Рассмотрим следующие выражения со степенями (a + b) n , где a + b есть любой бином, а n - целое число.

Каждое выражение - это полином. Во всех выражениях можно заметить особенности.

1. В каждом выражении на одно слагаемое больше, чем показатель степени n.

2. В каждом слагаемом сумма степеней равна n, т.е. степени, в которую возводится бином.

3. Степени начинаются со степени бинома n и уменьшаются к 0. Последний член не имеет множителя a. Первый член не имеет множителя b, т.е. степени b начинаются с 0 и увеличиваются до n.

4. Коэффициенты начинаются с 1 и увеличиваются на определенные значения до "половины пути", а потом уменьшаются на те же значения обратно к 1.

Давайте рассмотрим коэффициенты подробнее. Предположим, что мы хотим найти значение (a + b) 6 . Согласно особенности, которую мы только что заметили, здесь должно быть 7 членов
a 6 + c 1 a 5 b + c 2 a 4 b 2 + c 3 a 3 b 3 + c 4 a 2 b 4 + c 5 ab 5 + b 6 .
Но как мы можем определить значение каждого коэффициента, c i ? Мы можем сделать это двумя путями. Первый метод включает в себя написание коэффициентов треугольником, как показано ниже. Это известно как Треугольник Паскаля :


Есть много особенностей в треугольнике. Найдите столько, сколько сможете.
Возможно вы нашли путь, как записать следующую строку чисел, используя числа в строке выше. Единицы всегда расположены по сторонам. Каждое оставшееся число это сумма двух чисел, расположенных выше этого числа. Давайте попробуем отыскать значение выражения (a + b) 6 путем добавления следующей строки, используя особенности, которые мы нашли:

Мы видим, что в последней строке

первой и последнее числа 1 ;
второе число равно 1 + 5, или 6 ;
третье число это 5 + 10, или 15 ;
четвертое число это 10 + 10, или 20 ;
пятое число это 10 + 5, или 15 ; и
шестое число это 5 + 1, или 6 .

Таким образом, выражение (a + b) 6 будет равно
(a + b) 6 = 1 a 6 + 6 a 5 b + 15 a 4 b 2 + 20 a 3 b 3 + 15 a 2 b 4 + 6 ab 5 + 1 b 6 .

Для того, чтобы возвести в степень (a + b) 8 , мы дополняем две строки к треугольнику Паскаля:

Тогда
(a + b) 8 = a 8 + 8a 7 b + 28a 6 b 2 + 56a 5 b 3 + 70a 4 b 4 + 56a 3 b 5 + 28a 2 b 6 + 8ab 7 + b 8 .

Мы можем обобщить наши результаты следующим образом.

Бином Ньютона с использованием треугольника Паскаля

Для любого бинома a+ b и любого натурального числа n,
(a + b) n = c 0 a n b 0 + c 1 a n-1 b 1 + c 2 a n-2 b 2 + .... + c n-1 a 1 b n-1 + c n a 0 b n ,
где числа c 0 , c 1 , c 2 ,...., c n-1 , c n взяты с (n + 1) ряда треугольника Паскаля.

Пример 1 Возведите в степень: (u - v) 5 .

Решение У нас есть (a + b) n , где a = u, b = -v, и n = 5. Мы используем 6-й ряд треугольника Паскаля:
1 5 10 10 5 1
Тогда у нас есть
(u - v) 5 = 5 = 1 (u) 5 + 5 (u) 4 (-v) 1 + 10 (u) 3 (-v) 2 + 10 (u) 2 (-v) 3 + 5 (u)(-v) 4 + 1 (-v) 5 = u 5 - 5u 4 v + 10u 3 v 2 - 10u 2 v 3 + 5uv 4 - v 5 .
Обратите внимание, что знаки членов колеблются между + и -. Когда степень -v есть нечетным числом, знак -.

Пример 2 Возведите в степень: (2t + 3/t) 4 .

Решение У нас есть (a + b) n , где a = 2t, b = 3/t, и n = 4. Мы используем 5-й ряд треугольника Паскаля:
1 4 6 4 1
Тогда мы имеем

Разложение бинома используя значения факториала

Предположим, что мы хотим найти значение (a + b) 11 . Недостаток в использовании треугольника Паскаля в том, что мы должны вычислить все предыдущие строки треугольника, чтобы получить необходимый ряд. Следующий метод позволяет избежать этого. Он также позволяет найти определенную строку - скажем, 8-ю строку - без вычисления всех других строк. Этот метод полезен в вычислениях, статистике и он использует биномиальное обозначение коэффициента .
Мы можем сформулировать бином Ньютона следующим образом.

Бином Ньютона с использованием обозначение факториала

Для любого бинома (a + b) и любого натурального числа n,
.

Бином Ньютона может быть доказан методом математической индукции. Она показывает почему называется биноминальным коэффициентом .

Пример 3 Возведите в степень: (x 2 - 2y) 5 .

Решение У нас есть (a + b) n , где a = x 2 , b = -2y, и n = 5. Тогда, используя бином Ньютона, мы имеем


Наконец, (x 2 - 2y) 5 = x 10 - 10x 8 y + 40x 6 y 2 - 80x 4 y 3 + 80x 2 y 4 - 35y 5 .

Пример 4 Возведите в степень: (2/x + 3√x ) 4 .

Решение У нас есть (a + b) n , где a = 2/x, b = 3√x , и n = 4. Тогда, используя бином Ньютона, мы получим


Finally (2/x + 3√x ) 4 = 16/x 4 + 96/x 5/2 + 216/x + 216x 1/2 + 81x 2 .

Нахождение определенного члена

Предположим, что мы хотим определить тот или иной член термин из выражения. Метод, который мы разработали, позволит нам найти этот член без вычисления всех строк треугольника Паскаля или всех предыдущих коэффициентов.

Обратите внимание, что в биноме Ньютона дает нам 1-й член, дает нам 2-й член, дает нам 3-й член и так далее. Это может быть обощено следующим образом.

Нахождение (k + 1) члена

(k + 1) член выражения (a + b) n есть .

Пример 5 Найдите 5-й член в выражении (2x - 5y) 6 .

Решение Во-первых, отмечаем, что 5 = 4 + 1. Тогда k = 4, a = 2x, b = -5y, и n = 6. Тогда 5-й член выражения будет

Пример 6 Найдите 8-й член в выражении (3x - 2) 10 .

Решение Во-первых, отмечаем, что 8 = 7 + 1. Тогда k = 7, a = 3x, b = -2 и n = 10. Тогда 8-й член выражения будет

Общее число подмножеств

Предположим, что множество имеет n объектов. Число подмножеств, содержащих k элементов есть . Общее число подмножеств множества есть число подмножеств с 0 элементами, а также число подмножеств с 1 элементом, а также число подмножеств с 2-мя элементами и так далее. Общее число подмножеств множества с n элементами есть
.
Теперь давайте рассмотрим возведение в степень (1 + 1) n:

.
Так. общее количество подмножеств (1 + 1) n , или 2 n . Мы доказали следующее.

Полное число подмножеств

Полное число подмножеств множества с n элементами равно 2 n .

Пример 7 Сколько подмножеств имеет множество {A, B, C, D, E}?

Решение Множество имеет 5 элементов, тогда число подмножеств равно 2 5 , или 32.

Пример 8 Сеть ресторанов Венди предлагает следующую начинку для гамбургеров:
{кетчуп, горчица, майонез, помидоры, салат, лук, грибы, оливки, сыр }.
Сколько разных видов гамбургеров может предложить Венди, исключая размеры гамбургеров или их количество?

Решение Начинки на каждый гамбургер являются элементами подмножества множества всех возможных начинок, а пустое множество это просто гамбургер. Общее число возможных гамбургеров будет равно

. Таким образом, Венди может предложить 512 различных гамбургеров.

алгебраическая формула, открытая Ньютоном, выражающая какую угодно степень двучлена, а именно:

(х + а) n = х n + n/1(ax n-1) + (а 2 х n-2) + …(a n x n-m) + …

или, в компактной форме, пользуясь символом n! = 1.2.3…n:

(х + а) n = ∑ m (!x n-m a m

Формула эта была впервые дана Ньютоном в 1676 г. без доказательства. Она высечена на гробнице Ньютона, в Вестминстерском аббатстве, в Лондоне, хотя далеко не может считаться одним из важнейших открытий Ньютона.

Доказательство формулы Б. для целого показателя получается легко, как частный случай из более общей формулы, выражающей произведение произвольного числа двучленов. Легко убедиться непосредственным умножением, что для случая n = 2 или n = 3 имеет место формула:

(x + a 1)(х + а 2)…(х + а n) = х n + S n 1 x n-l + S n 2 x n-2 + … + S n n

где S n 1 есть сумма данных количеств a 1 , a 2 . . . а n , S n 2 сумма произведений их по два, - S n n произведение всех этих количеств. А затем можно доказать, что если она верна для n, то верна и для n +1 множителей. Ибо, прибавив один множитель х + а n+1 , получим прямым умножением

(x + a 1)(x + a 2)…(x + a n-1) = х n-1 + (S n 1 + a n+1)x n + (S n 2 + S n 1 a n-1)x n-1 + … + S n n a n

и в то же время очевидно, что

S n 1 + a n+1 + 1 = S 1 n+1

S n 2 + S n 1 a n+1 = S 2 n+1

и т. д., так что правая часть последнего равенства есть

x n+1 + S 1 n+1 x n + S 2 n+1 х n-1 + … + (S n+1) n+1

и т. д. Пусть теперь все а равны между собой и равны, например, а , тогда:

S 2 = а 2 …

и получим (х + а) n = x n + nax n-1 + (a 2 x n-2) + …

Таким образом верность формулы Ньютона для n целого, положительного доказана. Но уже и сам Ньютон показал, что она верна и для дробного, и для отрицательного. Приведем доказательство Эйлера для n какого угодно. Рассмотрим выражение:

1 + nx + + x 3 + …

Для n целого оно равно (1 + x) n . Пусть для всякого n оно есть вообще f(n). Точно так же пусть подобное же выражение с заменой n на m есть f(m). Перемножая, находим, с одной стороны, f(n)f(m), с другой стороны - выражение, закон составления коэффициентов которого нам известен из случая n, m целых, именно:

f(n)f(m) = 1 + [(n + m)/1]x + [(n + m)(n + m - 1)/1.2]x 2 + [(n + m)(n + m - 1)(n + m - 2)/1.2.3]x 3 + …

а это есть очевидно f(n+m). Итак, мы получили f(n)f(m) = f(n + m); точно так же для произвольного числа множителей f(n 1)f(n 2).. . f(n μ) = f(n 1 +n 2 +…+n μ); полагая n 1 = n 2 =…= n μ = λ/μ, имеем

f(n)f(–n) = f(0) = 1, т. е. f(–n) = 1/f(n) или

f(–n) = (1 + x) –l = nx + x 2 - x 3 + … и т. д.

  • - двучлен, сумма или разность двух алгеб-раич. выражений, называемых членами Б., напр. , и т. д. О степенях Б., то есть выражениях да, см. Ньютона бином...

    Математическая энциклопедия

  • - алгебраическое выражение, состоящее из суммы или разности двух количеств, например ахm +...
  • - алгебраическая формула, открытая Ньютоном, выражающая какую угодно степень двучлена, а именно: n = хn + n/1 + + … + … или, в компактной форме, пользуясь символом n! = 1.2...

    Энциклопедический словарь Брокгауза и Евфрона

  • - и лат. nomen - имя) двучлен, сумма или разность двух алгебраических выражений, называемых членами Б.; например a + b, и т.д. О степенях Б., то есть выражениях вида n, см. Ньютона бином...
  • - название формулы, выражающей любую целую положительную степень суммы двух слагаемых через степени этих слагаемых, а именно: где n - целое положительное число, а и b - какие угодно...

    Большая Советская энциклопедия

  • - название формулы, позволяющей выписывать разложение алгебраической суммы двух слагаемых произвольной степени...

    Энциклопедия Кольера

  • - то же, что двучлен. О биноме вида n см. в ст. Ньютона бином...
  • - формула, выражающая целую положительную степень суммы двух слагаемых через степени этих слагаемых (коэффициенты при них называются биномиальными коэффициентами...

    Большой энциклопедический словарь

  • - Заимств. в первой половине XIX в. из франц. яз., где binôme - сложение лат. bi и греч. nomē «часть, доля». Ср. словообразовательную кальку этого слова - двучлен...

    Этимологический словарь русского языка

  • - Из романа «Мастер и Маргарита» Михаила Афанасьевича Булгакова. Слова Коровьева-Фагота, комментирующего диалог между Воландом и буфетчиком Андреем Фокичем Соковым...

    Словарь крылатых слов и выражений

  • - ; мн. бино/мы, Р....

    Орфографический словарь русского языка

  • - муж. биномия жен. в буквосчислении: численное выражение, состоящее из двух членов; двучлен, двучленная величина...

    Толковый словарь Даля

  • - БИНО́М, -а, муж. В математике: двучлен...

    Толковый словарь Ожегова

  • - бино́м м. Алгебраическое выражение, представляющее сумму или разность двух одночленов; двучлен...

    Толковый словарь Ефремовой

  • - Разг. Шутл. О чём-л. сложном, запутанном. Елистратов, 41...

    Большой словарь русских поговорок

  • - БИНОМ, -а, м. . Ирон. О чем-л. кажущемся сложным, запутанным. Возм. распространилось под влиянием романа М. Булгакова «Мастер и Маргарита»...

    Словарь русского арго

"Бином Ньютона" в книгах

От Кеплера до Ньютона

Из книги Лаплас автора Воронцов-Вельяминов Борис Николаевич

1.2. От Анаксимандра до Ньютона

Из книги Природа времени: Гипотеза о происхождении и физической сущности времени автора Бич Анатолий Макарович

1.2. От Анаксимандра до Ньютона Существует широко распространенное убеждение, что на заре человечества первоначально было освоено понятие пространства и только потом, по подобию пространства, люди постепенно приспособили для практических целей понятие времени.Может

Мнение Р.Ньютона

Из книги Критическое исследование хронологии древнего мира. Античность. Том 1 автора Постников Михаил Михайлович

Мнение Р.Ньютона В последнее время древние затмения были заново изучены Робертом Ньютоном, рассмотревшим не только античные, но и средневековые затмения. Мы не будем подробно излагать его труды, а приведем только одну цитату, подводящую итог его исследований.«Мы можем

Психология Ньютона

Из книги Квантовый ум [Грань между физикой и психологией] автора Минделл Арнольд

Психология Ньютона Всегда ли верны эти законы? Если мы рассмотрим нашу автомобильную аварию, то скажем да, мы знаем, что эти законы верны. Но верны ли они психологически? Многие сказали бы, что да. Например, третий закон можно было бы назвать законом оскорбления и возмездия:

Механика Ньютона

автора

Механика Ньютона Теория тяготения Ньютона без использования его законов механики не была бы создана. Опуская детали, которые можно найти и в школьном учебнике физики, приведем эти три основных закона в окончательном виде. Без всякого сомнения, они имеют фундаментальное

Закон Ньютона

Из книги Гравитация [От хрустальных сфер до кротовых нор] автора Петров Александр Николаевич

Закон Ньютона Закон всемирного тяготения после обсуждения в третьем чтении был отправлен на доработку… Фольклор Проверка закона Ньютона. Осмысление закона Ньютона до сих пор играет очень важную роль для осмысления представлений о гравитации вообще. Как можно

Законы Ньютона

Из книги Возвращение чародея автора Келер Владимир Романович

Законы Ньютона К числу выдающихся научных достижений Ньютона относится высказанное им смелое предположение, по которому все материальные тела, кроме таких наглядных, очевидных свойств, как твердость, упругость, вес и т. д., имеют еще одно чрезвычайно важное свойство:

Бином

Из книги Большая Советская Энциклопедия (БИ) автора БСЭ

Дифференциальный бином

Из книги Большая Советская Энциклопедия (ДИ) автора БСЭ

Ньютона бином

Из книги Большая Советская Энциклопедия (НЬ) автора БСЭ

Подумаешь, бином Ньютона!

Из книги Энциклопедический словарь крылатых слов и выражений автора Серов Вадим Васильевич

Подумаешь, бином Ньютона! Из романа (гл. 18 «Неудачливые визитеры») «Мастер и Маргарита» (1940) Михаила Афанасьевича Булгакова (1891 - 1940). Слова Коровьева-Фагота, комментирующего диалог между Воландом и буфетчиком Андреем Фокичем Соковым. Последний пришел жаловаться на

БИНОМ ХАЙЯМА

Из книги Такой способ понимать автора Лурье Самуил Аронович

БИНОМ ХАЙЯМА Не знаю, как вы, - а я, собираясь на необитаемый остров, непременно прихватил бы с собою Омара Хайяма. Это практично: на весах любой таможни 66 четверостиший стрелку не потревожат, - и вот вам сопутствует лучший в мире собутыльник.Положим, воображаемый. Но ведь

БИНОМ ХАЙЯМА

Из книги Успехи ясновидения автора Лурье Самуил Аронович

БИНОМ ХАЙЯМА Не знаю, как вы, - а я, собираясь на необитаемый остров, непременно прихватил бы с собою Омара Хайяма. Это практично: на весах любой таможни 66 четверостиший стрелку не потревожат, - и вот вам сопутствует лучший в мире собутыльник. Положим, воображаемый. Но ведь и

Это вам не бином Ньютона!

Из книги Сигнал и шум. Почему одни прогнозы сбываются, а другие – нет автора Сильвер Нейт

Это вам не бином Ньютона! Прежде чем гипотеза будет признана, необходимы неопровержимые доказательства. Парниковая гипотеза соответствовала данному условию, и именно поэтому в первом отчете МГЭИК вывод о существовании парникового эффекта выделен из сотен других

Бином Ньютона

Из книги Разъезд Тюра-Там автора Ковтонюк Владимир Александрович

Бином Ньютона Кубань стекает капельками с ледников Эльбруса, объединяется в отдельные безобидные ручейки, которые, сливаясь и принимая притоки Даут и Худес, образуют стиснутый горами необузданный поток. Перед самым городом скалы, словно устраивая последнюю проверку

Наука и жизнь // Иллюстрации

Блез Паскаль (1623- 1662).

Исаак Ньютон (1643-1727).

Треугольник Паскаля.

Сегодня, как и лет тридцать-сорок назад, абитуриенты на вступительных экзаменах в вуз традиционно опасаются вытянуть билет с вопросом о биноме Ньютона. (Автор формулы - великий английский физик, математик, астроном и философ сэр Исаак Ньютон.) Дело не только в том, что формула кажется сложной. Изучение её то включали в программу средней школы, то выводили за рамки основного курса, но в серьёзных вузах экзаменаторы спрашивали и продолжают спрашивать о биноме Ньютона.

На самом деле бояться тут особенно нечего. Бином Ньютона - формула разложения произвольной натуральной степени двучлена \((a+b)^n \) в многочлен. Каждый из нас знает наизусть формулы «квадрата суммы» \((a+b)^2 \) и «куба суммы» \((a+b)^3 \), но при увеличении показателя степени с определением коэффициентов при членах многочлена начинаются трудности. Чтобы не совершить ошибку и применяется формула бинома Ньютона:

\[ (a+b)^n = a^n + \frac{n}{1!}a^{n-1}b + \frac{n(n-1)}{2!}a^{n-2}b^2 + \ldots + b^n. \]

В более общем виде формула коэффициентов в биноме записывается так:

\[ C_{n}^{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} \]

где k - порядковый номер слагаемого в многочлене.

Напомним, что факториал - произведение натуральных чисел от 1 до n, то есть \(1*2*3*\ldots*n \) - обозначается n!, например, \(4! = 1*2*3*4 = 24 \).

Запомнить формулу действительно непросто. Но попытаемся её проанализировать. Видно, что в любом многочлене присутствуют a n и b n с коэффициентами 1. Ясно также, что всякий иной член многочлена выглядит как произведение определённых степеней каждого из слагаемых двучлена (a+b), причём сумма степеней всегда равна n. Например, в выражении \[ (a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 \] сумма степеней сомножителей во всех членах равна трём (3, 2+1, 1+2, 3). То же самое справедливо и для любой другой степени. Вопрос лишь в том, какие коэффициенты следует ставить при членах.

Видимо, для того чтобы облегчить труд школяров и студентов, великий французский математик и физик Блез Паскаль триста пятьдесят лет назад придумал специальный инструмент для определения этих самых коэффициентов - «треугольник Паскаля».

Строится он следующим образом.В вершине треугольника пишем 1. Единица соответствует выражению \((a+b)^0, \) поскольку любое число, возведённое в нулевую степень, даёт единицу. Достраивая треугольник, ниже пишем ещё по единице. Это коэффициенты разложения того же двучлена, возведённого в первую степень:\((a+b)^1 = a+b. \) Идём дальше. Стороны треугольника образуют единицы, а между ними - сумма двух единичек, находящихся сверху, то есть 2. Это и есть коэффициенты трёхчлена «квадрат суммы»:

\[ a^2 + 2ab + b^2. \]

Следующий ряд, как и предыдущий, начинается и заканчивается единицами, а между ними - суммы цифр, находящихся сверху: 1, 3, 3, 1. Мы получили коэффициенты разложения « куба суммы ». Ряд коэффициентов двучлена четвёртой степени составят 1, 4, 6, 4, 1 и так далее.

Для примера с помощью треугольника Паскаля разложим в многочлен сумму двучленов в шестой степени:

\[ (a + b)^6 = a^6+6a^5b + 15a^4b^2+20a^3b^3 + 15a^2b^4 + 6ab^5 + b^6. \]

Всё очень несложно и запоминается на всю жизнь. Кстати, самостоятельно вспомнить и вывести формулу бинома Ньютона, нарисовав на черновике треугольник Паскаля, тоже намного проще.

Некоторые историки науки приписывают Блезу Паскалю авторство не только треугольника, позволяющего находить биномиальные коэффициенты, но и самой формулы бинома. Они считают, что Паскаль вывел её несколько раньше Ньютона, а тот лишь обобщил формулу для разных показателей степеней.

План-конспект урока по математике:

« Бином Ньютона. Свойства биноминальных коэффициентов»

Цели :

- обучающие : познакомить с формулой бинома Ньютона, научить применять формулу бинома Ньютона при возведении в степень двучлена;
- развивающие : способствовать развитию памяти, алгоритмического и логического мышления, внимания;
- воспитательные: продолжить воспитание чувства ответственности, самостоятельности, добросовестности.)

Оборудование : компьютер, мультимедийный проектор, экран, презентация, карточки с теоретическим материалом.

Тип урока – к омбинированный;

Формы работы учащихся – фронтальная, индивидуальная.

Ход урока:

1 . Организационный момент:

Сообщение темы, целей урока, практической значимости рассматриваемой темы.

2. Актуализация знаний

I . Фронтальный опрос:

1)Что изучает комбинаторика?

2)Какие виды соединений или выборок вам известны?

3) Отгадать кроссворд «Комбинаторика»

II . Устный счет:

    5!=….(120), А 5 2 =…(20)., С 4 2 =….(8)

    Сколькими способами можно разместить 5 человек на скамейке?

3. Изложение нового материала: Работа с карточками теоретического материала. Заслушивание и анализ сообщений студентов. Написание конспекта.

I ) История комбинаторики ( Сообщение студента )

На прошлом уроке мы познакомились с основами комбинаторики. Домашнее задание для первой творческой группы было подготовить сообщение об истории возникновения комбинаторики как науки. (Сообщение студента)

    Какие же ученые внесли вклад в развитие комбинаторики как науки?

    Одним из выдающихся умов того времени был английский ученый Исаак Ньютон. Ваше домашнее задание было подготовить сообщение об этом великом гении.

II ) Исаак Ньютон- великий математик ( Сообщение студента )

Вы услышали из доклада, сколько гениальных идей и открытий принадлежит великому математику Исааку Ньютону. Одним из его открытий является формула Бином Ньютона .

III ) Бином Ньютона.

Именно этому открытию мы посвятим наш сегодняшний урок. Запишем тему урока. Цели нашего урока : познакомиться с формулой бинома Ньютона, научиться применять формулу бинома Ньютона при возведении в степень двучлена.

Слово бином означает «Два числа» В математике биномом называют «формулу для разложения на отдельные слагаемые целой неотрицательной степени суммы двух переменных». Давайте вслед за Ньютоном попробуем ее вывести, чтобы затем применять.

Вы наверняка помните (или, по крайней мере, должны помнить), формулы сокращенного умножения для квадрата и куба суммы двух слагаемых (такая сумма называется « бином », по-русски – двучлен .

Если вы забыли эти формулы, можно их получить напрямую, раскрыв скобки в очевидных равенствах

Может быть, вам приходил в голову вопрос: можно ли (без компьютера) получить формулы типа для биномов четвертой степени, пятой, десятой – какой угодно?

Давайте попробуем дойти напрямую хотя бы до пятой степени, а там, может быть, окажется «рояль в кустах» (для порядка будем размещать слагаемые в правой части по убыванию степени а , она убывает от максимума до нуля):

Теперь отдельно выпишем численные коэффициенты в правых частях формул при возведении бинома в заданную степень:

Возможно, вы уже догадались, что «рояль в кустах» – это треугольник Паскаля на предыдущей странице. Легко проверить, что выписанные на численные коэффициенты – это строчки треугольника Паскаля, начиная с третьей. Этот «усеченный треугольник», в котором не хватает первых двух строк, легко сделать полным (получить строчки при n=0 и n=1 ):

Окончательно получим:

Это утверждение было известно задолго до Паскаля - его знал живший в XI-XII вв. среднеазиатский математик и поэт Омар Хайям (к сожалению, его сочинение об этом до нас не дошло). Первое, дошедшее до нас описание формулы содержится в появившейся в 1265 г. книге среднеазиатского математика ат-Туси, где дана таблица чисел (биномиальных коэффициентов) до включительно.

Европейские ученые познакомились с формулой , по-видимому, через восточных математиков. Детальное изучение свойств провел французский математик и философ Б. Паскаль в 1654 г. Ваше домашнее задание было подготовить сообщение о французском ученом Паскале.

IV ) Блез Паскаль ( Сообщение студента )

Теперь понятно, как возвести бином в любую степень n . В левой части записываем (а+b) n . А в правой части записываем сумму а n + а n-1 b + … + b n , оставляя в каждом слагаемом место для коэффициента. И эти места заполняем числами из n –ой строчки треугольника Паскаля, которую, конечно, нужно заранее выписать.

Возведение двучлена a + b в степень n может быть произведено по формуле называемой разложением бинома Ньютона :

(a + b) n = a n + C 1 n a n - 1 b + C 2 n a n - 2 b 2 +...+C k n a n - k b k +... + C n - 1 n ab n - 1 + C n n b n

где C k n - все возможные сочетания , которые можно образовать из n элементов по k .

Пример : (a + b) 5 = a 5 + C 1 5 a 4 b + C 2 5 a 3 b 2 + C 3 5 a 2 b 3 + C 4 5 ab 4 + C 5 5 b 5 = a 5 + 5a 4 b + 10a 3 b 2 + 10a 2 b 3 + 5ab 4 + b 5

Таким образом можно записать формулу для возведения двучлена в любую степень. Давайте заметим некоторые свойства у слагаемых в разложении двучлена по формуле Бинома Ньютона.

V ) Свойства бинома Ньютона

    Коэффициенты симметричны.

    Если в скобке знак минус, то знаки + и – чередуются.

    Сумма степеней каждого слагаемого равна степени бинома.

    Сумма коэффициентов разложения (a + b) n равна 2 n .

VI ) Закрепление нового материала.

Мы знакомились с вами с применением бинома Ньютона при изучении формул сокращенного умножения: Где же ещё применяется Бином Ньютона?

VII ) Применение Бинома Ньютона.

В заключении рассмотрим пример, в котором использование бинома Ньютона позволяет доказать делимость выражения на заданное число.

Пример.

Доказать, что значение выражения , где n – натуральное число, делится на 16 без остатка.

Решение.

Представим первое слагаемое выражение как и воспользуемся формулой бинома Ньютона:

    Полученное произведение доказывает делимость исходного выражения на 16. Бином Ньютона применяется при доказательстве Теоремы Ферма, в теории бесконечных рядов и выводе формулы Ньютона-Лейбница

VIII ) Что означает фразеологизм «Бином Ньютона»?

Шутливая фраза, применяется по отношению к плевому делу, простой задаче, которую некоторые ошибочно считают непосильной для выполнения или архисложной.
Возникновение фразы : из романа (1891 - 1940 гг.) «Мастер и Маргарита» (1940 г.).
Слова Коровьева, которые решил прокомментировать разговор Воланда с буфетчиком Соковым. Буфетчик жалуется на зрителей, которые расплатились с ним фальшивыми деньгами, чем «на сто девять рублей наказали буфет».
« - Ну, конечно, это не сумма, - снисходительно сказал Воланд своему гостю, - хотя, впрочем, и она, собственно, вам не нужна. Вы когда умрете?
Тут уж буфетчик возмутился.
- Это никому не известно и никого не касается, - ответил он.
- Ну да, неизвестно, - послышался все тот же голос (Коровьева) из кабинета, - подумаешь, бином Ньютона ! Умрет он через девять месяцев, в феврале будущего года, от рака печени в клинике Первого МГУ, в четвертой палате».

IX ) Итоги урока. Рефлексия

Подумаешь, Бином Ньютона

"Подумаешь, Бином Ньютона"
Кот промяукал Бегемот
(Он Воланда слуга покорный),
Предсказывая жизни ход.
Все это только подтверждает
Ньютона гений, но давно
Бином известен был в Китае,
Арабы знали про него.
Но обобщил Ньютон решение,
Возвёл он в степень многочлен...
Избавил нас от всех сомнений
Других же нет у нас проблем.
Скажите нам совсем без прений
Зачем нам нужен тот бином?
Комбинаторику явлений
Мы без бинома не найдём.
Nov. 7, 2015

Что нового вы узнали на уроке? Важна ли эта формула для математики? Трудно ли вам было усваивать новый материал?

    Домашнее задание. Подготовка к контрольной работе.

( задание на листочках каждому студенту )

1. Из 12 членов команды нужно выбрать капитана и заместителя. Сколькими способами можно это сделать?

2.Вычислите: 4Р 3 +3А 2 10 -С 2 5

    Выпускники экономического института работают в трех различных организациях: 17 человек в банке,23- в фирме и 19-в налоговой инспекции. Найдите вероятность того, что случайно встреченный выпускник работает в банке?

    Имеется 8 различных книг 2 из которых сборники стихов. Сколькими способами можно расставить эти книги на полке так, чтобы справочники оказались рядом?

    Для игры в КВН нужно выбрать команду из 6 человек, Сколькими способами можно это сделать, если в команде должно быть мальчиков и девочек поровну, и в классе 12 девочек и 10 мальчиков?

    Сколько трехзначных чисел с разными цифрами можно составить из цифр, 0,1,3,6,7,9?

    Разложите на множители: (a - b ) 9 и (3 x + y ) 10