Приветствую вас, уважаемые студенты вуза Аргемоны!
Сегодня мы продолжим учиться материализации предметов. В прошлый раз мы вращали плоские фигуры и получали объёмные тела. Некоторые из них - очень даже заманчивые и полезные. Думаю, что многому, что изобретает маг, можно в дальнейшем найти применение.
Сегодня мы будет вращать кривые. Понятно, что таким образом мы можем получить какой-то предмет с очень тонкими гранями (колбочка или флакон для зелий, ваза для цветов, стакан для напитков и т.п.), потому как вращающаяся кривая именно такого рода предметы и может сотворить. Другими словами, вращением кривой мы можем получить какую-то поверхность - замкнутую со всех сторон или нет. Почему прямо сейчас вспомнилась дырявая чаша, из которой всё время пил сэр Шурф Лонли-Локли.
Вот мы и сотворим дырявую чашу и недырявую, и подсчитаем площадь сотворённой поверхности. Думаю, для чего-то она (вообще площадь поверхности) ведь будет нужна - ну хотя бы для нанесения специальной магической краски. А с другой стороны, площади магических артефактов могут потребоваться для расчёта приложенных к ним магических сил или ещё чего-то. Мы научимся это находить, а уж где применить - найдём.
Итак, форму чаши вполне нам может дать кусок параболы. Возьмём самую простейшую y=x 2 на промежутке . Видно, что при вращении её вокруг оси OY получается как раз чаша. Без дна.
Заклинание для расчёта площади поверхности вращения выглядит следующим образом:
Здесь |y| - это расстояние от оси вращения до любой точки кривой, которая вращается. Как известно, расстояние - это перпендикуляр.
Немного труднее со вторым элементом заклинания: ds - это дифференциал дуги. Эти слова нам ничего не дают, поэтому не будем заморачиваться, а перейдём на язык формул, где этот дифференциал явно представлен для всех известных нам случаев:
- декартовой системы координат;
- записи кривой в параметрическом виде;
- полярной системы координат.
Для нашего случая расстояние от оси вращения до любой точки на кривой равно х. Считаем площадь поверхности получившейся дырявой чаши:
Чтобы сделать чашу с дном, нужно взять ещё кусочек, но другой кривой: на интервале это линия y=1.
Ясно, что при её вращении вокруг оси OY получится донышко чаши в виде круга единичного радиуса. И мы знаем, как считается площадь круга (по формуле пи*r^2. Для нашего случая площадь круга будет равна пи), но вычислим его по новой формуле - для проверки.
Расстояние от оси вращения до любой точки этого кусочка кривой также равно х.
Ну вот, расчёты наши верны, что радует.
А теперь домашнее задание .
1. Найти площадь поверхности, полученной вращением ломаной ABC, где A=(1; 5), B=(1; 2), C=(6; 2), вокруг оси ОХ.
Совет. Записать все отрезки в параметрическом виде.
AB: x=1, y=t, 2≤t≤5
BC: x=t, y=2, 1≤t≤6
Кстати, на что похож получившийся предмет?
2. Ну а теперь придумайте что-то сами. Трёх предметов, думаю, хватит.
I. Объемы тел вращения. Предварительно изучите по учебнику Г. М. Фихтенгольца главу XII, п°п° 197, 198* Разберите подробно примеры, приведенные в п° 198.
508. Вычислить объем тела, образуемого вращением эллипсаВокруг оси Ох.
Таким образом,
530. Найти площадь поверхности, образованной вращением вокруг оси Ox дуги синусоиды у = sin х от точки X = 0 до точки X = It.
531. Вычислить площадь поверхности конуса с высотой h и радиусом г.
532. Вычислить площадь поверхности, образованной
вращением астроиды х3 -)- у* — а3 вокруг оси Ох.
533. Вычислить площадь поверхности, образованной цращением петли кривой 18 уг — х (6 — х)г вокруг оси Ох.
534. Найти поверхность тора, производимого вращением круга X2 - j - (у—З)2 = 4 вокруг оси Ох.
535. Вычислить площадь поверхности, образованной вращением окружности X = a cost, y = asint вокруг оси Ох.
536. Вычислить площадь поверхности, образованной вращением петли кривой х = 9t2, у = St — 9t3 вокруг оси Ох.
537. Найти площадь поверхности, образованной вращением дуги кривой х = е*sint, у = el cost вокруг оси Ox
от t = 0 до t = —.
538. Показать, что поверхность, производимая вращением дуги циклоиды х = a (q> —sin ф), у = а (I — cos ф) вокруг оси Oy, равна 16 и2 о2.
539. Найти поверхность, полученную вращением кардиоидыВокруг полярной оси.
540. Найти площадь поверхности, образованной вращением лемнискаты
Вокруг полярной оси.
Дополнительные задачи к главе IV
Площади плоских фигур
541. Найтивсю площадь области, ограниченной кривой
И осью Ох.
542. Найти площадь области, ограниченной кривой
И осью Ох.
543. Найти часть площади области, расположенной в первом квадранте и ограниченной кривой
л осями координат.
544. Найти площадь области, содержащейся внутри
петли:
545. Найти площадь области, ограниченной одной петлей кривой:
546. Найти площадь области, содержащейся внутри петли:
547. Найти площадь области, ограниченной кривой
И осью Ох.
548. Найти площадь области, ограниченной кривой
И осью Ох.
549. Найти площадь области, ограниченной осью Oxr
прямойИ кривой
Теснота связи элементов в системе определяется физическими, а вернее, природными отношениями между ними, либо другими основополагающими свойствами системы, например, экономическими, социальными, характеризующими развитие человеческого общества.
Глубина таких связей зависит от уровня системы в иерархии систем, относящихся к предметной области существования изучаемого сложного объекта. К связям относятся как всеобщие отношения между составляющими систему элементами природы и общества, так и частные, касающиеся некоторого ограниченного круга ее элементов. В связи со сказанным эти связи называются либо общими законами природы (фундаментальными), либо частными , относящимися к ограниченному набору явлений (эмпирическими законами) или к тенденциям, проявляющимся в виде каких – то повторений в массовых явлениях и именуемых закономерностями .
Фундаментальные связи называются законами. Закон - это философская категория, обладающая свойствами всеобщности по отношению ко всем природным предметам, явлениям, событиям. В связи с этим определение закона звучит так: закон – это существенное, устойчивое, повторяющееся отношение между любыми явлениями.
Закон выражает определенную связь между самими системами, составными элементами объединений предметов и явлений, а также внутри самих предметов и явлений.
Не всякая связь является законом. Она может быть необходимой и случайной, Закон – необходимая связь. Он выражает существенную связь между сосуществующими в пространстве вещами (материальнымиобразованиями, в общем смысле).
Все, что сказано выше, относится к законам функционирования (существования природной среды или искусственно созданной человеком). Существуют и законы развития , выражающие тенденцию, направленность или порядок следования событий во времени. Все природные законы - нерукотворны, они существуют в мире объективно и выражают отношения вещей, а также отражаются в сознании человека.
Как уже говорилось, законы делятся по степени общности. Всеобщими законами являются философские законы. Фундаментальные законы природы по своей общности тоже разделяются на два больших класса. На более общие, изучаемые рядом, а то и абсолютным множеством наук (к ним относятся, к примеру, законы сохранения энергии и информации и др.). И менее общие законы, которые распространяются на ограниченные области, изучаемые конкретными науками (физикой, химией, биологией).
Эмпирические законы изучаются частными науками, к которым относятся все технические науки. В качестве примера можно взять такую дисциплину, как сопротивление материалов. В ней изучаются предметы и системы, в которых действуют все фундаментальные законы и законы эмпирические, основанные на опытных данных, относящих к предметам дисциплины только те механические тела, которые подчиняются закону Гука: деформация тела прямо пропорциональна действующей на тело силе (и наоборот).
В технических науках имеются разделы, которые основываются на более частных эмпирических связях, принятых в качестве аксиом.
Одни законы выражают строгую количественную зависимость и фиксируются математическими формулами, а другие пока не поддаются формализации, указывая обязательность одного вида события за счет появления другого, например.
Одни законы - детерминированы, то – есть устанавливают на основании причинно – следственных связей точные количественные соотношения, другие – статистические , устанавливающие вероятность появления какого – либо события при определенных условиях.
В природе законы действуют как стихийная сила. Однако, зная законы, их можно использовать целенаправленно в практической деятельности (как силу давления пара в паровых машинах, как силу сжатого газа в двигателях внутреннего сгорания).
Общественно – исторические законы мало чем отличаются от законов природы, но действуют они между мыслящими людьми. Познание этих законов способствует лучшей организации экономики и общества.
Таким образом, изучение законов природы и общества является первейшей задачей человечества. Только знание законов и разработка мер по правильному их использованию может обеспечить развивающееся и растущее по численности человечество продуктами питания и средой искусственно созданных условий, в котором может оно существовать.
Скорость решения возникающих новых задач зависит от того, какой запас научных знаний люди накопили на данный момент и как его обработали, осмыслили. Осмысление научных знаний приводит к формулировке научной проблемы , решение которой может привести к завершению теории по этому кругу вопросов и использованию более строгих выводов в практических делах. Научная проблема – не только философская категория в описанном плане, но и практическая, от которой зависит как теоретическая наука, так и ее практическое воплощение в жизнь людей.
Из этой разъяснительной части значимости научной проблемы для завершенности теории следует и ее определение: научная проблема – это противоречивая ситуация, выступающая в виде противоположных позиций в объяснении каких – либо явлений, объектов, процессов и требующая адекватной единственной теории для ее разрешения .
Важной предпосылкой успешного ее решения является ее правильная постановка. Увидеть противоречия в получаемых эмпирических знаниях, обратить на них внимание и поставить вопрос об устранении этого противоречия, значит, положить начало решению научной проблемы и продвижению науки в сторону прогресса. Недаром, в науке людей, способных формулировать проблемы, почитают даже больше исследователей, конкретно решивших сформулированную проблему. Формулировка неверных проблем приводит к большому застою в науке.
С категорией «научная проблема» непосредственно связана и категория «гипотеза». Гипотезы, в первую очередь, используют для теоретического устранения противоречий научной проблемы. Такие гипотезы (предположения) в случае успеха превращаются даже в фундаментальные теории (предположение Ньютона о силе притяжения между двумя физическими телами).
Гипотезы используются и в технических науках, где они носят частный характер и представляют описание способа взаимодействия факторов, определяющих поведение изучаемого объекта, его элементов. В таком случае гипотеза называется рабочей гипотезой, которая, как в научной проблеме, может быть доказана или отвергнута на базе опытных данных.
Поэтому гипотеза – это предположение о вероятной (возможной) закономерности изменения явления, объекта, события, которое не доказано, но кажется вероятным.
Полезность гипотезы в том, что она мобилизует исследователей формулировать задачи опытных работ с целью доказательства верности высказанной гипотезы. И если получается иной результат, то накопленный материал позволит откорректировать гипотезу и спланировать дальнейшую научно – исследовательскую работу.
В более общей формулировке моделирование как метод методологии науки заключается в переходе от неформально содержательных представлений об изучаемом объекте к использованию математических моделей.
Теоретический уровень моделей, полученных на базе аксиом, правил вывода теорем, правил соответствия повышается в дальнейшем на базе гипотико - дедуктивных положений с формулировкой следствий, полученных анализом выдвинутых гипотез. Математический аппарат, используемый при этом, - это только средство получения нового знания и никак не конечная цель методологического анализа.
За составлением математической модели следует её использование, целью которого является получение информации, которая отсутствовала до её создания, т.е. полученная модель должна быть эвристичной. Именно это действие превращает методологию в экспериментальную науку, допускающую верификацию её выводов на практике.
Модель и её свойства.
Формализация существующих знаний об исследуемой системе (составителем модели) создаёт модель, чтобы получить нужные свойства системы: непротиворечивость; полноту; независимость системы аксиом; содержательность. Хорошим примером выполнения этих свойств являются теории неевклидовых геометрий Лобачевского, Гаусса, Больяи в 19 веке. Итальянец Бельтрами показал, что существуют реальные тела, на поверхности которых выполняются законы геометрии Лобачевского.
На заре теоретического осмысливания знаний человечества развитие теорий всегда шло от частных случаев к общему. В настоящее время появились методики моделирования объектов уже на базе структурирования математической модели. Цепочка развития такого знания идёт в обратном порядке. Сначала появляется аксиоматическое математическое описание изучаемого события (объекта), а уже на его базе формулируется концептуальная модель – парадигма. Вместе с этим меняются и принципы соответствия природных процессов и теоретических схем (моделей). Вместо простого совпадения результатов счёта по модели с экспериментальными данными опытов рассматриваются сравнительные характеристики их математических алгоритмов достижения результатов по другим (косвенным) параметрам. К таким принципам относится, например, принципы простоты и красоты научных теорий . При этом модель в этом случае вводится с новым математическим аппаратом вместе с интерпретацией, т.е. исходным в ней является математический формализм, способный на языке математики объяснить некоторую сущность, проявляющуюся в опыте. Именно этот шаг затрудняет эмпирическую проверку, так как опытом должно проверяться не только уравнение описания, но и его интерпретация.
Введённый математический аппарат в этом случае содержит неконструктивные элементы, способные в дальнейшем привести к рассогласованию теории с опытом. Надо отметить, что в этом состоит как раз специфика современного научного исследования. С другой стороны эта особенность современного научного исследования грозит возможностью отбросить предложенный перспективный аппарат. Чтобы этого не случилось, необходимо отдельно заняться этой стороной дела - ликвидацией неувязок на базе экксперимента (примером может служить квантовая физика и электродинамика).
Старая система классической физики интерпретации научных фактов превратилась при этом в пошаговое «создание» приближённой математически сформированной теории реального процесса к исходной модели. Возникает вопрос, что же толкает исследователей к такому алгоритму действий, т.е. каковы же позывы к такому способу формирования теоретической картины? На это методология науки даёт вполне определённый ответ: самоценность истины; ценность новизны.
Достигается всё сказанное использованием следующих принципов исследования: а) запрет на плагиат; б) допустимость критического пересмотра оснований научного поиска; в) равенство всех (гениев в том числе) перед лицом истины; г) запрет на фальсификацию и подтасовки
Пример этому в связке Эйнштейн – Лоренц. Первый по существовашему тогда негласному рейтингу был в то время менее авторитетным, но его элементы теории относительности превратились в фундаментальную теорию. .
Несмотря на многочисленность работ по математическому моделированию, выявилась некоторая трудность в формулировке точного понятия математического моделирования. Слишком разнообразны они (модели) и их содержание. В целом ясно, что от модели требуется нечто большее, чем сопоставление с реальной действительностью: модель обязательно должна давать информацию о свойствах моделируемых объектов и явлений. Поэтому приемлемым определением модели должно быть определение, которое не включает в себя частных неопределённостей. Например: моделью данного объекта называется другой объект, который сопоставляется исходному, моделируемому и определённые свойства которого заданным образом отражают (сохраняют) выбранные свойства объекта.
Модель должна отображать всё известное (иногда некоторые известные характеристики) об объекте и предсказывать или формировать новую информацию о нём в каких - либо новых условиях существования. Цель моделирования, таким образом,- функция представления (описания) в случае наличия объяснения явлений, рассматриваемых моделью. Именно в этом случае модель выступает в качестве теории. И, несмотря на это, резкое противопоставление математической (формальной) и содержательной сторон модели в целом несостоятельно. Учитывая специфическую сторону формирования модели можно резюмировать, что математика при этом выступает как важнейшее средство выработки содержательных представлений об изучаемом явлении на протяжении всего исследования.
О РЕШЕНИИ ТРЕУГОЛЬНИКОВ.
IX. Прямоугольные треугольники.
§ 83. Соотношения между элементами прямоугольного треугольника.
В § 20 были выведены тригонометрические соотношения между элементами прямоугольного треугольника; а именно, из определения тригонометрических функций были выведены формулы (черт. 40):
sin A = a / c ; cos A = b / c ; tg A = a / b
Определяя из этих формул а, b и с , найдем:
1) а = с sin A 2) b = с cos A; 3} а = b tg A.
Словесные формулировки приведены в §§20-21. К этим формулам надо добавить еще три, известные из геометрии:
A + B = 90°; c 2 = a 2 + b 2 ; S = 1 / 2 ab .
§ 84. Между элементами всякого треугольника существуют только три независимых соотношения. В состав треугольника входят три стороны и три угла; но из этих шести элементов достаточно иметь три (исключай случай трех углов), чтобы можно было построить треугольник и тем самым получить остальные три элемента. Отсюда следует, что и при вычислении в треугольнике можно определить три элемента по данным остальным; а для этого число различных уравнений между элементами треугольника должно быть равно также трем. Если уравнений получено более трех, то некоторые из них будут уже следствием других.
В прямоугольном треугольнике основными соотношениями считаются обыкновенно следующие:
A + В = 90°; а = с sin A; b = с cos A.
Остальные можно вывести из них.
§ 85. Решение прямоугольных треугольников.
Основными элементами треугольника считаются стороны и углы. Поэтому при решении прямоугольного треугольника в зависимости от того, какие элементы даны, могут представиться 4 случая, разобранные в следующих параграфах. При этом в числе данных непременно должен быть один линейный элемент, так как иначе нельзя узнать размеры треугольника: по трем углам можно построить сколько угодно подобных треугольников.
Решение треугольников (как и решение всяких математических задач) проводится сначала, по возможности, до конца в общем виде; затем подставляются числовые данные и производятся вычисления. Все нижеследующие примеры решены с помощью таблиц Брадиса, сначала по натуральным значениям тригонометрических функций, потом - по логарифмам.
На случай пользования пятизначными таблицами сохранены примеры решения треугольников и по этим таблицам.
§ 86. 1-й случай. Даны гипотенуза и острый угол (с и А). Найти другой острый угол, катеты и площадь (В, a, b , S).
I. Решение в общем виде.
II. Числовой пример: с = 627; A = 23°30"
Решение.
В = 90° - 23°30" = 66°30"; а = 627 sin 23°30"
По таблице VIII Брадиса находим sin 23°30" = 0,3987; следовательно:
а
= 627 0,3987 = 249,9849;
а
≈ 250 (лин. единиц);
b
= 627 cos 23°30" = 627 0,9171 = 575,0227.
b
≈ 575 (лин. единиц);
S = 1 / 2 249,98 575,02 = 71 872 (кв. единиц). л
§ 87. 2-й случай. Даны катет и острый угол (а и А). Найти В, с, b , S.
I. Решение в общем виде.
II. Числовой пример: а =18; А = 47°.
Решение.
§ 88. 3-й случай. Даны гипотенуза и катет (с и а ). Найти А, В, b , S.
I. Решение в общем виде.
sin A = a / c ; cos B = a / c ; b = √c 2 - a 2 ; S = a / 2 √c 2 - a 2 .
II. Числовой пример: с = 65; а =16.
I Решение.
sin A= 16 / 65 = 0,2461; А = 14°12" + 3" = 14°15";
В = 90° - 14°15" = 75°45";
b
= √65
2 -16
2 = √(65 + 16) (65 -16)
= √81 49
= 9 7;
b
= 63 (лин. единиц);
S = 16 / 2 63 = 504 (кв. единиц).
§ 89. 4-й случай. Даны оба катета (а и b ). Найти А, В, с , S.
I. Решение в общем виде.
tg A = a / b ; tg B = b / a ; c = √a 2 + b 2 ; S = ab / 2
II. Числовой пример: a = 25; b = 40.
Решение.
tg A = 25 / 40 = 0,625; A = 32°; B = 58°;
c
= √25
2 +40
2 ≈ 47,2; S = 500 (кв. единиц).
1. Ранг матрицы
3
5
2
4
2. Алгебраическое дополнение элемента
А 23 = 12
А 23 = -34
А 23 = 34
А 23 = -12
3. Произведение матриц
— правильно
4. Если все элементы одной строки прямоугольной матрицы А размерности n x m умножить на два то ранг матрицы А …
увеличится на 2
не изменится
увеличится в два раза
— правильно
6. Значение определителя
2
4
5
3
7. Взаимное расположение прямых 4x — 2y — 6 = 0 и 8x — 4y — 2 = 0 на плоскости – прямые …
параллельны
пересекаются
перпендикулярны
совпадают
8. Пусть х и у решения системы
4
7
5
6
9. Среди приведенных ниже уравнений указать уравнение эллипса
10. Пусть прямая задана нормальным уравнением x sinα + y sinα – p = 0. Верное утверждение
Если ОА – перпендикуляр, восстановлены из начала координат к прямой, то α — угол образованный перпендикуляром ОА с осью Ох
Если ОА – перпендикуляр, восстановлены из начала координат к прямой, то α — длинна этого перпендикуляра
р — величина отрезка, отсекаемого прямой на оси Ох
α — угол наклона прямой к положительному направлению оси Ох
11. Дана линейная система
система имеет бесчисленное множество решений
система не имеет решений
система имеет единственное решение
о наличии решений ничего сказать нельзя (система может как иметь так и не иметь решения)
5x — 3y — 7 = 0
3x + y — 7 = 0
4x — 2y — 6 = 0
6x — y — 11 = 0
13. Найти скалярное произведение векторов
