Введение……………………………………………………………. 3

I. График квадратичной функции, содержащей переменную
под знаком абсолютной величины
1.1. Основные определения и свойства………………………… 4
1.2. Построение графика квадратичной функции, содержащей
переменную под знаком модуля…………………………… 5
II. Построение графика квадратичной функции, содержащей
переменную под знаком модуля, в программе
Microsoft Excel…………………………………………………. 12
Заключение…………………………………………………. …. 15
Список использованной литературы…………………...…….. 16

Введение

Мне приходилось делить своё время между политикой и уравнениями. Однако уравнения, по-моему, гораздо важнее, потому что политика существует только для данного момента, а уравнения будут существовать вечно.

А. Эйнштейн.

Когда в «стандартные» уравнения прямых, парабол, гипербол включают знак модуля, их графики становятся необычными и даже красивыми. Чтобы научиться строить такие графики, надо владеть приемами построения базовых фигур, а также твердо знать и понимать определение модуля числа. В школьном курсе математики графики с модулем рассматриваются недостаточно углубленно, именно поэтому мне захотелось расширить свои знания по данной теме, провести собственные исследования.
Цель работы – рассмотреть построение графика квадратичной функции, содержащей переменную под знаком модуля.
Объект исследования: график квадратичной функции.
Предмет исследования: изменения графика квадратичной функции в зависимости от расположения знака абсолютной величины.
Задачи:
1) Изучить литературу о свойствах абсолютной величины и квадратичной функции.
2) Исследовать изменения графика квадратичной функции в зависимости от расположения знака абсолютной величины.
3) Научиться стоить графики уравнений, используя различные программы для построения графиков, в том числе Microsoft Excel.
Методы исследования:
1) теоретический (логическая ступень познания);
2) эмпирический (исследование, эксперимент);
3) моделирование.
Практическая значимость моей работы заключается:
1) в использовании приобретенных знаний по данной теме, а также углубление их и применение к другим функциям и уравнениям;
2)в использовании навыков исследовательской работы в дальнейшей учебной деятельности.

I. График квадратичной функции, содержащей переменную под знаком абсолютной величины

1.1. Основные определения и свойства.

Функция – одно из важнейших математических понятий. Функцией называют такую зависимость переменной y от переменной x, при которой каждому значению переменной x соответствует единственное значение переменной у.
Способы задания функции:
1) аналитический способ (функция задается с помощью математической формулы);
2) табличный способ (функция задается с помощью таблицы);
3) описательный способ (функция задается словесным описанием);
4) графический способ (функция задается с помощью графика).
Графиком функции называют множество всех точек координатной плоскости, абсциссы которых равны значению аргумента, а ординаты – соответствующим значениям функции.
Функция, определяемая формулой у=ах2+вх+с, где х и у переменные, а параметры а, в и с – любые действительные числа, причём а 0, называется квадратичной.
График функции у=ах2+вх+с есть парабола; осью симметрии параболы у=ах2+вх+с является прямая, при а>0 «ветви» параболы направлены вверх, при а<0 – вниз.
Чтобы построить график квадратичной функции, нужно:
1) найти координаты вершины параболы и отметить её в координатной плоскости;
2) построить ещё несколько точек, принадлежащих параболе;
3) соединить отмеченные точки плавной линией.
Координаты вершины параболы определяются по формулам:
, .

Абсолютной величиной положительного числа называется само положительное число, абсолютной величиной отрицательного числа называется противоположное ему положительное число. Абсолютная величина нуля принимается равной нулю, т.е.

.
Свойства:
1) Абсолютная величина суммы чисел не больше суммы абсолютных величин её слагаемых, т.е.
|а+в| |а|+|в|
2) Абсолютная величина разности двух чисел не меньше разности абсолютных величин этих чисел, т.е.
|а-в| |а|-|в| или |а-в| |в|-|а|
3) Абсолютная величина произведения равна произведению абсолютных величин сомножителей, т.е.
|а в|=|а| |в|
4) Абсолютная величина частного равна частному от деления абсолютных величин делимого и делителя, т.е.

5) Абсолютная величина степени с целым положительным показателем равна той же степени абсолютной величины основания, т.е.
|аn|=|a|n.

1.2. Построение графика квадратичной функции, содержащей переменную под знаком модуля.

…Математические сведения могут применяться умело и с пользой только в том случае, если они усвоены творчески, так, что учащийся видит сам, как можно было бы прийти к ним самостоятельно.
А.Н. Колмогоров.

Для построения графиков функций, содержащих знак модуля, как и при решении уравнений, сначала находят корни выражений, стоящих под знаком модуля. В результате ось Ох разбивается на промежутки. Убираем знаки модуля, беря каждое выражение в каждом промежутке с определённым знаком, которые находим методом интервалов.
В каждом промежутке получается функция без знака модуля. Строим график каждой функции в каждом промежутке.

В простейшем случае, когда только одно выражение стоит под знаком модуля и нет других слагаемых без знака модуля, можно построить график функции, опустив знак модуля, и затем часть графика, расположенную в области отрицательных значений y, отобразить относительно оси Ох.

Покажем на примерах некоторые приемы построения графиков функций с модулями.

Пример 1.
Сначала построим параболу у= х2– 6х +5. Чтобы получить из неё график функции у = |х2 - 6х + 5|, нужно каждую точку параболы с отрицательной ординатой заменить точкой с той же абсциссой, но с противоположной (положительной) ординатой. Иными словами, часть параболы, расположенную ниже оси Ох, нужно заменить линией, ей симметричной относительно оси Ох (Рис.1).

Пример 2.
Рассмотрим график функции у = |х|2– 6х +5.
Т. к. |х| возводится в квадрат, то независимо от знака числа х после возведения в квадрат он будет положительным. Отсюда следует, то график функции у =|х|2 - 6х +5 будет идентичен графику функции у = х2 - 6х +5, т.е. графику функции, не содержащей знака абсолютной величины (Рис.2).

Рис.2
Пример 3.
Рассмотрим график функции у = х2 – 6|х| +5.
Воспользовавшись определением модуля числа, заменим формулу
у = х2 – 6|х| +5
Теперь мы имеем дело с хорошо знакомым нам кусочным заданием зависимости. Строить график будем так:
1) построим параболу у = х2 - 6х +5 и обведём ту её часть, которая соответствует неотрицательным значениям х, т.е. часть, расположенную правее оси Оу.
2) в той же координатной плоскости построим параболу у = х2 +6х +5 и обведём ту её часть, которая соответствует отрицательным значениям х, т.е. часть, расположенную левее оси Оу. Обведённые части парабол вместе образуют график функции у = х2 - 6|х| +5 (Рис.3).

Пример 4.
Рассмотрим график функции у = |х|2 - 6|х|+5.
Т.к. график уравнения у = |х|2 – 6х +5 такой же, как и график функции без знака модуля (рассмотрено в примере 2) то следует, что график функции у = |х|2 – 6|х| +5 идентичен графику функции у = х2 – 6|х| +5, рассмотренному в примере 3 (Рис.3).

Пример 5.
Для этого построим график функции у = х2 - 6х. Чтобы получить из неё график функции у = |х2 - 6х|, нужно каждую точку параболы с отрицательной ординатой заменить точкой с той же абсциссой, но с противоположной (положительной) ординатой. Иными словами, часть параболы, расположенную ниже оси х, нужно заменить линией ей симметричной относительно оси х. Т.к. нам нужно построить график функции у = |х2 - 6х| +5, то график рассмотренной нами функции у = |х2 - 6х| нужно просто поднять по оси у на 5 единиц вверх (Рис.4).

Пример 6.

Построим график функции у = х2 - |6х+5|. Для этого воспользуемся хорошо нам известной кусочной функцией. Найдём нули функции

у = 6х +5
6х + 5 = 0 при.
Рассмотрим два случая:
1)Если, то уравнение примет вид у = х2 – 6х -5. Построим эту параболу и обведём ту её часть, где.
2)Если, то уравнение принимает вид у = х2+ 6х +5. Постоим эту параболу и обведём ту её часть, которая расположена левее точки с координатами (Рис.5).

Пример 7 .
Для этого мы построим график функции у =х2- 6|х| +5. Построение этого графика мы проводили в примере 3. Т. к. наша функция полностью находится под знаком модуля, то для того, чтобы построить график функции у = |х2 – 6|х| +5|, нужно каждую точку графика функции у = х2 – 6|х|+5 с отрицательной ординатой заменить точкой с той же абсциссой, но с противоположной (положительной) ординатой, т.е. часть параболы, расположенную ниже оси Ох, нужно заменить линией ей симметричной относительно оси Ох (Рис.6).


Рис.6
Пример 8.
Рассмотрим построение графиков вида = f (x).
Учитывая, что в формуле = f (x), f (x) , и на основании определения модуля =
Перепишем формулу = f (x) в виде у= f (x), где f (x) .
Исходя из этого, сформулируем правило-алгоритм.
Для построения графиков вида = f (x) достаточно построить график функции у = f (x) для тех х из области определения, при которых f (x) , и отразить полученную часть графика симметрично относительно оси абсцисс.
Таким образом, график зависимости = f (x) состоит из графиков двух функций: у = f (x) и у = - f (x).
Построим график функции.

Дальнейшее вставление рисунков и формул технически невозможно
Рис.7

Пример 9.
Рассмотрим построение графиков вида
Осуществляя уже известные преобразования графиков, выполним построение сначала графика y = │f (x)│, а затем уже и множества точек, координаты которых удовлетворяют условию
Алгоритм построения:
1) Строим график функции.
2) Часть графика симметрично отображаем относительно оси Ох.
3) Полученный график симметрично отображаем относительно оси Ох (Рис.8).
Рис.8

Выводы:
1.График функции y = │f (x)│ можно получить из графика y = f (x), оставив на месте ту его часть, где f (x) , и симметрично отразив относительно оси Ох другую его часть, где f (x) < 0. Это следует из равенства │ f (x)│=
2.График функции y = f (│x│) совпадает с графиком функции y = f (x) на множестве неотрицательных значений аргумента и симметричен ему относительно оси Оу на множестве отрицательных значений аргумента.
3. График функции = f (x) можно получить, построив график функции у = f (x) для тех х из области определения, при которых f (x) , и отразив полученную часть графика симметрично относительно оси абсцисс.
4. График функции можно получить, построив график функции
у = f (x) и симметрично отобразив относительно оси Ох часть графика. Полученный график симметрично отображаем относительно оси Ох.

II. Построение графика квадратичной функции, содержащей переменную под знаком модуля, в программе Microsoft Excel.

Пример 1.
Построим график функции у = |х2 – 6х +5|.

Пример 2.
Построим график функции у = х2 – 6|х| +5.

Пример 3.
Построим график функции у = |х2 – 6х| +5.

Пример 4.
Построим график функции у = х2 - |6х+5|.

Пример 5.
Построим график функции у = |х2 – 6|х| +5|.

Пример 6.
Построим график функции.

Пример 7.
Построим график функции.

Заключение

Знание только тогда знание, когда оно приобретено усилиями своей мысли, а не памятью.
Л. Н. Толстой.

Считаем, что в данной исследовательской работе цель достигнута, так как были решены все поставленные задачи.
Нами рассмотрено построение графика квадратичной функции, содержащей переменную под знаком модуля, и исследованы изменения графика квадратичной функции в зависимости от расположения знака абсолютной величины. Были освоены приёмы построения графиков функций вида: y = f (│x│), y = │f (x)│, y = │f (│x │)│,
Для написания данной исследовательской работы
1) была изучена литература о свойствах абсолютной величины и квадратичной функции;
2) исследованы и проанализированы изменения при построении графика квадратичной функции, в которой знак модуля содержат различные переменные;
3) построены графики уравнений с использованием программ для построения графиков Graph Master v 1.1, Microsoft Excel и другие;
При написании работы мы пользовались учебной литературой, Интернет-ресурсами, работали в таких программах, как Microsoft Word, Paint, Редактор формул, Microsoft Excel.
Тема исследований оказалась очень многогранной, требующей совершенно новых умений и навыков как на этапе исследований, так и при написании и оформлении работы.
Данный практический опыт работы с программами для построения графиков, для записи математических формул, а также полученные навыки исследовательской деятельности будут использованы нами в дальнейшей учебной деятельности, в том числе при изучении других функций и уравнений с модулем, при построении графиков этих функций.

Список использованной литературы

1.Математика. Алгебра. Функции. Анализ данных. 9 кл.: М.: Учеб. для общеобразоват. учреждений / Г. В. Дорофеев, С. Б. Суворова, Е. А. Бунимович, Л. В. Кузнецова, С. С. Минаева; Под ред. Г. В. Дорофеева. – 5-е изд., стереотип. – М.: Дрофа, 2004. – 352 с.: ил.
2. Курс высшей математики для техникумов. И. Ф. Суворов, Москва - 1967.
3. Математика. Алгебра и элементарные функции. М. И. Абрамович, М. Т. Стародубцев.
4. А.Г. Мордкович Книга для учителя. Беседы с учителями. Москва – «Оникс 21 век», «Мир и образование», 2005 г.
5.Элективный курс. Знакомьтесь: модуль! Алгебра. 8-9 классы./ Сост. Баукова Т.Т.-Волгоград: ИТД «Корифей».- 96 с.

Интернет – ресурсы

http://festival.1september.ru/articles/504401/
http://www.uztest.ru/abstracts/?idabstract=18
http://dic.academic.ru/dic.nsf/enc3p/45426
http://www.zaitseva-irina.ru/html/f1128423553.html
http://www.sorobr1.ru/index.php?option=com_content&task=view&id=8&Itemid=41
http://mschool.kubsu.ru/cdo/shabitur/kniga/sprav/function/kvfunc/kvfunct.htm
http://tvsh2004.narod.ru/alg02.html
http://info.territory.ru/univer/qvadro_func.htm
http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%B2%D0%B0%D0%B4%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D1%84%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D1%8F

Графики прямой, параболы, гиперболы, с модулем

Пошаговое построение графиков.

«Навешивание» модулей на прямые, параболы, гиперболы.

Графики - самая наглядная тема по алгебре. Рисуя графики, можно творить, а если еще и сможешь задать уравнения своего творчества, то и учитель достойно это оценит.

Для понимания друг друга введу немного «обзываний» системы координат:

Для начала построим график прямой y = 2x − 1.

Не сомневаюсь, что ты помнишь. Я напомню себе, что через 2 точки можно провести одну прямую. Поэтому берем любые две точки А = (0; −1) и B = (1; 1) и проводим единственную прямую.

А если теперь добавить модуль? y = |2x − 1|.

Модуль - это всегда положительное значение , получается, что «y» должен быть всегда положительным.

Значит, если модуль «надет» на весь график, то, что было в нижней части «−y», отразится в верхнюю (как будто сворачиваете лист по оси х и то, что было снизу, отпечатываете сверху).

Красота! А как же будет выглядеить график, если надеть модуль только на «х»: y = 2|x| − 1?

Одна строчка рассуждений и рисуем:

Модуль на «x», тогда в этом случае x = −x, то есть все, что было в правой части, отражаем в левую. А то, что было в плоскости «−x», убираем.

Суть построения точно такая же, только здесь отражаем относительно оси «y» .

Смертельный номер: y = |2|x| − 1|.

Для начала построим y = |2x − 1|, отразив относительно оси «x». В положительной части он будет такой же, как y =|2|x| − 1|.

А после этого отражаем относительно оси «y», то, что мы получили справа:

Если ты человек амбициозный, то прямых тебе будет мало! Но то, что описано выше, работает на всех остальных графиках.

Разберем по винтикам параболу y = x² + x − 2. Точки пересечения с осью «x» получим с помощью дискриминанта: x₁ = 1 и x ₂ = -2.

Можно найти вершину у параболы и взять пару точек для точного построения.

А как будет выглядеть график: y = |x²| + x − 2? Слышу: «Такого мы еще не проходили», а если подумаем? Модуль на x², он же и так всегда положителен, от модуля тут толку, как от стоп-сигнала зайцу − никакого.

При y = x² + |x| − 2 все так же стираем всю левую часть, и отражаем справа налево:

Следующий смертельный номер: |y| = x² + x − 2, подумай хорошенько, а еще лучше попробуй нарисовать сам.

При положительных значениях «y» от модуля нет смысла − уравнения y = x² + x − 2, а при «−y» ничего не меняется, будет так же y = x² + x − 2!

Рисуем параболу в верхней части системы координат (где у > 0), а затем отражаем вниз.

А настоящие профи могут разобраться, почему же данные графики выглядят так:

Легкий и средний уровень позади, и настала пора выжать концетрацию на максимум , потому что дальше тебя ждут гиперболы, которые частенько встречаются во второй части ЕГЭ и ОГЭ.

y = 1/x - простая гипербола, которую проще всего построить по точкам, 6-8 точек должно быть достаточно:

А что будет, если мы добавим в знаменателе «+1»? График сдвинется влево на единицу:

А что будет, если мы добавим в знаменателе « −1»? График сдвинется вправо на единицу.

А если добавить отдельно «+1» y = (1/x) + 1? Конечно, график поднимется вверх на единицу!

Глупый вопрос: а если добавить отдельно «−1» y = (1/x) − 1? Вниз на единицу!

Теперь начнем «накручивать» модули: y = |1/x + 1| - отражаем все из нижней части в верхнюю.

Возьмем другой модуль, мой амбициозный друг, раз ты дошел до этогог места: y = |1/(x + 1)|. Как и выше, когда модуль надет на всю функцию, мы отражаем снизу вверх.

Можно придумывать массу вариантов, но общий принцип остается для любого графика. Принципы повторим в выводах в конце статьи.

Модули не так уж страшны, если еще вспомнить, что их можно раскрыть по определнию:

И построить график, разбив его на кусочно-заданные функции.

Например для прямой:

Для параболы с одним модулем будет два кусочно заданных графика:

C двумя модулями кусочно заданных графиков будет четыре:

Таким способом, медленно и кропотливо можно построить любой график!

Выводы:

1. Модуль - это не просто две палочки, а жизнерадостное, всегда положительное значение!
2. Модулю без разницы находится он в прямой, параболе или еще где-то. Отражения происходят одни и те же.
3. Любой нестандартный модуль можно разбить на кусочно-заданные функции, условия только вводятся на каждый модуль .
4. Существует большое количество модулей, но парочку вариантов стоит запомнить, чтобы не строить по точкам:

• Если модуль «надет» на все выражение (например, y = |x² + x − 2|), то нижняя часть отражается наверх.
• Если модуль «надет» только на х (например, y = x² + |x| − 2), то правая часть графика отражается на левую часть. А «старая» левая часть стирается.
• Если модуль «надет» и на х, и на все выражение (например, y = |x² + |x| − 2|), то сначала отражаем график снизу вверх, после этого стираем полностью левую часть и отражаем справа налево.
• Если модуль «надет» на y (например, |y| = x² + x − 2), то мы оставляем верхнюю часть графика, нижнюю стираем. А после отражаем сверху вниз.

Транскрипт

1 Краевая научно-практическая конференция учебно-исследовательских работ учащихся 6-11 классов «Прикладные и фундаментальные вопросы математики» Методические аспекты изучения математики Построение графиков функций, содержащих модуль Габова Анжела Юрьевна, 10 класс, МОБУ «Гимназия 3» г. Кудымкар, Пикулева Надежда Ивановна, учитель математики МОБУ «Гимназия 3» г. Кудымкар Пермь, 2016

2 Содержание: Введение...3 стр. I. Основная часть... 6 стр. 1.1Историческая справка.. 6 стр. 2.Основные определения и свойства функций стр. 2.1 Квадратичная функция..7 стр. 2.2 Линейная функция...8 стр. 2.3 Дробно-рациональная функция 8 стр. 3. Алгоритмы построения графиков с модулем 9 стр. 3.1 Определение модуля.. 9 стр. 3.2 Алгоритм построения графика линейной функции с модулем...9 стр. 3.3 Построение графиков функций, содержащих в формуле «вложенные модули».10 стр. 3.4 Алгоритм построения графиков функций вида y = a 1 x x 1 + a 2 x x a n x x n + ax + b...13 стр. 3.5 Алгоритм построения графика квадратичной функции с модулем.14 стр. 3.6 Алгоритм построения графика дробно рациональной функции с модулем. 15стр. 4. Изменения графика квадратичной функции в зависимости от расположения знака абсолютной величины..17стр. II. Заключение...26 стр. III. Список литературы и источников...27 стр. IV. Приложение....28стр. 2

3 Введение Построение графиков функций - одна их интереснейших тем в школьной математике. Крупнейший математик нашего времени Израиль Моисеевич Гельфанд писал: «Процесс построения графиков является способом превращения формул и описаний в геометрические образы. Это построение графиков является средством увидеть формулы и функции и проследить, каким образом эти функции меняются. Например, если написано у =x 2, то вы сразу видите параболу; если у = x 2-4, вы видите параболу, опущенную на четыре единицы; если же у =-(x 2 4),то вы видите предыдущую параболу, перевернутую вниз. Такое умение видеть сразу формулу, и ее геометрическую интерпретацию является важным не только для изучения математики, но и для других предметов. Это умение, которое остается с вами на всю жизнь, подобно умению ездить на велосипеде, печатать на машинке или водить машину». Азы решения уравнений с модулями были получены в 6-ом 7-ом классах. Я выбрала именно эту тему, потому что считаю, что она требует более глубокого и досконального исследования. Я хочу получить более широкие знания о модуле числа, различных способах построения графиков, содержащих знак абсолютной величины. Когда в «стандартные» уравнения прямых, парабол, гипербол включают знак модуля, их графики становятся необычными и даже красивыми. Чтобы научиться строить такие графики, надо владеть приемами построения базовых фигур, а также твердо знать и понимать определение модуля числа. В школьном курсе математики графики с модулем рассматриваются недостаточно углубленно, именно поэтому мне захотелось расширить свои знания по данной теме, провести собственные исследования. Не зная определения модуля, невозможно построить даже самого простого графика, содержащего абсолютную величину. Характерной особенностью графиков функций, содержащих выражения со знаком модуля, 3

4 является наличие изломов в тех точках, в которых выражение, стоящее под знаком модуля, изменяет знак. Цель работы: рассмотреть построение графика линейной, квадратичной и дробно рациональной функций, содержащих переменную под знаком модуля. Задачи: 1) Изучить литературу о свойствах абсолютной величины линейной, квадратичной и дробно- рациональной функций. 2) Исследовать изменения графиков функций в зависимости от расположения знака абсолютной величины. 3) Научиться стоить графики уравнений. Объект исследования: графики линейной, квадратичной и дробно рациональных функций. Предмет исследования: изменения графика линейной, квадратичной и дробно рациональной функций в зависимости от расположения знака абсолютной величины. Практическая значимость моей работы заключается: 1) в использовании приобретенных знаний по данной теме, а также углубление их и применение к другим функциям и уравнениям; 2)в использовании навыков исследовательской работы в дальнейшей учебной деятельности. Актуальность: Задания на построение графиков традиционно - это одна из самых трудных тем математики. Перед нами выпускниками стоит проблема удачно сдать ГИА и ЕГЭ. Проблема исследования: построение графиков функций, содержащих знак модуля, из второй части ГИА. Гипотеза исследования: применение разработанной на основе общих способов построения графиков функций, содержащих знак модуля, методики решения заданий второй части ГИА позволит учащимся решать эти задания 4

5 на сознательной основе, выбирать наиболее рациональный метод решения, применять разные методы решении и успешнее сдать ГИА. Методы исследования, используемые в работе: 1.Анализ математической литературы и ресурсов сети Интернет по данной теме. 2.Репродуктивное воспроизведение изученного материала. 3.Познавательно- поисковая деятельность. 4.Анализ и сравнение данных в поиске решения задач. 5.Постановка гипотез и их поверка. 6.Сравнение и обобщение математических фактов. 7. Анализ полученных результатов. При написании данной работы использовались следующие источники: Интернет ресурсы, тесты ОГЭ, математическая литература. 5

6 I. Основная часть 1.1 Историческая справка. В первой половине ХVII века начинает складываться представление о функции как о зависимости одной переменной величины от другой. Так, французские математики Пьер Ферма () и Рене Декарт () представляли себе функцию как зависимость ординаты точки кривой от ее абсциссы. А английский ученый Исаак Ньютон () понимал функцию как изменяющуюся в зависимости от времени координату движущейся точки. Термин "функция" (от латинского function исполнение, совершение) впервые ввел немецкий математик Готфрид Лейбниц(). У него функция связывалась с геометрическим образом (графиком функции). В дальнейшем швейцарский математик Иоганн Бернулли() и член Петербургской Академии наук знаменитый математик XVIII века Леонард Эйлер() рассматривали функцию как аналитическое выражение. У Эйлера имеется и общее понимание функции как зависимости одной переменной величины от другой. Слово «модуль» произошло от латинского слова «modulus», что в переводе означает «мера». Это многозначное слово (омоним), которое имеет множество значений и применяется не только в математике, но и в архитектуре, физике, технике, программировании и других точных науках. В архитектуре - это исходная единица измерения, устанавливаемая для данного архитектурного сооружения и служащая для выражения кратных соотношений его составных элементов. В технике - это термин, применяемый в различных областях техники, не имеющий универсального значения и служащий для обозначения различных коэффициентов и величин, например модуль зацепления, модуль упругости и т.п. 6

7 Модуль объемного сжатия(в физике)-отношение нормального напряжения в материале к относительному удлинению. 2.Основные определения и свойства функций Функция одно из важнейших математических понятий. Функцией называют такую зависимость переменной y от переменной x, при которой каждому значению переменной x соответствует единственное значение переменной у. Способы задания функции: 1) аналитический способ (функция задается с помощью математической формулы); 2) табличный способ (функция задается с помощью таблицы); 3) описательный способ (функция задается словесным описанием); 4) графический способ (функция задается с помощью графика). Графиком функции называют множество всех точек координатной плоскости, абсциссы которых равны значению аргумента, а ординаты соответствующим значениям функции. 2.1 Квадратичная функция Функция, определяемая формулой у=ах 2 +вх+с, где х и у переменные, а параметры а, в и с любые действительные числа, причём а =0, называется квадратичной. График функции у=ах 2 +вх+с есть парабола; осью симметрии параболы у=ах 2 +вх+с является прямая, при а>0 «ветви» параболы направлены вверх, при а<0 вниз. Чтобы построить график квадратичной функции, нужно: 1) найти координаты вершины параболы и отметить её в координатной плоскости; 2) построить ещё несколько точек, принадлежащих параболе; 3) соединить отмеченные точки плавной линией.,. 2.2Линейная функция функция вида 7

8 (для функций одной переменной). Основное свойство линейных функций: приращение функции пропорционально приращению аргумента. То есть функция является обобщением прямой пропорциональности. Графиком линейной функции является прямая линия, с чем и связано ее название. Это касается вещественной функции одной вещественной переменной. 1) При, прямая образует острый угол с положительным направлением оси абсцисс. 2) При, прямая образует тупой угол с положительным направлением оси абсцисс. 3) является показателем ординаты точки пересечения прямой с осью ординат. 4)При, прямая проходит через начало координат. , 2.3Дробно-рациональная функция это дробь, числителем и знаменателем которой являются многочлены. Она имеет вид где, многочлены от любого числа переменных. Частным случаем являются рациональные функции одного переменного:, где и многочлены. 1) Любое выражение, которое можно получить из переменных с помощью четырёх арифметических действий, является рациональной функцией. 8

9 2) Множество рациональных функций замкнуто относительно арифметических действий и операции композиции. 3) Любая рациональная функция может быть представлена в виде суммы простейших дробей -это применяется при аналитическом интегрировании.. , 3.Алгоритмы построения графиков с модулем 3.1 Определение модуля Модулем действительного числа а называется само число а, если оно неотрицательно, и число противоположное а, если а отрицательное. а = 3.2 Алгоритм построения графика линейной функции с модулем Чтобы построить графики функций y= x нужно знать, при положительных x имеем x =x. Значит, для положительных значений аргумента график y= x совпадает с графиком y=x, то есть эта часть графика является лучом, выходящим из начала координат под углом 45 градусов к оси абсцисс. При x< 0 имеем x = -x; значит, для отрицательных x график y= x совпадает с биссектрисой второго координатного угла. Впрочем, вторую половину графика (для отрицательных X) легко получить из первой, если заметить, что функция y= x чётная, так как -a = a. Значит, график функции y= x симметричен относительно оси Oy, и вторую половину графика можно приобрести, отразив относительно оси ординат часть, начерченную для положительных x. Получается график:y= x 9

10 Для построения берём точки (-2; 2) (-1; 1) (0; 0) (1; 1) (2; 2). Теперь построим график y= x-1.если А точка графика у= x с координатами (a; a), то точкой графика y= x-1 с тем же значением ординаты Y будет точка A1(a+1; a). Эту точку второго графика можно получить из точки А(a; a) первого графика сдвигом параллельно оси Ox вправо. Значит, и весь график функции y= x-1 получается из графика функции y= x сдвигом параллельно оси Ox вправо на 1. Построим графики: y= x-1 Для построения берём точки (-2; 3) (-1; 2) (0; 1) (1; 0) (2; 1). 3.3 Построение графиков функций, содержащих в формуле «вложенные модули» Рассмотрим алгоритм построения на конкретном примере Построить график функции: 10

11 у=i-2-ix+5ii 1. Строим график функции. 2. График нижней полуплоскости отображаем вверх симметрично относительно оси ОХ и получаемграфик функции. 11

12 3. График функции отображаем вниз симметрично относительно оси ОХ и получаем график функции. 4. График функции отображаем вниз симметрично относительно оси ОХ и получаем график функции 5. Отображаем график функции относительно оси ОХ и получаем график. 12

13 6. В итоге график функции выглядит следующим образом 3.4. Алгоритм построения графиков функций вида y = a 1 x x 1 + a 2 x x a n x x n + ax + b. В предыдущем примере было достаточно легко раскрыть знаки модуля. Если же сумм модулей больше, то рассмотреть всевозможные комбинации знаков подмодульных выражений проблематично. Как же в этом случае построить график функции? Заметим, что графиком является ломаная, с вершинами в точках, имеющих абсциссы -1 и 2. При x = -1 и x = 2 подмодульные выражения равны нулю. Практическим путем мы приблизились к правилу построения таких графиков: Графиком функции вида y = a 1 x x 1 + a 2 x x a n x x n + ax + b является ломаная с бесконечными крайними звеньями. Чтобы построить такую ломаную, достаточно знать все ее вершины (абсциссы вершин есть нули подмодульных выражений) и по одной контрольной точке на левом иправом бесконечных звеньях. 13

14 Задача. Построить график функции y = x + x 1 + x + 1 и найти ее наименьшее значение. Решение: 1.Нули подмодульных выражений: 0; -1; Вершины ломаной (0; 2); (-1; 3); (1; 3).(нули подмодульных выражений подставляем в уравнение) 3Контрольная точка справа (2; 6), слева (-2; 6). Строим график (рис. 7), наименьшее значение функции равно Алгоритм построения графика квадратичной функции с модулем Составление алгоритмов преобразования графиков функций. 1.Построение графика функции y= f(x). По определению модуля данная функция распадается на совокупность двух функций. Следовательно, график функции y= f(x) состоит из двух графиков: y= f(x) в правой полуплоскости, y= f(-x) в левой полуплоскости. Исходя из этого, можно сформулировать правило (алгоритм). График функции y= f(x) получается из графика функции y= f(x) следующим образом: при х 0 график сохраняется, а при х < 0полученная часть графика отображается симметрично относительно оси ОУ. 2.Построение графика функции y= f(x). а). Строим график функции y= f(x). б). Часть графика y= f(x), лежащая над осью ОХ, сохраняется, часть его, лежащая под осью ОХ, отображается симметрично относительно оси ОХ. 14

15 3.Чтобы построить график функции y= f(x), надо сначала построить график функции y= f(x) при х> 0, затем при х< 0 построить изображение, симметричное ему относительно оси ОУ, а затем на интервалах, где f(x) <0,построить изображение, симметричное графику y= f(x) относительно оси ОХ. 4.Для построения графиков вида y = f(x)достаточно построить график функции y= f(x) для тех х из области определения, при которых f(х) 0, и отобразить полученную часть графика симметрично относительно оси абсцисс. Пример Построим график функции у = х 2 6х +5. Сначала построим параболу у= х 2 6х +5. Чтобы получить из неё график функции у = х 2-6х + 5, нужно каждую точку параболы с отрицательной ординатой заменить точкой с той же абсциссой, но с противоположной (положительной) ординатой. Иными словами, часть параболы, расположенную ниже оси Ох, нужно заменить линией, ей симметричной относительно оси Ох (Рис.1). Рис Алгоритм построения графика дробно рациональной функции с модулем 1. Начнем с построения графика В основе его лежит график функции и все мы знаем, как он выглядит: Теперь построим график 15

16 Чтобы получить этот график, достаточно всего лишь сдвинуть полученный ранее график на три единицы вправо. Заметим, что, если бы в знаменателе дроби стояло бы выражение х+3, то мы сдвинули бы график влево: Теперь необходимо умножить на два все ординаты, чтобы получить график функции Наконец, сдвигаем график вверх на две единицы: Последнее, что нам осталось сделать, это построить график данной функции, если она заключена под знак модуля. Для этого отражаем симметрично вверх всю часть графика, ординаты которой отрицательны (ту часть, что лежит ниже оси х): Рис.4 16

17 4.Изменения графика квадратичной функции в зависимости от расположения знака абсолютной величины. Постройте график функции у= х 2 - х -3 1) Поскольку х = х при х 0, требуемый график совпадает с параболой у=0,25 х 2 - х - 3. Если х<0, то поскольку х 2 = х 2, х =-х и требуемый график совпадает с параболой у=0,25 х 2 + х) Если рассмотрим график у=0,25 х 2 - х - 3 при х 0 и отобразить его относительно оси ОУ мы получим тот же самый график. (0; - 3) координаты точки пересечения графика функции с осью ОУ. у =0, х 2 -х -3 = 0 х 2-4х -12 = 0 Имеем, х 1 = - 2; х 2 = 6. (-2; 0) и (6; 0) - координаты точки пересечения графика функции с осью ОХ. Если х<0, ордината точки требуемого графика такая же, как и у точки параболы, но с положительной абсциссой, равной х. Такие точки симметричны относительно оси ОУ(например, вершины (2; -4) и -(2; -4). Значит, часть требуемого графика, соответствующая значениям х<0, симметрична относительно оси ОУ его же части, соответствующей значениям х>0. б) Поэтому достраиваю для х<0 часть графика, симметричную построенной относительно оси ОУ. 17

18 Рис. 4 График функции у = f (х) совпадает с графиком функции у = f (х) на множестве неотрицательных значений аргумента и симметричен ему относительно оси ОУ на множестве отрицательных значений аргумента. Доказательство: Если х 0, то f (х) = f (х), т.е. на множестве неотрицательных значений аргумента графики функции у = f (х) и у = f (х) совпадают. Так как у = f (х) - чётная функция, то её график симметричен относительно ОУ. Таким образом, график функции у = f (х) можно получить из графика функции у = f (х) следующим образом: 1. построить график функции у = f(х) для х>0; 2. Для х<0, симметрично отразить построенную часть относительно оси ОУ. Вывод: Для построения графика функции у = f (х) 1. построить график функции у = f(х) для х>0; 2. Для х<0, симметрично отразить построенную часть относительно оси ОУ. Построить график функции у = х 2-2х Освободимся от знака модуля по определению Если х 2-2х 0, т.е. если х 0 и х 2, то х 2-2х = х 2-2х Если х 2-2х<0, т.е. если 0<х< 2, то х 2-2х =- х 2 + 2х Видим, что на множестве х 0 и х 2 графики функции у = х 2-2х и у = х 2-2х совпадают, а на множестве (0;2) графики функции у = -х 2 + 2х и у = х 2-2х совпадают. Построим их. График функции у = f (х) состоит из части графика функции у = f(х) при у?0 и симметрично отражённой части у = f(х) при у <0 относительно оси ОХ. Построить график функции у = х 2 - х -6 1) Если х 2 - х -6 0, т.е. если х -2 и х 3, то х 2 - х -6 = х 2 - х

19 Если х 2 - х -6<0, т.е. если -2<х< 3, то х 2 - х -6 = -х 2 + х +6. Построим их. 2) Построим у = х 2 - х -6. Нижнюю часть графика симметрично отбражаем относительно ОХ. Сравнивая 1) и 2), видим что графики одинаковые. Работа на тетрадях. Докажем, что график функции у = f (х) совпадает с графиком функции у = f (х) для f(х) >0 и симметрично отражённой частью у = f(х) при у <0 относительно оси ОХ. Действительно, по определению абсолютной величины, можно данную функцию рассмотреть как совокупность двух линий: у = f(х), если f(х) 0; у = - f(х), если f(х) <0 Для любой функции у = f(х), если f(х) >0, то f (х) = f(х), значит в этой части график функции у = f (х) совпадает с графиком самой функции у = f(х). Если же f(х) <0, то f (х) = - f(х),т.е. точка (х; - f(х)) симметрична точке (х; f (х)) относительно оси ОХ. Поэтому для получения требуемого графика отражаем симметрично относительно оси ОХ "отрицательную" часть графика у = f(х). Вывод: действительно для построения графика функции у = f(х) достаточно: 1.Построить график функции у = f(х) ; 2. На участках, где график расположен в нижней полуплоскости, т.е., где f(х) <0, симметрично отражаем относительно оси абсцисс. (Рис.5) 19

20 Рис.5 Вывод: Для построения графика функции у= f(х) 1.Построить график функции у=f(х) ; 2. На участках, где график расположен в нижней полуплоскости, т.е., где f(х) <0, строим кривые, симметричные построенным графикам относительно оси абсцисс. (Рис.6, 7.) 20

21 Исследовательская работа по построению графиков функции у= f (х) Применяя определение абсолютной величины и ранее рассмотренные примеры, построим графиков функции: у = 2 х - 3 у = х 2-5 х у = х 2-2 и сделал выводы. Для того чтобы построить график функции у = f (х) надо: 1. Строить график функции у = f(х) для х>0. 2. Строить вторую часть графика, т. е. построенный график симметрично отражать относительно ОУ, т.к. данная функция четная. 3. Участки получившегося графика, расположенные в нижней полуплоскости, преобразовывать на верхнюю полуплоскость симметрично оси ОХ. Построить график функции у = 2 х - 3 (1-й способ по определению модуля) 1. Строим у = 2 х - 3, для 2 х - 3 > 0, х >1,5 т.е. х< -1,5 и х>1,5 а) у = 2х - 3, для х>0 б) для х<0, симметрично отражаем построенную часть относительно оси ОУ. 2. Строим у = -2 х + 3, для 2 х - 3 < 0. т.е. -1,5<х<1,5 а) у = -2х + 3, для х>0 б) для х<0, симметрично отражаем построенную часть относительно оси ОУ. У = 2 х - 3 1) Строим у = 2х-3, для х>0. 2) Строим прямую, симметричную построенной относительно оси ОУ. 3) Участки графика, расположенные в нижней полуплоскости, отображаю симметрично относительно оси ОХ. Сравнивая оба графика, видим, что они одинаковые. 21

22 Примеры задач Пример 1. Рассмотрим график функции у = х 2 6х +5. Т. к. х возводится в квадрат, то независимо от знака числа х после возведения в квадрат он будет положительным. Отсюда следует, то график функции у = х 2-6х +5 будет идентичен графику функции у = х 2-6х +5, т.е. графику функции, не содержащей знака абсолютной величины (Рис.2). Рис.2 Пример 2. Рассмотрим график функции у = х 2 6 х +5. Воспользовавшись определением модуля числа, заменим формулу у = х 2 6 х +5 Теперь мы имеем дело с хорошо знакомым нам кусочным заданием зависимости. Строить график будем так: 1) построим параболу у = х 2-6х +5 и обведём ту её часть, которая 22

23 соответствует неотрицательным значениям х, т.е. часть, расположенную правее оси Оу. 2) в той же координатной плоскости построим параболу у = х 2 +6х +5 и обведём ту её часть, которая соответствует отрицательным значениям х, т.е. часть, расположенную левее оси Оу. Обведённые части парабол вместе образуют график функции у = х 2-6 х +5 (Рис.3). Рис.3 Пример 3. Рассмотрим график функции у = х 2-6 х +5. Т.к. график уравнения у = х 2 6х +5 такой же, как и график функции без знака модуля (рассмотрено в примере 2) то следует, что график функции у = х 2 6 х +5 идентичен графику функции у = х 2 6 х +5, рассмотренному в примере 2(Рис.3). Пример 4. Построим график функции у = х 2 6х +5. Для этого построим график функции у = х 2-6х. Чтобы получить из неё график функции у = х 2-6х, нужно каждую точку параболы с отрицательной ординатой заменить точкой с той же абсциссой, но с противоположной (положительной) ординатой. Иными словами, часть параболы, расположенную ниже оси х, нужно заменить линией ей симметричной относительно оси х. Т.к. нам нужно построить график функции у = х 2-6х +5, то график рассмотренной нами функции у = х 2-6х нужно просто поднять по оси у на 5 единиц вверх (Рис.4). 23

24 Рис.4 Пример 5. Построим график функции у = х 2-6х+5. Для этого воспользуемся хорошо нам известной кусочной функцией. Найдём нули функции у = 6х +5 6х + 5 = 0 при. Рассмотрим два случая: 1)Если, то уравнение примет вид у = х 2 6х -5. Построим эту параболу и обведём ту её часть, где. 2)Если, то уравнение принимает вид у = х 2 + 6х +5. Постоим эту параболу и обведём ту её часть, которая расположена левее точки с координатами (Рис.5). 24

25 Рис.5 Пример6. Построим график функции у = х 2 6 х +5. Для этого мы построим график функции у =х 2-6 х +5. Построение этого графика мы проводили в примере 3. Т. к. наша функция полностью находится под знаком модуля, то для того, чтобы построить график функции у = х 2 6 х +5, нужно каждую точку графика функции у = х 2 6 х +5 с отрицательной ординатой заменить точкой с той же абсциссой, но с противоположной (положительной) ординатой, т.е. часть параболы, расположенную ниже оси Ох, нужно заменить линией ей симметричной относительно оси Ох (Рис.6). Рис.6 25

26 II.Заключение «Математические сведения могут применяться умело и с пользой только в том случае, если они усвоены творчески, так, что учащийся видит сам, как можно было бы прийти к ним самостоятельно». А.Н. Колмогоров. Данные задачи представляют большой интерес для учащихся девятых классов, так как они очень часто встречаются в тестах ОГЭ. Умение строить данные графики функций позволит более успешно сдать экзамен. французские математики Пьер Ферма () и Рене Декарт () представляли себе функцию как зависимость ординаты точки кривой от ее абсциссы. А английский ученый Исаак Ньютон () понимал функцию как изменяющуюся в зависимости от времени координату движущейся точки. 26

27 III.Список литературы и источников 1.Галицкий М. Л., Гольдман А. М., Звавич Л. И. Сборник задач по алгебредля 8 9 классов: Учеб. пособие для учащихся шк. и классов с углубл. изуч. математики 2 е изд. М.: Просвящение, Дорофеев Г. В. Математика. Алгебра. Функции. Анализ данных. 9 кл.:м34 Учеб. для общеобразовательных учеб. заведний 2-е изд., стереотип. М.: Дрофа, Соломоник В.С.Сборник вопросов и задач по математике М.: «Высшая школа», ЯщенкоИ.В. ГИА. Математика: типовые экзаменационные варианты: О вариантов.м.: «Национальное образование», с. 5. Ященко И.В. ОГЭ. Математика: типовые экзаменационные варианты: О вариантов.м.: «Национальное образование», с. 6. Ященко И.В. ОГЭ. Математика: типовые экзаменационные варианты: О вариантов.м.: «Национальное образование», с

28 Приложение 28

29 Пример 1. Построить график функции y = x 2 8 x Решение. Определим четность функции. Значение для y(-x) совпадает со значением для y(x), поэтому данная функция четная. Тогда ее график симметричен относительно оси Oy. Строим график функции y = x 2 8x + 12 для x 0 и симметрично отображаем график относительно Oy для отрицательных x (рис. 1). Пример 2. Следующий график вида y = x 2 8x Это значит, что график функции получают следующим образом: строят график функции y = x 2 8x + 12, оставляют часть графика, которая лежит над осью Ox, без изменений, а часть графика, которая лежит под осью абсцисс, симметрично отображают относительно оси Ox (рис. 2). Пример 3. Для построения графика функции y = x 2 8 x + 12 проводят комбинацию преобразований: y = x 2 8x + 12 y = x 2 8 x + 12 y = x 2 8 x Ответ: рисунок 3. Пример 4 Выражение, стоящее под знаком модуля, меняет знак в точке х=2/3. При х<2/3 функция запишется так: 29

30 При х>2/3 функция запишется так: То есть точка х=2/3 делит нашу координатную плоскость на две области, в одной из которых (правее) мы строим функцию а в другой (левее) график функции Строим: Пример 5 Следующий график также ломаная, но имеет две точки излома, так как содержит два выражения под знаками модуля: Посмотрим, в каких точках подмодульные выражения меняют знак: Расставим знаки для подмодульных выражений на координатной прямой: 30

31 Раскрываем модули на первом интервале: На втором интервале: На третьем интервале: Таким образом, на интервале (- ; 1.5] имеем график, записанный первым уравнением, на интервале график, записанный вторым уравнением, и на интервале }