Лечебные движения для восстановления двигательных функций и при болях в спине двигательных функций Восстановление двигательных функций Упражнений для восстановления позвоночника очень много. Их можно либо придумать самому, либо найти в самых разных видах гимнастики.

x =λ 0 e +z , гдеz L . Для вычисленияλ 0 умножим скалярно обе части равенства наe . Так как (z ,e ) = 0, получим (x ,e ) =λ 0 (e ,e ) =λ 0 .

Ортогональные и ортонормированные системы

Определение 5.5. ЕслиL – подпространство гильбертова пространстваH , то совокупностьM всех элементов изH , ортогональных кL , называется

ортогональным дополнением к L .

Докажем, что M – тоже подпространство.

1) Из свойства 3) для ортогональных элементов вытекает, что M – линейное подмножество пространстваH .

2) Пусть z n M иz n → z . По определениюM z n y для любогоy L , а по свойству 4) для ортогональных элементов имеемz y . Следовательно,z M иM замкнуто.

Для любого x H по теореме 5.3 существует единственное разложение

вида x =y +z , гдеy L ,z M , т.е. подпространстваL иM образуют

ортогональное разложение пространства H .

Лемма 5.1 . Пусть задано конечное или счетное множество попарно ортогональных подпространствL n и пусть элементx H представим в виде

x = ∑ y n , гдеy L . Тогда такое представление единственно иy n = Pr L n x .

Определение 5.6. Система ортогональных подпространствL n называетсяполной , если в пространствеH не существует ненулевого элемента, ортогонального всемL n .

Определение 5.7. Конечная или счетная система элементовh n гильбертова пространстваH называетсяортогональной , еслиh n h m приn ≠m .Определение 5.8. Ортогональная системаh n называетсяортонормированной , если ||h n || = 1.

Определение 5.9. Ортогональная системаh n называетсяполной , если не существует такого ненулевого элементаx H , чтоx h n при всехn .

Можно проверить, что ненулевые элементы ортогональной системы линейно независимы.

Примером полной ортонормированной системы в l 2 является система всех координатных ортов.

Теорема 5.4 . Если элементx H может быть представлен в виде

x = ∑ λ n h n , то это представление единственно и коэффициентыλ n равны

Это представление xназывается разложением Фурье(ортогональным разложением) элемента xпо элементам hn .

Теорема 5.5 . Для того, чтобы любой элементx H мог быть представлен своим разложением Фурье по элементамh n ортонормированной системы, необходимо и достаточно, чтобы эта система была полной.

Из этой теоремы следует, что в n –мерном гильбертовом пространстве полная ортонормированная система должна состоять изn элементов. С другой стороны, если в n –мерном гильбертовом пространстве задан произвольный базис, состоящий из попарно ортогональных элементов, то из теоремы 5.5 вытекает, что эта система полна.

Определение 5.10. Полная ортогональная система элементов называется

ортонормированным базисом гильбертова пространства.

Определение 5.11. Соотношение

Теорема 5.6 .

Для произвольной ортонормированной системы {h n } следующие утверждения относительно элементаx H равносильны:

1) для элемента x H справедливо разложение Фурье (5.7);

2) элемент x H входит в подпространство, порожденное множеством элементов {h n };

3) для элемента x H выполнено уравнение замкнутости (5.8).Следствие. Из теорем 5.5 и 5.6 следует, что для того, чтобы ортонормированная система была полной, необходимо и достаточно, чтобы

для любого x H выполнялось уравнение замкнутости.

Теорема 5.7 . Если элементx H может быть представлен своим разложением Фурье (5.7) по элементам ортонормированной системы {h n }, то для любогоy H справедливо

(x ,y )= ∑ α n β n ,

где α n – коэффициенты Фурье элементаx ,β n – коэффициенты Фурье элементаy относительно системы {h n }.

Теорема 5.8 . Конечномерное нормированное пространство сепарабельно.Теорема 5.9 . Любое пространство со счетным базисом сепарабельно.

Из теорем 5.8 и 5.9 следует, что конечный или счетный ортонормированный базис может существовать только в сепарабельных пространствах.

Ортогонализация системы линейно независимых элементов

Пусть в гильбертовом пространстве H задана конечная или счетная система линейно независимых элементовg 1 ,g 2 , ... Построим ортонормированную систему элементовh 1 ,h 2 , ... так, что каждыйh n имеет вид

Сначала построим ортогональную систему элементов f 1 ,f 2 , ... , полагая последовательно

k = 1

Коэффициенты λ ik нужно подобрать таким образом, чтобы элементыf 1 ,f 2 , ... были попарно ортогональны. Пусть уже найдены коэффициентыλ ik для элементовf 1 ,f 2 , ..., f n- 1 . Тогда приi

единице, то f n ≠ 0. Чтобы выполнялось условие (f n ,f i ) = 0, коэффициентλ ni должен определяться формулой

Ортогональную систему f 1 ,f 2 , ... мы построили. Теперь положим

Элементы h 1 ,h 2 , ... попарно ортогональны, ||h n || = 1 и каждый элементh n является линейной комбинацией элементовg 1 ,g 2 , ...,g n , следовательно, имеет требуемый вид (5.9). С другой стороны, из формулы (5.11) видно, что каждыйg n есть линейная комбинация элементовf 1 ,f 2 , ...,f n , а значит, и элементовh 1 ,h 2 , ...,h n , т.е. имеет вид (5.10). Таким образом, мы получили требуемую ортонормированную систему.

При этом, если исходная система {g n } была бесконечной, то и процесс ортогонализации состоит из бесконечного множества шагов, а система {h n } также будет бесконечной. Если же исходная система состоит изm элементов, то и в полученной системе будет столько же.

Заметим, что из условий (5.9) и (5.10) следует совпадение линейных оболочек систем элементов {g n } и {h n }.

Если L – конечномерное подпространство пространстваH , аg 1 ,g 2 , ...,g n – его произвольный базис, то, применяя к системе {g n } процесс ортогонализации, мы построим ортонормированный базис подпространства

Изоморфизм произвольного сепарабельного гильбертова пространства с пространством l ²

Теорема 5.10 . В сепарабельном гильбертовом пространстве Н, содержащем элементы, отличные от нуля, существует конечный или счетный ортонормированный базис.

Доказательство.

По определению сепарабельности в Н существует счетное всюду плотное множествоА . Перенумеруем все элементы множестваА . Выделим изА конечную или счетную системуВ линейно независимых элементов, линейная оболочка которой совпадает с линейной оболочкой множестваА . При этом все выброшенные изА элементы – это линейные комбинации элементов системыВ . СистемуВ подвергнем процессу ортогонализации и построим конечную или счетную ортонормированную систему элементовh n . Докажем,

что она полна.

Пусть x H их ортогонален всемh n . Так как элементы системыВ – это линейные комбинации элементовh n , тоx ортогонален всем элементам

системы В . МножествоА отличается отВ тем, что оно содержит еще некоторые элементы, представляющиеся в виде линейных комбинаций элементов системыВ . Поэтомух ортогонален всем элементам множестваА . Но так какА всюду плотно вН , тох = 0 по свойству 5) для ортогональных элементов. Тем самым полнота системы элементовh n доказана.

Перенесем определения алгебраического изоморфизма и изометрии для евклидовых пространств, в любые нормированные пространства.

Определение 5.12. Два нормированных пространстваЕ иE 1 называются

алгебраически изоморфными и изометричными, если между их элементами можно установить взаимнооднозначное соответствие так, что:

а) алгебраическим операциям над элементами из Е соответствуют те же операции над их образами вE 1 ;

б) нормы соответствующих друг другу элементов из Е и изE 1 равны.

Теорема 5.11 . Всякое бесконечномерное сепарабелъное гильбертово пространствоH алгебраически изоморфно и изометрично пространствуl 2 .

Доказательство.

По теореме 5.10 в Н существует счетный ортонормированный базис:h 1 ,h 2 , ...,h n , .... По теореме 5.5 для любогоx H справедливо разложение в

Определение 1. } называется ортогональной, если все ее элементы попарно ортогональны:

Теорема 1. Ортогональная система неравных нулю векторов линейно независима.

{Предположим, система линейно зависима: и, для определенности, Умножим скалярно равенство на . Учитывая ортогональность системы, получим: }

Определение 2. Система векторов евклидова пространства { } называется ортонормированной, если она ортогональна и норма каждого элемента равна единице.

Из теоремы 1 сразу следует, что ортонормированная система элементов всегда линейно независима. Отсюда, в свою очередь, следует, что в n – мерном евклидовом пространстве ортонормированная система из n векторов образует базис (например, {i , j , k } в 3 х – мерном пространстве).Такаясистема называется ортонормированным базисом, а ее векторы – базисными ортами.

Координаты вектора в ортонормированном базисе можно легко вычислить с помощью скалярного произведения: если Действительно, умножая равенство на , получаем указанную формулу.

Вообще, все основные величины: скалярное произведение векторов, длина вектора, косинус угла между векторами и т.д. имеют наиболее простой вид в ортонормированном базисе. Рассмотрим скалярное произведение: , так как

А все остальные слагаемые равны нулю. Отсюда сразу получаем: ,

* Рассмотрим произвольный базис . Скалярное произведение в этом базисе будет равно:

(Здесь α i и β j – координаты векторов в базисе {f }, а – скалярные произведения базисных векторов).

Величины γ ij образуют матрицу G , называемую матрицей Грама. Скалярное произведение в матричной форме будет иметь вид: *

Теорема 2. В любом n – мерном евклидовом пространстве существует ортонормированный базис. Доказательство теоремы носит конструктивный характер и носит название

9. Процесс ортогонализации Грама – Шмидта.

Пусть {a 1 ,...,a n } − произвольный базис n – мерного евклидова пространства (существование такого базиса обусловлено n – мерностью пространства). Алгоритм построения по данному базису ортонормированного заключается в следующем:

1. b 1 =a 1 , e 1 = b 1 /| b 1 |, | e 1 |= 1.

2. b 2 ^e 1 , т.к.(e 1 , a 2 )- проекция a 2 на e 1 , b 2 = a 2 - (e 1 , a 2 )e 1 , e 2 = b 2 /| b 2 |, | e 2 |= 1.

3. b 3 ^a 1 , b 3 ^a 2 , b 3 = a 3 - (e 1 , a 3 )e 1 - (e 2 , a 3 )e 2 , e 3 = b 3 /| b 3 |, | e 3 |= 1.

.........................................................................................................

k. b k ^a 1 ,..., b k ^a k-1 , b k = a k - S i=1 k (e i , a k )e i , e k = b k /| b k |, | e k |= 1.

Продолжая процесс, получаем ортонормированный базис {e 1 ,...,e n }.

Замечание 1 . С помощью рассмотренного алгоритма можно построить ортонормированный базис любой линейной оболочки, например, ортонормированный базис линейной оболочки системы, имеющей ранг равный трем и состоящей из пятимерных векторов.

Пример. x =(3,4,0,1,2), y =(3,0,4,1,2), z =(0,4,3,1,2)

Замечание 2. Особые случаи

Процесс Грама - Шмидта может применяться также к бесконечной последовательности линейно независимых векторов.

Кроме того, процесс Грама - Шмидта может применяться к линейно зависимым векторам. В этом случае он выдаёт 0 (нулевой вектор) на шаге j , если a j является линейной комбинацией векторов a 1 ,...,a j -1 . Если это может случиться, то для сохранения ортогональности выходных векторов и для предотвращения деления на ноль при ортонормировании алгоритм должен делать проверку на нулевые векторы и отбрасывать их. Количество векторов, выдаваемых алгоритмом, будет равно размерности подпространства, порождённого векторами (т.е. количеству линейно независимых векторов, которые можно выделить среди исходных векторов).

10. Геометрические векторные пространства R 1 , R 2 , R 3 .

Подчеркнем, что непосредственный геометрический смысл имеют лишь пространства

R 1 , R 2 , R 3 . Пространство R n при n > 3 – абстрактный чисто математический объект.

1) Пусть дана система из двух векторов a и b . Если система линейно зависима, то один из векторов, допустим a , линейно выражается через другой:

a = kb.

Два вектора, связанные такой зависимостью, как уже сказано, называются коллинеарными. Итак, система из двух векторов линейно зависима тогда и только

тогда, когда эти векторы коллинеарны. Заметим, что такое заключение относится не только к R 3 , но и к любому линейному пространству.

2) Пусть система в R3 состоит из трех векторов a, b, c . Линейная зависимость означает, что один из векторов, скажем a , линейно выражается через остальные:

а = kb+ lc . (*)

Определение. Три вектора a, b, с в R 3 , лежащие в одной плоскости или параллельные одной плоскости, называются компланарными

(на рис. слева указаны векторы a, b, с из одной плоскости, а справа те же векторы отложены от разных начал и лишь параллельны одной плоскости).

Итак, если три вектора в R3 линейно зависимы, то они компланарны. Справедливо и обратное: если векторы a, b, с из R3 компланарны, то они линейно зависимы.

Векторным произведением вектора a, на вектор b в пространстве называется вектор c , удовлетворяющий следующим требованиям:

Обозначение:

Рассмотрим упорядоченную тройку некомпланарных векторов a, b, c в трёхмерном пространстве. Совместим начала этих векторов в точке А (то есть выберем произвольно в пространстве точку А и параллельно перенесём каждый вектор так, чтобы его начало совпало с точкой А ). Концы векторов, совмещённых началами в точке А , не лежат на одной прямой, так как векторы некомпланарны.

Упорядоченная тройка некомпланарных векторов a, b, c в трёхмерном пространстве называется правой , если с конца вектора c кратчайший поворот от вектора a к вектору b виден наблюдателю против часовой стрелки. И наоборот, если кратчайший поворот виден по часовой стрелке, то тройка называется левой .

Другое определение связано с правой рукой человека (см. рисунок), откуда и берётся название.

Все правые между собой (и левые между собой) тройки векторов называются одинаково ориентированными.

Равно нулю:

Ортогональная система в случае её полноты может быть использована в качестве базиса пространства. При этом разложение любого элемента может быть вычислено по формулам: , где .

Случай, когда норма всех элементов , называется ортонормированной системой .

Ортогонализация

Любая полная линейно независимая система в конечномерном пространстве является базисом. От простого базиса, следовательно, можно перейти к ортонормированному базису.

Ортогональное разложение

При разложении векторов векторного пространства по ортонормированному базису упрощается вычисление скалярного произведения: , где и .

См. также

Wikimedia Foundation . 2010 .

Смотреть что такое "Ортогональная система" в других словарях:

1) О … Математическая энциклопедия

- (отгреч. orthogonios прямоугольный) конечная или счётная система ф ций, принадлежащих (сепара бельному) гильбертову пространству L2(a,b)(квадратично интегрируемых ф ций) и удовлетворяющих условиям Ф ция g(x)наз. весом О. с. ф.,* означает… … Физическая энциклопедия

Система функций??n(х)?, n=1, 2,..., заданных на отрезке ОРТОГОНАЛЬНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ линейное преобразование евклидова векторного пространства, сохраняющее неизменными длины или (что эквивалентно этому) скалярные произведения векторов … Большой Энциклопедический словарь

Система функций {φn(х)}, n = 1, 2, ..., заданных на отрезке [а, b] и удовлетворяющих следующему условию ортогональности: при k≠l, где ρ(х) некоторая функция, называемая весом. Например, тригонометрическая система 1, sin х, cos х, sin 2х,… … Энциклопедический словарь

Система ф ций {(фn(х)}, п=1, 2, ..., заданных на отрезке [а, b] и удовлетворяющих след, условию ортогональности при k не равно l, где р(х) нек рая ф ция, наз. весом. Напр., тригонометрич. система 1, sin х, cosх, sin 2х, cos 2x,... О.с.ф. с весом… … Естествознание. Энциклопедический словарь

Система функций {(φn (x)}, n = 1, 2,..., ортогональных с весом ρ (х) на отрезке [а, b], т. е. таких, что Примеры. Тригонометрическая система 1, cos nx, sin nx; n = 1, 2,..., О. с. ф. с весом 1 на отрезке [ π, π]. Бесселя … Большая советская энциклопедия

Ортогональными называются координаты в которых метрический тензор имеет диагональный вид. где d В ортогональных системах координат q = (q1, q², …, qd) координатные поверхности ортогональны друг другу. В частности, в декартовой системе координат… … Википедия

ортогональная многоканальная система - — [Л.Г.Суменко. Англо русский словарь по информационным технологиям. М.: ГП ЦНИИС, 2003.] Тематики информационные технологии в целом EN ortogonal multiplex …

система координат (фотограмметрического) снимка - Правая ортогональная пространственная система координат, фиксируемая на фотограмметрическом снимке изображениями координатных меток. [ГОСТ Р 51833 2001] Тематики фотограмметрия … Справочник технического переводчика

система - 4.48 система (system): Комбинация взаимодействующих элементов, организованных для достижения одной или нескольких поставленных целей. Примечание 1 Система может рассматриваться как продукт или предоставляемые им услуги. Примечание 2 На практике… … Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации