Что такое логарифм?
Внимание!
К этой теме имеются дополнительные
материалы в Особом разделе 555.
Для тех, кто сильно "не очень..."
И для тех, кто "очень даже...")
Что такое логарифм? Как решать логарифмы? Эти вопросы многих выпускников вводят в ступор. Традиционно тема логарифмов считается сложной, непонятной и страшной. Особенно - уравнения с логарифмами.
Это абсолютно не так. Абсолютно! Не верите? Хорошо. Сейчас, за какие-то 10 - 20 минут вы:
1. Поймете, что такое логарифм .
2. Научитесь решать целый класс показательных уравнений. Даже если ничего о них не слышали.
3. Научитесь вычислять простые логарифмы.
Причём для этого вам нужно будет знать только таблицу умножения, да как возводится число в степень...
Чувствую, сомневаетесь вы... Ну ладно, засекайте время! Поехали!
Для начала решите в уме вот такое уравнение:
Если Вам нравится этот сайт...
Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)
Можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся - с интересом!)
можно познакомиться с функциями и производными.
Приведены основные свойства логарифма, график логарифма, область определения, множество значений, основные формулы, возрастание и убывание. Рассмотрено нахождение производной логарифма. А также интеграл, разложение в степенной ряд и представление посредством комплексных чисел.
Определение логарифма
Логарифм с основанием a - это функция y(x) = log a x , обратная к показательной функции с основанием a: x(y) = a y .
Десятичный логарифм - это логарифм по основанию числа 10 : lg x ≡ log 10 x .
Натуральный логарифм - это логарифм по основанию числа e : ln x ≡ log e x .
2,718281828459045...
;
.
График логарифма получается из графика показательной функции зеркальным отражением относительно прямой y = x
.
Слева изображены графики функции y(x)
= log a x
для четырех значений основания логарифма
: a = 2
,
a = 8
,
a = 1/2
и a = 1/8
.
На графике видно, что при a > 1
логарифм монотонно возрастает. С увеличением x
рост существенно замедляется. При 0
< a < 1
логарифм монотонно убывает.
Свойства логарифма
Область определения, множество значений, возрастание, убывание
Логарифм является монотонной функцией, поэтому экстремумов не имеет. Основные свойства логарифма представлены в таблице.
| Область определения | 0 < x < + ∞ | 0 < x < + ∞ |
| Область значений | - ∞ < y < + ∞ | - ∞ < y < + ∞ |
| Монотонность | монотонно возрастает | монотонно убывает |
| Нули, y = 0 | x = 1 | x = 1 |
| Точки пересечения с осью ординат, x = 0 | нет | нет |
| + ∞ | - ∞ | |
| - ∞ | + ∞ |
Частные значения
Логарифм по основанию 10 называется десятичным логарифмом
и обозначается так:
Логарифм по основанию e
называется натуральным логарифмом
:
Основные формулы логарифмов
Свойства логарифма, вытекающие из определения обратной функции:
Основное свойство логарифмов и его следствия
Формула замены основания
Логарифмирование - это математическая операция взятия логарифма. При логарифмировании, произведения сомножителей преобразуются в суммы членов.
Потенцирование - это математическая операция обратная логарифмированию. При потенцировании заданное основание возводится в степень выражения, над которым выполняется потенцирование. При этом суммы членов преобразуются в произведения сомножителей.
Доказательство основных формул логарифмов
Формулы, связанные с логарифмами вытекают из формул для показательных функций и из определения обратной функции.
Рассмотрим свойство показательной функции
.
Тогда
.
Применим свойство показательной функции
:
.
Докажем формулу замены основания.
;
.
Полагая c = b
,
имеем:
Обратная функция
Обратной для логарифма по основанию a является показательная функция с показателем степени a .
Если , то
Если , то
Производная логарифма
Производная логарифма от модуля x
:
.
Производная n-го порядка:
.
Вывод формул > > >
Для нахождения производной логарифма, его нужно привести к основанию e
.
;
.
Интеграл
Интеграл от логарифма вычисляется интегрированием по частям : .
Итак,
Выражения через комплексные числа
Рассмотрим функцию комплексного числа z
:
.
Выразим комплексное число z
через модуль r
и аргумент φ
:
.
Тогда, используя свойства логарифма, имеем:
.
Или
Однако, аргумент φ
определен не однозначно. Если положить
, где n
- целое,
то будет одним и тем же числом при различных n
.
Поэтому логарифм, как функция от комплексного переменного, является не однозначной функцией.
Разложение в степенной ряд
При имеет место разложение:
Использованная литература:
И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов, «Лань», 2009.
§ 1 Умножение многочлена на одночлен
Когда речь идёт об умножении многочленов, то мы можем иметь дело с операциями двух видов: умножение многочлена на одночлен и умножение многочлена на многочлен. На этом занятии мы узнаем, как умножить многочлен на одночлен.
Основным правилом, которое используют при умножении многочлена на одночлен, является распределительное свойство умножения. Вспомним:
Чтобы сумму умножить на число, можно каждое слагаемое умножить на это число и полученные произведения сложить.
Это свойство умножения распространяется и на действие вычитания. В буквенной записи распределительное свойство умножения выглядит так:
(а + b) ∙ с = ас + bc
(а - b) ∙ с = ас - bc
Рассмотрим пример: многочлен (5аb - 3а2) умножить на одночлен 2b.
Введём новые переменные и обозначим 5аb - буквой х, 3а2 - буквой у, 2b - буквой с. Тогда наш пример примет вид:
(5аb - 3а2) ∙ 2b = (х - у) ∙с
Согласно распределительному закону это равно хс - ус. Теперь вернёмся к первоначальному значению новых переменных. Получим:
5аb∙2b - 3а2∙2b
Теперь приведём получившийся многочлен к стандартному виду. Получим выражение:
Таким образом, можно сформулировать правило:
Чтобы умножить многочлен на одночлен, надо каждый член многочлена умножить на этот одночлен и полученные произведения сложить.
Это же правило действует и при умножении одночлена на многочлен.
§ 2 Примеры по теме урока
При умножении многочленов на практике во избежание путаницы с определением получающихся знаков рекомендуют сначала определять и сразу записывать знак произведения, а уж потом находить и записывать произведение чисел и переменных. Вот как это выглядит на конкретных примерах.
Пример 1. (4а2b - 2а) ∙ (-5аb).
Здесь одночлен - 5аb надо умножить на два одночлена, составляющих многочлен, 4а2b и - 2а. Первое произведение будет со знаком «-», а второе - со знаком «+». Поэтому решение будет выглядеть так:
(4а2b - 2а) ∙ (-5аb) = - 4а2b ∙ 5аb + 2а ∙ 5аb = -20а3b2 + 10а2b
Пример 2. -ху(2х - 3у +5).
Здесь нам придётся выполнить три действия умножения, причём знак первого произведения будет «-», знак второго «+», знак третьего «-». Решение выглядит так:
Ху(2х - 3у + 5) = -ху∙2х + ху∙3у - ху∙5 = -2х2у + 3ху2 - 5ху.
Список использованной литературы:
- Мордкович А.Г, Алгебра 7 класс в 2 частях, Часть 1, Учебник для общеобразовательных учреждений/ А.Г. Мордкович. – 10 – е изд., переработанное – Москва, «Мнемозина», 2007
- Мордкович А.Г., Алгебра 7 класс в 2 частях, Часть 2, Задачник для общеобразовательных учреждений/ [А.Г. Мордкович и др.]; под редакцией А.Г. Мордковича – 10-е издание, переработанное – Москва, «Мнемозина», 2007
- Е.Е. Тульчинская, Алгебра 7 класс. Блиц опрос: пособие для учащихся общеобразовательных учреждений, 4-е издание, исправленное и дополненное, Москва, «Мнемозина», 2008
- Александрова Л.А., Алгебра 7 класс. Тематические проверочные работы в новой форме для учащихся общеобразовательных учреждений, под редакцией А.Г. Мордковича, Москва, «Мнемозина», 2011
- Александрова Л.А. Алгебра 7 класс. Самостоятельные работы для учащихся общеобразовательных учреждений, под редакцией А.Г. Мордковича – 6-е издание, стереотипное, Москва, «Мнемозина», 2010
На данном уроке будет изучена операция умножения многочлена на одночлен, являющаяся основой для изучения умножения многочленов. Вспомним распределительный закон умножения и сформулируем правило умножения любого многочлена на одночлен. Также вспомним некоторые свойства степеней. Кроме того, будут сформулированы типовые ошибки при выполнении различных примеров.
Тема: Многочлены. Арифметические операции над одночленами
Урок: Умножение многочлена на одночлен. Типовые задачи
Операция умножения многочлена на одночлен является основой для рассмотрения операции умножения многочлена на многочлен и нужно сначала научиться умножать многочлен на одночлен, чтобы разобраться в умножении многочленов.
Основой данной операции является распределительный закон умножения. Напомним его:
По существу, мы видим правило умножения многочлена, в данном случае двучлена, на одночлен и это правило можно сформулировать так: чтобы умножить многочлен на одночлен, нужно каждый член многочлена умножить на этот одночлен. Сложить алгебраически полученные произведения, после чего произвести над многочленом необходимые действия - а именно привести его к стандартному виду.
Рассмотрим пример:
Комментарий: данный пример решается, точно следуя правилу: каждый член многочлена умножается на одночлен. Для того, чтобы хорошо понять и усвоить распределительный закон, в данном примере члены многочлена были заменены на х и у соответственно, а одночлен на с, после этого выполнено элементарное действие в соответствии с распределительным законом и выполнена подстановка исходных значений. Следует быть внимательными со знаками и правильно выполнить умножение на минус единицу.
Рассмотрим пример умножения трехчлена на одночлен и убедимся, что оно ничем не отличается от такой же операции с двучленом:
Перейдем к решению примеров:
Комментарий: данный пример решается согласно распределительному закону и аналогично предыдущему примеру - каждый член многочлена умножается на одночлен, полученный многочлен уже записан в стандартном виде, поэтому упростить его нельзя.
Пример 2 - выполнить действия и получить многочлен в стандартном виде:
Комментарий: для решения данного примера сначала произведем умножение для первого и второго двучленов согласно распределительному закону, после этого приведем полученный многочлен к стандартному виду - приведем подобные члены.
Теперь сформулируем основные задачи, связанные с операцией умножения многочлена на одночлен, и приведем примеры их решения.
Задача1 - упростить выражение:
Комментарий: данный пример решается аналогично предыдущему, а именно вначале производится умножение многочленов на соответствующие одночлены, после этого приведение подобных.
Задача 2 - упростить и вычислить:
Пример 1:;
Комментарий: данный пример решается аналогично предыдущему, с тем лишь дополнением, что после приведения подобных членов нужно вместо переменной подставить ее конкретное значение и вычислить значение многочлена. Напомним, чтобы легко умножить десятичную дробь на десять, нужно переместить запятую на один разряд вправо.
НР МОБУ «Пойковская средняя общеобразовательная школа №2»
Открытый урок по алгебре в 7 классе
по теме:
«Умножение одночлена на многочлен»
Учителя математики
Лимарь Т. А.
г. п. Пойковский, 2014
Методическая информация
Тип урока
Урок «открытия» нового знания
Цели урока (образовательные, развивающие, воспитательные)
Деятельностная цель урока : формирование у учащихся способностей к самостоятельному построению новых способов действия по теме «Умножение одночлена на многочлен» на основе метода рефлексивной самоорганизации.
Образовательная цель : расширение понятийной базы по теме «Многочлены» за счет включения в нее новых элементов: умножение одночленов на многочлен.
Задачи урока
образовательные:
Выработать алгоритм умножения одночлена на многочлен, рассмотреть примеры его применения.
развивающие:
Развитие внимания, памяти, умения рассуждать и аргументировать свои действия через решение проблемной задачи;
Развитие познавательного интереса к предмету;
Формирование эмоционально-положительного настроя у учащихся путем применения активных форм ведения урока и применением ИКТ;
Развитие рефлексивных умений через проведение анализа результатов урока и самоанализа собственных достижений.
воспитательные:
Развитие коммуникативных умений обучающихся через организацию групповой, парной и фронтальной работы на уроке.
Используемые методы
Словесные методы (беседа, чтение),
Наглядные (демонстрация презентации),
Проблемно-поисковый,
Метод рефлексивной самоорганизации (деятельностный метод),
Формирование личностных УУД.
Дидактическое обеспечение урока:
Компьютерная презентация,
Карточки с заданиями,
Карточки оценки работы на уроке,
Карточки с практическими заданиями по новой теме.
Этапы урок
Деятельность учителя
Деятельность учащихся
Организационный этап. (1мин)
Цели: актуализация знаний учащихся, определение целей урока, деление класса на группы (разно уровневые), выбор руководителя группы.
Психологический настрой, приветствие учащихся.
Приветствует учеников, называет эпиграф урока. Предлагает занять места по заранее распределенным группам и дает предварительный инструктаж.
Здравствуйте, присаживайтесь. Ребята, еще за тысячи лет до нашего рождения Аристотель говорил, что «…математика … выявляет порядок, симметрию и определенность, а это – важнейшие виды прекрасного». И после каждого урока в мире математики неопределенности становится меньше. Я надеюсь, что и сегодня мы с вами откроем для себя что-то новое.
В ходе урока вы будете заполнять оценочный лист, который лежит у вас на столах, после выполнения каждого задания.
Учащиеся рассаживается по заранее разделенным группам. Знакомится с оценочным листом.
Устный счет.
Цель: проверить усвоение теоретического материала по теме: «Умножение одночлена на одночлен. Возведение в степень» и умения применять его на практике, развитие мыслительных навыков учащихся, осознание ценности совместной деятельности, борьба за успех группы.
а) математический диктант.
Привести подобные одночлены.
а) 2х+4у+6х=
б) -4а+в-3а=
в) 3c+2d+5d=
г) -2d +4a-3a =
2. Умножить одночлен на одночлен
а) -2ху 3х
б) (-4ав) (-2в)
г) (-5ав) (2z )
д) 2z (x +y )
Учитель предлагает выполнить математический диктант, записанный на доске. Контролирует правильность выполнение, подводит к изучению нового материала.
Совместно с учащимися формулирует цель и тему урока
- какой из номеров диктанта вызвал у вас наибольшие затруднения?
Давайте попробуем выяснить где именно возникло затруднение и почему?
- Цель нашего урока: научиться выполнять умножение одночлена на многочлен (справедливость вашего решения).
Тема урока: « У множение одночлена на многочлен».
Учащиеся выполняют задания. Совместно с учителем формулирует цель и тему урока. Записывают тему урока тетрадях.
(предполагаемый ответ учащихся д)
Выработать (сформулировать) правило умножения одночлена на многочлен.
Подведение к новой теме
Цель: подготовить учащихся к изучению нового материала.
Работа в группах.
Группа №1.
Вычислить.
15 80+15 20= 1200+300=1500
15 (80+20)=15 100=1500
Группа №2
Вычислить.
20 40+20 100=800+2000=2800
20 (40+100)=20 140=2800
Группа №3.
Вычислить .
6 (2а+3а)=6 5а=30а
6 2а+6 3а=12а+18а=30
Группа № 4
Вычислить
7 (4х+2х)= 7 6х=42
7 4х+7 2х=28х+14х=42х
Учитель проводит инструктаж. Контролирует выполнение.
Каждой группе необходимо найти значение двух выражений. Сравнить их и записать вывод в виде равенства или неравенства.
Учащиеся решают примеры в группах, делают вывод.
1 член от каждой группы пишет вывод на доске.
На доске написано:
15 80+15 20=15 (80+20)
20 40+20 100=20 (40+100)
6 (2а+3а)=6 2а+6 3
7 (4х+2х)=7 4х+7 2х
Учащиеся выставляют себе оценку в оценочный лист. Если вывод сформулирован и записан правильно, то ставят 5.
«Открытие» учащимися нового материала.
Цель:
формирование у учащихся способностей к самостоятельному построению новых способов действия по теме «Умножение одночлена на многочлен» на основе метода рефлексивной самоорганизации.
Выполнение задания «Заполните пропуски»
Слайд 2.
2z ∙(x +y )=2z ∙ +2z ∙
3х(а+в)= а+ в
Через минуту на доске высвечивается правильное решение.
Учитель дает инструктаж.
Проводит опрос. Делает вывод.
Пользуясь равенствами, записанными на доске, заполните пропуски в следующих выражениях
Обратите внимание, что стоит перед скобкой?
Что стоит в скобках?
Что получается в ответе?
И так, давайте сделаем вывод как умножить одночлен на многочлен. Через три минуты представляют свой материал классу (используется белый лист и фломастеры).
Обобщает
Проверим, правильно ли вы сформулировали правило. Для этого откроем учебник на стр.
Ученики работают в группах, каждая группа обсуждает, как заполнить пропуски.
Проверяют правильность заполнения пропусков.
Каждая группа выдвигает свою гипотезу и представляет классу, проходит общее обсуждение и делается вывод.
Читают вслух правило из учебника.
Одночлен
Многочлен
Первичное закрепление.
Цель: отработка навыков умножения одночлена на многочлен, развитие мыслительных навыков учащихся, осознание ценности совместной деятельности, борьба за успех группы, повышение мотивации учебной деятельности.
Работа в группах.
Группа №1, 3
х∙(
m ∙(n +3)=__________________ ; 7a ∙(2b -3c ) = _______________ ;
Группа №2, 4
a∙(c-y) = __________________ ; c∙(c+d)=___________________ ;
m∙(y+5)=__________________ ; 6m∙(2n-3k) = ______________ ;
7
Учитель дает инструктаж.
На парте возьмите карточку №2 Обязательное условие - при решении проговаривать друг другу правило.
Выполните взаимопроверку, группа 1 меняется карточками с группой 3, а группа 2 – с группой 4. Выставьте оценки группам в оценочный лист:
5 правильно выполненных задания – оценка «5»; 4 - «4»; 3- «3»; меньше 3- «2».
Выполняют задание на карточках, проводят взаимопроверку.
Ответственный член группы №1 спрашивает любого члена группы №3. Выставляет оценку в оценочный лист.
ответственный член группы №2 спрашивает любого члена группы №4. Выставляет оценку в оценочный лист
6. Математическая зарядка.
Цель: повысить или удержать умственную работоспособность детей на уроках;
обеспечить кратковременный активный отдых для учеников в течение урока.
Учитель проводит инструктаж, показывает карточки, на которых записаны одночлены, многочлены и выражения которые не являются ни одночленами, ни многочленами.
Учащиеся выполняют упражнения по командам
«Одночлен» - руки подняли вверх; «Многочлен» - руки перед собой «Другое выражение» - руки в стороны;
Закрыли глаза, про себя досчитали до 30, открыли глаза.
Математическое лото
Цель: закрепить алгоритм умножения одночлена на многочлен и побудить интерес к математике
Группа№1,3
с(3а-4в)=3ас-12вс;
3) 3c(x-3y)=3cx-9cy;
4) -n(x-m)=-nx+nm;
5) 3z (x-y )= 3zx-3zy .
Карточки с ответами:
3ас-12вс; 3ас+12вс; 3ас-4в
zx+2zy; zx-2zy; zx+2y;
3cx-9cy; 3cx+9cy; 3cx-3cy;
Nx+nm; nx+nm; nx-nm;
3zx-3zy; 3zx-y; zx-zy.
Группа №2, 4
Умножьте одночлен на многочлен
5a(b+3d)=5ab+15ad
А(3в+с)=-3ав-ас;
4x (5c -s )=20cx -4xs ;
a(3c+2b)=3ac +2ba
Карточки с ответами:
3ав-ас; 3ав+ас; в-ас;
20cx -4xs ; 20cx +4xs ; 5c -4xs ;
3ac+2ba; 3ac+6ba; 3ac-2ba;
cp-5cm; ср-5m; p-5cm.
5ab+ad; 5ab+5b; 5ab+15ad
Раздает конверты. Рассказывает правила игры. В одном конверте лежат 5 примеров на умножения одночлен на многочлен и 15 карточек с ответами.
Поясняю, как оценивать выполненную работу.
Группа получает оценку «5»,если первой выполнила все задания верно, 4 задания – «4»; 3 задания – «3», меньше трех –«2», та группа, которая завершает игру в лото второй, при этом выполнив все задания, верно получает оценку «4», третья – «3», последняя – «2».
Получают конверты с заданиями.
Выполняют умножение одночлена на одночлен.
Выбирают правильные ответы из всех предложенных карточек.
Самопроверка.
Получают карточку для самопроверки. Выставляют оценку в оценочный лист.
8 . Рефлексия учебной деятельности на уроке (итог урока).
Цель: самооценка учащимися результатов своей учебной деятельности, осознание метода построения границ и применения нового способа действия.
Фронтальная беседа по вопросы на слайде:
Какой алгоритм умножения одночлена на многочлен существует в математике?
Какой результат вашей деятельности?
Учитель проводит анализ оценочных листов (их результаты видны на слайде)
Возвращается к девизу урока, проводит параллель между эпиграфом и выведенном на уроке алгоритмом.
Сдайте оценочные листы, на которых четко видно результат вашей деятельности.
Еще раз вернемся к девизу нашего урока: «…математика … выявляет порядок, симметрию и определенность, а это – важнейшие виды прекрасного». Алгоритм который мы вывели сегодня на уроке, поможет в дальнейшем сделать нам новые открытия: умножение многочлена на многочлен, поможет узнать формулы сокращенного умножения, о которых много говорят в алгебре. В переде нас ждет много интересного и важного.
Спасибо за урок!!!
Учащиеся делают самоанализ своей работы, вспоминают алгоритм, изученный на уроке, отвечают на вопросы.
ПРИЛОЖЕНИЕ.
КАРТОЧКА №1.
Группа №1.
Вычислить.
15 80+15 20= ______________________________
15 (80+20)= _______________________________
КАРТОЧКА №1.
Группа №2
Вычислить.
20 40+20 100 =_________________________________
20 (40+100)= __________________________________
КАРТОЧКА №1.
Группа №3.
Вычислить .
6 (2а+3а)=_____________________________________
6 2а+6 3а=_____________________________________
КАРТОЧКА №1
Группа № 4
Вычислить
7 (4х+2х)= _____________________________________
7 4х+7 2х= _____________________________________
КАРТОЧКА №2.
Группа №3
х∙(z +y ) = __________________ ; a ∙(c +d )=___________________ ;
5x∙(3a-6a)= _______ -________= _______.
КАРТОЧКА №4.
Группа №2
7x ∙(5d -8d )= ______ - ________= _______.КАРТОЧКА №2.
Группа №1
х∙(z +y ) = __________________ ; a ∙(c +d )=___________________ ;
m∙(n+3)=__________________ ; 7a∙(2b-3c) = _______________ ;
5x∙(3a-6a)= _______ -________= _______.
КАРТОЧКА №2.
Группа №2
a ∙(c -y ) = __________________ ; c ∙(c +d )=___________________ ;
m ∙(y +5)=__________________ ; 6m ∙(2n -3k ) = ______________ ;
7x ∙(5d -8d )= ______ - ________= _______.Математическое лото ( по два экземпляра)
с(3а-4в)
z(x+2y)
3c(x-3y)
-n(x-m)
3z (x-y )
-а(3в+с)
4x (5c -s )
a(3c+2b)
c(p-5m)
5a(b+3d)
Ответы к лото (по два экземпляра)
3ас-12вс
3ас+12вс
3ас-4в
zx+2zy;
zx-2zy
zx+2y
3сх-9су
3cx-3cy
3сх+3су
Nx+nm
nx+nm
nx-nm
zx-zy
3zx-y
3zx-3zy
3ав-ас
3ав+ас;
в-ас
20cx -4xs
20cx +4xs
5c -4xs
3ac+2ba
3ac+6ba
3ac-2ba
cp-5cm
ср-5m
p-5cm.
5ab+ad
5ab+5b
