Теорема о среднем
.
Если f(x) непрерывна на отрезке , то
существует точка
,
такая что
.
Док-во. Функция, непрерывная на отрезке,
принимает на этом отрезке своё наименьшее
m и наибольшее M значения. Тогда
.
Число
заключено
между минимальным и максимальным
значениями функции на отрезке. Одно из
свойств функции, непрерывной на отрезке,
заключается в том, что эта функция
принимает любое значение, расположенное
между m и M. Таким образом, существует
точка,
такая что
.
Это свойство имеет простую геометрическую
интерпретацию: еслинепрерывна
на отрезке , то существует точкатакая,
что площадь криволинейной трапеции
ABCD равна площади прямоугольника с
основанием и высотой f(c) (на рисунке
выделен цветом).
7. Интеграл с переменным верхним пределом. Его непрерывность и дифференцируемость.
Рассмотрим функцию f (x), интегрируемую по Риману на отрезке . Раз она интегрируема на , то она также интегрируема на ∀x ∈ . Тогда при каждом x ∈ имеет смысл выражение , и при каждом x оно равно некоторому числу.
Таким образом, каждому x ∈ поставлено в соответствие некоторое число ,
т.е. на задана функция:
(3.1)
Определение:
Функция F (x), заданная в (3.1), а также само выражение называется
интегралом с переменным верхним пределом. Она определена на всем отрезке
интегрируемости функции f (x).
Условие: f (t) непрерывна на , а функция F (x) задана формулой (3.1).
Утверждение: Функция F(x) дифференцируема на , причем F (x) = f (x).
(В точке a она дифференцируема справа, а в точке b – слева.)
Доказательство:
Поскольку для функции одной переменной F (x) дифференцируемость равносильна существованию производной во всех точках (в точке a справа, а в точке b – слева), то мы найдем производную F (x). Рассмотрим разность
Таким образом,
при этом точка ξ лежит на отрезке (или если ∆x < 0).
Теперь вспомним, что производная функции F(x) в заданной точке x ∈ равна пределу разностного отношения: . Из равенства имеем:
,
Устремляя теперь ∆x → 0, в левой части данного равенства получим F’(x), a в правой
Вспомним определение непрерывности функции f (t) в точке x:
Пусть x1 в этом определении равен ξ. Поскольку ξ ∈ (ξ ∈ ), а
∆x → 0, то |x − ξ| → 0, и по определению непрерывности, f (ξ) → f (x). Отсюда имеем:
F’(x) = f (x).
Следствие:
Условие: f (x) непрерывна на .
Утверждение: Любая первообразная функции f (x) имеет вид
где C ∈ R – некоторая константа.
Доказательство. По теореме 3.1 функция является первообразной для f(x). Предположим, что G(x) – другая первообразная f (x). Тогда G’(x) = f(x) и для функции F(x) − G(x) имеем: (F (x) + G(x))’ = F’(x)−G’(x) = f (x)−f(x) ≡ 0. Значит, производная функции F (x)−G(x)
равна нулю, следовательно, эта функция есть постоянная: F(x) − G(x) = const.
8. Формула Ньютона-Лейбница для определенного интеграла.
Теорема:
Условие: f(t) непрерывна на , а F(x) ее любая первообразная.
Утверждение:
Доказательство: Рассмотрим некоторую первообразную F (x) функции f (x). По Следствию из Теоремы «О дифференцируемости интеграла с переменным верхним пределом» (см. предыдущий вопрос) она имеет вид . Отсюда
=>
c
=
F
(a
)
,
и
Перенесем F(a) в последнем равенстве в левую часть, переобозначим переменную интегрирования снова через x и получим формулу Ньютона – Лейбница:
Теорема . Если функция f(x) интегрируема на отрезке [a, b ], где a < b , и для всех x ∈ выполняется неравенство
С помощью неравенств из теоремы можно оценить определенный интеграл, т.е. указать границы, между которыми заключено его значение. Эти неравенства выражают оценку определенного интеграла.
Теорема [Теорема о среднем] . Если функция f(x) интегрируема на отрезке [a, b ] и для всех x ∈ выполняются неравенства m ≤ f(x) ≤ M , то
где m ≤ μ ≤ M .
Замечание . В случае, когда функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b ], равенство из теоремы принимает вид
где c ∈ . Число μ=f(c) , определяемое данной формулой, называется средним значением функции f(x) на отрезке [a, b ]. Это равенство имеет следующий геометрический смысл : площадь криволинейной трапеции, ограниченной непрерывной линией y=f(x) (f(x) ≤ 0 ), равна площади прямоугольника с тем же основанием и высотой, равной ординате некоторой точки этой линии.
Существование первообразной для непрерывной функции
Сначала введем понятие интеграла с переменным верхним пределом.
Пусть функция f(x) интегрируема на отрезке [a, b ]. Тогда, каково бы ни было число x из [a, b ], функция f(x) интегрируема на отрезке [a, b ]. Поэтому на отрезке [a, b ] определена функция
которую называют интегралом с переменным верхним пределом.
Теорема . Если подынтегральная функция непрерывна на отрезке [a, b ], то производная определенного интеграла с переменным верхним пределом существует и равна значению подынтегральной функции для этого предела, то есть
Следствие . Определенный интеграл с переменным верхним пределом является одной из первообразных для непрерывной подынтегральной функции. Другими словами, для любой непрерывной на промежутке функции существует первообразная.
Замечание 1 . Отметим, что если функция f(x) интегрируема на отрезке [a, b ], то интеграл с переменным верхним пределом представляет собой непрерывную на этом отрезке функцию от верхнего предела. Действительно, из св.2 и теоремы о среднем имеем
Замечание 2
. Интеграл с переменным верхним пределом интегрирования используется при определении многих новых функций, например, 
. Эти функции не являются элементарными; как уже отмечалось, первообразные указанных подынтегральных функций не выражаются через элементарные функции.
Основные правила интегрирования
Формула Ньютона--Лейбница
Поскольку любые две первообразные функции f(x) отличаются на постоянную, то согласно предыдущей теореме можно утверждать, что любая первообразная Φ(x) непрерывной на сегменте [a, b ] функции f(x) имеет вид
где C - некоторая постоянная.
Полагая в этой формуле x=a и x=b , используя св.1 определенных интегралов, найдем
Из этих равенств вытекает соотношение
которое называется формулой Ньютона-Лейбница
.
Таким образом доказали следующую теорему:
Теорема . Определенный интеграл от непрерывной функции равен разности значений любой ее первообразной для верхнего и нижнего предела интегрирования.
Формулу Ньютона-Лейбница можно переписать в виде
Замена переменной в определенном интеграле
Теорема . Если
- функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b ];
- отрезок [a, b ] является множеством значений функции φ(t) , определенной на отрезке α ≤ t ≤ β и имеющей на нем непрерывную производную;
- φ(α)=a , φ(β)=b
то справедлива формула
Формула интегрирования по частям
Теорема . Если функции u=u(x) , v=v(x) имеют непрерывные производные на отрезке [a, b ], то справедлива формула
Метод трапеций
Основная статья: Метод трапеций
Если функцию на каждом из частичных отрезков аппроксимировать прямой, проходящей через конечные значения, то получим метод трапеций.
Площадь трапеции на каждом отрезке:
Погрешность аппроксимации на каждом отрезке:
где 
Полная формула трапеций в случае деления всего промежутка интегрирования на отрезки одинаковой длины :
где
Погрешность формулы трапеций:
где 
Метод Симпсона.
Подынтегральная функция f(x)
заменяется интерполяционным полиномом второй степениP(x)
– параболой, проходящей через три узла, например, как показано на рисунке ((1) – функция, (2) – полином).
Рассмотрим два шага интегрирования (h = const = x i+1 – x i ), то есть три узла x 0 , x 1 , x 2 , через которые проведем параболу, воспользовавшись уравнением Ньютона:
Пусть z = x - x 0
,
тогда
Теперь, воспользовавшись полученным соотношением, сосчитаем интеграл по данному интервалу:
.
Для равномерной сетки
и четного числа шагов n
формула Симпсона принимает вид:
Здесь 
, а 
в предположении непрерывности четвертой производной подынтегральной функции.
[править]Увеличение точности
Приближение функции одним полиномом на всем отрезке интегрирования, как правило, приводит к большой ошибке в оценке значения интеграла.
Для уменьшения погрешности отрезок интегрирования разбивают на части и применяют численный метод для оценки интеграла на каждой из них.
При стремлении количества разбиений к бесконечности, оценка интеграла стремится к его истинному значению для аналитических функций для любого численного метода.
Приведённые выше методы допускают простую процедуру уменьшения шага в два раза, при этом на каждом шаге требуется вычислять значения функции только во вновь добавленных узлах. Для оценки погрешности вычислений используется правило Рунге.
Применение правила Рунге
править]Оценка точности вычисления определённого интеграла
Интеграл вычисляется по выбранной формуле (прямоугольников, трапеций, парабол Симпсона) при числе шагов, равном n, а затем при числе шагов, равном 2n. Погрешность вычисления значения интеграла при числе шагов, равном 2n, определяется по формуле Рунге:
, для формул прямоугольников и трапеций , а для формулы Симпсона .
Таким образом, интеграл вычисляется для последовательных значений числа шагов , где n 0 - начальное число шагов. Процесс вычислений заканчивается, когда для очередного значения N будет выполнено условие , где ε - заданная точность.
Особенности поведения погрешности.
Казалось бы, зачем анализировать разные методы интегрирования, если мы можем достичь высокой точности, просто уменьшая величину шага интегрирования. Однако рассмотрим график поведения апостериорной погрешности R
результатов численного расчета в зависимост 
и от числа n
разбиений интервала (то есть при шаг . На участке (1) погрешность уменьшается в связи с уменьшением шага h. Но на участке (2) начинает доминировать вычислительная погрешность, накапливающаяся в результате многочисленных арифметических действий. Таким образом, для каждого метода существует своя R min
, которая зависит от многих факторов, но прежде всего от априорного значения погрешности метода R
.
Уточняющая формула Ромберга.
Метод Ромберга заключается в последовательном уточнении значения интеграла при кратном увеличении числа разбиений. В качестве базовой может быть взята формула трапеций с равномерным шагом h
.
Обозначим интеграл с числом разбиений n
= 1 как 
.
Уменьшив шаг в два раза, получим 
.
Если последовательно уменьшать шаг в 2 n раз, получим рекуррентное соотношение для расчета .
Определённым интегралом от непрерывной функции f (x ) на конечном отрезке [a , b ] (где ) называется приращение какой-нибудь её первообразной на этом отрезке. (Вообще, понимание заметно облегчится, если повторить тему неопределённого интеграла) При этом употребляется запись
Как видно на графиках внизу (приращение первообразной функции обозначено ), определённый интеграл может быть как положительным, так и отрицательным числом (Вычисляется как разность между значением первообразной в верхнем пределе и её же значением в нижнем пределе, т. е. как F (b ) - F (a )).
Числа a и b называются соответственно нижним и верхним пределами интегрирования, а отрезок [a , b ] – отрезком интегрирования.
Таким образом, если F (x ) – какая-нибудь первообразная функция для f (x ), то, согласно определению,
(38)
Равенство (38) называется формулой Ньютона-Лейбница . Разность F (b ) – F (a ) кратко записывают так:
Поэтому формулу Ньютона-Лейбница будем записывать и так:
(39)
Докажем, что определённый интеграл не зависит от того, какая первообразная подынтегральной функции взята при его вычислении. Пусть F (x ) и Ф(х ) – произвольные первообразные подынтегральной функции. Так как это первообразные одной и той же функции, то они отличаются на постоянное слагаемое: Ф(х ) = F (x ) + C . Поэтому
Тем самым установлено, что на отрезке [a , b ] приращения всех первообразных функции f (x ) совпадают.
Таким образом, для вычисления определённого интеграла необходимо найти любую первообразную подынтегральной функции, т.е. сначала следует найти неопределённый интеграл. Постоянная С из последующих вычислений исключается. Затем применяется формула Ньютона-Лейбница: в первообразную функцию подставляется значение верхнего предела b , далее - значение нижнего предела a и вычисляется разность F(b) - F(a) . Полученное число и будет определённым интегралом. .
При a = b по определению принимается
Пример 1.
Решение. Сначала найдём неопределённый интеграл:
Применяя формулу Ньютона-Лейбница к первообразной
(при С = 0), получим
Однако при вычислении определённого интеграла лучше не находить отдельно первообразную, а сразу записывать интеграл в виде (39).
Пример 2. Вычислить определённый интеграл
Решение. Используя формулу
Свойства определённого интеграла
Теорема 2. Величина определённого интеграла не зависит от обозначения переменной интегрирования , т.е.
(40)
Пусть F (x ) – первообразная для f (x ). Для f (t ) первообразной служит та же функция F (t ), в которой лишь иначе обозначена независимая переменная. Следовательно,
На основании формулы (39) последнее равенство означает равенство интегралов
Теорема 3. Постоянный множитель можно выносить за знак определённого интеграла , т.е.
(41)
Теорема 4. Определённый интеграл от алгебраической суммы конечного числа функций равен алгебраической сумме определённых интегралов от этих функций , т.е.
(42)
Теорема 5. Если отрезок интегрирования разбит на части, то определённый интеграл по всему отрезку равен сумме определённых интегралов по его частям , т.е. если
(43)
Теорема 6. При перестановке пределов интегрирования абсолютная величина определённого интеграла не меняется, а изменяется лишь его знак , т.е.
(44)
Теорема 7 (теорема о среднем). Определённый интеграл равен произведению длины отрезка интегрирования на значение подынтегральной функции в некоторой точке внутри его , т.е.
(45)
Теорема 8. Если верхний предел интегрирования больше нижнего и подынтегральная функция неотрицательна (положительна), то и определённый интеграл неотрицателен (положителен), т.е. если
Теорема 9. Если верхний предел интегрирования больше нижнего и функции и непрерывны, то неравенство
можно почленно интегрировать , т.е.
(46)
Свойства определённого интеграла позволяют упрощать непосредственное вычисление интегралов.
Пример 5. Вычислить определённый интеграл
Используя теоремы 4 и 3, а при нахождении первообразных – табличные интегралы (7) и (6), получим
Определённый интеграл с переменным верхним пределом
Пусть f (x ) – непрерывная на отрезке [a , b ] функция, а F (x ) – её первообразная. Рассмотрим определённый интеграл
(47)
а через t обозначена переменная интегрирования, чтобы не путать её с верхней границей. При изменении х меняется и опредёленный интеграл (47), т.е. он является функцией верхнего предела интегрирования х , которую обозначим через Ф (х ), т.е.
(48)
Докажем, что функция Ф (х ) является первообразной для f (x ) = f (t ). Действительно, дифференцируя Ф (х ), получим
так как F (x ) – первообразная для f (x ), а F (a ) – постояная величина.
Функция Ф (х ) – одна из бесконечного множества первообразных для f (x ), а именно та, которая при x = a обращается в нуль. Это утверждение получается, если в равенстве (48) положить x = a и воспользоваться теоремой 1 предыдущего параграфа.
Вычисление определённых интегралов методом интегрирования по частям и методом замены переменной
где, по определению, F (x ) – первообразная для f (x ). Если в подынтегральном выражении произвести замену переменной
то в соответствии с формулой (16) можно записать
В этом выражении
первообразная функция для
В самом деле, её производная, согласно правилу дифференцирования сложной функции , равна
Пусть α и β – значения переменной t , при которых функция
принимает соответственно значения a и b , т.е.
Но, согласно формуле Ньютона-Лейбница, разность F (b ) – F (a ) есть
Ранее мы рассматривали определенный интеграл как разность значений первообразной для подынтегральной функции. При этом предполагалось, что подынтегральная функция имеет первообразную на промежутке интегрирования.
В случае, когда первообразная выражается через элементарные функции, мы можем быть уверенными в ее существовании. Но если такого выражения нет, то вопрос о существовании первообразной остается открытым, и мы не знаем, существует ли соответствующий определенный интеграл.
Геометрические соображения подсказывают, что хотя, например, для функции y=e^{-x^2} нельзя выразить первообразную через элементарные функции, интеграл \textstyle{\int\limits_{a}^{b}e^{-x^2}\,dx} существует и равен площади фигуры, ограниченной осью абсцисс, графиком функции y=e^{-x^2} и прямыми x=a,~ x=b (рис. 6). Но при более строгом анализе выясняется, что само понятие площади нуждается в обосновании, а потому нельзя опираться на него, решая вопросы существования первообразной и определенного интеграла.
Докажем, что любая функция, непрерывная на отрезке имеет на этом отрезке первообразную , и, следовательно, для нее существует определенный интеграл по этому отрезку. Для этого нам понадобится иной подход к понятию определенного интеграла, не опирающийся на предположение о существовании первообразной.
Установим сначала некоторые свойства определенного интеграла , понимаемого как разность значений первообразной.
Оценки определенных интегралов
Теорема 1. Пусть функции y=f(x) ограничена на отрезке , а m=\min_{x\in}f(x) и M=\max_{x\in}f(x) , соответственно, наименьшее и наибольшее значения функции y=f(x) на , причем на этом отрезке функция y=f(x) имеет первообразную. Тогда
m(b-a)\leqslant \int\limits_{a}^{b}f(x)\,dx\leqslant M(b-a).
Доказательство. Пусть F(x) - одна из первообразных для функции y=f(x) на отрезке . Тогда
\int\limits_{a}^{b}f(x)\,dx=\Bigl.{F(x)}\Bigr|_{a}^{b}=F(b)-F(a).
По теореме Лагранжа F(b)-F(a)=F"(c)(b-a)
, где a
По условию для всех значений x из отрезка выполняется неравенство m\leqslant f(x)\leqslant M , поэтому m\leqslant f(c)\leqslant M и, следовательно,
m(b-a)\leqslant f(c)(b-a)\leqslant M(b-a) , то есть m(b-a)\leqslant \int\limits_{a}^{b}f(x)\,dx\leqslant M(b-a) ,
что и требовалось доказать.
Двойное неравенство (1) дает лишь весьма грубую оценку для значения определенного интеграла. Например, на отрезке значения функции y=x^2 заключены между 1 и 25, а потому имеют место неравенства
4=1\cdot(5-1)\leqslant \int\limits_{1}^{5}x^2\,dx\leqslant 25\cdot(5-1)=100.
Чтобы получить более точную оценку, разбивают отрезок
на несколько частей точками a=x_0
m_k\cdot\Delta x_k\leqslant \int\limits_{x_k}^{x_{k+1}} f(x)\,dx\leqslant M_k\cdot \Delta x_k\,
где через \Delta x_k обозначена разность (x_{k+1}-x_k) , т. е. длина отрезка . Записывая эти неравенства для всех значений k от 0 до n-1 и складывая их, получим:
\sum_{k=0}^{n-1}(m_k\cdot\Delta x_k) \leqslant \sum_{k=0}^{n-1} \int\limits_{x_k}^{x_{k+1}}f(x)\,dx\leqslant \sum_{k=0}^{n-1} (M_k\cdot \Delta x_k),
Но по аддитивному свойству определенного интеграла сумма интегралов по всем частям отрезка равна интегралу по этому отрезку, т. е.
\sum_{k=0}^{n-1} \int\limits_{x_k}^{x_{k+1}}f(x)\,dx= \int\limits_a}^{b}f(x)\,dx\,.
Значит,
\sum_{k=0}^{n-1}(m_k\cdot\Delta x_k) \leqslant \sum_{k=0}^{n-1} \int\limits_{a}^{b}f(x)\,dx\leqslant \sum_{k=0}^{n-1} (M_k\cdot \Delta x_k)
Например, если разбить отрезок на 10 равных частей, каждая из которых имеет длину 0,4, то на частичном отрезке выполняется неравенство
(1+0,\!4k)^2\leqslant x^2\leqslant \bigl(1+0,\!4(k+1)\bigr)^2
Поэтому имеем:
0,\!4\sum_{k=0}^{9}(1+0,\!4k)^2\leqslant \int\limits_{1}^{5}x^2\,dx\leqslant 0,\!4\sum_{k=0}^{9}\bigl(1+0,\!4(k+1)\bigr)^2.
Вычисляя, получаем: 36,\!64\leqslant \int\limits_{1}^{5} x^2\,dx\leqslant 46,\!24 . Эта оценка гораздо точнее полученной ранее 4\leqslant \int\limits_{1}^{5}x^2\,dx\leqslant100 .
Чтобы получить еще более точную оценку интеграла, надо разбить отрезок не на 10, а, скажем, на 100 или 1000 частей и сосчитать соответствующие суммы. Разумеется, данный интеграл проще вычислить с помощью первообразной:
\int\limits_{1}^{5}x^2\,dx= \left.{\frac{x^3}{3}}\right|_{1}^{5}= \frac{1}{3}(125-1)= \frac{124}{3}\,.
Но если выражение для первообразной нам неизвестно, то неравенства (2) дают возможность оценить значение интеграла снизу и сверху.
Определенный интеграл как разделяющее число
Числа m_k и M_k , входящие в неравенство (2), могли выбираться произвольно, лишь бы на каждом из отрезков выполнялось неравенство m_k\leqslant f(x)\leqslant M_k . Наиболее точная оценка интеграла при данном разбиении отрезка получится, если взять M_k наименьшим, а m_k наибольшим из всех возможных значений. Это значит, что в качестве m_k надо взять точную нижнюю границу значений функции y=f(x) на отрезке , а в качестве M_k - точную верхнюю границу этих значений на том же отрезке:
m_k=\inf_{x\in}f(x),\qquad M_k=\sup_{x\in}f(x).
Если y=f(x) - ограниченная функция на отрезке , то она ограничена и на каждом из отрезков , а потому для нее определены по равенствам (3) числа m_k и M_k,~ 0\leqslant k\leqslant n-1 . При таком выборе чисел m_k и M_k суммы \textstyle{\sum\limits_{k=0}^{n-1}m_k\Delta x_k} и \textstyle{\sum\limits_{k=0}^{n-1}M_k\Delta x_k} называют, соответственно, нижней и верхней интегральными суммами Дарбу для функции y=-f(x) при данном разбиении P:
a=x_0 отрезка
. Будем обозначать эти суммы соответственно s_{fP}
и S_{fP}
, а если функция y=f(x)
фиксирована, то просто s_P
и S_P
. Неравенство (2) означает, что если ограниченная на отрезке
функция y=f(x)
имеет на этом отрезке первообразную, то определенный интеграл разделяет числовые множества \{s_p\}
и \{S_P\}
, состоящие соответственно из всех нижних и верхних сумм Дарбу для всевозможных разбиений P
отрезка
. Вообще говоря, может случиться, что число, разделяющее эти два множества, не единственно. Но ниже мы увидим, что для наиболее важных классов функций (в частности, для непрерывных функций) оно единственно. Это позволяет ввести новое определение для \textstyle{\int\limits_{a}^{b} f(x)\,dx}
, не опирающееся на понятие первообразной, а использующее лишь суммы Дарбу. Определение.
Функция y=f(x)
, ограниченная на отрезке
, называется интегрируемой на этом отрезке, если существует единственное число \ell
, разделяющее множества нижних и верхних сумм Дарбу, образованных для всевозможных разбиений отрезка
. Если функция y=f(x)
интегрируема на отрезке
, то единственное число, разделяющее эти множества, называют определенным интегралом этой функции по отрезку
и означают . Мы определили интеграл \textstyle{\int\limits_{a}^{b} f(x)\,dx}
для случая, когда ab
, то положим \int\limits_{a}^{b}f(x)\,dx= -\int\limits_{b}^{a}f(x)\,dx\,.
Это определение естественно, так как при изменении направления промежутка интегрирования все разности \Delta x_k=x_{k+1}-x_k
меняют знак, а тогда меняют знаки и суммы Дарбу и, тем самым, разделяющее их число, т.е. интеграл. Так как при a=b
все \Delta x_k
обращаются в нуль, то положим \int\limits_{b}^{a}f(x)\,dx=0.
Мы получили два определения понятия определенного интеграла: как разности значений первообразной и как разделяющего числа для сумм Дарбу. Эти определения в наиболее важных случаях приводят к одному и тому же результату: Теорема 2.
Если функция y=f(x)
ограничена на отрезке
и имеет на нем первообразную y=F(x)
, причем существует единственное число, разделяющее нижние и верхние суммы Дарбу, то это число равно F(b)-F(a)
.
Доказательство.
Мы доказали выше, что число F(a)-F(b)
разделяет множества \{s_P\}
и \{S_P\}
. Так как по условию разделяющее число однозначно определено, то оно совпадает с F(b)-F(a)
. Начиная с этого момента мы будем применять обозначение \textstyle{\int\limits_{a}^{b}f(x)\,dx}
лишь для единственного числа, разделяющего множества \{s_P\}
и \{S_P\}
. Из доказанной теоремы следует, что при этом не возникает противоречия с тем пониманием этого обозначения, которым мы пользовались выше. Для того чтобы данное ранее определение интеграла имело смысл, надо доказать, что множество верхних сумм Дарбу действительно расположено справа от множества нижних сумм Дарбу. Лемма 1.
Для каждого разбиения P
соответствующая нижняя сумма Дарбу не превосходит верхней суммы Дарбу, s_P\leqslant S_P
.
Доказательство.
Рассмотрим некоторое разбиение P
отрезка
: a=x_0 Очевидно, что для любого k
и для любого выбранного разбиения P
выполняется неравенство s_P\leqslant S_P
. Следовательно, m_k\cdot\Delta x_k\leqslant M_k\cdot\Delta x_k
, и потому s_P= \sum_{k=0}^{n-1}(m_k\cdot\Delta x_k)\leqslant \sum_{k=0}^{n-1}(M_k\cdot\Delta x_k)=S_P.
Неравенство (4) справедливо лишь для фиксированного разбиения P
. Поэтому пока еще нельзя утверждать, что нижняя сумма Дарбу одного разбиения не может превзойти верхнюю сумму Дарбу другого разбиения. Для доказательства этого утверждения нам понадобится следующая лемма: Лемма 2.
От добавления новой точки деления нижняя сумма Дарбу не может уменьшиться, а верхняя сумма не может увеличиться.
Доказательство.
Выберем некоторое разбиение P
отрезка
и добавим к нему новую точку деления {x^{\ast}}
. Обозначим новое разбиение P^{\ast}
. Разбиение P^{\ast}
является измельчением разбиения P
, т.е. каждая точка разбиения P
является, одновременно и точкой разбиения P^{\ast}
. Пусть точка {x^{\ast}}
попала на отрезок \colon\, x_k Слагаемому m_k(x_{k+1}-m_{k})
первоначальной нижней суммы Дарбу в новой нижней сумме Дарбу соответствуют два слагаемых: m_{k}^{\ast}(x^{\ast}-x_k)+ m_{k}^{\ast\ast}(x_{k+1}-x^{\ast}).
При этом m_k\leqslant m_{k}^{\ast}
и m_k\leqslant m_{k}^{\ast\ast}
, так как m_k
- точная нижняя граница значений функции f(x)
на всем отрезке
, а m_{k}^{\ast}
и m_{k}^{\ast\ast}
лишь на его частях
и
соответственно. Оценим снизу сумму полученных слагаемых: \begin{aligned} m_{k}^{\ast}\bigl(x^{\ast}-x_{k}\bigr)+ m_{k}^{\ast\ast}\bigl(x_{k+1}-x^{\ast}\bigr) \geqslant & \,\,m_k \bigl(x^{\ast}-x_k)+m_k(x_{k+1}-x^{\ast}\bigr)=\\ &=m_k\bigl(x^{\ast}-x_k+x_{k+1}-x^{\ast}\bigr)=\\ &=m_k\bigl(x_{k+1}-x_k\bigr).\end{aligned}
Так как остальные слагаемые и в старой и в новой нижних суммах Дарбу остались неизменными, то нижняя сумма Дарбу от добавления новой точки деления не уменьшилась, s_P\leqslant S_P
. Доказанное утверждение остается справедливым и при добавлении любого конечного числа точек к разбиению P
. Аналогично доказывается утверждение о верхней сумме Дарбу: S_{P^{\ast}}\leqslant S_{P}
. Перейдем к сравнению сумм Дарбу для любых двух разбиений. Лемма 3.
Ни одна нижняя сумма Дарбу не превосходит любой верхней суммы Дарбу (хотя бы отвечающей другому разбиению отрезка
).
Доказательство.
Рассмотрим два произвольных разбиения P_1
и P_2
отрезка
и образуем третье разбиение P_3
, состоящее из всех точек разбиений P_1
и P_2
. Таким образом, разбиение P_3
является измельчением как разбиения P_1
, так и разбиения P_2
(рис. 7). Обозначим нижние и верхние суммы Дарбу для этих разбиений соответственно s_1,~S_1.~s_2,~S_2
и докажем, что s_1\leqslant S_2
. Так как P_3
- измельчение разбиения P_1
, то s_1\leqslant s_3
. Далее, s_3\leqslant S_3
, поскольку суммы s_3
и S_3
соответствуют одному и тому же разбиению. Наконец, S_3\leqslant S_2
, так как P_3
является измельчением разбиения P_2
. Таким образом, s_1\leqslant s_3\leqslant S_3\leqslant S_2
, т.е. s_1\leqslant S_2
, что и требовалось доказать. Из леммы 3 следует, что числовое множество X=\{s_P\}
нижних сумм Дарбу лежит левее числового множества Y=\{S_P\}
верхних сумм Дарбу.
В силу теоремы о существовании разделяющего числа для двух числовых множеств1, найдется хотя бы одно число /, разделяющее множества X
и Y
, т.е. такое, что для любого разбиения отрезка
выполняется двойное неравенство: s_P= \sum_{k=0}^{n-1}\bigl(m_k\cdot\Delta x_k\bigr) \leqslant I\leqslant \sum_{k=0}^{n-1}\bigl(M_k\cdot\Delta x_k\bigr)=S_P.
Если это число единственно, то \textstyle{I= \int\limits_{a}^{b} f(x)\,dx}
. Приведем пример, показывающий, что такое число I
, вообще говоря, не является однозначно определенным. Напомним, что функцией Дирихле называют функцию y=D(x)
на отрезке
, определяемую равенствами: D(x)= \begin{cases}0,& \text{if}~~ x~~\text{is irrational number};\\1,& \text{if}~~ x~~ \text{is rational number}.\end{cases}
Какой бы отрезок
мы ни взяли, на нем найдутся и рациональные, и иррациональные точки, т.е. и точки, где D(x)=0
, и точки, где D(x)=1
. Поэтому для любого разбиения отрезка
все значения m_k
равны нулю, а все значения M_k
равны единице. Но тогда все нижние суммы Дарбу \textstyle{\sum\limits_{k=0}^{n-1}\bigl(m_k\cdot\Delta x_k\bigr)}
равны нулю, а все верхние суммы Дарбу \textstyle{\sum\limits_{k=0}^{n-1}\bigl(M_k\cdot\Delta x_k\bigr)}
равны единице,Свойства нижних и верхних сумм Дарбу
что и требовалось доказать.
