Конспект открытого урока преподавателя ГБПОУ «Педагогического колледжа № 4 Санкт-Петербурга»
Мартусевич Татьяны Олеговны
Дата: 29.12.2014.
Тема: Геометрический смысл производной.
Тип урока: изучение нового материала.
Методы обучения: наглядный, частично поисковый.
Цель урока.
Ввести понятие касательной к графику функции в точке, выяснить в чем состоит геометрический смысл производной, вывести уравнение касательной и научить находить его.
Добиться понимания геометрического смысла производной; вывода уравнения касательной; научиться решать базовые задачи;
обеспечить повторение материала по теме «Определение производной»;
создать условия контроля (самоконтроля) знаний и умений.
Развивающие задачи:
способствовать формированию умений применять приемы сравнения, обобщения, выделения главного;
продолжить развитие математического кругозора, мышления и речи, внимания и памяти.
Воспитательные задачи:
содействовать воспитанию интереса к математике;
воспитание активности, мобильности, умения общаться.
Тип урока – комбинированный урок с использованием ИКТ.
Оборудование – мультимедийная установка, презентация Microsoft Power Point .
Этап урока
Время
Деятельность преподавателя
Деятельность учащегося
1. Организационный момент.
Сообщение темы и цели урока.
Тема: Геометрический смысл производной.
Цель урока.
Ввести понятие касательной к графику функции в точке, выяснить в чем состоит геометрический смысл производной, вывести уравнение касательной и научить находить его.
Подготовка студентов к работе на занятии.
Подготовка к работе на занятии.
Осознание темы и цели урока.
Конспектирование.
2. Подготовка к изучению нового материала через повторение и актуализацию опорных знаний.
Организация повторения и актуализации опорных знаний: определения производной и формулирование её физического смысла.
Формулирование определения производной и формулирование её физического смысла. Повторение, актуализация и закрепление опорных знаний.
Организация повторения и формирование навыка нахождения производной степенной функции и элемениарных функций.
Нахождение производной данных функций по формулам.
Повторение свойств линейной функции.
Повторение, восприятие чертежей и высказываний преподавателя
3. Работа с новым материалом: объяснение.
Объяснение смысла отношения приращения функции к приращению аргумента
Объяснение геометрического смысла производной.
Введение нового материала посредством словесных объяснений с привлечением образов и наглядных средств: мультимедийной презентации с анимацией.
Восприятие объяснения, понимание, ответы на вопросы учителя.
Формулирование вопроса преподавателю в случае затруднения.
Восприятие новой информации, её первичное понимание и осмысление.
Формулирование вопросов преподавателю в случае затруднения.
Создание конспекта.
Формулирование геометрического смысла производной.
Рассмотрение трех случаев.
Конспектирование, выполнение рисунков.
4. Работа с новым материалом.
Первичное осмысление и применение изученного материала, его закрепление.
В каких точках производная положительна?
Отрицательна?
Равна нулю?
Обучение поиску алгоритма ответов на поставленные вопросы по графику.
Понимание и осмысление и применение новой информации для решения задачи.
5. Первичное осмысление и применение изученного материала, его закрепление.
Сообщение условия задачи.
Запись условия задачи.
Формулирование вопроса преподавателю в случае затруднения
6. Применение знаний: самостоятельная работа обучающего характера.
Решите задачу самостоятельно:
Применение полученных знаний.
Самостоятельная работа по решению задачи на нахождение производной по рисунку. Обсуждение и сверка ответов в паре, формулирование вопроса преподавателю в случае затруднения.
7. Работа с новым материалом: объяснение.
Вывод уравнения касательной к графику функции в точке.
Подробное объяснение вывода уравнения касательной к графику функции в точке с привлечением в качестве наглядности в виде мультимедийной презентации, ответы на вопросы учащихся.
Вывод уравнения касательной совместно с преподавателем. Ответы на вопросы преподавателя.
Конспектирование, создание рисунка.
8. Работа с новым материалом: объяснение.
В диалоге со студентами вывод алгоритма нахождения уравнения касательной к графику данной функции в данной точке.
В диалоге с преподавателем вывод алгоритма нахождения уравнения касательной к графику данной функции в данной точке.
Конспектирование.
Сообщение условия задачи.
Обучение применению полученных знаний.
Организация поиска путей решения задачи и их реализация. подробный разбор решения с объяснением.
Запись условия задачи.
Выдвижение предположений о возможных путях решения задачи при реализации каждого пункта плана действий. Решение задачи совместно с преподавателем.
Запись решения задачи и ответа.
9. Применение знаний: самостоятельная работа обучающего характера.
Индивидуальный контроль. Консультирование и помощь студентам по мере необходимости.
Проверка и объяснение решения с использованием презентации.
Применение полученных знаний.
Самостоятельная работа по решению задачи на нахождение производной по рисунку. Обсуждение и сверка ответов в паре, формулирование вопроса преподавателю в случае затруднения
10. Домашнее задание.
§48, задачи 1 и 3, разобраться в решении и записать его в тетрадь, с рисунками.
№ 860 (2,4,6,8),
Сообщение домашнего задания с комментариями.
Запись домашнего задания.
11. Подведение итогов.
Повторили определение производной; физический смысл производной; свойства линейной функции.
Узнали, в чём заключается геометрический смысл производной.
Научились выводить уравнение касательной к графику данной функции в данной точке.
Корректировка и уточнение итогов урока.
Перечисление итогов урока.
12. Рефлексия.
1. Вам было на уроке: а) легко; б) обычно; в) трудно.
а) усвоил(а) полностью, могу применить;
б) усвоил(а), но затрудняюсь в применении;
в) не усвоил(а).
3. Мультимедийная презентация на уроке:
а) помогала усвоению материала; б) не помогала усвоению материала;
в) мешала усвоению материала.
Проведение рефлексии.
Геометрический смысл производной. Задачи на экзамене связанные данной темой у выпускников вызывают некоторые затруднения. Большинство же из них, на самом деле, очень просты. В этой статье разберём задания, в которых требуется найти производную при заданном графике функции и касательной к графику в определённой точке
*При чём в этих задачах на эскизе явно отмечены как минимум две точки, через которые эта касательная проходит. Что нужно знать для решения?
Построим произвольный график некой функции y = f (x) на координатной плоскости, построим касательную в точке x о , обозначим угол между прямой о осью ox как α (альфа)
Из курса алгебры известно, что уравнение прямой имеет вид:
То есть производная функции y = f (x ) в точке x 0 равна угловому коэффициенту касательной:
А угловой коэффициент в свою очередь равен тангенсу угла α (альфа), то есть:
Угол α (альфа) может быть меньше, больше 90 градусов или равен нулю.
Проиллюстрируем, два случая:
1. Угол наклона касательной больше 90 градусов (тупой угол).
2. Угол наклона касательной равен нулю градусов (касательная параллельна оси ох ).
То есть задачи, в которых дан график функции, касательная к этому графику в определённой точке, и требуется найти производную в точке касания, сводятся к нахождению углового коэффициента касательной (либо тангенса угла наклона касательной, что одно и тоже).
Ниже рассмотрим решение таких задач через нахождение тангенса угла между касательной и осью абсцисс (осью ох ), ещё один способ решения (нахождение производной через угловой коэффициент) рассмотрим в недалёком будущем. Также будем рассматривать задачи, где требуется знание свойств производной для чтения графика функции. Не пропустите!
Обратите внимание, что на координатной плоскости обозначены две точки через которые проходит касательная – это очень важный момент (можно сказать ключевой в этих задачах).
Что ещё потребуется - это знание для тангенса тупого угла.
y = f (x ) x 0 y = f (x ) в точке x 0 .
Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной, который в свою очередь равен тангенсу угла наклона данной касательной к оси абсцисс. Для того, чтобы найти тангенс этого угла, построим прямоугольный треугольник, где отрезок ограниченный двумя точками на графике, будет являться гипотенузой, а катеты параллельны осям. В данной задаче это точки (–5; –4), (1; 5).
Напомню: тангенсом острого угла в прямоугольном треугольнике называется отношение противолежащего катета к прилежащему.
Катеты определяем по числу клеток.
Угол наклона касательной к оси абсцисс равен углу BAC, ох . Значит
Ответ: 1,5
y = f (x ) x 0 y = f (x ) в точке x 0 .
Задача аналогична предыдущей. Так же строим прямоугольный треугольник, где отрезок ограниченный двумя точками на графике, будет являться гипотенузой. В данной задаче это точки (–5; –7), (3; 3).
Катеты также определяем по числу клеток.
Угол наклона касательной к оси абсцисс равен углу ВАС, так как катет АС параллелен оси ох . Значит
Ответ: 1,25
На рисунке изображены график функции y = f (x ) и касательная к нему в точке с абсциссой x 0 . Найдите значение производной функции y = f (x ) в точке x 0 .
Строим прямоугольный треугольник, где отрезок ограниченный двумя точками на графике, будет являться гипотенузой. В данной задаче это точки (–3; 3) и (5; 11). Из точки (5;11) построим продолжение катета так, чтобы получился внешний угол.
Так как CD параллельна оси ох, то угол ABD равен углу наклона касательной к оси ох. Таким образом, мы будем вычислять тангенс угла ABD. Отметим, что он больше 90 градусов, поэтому здесь необходимо воспользоваться формулой приведения для тангенса:
Значит
*Длины катетов считаем по количеству клеток.
Ответ: -1,75
На рисунке изображены график функции y = f (x ) и касательная к нему в точке с абсциссой x 0 . Найдите значение производной функции y = f (x ) в точке x 0 . х 0
На этом всё! Успеха вам!
С уважением, Александр Крутицких.
P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.
Тема. Производная. Геометрический и механический смысл производной
Если этот предел существует, то функция называется дифференцируемой в точке. Производная функции обозначается (формула 2).
- Геометрический смысл производной. Рассмотрим график функции. Из рис.1 видно, что для любых двух точек A и B графика функции можно записать формула 3). В ней - угол наклона секущей AB.
Таким образом, разностное отношение равно угловому коэффициенту секущей. Если зафиксировать точку A и двигать по направлению к ней точку B, то неограниченно уменьшается и приближается к 0, а секущая АВ приближается к касательной АС. Следовательно, предел разностного отношения равен угловому коэффициенту касательной в точке A. Отсюда следует вывод.
Производная функции в точке есть угловой коэффициент касательной к графику этой функции в этой точке. В этом и состоит геометрический смысл производной.
- Уравнение касательной . Выведем уравнение касательной к графику функции в точке. В общем случае уравнение прямой с угловым коэффициентом имеет вид: . Чтобы найти b, воспользуемся тем, что касательная проходит через точку A: . Отсюда следует: . Подставляя это выражение вместо b, получаем уравнение касательной (формула 4).
- Tutorial
Давно хотел написать общую статью, содержащую в себе самые основы Image Recognition, некий гайд по базовым методам, рассказывающий, когда их применять, какие задачи они решают, что возможно сделать вечером на коленке, а о чём лучше и не думать, не имея команды человек в 20.
Какие-то статьи по Optical Recognition я пишу давненько, так что пару раз в месяц мне пишут различные люди с вопросами по этой тематике. Иногда создаётся ощущение, что живёшь с ними в разных мирах. С одной стороны понимаешь, что человек скорее всего профессионал в смежной теме, но в методах оптического распознавания знает очень мало. И самое обидное, что он пытается применить метод из близрасположенной области знаний, который логичен, но в Image Recognition полностью не работает, но не понимает этого и сильно обижается, если ему начать рассказывать что-нибудь с самых основ. А учитывая, что рассказывать с основ - много времени, которого часто нет, становится всё ещё печальнее.
Эта статья задумана для того, чтобы человек, который никогда не занимался методами распознавания изображений, смог в течении 10-15 минут создать у себя в голове некую базовую картину мира, соответствующую тематике, и понять в какую сторону ему копать. Многие методы, которые тут описаны, применимы к радиолокации и аудио-обработке.
Начну с пары принципов, которые мы всегда начинаем рассказывать потенциальному заказчику, или человеку, который хочет начать заниматься Optical Recognition:
- При решении задачи всегда идти от простейшего. Гораздо проще повесить на персону метку оранжевого цвета, чем следить за человеком, выделяя его каскадами. Гораздо проще взять камеру с большим разрешением, чем разрабатывать сверхразрешающий алгоритм.
- Строгая постановка задачи в методах оптического распознавания на порядки важнее, чем в задачах системного программирования: одно лишнее слово в ТЗ может добавить 50% работы.
- В задачах распознавания нет универсальных решений. Нельзя сделать алгоритм, который будет просто «распознавать любую надпись». Табличка на улице и лист текста - это принципиально разные объекты. Наверное, можно сделать общий алгоритм(вот хороший пример от гугла), но это будет требовать огромного труда большой команды и состоять из десятков различных подпрограмм.
- OpenCV - это библия, в которой есть множество методов, и с помощью которой можно решить 50% от объёма почти любой задачи, но OpenCV - это лишь малая часть того, что в реальности можно сделать. В одном исследовании в выводах было написано: «Задача не решается методами OpenCV, следовательно, она неразрешима». Старайтесь избегать такого, не лениться и трезво оценивать текущую задачу каждый раз с нуля, не используя OpenCV-шаблоны.
Список приведённых тут методов не полон. Предлагаю в комментариях добавлять критические методы, которые я не написал и приписывать каждому по 2-3 сопроводительных слова.
Часть 1. Фильтрация
В эту группу я поместил методы, которые позволяют выделить на изображениях интересующие области, без их анализа. Большая часть этих методов применяет какое-то единое преобразование ко всем точкам изображения. На уровне фильтрации анализ изображения не производится, но точки, которые проходят фильтрацию, можно рассматривать как области с особыми характеристиками.Бинаризация по порогу, выбор области гистограммы
Самое просто преобразование - это бинаризация изображения по порогу. Для RGB изображения и изображения в градациях серого порогом является значение цвета. Встречаются идеальные задачи, в которых такого преобразования достаточно. Предположим, нужно автоматически выделить предметы на белом листе бумаги:
Выбор порога, по которому происходит бинаризация, во многом определяет процесс самой бинаризации. В данном случае, изображение было бинаризовано по среднему цвету. Обычно бинаризация осуществляется с помощью алгоритма, который адаптивно выбирает порог. Таким алгоритмом может быть выбор матожидания или моды . А можно выбрать наибольший пик гистограммы.
Бинаризация может дать очень интересные результаты при работе с гистограммами, в том числе в ситуации, если мы рассматриваем изображение не в RGB, а в HSV . Например, сегментировать интересующие цвета. На этом принципе можно построить как детектор метки так и детектор кожи человека.
Классическая фильтрация: Фурье, ФНЧ, ФВЧ
Классические методы фильтрации из радиолокации и обработки сигналов можно с успехом применять во множестве задач Pattern Recognition. Традиционным методом в радиолокации, который почти не используется в изображениях в чистом виде, является преобразование Фурье (конкретнее - БПФ). Одно из немногих исключение, при которых используется одномерное преобразование Фурье, - компрессия изображений . Для анализа изображений одномерного преобразования обычно не хватает, нужно использовать куда более ресурсоёмкое двумерное преобразование .
Мало кто его в действительности рассчитывает, обычно, куда быстрее и проще использовать свёртку интересующей области с уже готовым фильтром, заточенным на высокие (ФВЧ) или низкие(ФНЧ) частоты. Такой метод, конечно, не позволяет сделать анализ спектра, но в конкретной задаче видеообработки обычно нужен не анализ, а результат.
Самые простые примеры фильтров, реализующих подчёркивание низких частот (фильтр Гаусса) и высоких частот (Фильтр Габора).
Для каждой точки изображения выбирается окно и перемножается с фильтром того же размера. Результатом такой свёртки является новое значение точки. При реализации ФНЧ и ФВЧ получаются изображения такого типа:
Вейвлеты
Но что если использовать для свёртки с сигналом некую произвольную характеристическую функцию? Тогда это будет называться "Вейвлет-преобразование ". Это определение вейвлетов не является корректным, но традиционно сложилось, что во многих командах вейвлет-анализом называется поиск произвольного паттерна на изображении при помощи свёртки с моделью этого паттерна. Существует набор классических функций, используемых в вейвлет-анализе. К ним относятся вейвлет Хаара , вейвлет Морле , вейвлет мексиканская шляпа , и.т.д. Примитивы Хаара, про которые было несколько моих прошлых статей ( , ), относятся к таким функциям для двумерного пространства.
Выше приведено 4 примера классических вейвлетов. 3х-мерный вейвлет Хаара, 2х-мерные вейвлет Мейера, вейвлет Мексиканская Шляпа, вейвлет Добеши. Хорошим примером использования расширеной трактовки вейвлетов является задачка поиска блика в глазу, для которой вейвлетом является сам блик:
Классические вейвлеты обычно используются для сжатия изображений , или для их классификации (будет описано ниже).
Корреляция
После такой вольной трактовки вейвлетов с моей стороны стоит упомянуть собственно корреляцию, лежащую в их основе. При фильтрации изображений это незаменимый инструмент. Классическое применение - корреляция видеопотока для нахождения сдвигов или оптических потоков. Простейший детектор сдвига - тоже в каком-то смысле разностный коррелятор. Там где изображения не коррелируют - было движение.
Фильтрации функций
Интересным классом фильтров является фильтрация функций. Это чисто математические фильтры, которые позволяют обнаружить простую математическую функцию на изображении (прямую, параболу, круг). Строится аккумулирующее изображение, в котором для каждой точки исходного изображения отрисовывается множество функций, её порождающих. Наиболее классическим преобразованием является преобразование Хафа для прямых. В этом преобразовании для каждой точки (x;y) отрисовывается множество точек (a;b) прямой y=ax+b, для которых верно равенство. Получаются красивые картинки:
(первый плюсег тому, кто первый найдёт подвох в картинке и таком определении и объяснит его, второй плюсег тому, кто первый скажет что тут изображено)
Преобразование Хафа позволяет находить любые параметризуемые функции. Например окружности . Есть модифицированное преобразование, которое позволяет искать любые фигуры . Это преобразование ужасно любят математики. Но вот при обработке изображений, оно, к сожалению, работает далеко не всегда. Очень медленная скорость работы, очень высокая чувствительность к качеству бинаризации. Даже в идеальных ситуациях я предпочитал обходиться другими методами.
Аналогом преобразования Хафа для прямых является преобразование Радона . Оно вычисляется через БПФ, что даёт выигрыш производительности в ситуации, когда точек очень много. К тому же его возможно применять к не бинаризованному изображению.
Фильтрации контуров
Отдельный класс фильтров - фильтрация границ и контуров . Контуры очень полезны, когда мы хотим перейти от работы с изображением к работе с объектами на этом изображении. Когда объект достаточно сложный, но хорошо выделяемый, то зачастую единственным способом работы с ним является выделение его контуров. Существует целый ряд алгоритмов, решающих задачу фильтрации контуров:Чаще всего используется именно Кэнни, который хорошо работает и реализация которого есть в OpenCV (Собель там тоже есть, но он хуже ищёт контуры).
Прочие фильтры
Сверху приведены фильтры, модификации которых помогают решить 80-90% задач. Но кроме них есть более редкие фильтры, используемые в локальных задачах. Таких фильтров десятки, я не буду приводить их все. Интересными являются итерационные фильтры (например активная модель внешнего вида), а так же риджлет и курвлет преобразования, являющиеся сплавом классической вейвлет фильтрации и анализом в поле радон-преобразования. Бимлет-преобразование красиво работает на границе вейвлет преобразования и логического анализа, позволяя выделить контуры:
Но эти преобразования весьма специфичны и заточены под редкие задачи.
Часть 2. Логическая обработка результатов фильтрации
Фильтрация даёт набор пригодных для обработки данных. Но зачастую нельзя просто взять и использовать эти данные без их обработки. В этом разделе будет несколько классических методов, позволяющих перейти от изображения к свойствам объектов, или к самим объектам.Морфология
Переходом от фильтрации к логике, на мой взгляд, являются методы математической морфологии ( , , ). По сути, это простейшие операции наращивания и эрозии бинарных изображений. Эти методы позволяют убрать шумы из бинарного изображения, увеличив или уменьшив имеющиеся элементы. На базе математической морфологии существуют алгоритмы оконтуривания, но обычно пользуются какими-то гибридными алгоритмами или алгоритмами в связке.
Контурный анализ
В разделе по фильтрации уже упоминались алгоритмы получения границ. Полученные границы достаточно просто преобразуются в контуры. Для алгоритма Кэнни это происходит автоматически, для остальных алгоритмов требуется дополнительная бинаризация. Получить контур для бинарного алгоритма можно например алгоритмом жука .Контур является уникальной характеристикой объекта. Часто это позволяет идентифицировать объект по контуру. Существует мощный математический аппарат, позволяющий это сделать. Аппарат называется контурным анализом ( , ).
Если честно, то у меня ни разу ни получилось применить контурный анализ в реальных задачах. Уж слишком идеальные условия требуются. То граница не найдётся, то шумов слишком много. Но, если нужно что-то распознавать в идеальных условиях - то контурный анализ замечательный вариант. Очень быстро работает, красивая математика и понятная логика.
Особые точки
Особые точки это уникальные характеристики объекта, которые позволяют сопоставлять объект сам с собой или с похожими классами объектов. Существует несколько десятков способов позволяющих выделить такие точки. Некоторые способы выделяют особые точки в соседних кадрах, некоторые через большой промежуток времени и при смене освещения, некоторые позволяют найти особые точки, которые остаются таковыми даже при поворотах объекта. Начнём с методов, позволяющих найти особые точки, которые не такие стабильные, зато быстро рассчитываются, а потом пойдём по возрастанию сложности:Первый класс. Особые точки, являющиеся стабильными на протяжении секунд. Такие точки служат для того, чтобы вести объект между соседними кадрами видео, или для сведения изображения с соседних камер. К таким точкам можно отнести локальные максимумы изображения, углы на изображении (лучший из детекторов, пожалуй, детектор Хариса), точки в которых достигается максимумы дисперсии, определённые градиенты и.т.д.
Второй класс. Особые точки, являющиеся стабильными при смене освещения и небольших движениях объекта. Такие точки служат в первую очередь для обучения и последующей классификации типов объектов. Например, классификатор пешехода или классификатор лица - это продукт системы, построенной именно на таких точках. Некоторые из ранее упомянутых вейвлетов могут являются базой для таких точек. Например, примитивы Хаара, поиск бликов, поиск прочих специфических функций. К таким точкам относятся точки, найденные методом гистограмм направленных градиентов (HOG).
Третий класс. Стабильные точки. Мне известно лишь про два метода, которые дают полную стабильность и про их модификации. Это SURF и SIFT . Они позволяют находить особые точки даже при повороте изображения. Расчёт таких точек осуществляется дольше по сравнению с остальными методами, но достаточно ограниченное время. К сожалению эти методы запатентованы. Хотя, в России патентовать алгоритмы низя, так что для внутреннего рынка пользуйтесь.
Часть 3. Обучение
ретья часть рассказа будет посвящена методам, которые не работают непосредственно с изображением, но которые позволяют принимать решения. В основном это различные методы машинного обучения и принятия решений. Недавно Яндыкс выложил на Хабр курс по этой тематике, там очень хорошая подборка. Вот оно есть в текстовой версии. Для серьёзного занятия тематикой настоятельно рекомендую посмотреть именно их. Тут я попробую обозначить несколько основных методов используемых именно в распознавании образов.В 80% ситуаций суть обучения в задаче распознавания в следующем:
Имеется тестовая выборка, на которой есть несколько классов объектов. Пусть это будет наличие/отсутствие человека на фотографии. Для каждого изображения есть набор признаков, которые были выделены каким-нибудь признаком, будь то Хаар, HOG, SURF или какой-нибудь вейвлет. Алгоритм обучения должен построить такую модель, по которой он сумеет проанализировать новое изображение и принять решение, какой из объектов имеется на изображении.
Как это делается? Каждое из тестовых изображений - это точка в пространстве признаков. Её координаты это вес каждого из признаков на изображении. Пусть нашими признаками будут: «Наличие глаз», «Наличие носа», «Наличие двух рук», «Наличие ушей», и.т.д… Все эти признаки мы выделим существующими у нас детекторами, которые обучены на части тела, похожие на людские. Для человека в таком пространстве будет корректной точка . Для обезьяны точка для лошади . Классификатор обучается по выборке примеров. Но не на всех фотографиях выделились руки, на других нет глаз, а на третьей у обезьяны из-за ошибки классификатора появился человеческий нос. Обучаемый классификатор человека автоматически разбивает пространство признаков таким образом, чтобы сказать: если первый признак лежит в диапазоне 0.5
Существует очень много классификаторов. Каждый из них лучше работает в какой-то своей задачке. Задача подбора классификатора к конкретной задаче это во многом искусство. Вот немножко красивых картинок на тему.
Простой случай, одномерное разделение
Разберём на примере самый простой случай классификации, когда пространство признака одномерное, а нам нужно разделить 2 класса. Ситуация встречается чаще, чем может представиться: например, когда нужно отличить два сигнала, или сравнить паттерн с образцом. Пусть у нас есть обучающая выборка. При этом получается изображение, где по оси X будет мера похожести, а по оси Y -количество событий с такой мерой. Когда искомый объект похож на себя - получается левая гауссиана. Когда не похож - правая. Значение X=0.4 разделяет выборки так, что ошибочное решение минимизирует вероятность принятия любого неправильного решения. Именно поиском такого разделителя и является задача классификации.
Маленькая ремарка. Далеко не всегда оптимальным будет тот критерий, который минимизирует ошибку. Следующий график - это график реальной системы распознавания по радужной оболочке. Для такой системы критерий выбирается такой, чтобы минимизировать вероятность ложного пропуска постороннего человека на объект. Такая вероятность называется «ошибка первого рода», «вероятность ложной тревоги», «ложное срабатывание». В англоязычной литературе «False Access Rate ».
) АдаБуста - один из самых распространённых классификаторов. Например каскад Хаара построен именно на нём. Обычно используют когда нужна бинарная классификация, но ничего не мешает обучить на большее количество классов.
SVM ( , , , ) Один из самых мощных классификаторов, имеющий множество реализаций. В принципе, на задачах обучения, с которыми я сталкивался, он работал аналогично адабусте. Считается достаточно быстрым, но его обучение сложнее, чем у Адабусты и требуется выбор правильного ядра.
Ещё есть нейронные сети и регрессия. Но чтобы кратко их классифицировать и показать, чем они отличаются, нужна статья куда больше, чем эта.
________________________________________________
Надеюсь, у меня получилось сделать беглый обзор используемых методов без погружения в математику и описание. Может, кому-то это поможет. Хотя, конечно, статья неполна и нет ни слова ни о работе со стереоизображениями, ни о МНК с фильтром Калмана, ни об адаптивном байесовом подходе.
Если статья понравится, то попробую сделать вторую часть с подборкой примеров того, как решаются существующие задачки ImageRecognition.
И напоследок
Что почитать?1) Когда-то мне очень понравилась книга «Цифровая обработка изображений» Б. Яне, которая написана просто и понятно, но в то же время приведена почти вся математика. Хороша для того, чтобы ознакомиться с существующими методами.
2) Классикой жанра является Р Гонсалес, Р. Вудс " Цифровая обработка изображений ". Почему-то она мне далась сложнее, чем первая. Сильно меньше математики, зато больше методов и картинок.
3) «Обработка и анализ изображений в задачах машинного зрения» - написана на базе курса, читаемого на одной из кафедр ФизТеха. Очень много методов и их подробного описания. Но на мой взгляд в книге есть два больших минуса: книга сильно ориентирована на пакет софта, который к ней прилагается, в книге слишком часто описание простого метода превращается в математические дебри, из которых сложно вынести структурную схему метода. Зато авторы сделали удобный сайт, где представлено почти всё содержание - wiki.technicalvision.ru Добавить метки
