В большинстве задач, сводящихся к исследованию квадратичной функции

у = f (х ) = ax 2 + bx + c ,

полезно представить себе её график:

  • если он пересекает ось Ох в двух точках (корнях) х 1 и х 2 , то между корнями значения функции у = f (х ) противоположны по знаку числу а , а вне отрезка [х 1 ; х 2 ] - совпадают по знаку с числом а;
  • при этом вершина параболы у = f (х ) (абсцисса которой равна полусумме корней) соответствует точке экстремума функции у = f (х ): минимума, если а > 0, и максимума, если а < 0.

В ряде задач полезно использовать такой факт:

  • если непрерывная на отрезке [а, b] функция у = f (х ) принимает в концах этого отрезка значения разных знаков, то между точками a и b лежит хотя бы один корень уравнения f (х ) = 0.

Задачи с решениями

1. Известно, что a + b + c < 0 и что уравнение ax 2 + bx + c = 0 не имеет действительных корней. Определить знак коэффициента с .

f (x ) = ax 2 + bx + c не имеет действительных корней, значит, он сохраняет один и тот же знак для всех значений аргумента х. Так как f (1) = a + b + c < 0, то f (0) = c < 0.

Ответ: c < 0.

2. Может ли квадратное уравнение ax 2 + bx + c = 0 с целыми коэффициентами иметь дискриминант равный 23?

Допустим, что дискриминант указанного уравнения равен числу 23. Тогда можно записать:

b 2 - 4ac = 23,

b 2 - 25 = 4ac - 2

Или

(b - 5) ·(b + 5) = 2(2ас - 1).

Заметим, что b - 5 и b + 5 - числа одинаковой чётности, поэтому их произведение, если оно чётно, делится на 4. Правая часть последнего равенства есть чётное число, не делящееся на 4. Полученно противоречие, значит, сделаное допущение ложно.

Ответ: нет.

3. Найти все пары действительных чисел p , q , для которых многочлен x 4 + px 2 + q , имеет 4 действительных корня, образующих арифметическую прогрессию.

Многочлен x 4 + px 2 + q , имеет 4 действительных корня в том и только в том случае, если многочлен у 2 + pу + q (относительно у = x 2) имеет два неотрицательных корня, т.е. числа р и q удовлетворяют условиям

p 2 > 4q , q > 0, p < 0.

Если исходный многочлен имеет 4 действительных корня (а именно: -х 1 , -х 2 , х 1 , х 2 , где без ограничения общности считаем, что х 1 > х 2 > 0), то они образуют арифметическую прогрессию тогда и только тогда, когда совместна система

2х 2 = - х 1 + х 2 , x 1 2 + x 2 2 = -p , x 1 2 · x 2 2 = q

(смотрите теорему Виета и обратную к ней), т.е. когда q = 0,09 · р 2 . Таким образом, все искомые пары чисел р , q описываются условиями

p < 0, q = 0,09 · р 2

(неравенства p 2 > 4q и q > 0,вытекают из последнего равенства).

4. Пусть a , b , c - действительные числа. Доказать, что уравнение

(x - a )(x - b ) + (x - b )(x - c ) + (x - c )(x - a ) = 0

всегда имеет хотя бы один действительный корень. Выяснить, когда таких корня два.

Обозначим

f (x ) = (x - a )(x - b ) + (x - b )(x - c ) + (x - c )(x - a ).

Без ограничения общности рассуждений можно считать, что a < b < c . Рассмотрим все возможные случаи:

Если a = b = c , то можно записать f (x ) = 3(x - a ) 2 , и, очевидно, f (а ) = 0: а - корень;

Если a = b , то f (x ) = (x - a ) 2 + 2 (x - а )(x - c ), и f (а ) = 0: а - корень;

Если b = c , то f (x ) = 2(x - a )(x - b ) + (x - b ) 2 , и f (b ) = 0: b - корень;

Если a < b < c , то

f (a ) = (a - b ) (a - c ) > 0,

f (b ) = (b - a ) (b - c ) < 0,

f (c ) = (c - a ) (c - b ) > 0.

Так как f (x ) - непрерывная квадратичная функция, принимающая значения разного знака на концах интервалов (a ; b ) и (b ; c ), то она имеет два различных действительных корня х 1 и х 2 . Более того

a < х 1 < b < х 2 < c .

Решение задачи окончено.

5. Дан многочлен ax 2 + bx + c . За один ход разрешается заменить х на (х - k) или заменить многочлен целиком на многочлен

cx 2 + (b + 2 c )x + (a + b + c ).

Можно ли после нескольких ходов из многочлена x 2 - 3x - 4 получить многочлен x 2 - 2x - 5?

Нетрудно убедиться, что при указанных заменах исходного многочлена его дискриминант не изменяется. Значит, если из многочлена x 2 - 3x - 4 можно получить многочлен x 2 - 2x - 5, то их дискриминанты должны быть равны. Однако это не так.

Ответ: нет.

6. Найдите все значения a и b , такие, что для любого х из отрезка [-1; 1] будет выполняться неравенство

| 2x 2 + ax + b | < 1.

Пусть числа а и b такие, что для любого х из отрезка [-1; 1] выполняется данное неравенство, т. е,

1 < 2x 2 + ax + b < 1.

Полагая здесь последовательно х = 0, х = 1, х = - 1, получаем, что а и b удовлетворяют следующей системе неравенств:

1 < b < 1,

3 < a + b < -1,

3 < b - а < - 1.

Сложив почленно два последних неравенства, подучим

3 < b < - 1.

Отсюда и из первого неравенства следует, что b = -1. Тогда а удовлетворяет следующим двум неравенствам:

2 < a < 0,

0 < a < -2,

и поэтому, а = 0. Таким образом, если существуют числа а и b , удовлетворяющие условию задачи, то

а = 0, b = - 1

и других решений задача не имеет.

Чтобы доказать, что найденные значения а = 0, b = - 1 являются решением задачи, остается проверить, что для любого х из отрезка [-1; 1] верно двойное неравенство

1 < 2x 2 - 1 < 1.

А оно равносильно неравенству

0 < 2x 2 < 2,

которое, очевидно, справедливо на числовом промежутке [-1; 1].

Ответ: а = 0, b = - 1.

7. По трём прямолинейным дорогам с постоянными скоростями идут три пешехода. В начальный момент времени они не находились на одной прямой. Докажите, что они могут оказаться на одной прямой не более двух раз.

Поставим каждому из пешеходов в соответствие точку в прямоугольной системе координат. Точки (х 1 ; у 1), (х 2 ; у 2), (х 3 ; у 3) лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда

(х 1 - х 3)(у 2 - у 3) = (х 2 - х 3) (у 1 - у 3).

Так как скорости пешеходов постоянны, то х 1 (t ), у 1 (t ), х 2 (t ), у 2 (t ), х 3 (t ) и у 3 (t ) - линейные функции от времени t и последнее равенство является квадратным уравнением относительно t , которое может иметь не более двух решений t 1 и t 2 . Это и есть те два возможных момента времени, когда все три пешехода могут оказаться на одной прямой.

8. На координатной плоскости Oхy нарисован график функции y = x 2 . Потом оси координат стёрли, осталась только парабола. Как при помощи циркуля и линейки восстановить оси координат и единицу длины?

Докажем следующую лемму.

Лемма. Пусть M и N - середины двух параллельных хорд параболы. Тогда прямая MN параллельна оси параболы.

Доказательство. Пусть хорды AB и CD параболы лежат на параллельных прямых

y = kx + a и y = kx + b ,

тогда абсциссы точек A , B , C , D - это корни уравнений

x 2 = kx + a и x 2 = kx + b ,

а абсциссы точек M и N - полусуммы корней этих уравнений, то есть по теореме Виета равны k /2. Следовательно, точки M и N лежат на прямой х = k /2, которая параллельна оси Oy . Лемма доказана.

Вернёмся к исходной задаче.

Последовательно осуществляем следующие построения:

1) две параллельные прямые, каждая из которых пересекает параболу в двух точках;

2) прямую через середины получающихся отрезков;

3) перпендикуляр к этой прямой, пересекающий параболу в двух точках А и В ;

4) серединный перпендикуляр к отрезку АВ - это ось Оу ;

5) ось Ох перпендикулярна Оу в точке пересечения с параболой;

6) единичный отрезок - абсцисса пересечения прямой у = х с параболой.

9. Учитель написал на доске квадратный трехчлен х 2 + 10х + 20, после чего по очереди каждый из учеников увеличил или уменьшил на единицу либо коэффициент при х, либо свободный член, но не оба сразу. В результате на доске оказался написан квадратный трехчлен х 2 + 20х +10. Верно ли, что в некоторый момент на доске был написан квадратный трехчлен с целыми корнями?

Первый способ.

Заметим, что при каждом изменении трехчлена его значение в точке х = - 1 изменяется на 1 (в ту или другую сторону). Значение первого трехчлена

f (x ) = х 2 + 10х + 20

В этой точке равно f (-1) = 11, а последнего,

g (x ) = х 2 + 20х +10,

— g (-1) = -9. Поэтому в какой-то промежуточный момент на доске был написан трехчлен

h (х ) = х 2 + pх + q ,

Для которого h (-1)=0. Оба его корня - целые числа: один равен -1, другой по теореме Виета равен -q .

Второй способ.

Каждому квадратному трёхчлену

x 2 + bx + c

поставим в соответствие точку координатной плоскости Оbc , где вдоль оси Оb будем откладывать значения второго коэффициента, а вдоль Ос - свободного члена. Многочленам

х 2 + 10х + 20 и х 2 + 20х +10

Будут соответствовать точки

А (10; 20) и В (20; 10),

Соответственно. Предложенные в условии операции предполагают перемещение от точки А к точке В вдоль узлов некоторой ломаной L. У злы L - некоторые целочисленные точки плоскости Оbc , а длина каждого звена L равна 1 (соседние звенья могут лежать на одной прямой).

Так как точки А и В расположены в разных полуплоскостях относительно прямой

с = b - 1,

то ломаная L одним из своих узлов имеет точку этой прямой. Значит, одним из промежуточных многочленов будет многочлен вида

х 2 + b 0 х + (b 0 - 1)

с целым b 0 и целыми корнями -1 и 1 - b 0 .

10. Какова вероятность того, что корни квадратного уравнения x 2 + 2bx + c = 0 действительны?

Для того чтобы вопрос задачи имел смысл, предположим, что точка (b ; c ) равномерно распределена на квадрате с центром в начале координат и стороной 2B . Решим задачу при фиксированном значении B , а затем устремим B к бесконечности, так что b и c могут принимать любые значения.


На рисунке более тёмная выделенная область отвечает случаю действительных корней,

более светлая - комплексных.

Для того чтобы уравнение имело действительные корни, необходимо и достаточно, чтобы

b 2 - c > 0.

На приведенном рисунке изображена парабола с = b 2 и показана область, где наше уравнение имеет действительные корни для B = 4.

Нетрудно подсчитать, что площадь «комплексной» области равна (4 · B 3/2)/3 (при B > 1), а площадь всего квадрата, конечно, равна 4B 2 . Следовательно, вероятность того, что корни комплексные, равна 1/(3√ В ). При B = 4 она составляет 1/6. Действительно,

(4 · B 3/2) / 3 = 1 = 1
4 B 2 3 · √ В 3 · √ 4

С ростом B значение дроби 1/√ В стремится к нулю, так что вероятность того, что корни вещественные, стремится к 1.

Замечание . Рассмотренная задача отличается от такой же задачи, связанной с уравнением

ax 2 + 2bx + c = 0.

Конечно, можно разделить на a , но если a , b и c были независимы и равномерно распределены в некотором кубе, то b /a и c /a уже зависимы и распределены неравномерно.

Задачи без решений

1. Корни уравнения х 2 + pх + q = 0, у которого p + q = 198, являются целыми числами. Найдите эти корни.

2. В квадратном уравнении х 2 + pх + q = 0 коэффициенты p и q независимо пробегают все значения от -1 до +1 включительно. Найти множество значений, которые при этом могут принимать действительные корни данного уравнения.

f (х ) = ax 2 + bx + c таков, что уравнение f (х ) = x не имеет действительных корней. Докажите, что уравнение f (f (х )) = х так же не имеет вещественных корней.

4. Найдите уравнение общей касательной к параболам у = x 2 + 4x + 8 и у = x 2 + 8x + 4.

5. Пусть f (x ) = x 2 + 12x + 30. Решите уравнение f (f (f (f (f (x ))))) = 0.

Квадратный трехчлен ax 2 +bx+c можно разложить на линейные множители по формуле:

ax 2 +bx+c=a (x-x 1)(x-x 2) , где x 1, x 2 — корни квадратного уравнения ax 2 +bx+c=0.

Разложить квадратный трехчлен на линейные множители:

Пример 1). 2x 2 -7x-15.

Решение. 2x 2 -7x-15=0.

a =2; b =-7; c =-15. Это общий случай для полного квадратного уравнения. Находим дискриминант D .

D=b 2 -4ac=(-7) 2 -4∙2∙(-15)=49+120=169=13 2 >0; 2 действительных корня.

Применим формулу: ax 2 +bx+c=a (x-x 1)(x-x 2).

2x 2 -7x-15=2 (х+1,5)(х-5)=(2х+3)(х-5). Мы представили данный трехчлен 2x 2 -7x-15 2х+3 и х-5.

Ответ: 2x 2 -7x-15=(2х+3)(х-5).

Пример 2). 3x 2 +2x-8 .

Решение. Найдем корни квадратного уравнения:

a =3; b =2; c =-8. Это частный случай для полного квадратного уравнения с четным вторым коэффициентом (b =2). Находим дискриминант D 1 .

Применим формулу: ax 2 +bx+c=a (x-x 1)(x-x 2).

Мы представили трехчлен 3x 2 +2x-8 в виде произведения двучленов х+2 и 3х-4 .

Ответ: 3x 2 +2x-8=(х+2) (3х-4) .

Пример 3) . 5x 2 -3x-2.

Решение. Найдем корни квадратного уравнения:

a =5; b =-3; c =-2. Это частный случай для полного квадратного уравнения с выполненным условием: a+b+c=0 (5-3-2=0). В таких случаях первый корень всегда равен единице, а второй корень равен частному от деления свободного члена на первый коэффициент:

Применим формулу: ax 2 +bx+c=a (x-x 1)(x-x 2).

5x 2 -3x-2=5 (х-1)(х+0,4)=(х-1)(5х+2). Мы представили трехчлен 5x 2 -3x-2 в виде произведения двучленов х-1 и 5х+2.

Ответ: 5x 2 -3x-2=(х-1) (5х+2).

Пример 4). 6x 2 +x-5.

Решение. Найдем корни квадратного уравнения:

a =6; b =1; c =-5. Это частный случай для полного квадратного уравнения с выполненным условием: a-b+c=0 (6-1-5=0). В таких случаях первый корень всегда равен минус единице, а второй корень равен минус частному от деления свободного члена на первый коэффициент:

Применим формулу: ax 2 +bx+c=a (x-x 1)(x-x 2).

Мы представили трехчлен 6x 2 +x-5 в виде произведения двучленов х+1 и 6х-5 .

Ответ: 6x 2 +x-5=(х+1) (6х-5) .

Пример 5). x 2 -13x+12.

Решение. Найдем корни приведенного квадратного уравнения:

x 2 -13x+12=0. Проверим, можно ли применить . Для этого найдем дискриминант и убедимся, что он является полным квадратом целого числа.

a =1; b =-13; c =12. Находим дискриминант D.

D=b 2 -4ac =13 2 -4∙1∙12=169-48=121=11 2 .

Применим теорему Виета: сумма корней должна быть равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней должно быть равно свободному члену:

x 1 +x 2 =13; x 1 ∙x 2 =12. Очевидно, что x 1 =1; x 2 =12.

Применим формулу: ax 2 +bx+c=a (x-x 1)(x-x 2).

x 2 -13x+12=(х-1)(х-12).

Ответ: x 2 -13x+12=(х-1) (х-12) .

Пример 6). x 2 -4x-6.

Решение. Найдем корни приведенного квадратного уравнения:

a =1; b =-4; c =-6. Второй коэффициент — четное число. Находим дискриминант D 1 .

Дискриминант не является полным квадратом целого числа, поэтому, теорема Виета нам не поможет, и мы найдем корни по формулам для четного второго коэффициента:

Применим формулу: ax 2 +bx+c=a (x-x 1)(x-x 2) и запишем ответ.

КВАДРАТНЫЙ ТРЕХЧЛЕН III

§ 61. Квадратные неравенства

Неравенства вида ax 2 + bx + c > 0, ax 2 + bx + c < 0, ax 2 + bx + c > 0, ax 2 + bx + c < 0, где a, b и с - заданные числа и а =/=0, называются квадратными (или неравенствами второй степени ).

В этом параграфе мы ограничимся лишь рассмотрением неравенств вида

ax 2 + bx + c > 0.

Такие неравенства лучше всего решать, используя геометрическую иллюстрацию. Рассмотрим отдельно два случая:

а > 0 и а < 0.

Случай 1 . а > 0. В этом случае парабола y = ax 2 + bx + c направлена вверх.
Если D = b 2 - 4ac < 0, то квадратный трехчлен ax 2 + bx + c не имеет действительных корней. Значит, парабола y = ax 2 + bx + c не пересекает оси х и расположена целиком выше оси х (рис. 83).

Это означает, что в данном случае неравенство ax 2 + bx + c > 0 выполняется при любых значениях х .

Если D = b 2 - 4ac > 0, то парабола y = ax 2 + bx + c пересекает ось х в двух точках (рис. 84) с абсциссами:

Поэтому ax 2 + bx + c > 0 при х < x 1 а также при х > x 2 .

Наконец, если D = b 2 - 4ac = 0, то трехчлен ax 2 + bx + c имеет один корень
х = - b / 2 a и, следовательно, представим в виде а (х + b / 2 a ) 2

В этом случае парабола у = ax 2 + bx + c касается оси х в точке с абсциссой - b / 2 a (рис. 85).

Поэтому ax 2 + bx + c > 0 при всех значениях х , кроме х = - b / 2 a

Случай 2 . а < 0. В этом случае парабола у = ax 2 + bx + c направлена вниз.
Если D = b 2 - 4ac < 0, то уравнение ax 2 + bx + c = 0 не и имеет действительных корней и, значит, парабола у = ax 2 + bx + c лежит целиком ниже оси х (рис. 86).

Поэтому неравенство ax 2 + bx + c > х.

Если D = b 2 - 4ac > 0, то парабола у = ax 2 + bx + c пересекает ось х в двух точках с абсциссами

В этом случае ax 2 + bx + c > 0 при тех значениях х , которые расположены между корнями уравнения ax 2 + bx + c = 0, то есть при

x 1 < x < x 2 .

Наконец, если D= b 2 - 4ac = 0, то парабола у = ax 2 + bx + c касается оси х в точке с абсциссой х = - b / 2 a (рис. 88).

В этом случае неравенство ax 2 + bx + c > 0 не выполняется ни при каких значениях х .

Замечание 1 .Из рассмотренного вытекает, что если дискриминант квадратного трехчлена ax 2 + bx + c положителен, то этот трехчлен принимает как положительные, так и отрицательные значения. Если же дискриминант отрицателен, то все значения квадратного трехчлена имеют один и тот же знак, а именно знак коэффициента при x 2 .

Замечание 2. При решении неравенства ax 2 + bx + c > 0 нет необходимости точно строить параболу у = ax 2 + bx + c (например, совсем не нужно искать вершину параболы, точку пересечения с осью у и т. д.). Достаточно лишь грубо представить себе эту кривую. Единственное, что нужно сделать абсолютно точно, - это найти корни уравнения ax 2 + bx + c = 0 (при D > 0).

Вводные замечания и простейшие примеры

Пример 1. При каких значениях a уравнение ax 2 + 2x + 1 = 0 имеет два различных корня?

Решение.

Данное уравнение является квадратным относительно переменной x при a № 0 и имеет различные корни, когда его дискриминант

т. е. при a < 1.

Кроме того, при a = 0 получается уравнение 2x + 1 = 0, имеющее один корень.

Таким образом, a О (– Ґ ; 0) И (0; 1).

Правило 1. Если коэффициент при x 2 многочлена второй степени содержит параметр, необходимо разбирать случай, когда он обращается в нуль.

Пример 2. Уравнение ax 2 + 8x + c = 0 имеет единственный корень, равный 1. Чему равны a и c?

Решение. Начнем решение задачи с особого случая a = 0, уравнение имеет вид 8x + c = 0. Это линейное уравнение имеет решение x 0 = 1 при c = – 8.

При a № 0 квадратное уравнение имеет единственный корень, если

Кроме того, подставив корень x 0 = 1 в уравнение, получим a + 8 + c = 0.

Решая систему двух линейных уравнений, найдем a = c = – 4.

Теорема 1.

Для приведенного квадратного трехчлена y = x 2 + px + q (при условии p 2 і 4q)
сумма корней x 1 + x 2 = – p, произведение корней x 1 x 2 = q, разность корней равна
а сумма квадратов корней x 1 2 + x 2 2 = p 2 – 2q.

Теорема 2.

Для квадратного трехчлена y = ax 2 + bx + c с двумя корнями x 1 и x 2 имеет место
разложение ax 2 + bx + c = a(x – x 1)(x – x 2), для трехчлена с одним корнем x 0 – разложение
ax 2 + bx + c = a(x – x 0) 2 .

Замечание. Часто про квадратные уравнения с дискриминантом, равным нулю и имеющим, соответственно, один корень, говорят, что оно имеет два совпадающих корня (?). Это связано с разложением многочлена на множители, приведенным в теореме 2. (Правильно говорить и понимать в этом случае нужно «один корень кратности два». – Прим. ред.)

Будем обращать внимание на эту тонкость и выделять случай единственного корня кратности 2.

Пример 3. В уравнении x 2 + ax + 12 = 0 определить a таким образом, чтобы разность корней уравнения равнялась единице.

Решение. Разность корней
откуда a = ± 7.

Пример 4. При каких a сумма квадратов корней уравнения 2x 2 + 4x + a = 0 равна 6?

Решение. Запишем уравнение в виде
откуда x 1 2 + x 2 2 = 4 – a = 6 и a = – 2.

Пример 5. При всех a решить уравнение ax 2 – 2x + 4 = 0.

Решение. Если a = 0, то x = 2. Если a № 0, то уравнение становится квадратным. Его дискриминант
равен D = 4 – 16a. Если D < 0, т. е. a > ,
уравнение решений не имеет. Если D = 0, т. е. a = ,
x = 4. Если D > 0, т. е. a < ,
уравнение имеет два корня

Расположение корней квадратного трехчлена

Графиком квадратного уравнения является парабола, а решениями квадратного уравнения – абсциссы точек пересечения этой параболы с осью Ox. Основой решения всех задач этого параграфа является изучение особенностей расположения парабол с заданными свойствами на координатной плоскости.

Пример 6. При каких a корни уравнения x 2 – 2ax + a 2 – a – 6 = 0 имеют разные знаки?

Решение (рис. 1).

Квадратное уравнение либо не имеет решений (график – парабола вида D), либо имеет один или два положительных корня (парабола C), либо имеет один иди два отрицательных корня (парабола A), либо имеет корни разных знаков (парабола B).

Легко сообразить, что последний тип парабол, в отличие от прочих, характеризуется тем, что f(0) < 0. Таким образом, f(0) = a 2 – a – 6 < 0, откуда 0 < a < .

Данное решение допускает обобщение, которое мы сформулируем как следующее правило.

Правило 2. Для того чтобы уравнение ax 2 + bx + c = 0

имело два разных корня x 1 и x 2 таких, что x 1 < M < x 2 , необходимо и достаточно, чтобы a f(M) < 0.

Пример 7. При каких a уравнение x 2 – 2ax + a 2 – a – 6 = 0 имеет два разных корня одного знака?

Решение. Нас интересуют параболы типа A и C (см. рис. 1). Они характеризуются тем, что

откуда a О (– 6; – 2) И (3; + Ґ ).

Пример 8. При каких a уравнение x 2 – 2ax + a 2 – a – 6 = 0 имеет два разных положительных корня?

Решение. Нас интересуют параболы типа C на рис. 1.

Чтобы уравнение имело корни, потребуем

Так как оба корня уравнения по условию должны быть положительными, то и абсцисса вершины параболы, лежащая между корнями, положительна: x 0 = a > 0.

Ордината вершины f(x 0) < 0 в силу того, что мы потребовали существование корней, поэтому если, кроме того, потребовать выполнение условия f(x 0) > 0, то в силу непрерывности исследуемой функции найдется точка x 1 О (0; x 0) такая, что f(x 1) = 0. Очевидно, что это меньший корень уравнения.

Итак, f(0) = a 2 – a – 6 > 0, и, собирая все условия вместе, получим систему

с решением a О (3; + Ґ ).

Пример 9. При каких a уравнение x 2 – 2ax + a 2 – a – 6 имеет два разных отрицательных корня?

Решение. Изучив параболы типа A на рис. 1, получим систему

откуда a О (– 6; – 2).

Обобщим решение предыдущих задач в виде следующего правила.

Правило 3. Для того чтобы уравнение ax 2 + bx + c = 0 имело два разных корня x 1 и x 2 , каждый из которых больше (меньше) M, необходимо и достаточно, чтобы

Пример 10. Функция f(x) задается формулой

Найдите все значения параметра a, при которых уравнение f(x) = 0 имеет хотя бы одно решение.

Решение. Все возможные решения данного уравнения получаются как решения квадратного уравнения

x 2 – (4a + 14)x + 4a 2 + 33a + 59 = 0

с дополнительным условием, что хотя бы один (очевидно, больший) корень x 2 і a.

Естественно, чтобы уравнение имело корни, должно быть = – 5(a + 2) і 0,
откуда a Ј – 2.

Графиком левой части выделенного уравнения является парабола, абсцисса вершины которой равна x 0 = 2a + 7. Решение задачи дают два типа парабол (рис. 2).

A: x 0 і a, откуда a і – 7. В этом случае больший корень многочлена x 2 і x 0 і a.

B: x 0 < a, f(a) Ј 0, откуда .
В этом случае также больший корень многочлена x 2 і a.

Окончательно .

Три решения одного неравенства

Пример 11. Найти все значения параметра a, при которых неравенство x 2 – 2ax + a 2 + 2a – 3 > 0

выполняется:

1) при всех значениях x;
2) при всех положительных значениях x;
3) при всех значениях x О [– 1; 1].

Решение.

Первый способ.

1) Очевидно данное неравенство выполняется при всех x, когда дискриминант отрицателен, т. е.

= a 2 – (a 2 + 2a – 3) = – 2a + 3 < 0,

откуда a >.

2) Чтобы лучше понять то, что требуется в условии задачи, применим простой прием: на координатной плоскости нарисуем какие-нибудь параболы, а потом возьмем и закроем левую относительно оси Oy полуплоскость. Та часть параболы, которая останется видимой, должна быть выше оси Ox.

Условие задачи выполняется в двух случаях (см. рис. 3):

< 0, откуда a > ;

B: оба корня (может быть, один, но двукратный) уравнения x 2 – 2ax + a 2 + 2a – 3 = 0 находятся левее начала координат. По правилу 3 это условие эквивалентно системе неравенств D і 0, x 0 Ј 0 и f(0) і 0.

Однако при решении данной системы первое неравенство можно опустить, так как если даже какое-то значение a не удовлетворяет условию D і 0, то оно автоматически попадает в решение пункта A. Таким образом, решаем систему

откуда a Ј – 3.

Объединяя решения пунктов A и B, получим

ответ:

3) Условие задачи выполняется в трех случаях (см. рис. 4):

A: график функции y = x 2 – 2ax + a 2 + 2a – 3 лежит выше оси Ox, т. е. D < 0, откуда a > ;

B: оба корня (может быть, один кратности 2) уравнения x 2 – 2ax + a 2 + 2a – 3 = 0 находятся левее – 1. Это условие эквивалентно, как мы знаем из правила 3, системе неравенств D і 0, x 0 < – 1, f(– 1) > 0;

C: оба корня уравнения x 2 – 2ax + a 2 + 2a – 3 = 0 находятся правее 1.
Это условие эквивалентно D і 0, x 0 > 1, f(1) > 0.

Однако в пунктах B и C, также как и в решении предыдущей задачи, неравенство, связанное с дискриминантом, можно опустить.

Соответственно получаем две системы неравенств

Рассмотрев все случаи, получим результат: a >
в пункте
в C.
Ответ задачи – объединение этих трех множеств.

Второй способ. Для того чтобы выполнялось условие каждого из трех пунктов задачи, наименьшее значение функции
y = x 2 – 2ax + a 2 + 2a – 3 на каждом из соответствующих промежутков должно быть положительно.

1) Вершина параболы y = x 2 – 2ax + a 2 + 2a – 3 находится в точке (a; 2a – 3), поэтому наименьшее значение функции на всей числовой прямой равно 2a – 3, и a > .

2) на полуоси x і 0 наименьшее значение функции равно f(0) = a 2 + 2a – 3, если a < 0, и f(a) = 2a – 3, если a і 0. Разбирая оба случая, получим

3) Наименьшее на отрезке [– 1; 1] значение функции равно

Поскольку наименьшее значение должно быть положительно, получаем системы неравенств

Решение этих трех систем – множество

Третий способ. 1) Вершина параболы y = x 2 – 2ax + a 2 + 2a – 3

находится в точке (a; 2a – 3). Нарисуем на координатной плоскости множество, которое образуют вершины всех парабол при различных a (рис. 5).

Это – прямая y = 2x – 3. Напомним, что каждой точке этой прямой соответствует свое значение параметра, и из каждой точки этой прямой «выходит» парабола, соответствующая данному значению параметра. Параболы, целиком находящиеся над осью Ox, характеризуются условием 2a – 3 > 0.

2) Решениями этого пункта являются все решения первого пункта, и, кроме того, параболы, для которых a – отрицательны, и f(0) = a 2 + 2a – 3 і 0.

3) Из рис. 5 видно, что нас интересуют параболы, для которых либо a отрицательно и f(– 1) = a 2 + 4a – 2 > 0,
либо a положительно и f(1) = a 2 – 2 > 0.

Уравнения и неравенства, сводящиеся к квадратным

Пример 12. При каких значениях a уравнение 2x 4 – 2ax 2 + a 2 – 2 = 0 не имеет решений?

Решение. Сделав замену y = x 2 , получим квадратное уравнение f(y) = 2y 2 – 2ay + a 2 – 2 = 0.

Полученное уравнение не имеет решения, когда D < 0. Кроме того, первоначальное уравнение не имеет решений, когда корни уравнения f(y) = 0 отрицательны.

Эти условия могут быть записаны в виде совокупности

откуда

Пример 13. При каждом значении параметра a решить уравнение cos x sin 2x = asin 3x.

Решение. Так как 2cos x sin 2x = sin x + sin 3x и sin 3x = 3sin x – 4sin 3 x,

то уравнение запишется в виде sin x (sin 2 x (4a – 2) – (3a – 2)) = 0.

Отсюда получаем решения x = p n, n О Z при любом a. Уравнение

имеет решения

не совпадающие с решениями первого уравнения, только при условии

Последние ограничения эквивалентны

Ответ: x = p n, n О Z при любом a; кроме того,

Пример 14. Найти все значения параметра a, при каждом из которых неравенство
a 2 + 2a – sin 2 x – 2acos x > 2 выполняется для любого числа x.

Решение. Преобразуем неравенство к виду cos 2 x – 2acos x + a 2 + 2a – 3 > 0

и сделаем замену t = cos x. Важно заметить, что параметр t пробегает значения от – 1 до 1, поэтому задача переформулируется в таком виде: найти все a такие, что

t 2 – 2at + a 2 + 2a – 3 > 0

выполняется при всех t О [– 1; 1]. Эту задачу мы уже решили ранее.

Пример 15. Определить, при каких значениях a уравнение log 3 (9 x + 9a 3) = x имеет решения, и найти их.

Решение. Преобразуем уравнение к виду 9 x – 3 x + 9a 3 = 0

и, сделав замену y = 3 x , получим y 2 – y + 9a 3 = 0.

В случае, когда дискриминант отрицательный, уравнение решений не имеет. Когда дискриминант

D = 1 – 36a 3 = 0, уравнение имеет единственный корень ,
и x = – log 3 2. Наконец, когда дискриминант положительный, т. е. ,
исходное уравнение имеет один корень ,
а если, кроме того, выражение 1 – положительно,
то уравнение имеет еще второй корень .

Итак, окончательно получаем

,

решений нет при остальных a.

Пример 16. Для каждого значения параметра a решить уравнение sin 4 x + cos 4 x + sin 2 x + a = 0.

Решение. Так как
уравнение перепишем в виде sin 2 x – 2sin x – 2a – 2 = 0.
Пусть y = sin 2x, тогда y 2 – 2y – 2a – 2 = 0 (| y | Ј 1).

График функции, стоящей в левой части уравнения, – парабола с вершиной, абсцисса которой y 0 = 1; значение функции в точке y = – 1 равно 1 – 2a; дискриминант уравнения равен 8a + 12. Это означает, что больший корень y 2 уравнения y 2 – 2y – 2a – 2 = 0, даже если он существует, больше 1, и соответствующее уравнение sin 2x = y 2 решений не имеет. 3. При каких значениях a уравнение 2x 2 + (3a + 1)x + a 2 + a + 2 = 0 имеет хотя бы один корень?
4. Уравнение ax 2 + bx + 5 = 0 имеет единственный корень, равный 1. Чему равны a и b?
5. При каких значениях параметра a корни квадратного уравнения 5x 2 – 7x + a = 0 относятся как 2 к 5?
6. В уравнении ax 2 + 8x + 3 = 0 определить a таким образом, чтобы разность корней уравнения равнялась единице.
7. При каких a сумма квадратов корней уравнения x 2 – 2ax + 2(a + 1) = 0 равна 20?
8. При каких b и c уравнение c + bx – 2x 2 = 0 имеет один положительный и один отрицательный корень?
9. Найти все значения параметра a, при которых один корень уравнения x 2 – (a + 1)x + 2 = 0 больше a, а другой меньше a.
10. Найти все значения параметра a, при которых уравнение x 2 + (a + 1)x + 2 = 0 имеет два разных корня одного знака.
11. При каких значениях a все получающиеся корни уравнения (a – 3)x 2 – 2ax + 6a = 0 положительны?
12. При каких a все получающиеся корни уравнения (1 + a)x 2 – 3ax + 4a = 0 больше 1?
13. Найти все значения параметра a, для которых оба разных корня уравнения x 2 + x + a = 0 будут больше, чем a.
14. При каких значениях a оба корня уравнения 4x 2 – 2x + a = 0 заключены между – 1 и 1?
15. При каких значениях a уравнение x 2 + 2(a – 1)x + a + 5 = 0 имеет хотя бы один положительный корень?
16. Функция f(x) задается формулой

Найдите все значения параметра a, при которых уравнение f(x) = 0 имеет хотя бы одно решение.
17. При каких a неравенство (a 2 – 1)x 2 + 2(a – 1)x + 2 > 0 верно для всех x?
18. При каких значениях параметра a неравенство ax 2 + 2x > 1 – 3a справедливо для всех положительных x?
19. При каких значениях a уравнение x 4 + (1 – 2a)x 2 + a 2 – 1 = 0 не имеет решений?
20. При каких значениях параметра a уравнение 2x 4 – 2ax 2 + a2 – 2 = 0 имеет одно или два решения?
21. При каждом значении a решить уравнение acos x cos 2x = cos 3x.
22. Найти все значения параметра a, при каждом из которых неравенство cos 2 x + 2asin x – 2a < a 2 – 4 выполняется для любого числа x.
23. При всех a решить уравнение log 2 (4 x + a) = x.
24. При каждом значении параметра a решить уравнение sin 2 x + asin 2 2x = sin .