Исследование алгебраических моделей графическим способом. Исследование алгебраических моделей

ЦЕЛЬ : формирование знаний графического и числового («половинного деления») методов решений уравнений, умений применять их при построении и реализации на компьютере математических моделей для нахождения корней уравнений с разной степенью точности.

ЗАДАЧИ:
обучающие:

формирование ИКТ – грамотности:

формирование способностей для идентификации информации (отбор уравнений, которые не решаются стандартными способами),
формирование умений интегрировать информацию (анализ и сравнение различных методов решения уравнений, обобщение),
формирование умений оценивать информацию (полезность и эффективность предложенных методов решения уравнений),
формирование умений адаптировать информацию к конкретным условиям (построение и исследование математических моделей, применение их к конкретным уравнениям);

отработка умений и навыков работы в электронных таблицах (автозаполнение, построение арифметических выражений, построение графиков функций);

развивающие:

формирование навыков деятельности, составляющих ИКТ-компетентность:

управление – выделение нестандартных методов решения уравнений,
интеграция – освоение предложенных методов,
оценка – сравнение графического и числового методов,
создание – умение применять данные методы при решении конкретных уравнений;

развитие памяти, внимания, самостоятельности при работе на компьютере;

воспитательные:

формирование познавательного интереса путем описания математических объектов автоматическими средствами представления данных;
выработка у учащихся способности использовать компьютер при решении задач из различных предметных областей (математика);
воспитание аккуратности, терпения, усидчивости.

ТИП УРОКА: изучение нового материала.

ФОРМА УРОКА: урок-исследование.

МЕТОДЫ ОБУЧЕНИЯ:
объяснительно-иллюстративный с применением презентации; частично поисковый, исследовательский; практический.

ОБОРУДОВАНИЕ:

компьютерный класс, мультимедийный проектор, экран или мультимедийная доска;
на компьютере учителя – презентация «Исследование математических моделей», сопровождающая все этапы урока (Приложение1 ); флипчарт «Электронные таблицы»для тестирования по данной теме в форме голосования с помощью устройств Activote (Приложение5), файл Мастера вопросов - основа теста (Приложение6);
для менее подготовленных учащихся - карточки с алгоритмом практической работы на компьютере (Приложение2 );
на компьютерах учеников - шаблон в электронных таблицах для решения уравнения графическим методом (Приложение3 );
на компьютерах учеников – компьютерный тест «Электронные таблицы» (Приложение4 ).

ПЛАН УРОКА:

ХОД УРОКА

1. Организационный момент. Сообщение темы урока, цели (Слайды 1, 2, 3 ).
Тема сегодняшнего урока «Исследование математических моделей». При изучении САПР КОМПАС 3D вы выполняли геометрические построения: биссектриса угла, перпендикуляр к прямой, треугольник по 2 сторонам и углу между ними. Сегодня объектом наших исследований будут уравнения, а инструментами: объектно-ориентированный язык программирования Visual Basic и электронные таблицы MS Exс el . Проверим ваши знания об электронных таблицах.

2. Актуализация знаний. Проверочная работа (Слайды 4-15 ).
Работа проводится двумя способами: часть учащихся выполняют тест на компьютерах, остальные на местах. Вопросы выводятся на экран в виде презентации PowerPoint (ответы записываются в тетрадях) или флипчарта «Электронная таблица» (проводится голосование с помощью устройств Activote), на обдумывание каждого вопроса и ответ на него даётся 30 секунд. Работа занимает 5 мин. Анализ результатов (самопроверка, обсуждение ошибок).

3. Объяснение нового материала (Слайды 16-27 ).
Моделирование любых процессов начинается с записи формальной модели на языке определённой области знаний: математики, физики, химии, биологии, экономики.
На языке алгебры формальные модели записываются с помощью уравнений, точное решение которых основывается на поиске равносильных преобразований алгебраических выражений, позволяющих выразить переменную величину с помощью формулы.

Определите виды уравнений и способы их решений.
Учащиеся определяют виды предложенных уравнений и способы их решений. Возможные ответы на поставленные вопросы приведены в таблице (Приложение7).

*Уравнение*		Способ решения
*1. 22х-18=6+10х*	линейное	Известные члены – в правую часть, члены с неизвестными – в левую часть, привести подобные, найти неизвестный множитель.
*2. x 2 + 6х – 27 = 0*	полное квадратное	Найти дискриминант D= b 2 -4 ac, если D>0, вычислить корни по формулам x 1 , 2 =, если D<0, то корней нет, если D=0, то найти один корень по формуле x=.
*3. x 2 - 5х = 0*	неполное квадратное	х вынести за скобки и решить получившиеся линейные уравнения.
*4. x 2 + 13х + 30 = 0*	полное квадратное	По теореме Виета: х 1 +х 2 =- p, х 1 ×х 2 = q.
*5. 9x 3 - х = 0*	кубическое	Разложить на множители и решить получившиеся линейные уравнения.
*6. 3sin x - 2cos 2 x=0*	тригонометрическое	По основному тождеству: cos 2 х = 1- sin 2 х, заменяем переменную sin х на t, решаем квадратное уравнение, затем получившиеся простейшие тригонометрические уравнения.
7.	показательное	Левую и правую части представить в виде степени с основанием . Функция y= монотонна, можно приравнять показатели левой и правой частей уравнении, затем решить линейное уравнение.
*8. log 2 x 2 = 4*	логарифмическое	Использовать формулу логарифма степени и определение логарифма.
9.	иррациональное	Ввести новую переменную , привести к квадратному уравнению и решить его.

Вам известны методы решения уравнений определённого вида (линейные, квадратные, тригонометрические и др.). Всегда ли можно использовать стандартные методы? Рассмотрим несколько уравнений.
Дано: уравнение: x 2 = 8 - х . Найти: корни уравнения. Можно решить данное уравнение традиционным способом: при помощи нахождения дискриминанта? Как быть? Решить графически.
Графический метод основан на построении графиков функций, содержащихся в левой и правой части уравнения, или обращающих его в ноль. Абсциссы точек пересечения этих графиков и будут корнями данного уравнения. Корень определяется «на глаз», т. е. приближенно.
Дано: уравнение: x 3 + 5 = 0. Найти: корни уравнения. Какой способ решения вы можете предложить, чтобы значения корней были более точными? Метод подбора.
Метод подбора требует выполнения большого количества вычислений и значительных затрат времени. Попробуем составить программу, которая позволит компьютеру самостоятельно выполнить операции по подбору корней. Воспользуемся числовым методом половинного деления, который основан на сведении первоначального отрезка , на котором существует корень уравнения, к отрезку заданной точности. Процесс сводится к последовательному делению отрезков пополам точкой C=(A+B)/2 и отбрасыванию той половины отрезка ( или ), на котором корня нет. Выбор нужной половины отрезка основывается на проверке знаков значений функций в его крайних точках. Выбирается та половина, на которой произведение значений функций на краях отрицательно, т. е. функция пересекает ось абсцисс. Процесс продолжается до тех пор, пока длина отрезка не станет меньше удвоенной точности. Деление последнего отрезка пополам даёт значение корня x=(A+B)/2 с заданной точностью.
Учащиеся записывают алгоритм метода половинного деления:

Вводим данные: А, В, Е
Пока (B-A)/2>E делать
С=(А+В)/2
Если у(A) * у(C) < 0 то
Иначе
Конец ветвления
Конец цикла
X=(A+B)/2

4. Первичное закрепление и систематизация знаний. Практическая работа.

Постановка задачи (Слайд 28) .
Рассмотрим тригонометрическое уравнение: x 3 - cos x = 0.
Решить его традиционным способом не возможно. Определите, каким способом вы сможете решить данное уравнение. Какой способ вы выбрали? Графический и половинного деления (каждый определяет свой способ). Применение и того и другого методов требует большого количества однотипных вычислений. Электронные таблицы, быстро производящие вычисления и позволяющие строить графики, помогут нам справиться с решением данного уравнения. Для реализации метода половинного деления воспользуемся объектно-ориентированным языком программирования Visual Basic.
Определите: как вы будете решать данное уравнение и уровень самостоятельности при выполнении работы.
На «4» оценивается самостоятельное решение при помощи электронных таблиц и в Visual Basic по готовому образцу.
На «5» написание программы самостоятельно по готовому алгоритму.
Учащиеся выбирают способ решения и уровень самостоятельности при его выполнении, садятся за компьютеры и решают уравнения. Для построения графиков они пользуются шаблоном (Приложение3). Ученики, претендующие на «4» , которые выбрали для реализации метод половинного деления, получают карточки с алгоритмом составления программы на Visual Basic (Приложение2). Учащимся, у которых возникнут трудности с выполнением работы в электронных таблицах, могут быть предложены карточки с алгоритмом практической работы при построении графиков (Приложение 2). В этом случае их оценка уменьшается до «3». Ученики, претендующие на «5» , пользуются алгоритмом метода половинного деления из рабочей тетради.
После выполнения работы обсуждаем полученные результаты.

Обсудим результаты, полученные в ходе решения.
Учащиеся записывают решение в тетрадях.

Задача.
Дано: тригонометрическое уравнение x 3 - cos x = 0. Найти: корни уравнения.

Формализованная модель.

a. Графическая (Слайды 29 – 32).
Необходимо построить графики функций: y= x 3 иy= cos x.
Затем, найти точки пересечения этих графиков, абсциссы которых и будут решениями уравнения.
Заполняем электронную таблицу значениями аргумента х от -2 до 2 с шагом 0,5 и формулами для определения значений функций y= x3 иy= cos x.

Строим графики функций в одной системе координат.

Результаты:

Вопрос: какие выводы можно сделать по полученным графикам?
Вывод (для записи): Корень уравнения один: x »0,85.
Корень определяется приближённо, «на глаз».

b. Числовая (Слайды 33-36).
Уточним полученный графическим методом корень, используя метод половинного деления. Возьмём отрезок [-2; 2] и с заданной точностью найдём точку пресечения функции y= x 3 - cos x с осью абсцисс. Составим проект на VB для решения поставленной задачи. Создадим новый проект, разместим на форме текстовые поля для ввода числовых значений концов отрезка: txtA , txtB , поле для ввода точности вычислений txtE и поле для вывода корня уравнения txtX и кнопку cmd 1 . В разделе описания переменных определим имена и тип переменных, которые будут использованы в программном коде.
Dim A,B,C,E As Double
К кнопке cmd 1 привяжем событийную процедуру:
Private Sub cmd1_Click()
A = Val(txtA.Text)
B = Val(txtB.Text)
E = Val(txtE.Text)
Do
C=(A+B)/2
If (A^3-cos(A))*(C^3-cos(C))<0 Then
B=C
Else
A=C
End If
Loop While (B-A)/2>E
txtX.Text=(A+B)/2
End Sub
Запустим проект и определим корень уравнения на концах отрезка [-2; 2] с точностью до 0,2 и 0,001.
Вопрос: какое значение имеет корень уравнения при точности 0,2 и 0,001?
Вывод: Корень уравнения один: x »0,875, x » 0,8662109375.
Корень определяется с заданной точностью.

5. Подведение итогов урока (Слайд 37).

Мы научились решать нестандартные уравнения с использованием:

программы «Метод половинного деления », написанной на объектно-ориентированном языке Visual Basic
возможностей построения графиков при помощи «мастера диаграмм », встроенного в электронные таблицы MS Excel

Оценки за урок.
Домашнее задание: составить формальную модель полёта тела, брошенного под углом к горизонту (формулы дальности полёта, высоты, в зависимости от начальной скорости, угла и времени движения), и алгоритм «Попадание снаряда в цель».

Размер: px

Начинать показ со страницы:

Транскрипт

1 Дронова Екатерина Николаевна Михалёв Алексей Сергеевич г. Барнаул ИНТЕГРИРОВАННЫЙ УРОК ИНФОРМАТИКИ И МАТЕМАТИКИ ПО ТЕМЕ «ИССЛЕДОВАНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ» Современная система среднего образования направлена на формирование высокообразованной, интеллектуально развитой личности с целостным представлением картины мира. Нацеленность на формирование интеллектуально развитой личности способствовала введению в школу различных учебных предметов, расширению их содержательной составляющей. Наряду с этим, многообразие изучаемых учебных дисциплин становится одной из причин фрагментарности мировоззрения выпускника школы: самостоятельность предметов, их слабая связь друг с другом влекут серьёзные трудности в формировании у школьника целостной картины мира. Разрешению этого противоречия способствует интеграция различных школьных дисциплин. Интеграция это процесс объединения частей в целое. В современной школе ярким её проявлением выступает интегрированный урок . Интегрированный урок это особый тип урока, который объединяет в себе обучение одновременно по нескольким дисциплинам при изучении одного понятия, темы или явления . В таком уроке всегда выделяются: ведущая дисциплина, выступающая интегратором, и дисциплины вспомогательные, способствующие углублению, расширению, уточнению материала ведущей дисциплины. Представим разработанный нами интегрированный урок информатики и математики по теме «Исследование алгебраических моделей». Ведущей дисциплиной здесь выступает информатика, вспомогательной математика. Данный урок предназначен для 11 класса (базового уровня изучения информатики), обучение которого осуществляется по учебнику И.Г. Семакина . Этот урок, согласно тематическому планированию, включается в раздел «Технология информационного моделирования» (см. таблицу 1). Таблица 1 Тематическое планирование изучения темы «Технология информационного моделирования» Темы уроков Содержание 1 Основы объектноориентированного визуального программирования (ООП) Ввведение в ООП, структура программы, типы данных, функции и процедуры и т.д 2 Событийные процедуры Форма, размещение на ней управляющих элементов. Событийные процедуры

2 3 Понятие модели. Виды моделей Понятие модели. Назначение и свойства моделей. Табличные, графические, информационные, математические модели 4 Модели статистического прогнозирования 5 Моделирование корреляционных зависимостей 6 Графические возможности объекта Canvas Статистика, статистические данные, регрессивная модель, метод наименьших квадратов Корреляционные зависимости, корреляционный анализ, коэффициент корреляции Графические возможности объекта Canvas Для успешного усвоения учебного содержания предлагаемого урока к учащимся предъявляются следующие входные требования: по информатике: знание основных этапов разработки моделей на компьютере, умение проводить компьютерный эксперимент с интерактивными алгебраическими моделями. по математике: знание линейных, квадратных, показательных, степенных и тригонометрических уравнений и умение их решать. Тип урока: комбинированный урок. Цели урока: обучающие: формирование системы знаний об алгебраических моделях; развивающие: развитие памяти, логического мышления, познавательного интереса воспитательные: воспитание аккуратности ведения тетради и дисциплинированности. Форма проведения урока: интегрированный урок. Методы, используемые на уроке: беседа, лабораторная работа. Оборудование: персональные компьютеры, проектор. Программное обеспечение: Microsoft Excel или LibreOfficе Calc Структура урока 1. Организационный момент (2 мин.) 2. Актуализация знаний (7 мин.) 3. Объяснение нового материала (14 мин.) 4. Первичное закрепление и систематизация знаний (20 мин.) 5. Подведение итогов урока (2 мин.) Ход урока 1. Организационный момент Приветствие учителя и учащихся, проверка присутствующих. 2. Актуализация знаний Учитель: «На прошлом уроке мы решали физические задачи и строили модели по этим задачам. Давайте вспомним:

3 1. Что называется моделью? (Ответ: модель это такой новый объект, который отражает существенные с точки зрения цели проводимого исследования свойства изучаемого объекта, явления или процесса.) 2. Что называется физической моделью? (Ответ: физические модели это модели, которые производят геометрические и физические свойства объекта.) 3. В какой программе на прошлом уроке мы строили эти модели? (Ответ: Microsoft Exсel.) 4. Для чего предназначена эта программа? (Ответ: эта программа предназначена для работы с электронными таблицами.)» После такой активизации внимания учащихся проводится небольшая самостоятельная работа, ориентированная на проверку знаний учащихся об электронных таблицах, цель, которой закрепить и систематизировать знания. Продолжительность самостоятельной работы: 5 мин. Задания для самостоятельной работы: 1. Электронная таблица это a. прикладная программа для обработки кодовых таблиц b. прикладная программа для обработки числовых данных, структурированных в виде таблиц c. устройство персонального компьютера, управляющее его ресурсами при выполнении вычислений 2. Назначения Excel: a. проведение расчётов b. построение графиков и диаграмм c. решение задач оптимизации d. всё перечисленное верно 3. Среди приведённых формул укажите формулу для электронной таблицы: a. D5C8-A3B2 b. A1=D5*C8-A3*B2 c. =D5*C8-A3*B2 d. D5*C8-A3*B2 4. Среди приведенных формул выберете формулу, в которой фиксируется только столбец: a. $B4 b. $A$5 c. C2 d. D$1 5. Чему будет равно значение ячейки С1, если в неё ввести формулу =(А1+В1)*2, в ячейку А1 число 5, в ячейку В1 формулу =А1* 2: a. 15 b. 10 c. 30 d. 20 Критерии оценки самостоятельной работы: Отметка «5» если верно выполнено 5 заданий. Отметка «4» если верно выполнено 4 задания.

4 Отметка «3» если верно выполнено 3 задания. Отметка «2» если верно выполнено менее 3 заданий. 3. Объяснение нового материала Учитель: «Тема сегодняшнего урока «Исследование алгебраических моделей». Как вы думаете, знакомы ли вы с какими-либо алгебраическими моделями? (Ответ: уравнения, неравенства, график.) Оказывается, одной из важных алгебраических моделей является уравнение. Как вы думаете почему? Что уравнение может моделировать? (Ответ: физические процессы, сюжетные задачи). Приведите примеры уравнений и опишите, что они моделируют (Ответ: S=Vt, A=Vt). Рассмотрим с вами уравнение с одной неизвестной, ведь именно с такими уравнениями вы лучше всего знакомы из курса математики. Приведите примеры таких уравнений. (Ответ: 2х+6=32). Важную роль при рассмотрении всевозможных уравнений с одной неизвестной играет понятие «корень уравнения». А что называется корнем уравнения? (Ответ: корень уравнения это такое число, которое при подстановке даёт верное числовое равенство). Давайте вспомним, какие виды уравнений вы рассматривали на уроках математики и какие основные способы их решения вам знакомы? (Ответ: линейные, квадратные, тригонометрические, показательные, степенные уравнения; способы решения: аналитический и графический). Как вы думаете, а любое ли уравнение из известных вам можно решить аналитическим способом? (Ответ: нет некоторые уравнения имеют приближенные корни и требуют для их нахождения построение графика). Итак, приступим к исследованию такой алгебраической модели как уравнение. Пример 1. Рассмотрим решение уравнения x 2 = 4 х. Попробуйте решить это уравнение аналитически, т.е. с помощью нахождения дискриминанта. Получилось? (Ответ: приближенно). Попробуйте решить его графически. Графический метод дает нам приближенное значение корней уравнения, но как узнать более точное их значение? (Ответ: увеличить масштаб). В тетрадях выполнить это задание трудоемко, а с помошью компьютера это сделать значительно проще. Для этого можно использовать электронные таблицы Exсel. Присаживайтесь за компьютеры и исследуйте корни этого уравнения. 4. Первичное закрепление и систематизация знаний Итак, нам нужно в электронных таблицах построить на одном рисунке графики функций у = x 2 и у = 4 х. Для того подготовим таблицу, содержащую координаты точек соотвествующих функций. Как это будем делать? (Ответ: в первой строке укажем значения аргумента х от -3 до 3 с шагом 0,5, во второй строке соответствующие значения функции у = x 2, в третьей строке соответсвующие значения функции у = 4 х (рис. 1).

5 Рис. 1. Таблица с координатами точек функций у = x 2 и у = 4 х Теперь из полученных данных построим график. Для этого выделим диапазон 2 и 3 строки и нажмем вставка > график > график с маркерами. У нас на экран вывелся график. Полный ли график получился? (Ответ: нет отсутсвует ось х) Дополним график: нажмите правой кнопкой мыши > выбрать данные > подписи горизонтальной оси > изменить > выбираем диапазон первой строки. Теперь у нас полный график нашего уравнения, видим, что уравнение имеет два корня (рис. 2). Рис. 2. График уравнения х 2 = 4 х Что нужно сделать, чтобы более точно определить корни? (Ответ: уменьшить шаг.) Выберите шаг 0,1. Теперь корни уравнения видно более точно (рис. 3).

6 Рис. 3. График уравнения х 2 = 4 х с шагом 0,1 Однако даже приближение не дает нам точное нахождение корня, мы можем определить лишь промежутки, на которых находятся корни уравнения. Найдем корни уравнения с точностью до тысячных, для этого воспользуемся функцией «Подбор параметра» . Знакомы ли вы с этой функцией? (Ответ: нет.). Подбор параметра определяет значение одной входной ячейки, которое требуется для получения желаемого результата в зависимой ячейке. Рассмотрим как работает эта функция, для этого заполним таблицу (рис. 4). Рис. 4. Таблица уравнения х 2 + х 4 = 0 с шагом 0,5. Как в данном случае определить, в каких промежутках будут лежать корни уравнения? (Ответ: график функции пересекает ось х два раза на промежутках [-3; -2,5] и , значит, в данных промежутках и лежат корни уравнения). Выберем в этих промежутках произвольные точки, например -2,7 и 1,8, и найдем значение функции у = х 2 + х 4 в них (рис. 5). Рис. 5. Значение функции у = х 2 + х 4 в точках -2,7 и 1,8 Далее воспользуемся функцией «подбор параметра», для этого выберете ячейку со значением 0,59 и нажмите Сервис > Подбор параметра. В открытом окне строки заполняются следующим образом: 1) устанавливается ячейка с формулой, в нашем случае ячейка со значением 0,59; 2) устанавливается значение, которое необходимо получить ставим 0;

7 3) устанавливается ячейка, в которую введется полученный результат установим ячейку, в которой стоит число -2,7. В результате число -2,7 изменится на корень уравнения (рис. 6). Рис. 6. Заполнение полей в диалоговом окне «Подбор параметра» Мы получили первый корень, аналогично найдите второй корень (рис 7). Рис. 7. Корни уравнения х 2 + х 4 = 0 с точностью до тысячных Дополнительное задание Найдите корни уравнений: а) x 3 = cos(х); б) -sin(x)=3* х-2. Диапазон и шаг аргумента выберите самостоятельно. Корни уравнений найдите двумя способами. 5. Подведение итогов урока Сегодня мы закрепили знания об электронных таблицах. Научились строить алгебраическую модель. Домашнее задание: прочитать параграф Представленный интегрированный урок расширяет возможности использования электронных таблиц перед учащимися и способствует понимающему усвоению ими понятия «алгебраическая модель». Литература 1. Брейтигам Э.К., Тевс Д.П. Интегрированные уроки в педагогическом классе // Педагогическое образование на Алтае С Дронова Е.Н. Решение задач оптимизации методом подбора параметра в электронных таблицах как средство развития мыслительных операций у учащихся // Научно-практический журнал «Современная педагогика» 1 (26) Январь Режим доступа: 3. Информатика. Базовый уровень: учебник для 11 класса / И.Г. Семакин, Е.К. Хеннер, Т.Ю. Шеина М.: БИНОМ. Лаборатория знаний с. 4. Кульневич С.В. Анализ современного урока. Ростов-н/Д: Учитель, с.

ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ ИНТЕГРИРОВАННЫЙ УРОК ПО ИНФОРМАТИКЕ И МАТЕМАТИКЕ ДЛЯ 9 КЛАССА ЦЕЛИ: Систематизировать, расширить и углубить знания, умения учащихся по теме «Системы уравнений с двумя

Интегрированный урок по теме «Решение уравнений». (математика + информатика) Цели урока: дидактическая: - применение знаний по математике и информатике при сдаче ЕГЭ; - систематизировать знания, умения

Тема «Графическое представление данных». Цели урока: обучающая: создать условия для знакомства учащихся с основными приемами построения графиков функций в программе Calc; организовать работу учащихся по

Министерство образования и науки Российской Федерации МУ «Комитет администрации г. Бийск по образованию» МОУ «Средняя общеобразовательная школа 6» Программа утверждена Элективный курс для учащихся 11 классов

Муниципальное бюджетное обще образовательное учреждение «Средняя общеобразовательная школа 114 с углубленным изучением отдельных предметов (математики)» Индустриального района г.барнаула Конспект урока

Календарно-тематическое планирование учебного материала по алгебре для 8 класса. Пояснительная записка Календарно-тематическое планирование по алгебре для 8 класса составлена на основе примерной программы

Обобщающий урок с использованием технологии УДЭ по теме: 1.Цели урока: закрепление изученных тем, повышение качества знаний при установлении связей между основными понятиями функции, уравнения и неравенства

Алгебра. Программа. 9 класс Пояснительная записка. Изучение математики на ступени основного общего образования направлено на достижение следующих целей: овладение системой математических знаний и умений,

Г р а ф и ч е с кое решение систем уравнений Аналитическая геометрия изучает геометрические объекты по их уравнениям. MS Excel предоставляет широкие возможности визуализации различных уравнений. В Excel

Актуализация темы Практическая работа Приближенное решение уравнений Мы прекрасно решаем квадратные и биквадратные уравнения, наипростейшие тригонометрические и степенные. Еще водятся "мастодонты", знающие

Методическая разработка по алгебре (8 класс) ФОРМУЛА КОРНЕЙ КВАДРАТНОГО УРАВНЕНИЯ Амосова Галина Владимировна, учитель математики и информатики ГБОУ СОШ 2 Василеостровского района Санкт-Петербурга «Метод

УДК 51.644 Н.А. Чалкина МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ НЕОДНОРОДНЫХ УРАВНЕНИЙ В статье рассматриваются некоторые методы решения систем линейных неоднородных уравнений компьютерными средствами. The article

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ПО АЛГЕБРЕ Уровень образования основное общее образование Класс 9 Уровень изучения предмета базовый Количество часов 140 часов, 4 часа в неделю Учитель Программа разработана на основе:

Приближенное решение уравнений метод половинного деления Цели урока Повторить тему построение таблиц значений функции. Развить умения и навыки по созданию графиков функций. Изучить новые возможность электронных

Интегрированный урок Решение систем линейных уравнений Цели и задачи урока Обучающие Математика Информатика Развивающие Воспитательные Научиться решать системы линейных уравнений Михайлова И.А., учитель

Рабочая программа по алгебре 8 класс 0-05 учебный год 0-5 учебный год Школа: ГБОУ СОШ 98 Учитель: Чазова Ирина Николаевна Пояснительная записка Класс: 8 г Учитель: Чазова И.Н. : - на учебный год: 6 -

Лабораторная работа 8. ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ И ДИАГРАММ В EXCEL Цель работы: научиться пользоваться средствами графического отображения информации в среде Ecel, способах ее форматирования и использования

Цель урока: МОУ гимназия 11 г. Елец Липецкой области Разработчик: учитель информатики Губина Т.Н. Методическая разработка системы интегрированных уроков по информатике и математике в 10 классе Урок 5 Тема:

Рассмотрено Принято Утверждаю На МО учителей математики на заседании Директор МОУ СОШ Протокол 1 от 26.08. 2014. педагогического с. Поима Руководитель МО Праслова О.М. совета Родионова О.И. Протокол 1

Бершадская Ирина Витальевна, учитель информатики Сухоминская Лариса Владимировна, учитель физики Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение "Гимназия 1" Мытищинского муниципального района г.

План конспект открытого урока, проведенного 29.12.2014 г. в рамках школьной методической недели в 10 «А» классе Шемет С. А. учитель математики высшей квалификационной категории Тема урока: Формулы приведения.

Пояснительная записка. Данная рабочая программа ориентирована на учащихся 8 класса и реализуется на основе следующих документов:. Государственный стандарт начального общего, основного общего и среднего

Практическая работа 5.1. Применение деловой графики и инструмента «Подбор параметра» MS Excel в моделировании Цель работы. Выполнив эту работу, Вы научитесь: использовать линии тренда для аппроксимации

Салихова Лилия Завдятовна Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение «Средняя общеобразовательная татарско-русская школа 23 с углубленным изучением отдельных предметов» Ново-Савиновского района

Конспект учебного занятия с использованием ИКТ Город: Магнитогорск ОУ 63 Учитель: Любицкий Александр Викторович Класс: 8 Тема учебного занятия: «Работа с таблицами. Редактор формул». Продолжительность

Чурсина Александра Владимировна Государственное бюджетное образовательное учреждение города Москвы средняя общеобразовательная школа 1471 ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ЛОГИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН В ТАБЛИЧНОМ ПРОЦЕССОРЕ EXCEL (8

Министерство образования Российской Федерации ФГБОУ ВПО «ЮжноУральский государственный университет» (НИУ) Филиал ФГБОУ ВПО ЮУрГУ (НИУ) в г. УстьКатаве Кафедра Машиноведение Расчетнографическая работа по

Александрова О.А. Система уроков повторения по теме «Решение тригонометрических уравнений» 10 класс. 1. Примерное планирование учебного времени при организации повторения: Содержание занятий Цели занятий

Методические разработки уроков по теме «Системы уравнений второй степени» Разработал учитель математики Мотырев Д.И. Тема урока: «Системы уравнений второй степени» Тип урока: изучение нового материала.

Достаточно часто в школах мы встречаем ситуацию, когда учитель прекрасно объясняет материал, учащиеся его внимательно слушают, но через несколько минут, выходя из кабинета, забывают, о чем шла речь на

Место учебного предмета в учебном плане: ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА На изучение предмета Алгебра и начала анализа в10 классе по учебному плану социальноэкономического профиля отводится 136 часов. КТП скорректировано

ЗАНЯТИЕ ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Отделение корней Пусть дано уравнение f () 0, () где функция f () C[ a; Определение Число называется корнем уравнения () или нулем функции f (), если

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА муниципального бюджетного общеобразовательного учреждения городского округа Тольятти «Школа с углублённым изучением отдельных предметов 58» по информатике и ИКТ 9абв класс Программу разработал

Аммаргорп яачобар к учебнику А.Н. Колмогорова и др. «Алгебра и начала анализа» 11 класс Тематическое планирование составлено на основе федерального компонента государственного стандарта общего образования

Данная программа предполагает использование часа, выделяемого в региональном компоненте, с целью «усиления» федерального компонента учебного предмета «математика», что связано с подготовкой выпускников

Министерство иностранных дел Российской Федерации Средняя общеобразовательная школа с углублённым изучением иностранного языка при постоянном представительстве России при ООН в Нью-Йорке, США Рассмотрено.

Как уже отмечено, объектом исследований в кибернетике является информация и информационные явления. «Инструментом» для переработки информации служит ЭВМ. Естественно, что для понимания и описания процессов преобразования информации требуется специальный математический аппарат. После серии попыток и исканий в качестве такого аппарата утвердилась алгебра, которая в данном смысле стала именоваться информационной алгеброй. Решающими работами в этом направлении для инженерных кругов явились публикации Кодда по реляционной алгебре, которые легли в основу математического описания так называемых реляционных баз данных.

Существует большое количество определений и концепций построения алгебр и логик.

В общем случае под алгеброй понимается математическая дисциплина, в которой рассматриваются операции над множествами. Совокупность операций обладает теми или иными свойствами, которые определяют ту или иную алгебру. Очевидно, что алгебра должна отражать те свойства, которыми обладают элементы, составляющие множества.

Под логикой в самом общем смысле понимается наука о законах мышления. В своем законченном виде логика как наука сформировалась в работах Аристотеля. Можно говорить и о логике Гегеля, Кантора и т. д. Все это разновидности, так называемой философской логики.

В разделах математики создан эквивалентный математический аппарат для описания различных философских логик в виде относительно большого числа математических или формальных логик. Естественно, что в любой алгебре используется операции математической логики, которая в свою очередь исследует логические преобразования над множествами, состоящими из символов. Однако существует и строгое определение логической алгебры как квазиупорядоченной алгебры, содержащей ряд идемпотентных операций, смысл которых будет уточнен далее. Направления математической логики и алгебры, имея много общих точек соприкосновения, развиваются самостоятельно.

Алгебраическое направление делится на два: алгебру и исчисление. Интерес к алгебраическим моделям существенно возрос в связи с развитием языков программирования, систем искусственного интеллекта, систем общения на естественном языке. С другой стороны, в классическом разделе кибернетики - теории автоматов также существенно усилилось влияние лингвистических методов. Автоматы стали трактоваться как некоторые лингвистические преобразователи (процессоры). В системах искусственного интеллекта (СИИ), которые представляют собой специального типа системы переработки информации, широко используется информационная алгебра.

Кроме того, следует иметь в виду то, что естественный язык и его математические (алгебраические) модели играют исключительную роль в СИИ как среда для моделирования процессов мышления и для обеспечения общения на естественном языке. И, конечно, ни одна модель СИИ не может обойтись без аппарата математической логики.

Логико-алгебраические модели

Алгебраические модели отличает от моделей с исчислением (в которых присутствуют связанные переменные) наличие свободных переменных. Осуществим попытку объединения всех моделей на основе лингвистической концепции.

Лингвистическая концепция интересна тем, что она принципиально обеспечивает рассмотрение с единых позиций не только логико-алгебраических моделей, но и моделей автоматно-лингвистических и моделей СИИ. Благодаря положенной в основу построения любой логико-алгебраической исходной предпосылки, состоящей в том, что, прежде всего, необходимо составить описание предметной области (для которой создается модель) на неформальном U-языке (конкретизировать его), все многообразие существующих модулей удается подчинить единой идеологии. Кроме того, благодаря этому утверждается концепция существования бесконечно большого числа моделей, каждая из которых ориентирована на конкретную предметную область (так же как профессиональный искусственный интеллект).

1. Классификация логико-алгебраических моделей.

Исторически многие логико-алгебраические модели в математике возникали независимо друг от друга, со своими автономными понятиями, терминологией и т. д. В пределах каждой модели исследователи старались создать законченную дедуктивную теоретическую конструкцию. В результате, было создано большое количество мало связанных между собой моделей.

Эти методы изложения интересны тем, что в них прослеживается индуктивный процесс формирования идеи. Многократно осуществлялись попытки объединения всех логико-алгебраических моделей на какой-то одной основе. В связи с этим широкое распространение получил теоретико-множественный подход к построению моделей, при котором любая модель рассматривается как некоторая совокупность операций над множествами. При этом одна модель отличается от другой элементами, из которых состоят множества, и набором операций с ними, которые отражают свойства этих элементов. Эта концепция позволяет рассмотреть с единых позиций все алгебры.

Однако при общей основе такой подход не обеспечивает функциональной, логической связи отдельных логико-алгебраических моделей. Поэтому появились другие направления дедуктивного объединения различных моделей, в частности структурное направление , характерной чертой которого является введение структурных компонентов во множества, входящие в логико-алгебраические модели.

Наибольший интерес представляет лингвистическое направление, в основном развитое в работах Х. Карри. Появление большого числа логико-алгебраических моделей, разработанных в математике, вызвано потребностями практики, стремлением описать все встречающиеся ситуации, реальные системы. Поэтому в логиках и алгебрах появилось понятие предметной области , под которой понимается совокупность реальных объектов, отношений между ними и т. д. Каждая модель должна быть ориентирована на определенный класс конкретных предметных областей. Для решения проблемы семантики и прагматики модели, как правило, необходима процедура интерпретации ее на конкретную предметную область. В связи с этим появилась лингвистическая концепция, в основе которой лежит неформальный U-язык. С помощью этого языка производится описание предметной области. После чего в работу включаются более формализованные языки: А-язык (строго формализованный в семиотическом смысле) и О-язык (язык объектов). В этих языках вводится серия понятий и конструкций, с помощью которых можно построить логико-алгебраическую модель любой предметной (или как иногда говорят, проблемной) области. При этом достигается адекватность модели исходной предметной области и определенный автоматизм ее составления.

Исходный U-язык - неформальный язык, который близок к естественному языку, в частности, может сужаться до ограниченного естественного языка. Эта концепция построения логико-алгебраических моделей практически совпадает с общераспространенной концепцией построения систем искусственного интеллекта, в которой ограниченный естественный язык принимается как основа, некоторая среда для построения моделей профессионального искусственного интеллекта.

В лингвистическом направлении чрезвычайно плодотворным оказалось появление понятий свободных и связанных переменных . Это позволило отделить от алгебраических моделей модели типа исчислений: l-исчисление, исчисление предикатов, реляционное исчисление Кодда, в которых присутствуют связанные переменные.

В более широком смысле любое исчисление является некоторой математической моделью процесса перехода от посылок к следствию, проводимого по определенным правилам вывода. Именно так термин исчисление используется во многих разделах математики. При этом связанные переменные могут отсутствовать, но во многих математических моделях использование связанных переменных (через кванторы, l-операторы и т. д.) делает процесс перехода от посылок к следствию существенно более эффективным.

Алгебраические модели только со свободными переменными составляют вторую ветвь лингвистического направления, объединяющую булеву алгебру, реляционную алгебру, алгебру нечетких множеств. Особую ветвь составляют различные лингвистические системы, которые в алгебраическом смысле представляют собой так называемые полусистемы Туэ. Один из вариантов освобождения от связанных переменных, сохраняющий в то же время эффективность, которую они обеспечивают, представляет комбинаторная логика. Комбинаторная логика представляет в некотором смысле промежуточное звено между лингвистическом и структурным направлениями. В зависимости от структуры множеств и операций над ними структурные логико-алгебраические модели делятся на три совокупности моделей: слабой и средней алгебраизации (собственно модели) и сильной алгебраизации (алгебры). Среди моделей слабой алгебраизации имеет место алгебра графов. Содержание моделей средней алгебраизации представляют полусистемы Туэ, лингвистические системы с разными грамматиками и автономными моделями. Эта совокупность наиболее удачно поддается описанию структурными методами. Раздел моделей сильной алгебраизации составляют те же модели лингвистического направления со свободными переменными: булева алгебра, реляционная алгебра, алгебра нечетких множеств.

2. Основы лингвистического метода построения логико-алгебраических моделей.

Прежде всего, введем понятие языка исследования предметной области. Под предметной областью понимается конкретная область, для описания которой применяются алгебраические модели.

В соответствии с этим при описании предметной области должны фигурировать объекты, присущие данной предметной области. Опишем основные понятия языка исследования, а затем приведем способы построения объектов с помощью этого языка.

Введем в рассмотрение некоторые понятия. Теория - это некоторый аппарат, позволяющий выявлять истинные высказывания из набора всех высказываний. Система - частный случай теории. Для удобства работы с системами расплывчатый U-язык уточняется до А-языка, языка в так называемом семиотическом смысле, а последний еще более уточняется до языка объектов О-языка. В заключение рассмотрим понятие переменных , среди которых выделяются две группы: свободные и связанные, положенные в основу принятой классификации алгебраических моделей.

Результаты любого исследования предметной области одни люди сообщают другим посредством языка (назовем его U-языком). Невозможно исчерпывающе описать U-язык. Единственное, что утверждается - это то, что он содержит неопределенность, но всякое научное исследование связано с той же неопределенностью. Поэтому вместо исчерпывающего описания U-языка явно оговаривают лишь те случаи, которые могут быть неправильно истолкованы. U-язык обладает следующими особенностями:

1. для каждого конкретного контекста он единственен;

2. содержит формальную терминологию и другие лингвистические средства (например, использование букв для обозначения переменных, которые понимаются при определенной степени подготовленности);

3. он развивается (можно вводить новые термины и символику, либо использовать старые термины в новом смысле);

4. он неясен, однако, пользуясь им, можно достичь любой разумной степени точности.

Целый ряд проблем создания модели решается путем изучения языка, на котором они выражены. Такие исследования являются предметом изучения семиотики, науки о символах. Основное его понятие - язык.

Язык задается следующим образом:

1. фиксируется алфавит как набор символов (букв);

2. определяются правила, как из букв образовывать выражения (слова).

3. Основные понятия языка

При задании предметной области используются общеизвестные понятия, такие, как предложения, фразы, имена, высказывания, выражения и т. п.

Если изучать язык с точки зрения передаваемого им значения, то его выражения не образуют естественного класса символических комбинаций. Наибольший интерес представляет собой класс комбинаций, образующих объекты, к которым применяются правила построения предложений. Правила, определяющие предложения языка, называют его грамматикой , а комбинации символов, образующие грамматические единицы, - фразами языка .

Среди всех фраз выделяют имена, предложения и функторы. Имя называет некоторый объект. Предложение выражает утверждение. Функтор - это средство соединения фраз с целью образования других фраз. Фразы, соединяемые функтором, называют аргументами, а результат соединения - его значением.

Основные виды функторов:

1. операторы (преобразуют имена в имена);

2. глаголы (преобразуют имена в предложения);

3. коннекторы (преобразуют предложения в предложения);

4. субнекторы (преобразуют предложения в имена).

Можно говорить, что фраза имеет значение (см. таблицу 1).

Таблица 1.

ФРАЗА	ЗНАЧЕНИЕ
	Значение, элемент

Предложение	Высказывание

Оператор	Операция
	Предикат
Коннектор
Субнектор	Субнекция

Часть функторов употребляется в формальном смысле (см. таблицу 2).

Таблица 2.

Предписание определяет эффективный процесс для достижения определенной цели по отношению к элементу, если предписание (при условии, что элемент задан) однозначно определяет такую последовательность преобразований, что цель достигается за конечное число шагов. В соответствие с ранее изложенным, предложение может быть истинным или ложным.

Высказывания допустимы, если для них определены преобразования. Если существует эффективный процесс, который применим всегда, когда допустимое высказывание истинно, то вопрос является полуопределенным. Вопрос считается определенным, если существует такой эффективный процесс, который применим к каждому допустимому высказыванию.

4. Метод построения объектов

Посредством U-языка формируются свойства (или отношения), которые определяют содержательным путем совокупность элементов или понятий. Такие содержательные совокупности называют концептуальными классами (или отношениями).

Индуктивный класс X определяется начальными правилами и правилами порождения. Начальные правила определяют начальные элементы. Начальные элементы образуют класс B, называемый базисом X. Правила порождения определяют фиксированный класс способов комбинаций M. С каждым таким способом m связывается определенное число n , называемое его степенью, Это значит, что применение любого такого способа m степени n к последовательности n аргументов, каждый из которых является элементом X дает элемент X (предполагается, что вопрос о том, получается ли элемент описанным ранее способом из данных аргументов, является определенным, и что каждый элемент X может быть получен с помощью эффективного процесса, который начинается с определенных начальных элементов и на каждом шаге которого способ комбинации из M применяется к уже построенным аргументам). Понятия индуктивного класса можно употреблять, по крайней мере, в двух случаях:

1. когда элементы являются объектами, а способы комбинации - операциями;

2. когда элементы являются высказываниями, а способы комбинации - связками.

Обычно построение начинают с некоторого исходного класса допустимых элементов. В качестве такого класса можно взять класс выражений некоторого языка с конечным алфавитом, например U-язык или его часть.

Процесс получения элемента X , принадлежащему индуктивному классу X, посредством итерации способов комбинации называется конструкцией элемента X (относительно X).

Определим понятие древовидной диаграммы D, которая состоит из узлов, соединенных друг с другом следующим образом. Имеется единственный узел, и каждый узел, не являющийся нижним узлом, соединен с единственным узлом, расположенным ниже. Каждому узлу, не являющемуся верхним узлом, приписана единственная операция m из M, и число узлов, соединенных с этим узлом и находящихся над ним, в точности равно степени m.

Пусть G - конструкция элемента X . Считают, что древовидная диаграмма D ассоциативна с G, если существует взаимно-однозначное соответствие между узлами D и элементами X, встречающимися в конструкции G, удовлетворяющее следующим условиям: нижний узел диаграммы D соответствует X , и если Y образован в конструкции G применением операции m к аргументам в указанном порядке, то узлу, соответствующему Y , приписывается та же операция m, и расположенные выше узлы, соединенные с данным узлом, при расположении слева направо в точности соответствуют .

В этом случае верхние узлы будут соответствовать начальным элементам.

Древовидная диаграмма D размечена (относительно конструкции G), если каждый узел диаграммы D сопоставлен с именем соответствующего элемента G. На практике, в качестве узлов выбираются экземпляры различных элементов из X, которым соответствуют эти узлы; над каждым узлом, не являющимся верхним, проводят горизонтальную линию, а справа от нее пишут имя операции, участвующей в образовании этого узла. Над чертой пишут узлы, соответствующие аргументам, к которым применялась операция, в том же порядке.

Подробнее остановимся на высказываниях и введем теории, которые позволяют выделить истинные высказывания из набора всех высказываний.

Теории . Пусть C - класс элементарных высказываний, то есть таких высказываний, которые образуют определенный класс.

Теория над классом C определяется как некоторый концептуальный класс таких элементарных высказываний.

Элементарные высказывания, принадлежащие теории Т , назовем элементарными теоремами Т (говорят, что эти элементарные высказывания истинны для Т ).

Рассмотрим три разновидности теорий: непротиворечивые, разрешимые и дедуктивные, а в дедуктивных теориях особо выделим полные теории.

Теория - это способ выбора подкласса истинных высказываний из числа высказываний, принадлежащих классу C.

Теория Т 2 является надтеорией Т 1 (Т 2 - расширение Т 1 ); Т 1 Í Т 2 , если каждая элементарная теорема Т 1 является также элементарной теоремой Т 2 .

Непротиворечивая теория по определению не охватывает всего класса C. Разрешимая теория определяется как теория, являющаяся определенным классом. В этом случае выполняется некоторая последовательность преобразований, в результате чего цель по отношению к заданному элементу достигается за конечное число шагов.

В инженерной (в том числе и инженерно-экономической) практике часто используют так называемые дедуктивные теории . Теория Т называется дедуктивной, если Т является индуктивным классом элементарных высказываний.

Очевидно, что исходные элементы образуют разрешающую теорию G. Элементы теории G называются аксиоматическими высказываниями (аксиомами). Способы комбинации образуют некоторое множество Â дедуктивных правил (правил вывода); каждое из них дает элементарную теорему, когда соответствующее число элементарных теорем дано в качестве посылок. Конструкция, удовлетворяющая всем перечисленным условиям, называется доказательством (формальным). Правила и аксиомы называют одним термином: постулаты .

Дедуктивная теория Т полна (в смысле Поста), если присоединение к ее аксиомам элементарного высказывания, не являющегося элементарной теоремой, при сохранении правил неизменными делает теорию противоречивой.

Теория полезна при условии, что она дает возможность делать какие-нибудь предсказания относительно содержательной предметной области. Предполагается наличие взаимно-однозначного соответствия между элементарными высказываниями теории и определенными содержательными высказываниями, относящимися к этой области. В этом случае говорят об интерпретации теории в этой содержательной (предметной) области.

Интерпретация считается полной , если каждому элементарному высказыванию теории соответствует некоторое содержательное высказывание; в противном случае интерпретация считается частичной . Соответствующее содержательное высказывание называют интерпретантом исходного элементарного высказывания.

Интерпретация считается правильной , если интерпретант каждой элементарной теоремы (т. е. каждого истинного элементарного высказывания) является истинным.

Достаточно плодотворной алгебраической концепцией является концепция системы.

Системы. В общем случае, здесь рассматриваются две разновидности систем: об-системы и системы исчисления . Первая из них состоит из атомов и операций над ними, а вторая строится по схеме: алфавит, правила образования и правила преобразования.

Элементарные высказывания, на которых основана теория, являются формальными высказываниями , поскольку они содержат ряд неопределенных параметров.

Теория, утверждения которой образуются таким образом (как изложено выше), называется системой .

Введем в рассмотрение определенный концептуальный класс объектов, называемых формальными объектами, и концептуальный класс предикатов (см. табл. 1.), называемых базисными предикатами, причем каждому из базисных предикатов сопоставляется определенное число, называемое его степенью.

Элементарное высказывание утверждает, что некоторый базисный предикат удовлетворяется для некоторой упорядоченной последовательности формальных объектов, число членов которой равно степени этого предиката. В этом смысле можно использовать термин элементарное утверждение .

Символическая запись элементарного утверждения имеет вид: , где имена некоторых конкретных формальных объектов; сокращение для аргументного глагола, обозначающего базисный предикат степени .

Пример 1. Возьмем предложение: «Сократ есть человек» и проанализируем значение этого предложения, т. е. рассмотрим его как высказывание. Конструкция «_____ есть человек», или « есть человек» представляет собой предикат (сказуемое, глагол), а «Сократ» - субъект (подлежащее). Используем при анализе « есть человек» обозначение и будем иметь ввиду математическое понятие переменной.

В этом случае выступает в роли пропозициональной функции , т. е. такой функции, значениями которой служат высказывания (предполагается, что переменной она ставит в соответствие высказывание, которое может быть истинным или ложным). Например, если Сократ, истинно, в если дождь, то ложно.

Для представления системы в U-языке решают проблему обозначения формальных объектов и базисных предикатов, а также указывает средства для соединения их с целью образования U-предложения, выражающего основные утверждения. Эти обозначения в совокупности образуют язык в семиотическом смысле (А-язык).

Имена формальных объектов называют А-именами; глаголы, обозначающие базисные предикаты, называют А-глаголами. Предложения А-языка, выражающие элементарные высказывания, называют А-предложениями, А-язык добавляется к U-языку для использования его внутри этого языка.

Пример 2. Действительно, обозначение « есть человек» - более сжатая форма, чем «____ есть человек». Для установления связи между этими выражениями и U-языком их рассматривают как незаполненные места для подстановки слов, обозначающих объекты.

Так, фразы:

а). «Имеется некто, кто есть человек»;

б). «Никто не есть человек»;

в). «Всякий есть человек»

можно с помощью символов и перевести на А-язык:

а). , б). , в). .

Формальные объекты рассматриваются как выражения некоторого языка-объекта (О-языка). Имеется определенный запас О-символов, или букв, составляющих О-алфавит. Формальные объекты являются конечными последовательностями этих букв.

Введенные три разновидности языка образуют естественную иерархию. Можно считать, U-язык - некоторая расплывчатая среда, рамки которой устанавливаются посредством А-языка, а в рамки А-языка вкладывается О-язык. , или более точно, исчисление пропозициональных функций .

Правила образования устанавливают, что является предложением О-языка. Правила преобразования определяют отношение следования среди О-предложений.

В семиотике выделяют синтактику, семантику и прагматику. Пусть заданная теория Т, относящаяся к языку L. Говорят, что Т является синтаксической теорией относительно L, если утверждения Т относятся только к структуре выражений L как цепочек символов. Т является семантической теорией относительно L, если значения определенных выражений также принимаются во внимание. Т является прагматической теорией, если говорится об отношениях между языком L и теми, кто им пользуется в практическом или любом другом аспекте.

Дедуктивная система, в которой объекты образуют индуктивный класс, называется об-системой . Элементы этого индуктивного класса называются обами , его начальные элементы - атомами, способы комбинации - операциями . Об , также как и конструкция, представляется древовидной диаграммой. В этом отношении об противопоставляется О-выражению, которое представляется в виде линейного ряда.

Примером об-системы могут служить синтаксические системы, в которых есть особый концептуальный класс правильно построенных выражений (ППВ), причем этот класс исчерпывает все выражения, играющие сколь-нибудь заметную роль в системе.

Пример 4. Пусть в U-языке имеется набор предложений: «Все люди бессмертны. Сократ есть человек. Следовательно, Сократ бессмертен».

Введем обозначения А-языка:

»Сократ»,

« есть человек»,

« бессмертен»,

«все такие, что…».

Вывод в О-языке имеет вид:

и получен по правилам образования и преобразования О-языка.

Любой способ рассмотрения формальных объектов как некоторых конкретных объектов, полученных из опыта, называется представлением системы при условии, что содержательные объекты сохраняют структуру формальных объектов.

Представление нельзя смешивать с интерпретацией. Интерпретация есть соответствие между формальными утверждениями и некоторыми содержательными утверждениями, и она определена для теории вне зависимости от того, является эта теория системой или нет. Представление - это соответствие между формальными объектами и содержательными объектами, и оно определено для морфологии безотносительно к теории, которая на ней строится. Представление не влияет на истинность элементарных утверждений.

Рассмотрим некоторые специальные формы, к которым могут быть сведены системы. Система, в которой имеется единственный базисный предикат, являющийся бинарным отношением, называется системой с бинарным отношением, или реляционной системой . Если теория системы такова, что отношение это рефлексивно и транзитивно, то система является квазиупорядоченной ; если отношение обладает свойствами равенства, то система является эквациональной .

Система с единственным базисным одноместным предикатом, который выделяет некоторый класс формальных объектов, называется ассерторической (от assertion - утверждение).

Любую систему можно свести к ассерторической. Современные логические системы, как правило, задаются в ассерторической форме. Но системы с отношениями более похожи на те, которые употребляются в математике. Самая ранняя из логических систем - булева алгебра - является эквациональной.

Термин переменная применяется к определенным фразам U-языка, значение которых не фиксировано. Эти фразы называют U-переменными, в противоположность U-постоянным, значения которых фиксированы.

Ряд систем содержат обы , называемые переменными , потому что вместо них можно производить определенные подстановки. Их называют формальными переменными; они не являются А-выражениями, но могут быть выражениями О-языка. С точки зрения U-языка они являются объектами, а не символами.

Пример 5. Рассмотрим высказывание

Которое для некоторых истинно, а для других ложно.

Отметим, что в данном случае в процессе подстановки действительное истинное значение формулы в расчет не принимается. Подставим вместо :

Подстановочные переменные считаются свободными переменными. Вместо них допускается подстановка по правилу подстановки, явно формулируемому как правило вывода.

Связанные переменные появляются в системе с формальными переменными, в которой имеется операция, хотя бы один аргумент который является формальной переменной. Считается, что эти переменные связаны данной операцией, так что подстановки, затрагивающие связанные переменные, ограничены.

Следует учитывать ограничение в подстановках, производимых вместо : если подставить выражение, содержащее , то полученное равенство будет ложным.

Строго говоря, термин алгебра следует использовать как имя для системы со свободными переменными, но без связанных переменных. В противоположность этому термин исчисление следует использовать для описания системы со связанными переменными. Так, например, в терминологии широко распространенных реляционных баз данных различают в этом смысле реляционную алгебру и реляционное исчисление.

Слайд 2

Вступление

В процессе познания окружающего мира человечество постоянно использует моделирование и формализацию. При изучении нового объекта сначала обычно строится его описательная модель на естественном языке, затем выражается с использованием формальных языков(математики, логики и др.) В ходе изучения этого сайта вы узнаете: Какие существуют типы информационных моделей; Для чего они создаются; Какую пользу могут принести современному обществу модели. Рассмотрите познавательную презентацию, которая поможет вам пройти нашу викторину. @

Слайд 3

Модель

Это система, исследование которой служит средством для получения информации о другой системе, это упрощённое представление реального устройства и протекающих в нём процессов, явлений. Построение и исследование моделей, облегчает изучение имеющихся в реальном устройстве свойств и закономерностей. Применяют для нужд познания (созерцания, анализа и синтеза). Как следствие, существует много названий моделей, большинство из которых отражает решение некоторой конкретной задачи. Дальше приведена классификация и дана характеристика некоторых видов моделей. @

Слайд 4

Алгебраические

Алгебраическая модель - формализуемые, то есть представляют собой совокупность взаимосвязанных математических и формально-логических выражений, как правило, отображающих реальные процессы и явления (физические, психические, социальные и т. д.). По форме представления бывают: аналитические модели. Их решения ищутся в замкнутом виде, в виде функциональных зависимостей. Удобны при анализе сущности описываемого явления или процесса и использовании в других математических моделях, но отыскание их решений бывает весьма затруднено; численные модели. Их решения - дискретный ряд чисел (таблицы). Модели универсальны, удобны для решения сложных задач, но не наглядны и трудоемки при анализе и установлении взаимосвязей между параметрами. В настоящее время такие модели реализуют в виде программных комплексов - пакетов программ для расчета на компьютере. Программные комплексы бывают прикладные, привязанные к предметной области и конкретному объекту, явлению, процессу, и общие, реализующие универсальные математические соотношения (например, расчет системы алгебраических уравнений); формально-логические информационные модели - это модели, созданные на формальном языке. @

Слайд 5

Физические

Это модель, создаваемая путем замены объектов моделирующими устройствами, которые имитируют определённые характеристики либо свойства этих объектов. При этом моделирующее устройство имеет ту же качественную природу, что и моделируемый объект. Физические модели используют эффект масштаба в случае возможности пропорционального применения всего комплекса изучаемых свойств. @

Слайд 6

Астрономические

Астрономы-теоретики используют широкий спектр инструментов, которые включают аналитические модели (например, политропы для приближенного поведения звезд) и численное моделирование. Каждый из методов имеет свои преимущества. Аналитическая модель процесса, как правило, лучше дает понять суть того, почему это (что-то) происходит. Численные модели могут свидетельствовать о наличии явлений и эффектов, которых, вероятно, иначе не было бы видно. Теоретики в области астрономии стремятся создавать теоретические модели и выяснить в исследованиях последствия этих моделирований. Это позволяет наблюдателям искать данные, которые могут опровергнуть модель или помогает в выборе между несколькими альтернативными или противоречивыми моделями. Теоретики также экспериментируют в создании или видоизменению модели с учетом новых данных. В случае несоответствия общая тенденция состоит в попытке достигнуть коррекции результата минимальными изменения модели. В некоторых случаях большое количество противоречивых данных со временем может привести к полному отказу от модели. @