В данной статье будут рассмотрены рациональные дроби, ее выделения целых частей. Дроби бывают правильными и неправильными. Когда в дроби числитель меньше знаменателя – это правильная дробь, а неправильная наоборот.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Рассмотрим примеры правильных дробей: 1 2 , 9 29 , 8 17 , неправильных: 16 3 , 21 20 , 301 24 .
Будем вычислять дроби, которые могут сократиться, то есть 12 16 - это 3 4 , 21 14 - это 3 2 .
При выделении целой части производится процесс деления числителя на знаменатель. Тогда такая дробь может быть представлена как сумма целой и дробной части, где дробная считается отношением остатка от деления и знаменателя.
Пример 1
Найти остаток при делении 27 на 4 .
Решение
Необходимо произвести деление столбиком, тогда получим, что
Значит, 27 4 = ц е л а я ч а с т ь + о с т а т о к з н а м е н а т е л ь = 6 + 3 4
Ответ: остаток 3 .
Пример 2
Произвести выделение целых частей 331 12 и 41 57 .
Решение
Производим деление знаменателя на числитель при помощи уголка:
Поэтому имеем, что 331 12 = 27 + 7 12 .
Вторая дробь является правильной, значит, целая часть равняется нулю.
Ответ: целые части 27 и 0 .
Рассмотрим классификацию многочленов, иначе говоря, дробно-рациональную функцию. Ее считают правильной, когда степень числителя меньше степени знаменателя, иначе ее считают неправильной.
Определение 1
Деление многочлена на многочлен происходит по принципу деления углом, а представление функции как сумма целой и дробной частей.
Чтобы разделить многочлен на линейный двучлен, используется схема Горнера.
Пример 3
Произвести деление x 9 + 7 x 7 - 3 2 x 3 - 2 на одночлен 2 x 2 .
Решение
Воспользовавшись свойством деления, запишем, что
x 9 + 7 x 7 - 3 2 x 3 - 2 2 x 2 = x 9 2 x 2 + 7 x 7 2 x 2 - 3 2 x 3 2 x 2 + x 2 2 x 2 - 2 2 x 2 = = 1 2 x 7 + 7 2 x 5 - 3 4 x + 1 2 - 2 2 x - 2 .
Зачастую такого вида преобразования выполняются при взятии интегралов.
Пример 4
Произвести деление многочлена на многочлен: 2 x 3 + 3 на x 3 + x .
Решение
Знак деления можно записать в виде дроби вида 2 x 3 + 3 x 3 + x . Теперь необходимо выделить целую часть. Производим это при помощи деления столбиком. Получаем, что
Значит, получаем, что целая часть имеет значение - 2 x + 3 , тогда все выражение записывается как 2 x 3 + 3 x 3 + x = 2 + - 2 x + 3 x 3 + x
Пример 5
Разделить и найти остаток от деления 2 x 6 - x 5 + 12 x 3 - 72 x 2 + 3 на x 3 + 2 x 2 - 1 .
Решение
Зафиксируем дробь вида 2 x 6 - x 5 + 12 x 3 - 72 x 2 + 3 x 3 + 2 x 2 - 1 .
Степень числителя больше, чем у знаменателя, значит, что у нас имеется неправильная дробь. При помощи деления столбиком выдели целую часть. Получаем, что
Произведем деление еще раз и получим:
Отсюда имеем, что остаток равняется - 65 x 2 + 10 x - 3 , отсюда следует:
2 x 6 - x 5 + 12 x 3 - 72 x 2 + 3 x 3 + 2 x 2 - 1 = 2 x 3 - 5 x 2 + 10 x - 6 + - 65 x 2 + 10 x - 3 x 3 + 2 x 2 - 1
Существуют случаи, где необходимо дополнительно выполнять преобразование дроби для того, чтобы можно было выявить остаток при делении. Это выглядит следующим образом:
3 x 5 + 2 x 4 - 12 x 2 - 4 x 3 - 3 = 3 x 2 x 3 - 3 - 3 x 2 x 3 - 3 + 3 x 5 + 2 x 4 - 12 x 2 - 4 x 3 - 3 = = 3 x 2 x 3 - 3 + 2 x 4 - 3 x 2 - 4 x 3 - 3 = 3 x 2 + 2 x 4 - 3 x 2 - 4 x 3 - 3 = = 3 x 2 + 2 x x 3 - 3 - 2 x x 3 - 3 + 2 x 4 - 3 x 2 - 4 x 3 - 3 = = 3 x 2 + 2 x (x 3 - 3) - 3 x 2 + 6 x - 4 x 3 - 3 = 3 x 2 + 2 x + - 3 x 2 + 6 x - 4 x 3 - 3
Значит, что остаток при делении 3 x 5 + 2 x 4 - 12 x 2 - 4 на x 3 - 3 дает значение - 3 x 2 + 6 x - 4 . Для быстрого нахождения результата применяют формулы сокращенного умножения.
Пример 6
Произвести деление 8 x 3 + 36 x 2 + 54 x + 27 на 2 x + 3 .
Решение
Запишем деление в виде дроби. Получим, что 8 x 3 + 36 x 2 + 54 x + 27 2 x + 3 . Заметим, что в числителе выражение можно сложить по формуле куба суммы. Имеем, что
8 x 3 + 36 x 2 + 54 x + 27 2 x + 3 = (2 x + 3) 3 2 x + 3 = (2 x + 3) 2 = 4 x 2 + 12 x + 9
Заданный многочлен делится без остатка.
Для решения используется более удобный метод решения, причем деление многочлена на многочлен считается максимально универсальным, поэтому часто используемым при выделении целой части. Итоговая запись должна содержать полученный многочлен от деления.
Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
1. Общие положения
1.1. С целью поддержания деловой репутации и обеспечения выполнения норм федерального законодательства ФГАУ ГНИИ ИТТ «Информика» (далее – Компания) считает важнейшей задачей обеспечение легитимности обработки и безопасности персональных данных субъектов в бизнес-процессах Компании.
1.2. Для решения данной задачи в Компании введена, функционирует и проходит периодический пересмотр (контроль) система защиты персональных данных.
1.3. Обработка персональных данных в Компании основана на следующих принципах:
Законности целей и способов обработки персональных данных и добросовестности;
Соответствия целей обработки персональных данных целям, заранее определенным и заявленным при сборе персональных данных, а также полномочиям Компании;
Соответствия объема и характера обрабатываемых персональных данных, способов обработки персональных данных целям обработки персональных данных;
Достоверности персональных данных, их актуальности и достаточности для целей обработки, недопустимости обработки избыточных по отношению к целям сбора персональных данных;
Легитимности организационных и технических мер по обеспечению безопасности персональных данных;
Непрерывности повышения уровня знаний работников Компании в сфере обеспечения безопасности персональных данных при их обработке;
Стремления к постоянному совершенствованию системы защиты персональных данных.
2. Цели обработки персональных данных
2.1. В соответствии с принципами обработки персональных данных, в Компании определены состав и цели обработки.
Цели обработки персональных данных:
Заключение, сопровождение, изменение, расторжение трудовых договоров, которые являются основанием для возникновения или прекращения трудовых отношений между Компанией и ее работниками;
Предоставление портала, сервисов личного кабинета для учеников, родителей и учителей;
Хранение результатов обучения;
Исполнение обязательств, предусмотренных федеральным законодательством и иными нормативными правовыми актами;
3. Правила обработки персональных данных
3.1. В Компании осуществляется обработка только тех персональных данных, которые представлены в утвержденном Перечне персональных данных, обрабатываемых в ФГАУ ГНИИ ИТТ «Информика»
3.2. В Компании не допускается обработка следующих категорий персональных данных:
Расовая принадлежность;
Политические взгляды;
Философские убеждения;
О состоянии здоровья;
Состояние интимной жизни;
Национальная принадлежность;
Религиозные убеждения.
3.3. В Компании не обрабатываются биометрические персональные данные (сведения, которые характеризуют физиологические и биологические особенности человека, на основании которых можно установить его личность).
3.4. В Компании не осуществляется трансграничная передача персональных данных (передача персональных данных на территорию иностранного государства органу власти иностранного государства, иностранному физическому лицу или иностранному юридическому лицу).
3.5. В Компании запрещено принятие решений относительно субъектов персональных данных на основании исключительно автоматизированной обработки их персональных данных.
3.6. В Компании не осуществляется обработка данных о судимости субъектов.
3.7. Компания не размещает персональные данные субъекта в общедоступных источниках без его предварительного согласия.
4. Реализованные требования по обеспечению безопасности персональных данных
4.1. С целью обеспечения безопасности персональных данных при их обработке в Компании реализуются требования следующих нормативных документов РФ в области обработки и обеспечения безопасности персональных данных:
Федеральный закон от 27.07.2006 г. № 152-ФЗ «О персональных данных»;
Постановление Правительства Российской Федерации от 1 ноября 2012 г. N 1119 "Об утверждении требований к защите персональных данных при их обработке в информационных системах персональных данных";
Постановление Правительства Российской Федерации от 15.09.2008 г. №687 «Об утверждении Положения об особенностях обработки персональных данных, осуществляемой без использования средств автоматизации»;
Приказ ФСТЭК России от 18.02.2013 N 21 "Об утверждении Состава и содержания организационных и технических мер по обеспечению безопасности персональных данных при их обработке в информационных системах персональных данных";
Базовая модель угроз безопасности персональных данных при их обработке в информационных системах персональных данных (утверждена заместителем директора ФСТЭК России 15.02.2008 г.);
Методика определения актуальных угроз безопасности персональных данных при их обработке в информационных системах персональных данных (утверждена заместителем директора ФСТЭК России 14.02.2008 г.).
4.2. Компания проводит оценку вреда, который может быть причинен субъектам персональных данных и определяет угрозы безопасности персональных данных. В соответствии с выявленными актуальными угрозами Компания применяет необходимые и достаточные организационные и технические меры, включающие в себя использование средств защиты информации, обнаружение фактов несанкционированного доступа, восстановление персональных данных, установление правил доступа к персональным данным, а также контроль и оценку эффективности применяемых мер.
4.3. В Компании назначены лица, ответственные за организацию обработки и обеспечения безопасности персональных данных.
4.4. Руководство Компании осознает необходимость и заинтересовано в обеспечении должного как с точки зрения требований нормативных документов РФ, так и обоснованного с точки зрения оценки рисков для бизнеса уровня безопасности персональных данных, обрабатываемых в рамках выполнения основной деятельности Компании.
многочлена на одночлен лежит свойство деления суммы чисел на какое-либо число, отличное от 0.Указанное правило заключается в том что для того чтобы произвести деление суммы нескольких чисел на число можно каждое слагаемое суммы разделить на него, и полученные результаты сложить
Допустимые значения
Значит для того, чтобы сумму чисел разделить на какое-либо число необходимым условием является то, что это число должно быть не равно $0$.
Переход к многочленам
Вспомним, многочлен - это сумма одночленов. Значит, когда мы говорим о том, что нам надо разделить многочлен на одночлен, это значит, что всю эту сумму одночленов нужно разделить на некоторый одночлен. Вспомним, на чем основано деление одночленов/
- Деление степеней $\frac{a^n}{a^m}=a^{n-m}$
Пример 1
Найти частное одночленов: $x^3y^5:x^2y$
Решение: $x^3y^5:x^2y=x^{3-2}y^{5-1}=xy^4$
- Возведение дроби в степень ${(\frac{a^n}{b^m})}^x=\frac{a^{nx}}{b^{mx}}$
Пример 2
Упростить дробь ${{\rm (\ }\frac{12x^6c^7}{6x^2c^2})}^2$
Решение: $\ {{\rm (\ }\frac{12x^6c^7}{6x^2c^2})}^2=\frac{144x^{12}c^{14}}{36x^4c^4}=144x^{12}c^{14}:36x^4c^4=4x^{12-4}c^{14-4}=4x^8c^{10}$
1) возведением дроби в степень${{\rm (\ }\frac{12x^6c^7}{6x^2c^2})}^2=\frac{144x^{12}c^{14}}{36x^4c^4}$
2) тем, что при делении одночленов коэффициент частного равен частному коэффициентов делимого и делителя, в нашем случае $144:36=4$
3) правилом, что при делении степеней с одинаковым основанием основание остается прежним, а показатели вычитаются $x^{12}:x^4{=x}^{12-4}=x^8$,
Замечание 1
Для того чтобы сформулировать условия, необходимые для деления многочлена на одночлен, необходимо вспомнить условия, при которых возможно деление одночленов. Такими условиями будут следующие:
Условием для выполнения деления одночлена на одночлен является то, что коэффициент делителя должен быть отличен от $0$ и то, что в одночлене, который является делителем не должно быть переменных, которых нет в делимом. Например, при делении ${4x}^3:2xy=\frac{{2x}^2}{y}$ не получится одночлен, т. е деление без остатка не возможно.
Исходя из вышесказанного можно сделать вывод том, что одним из условий возможности выполнения деления многочлена на одночлен является то коэффициент одночлена должен быть отличен от $0$ и то, что в каждом члене многочлена должен выделяться множитель, равный одночлену.
Пример 3
Dыполнить деление многочлена ${8a}^3+{6a}^2b-b$ на ${2a}^2$
Произвести деление без остатка многочлена на одночлен не возможно, т.к. элемент многочлена $- b$ не содержит переменную $a$, которая есть в одночлене.
Правило деления многочлена на одночлен
Чтобы разделить многочлен на одночлен, необходимо каждый член многочлена разделить на этот одночлен и полученный результаты сложить.
Пример 4
Разделить многочлен ${6x}^2y+{12xy}^2$ на $2x.$
Решение:
Итак: (${6x}^2y+{12xy}^2):2x={6x}^2y: 2x+{12xy}^2:2x=3xy+6y^2$
В этом задании мы воспользовались
1) Правило деления многочленов, мы разделили каждое слагаемое многочлена на одночлен:$\ {6x}^2y: 2x$ , ${12xy}^2:2x$ и сложили частные
2) Тем, что при делении одночленов коэффициент частного равен частному коэффициентов делимого и делителя, в нашем случае $6:2=3$, $12:2=6$
3) Правилом, что при делении степеней с одинаковым основанием основание остается прежним, а показатели вычитаются $x^2:x=x^{2-1}x,\ x: x=1$,
Пример 5
Упростить дробь $\frac{{8a}^4b^9+{2a}^3b^3}{{2ab}^2}$
Решение:
1) Представим данную дробь в виде суммы двух дробей. Руководствоваться в этом мы будем правилом сложения алгебраических дробей с одинаковым знаменателем: при сложении алгебраических дробей с одинаковыми знаменателем в итоговой дроби числитель будет равен сумме числителей слагаемых, а знаменатель будет равен знаменателям дробей - слагаемых
Тогда, $\frac{{8a}^4b^9+{2a}^3b^3}{{2ab}^2}=\frac{{8a}^4b^9}{{2ab}^2}+\frac{{2a}^3b^3}{{2ab}^2}$
2) Теперь не трудно заметит, что каждая дробь будет представлять собой деление одночленов. Преобразуем сначала первую дробь:
\[{\frac{{8a}^4b^9}{{2ab}^2}=8a}^4b^9:{2ab}^2\]
Сначала вспомним, что при делении одночленов коэффициент частного равен частному коэффициентов делимого и делителя, в нашем случае $8:2=4.$
Теперь воспользуемся правилом, деления степеней с одинаковым основанием: при делении степеней с одинаковым основанием основание остается прежним, а показатели вычитаются, тогда:
Значит, первую дробь можно представит после тождественных преобразований следующим образом:
\[{\frac{{8a}^4b^9}{{2ab}^2}=8a}^4b^9: {2ab}^2=4a^3b^7\]
Теперь преобразуем вторую дробь аналогично: $\ \frac{{2a}^3b^3}{{2ab}^2}={2a}^3b^3:{2ab}^2$
Коэффициент итогового одночлена будет равен частному коэффициентов одночленов, стоящих в числителе и знаменателе $2:2=1.$
Посмотрим, как преобразуются переменные: $a^3:a=a^2$ , $b^3:b^2=b$
Значит вторая дробь тождественно равна:
\[\frac{{2a}^3b^3}{{2ab}^2}={2a}^3b^3:{2ab}^2=a^2b\]
Вернемся к исходному выражению, которое представляло собой деление многочлена на одночлен
\[\frac{{8a}^4b^9+{2a}^3b^3}{{2ab}^2}=\frac{{8a}^4b^9}{{2ab}^2}+\frac{{2a}^3b^3}{{2ab}^2}=4a^3b^7+a^2b\]
