Видеоурок «Геометрический смысл модуля действительного числа» - наглядное пособие для урока математики по соответствующей теме. В видеоуроке детально и наглядно рассматривается геометрический смысл модуля, после чего на примерах раскрывается, как находится модуль действительного числа, причем решение сопровождается рисунком. Материал может быть использован на этапе объяснения новой темы в качестве отдельной части урока или обеспечения наглядностью объяснения учителя. Оба варианта способствуют повышению эффективности урока математики, помогают учителю достичь целей урока.

В данном видеоуроке присутствуют построения, которые наглядно демонстрируют геометрический смысл модуля. Чтобы демонстрация была более наглядной, эти построения выполняются с применением анимационных эффектов. Чтобы учебный материал легче запоминался, важные тезисы выделены цветом. Подробно рассматривается решение примеров, которое за счет анимационных эффектов подается структурировано, последовательно, понятно. При составлении видео были использованы инструменты, которые помогают сделать видеоурок эффективным современным инструментом обучения.

Виде начинается с представления темы урока. На экране выполняется построение - изображен луч, на котором отмечены точки aи b, расстояние между которыми отмечено как ρ(a;b). Напоминается, что расстояние измеряется на координатном луче вычитанием из большего числа меньшего, то есть для данного построения расстояние равно b-aдля b>aи равно a-b при a>b. Ниже демонстрируется построение, на котором отмеченная точка а лежит правее b, то есть соответствующее ей числовое значение больше b. Ниже отмечен еще один случай, когда положение точек aи b совпадает. В этом случае расстояние между точками равно нулю ρ(a;b)=0. Все вместе эти случаи описываются одной формулой ρ(a;b)=|a-b|.

Далее рассматривается решение задач, в которых применяются знания о геометрическом смысле модуля. В первом примере необходимо решить уравнение |х-2|=3. Отмечается, что это аналитическая форма записи данного уравнения, которую для поиска решения переводим на геометрический язык. Геометрически данная задача означает, что необходимо найти точки х, для которых будет верно равенство ρ(х;2)=3. На координатной прямой это будет означать равноудаленность точек х от точки х=2 на расстоянии 3. Чтобы продемонстрировать решение на координатной прямой, изображается луч, на котором отмечена точка 2. На расстоянии 3 от точки х=2 отмечаются точки -1 и 5. Очевидно, что данные отмеченные точки и будут решением уравнения.

Для решения уравнения |x+3,2|=2 предлагается привести его сначала к виду |a-b|, чтобы решить задание на координатной прямой. После преобразования уравнение получает вид |х-(-3,2)|=2. Это означает, что расстояние между точкой -3,2 и искомыми точками будет равно 2, то есть ρ(х;-3,2)=2. На координатной прямой отмечается точка -3,2. От нее на расстоянии 2 располагаются точки -1,2 и -5,2. Эти точки отмечаются на координатной прямой и указаны как решение уравнения.

Решение еще одного уравнения |x|=2,7 рассматривает случай, когда искомые точки располагаются на расстоянии 2,7 от точки 0. Уравнение переписывается в виде |x-0|=2,7. При этом указано, что расстояние до искомых точек определяется как ρ(х;0)=2,7. На координатной прямой отмечается начало отсчета точка 0. На расстоянии 2,7 от точки 0 размещаются точки -2,7 и 2,7. Эти точки отмечаются на построенной прямой, они и являются решениями уравнения.

Для решения следующего уравнения |x-√2|=0 не требуется геометрическая интерпретация, так как если модуль выражения равен нулю, это означает, что это выражение равно нулю, то есть x-√2=0. Из уравнения следует, что х=√2.

В следующем примере рассматривается решение уравнений, которые перед решением требуют преобразования. В первом уравнении |2x-6|=8 перед х есть числовой коэффициент 2. Чтобы избавиться от коэффициента и перевести уравнение на геометрический язык ρ(х;а)=b, выносим общий множитель за скобки, получая |2(x-3)|=2|x-3|. После этого правая и левая части уравнения сокращаются на 2. Получаем уравнение вида |x-3|=4. Данное уравнение аналитического вида переводится на геометрический язык ρ(х;3)=4. На координатной прямой отмечаем точку 3. От этой точки откладываем точки, расположенные на расстоянии 4. Решением уравнения будут точки -1 и 7, которые отмечаются на координатной прямой. Второе рассмотренное уравнение |5-3x|=6 также содержит числовой коэффициент перед переменной х. Чтобы решить уравнение, коэффициент 3 выносится за скобки. Уравнение принимает вид |-3(x-5/3)|=3|x-5/3|. Правая и левая части уравнения могут быть сокращены на 3. После этого получается уравнение вида |x-5/3|=2. Переходим от аналитической формы к геометрической интерпретации ρ(х;5/3)=2. К решению строится рисунок, на котором изображается координатная прямая. На этой прямой отмечается точка 5/3. На расстоянии 2 от точки 5/3 располагаются точки -1/3 и 11/3. Эти точки и являются решениями уравнения.

Последнее рассмотренное уравнение |4x+1|=-2. Для решения данного уравнения не требуется преобразований и геометрического представления. В левой части уравнения очевидно получается неотрицательное число, а правая часть содержит число -2. Поэтому данное уравнение не имеет решений.

Видеоурок «Геометрический смысл модуля действительного числа» может применяться на традиционном уроке математики в школе. Материал может стать полезным учителю, осуществляющему дистанционное образование. Подробное понятное объяснение решения заданий, в которых используется функция модуля, поможет освоить материал ученику, который осваивает тему самостоятельно.

ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА II

§ 44 Геометрическое изображение действительных чисел

Геометрически действительные числа, так же как и рациональные числа, изображаются точками прямой.

Пусть l - произвольная прямая, а О - некоторая ее точка (рис. 58). Каждому положительному действительному числу α поставим в соответствие точку А, лежащую справа от О на расстоянии в α единиц длины.

Если, например, α = 2,1356..., то

2 < α < 3
2,1 < α < 2,2
2,13 < α < 2,14

и т. д. Очевидно, что точка А в этом случае должна находиться на прямой l правее точек, соответствующих числам

2; 2,1; 2,13; ... ,

но левее точек, соответствующих числам

3; 2,2; 2,14; ... .

Можно показать, что эти условия определяют на прямой l единственную точку А, которую мы и рассматриваем как геометрический образ действительного числа α = 2,1356... .

Аналогично, каждому отрицательному действительному числу β поставим в соответствие точку В, лежащую слева от О на расстоянии в | β | единиц длины. Наконец, числу «нуль» поставим в соответствие точку О.

Так, число 1 изобразится на прямой l точкой А, находящейся справа от О на расстоянии в одну единицу длины (рис. 59), число - √2 - точкой В, лежащей слева от О на расстоянии в √2 единиц длины, и т. д.

Покажем, как на прямой l с помощью циркуля и линейки можно отыскать точки, соответствующие действительным числам √2 , √3 , √4 , √5 и т. д. Для этого прежде всего покажем, как можно построить отрезки, длины которых выражаются этими числами. Пусть АВ есть отрезок, принятый за единицу длины (рис. 60).

В точке А восставим к этому отрезку перпендикуляр и отложим на нем отрезок АС, равный отрезку АВ. Тогда, применяя теорему Пифагора к прямоугольному треугольнику ABC, получим; ВС = √АВ 2 + АС 2 = √1+1 = √2

Следовательно, отрезок ВС имеет длину √2 . Теперь восставим перпендикуляр к отрезку ВС в точке С и выберем на нем точку D так, чтобы отрезок CD был равен единице длины АВ. Тогда из прямоугольною треугольника BCD найдем:

ВD = √ВC 2 + СD 2 = √2+1 = √3

Следовательно, отрезок BD имеет длину √3 . Продолжая описанный процесс дальше, мы могли бы получить отрезки BE, BF, ..., длины которых выражаются числами √4 , √5 и т. д.

Теперь на прямой l легко найти те точки, которые служат геометрическим изображением чисел √2 , √3 , √4 , √5 и т. д.

Откладывая, например, справа от точки О отрезок ВС (рис. 61), мы получим точку С, которая служит геометрическим изображением числа √2 . Точно так же, откладывая справа от точки О отрезок BD, мы получим точку D", которая является геометрическим образом числа √3 , и т. д.

Не следует, однако, думать, что с помощью циркуля и линейки на числовой прямой l можно найти точку, соответствующую любому заданному действительному числу. Доказано, например, что, имея в своем распоряжении только циркуль и линейку, нельзя построить отрезок, длина которого выражается числом π = 3,14 ... . Поэтому на числовой прямой l с помощью таких построений нельзя указать точку, соответствующую этому числу Тем не менее такая точка существует.

Итак, каждому действительному числу α можно поставить в соответствие некоторую вполне определенную точку прямой l . Эта точка будет отстоять от начальной точки О на расстоянии в | α | единиц длины и находиться справа от О, если α > 0, и слева от О, если α < 0. Очевидно, что при этом двум неравным действительным числам будут соответствовать две различные точки прямой l . В самом деле, пусть числу α соответствует точка А, а числу β - точка В. Тогда, если α > β , то А будет находиться правее В (рис. 62, а); если же α < β , то А будет лежать левее В (рис. 62,б).

Говоря в § 37 о геометрическом изображении рациональных чисел, мы поставили вопрос: любую ли точку прямой можно рассматривать как геометрический образ некоторого рационального числа? Тогда мы не могли дать ответ на этот вопрос; теперь же мы можем ответить на него вполне определенно. На прямой есть точки, которые служат геометрическим изображением иррациональных чисел (например, √2 ). Поэтому не всякая точка прямой изображает рациональное число. Но в таком случае напрашивается другой вопрос: любую ли точку числовой прямой можно рассматривать как геометрический образ некоторого действительного числа? Этот вопрос решается уже положительно.

В самом деле, пусть А - произвольная точка прямой l , лежащая справа от О (рис. 63).

Длина отрезка ОА выражается некоторым положительным действительным числом α (см § 41). Поэтому точка А является геометрическим образом числа α . Аналогично устанавливается, что каждая точка В, лежащая слева от О, может рассматриваться как геометрический образ отрицательного действительного числа - β , где β - длина отрезка ВО. Наконец, точка О служит геометрическим изображением числа нуль. Понятно, что две различные точки прямой l не могут быть геометрическим образом одного и того же действительного числа.

В силу изложенных выше причин прямая, на которой указана в качестве «начальной» некоторая точка О (при заданной единице длины), называется числовой прямой .

Вывод. Множество всех действительных чисел и множество всех точек числовой прямой находятся во взаимно однозначном соответствии.

Это означает, что каждому действительному числу соответствует одна, вполне определенная точка числовой прямой и, наоборот, каждой точке числовой прямой при таком соответствии отвечает одно, вполне определенное действительное число.

Упражнения

320. Выяснить, какая из двух точек находится на числовой прямой левее и какая правее, если эти точки соответствуют числам:

а) 1,454545... и 1,455454...; в) 0 и - 1,56673...;

б) - 12,0003... и - 12,0002...; г) 13,24... и 13,00....

321. Выяснить, какая из двух точек находится на числовой прямой дальше от начальной точки О, если эти точки соответствуют числам:

а) 5,2397... и 4,4996...; .. в) -0,3567... и 0,3557... .

г) - 15,0001 и - 15,1000...;

322. В этом параграфе было показано, что для построения отрезка длиной в √n с помощью циркуля и линейки можно поступить следующим образом: сначала построить отрезок длиной √2 , затем отрезок длиной √3 и т. д., пока не дойдем до отрезка длиной √n . Но при каждом фиксированном п > 3 этот процесс можно ускорить. Как бы, например, вы стали строить отрезок длиной √10 ?

323*. Как с помощью циркуля и линейки найти на числовой прямой точку, соответствующую числу 1 / α , если положение точки, соответствующей числу α , известно?

ГЛАВА 1. Переменные величины и функции

§1.1. Действительные числа
Первое знакомство с действительными числами происходит в школьном курсе математики. Всякое действительное число представляется конечной или бесконечной десятичной дробью.

Действительные (вещественные) числа делятся на два класса: класс рациональных и класс иррациональных чисел. Рациональными называются числа, которые имеют вид , где m и n – целые взаимно простые числа, но
. (Множество рациональных чисел обознается буквой Q ). Остальные действительные числа называются иррациональными . Рациональные числа представляются конечной или бесконечной периодической дробью (то же, что обыкновенные дроби), тогда иррациональными будут те и только те действительные числа, которые можно представить бесконечными непериодическими дробями.

Например, число
– рациональное, а
,
,
и т.п. – иррациональные числа.

Действительные числа можно также разделить на алгебраические - корни многочлена с рациональными коэффициентами (к ним относятся, в частности, все рациональные числа – корни уравнения
) – и на трансцендентные – все остальные (например, числа
и другие).

Множества всех натуральных, целых, действительных чисел обозначаются соответственно так: N Z , R
(начальные буквы слов Naturel, Zahl, Reel).

§1.2. Изображение действительных чисел на числовой оси. Интервалы

Геометрически (для наглядности) действительные числа изображают точками на бесконечной (в обе стороны) прямой линии, именуемой числовой осью . С этой целью на рассматриваемой прямой берётся точка (начало отсчёта – точка 0), указывается положительное направление, изображаемое стрелкой (обычно направо) и избирается единица масштаба, которую откладывают неограниченно в обе стороны от точки 0. Так изображаются целые числа. Чтобы изобразить число с одним десятичным знаком, надо каждый отрезок разделить на десять частей и т.д. Таким образом, каждое действительное число изобразится точкой на числовой оси. Обратно, каждой точке
соответствует действительное число, равное длине отрезка
и взятое со знаком «+» или «–», в зависимости от того, лежит ли точка правее или левее от начала отсчёта. Таким образом устанавливается взаимнооднозначное соответствие между множеством всех действительных чисел и множеством всех точек числовой оси. Термины «действительное число» и «точка числовой оси» употребляются как синонимы.

Символом будем обозначать и действительное число, и точку, ему соответствующую. Положительные числа располагаются правее точки 0, отрицательные – левее. Если
, то на числовой оси точка лежит левее точки . Пусть точке
соответствует число , тогда число называется координатой точки , пишут
; чаще саму точку обозначают той же буквой , что и число. Точка 0 – начало координат. Ось обозначают тоже буквой (рис.1.1).

Рис. 1.1. Числовая ось.
Совокупность всех чисел, лежащих между данными числами и называется интервалом или промежутком; концы и ему могут принадлежать, а могут и не принадлежать. Уточним это. Пусть
. Совокупность чисел , удовлетворяющих условию
, называется интервалом (в узком смысле) или открытым интервалом, обозначается символом
(рис.1.2).

Рис. 1.2. Интервал
Совокупность чисел таких, что
называется замкнутым интервалом (отрезок, сегмент) и обозначается через
; на числовой оси отмечается так:

Рис. 1.3. Замкнутый интервал
От открытого промежутка он отличается лишь двумя точками (концами) и . Но это отличие принципиальное, существенное, как увидим в дальнейшем, например, при изучении свойств функций.

Опуская слова «множество всех чисел (точек) x таких, что» и т. п., отметим далее:

и
, обозначается
и
полуоткрытые, или полузамкнутые, интервалы (иногда: полуинтервалы);

или
означает:
или
и обозначается
или
;

или
означает
или
и обозначается
или
;

, обозначается
множество всех действительных чисел. Значки
символы «бесконечности»; их называют несобственными или идеальными числами.

§1.3. Абсолютная величина (или модуль) действительного числа
Определение. Абсолютной величиной (или модулем) числа называется само это число, если
или
если
. Обозначается абсолютная величина символом . Итак,

Например,
,
,
.

Геометрически означает расстояние точки a до начала координат. Если имеем две точки и , то расстояние между ними можно представить как
(или
). Например,
то расстояние
.

Свойства абсолютных величин.

1. Из определения следует, что

,
, то есть
.

2. Абсолютная величина суммы и разности не превосходит суммы абсолютных величин:
.

1) Если
, то
. 2) Если
, то . ▲

3.
.

, тогда по свойству 2:
, т.е.
. Аналогично, если представить
,то придём к неравенству
▲

4.
– следует из определения: рассмотреть случаи
и
.

5.
, при условии, что
Так же следует из определения.

6. Неравенство
,
, означает
. Этому неравенству удовлетворяют точки, которые лежат между
и
.

7. Неравенство
равносильно неравенству
, т.е. . Это есть интервал с центром в точке длины
. Он называется
окрестностью точки (числа) . Если
, то окрестность называется проколотой: это или
. (Рис.1.4).

8.
откуда следует, что неравенство
(
) равносильно неравенству
или
; а неравенство
определяет множество точек, для которых
, т.е. это точки, лежащие вне отрезка
, именно:
и
.

§1.4. Некоторые понятия, обозначения
Приведём некоторые широко применяемые понятия, обозначения из теории множеств, математической логики и других разделов современной математики.

1 . Понятие множества является одним из основных в математике, исходным, всеобщим – а потому не поддаётся определению. Его можно лишь описать (заменить синонимами): это есть собрание, совокупность каких-то объектов, вещей, объединённых какими-либо признаками. Объекты эти называются элементами множества. Примеры: множество песчинок на берегу, звёзд во Вселенной, студентов в аудитории, корней уравнения, точек отрезка. Множества, элементы которых суть числа, называются числовыми множествами . Для некоторых стандартных множеств вводятся специальные обозначения, например, N , Z , R - см. § 1.1.

Пусть A – множество и x является его элементом, тогда пишут:
; читается «x принадлежит A » (
знак включения для элементов). Если же объект x не входит в A , то пишут
; читается: «x не принадлежит A ». Например,
N ; 8,51N ; но 8,51R .

Если x является общим обозначением элементов множества A , то пишут
. Если возможно выписать обозначение всех элементов, то пишут
,
и т. п. Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым множеством и обозначается символом ; например, множество корней (действительных) уравнения
есть пустое.

Множество называется конечным , если оно состоит из конечного числа элементов. Если же какое бы натуральное число N ни взяли, во множестве A найдётся элементов больше, чем N, то A называется бесконечным множеством: в нём элементов бесконечно много.

Если всякий элемент множества ^ A принадлежит и множеству B , то называется частью или подмножеством множества B и пишут
; читается «A содержится в B » (
есть знак включения для множеств). Например, N Z R. Если и
, то говорят, что множества A и B равны и пишут
. В противном случае пишут
. Например, если
, а
множество корней уравнения
, то .

Совокупность элементов обоих множеств A и B называется объединением множеств и обозначается
(иногда
). Совокупность элементов, принадлежащих и A и B , называется пересечением множеств и обозначается
. Совокупность всех элементов множества ^ A , которые не содержатся в B , называется разностью множеств и обозначается
. Схематично эти операции можно изобразить так:

Если между элементами множеств можно установить взаимно-однозначное соответствие, то говорят, что эти множества эквивалентны и пишут
. Всякое множество A , эквивалентное множеству натуральных чисел N = называется счётным или исчислимым. Иначе говоря, множество называется счётным, если его элементы можно пронумеровать, расположить в бесконечную последовательность
, все члены которой различны:
при
, и его можно записать в виде . Прочие бесконечные множества называются несчётными . Счётными, кроме самого множества N, будут, например, множества
, Z. Оказывается, что множества всех рациональных и алгебраических чисел – счётные, а эквивалентные между собой множества всех иррациональных, трансцендентных, действительных чисел и точек любого интервала – несчётные. Говорят, что последние имеют мощность континуума (мощность – обобщение понятия количества (числа) элементов для бесконечного множества).

2 . Пусть есть два утверждения, два факта: и
. Символ
означает: «если верно , то верно и » или «из следует », « имплицирует есть корень уравнения обладает свойством от английского Exist – существовать.

Запись:

, или
, означает: существует (по крайней мере один) предмет , обладающий свойством . А запись
, или
, означает: все обладают свойством . В частности, можем записать:
и .

Уравнения с модулями, методы решений. Часть 1.

Прежде чем приступать к непосредственному изучению техник решения таких уравнений, важно понять суть модуля, его геометрическое значение. Именно в понимании определения модуля и его геометрическом смысле, заложены основные методы решения таких уравнений. Так называемый, метод интервалов при раскрытии модульных скобок, настолько эффективен, что используя его возможно решить абсолютно любое уравнение или неравенство с модулями. В этой части мы подробно изучим два стандартных метода: метод интервалов и метод замены уравнения совокупностью.

Однако, как мы убедимся, эти методы, всегда эффективные, но не всегда удобные и могут приводить к долгим и даже не очень удобным вычислениям, которые естественно потребуют большего времени на их решение. Поэтому важно знать и те методы, которые решение определенных структур уравнений значительно упрощают. Возведение обеих частей уравнения в квадрат, метод введения новой переменной, графический метод, решение уравнений, содержащих модуль под знаком модуля. Эти методы мы рассмотрим в следующей части.

Определение модуля числа. Геометрический смысл модуля.

Первым делом познакомимся с геометрическим смыслом модуля:

Модулем числа а (|а|) называют расстояние на числовой прямой от начала координат (точки 0) до точки А(а) .

Исходя из этого определения рассмотрим некоторые примеры:

|7| - это расстояние от 0 до точки 7, конечно оно равно 7. → | 7 |=7

|-5|- это расстояние от 0 до точки -5 и оно равно: 5. → |-5| = 5

Все мы понимаем расстояние не может быть отрицательным! Поэтому |х| ≥ 0 всегда!

Решим уравнение: |х |=4

Это уравнение можно прочитать так: расстояние от точки 0 до точки x равно 4. Ага, получается, от 0 мы можем двигаться как влево так и вправо, значит двигаясь влево на расстояние равное 4 мы окажемся в точке: -4, а двигаясь вправо окажемся в точке: 4. Действительно, |-4 |=4 и |4 |=4.

Отсюда ответ х=±4.

При внимательном изучении предыдущего уравнения можно заметить, что: расстояние вправо по числовой прямой от 0 до точки равно самой точке, а расстояние влево от 0 до числа равно противоположному числу! Понимая, что вправо от 0 положительные числа, а влево от 0 отрицательные, сформулируем определения модуля числа: модулем (абсолютной величиной) числа х (|х|) называется само число х , если х ≥0, и число –х , если х <0.

Здесь нам надо найти множество точек на числовой прямой расстояние от 0 до которых будет меньше 3, давайте представим числовую прямую, на ней точка 0, идем влево и считаем один (-1), два (-2) и три (-3), стоп. Дальше пойдут точки, которые лежат дальше 3 или расстояние до которых от 0 больше чем 3, теперь идем вправо: один, два, три, опять стоп. Теперь выделяем все наши точки и получаем промежуток х:(-3;3).

Важно, чтобы вы это четко видели, если пока не получается, нарисуйте на бумаге и посмотрите, чтобы эта иллюстрация была вам полностью понятна, не поленитесь и попробуйте в уме увидеть решения следующих заданий:

|х |=11, х=? |х|=-5, х=?

|х | <8, х-? |х| <-6, х-?

|x |>2, х-? |x|> -3, х-?

|π-3|=? |-х²-10|=?

|√5-2|=? |2х-х²-3|=?

|х²+2|=? |х²+4|=0

|х²+3х+4|=? |-х²+9| ≤0

Обратили внимание на странные задания во втором столбце? Действительно, расстояние не может быть отрицательным поэтому: |х|=-5- не имеет решений, конечно же оно не может быть и меньше 0, поэтому: |х| <-6 тоже не имеет решений, ну и естественно, что любое расстояние будет больше отрицательного числа, значит решением |x|> -3 являются все числа.

После того как вы научитесь быстро видеть рисунки с решениями читайте дальше.

В этой статье мы детально разберем модуль числа . Мы дадим различные определения модуля числа, введем обозначения и приведем графические иллюстрации. При этом рассмотрим различные примеры нахождения модуля числа по определению. После этого мы перечислим и обоснуем основные свойства модуля. В конце статьи поговорим о том, как определяется и находится модуль комплексного числа.

Навигация по странице.

Модуль числа – определение, обозначение и примеры

Сначала введем обозначение модуля числа . Модуль числа a будем записывать как , то есть, слева и справа от числа будем ставить вертикальные черточки, образующие знак модуля. Приведем пару примеров. Например, модуль −7 можно записать как ; модуль 4,125 записывается как , а модуль имеет запись вида .

Следующее определение модуля относится к , а следовательно, и к , и к целым, и к рациональным, и к иррациональным числам, как к составляющим частям множества действительных чисел. О модуле комплексного числа мы поговорим в .

Определение.

Модуль числа a – это либо само число a , если a – положительное число, либо число −a , противоположное числу a , если a – отрицательное число, либо 0 , если a=0 .

Озвученное определение модуля числа часто записывают в следующем виде , эта запись означает, что , если a>0 , , если a=0 , и , если a<0 .

Запись можно представить в более компактной форме . Эта запись означает, что , если (a больше или равно 0 ), и , если a<0 .

Также имеет место и запись . Здесь отдельно следует пояснить случай, когда a=0 . В этом случае имеем , но −0=0 , так как нуль считают числом, которое противоположно самому себе.

Приведем примеры нахождения модуля числа с помощью озвученного определения. Для примера найдем модули чисел 15 и . Начнем с нахождения . Так как число 15 – положительное, то его модуль по определению равен самому этому числу, то есть, . А чему равен модуль числа ? Так как - отрицательное число, то его модуль равен числу, противоположному числу , то есть, числу . Таким образом, .

В заключение этого пункта приведем один вывод, который очень удобно применять на практике при нахождении модуля числа. Из определения модуля числа следует, что модуль числа равен числу под знаком модуля без учета его знака , а из рассмотренных выше примеров это очень отчетливо видно. Озвученное утверждение объясняет, почему модуль числа называют еще абсолютной величиной числа . Так модуль числа и абсолютная величина числа – это одно и то же.

Модуль числа как расстояние

Геометрически модуль числа можно интерпретировать как расстояние . Приведем определение модуля числа через расстояние .

Определение.

Модуль числа a – это расстояние от начала отсчета на координатной прямой до точки, соответствующей числу a.

Данное определение согласуется с определением модуля числа, данного в первом пункте. Поясним этот момент. Расстояние от начала отсчета до точки, которой соответствует положительное число, равно этому числу. Нулю соответствует начало отсчета, поэтому расстояние от начала отсчета до точки с координатой 0 равно нулю (не нужно откладывать ни одного единичного отрезка и ни одного отрезка, составляющего какую-нибудь долю единичного отрезка, чтобы от точки O попасть в точку с координатой 0 ). Расстояние от начала отсчета до точки с отрицательной координатой равно числу, противоположному координате данной точки, так как равно расстоянию от начала координат до точки, координатой которой является противоположное число.

Например, модуль числа 9 равен 9 , так как расстояние от начала отсчета до точки с координатой 9 равно девяти. Приведем еще пример. Точка с координатой −3,25 находится от точки O на расстоянии 3,25 , поэтому .

Озвученное определение модуля числа является частным случаем определения модуля разности двух чисел.

Определение.

Модуль разности двух чисел a и b равен расстоянию между точками координатной прямой с координатами a и b .


То есть, если даны точки на координатной прямой A(a) и B(b) , то расстояние от точки A до точки B равно модулю разности чисел a и b . Если в качестве точки В взять точку O (начало отсчета), то мы получим определение модуля числа, приведенное в начале этого пункта.

Определение модуля числа через арифметический квадратный корень

Иногда встречается определение модуля через арифметический квадратный корень .

Для примера вычислим модули чисел −30 и на основании данного определения. Имеем . Аналогично вычисляем модуль двух третьих: .

Определение модуля числа через арифметический квадратный корень также согласуется с определением, данным в первом пункте этой статьи. Покажем это. Пусть a – положительное число, при этом число −a – отрицательное. Тогда и , если же a=0 , то .

Свойства модуля

Модулю присущ ряд характерных результатов - свойства модуля . Сейчас мы приведем основные и наиболее часто используемые из них. При обосновании этих свойств мы будем опираться на определение модуля числа через расстояние.

    Начнем с самого очевидного свойства модуля – модуль числа не может быть отрицательным числом . В буквенном виде это свойство имеет запись вида для любого числа a . Это свойство очень легко обосновать: модуль числа есть расстояние, а расстояние не может выражаться отрицательным числом.

    Переходим к следующему свойству модуля. Модуль числа равен нулю тогда и только тогда, когда это число есть нуль . Модуль нуля есть нуль по определению. Нулю соответствует начало отсчета, никакая другая точка на координатной прямой нулю не соответствует, так как каждому действительному числу поставлена в соответствие единственная точка на координатной прямой. По этой же причине любому числу, отличному от нуля, соответствует точка, отличная от начала отсчета. А расстояние от начала отсчета до любой точки, отличной от точки O , не равно нулю, так как расстояние между двумя точками равно нулю тогда и только тогда, когда эти точки совпадают. Приведенные рассуждения доказывают, что нулю равен лишь модуль нуля.

    Идем дальше. Противоположные числа имеют равные модули, то есть, для любого числа a . Действительно, две точки на координатной прямой, координатами которых являются противоположные числа, находятся на одинаковом расстоянии от начала отсчета, значит модули противоположных чисел равны.

    Следующее свойство модуля таково: модуль произведения двух чисел равен произведению модулей этих чисел , то есть, . По определению модуль произведения чисел a и b равен либо a·b , если , либо −(a·b) , если . Из правил умножения действительных чисел следует, что произведение модулей чисел a и b равно либо a·b , , либо −(a·b) , если , что доказывает рассматриваемое свойство.

    Модуль частного от деления a на b равен частному от деления модуля числа a на модуль числа b , то есть, . Обоснуем это свойство модуля. Так как частное равно произведению , то . В силу предыдущего свойства имеем . Осталось лишь воспользоваться равенством , которое справедливо в силу определения модуля числа.

    Следующее свойство модуля записывается в виде неравенства: , a , b и c – произвольные действительные числа. Записанное неравенство представляет собой ни что иное как неравенство треугольника . Чтобы это стало понятно, возьмем точки A(a) , B(b) , C(c) на координатной прямой, и рассмотрим вырожденный треугольник АВС , у которого вершины лежат на одной прямой. По определению модуля разности равен длине отрезка АВ , - длине отрезка АС , а - длине отрезка СВ . Так как длина любой стороны треугольника не превосходит сумму длин двух других сторон, то справедливо неравенство , следовательно, справедливо и неравенство .

    Только что доказанное неравенство намного чаще встречается в виде . Записанное неравенство обычно рассматривают как отдельное свойство модуля с формулировкой: «Модуль суммы двух чисел не превосходит сумму модулей этих чисел ». Но неравенство напрямую следует из неравенства , если в нем вместо b положить −b , и принять c=0 .

Модуль комплексного числа

Дадим определение модуля комплексного числа . Пусть нам дано комплексное число , записанное в алгебраической форме , где x и y – некоторые действительные числа, представляющие собой соответственно действительную и мнимую части данного комплексного числа z , а – мнимая единица.

Определение.

Модулем комплексного числа z=x+i·y называется арифметический квадратный корень из суммы квадратов действительной и мнимой части данного комплексного числа.

Модуль комплексного числа z обозначается как , тогда озвученное определение модуля комплексного числа может быть записано в виде .

Данное определения позволяет вычислить модуль любого комплексного числа в алгебраической форме записи. Для примера вычислим модуль комплексного числа . В этом примере действительная часть комплексного числа равна , а мнимая – минус четырем. Тогда по определению модуля комплексного числа имеем .

Геометрическую интерпретацию модуля комплексного числа можно дать через расстояние, по аналогии с геометрической интерпретацией модуля действительного числа.

Определение.

Модуль комплексного числа z – это расстояние от начала комплексной плоскости до точки, соответствующей числу z в этой плоскости.

По теореме Пифагора расстояние от точки O до точки с координатами (x, y) находится как , поэтому, , где . Следовательно, последнее определение модуля комплексного числа согласуется с первым.

Данное определение также позволяет сразу указать, чему равен модуль комплексного числа z , если оно записано в тригонометрической форме как или в показательной форме . Здесь . Например, модуль комплексного числа равен 5 , а модуль комплексного числа равен .

Можно также заметить, что произведение комплексного числа на комплексно сопряженное число дает сумму квадратов действительной и мнимой части. Действительно, . Полученное равенство позволяет дать еще одно определение модуля комплексного числа.

Определение.

Модуль комплексного числа z – это арифметический квадратный корень из произведения этого числа и числа, комплексно сопряженного с ним, то есть, .

В заключение отметим, что все свойства модуля, сформулированные в соответствующем пункте, справедливы и для комплексных чисел.

Список литературы.

  • Виленкин Н.Я. и др. Математика. 6 класс: учебник для общеобразовательных учреждений.
  • Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б. Алгебра: учебник для 8 кл. общеобразовательных учреждений.
  • Лунц Г.Л., Эльсгольц Л.Э. Функции комплексного переменного: учебник для вузов.
  • Привалов И.И. Введение в теорию функций комплексного переменного.