С 1 В = 7см. Докажите, что треугольники АВС и АВ 1 С 1 подобны. II
вариант. Часть II.
12. (2 балла)
Решите уравнение: 13. (2 балла)
Найдите область определения функции у = 14. (3 балла)
На сторонах АС и АВ треугольника АВС отмечены соответственно точки В 1 и С 1 . Известно, что АВ 1 = 4 см, В 1 С = 17 см, АС 1 = 7 см, С 1 В = 5см. Докажите, что треугольники АВС и АВ 1 С 1 подобны. III
вариант.
Часть II.
12.(2 балла)
Решите уравнение: 13. (2 балла)
Найдите область определения функции у = 14. (3 балла)
На сторонах АС и АВ треугольника АВС отмечены соответственно точки В 1 и С 1 . Известно, что АВ 1 = 12 см, В 1 С = 3 см, АС 1 = 10 см, С 1 В = 8 см. Докажите, что треугольники АВС и АВ 1 С 1 подобны. Итоговая контрольная работа по математике в 8 классе
II
вариант. Часть 1.
1.
Запишите в ответе номера верных равенств. 1) Ответ: ___________. 2.
Найдите значение выражения (7 4) -2 ∙ 7 10 . Ответ: __________ 3.
Ответ: ________ 4.
Решите уравнение х 2 – 16 = 0. Ответ: ________. 5.
Наклонная крыша установлена в трёх вертикальных опорах, расположенных на одной прямой. Средняя опора стоит посередине между малой и большой опорами (см. рис.). Высота малой опоры 1,7 м, высота средней опоры 2,1 м. Найдите высоту большей опоры. Ответ: ________. 6.
Упростите выражение: 1) 7.
Найдите ∟А, если ∟С = 32˚. Ответ: __________. 8.
Найдите значение выражения: 1) 280 2) 2800 3) 28 4) 700 9.
Укажите в ответе номера верных
утверждений. 1) Существуют три прямые, которые проходят через одну точку. 2) Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны. 3) Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе. 4) Если в прямоугольнике диагонали перпендикулярны, то такой прямоугольник – квадрат. Ответ: ________. 10.
Из квадрата вырезали прямоугольник (см. рисунок). Найдите площадь получившейся фигуры.
11.
Товарный поезд был задержан в пути на 18 минут, а затем на расстоянии в 60 км наверстал это время, увеличив скорость на 10 км/ч. Найдите первоначальную скорость поезда. Если принять первоначальную скорость поезда за х км/ч, то задача будет решаться с помощью уравнения: 1) 3) Итоговая контрольная работа по математике в 8 классе
III
вариант. Часть 1.
1.
Запишите в ответе номера верных равенств. 1) Ответ: ________. 2.
Найдите значение выражения 5 8 ∙ (5 -3) 2 . Ответ: _________. 3.
Для приготовления чайной смеси смешивают индийский и цейлонский чай в отношении 9: 11. Какой процент в этой смеси составляет цейлонский чай? Ответ: __________. 4.
Решите уравнение 5х 2 – 3х = 0. Ответ: ____________________. 5.
Наклонная крыша установлена в трёх вертикальных опорах, расположенных на одной прямой. Средняя опора стоит посередине между малой и большой опорами (см. рис.). Высота средней опоры 2,2 м, высота большей опоры 2,5 м. Найдите высоту меньшей опоры. Ответ: ________. 6.
Упростите выражение: 1) 7.
Найдите ∟С, если АВ = ВС. Ответ: _______. 8.
Найдите значение выражения: 1) 2000 2) 200 3) 20 4) 2 9.
Укажите в ответе номера верных
утверждений. 1) Если при пересечении двух прямых третьей прямой образовавшиеся внутренние односторонние углы равны, то такие две прямые параллельны. 2) Отношение площадей подобных треугольников равно коэффициенту подобия. 3) Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к противолежащему катету. 4) Если в параллелограмме две соседние стороны равны, то такой параллелограмм является ромбом. Ответ: _______. 10. Найдите площадь прямоугольного треугольника, если его катет и гипотенуза равны соответственно 36 и 39
.
11.
Плот проплывает по течению 60 км на 5 ч быстрее, чем такое же расстояние проходит моторная лодка против течения. Найдите скорость лодки по течению, если её скорость в стоячей воде 10 км/ч. Обозначив скорость течения за х км/ч, можно составить уравнение: 1) 3) Итоговая контрольная работа по математике в 8 классе
IV
вариант. Часть 1
1.
Запишите в ответе номера верных равенств. 1) 2.
Найдите значение выражения (5 4) -2 ∙ 5 11 . Ответ: __________. 3.
Для фруктового напитка смешивают яблочный и виноградный сок в отношении 13: 7. Какой процент в этом напитке составляет виноградный сок? Ответ: __________. 4.
Решите уравнение 5х 2 – 7х + 2 = 0. Ответ: __________. 5
. Лестницу длиной 3 м прислонили к дереву. На какой высоте (в метрах) находится верхний её конец, если нижний конец отстоит от ствола дерева на 1,8 м?
Ответ: __________. 6
.Упростить выражение: 1) ху 2) 1 3) –ху. Ответ: _____________. 7
. В треугольнике
ABC
AC
=
BC
. Внешний угол при вершине
B
равен
146
∘
. Найдите угол
C
. Ответ дайте в градусах.
Товарный поезд был
задержан в пути на 12 минут, а затем на
расстоянии 60 км наверстал потерянное
время, увеличив скорость на 15 км/час.
Найти первоначальную скорость поезда. Решение
:
Пусть первоначальная
скорость поезда x
км/ч
.
На путь в 60 км
потребовалось
бы 60/
x
ч
времени. Из-за задержки в пути скорость
поезда увеличена на 15 км/ч
,
т.е. в действительности поезд шёл со
скоростью (x
+15) км/ч
и на путь в 60 км
потратил
ч
времени, что позволило наверстать
потерянное в пути время в 12 мин
.
Решим уравнение:
Отрицательное значение
x
не подходит по условию задачи. Ответ
:
60 км/ч
В прямоугольной трапеции
основания равны 6
и 4
. Диагональ
равна 5.
Найти
периметр и площадь трапеции. Решение
:
Так
как по условию задачи ВС
= 4
; А
D
= 6
, то диагональ АС
= 5
. Из ΔАВС
имеем АВ
2
= АС
2
-ВС
2
= 25-16 = 9
. Итак, высота трапеции АВ = 3; Периметр:
Ответ
:
Найдите диаметр окружности,
если его концы удалены от некоторой
прямой, касающейся данной окружности,
на 20
и 14
. Решение
: Пусть
прямая l
касается окружности в точке P
и АВ
– диаметр,
AD
= 20
; ВС
=
14
.
Рассмотрим ADCB
;
( По теореме Фалеса DP
=
PC
.
Итак, OP
– средняя линия трапеции ABCD
.
Ответ
:
34
. I
вариант
(9 класс, 2004г.)
Решение
:
Из точки А проведём АРСВ.
∆САР=∆НМС по острому углу и гипотенузе
( Пусть
в равнобедренном треугольнике АВС
биссектрисы равных углов А и С пересекают
противоположные стороны соответственно
в точках E
и F.
Доказать, что AFEC
есть трапеция с тремя равными сторонами. Решение
:
В треугольнике АВС АЕ и CF
– биссектрисы =>
FAE=EAC=FCE=FCA. Решение
: Т.к.
имеются два различных корня, то
,
;
или
Т.к.
Уравнение
Ответ:
;
Решение
:
;
Ответ
:
В
двух баках содержалось 140л воды. Когда
из первого бака взяли 26л воды, а из
второго – 60л, то в первом баке осталось
в два раза больше воды, чем во втором.
Сколько литров воды было в каждом баке
первоначально? Решение
:
Пусть x
л воды было в первом баке. Тогда (140-x)
л воды было во втором баке. (x-26)
л воды стало в первом баке (140-x-60)
л стало во втором баке. 160-2x=x-26;
3x=186;
x=62. Ответ
:
в первом баке – 62л, во втором – 78л I
I
вариант
(9 класс, 2004г.)
Решение
:
АЕ = АС
=>
АСЕ = АЕС = 180 ○ – А;
СВ = ВD
=>
DCB = CDB = DCF
= 180 ○ – (CDB + CED)
=
Доказать,
что биссектрисы углов, прилежащих к
одной из непараллельных сторон трапеции,
пересекаются под прямым углом в точке,
лежащей на средней линии трапеции. Решение
:
АВСD
– трапеция.
А+В=180 ○ .
АЕ – биссектриса
А;
ВЕ – биссектриса
В
=>ЕВА+ВАЕ
=1/2А+1/2В
=1/2 (А+В)
=1/2·180 ○ =
90 ○ . В ∆АВЕ
ВЕА=90 ○ .
Поскольку точка Е принадлежит биссектрисе
угла А => Е равноудалена от АВ и АD;
Е принадлежит биссектрисе
В
=> Е равноудалена от АВ и ВС, т.е. Е
равноудалена от ВС и АD,
т.е. Е принадлежит средней линии трапеции
АВСD. Решение
:
Т.к. уравнение имеет два различных корня,
то
Т.к. x 1 +x 2 =0,
то
;
Решение
:
Ответ
:
x
=3
. В
одном бидоне на 5 л молока больше, чем
в другом. Если из первого бидона перелить
во второй 8 л молока, то во втором бидоне
молока станет в 2 раза больше, чем
останется в первом. Сколько литров
молока в каждом бидоне? Решение
:
Пусть x
л молока
в I
бидоне, тогда
;
x
=19
. Ответ
:
в I
бидоне – 19л молока, во II
– 14л. 6.
Варианты для самостоятельного решения:
I
вариант
(8
класс 1997 г.)
Может
ли существовать прямоугольный
параллелепипед, длины рёбер которого
натуральные числа, а площадь поверхности
простое число? На
сколько процентов уменьшится площадь
квадрата, если сторону уменьшить на
10%
? Скорость
катера в стоячей воде 20
км/ч
,
скорость течения реки 2
км/ч
.
Катер проплыл 10
км
по течению и 10
км
против течения. Определить среднюю
скорость катера. На
доске нарисован треугольник. Как
построить центр описанной окружности? Найти
двузначное число, которое равно сумме
числа его десятков и квадрата числа
единиц. I
вариант
(8
класс 1998 г.)
II
вариант
но со вторым туристом. Определить расстояние от A до B, если второй турист прошел его за 2,5 ч. Ответ: 10 км
3)
.
.
2)
3) 6 4)
.
2)
4) х + 3(х – 10) = 40.
.
.
.
2)
3)
.
.
2)
3)
4) 4
.
2)
4)
2)
3)
.
.
2) - 4а 3)
4)
.
2)
4)
2)
3)
.
.
.
Итак,
.
;
)
ADCB
- прямоугольная трапеция;
- радиус, проведённый в точку касания l
с окружностью. Поскольку
,
то прямая АВ
пересекает l
в точке Q
.
Рассмотрим угол AQD
.
Стороны угла пересечены рядом параллельных
прямых AD
,
OP
,
CB
и АО = ОВ
.
- радиус окружности. Диаметр окружности
равен 34
.
МНС=АСР,
СН=СА). ∆АРВ=∆BDN
(РАВ=NBD,
АВ=BD).
НМ=СР, РВ=DN,
отсюда HM+DN=BC.
и
.
.
,
то по теореме Виета
;
;
;
;
.
=
,
т.к.
А + В = 90 ○ .
и
;
;
(условия (*)) выполняются.
;
;
;
л
во II
бидоне.