Как и для задачи нахождения площади, нужны уверенные навыки построения чертежей – это чуть ли не самое важное (поскольку интегралы сами по себе чаще будут лёгкими). Освоить грамотную и быструю технику построения графиков можно с помощью методических материалов и Геометрические преобразования графиков . Но, собственно, о важности чертежей я уже неоднократно говорил на уроке .
Вообще в интегральном исчислении очень много интересных приложений, с помощью определенного интеграла можно вычислить площадь фигуры, объем тела вращения, длину дуги , площадь поверхности вращения и многое другое. Поэтому будет весело, пожалуйста, настройтесь на оптимистичный лад!
Представьте некоторую плоскую фигуру на координатной плоскости. Представили? ... Интересно, кто что представил… =))) Её площадь мы уже находили. Но, кроме того, данную фигуру можно ещё и вращать, причем вращать двумя способами:
– вокруг оси абсцисс ;
– вокруг оси ординат .
В данной статье будут разобраны оба случая. Особенно интересен второй способ вращения, он вызывает наибольшие затруднения, но на самом деле решение практически такое же, как и в более распространенном вращении вокруг оси абсцисс. В качестве бонуса я вернусь к задаче нахождения площади фигуры , и расскажу вам, как находить площадь вторым способом – по оси . Даже не столько бонус, сколько материал удачно вписывается в тему.
Начнем с наиболее популярной разновидности вращения.
плоской фигуры вокруг оси
Пример 1
Вычислить объем тела, полученного вращением фигуры, ограниченной линиями , вокруг оси .
Решение : Как и в задаче на нахождение площади, решение начинается с чертежа плоской фигуры . То есть, на плоскости необходимо построить фигуру, ограниченную линиями , , при этом не забываем, что уравнение задаёт ось . Как рациональнее и быстрее выполнить чертёж, можно узнать на страницах Графики и свойства Элементарных функций и Определенный интеграл. Как вычислить площадь фигуры . Это китайское напоминание, и на данном моменте я больше не останавливаюсь.
Чертёж здесь довольно прост:
Искомая плоская фигура заштрихована синим цветом, именно она и вращается вокруг оси В результате вращения получается такая немного яйцевидная летающая тарелка, которая симметрична относительно оси . На самом деле у тела есть математическое название, но по справочнику что-то лень уточнять, поэтому едем дальше.
Как вычислить объем тела вращения?
Объем тела вращения можно вычислить по формуле :
В формуле перед интегралом обязательно присутствует число . Так повелось – всё, что в жизни крутится, связано с этой константой.
Как расставить пределы интегрирования «а» и «бэ», думаю, легко догадаться из выполненного чертежа.
Функция … что это за функция? Давайте посмотрим на чертеж. Плоская фигура ограничена графиком параболы сверху. Это и есть та функция, которая подразумевается в формуле.
В практических заданиях плоская фигура иногда может располагаться и ниже оси . Это ничего не меняет – подынтегральная функция в формуле возводится в квадрат: , таким образом интеграл всегда неотрицателен , что весьма логично.
Вычислим объем тела вращения, используя данную формулу:
Как я уже отмечал, интеграл почти всегда получается простой, главное, быть внимательным.
Ответ
: 
В ответе нужно обязательно указать размерность – кубические единицы . То есть, в нашем теле вращения примерно 3,35 «кубиков». Почему именно кубические единицы ? Потому что наиболее универсальная формулировка. Могут быть кубические сантиметры, могут быть кубические метры, могут быть кубические километры и т.д., это уж, сколько зеленых человечков ваше воображение поместит в летающую тарелку.
Пример 2
Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси фигуры, ограниченной линиями , ,
Это пример для самостоятельного решения. Полное решение и ответ в конце урока.
Рассмотрим две более сложные задачи, которые тоже часто встречаются на практике.
Пример 3
Вычислить объем тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной линиями , , и
Решение : Изобразим на чертеже плоскую фигуру, ограниченную линиями , , , , не забывая при этом, что уравнение задает ось :
Искомая фигура заштрихована синим цветом. При её вращении вокруг оси получается такой сюрреалистический бублик с четырьмя углами.
Объем тела вращения вычислим как разность объемов тел .
Сначала рассмотрим фигуру, которая обведена красным цветом. При её вращении вокруг оси получается усеченный конус. Обозначим объем этого усеченного конуса через .
Рассмотрим фигуру, которая обведена зеленым цветом. Если вращать данную фигуру вокруг оси , то получится тоже усеченный конус, только чуть поменьше. Обозначим его объем через .
И, очевидно, разность объемов – в точности объем нашего «бублика».
Используем стандартную формулу для нахождения объема тела вращения: 
1) Фигура, обведенная красным цветом ограничена сверху прямой , поэтому:
2) Фигура, обведенная зеленым цветом ограничена сверху прямой , поэтому:
3) Объем искомого тела вращения: 
Ответ
: 
Любопытно, что в данном случае решение можно проверить, используя школьную формулу для вычисления объема усеченного конуса.
Само решение чаще оформляют короче, примерно в таком духе:
Теперь немного отдохнем, и расскажу о геометрических иллюзиях.
У людей часто возникают иллюзии, связанная с объемами, которую подметил еще Перельман (другой) в книге Занимательная геометрия . Посмотрите на плоскую фигуру в прорешанной задаче – она вроде бы невелика по площади, а объем тела вращения составляет чуть более 50 кубических единиц, что кажется слишком большим. Кстати, среднестатистический человек за всю свою жизнь выпивает жидкость объемом с комнату площадью 18 квадратных метров, что, наоборот, кажется слишком маленьким объемом.
Вообще, система образования в СССР действительно была самой лучшей. Та же книга Перельмана, изданная ещё в 1950 году, очень хорошо развивает, как сказал юморист, соображаловку и учит искать оригинальные нестандартные решения проблем. Недавно с большим интересом перечитал некоторые главы, рекомендую, доступно даже для гуманитариев. Нет, не нужно улыбаться, что я предложил беспонтовое времяпровождение, эрудиция и широкий кругозор в общении – отличная штука.
После лирического отступления как раз уместно решить творческое задание:
Пример 4
Вычислить объем тела, образованного вращением относительно оси плоской фигуры, ограниченной линиями , , где .
Это пример для самостоятельного решения. Обратите внимание, что все дела происходят в полосе , иными словами, фактически даны готовые пределы интегрирования. Правильно начертите графики тригонометрических функций, напомню материал урока о геометрических преобразованиях графиков : если аргумент делится на два: , то графики растягиваются по оси в два раза. Желательно найти хотя бы 3-4 точки по тригонометрическим таблицам , чтобы точнее выполнить чертеж. Полное решение и ответ в конце урока. Кстати, задание можно решить рационально и не очень рационально.
Вычисление объема тела, образованного вращением
плоской фигуры вокруг оси
Второй параграф будет еще интереснее, чем первый. Задание на вычисление объема тела вращения вокруг оси ординат – тоже достаточно частый гость в контрольных работах. Попутно будет рассмотрена задача о нахождении площади фигуры вторым способом – интегрированием по оси , это позволит вам не только улучшить свои навыки, но и научит находить наиболее выгодный путь решения. В этом есть и практический жизненный смысл! Как с улыбкой вспоминала мой преподаватель по методике преподавания математики, многие выпускники благодарили её словами: «Нам очень помог Ваш предмет, теперь мы эффективные менеджеры и оптимально руководим персоналом». Пользуясь случаем, я тоже выражаю ей свою большую благодарность, тем более, что использую полученные знания по прямому назначению =).
Рекомендую для прочтения всем, даже полным чайникам. Более того, усвоенный материал второго параграфа окажет неоценимую помощь при вычислении двойных интегралов .
Пример 5
Дана плоская фигура, ограниченная линиями , , .
1) Найти площадь плоской фигуры, ограниченной данными линиями.
2) Найти объем тела, полученного вращением плоской фигуры, ограниченной данными линиями, вокруг оси .
Внимание! Даже если вы хотите ознакомиться только со вторым пунктом, сначала обязательно прочитайте первый!
Решение : Задача состоит из двух частей. Начнем с площади.
1) Выполним чертёж:
Легко заметить, что функция задает верхнюю ветку параболы, а функция – нижнюю ветку параболы. Перед нами тривиальная парабола, которая «лежит на боку».
Нужная фигура, площадь которой предстоит найти, заштрихована синим цветом.
Как найти площадь фигуры? Её можно найти «обычным» способом, который рассматривался на уроке Определенный интеграл. Как вычислить площадь фигуры
. Причем, площадь фигуры находится как сумма площадей:
– на отрезке 
;
– на отрезке .
Поэтому:
Чем в данном случае плох обычный путь решения? Во-первых, получилось два интеграла. Во-вторых, под интегралами корни, а корни в интегралах – не подарок, к тому же можно запутаться в подстановке пределов интегрирования. На самом деле, интегралы, конечно, не убийственные, но на практике всё бывает значительно печальнее, просто я подобрал для задачи функции «получше».
Есть более рациональный путь решения: он состоит в переходе к обратным функциям и интегрированию по оси .
Как перейти к обратным функциям? Грубо говоря, нужно выразить «икс» через «игрек». Сначала разберемся с параболой:
Этого достаточно, но убедимся, что такую же функцию можно вывести из нижней ветки:
С прямой всё проще:
Теперь смотрим на ось : пожалуйста, периодически наклоняйте голову вправо на 90 градусов по ходу объяснений (это не прикол!). Нужная нам фигура лежит на отрезке , который обозначен красным пунктиром. При этом на отрезке прямая расположена выше параболы , а значит, площадь фигуры следует найти по уже знакомой вам формуле: 
. Что поменялось в формуле? Только буква, и не более того.
! Примечание : Пределы интегрирования по оси следует расставлять строго снизу вверх !
Находим площадь:
На отрезке , поэтому:
Обратите внимание, как я осуществил интегрирование, это самый рациональный способ, и в следующем пункте задания будет понятно – почему.
Для читателей, сомневающихся в корректности интегрирования, найду производные:
Получена исходная подынтегральная функция, значит интегрирование выполнено правильно.
Ответ :
2) Вычислим объем тела, образованного вращением данной фигуры, вокруг оси .
Перерисую чертеж немного в другом оформлении:
Итак, фигура, заштрихованная синим цветом, вращается вокруг оси . В результате получается «зависшая бабочка», которая вертится вокруг своей оси.
Для нахождения объема тела вращения будем интегрировать по оси . Сначала нужно перейти к обратным функциям. Это уже сделано и подробно расписано в предыдущем пункте.
Теперь снова наклоняем голову вправо и изучаем нашу фигуру. Очевидно, что объем тела вращения, следует найти как разность объемов.
Вращаем фигуру, обведенную красным цветом, вокруг оси , в результате получается усеченный конус. Обозначим этот объем через .
Вращаем фигуру, обведенную зеленым цветом, вокруг оси и обозначаем через объем полученного тела вращения.
Объем нашей бабочки равен разности объемов .
Используем формулу для нахождения объема тела вращения: 
В чем отличие от формулы предыдущего параграфа? Только в букве.
А вот и преимущество интегрирования, о котором я недавно говорил, гораздо легче найти 
, чем предварительно возводить подынтегральную функцию в 4-ю степень.
Ответ
: 
Однако нехилая бабочка.
Заметьте, что если эту же плоскую фигуру вращать вокруг оси , то получится совершенно другое тело вращения, другого, естественно, объема.
Пример 6
Дана плоская фигура, ограниченная линиями , и осью .
1) Перейти к обратным функциям и найти площадь плоской фигуры, ограниченной данными линиями, интегрированием по переменной .
2) Вычислить объем тела, полученного вращением плоской фигуры, ограниченной данными линиями, вокруг оси .
Это пример для самостоятельного решения. Желающие также могут найти площадь фигуры «обычным» способом, выполнив тем самым проверку пункта 1). А вот если, повторюсь, будете вращать плоскую фигуру вокруг оси , то получится совершенно другое тело вращения с другим объемом, кстати, правильный ответ (тоже для любителей порешать).
Полное же решение двух предложенных пунктов задания в конце урока.
Да, и не забывайте наклонять голову направо, чтобы разобраться в телах вращения и в пределах интегрирования!
Объёмные тела. Оглянись вокруг себя, и ты всюду обнаружишь объёмные тела. Это такие геометрические фигуры, которые имеют три измерения: длину, ширину и высоту. Например, чтобы представить многоэтажный дом, достаточно сказать: "Этот дом длиной в три подъезда, шириной в два окна и высотой в шесть этажей". Известные тебе из начальной школы прямоугольный параллелепипед и куб полностью описываются тремя измерениями. Все окружающие нас предметы имеют три измерения, но далеко не у всех можно назвать длину, ширину и высоту. Например, для дерева мы можем указать только высоту, для верёвки – длину, для ямы – глубину. А для шара? Имеет ли он тоже три измерения? Мы говорим, что тело имеет три измерения (является объёмным), если в него можно поместить кубик или шарик.
Слайд 2 из презентации «Формула объема многогранника» . Размер архива с презентацией 1207 КБ.Геометрия 11 класс
краткое содержание других презентаций«Геометрические тела вращения» - Наглядность. Практическая часть. Работа творческой группы. Повторение теории. Люди творческих профессий. Обмен опытом. Вдохновение. Организационный момент. Учится можно только весело. Музей геометрических тел. Люди, посвятившие себя науке. Тела. Люди науки трудятся. Шёл мудрец. Подведение итогов. Цилиндрическая поверхность. Люди рабочих профессий. Знания учащихся. Тела вращения. Элементарные знания.
«Теорема о трёх перпендикулярах» - Точка. Перпендикулярность прямых. Мышление. Теорема о трёх перпендикулярах. Перпендикуляр к плоскости параллелограмма. Прямая. Катеты. Перпендикуляр. Теорема. Пересечения диагоналей. Отрезок. Перпендикуляр к плоскости треугольника. Сторона ромба. Стороны треугольника. Расстояние. Перпендикуляры к прямым. Подумай. Отрезок МА. Задачи на построение. Доказательство. Обратная теорема. Задачи на применение ТТП.
«Площадь сферы» - Диаметр шара (d=2R). Радиус большого круга является радиусом шара. Слоя=vш.Сег.1-vш.Сег.2. Высота сегмента (h). Площадь поверхности шара радиусом. Основание сегмента. Vш. сектора= 2/3ПR2h. Центр сферы (С). Объём шара, шарового сегмента и шарового слоя. Площадь первого выражается через радиус. раза больше площади поверхности большого круга. , а площадь поверхности сферы – как 4ПR2. описан шар. Объем шара равен 288.
«В мире многогранников» - Многогранники. Вершина куба. Мир многогранников. Тела Кеплера - Пуансо. Математика. Царская гробница. Эйлерова характеристика. Тетраэдр. Геометрия. Фаросский маяк. Выпуклые многогранники. Тела Архимеда. Многогранники в искусстве. Огонь. Звездчатый додекаэдр. Магнус Веннинджер. Теорема Эйлера. Александрийский маяк. Правильные многогранники. Пять выпуклых правильных многогранников. Развёртки некоторых многогранников.
«Философ Пифагор» - Знание основ музыки. Слово "философ". Жизнь и научные открытия Пифагора. Пифагор встречался с персидскими магами. Математика. Направление полёта. Девиз. Египетские храмы. Мысль. Основоположник современной математики. Истина. Бессмертная идея. Мнесарх. Пифагор.
«Задачи в координатах» - Найти длину вектора а, если он имеет координаты: {-5; -1; 7}. Простейшие задачи в координатах. Скалярное произведение векторов. Вектор AB. Решение задач: (по карточкам). Как вычислить длину вектора по его координатам. Цели урока. Что называется скалярным произведением векторов. Расстояние между точками А и В. Вектор А имеет координаты {-3; 3; 1}. М – середина отрезка АВ. План урока. Как найти координаты середины отрезка.
Объемные тела могут быть получены в компьютере различными способами. Наиболее часто применяется способ соединения базовых тел.
| Сдвиг области расслоения тройной системы с полимерным компонентом (заштрихованная область по сравнению с системой, состоящей из низкомолекулярных компонентов (область, ограниченная пунктирной кривой. П - полимер, Р, Р3 - низкомо-лекулярные жидкости.| Условное преобразование. |
Объемное тело расслоения, описанное выше, представляет собою, естественно, идеализированную схему.
Это объемное тело состоит из частей, названных секциями. Каадая секция заключена между двумя соседними уровневыми плоскостями, проходящими через соседние изо-гипсы, и имеет форму усеченного эллипсовидного конуса. Объемное тело, состоящее из таких секций, служит геометрической моделью пласта-коллектора. Это объемное тело будем называть конусно-эллипсовидной моделью газовой залеки (КЗ модель), строить которую нужно таким образом, чтобы она оказалась объемно-изоморфной объекту, т.е. чтобы объемы секции модели и соответствующей части пласта-коллектора были одинаковы.
Если объемное тело образовано вращением плоской площадки А вокруг оси, лежащей в ее плоскости, но ее не пересекающей, то оно будет иметь форму кольца. Пусть такое кольцо обмотано проводом, витки которого располагаются в плоскости, проходящей через ось кольца; тогда функция тока проволочного слоя будет равна ф (1 / 2я) пу &, где п - полное число витков, ад - азимутальный угол, отсчитываемый вокруг оси кольца.
Модели объемных тел, тонально решенных по данной схеме, показаны на рис. 1.5.4. Хотя в алгоритме не учитываются падающие тени, общая выразительность изображения остается достаточно высокой за счет определенности показа принадлежности грани той или иной системе ортогонально ориентированных плоскостей. Если три отмеченные выше области изобразить на рисунке разным цветом, то эффект будет еще большим. Физическая модель такого графического решения представлена на рис. 1.5.5. В ее основе заложен принцип освещения объекта тремя источниками различного цвета, расположенными в соответствии с принятой системой ортогональных плоскостей.
Для существующего объемного тела задать атрибуты, определив при этом тип конечного элемента и материал.
| Виды равновесия. |
В случае объемных тел такую процедуру нужно проделать три раза. Центр тяжести может лежать как внутри, так и вне тела, например, полукольцо из толстой однородной проволоки имеет центр тяжести вне тела.
| Упражнения на выявление пространственных уровней глубины.| Последовательность этапов разработки композиции с несколькими уровнями глубины.| Тональная разработка композиций сложной пространственной структуры. |
При изображении объемных тел студенты чаще всего применяют способ показа глубины путем создания светлого силуэта на темном фоне. Иногда этот способ приводит к неверному представлению о характере объемно-пространственной формы. Изображение в этом случае соответствует характеру восприятия реальной формы.
Определение центра тяжести объемных тел связано с понятиями о плоскости и оси симметрии. Плоскостью симметрии называют такую плоскость, которая делит данное тело на две совершенно одинаковые по величине и форме половины. По этой причине центр тяжести симметричного тела лежит в плоскости симметрии.
Геометрические объемные фигуры - это твердые тела, которые занимают ненулевой объем в евклидовом (трехмерном) пространстве. Эти фигуры изучает раздел математики, который носит название "пространственная геометрия". Знания о свойствах объемных фигур применяются в инженерии и в науках о природе. Рассмотрим в статье вопрос, геометрические объемные фигуры и их названия.
Геометрические объемные тела
Поскольку эти тела имеют конечную размерность в трех пространственных направлениях, то для их описания в геометрии используют систему из трех координатных осей. Эти оси обладают следующими свойствами:
- Они ортогональны друг другу, то есть перпендикулярны.
- Эти оси нормализированы, то есть базисные вектора каждой оси имеют одинаковую длину.
- Любая из осей координат - это результат векторного произведения двух других.
Говоря о геометрических объемных фигурах и их названиях, следует отметить, что все они принадлежат к одному из 2-х больших классов:
- Класс полиэдров. Эти фигуры, исходя из названия класса, имеют прямые ребра и плоские грани. Грань - это плоскость, которая ограничивает фигуру. Место соединения двух граней называется ребром, а точка соединения трех граней - это вершина. К полиэдрам относятся геометрическая фигура куб, тетраэдры, призмы, пирамиды. Для этих фигур справедлива теорема Эйлера, которая устанавливает связь между числом сторон (С), ребер (Р) и вершин (В) для каждого полиэдра. Математически эта теорема записывается так: С + В = Р + 2.
- Класс круглых тел или тел вращения. Эти фигуры имеют хотя бы одну поверхность, образующую их, изогнутой формы. Например, шар, конус, цилиндр, тор.
Что касается свойств объемных фигур, то следует выделить два самых важных из них:
- Наличие определенного объема, который фигура занимает в пространстве.
- Наличие у каждой объемной фигуры
Оба свойства для каждой фигуры описываются конкретными математическими формулами.
Рассмотрим ниже самые простые геометрические объемные фигуры и их названия: куб, пирамиду, призму, тетраэдр и шар.
Фигура куб: описание
Под геометрической фигурой куб понимают объемное тело, которое образовано 6-тью квадратными плоскостями или поверхностями. Также эту фигуру называют правильный гексаэдр, поскольку она имеет 6 сторон, или прямоугольный параллелепипед, так как он состоит из 3-х пар параллельных сторон, которые взаимно перпендикулярны друг другу. Называют куб и у которой основание является квадратом, а высота равна стороне основания.
Поскольку куб является многогранником или полиэдром, то для него можно применить теорему Эйлера, чтобы определить число его ребер. Зная, что число сторон равно 6, а вершин у куба 8, число ребер равно: Р = С + В - 2 = 6 + 8 - 2 = 12.
Если обозначить буквой "a" длину стороны куба, тогда формулы для его объема и площади поверхности будут иметь вид: V = a 3 и S = 6*a 2 , соответственно.
Фигура пирамида
Пирамида - это полиэдр, который состоит из простого многогранника (основание пирамиды) и треугольников, которые соединяются с основанием и имеют одну общую вершину (вершина пирамиды). Треугольники называются боковыми гранями пирамиды.
Геометрические характеристики пирамиды зависят от того, какой многоугольник лежит в ее основании, а также от того, является ли пирамида прямой или косой. Под прямой пирамидой понимают такую пирамиду, для которой перпендикулярная основанию прямая, проведенная через вершину пирамиды, пересекает основание в ее геометрическом центре.
Одной из простых пирамид является четырехугольная прямая пирамида, в основании которой лежит квадрат со стороной "a", высота этой пирамиды "h". Для этой фигуры пирамиды объем и площадь поверхности будут равны: V = a 2 *h/3 и S = 2*a*√(h 2 +a 2 /4) + a 2 , соответственно. Применяя для нее, с учетом того, что число граней равно 5, и число вершин равно 5, получаем количество ребер: Р = 5 + 5 - 2 = 8.
Фигура тетраэдр: описание
Под геометрической фигурой тетраэдр понимают объемное тело, образованное 4-мя гранями. Исходя из свойств пространства, такие грани могут представлять только треугольники. Таким образом, тетраэдр является частным случаем пирамиды, у которой в основании лежит треугольник.
Если все 4-ре треугольника, образующие грани тетраэдра, являются равносторонними и равными между собой, то такой тетраэдр называется правильным. Этот тетраэдр имеет 4 грани и 4 вершины, число ребер составляет 4 + 4 - 2 = 6. Применяя стандартные формулы из плоской геометрии для рассматриваемой фигуры, получаем: V = a 3 * √2/12 и S = √3*a 2 , где a - длина стороны равностороннего треугольника.
Интересно отметить, что в природе некоторые молекулы имеют форму правильного тетраэдра. Например, молекула метана CH 4 , в которой атомы водорода расположены в вершинах тетраэдра, и соединены с атомом углерода ковалентными химическими связями. Атом углерода находится в геометрическом центре тетраэдра.
Простая в изготовлении форма фигуры тетраэдр используется также в инженерии. Например, тетраэдрическую форму используют при изготовлении якорей для кораблей. Отметим, что космический зонд НАСА, Mars Pathfinder, который совершил посадку на поверхность Марса 4 июля 1997 года, также имел форму тетраэдра.
Фигура призма
Эту геометрическую фигуру можно получить, если взять два многогранника, расположить их параллельно друг другу в разных плоскостях пространства, и соединить их вершины соответствующим образом между собой. В итоге получится призма, два многогранника называются ее основаниями, а поверхности, соединяющие эти многогранники, будут иметь форму параллелограммов. Призма называется прямой, если ее боковые стороны (параллелограммы) являются прямоугольниками.
Призма - это полиэдр, поэтому для нее верна теорема Эйлера. Например, если в основании призмы лежит шестиугольник, тогда, количество сторон у призмы равно 8, а количество вершин - 12. Число ребер будет равно: Р = 8 + 12 - 2 = 18. Для прямой призмы высотой h, в основании которой лежит правильный шестиугольник со стороной a, объем равен: V = a 2 *h*√3/4, площадь поверхности равна: S = 3*a*(a*√3 + 2*h).
Говоря о простых геометрических объемных фигурах и их названиях, следует упомянуть шар. Под объемным телом под названием шар понимают тело, которое ограничено сферой. В свою очередь, сфера - это совокупность точек пространства, равноудаленных от одной точки, которая называется центром сферы.
Поскольку шар относится к классу круглых тел, то для него не существует понятия о сторонах, ребрах и вершинах. Площадь поверхности сферы, ограничивающей шар, находится по формуле: S = 4*pi*r 2 , а объем шара можно вычислить по формуле: V = 4*pi*r 3 /3, где pi - число пи (3,14), r - радиус сферы (шара).
Назад
Вперёд
Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.
Цель:
- углубление и расширение представления детей о плоских и объёмных предметах; их сравнение и выявление различий между ними;
- выявление и обобщение знаний учащихся о геометрических фигурах и их свойствах;
- конструирование различных плоских фигур;
- выработка умений работать в группе, выполняя правила, ставить цель, добиваться её, анализировать свою работу и работу группы.
Форма: урок-путешествие или групповая работа во внеурочной деятельности.
Оборудование : презентация для класса; для каждой группы: конструктор, конверты с заданием и фигурами, геометрические тела, карточки-правила.
Ход занятия
I. Организационный момент.
Мы пришли сюда учиться, не лениться, а трудиться.
Работаем старательно, слушаем внимательно.
Вместе, весело и дружно выполняем всё, что нужно.
Наша работа сегодня проходит в группах. Повторим правила нашей работы: (на партах у каждой группы карточка-памятка, напомнить каждое правило – старшие групп по очереди). Правила – в Приложении.
Знаете ли вы, что в огромном мире Математики есть очень интересная страна с красивым названием - Геометрия. Эту страну населяют не числа, а различные линии, фигуры и тела. (Слайд 2)
Сегодня мы отправимся в путешествие по стране Геометрии и посетим города, в которых живут плоские и объёмные фигуры. Наша задача - разобраться, какие геометрические фигуры относятся к плоским, а какие к объёмным, и чем они различаются.
Путешествовать мы будем на воздушном шаре. (Слайд 3)
Как думаете, почему? - Собран из геометрических фигур.
В процессе путешествия мы выясним, к какой группе относятся детали нашего воздушного шара.
II. Основная часть.
Итак, в путь!
Город видим впереди. Что за город? Погляди!
1 остановка - распределительная.
Да не один город, а целых два. (Слайд 4)
Перед вами два города. Прочитайте их названия.
На партах вы так же видите различные фигуры- это жители городов. Рассмотрите фигуры в конверте, назовите их, расскажите об одной.
Работа группами.
Теперь расскажите, какие фигуры вы заселили в Город плоских фигур.
Ответы детей. (Слайд 4-слева)
Что общего у всех плоских фигур?
(Они целиком укладываются на листе, столе, не возвышаются над плоскостью, их можно вырезать из бумаги.)
Математики говорят, что плоскость – это двухмерное пространство, т.е. у неё есть два измерения: длина и ширина.
Какие ещё плоские фигуры вы знаете?
Отрезки, прямые, треугольники, круги...
А теперь назовите фигуры, которые поселили в Город объёмных фигур.
Ответы детей. (Слайд 4-справа)
Что общего у этих фигур?
Их как ни клади, они будут возвышаться над столом, доской.
Какие ещё объёмные фигуры знаете? Каждая группа называет свои объёмные фигуры. Ответы детей.
В геометрии есть специальное название для объёмных фигур – геометрическое тело.
Все тела вокруг нас имеют три измерения : длину, ширину и высоту. Правда, далеко не у всех геометрических тел можно указать длину, ширину, высоту. А вот у прямоугольного параллелепипеда можно.
Демонстрация учителем, дети рассматривают свои параллелепипеды на столах. Все его грани являются прямоугольными. Многие предметы имеют такую форму. Назовитеих. (Слайд 6) Ответы детей.
Вернемся к нашему воздушному шару. Из каких фигур, плоских или объёмных он состоит? - Цилиндр и шар – объёмные фигуры, а тесёмки-линии – плоские. (Слайд 7)
Солнце встало высоко и летим мы далеко.
2 остановка – научная. Группа № 1.
А сейчас догадайтесь, о какой фигуре идёт речь.
Ученик 1: Три угла, три стороны
Могут разной быть длины. (треугольник) . (Слайд 8)
Ученица 2: это фигура плоская. У неё 3 вершины, 3 угла, 3 стороны. Могут быть одинаковые или разные длины сторон.
Ученик 3: Треугольник образуется тремя отрезками ломаной линии.
Какая это фигура, плоская или объёмная? Ответы детей.
(Слайд 9) КОНВЕРТ с геометрическими фигурами. Следующая фигура...
Группа № 2.
Ученик 1: Обведи кирпич мелком на асфальте целиком,
И получится фигура – ты, конечно, с ней знаком.
Это прямоугольник . (“кликнуть”на слайде)
Ученица 2: у прямоугольника 4 угла, 4 вершины, 4 стороны. Попарно равны.
Ученик 3: Модель - замкнутая ломаная из 4-х звеньев. Звенья попарно равны.
Группа № 3.
Ученик 1: все четыре стороны одинаковой длины.
Вам представиться он рад, а зовут его...(квадрат ).
Ученица 2: у квадрата 4 вершины, 4 угла, 4 равных стороны.
Ученик 3: модель –замкнутая линия из 4-х звеньев одинаковой длины.
Группа № 4.
Ученица 1: Треугольник сунул нос в реактивный пылесос.
А без носа он, - о боже! – стал на юбочку похожим.
Интереснее всего, как теперь зовут его. (трапеция )
Ученик 2: 4 угла, 4 вершины, 4 стороны. Стороны бывают все разные или –боковые равные, а основания – разные.
Ученик 3: модель – 4 замкнутые линии, углы – 2 тупых и 2 острых.
Группа № 5.
Ученик 1: если встали все квадраты на вершины под углом БЫ,
То увидели, ребята, не квадраты мы, а... (ромбы .)
Ученик 2: 4 угла, 4 вершины, 4 стороны. Стороны – равны, противоположные углы –тоже равны.
Ученица 3: модель – 4 замкнутые линии, определенные углы.
Солнце встало высоко и летим мы далеко.
Остановка впереди. Что же это? Погляди!
3 остановка - привал. Физкультминутка: “Точка, точка, запятая...” Танцевальные движения под музыку. (Видеозапись для класса)
4 остановка – конструкторская. (Слайд 10)Перед вами – контейнеры с деталями конструктора. Каждой группе необходимо собрать фигуры по заданию. (См. в Приложении).
Найдите задание, разберитесь с деталями, обсудите план действий и приступайте к работе: соберите геометрические фигуры. Назовите их.
Работа парами. Старшие групп – помогают, организуют. Анализ работ.
III. Итог занятия. Рефлексия. Вот и закончилось наше первое путешествие по стране Геометрии. Но вам предстоит ещё не раз побывать в этой удивительной и замечательной стране и узнать много нового.Сегодня вы все работали замечательно и поэтому вы...молодцы.
Анализ работы групп: выполнено ли задание, качество работы, соблюдение правил (карточки для оценки работы по группам).
Наше занятие окончено. Спасибо за внимание. (слайд 11)
ПРИЛОЖЕНИЕ:
Задания для выполнения в группе № 1:
1. Рассмотрите геометрические фигуры, назовите их и выберите ТРЕУГОЛЬНИКИ.
4. Выполните модели фигур.
Задания для выполнения в группе № 2:
1. Рассмотрите геометрические фигуры, назовите их и выберите ПРЯМОУГОЛЬНИКИ.
2. Расскажите, что вы знаете об этой геометрической фигуре.
3. Подумайте, как построить МОДЕЛЬ этой фигуры. Объясните.
4. Выполните модели фигур.
Задания для выполнения в группе № 3:
1. Рассмотрите геометрические фигуры, назовите их и выберите КВАДРАТЫ.
2. Расскажите, что вы знаете об этой геометрической фигуре.
3. Подумайте, как построить МОДЕЛЬ этой фигуры. Объясните.
4. Выполните модели фигур.
Задания для выполнения в группе № 4:
1. Рассмотрите геометрические фигуры, назовите их и выберите ТРАПЕЦИИ.
2. Расскажите, что вы знаете об этой геометрической фигуре.
3. Подумайте, как построить МОДЕЛЬ этой фигуры. Объясните.
4. Выполните модели фигур.
Задания для выполнения в группе № 5:
1. Рассмотрите геометрические фигуры, назовите их и выберите РОМБЫ.
2. Расскажите, что вы знаете об этой геометрической фигуре.
3. Подумайте, как построить МОДЕЛЬ этой фигуры. Объясните.
4. Выполните модели фигур.
Правила работы в группе.
- Уважай своего товарища.
- Умей каждого выслушать.
- Отвечай за свою работу и за общее дело.
- Проявляй терпимость к критике.
- Не согласен – предлагай!
