Задача №1

Логика простая: будем поступать так, как поступали раньше не взирая на то, что теперь у тригонометрических функций стал более сложный аргумент!

Если бы мы решали уравнение вида:

То мы бы записали вот такой ответ:

Или (так как)

Но теперь в роли у нас выступаем вот такое выражение:

Тогда можно записать:

Наша с тобою цель - сделать так, чтобы слева стоял просто, без всяких «примесей»!

Давай постепенно от них избавляться!

Вначале уберём знаменатель при: для этого домножим наше равенство на:

Теперь избавимся от, разделив на него обе части:

Теперь избавимся от восьмёрки:

Полученное выражение можно расписать как 2 серии решений (по аналогии с квадратным уравнением, где мы либо прибавляем, либо вычитаем дискриминант)

Нам нужно найти наибольший отрицательный корень! Ясно, что надо перебирать.

Рассмотрим вначале первую серию:

Ясно, что если мы будем брать то в результате мы будем получать положительные числа, а они нас не интересуют.

Значит нужно брать отрицательным. Пусть.

При корень будет уже:

А нам нужно найти наибольший отрицательный!! Значит идти в отрицательную сторону здесь уже не имеет смысла. И наибольший отрицательный корень для этой серии будет равен.

Теперь рассматриваем вторую серию:

И опять подставляем: , тогда:

Не интересует!

Тогда увеличивать больше не имеет смысла! Будем уменьшать! Пусть, тогда:

Подходит!

Пусть. Тогда

Тогда - наибольший отрицательный корень!

Ответ:

Задача №2

Опять решаем, не взирая на сложный аргумент косинуса:

Теперь снова выражаем слева:

Умножаем обе стороны на

Делим обе стороны на

Всё, что осталось - это перенести вправо, изменив её знак с минуса на плюс.

У нас опять получается 2 серии корней, одна с, а другая с.

Нам нужно найти наибольший отрицательный корень. Рассмотрим первую серию:

Ясно, что первый отрицательный корень мы получим при, он будет равен и будет наибольшим отрицательным корнем в 1 серии.

Для второй серии

Первый отрицательный корень будет получен также при и будет равен. Так как, то - наибольший отрицательный корень уравнения.

Ответ: .

Задача №3

Решаем, не взирая на сложный аргумент тангенса.

Вот, вроде бы ничего сложного, не так ли?

Как и раньше, выражаем в левой части:

Ну вот и замечательно, здесь вообще всего одна серия корней! Опять найдём наибольший отрицательный.

Ясно, что он получается, если положить. И корень этот равен.

Ответ:

Теперь попробуй самостоятельно решить следующие задачи.

Домашняя работа или 3 задачи для самостоятельного решения.

  1. Ре-ши-те урав-не-ние.
  2. Ре-ши-те урав-не-ние.
    В от-ве-те на-пи-ши-те наи-мень-ший по-ло-жи-тель-ный ко-рень.
  3. Ре-ши-те урав-не-ние.
    В от-ве-те на-пи-ши-те наи-мень-ший по-ло-жи-тель-ный ко-рень.

Готов? Проверяем. Я не буду подробно описывать весь алгоритм решения, мне кажется, ему и так уделено достаточно внимания выше.

Ну что, всё правильно? Ох уж эти гадкие синусы, с ними всегда какие-то беды!

Ну что же, теперь ты умеешь решать простейшие тригонометрические уравнения!

Сверься с решениями и ответами:

Задача №1

Выразим

Наименьший положительный корень получится, если положить, так как, то

Ответ:

Задача №2

Наименьший положительный корень получится при.

Он будет равен.

Ответ: .

Задача №3

При получаем, при имеем.

Ответ: .

Эти знания помогут тебе решать многие задачи, с которыми ты столкнёшься в экзамене.

Если же ты претендуешь на оценку «5», то тебе просто необходимо перейти к чтению статьи для среднего уровня, которая будет посвящена решению более сложных тригонометрических уравнений (задание С1).

СРЕДНИЙ УРОВЕНЬ

В этой статье я опишу решение тригонометрических уравнений более сложного типа и как производить отбор их корней. Здесь я буду опираться на следующие темы:

  1. Тригонометрические уравнения для начального уровня (см выше).

Более сложные тригонометрические уравнения - это основа задач повышенной сложности. В них требуется как решить само уравнение в общем виде, так и найти корни этого уравнения, принадлежащие некоторому заданному промежутку.

Решение тригонометрических уравнений сводится к двум подзадачам:

  1. Решение уравнения
  2. Отбор корней

Следует отметить, что второе требуется не всегда, но все же в большинстве примеров требуется производить отбор. А если же он не требуется, то тебе скорее можно посочувствовать - это значит, что уравнение достаточно сложное само по себе.

Мой опыт разбора задач С1 показывает, что они как правило делятся на вот такие категории.

Четыре категории задач повышенной сложности (ранее С1)

  1. Уравнения, сводящиеся к разложению на множители.
  2. Уравнения, сводящиеся к виду.
  3. Уравнения, решаемые заменой переменной.
  4. Уравнения, требующие дополнительного отбора корней из-за иррациональности или знаменателя.

Говоря по-простому: если тебе попалось одно из уравнений первых трех типов , то считай, что тебе повезло. Для них как правило дополнительно нужно подобрать корни, принадлежащие некоторому промежутку.

Если же тебе попалось уравнение 4 типа , то тебе повезло меньше: с ним нужно повозиться подольше и повнимательнее, зато довольно часто в нем не требуется дополнительно отбирать корни. Тем не менее данный тип уравнений я буду разбирать в следующей статье, а эту посвящу решению уравнений первых трех типов.

Уравнения, сводящиеся к разложению на множители

Самое важное, что тебе нужно помнить, чтобы решать уравнения этого типа это

Как показывает практика, как правило, этих знаний достаточно. Давай обратимся к примерам:

Пример 1. Уравнение, сводящиеся к разложению на множители с помощью формул приведения и синуса двойного угла

  • Ре-ши-те урав-не-ние
  • Най-ди-те все корни этого урав-не-ния, при-над-ле-жа-щие от-рез-ку

Здесь, как я и обещал, работают формулы приведения:

Тогда мое уравнение примет вот такой вид:

Тогда мое уравнение примет следующую форму:

Недальновидный ученик мог бы сказать: а теперь я сокращу обе части на, получаю простейшее уравнение и радуюсь жизни! И будет горько заблуждаться!

ЗАПОМНИ: НИКОГДА НЕЛЬЗЯ СОКРАЩАТЬ ОБЕ ЧАСТИ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ НА ФУНКЦИЮ, СОДЕРЖАЩУЮ НЕИЗВЕСТНУЮ! ТАКИМ ОБРАЗОМ, ТЫ ТЕРЯЕШЬ КОРНИ!

Так что же делать? Да все просто, переносить все в одну сторону и выносить общий множитель:

Ну вот, на множители разложили, ура! Теперь решаем:

Первое уравнение имеет корни:

А второе:

На этом первая часть задачи решена. Теперь нужно отобрать корни:

Промежуток вот такой:

Или его еще можно записать вот так:

Ну что, давай отбирать корни:

Вначале поработаем с первой серией (да и проще она, что уж говорить!)

Так как наш промежуток - целиком отрицательный, то нет нужды брать неотрицательные, все равно они дадут неотрицательные корни.

Возьмем, тогда - многовато, не попадает.

Пусть, тогда - снова не попал.

Еще одна попытка - , тогда - есть, попал! Первый корень найден!

Стреляю еще раз: , тогда - еще раз попал!

Ну и еще разок: : - это уже перелет.

Так что из первой серии промежутку принадлежат 2 корня: .

Работаем со второй серией (возводим в степень по правилу):

Недолет!

Снова недолет!

Опять недолет!

Попал!

Перелет!

Таким образом, моему промежутку принадлежат вот такие корни:

Вот по такому алгоритму мы и будем решать все другие примеры. Давай вместе потренируемся еще на одном примере.

Пример 2. Уравнение, сводящиеся к разложению на множители с помощью формул приведения

  • Решите уравнение

Решение:

Опять пресловутые формулы приведения:

Опять не вздумай сокращать!

Первое уравнение имеет корни:

А второе:

Теперь снова поиск корней.

Начну со второй серии, мне про нее уже все известно из предыдущего примера! Посмотри и убедись, что корни, принадлежащие промежутку следующие:

Теперь первая серия и она попроще:

Если - подходит

Если - тоже годится

Если - уже перелет.

Тогда корни будут следующие:

Самостоятельная работа. 3 уравнения.

Ну что, техника тебе ясна? Решение тригонометрических уравнений уже не кажется таким сложным? Тогда быстренько прорешай следующие задачки самостоятельно, а потом мы с тобой будем решать другие примеры:

  1. Решите уравнение
    Най-ди-те все корни этого урав-не-ния, при-над-ле-жа-щие промежутку.
  2. Ре-ши-те урав-не-ние
    Ука-жи-те корни урав-не-ния, при-над-ле-жа-щие от-рез-ку
  3. Ре-ши-те урав-не-ние
    Най-ди-те все корни этого урав-не-ния, при-над-ле-жа-щие про-ме-жут-ку.

Уравнение 1.

И снова формула приведения:

Первая серия корней:

Вторая серия корней:

Начинаем отбор для промежутка

Ответ: , .

Уравнение 2. Проверка самостоятельной работы.

Довольно хитрая группировка на множители (применю формулу синуса двойного угла):

тогда или

Это общее решение. Теперь надо отбирать корни. Беда в том, что мы не можем сказать точное значение угла, косинус которого равен одной четверти. Поэтому я не могу просто так избавиться от арккосинуса - вот такая досада!

Что я могу сделать, так это прикинуть, что так как, то.

Составим таблицу: промежуток:

Ну что же, путем мучительных поисков мы пришли к неутешительному выводу о том, что наше уравнение имеет один корень на указанном промежутке: \displaystyle arccos\frac{1}{4}-5\pi

Уравнение 3. Проверка самостоятельной работы.

Уравнение пугающего вида. Однако решается довольно просто путем применения формулы синуса двойного угла:

Сократим на 2:

Сгруппируем первое слагаемое со вторым и третье с четвертым и вынесем общие множители:

Ясно, что первое уравнение корней не имеет, а теперь рассмотрим второе:

Вообще я собирался чуть позже остановиться на решении таких уравнений, но раз уж подвернулось, то делать нечего, надо решать...

Уравнения вида:

Данное уравнение решается делением обеих частей на:

Таким образом, наше уравнение имеет единственную серию корней:

Нужно найти те из них, которые принадлежат промежутку: .

Опять построим табличку, как я делал и ранее:

Ответ: .

Уравнения, сводящиеся к виду:

Ну вот, теперь самое время переходить ко второй порции уравнений, тем более, что я уже и так проболтался в чем состоит решение тригонометрических уравнений нового типа. Но не лишним будет повторить, что уравнение вида

Решается делением обеих частей на косинус:

  1. Ре-ши-те урав-не-ние
    Ука-жи-те корни урав-не-ния, при-над-ле-жа-щие от-рез-ку.
  2. Ре-ши-те урав-не-ние
    Ука-жи-те корни урав-не-ния, при-над-ле-жа-щие про-ме-жут-ку.

Пример 1.

Первое - ну совсем простое. Перенесем вправо и применим формулу косинуса двойного угла:

Ага! Уравнение вида: . Делю обе части на

Делаем отсев корней:

Промежуток:

Ответ:

Пример 2.

Все тоже довольно тривиально: раскроем скобки справа:

Основное тригонометрическое тождество:

Синус двойного угла:

Окончательно получим:

Отсев корней: промежуток.

Ответ: .

Ну как тебе техника, не слишком сложна? Я надеюсь, что нет. Сразу можно оговориться: в чистом виде уравнения, которые тут же сводятся к уравнению относительно тангенса, встречаются довольно редко. Как правило, этот переход (деление на косинус) является лишь частью более сложной задачи. Вот тебе пример , чтобы ты мог поупражняться:

  • Ре-ши-те урав-не-ние
  • Най-ди-те все корни этого урав-не-ния, при-над-ле-жа-щие от-рез-ку.

Давай сверяться:

Уравнение решается сразу же, достаточно поделить обе части на:

Отсев корней:

Ответ: .

Так или иначе, нам еще предстоит встретиться с уравнениями того вида, которые мы только что разобрали. Однако нам еще рано закругляться: остался еще один «пласт» уравнений, которые мы не разобрали. Итак:

Решение тригонометрических уравнений заменой переменной

Здесь все прозрачно: смотрим пристально на уравнение, максимально его упрощаем, делаем замену, решаем, делаем обратную замену! На словах все очень легко. Давай посмотрим на деле:

Пример.

  • Решить уравнение: .
  • Най-ди-те все корни этого урав-не-ния, при-над-ле-жа-щие от-рез-ку.

Ну что же, здесь замена сама напрашивается к нам в руки!

Тогда наше уравнение превратится вот в такое:

Первое уравнение имеет корни:

А второе вот такие:

Теперь найдем корни, принадлежащие промежутку

Ответ: .

Давай вместе разберем чуть более сложный пример :

  • Ре-ши-те урав-не-ние
  • Ука-жи-те корни дан-но-го урав-не-ния, при-над-ле-жа-щие про-ме-жут-ку.

Здесь замена сразу не видна, более того, она не очень очевидна. Давай вначале подумаем: а что мы можем сделать?

Можем, например, представить

А заодно и

Тогда мое уравнение примет вид:

А теперь внимание, фокус:

Давай разделим обе части уравнения на:

Внезапно мы с тобой получили квадратное уравнение относительно! Сделаем замену, тогда получим:

Уравнение имеет следующие корни:

Неприятная вторая серия корней, но ничего не поделаешь! Производим отбор корней на промежутке.

Нам также нужно учитывать, что

Так как и, то

Ответ:

Для закрепления, прежде чем ты сам будешь решать задачи, вот тебе еще упражнение :

  • Ре-ши-те урав-не-ние
  • Най-ди-те все корни этого урав-не-ния, при-над-ле-жа-щие про-ме-жут-ку.

Здесь нужно держать ухо востро: у нас появились знаменатели, которые могут быть нулевыми! Поэтому надо быть особо внимательными к корням!

Прежде всего, мне нужно преобразовать уравнение так, чтобы я мог сделать подходящую замену. Я не могу придумать сейчас ничего лучше, чем переписать тангенс через синус и косинус:

Теперь я перейду от косинуса к синусу по основному тригонометрическому тождеству:

И, наконец, приведу все к общему знаменателю:

Теперь я могу перейти к уравнению:

Но при (то есть при).

Теперь все готово для замены:

Тогда или

Однако обрати внимание, что если, то при этом!

Кто от этого страдает? Беда с тангенсом, он не определен, когда косинус равен нулю (происходит деление на ноль).

Таким образом, корни уравнения следующие:

Теперь производим отсев корней на промежутке:

- подходит
- перебор

Таким образом, наше уравнение имеет единственный корень на промежутке, и он равен.

Видишь: появление знаменателя (также, как и тангенса, приводит к определенным затруднениям с корнями! Тут нужно быть более внимательным!).

Ну что же, мы с тобой почти закончили разбор тригонометрических уравнений, осталось совсем немного - самостоятельно решить две задачи. Вот они.

  1. Решите уравнение
    Най-ди-те все корни этого урав-не-ния, при-над-ле-жа-щие от-рез-ку.
  2. Ре-ши-те урав-не-ние
    Ука-жи-те корни этого урав-не-ния, при-над-ле-жа-щие от-рез-ку.

Решил? Не очень сложно? Давай сверяться:

  1. Работаем по формулам приведения:

    Подставляем в уравнение:

    Перепишем все через косинусы, чтобы удобнее было делать замену:

    Теперь легко сделать замену:

    Ясно, что - посторонний корень, так как уравнение решений не имеет. Тогда:

    Ищем нужные нам корни на промежутке

    Ответ: .


  2. Здесь замена видна сразу:

    Тогда или

    - подходит! - подходит!
    - подходит! - подходит!
    - много! - тоже много!

    Ответ:

Ну вот, теперь все! Но решение тригонометрических уравнений на этом не заканчивается, за бортом у нас остались самые сложные случаи: когда в уравнениях присутствует иррациональность или разного рода «сложные знаменатели». Как решать подобные задания мы рассмотрим в статье для продвинутого уровня.

ПРОДВИНУТЫЙ УРОВЕНЬ

В дополнение к рассмотренным в предыдущих двух статьях тригонометрическим уравнениям, рассмотрим еще один класс уравнений, которые требуют еще более внимательного анализа. Данные тригонометрические примеры содержат либо иррациональность, либо знаменатель, что делает их анализ более сложным . Тем не менее ты вполне можешь столкнуться с данными уравнениями в части С экзаменационной работы. Однако нет худа без добра: для таких уравнений уже, как правило, не ставится вопрос о том, какие из его корней принадлежат заданному промежутку. Давай не будем ходить вокруг да около, а сразу тригонометрические примеры.

Пример 1.

Решить уравнение и найти те корни, которые принадлежат отрезку.

Решение:

У нас появляется знаменатель, который не должен быть равен нулю! Тогда решить данное уравнение - это все равно, что решить систему

Решим каждое из уравнений:

А теперь второе:

Теперь давай посмотрим на серию:

Ясно, что нам не подходит вариант, так как при этом у нас обнуляется знаменатель (см. на формулу корней второго уравнения)

Если же - то все в порядке, и знаменатель не равен нулю! Тогда корни уравнения следующие: , .

Теперь производим отбор корней, принадлежащих промежутку.

- не подходит - подходит
- подходит - подходит
перебор перебор

Тогда корни следующие:

Видишь, даже появление небольшой помехи в виде знаменателя существенно отразилось на решении уравнения: мы отбросили серию корней, нулящих знаменатель. Еще сложнее может обстоять дело, если тебе попадутся тригонометрические примеры имеющие иррациональность.

Пример 2.

Решите уравнение:

Решение:

Ну хотя бы не надо отбирать корни и то хорошо! Давай вначале решим уравнение, не взирая на иррациональность:

И что, это все? Нет, увы, так было бы слишком просто! Надо помнить, что под корнем могут стоять только неотрицательные числа. Тогда:

Решение этого неравенства:

Теперь осталось выяснить, не попала ли ненароком часть корней первого уравнения туда, где не выполяется неравенство.

Для этого можно опять воспользоваться таблицей:

: , но Нет!
Да!
Да!

Таким образом, у меня «выпал» один из корней! Он получается, если положить. Тогда ответ можно записать в следующем виде:

Ответ:

Видишь, корень требует еще более пристального внимания! Усложняем: пусть теперь у меня под корнем стоит тригонометрическая функция.

Пример 3.

Как и раньше: вначале решим каждое отдельно, а потом подумаем, что же мы наделали.

Теперь второе уравнение:

Теперь самое сложное - выяснить, не получаются ли отрицательные значения под арифметическим корнем, если мы подставим туда корни из первого уравнения:

Число надо понимать как радианы. Так как радиана - это примерно градусов, то радианы - порядка градусов. Это угол второй четверти. Косинус второй четверти имеет какой знак? Минус. А синус? Плюс. Так что можно сказать про выражение:

Оно меньше нуля!

А значит - не является корнем уравнения.

Теперь черед.

Сравним это число с нулем.

Котангенс - функция убывающая в 1 четверти (чем меньше аргумент, тем больше котангенс). радианы - это примерно градусов. В то же время

так как, то, а значит и
,

Ответ: .

Может ли быть еще сложнее? Пожалуйста! Будет труднее, если под корнем по-прежнему тригонометрическая функция, а вторая часть уравнения - снова тригонометрическая функция.

Чем больше тригонометрических примеров, тем лучше, смотри дальше:

Пример 4.

Корень не годится, ввиду ограниченности косинуса

Теперь второе:

В то же время по определению корня:

Надо вспомнить единичную окружность: а именно те четверти, где синус меньше нуля. Какие это четверти? Третья и четвертая. Тогда нас будут интересовать те решения первого уравнения, которые лежат в третьей или четвертой четверти.

Первая серия дает корни, лежащие на пересечении третьей и четвертой четверти. Вторая же серия - ей диаметрально противоположная - и порождает корни, лежащие на границе первой и второй четверти. Поэтому эта серия нам не подходит.

Ответ: ,

И опять тригонометрические примеры с «трудной иррациональностью» . Мало того, что у нас снова под корнем тригонометрическая функция, так теперь она еще и в знаменателе!

Пример 5.

Ну, ничего не поделаешь - поступаем как и раньше.

Теперь работаем со знаменателем:

Я не хочу решать тригонометрическое неравенство, а потому поступлю хитро: возьму и подставлю в неравенство мои серии корней:

Если - четное, то имеем:

так как, то все углы вида лежат в четвертой четверти. И снова сакральный вопрос: каков знак синуса в четвертой четверти? Отрицательный. Тогда неравенство

Если же -нечетное, то:

В какой четверти лежит угол? Это угол второй четверти. Тогда все углы - снова углы второй четверти. Синус там положительный. Как раз то, что надо! Значит, серия:

Подходит!

Точно так же разбираемся со второй серией корней:

Подставляем в наше неравенство:

Если - четное, то

Углы первой четверти. Синус там положительный, значит серия подходит. Теперь если - нечетное, то:

тоже подходит!

Ну вот, теперь записываем ответ!

Ответ:

Ну вот, это был, пожалуй, наиболее трудоемкий случай. Теперь я предлагаю тебе задачи для самостоятельного решения.

Тренировка

  1. Решите и найдите все корни уравнения, принадлежащие отрезку.

Решения:


  1. Первое уравнение:
    или
    ОДЗ корня:

    Второе уравнение:

    Отбор корней, которые принадлежат промежутку

    Ответ:

    2. Или
    или
    Но

    Рассмотрим: . Если - четное, то
    - не подходит!
    Если - нечетное, : - подходит!
    Значит, наше уравнение имеет такие серии корней:
    или
    Отбор корней на промежутке:

    - не подходит - подходит
    - подходит - много
    - подходит много

    Ответ: , .

    Или
    Так как, то при тангенс не определен. Тут же отбрасываем эту серию корней!

    Вторая часть:

    В то же время по ОДЗ требуется, чтобы

    Проверяем найденные в первом уравнении корни:

    Если знак:

    Углы первой четверти, где тангенс положительный. Не подходит!
    Если знак:

    Угол четвертой четверти. Там тангенс отрицательный. Подходит. Записываем ответ:

Ответ: , .

Мы вместе разобрали в этой статье сложные тригонометрические примеры, но тебе стоит прорешать уравнения самому.

КРАТКОЕ ИЗЛОЖЕНИЕ И ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ

Тригонометрическое уравнение - это уравнение, в котором неизвестная находится строго под знаком тригонометрической функции.

Существует два способа решения тригонометрических уравнений:

Первый способ - с использованием формул.

Второй способ - через тригонометрическую окружность.

Позволяет измерять углы, находить их синусы, косинусы и прочее.

При решении многих математических задач , особенно тех, которые встречаются до 10 класса, порядок выполняемых действий, которые приведут к цели, определен однозначно. К таким задачам можно отнести, например, линейные и квадратные уравнения, линейные и квадратные неравенства, дробные уравнения и уравнения, которые сводятся к квадратным. Принцип успешного решения каждой из упомянутых задач заключается в следующем: надо установить, к какому типу относится решаемая задача, вспомнить необходимую последовательность действий, которые приведут к нужному результату, т.е. ответу, и выполнить эти действия.

Очевидно, что успех или неуспех в решении той или иной задачи зависит главным образом от того, насколько правильно определен тип решаемого уравнения, насколько правильно воспроизведена последовательность всех этапов его решения. Разумеется, при этом необходимо владеть навыками выполнения тождественных преобразований и вычислений.

Иная ситуация получается с тригонометрическими уравнениями. Установить факт того, что уравнение является тригонометрическим, совсем нетрудно. Сложности появляются при определении последовательности действий, которые бы привели к правильному ответу.

По внешнему виду уравнения порой бывает трудно определить его тип. А не зная типа уравнения, почти невозможно выбрать из нескольких десятков тригонометрических формул нужную.

Чтобы решить тригонометрическое уравнение, надо попытаться:

1. привести все функции входящие в уравнение к «одинаковым углам»;
2. привести уравнение к «одинаковым функциям»;
3. разложить левую часть уравнения на множители и т.п.

Рассмотрим основные методы решения тригонометрических уравнений.

I. Приведение к простейшим тригонометрическим уравнениям

Схема решения

Шаг 1. Выразить тригонометрическую функцию через известные компоненты.

Шаг 2. Найти аргумент функции по формулам:

cos x = a; x = ±arccos a + 2πn, n ЄZ.

sin x = a; x = (-1) n arcsin a + πn, n Є Z.

tg x = a; x = arctg a + πn, n Є Z.

ctg x = a; x = arcctg a + πn, n Є Z.

Шаг 3. Найти неизвестную переменную.

Пример.

2 cos(3x – π/4) = -√2.

Решение.

1) cos(3x – π/4) = -√2/2.

2) 3x – π/4 = ±(π – π/4) + 2πn, n Є Z;

3x – π/4 = ±3π/4 + 2πn, n Є Z.

3) 3x = ±3π/4 + π/4 + 2πn, n Є Z;

x = ±3π/12 + π/12 + 2πn/3, n Є Z;

x = ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

Ответ: ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

II. Замена переменной

Схема решения

Шаг 1. Привести уравнение к алгебраическому виду относительно одной из тригонометрических функций.

Шаг 2. Обозначить полученную функцию переменной t (если необходимо, ввести ограничения на t).

Шаг 3. Записать и решить полученное алгебраическое уравнение.

Шаг 4. Сделать обратную замену.

Шаг 5. Решить простейшее тригонометрическое уравнение.

Пример.

2cos 2 (x/2) – 5sin (x/2) – 5 = 0.

Решение.

1) 2(1 – sin 2 (x/2)) – 5sin (x/2) – 5 = 0;

2sin 2 (x/2) + 5sin (x/2) + 3 = 0.

2) Пусть sin (x/2) = t, где |t| ≤ 1.

3) 2t 2 + 5t + 3 = 0;

t = 1 или е = -3/2, не удовлетворяет условию |t| ≤ 1.

4) sin (x/2) = 1.

5) x/2 = π/2 + 2πn, n Є Z;

x = π + 4πn, n Є Z.

Ответ: x = π + 4πn, n Є Z.

III. Метод понижения порядка уравнения

Схема решения

Шаг 1. Заменить данное уравнение линейным, используя для этого формулы понижения степени:

sin 2 x = 1/2 · (1 – cos 2x);

cos 2 x = 1/2 · (1 + cos 2x);

tg 2 x = (1 – cos 2x) / (1 + cos 2x).

Шаг 2. Решить полученное уравнение с помощью методов I и II.

Пример.

cos 2x + cos 2 x = 5/4.

Решение.

1) cos 2x + 1/2 · (1 + cos 2x) = 5/4.

2) cos 2x + 1/2 + 1/2 · cos 2x = 5/4;

3/2 · cos 2x = 3/4;

2x = ±π/3 + 2πn, n Є Z;

x = ±π/6 + πn, n Є Z.

Ответ: x = ±π/6 + πn, n Є Z.

IV. Однородные уравнения

Схема решения

Шаг 1. Привести данное уравнение к виду

a) a sin x + b cos x = 0 (однородное уравнение первой степени)

или к виду

б) a sin 2 x + b sin x · cos x + c cos 2 x = 0 (однородное уравнение второй степени).

Шаг 2. Разделить обе части уравнения на

а) cos x ≠ 0;

б) cos 2 x ≠ 0;

и получить уравнение относительно tg x:

а) a tg x + b = 0;

б) a tg 2 x + b arctg x + c = 0.

Шаг 3. Решить уравнение известными способами.

Пример.

5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4 = 0.

Решение.

1) 5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4(sin 2 x + cos 2 x) = 0;

5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4sin² x – 4cos 2 x = 0;

sin 2 x + 3sin x · cos x – 4cos 2 x = 0/cos 2 x ≠ 0.

2) tg 2 x + 3tg x – 4 = 0.

3) Пусть tg x = t, тогда

t 2 + 3t – 4 = 0;

t = 1 или t = -4, значит

tg x = 1 или tg x = -4.

Из первого уравнения x = π/4 + πn, n Є Z; из второго уравнения x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

Ответ: x = π/4 + πn, n Є Z; x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

V. Метод преобразования уравнения с помощью тригонометрических формул

Схема решения

Шаг 1. Используя всевозможные тригонометрические формулы, привести данное уравнение к уравнению, решаемому методами I, II, III, IV.

Шаг 2. Решить полученное уравнение известными методами.

Пример.

sin x + sin 2x + sin 3x = 0.

Решение.

1) (sin x + sin 3x) + sin 2x = 0;

2sin 2x · cos x + sin 2x = 0.

2) sin 2x · (2cos x + 1) = 0;

sin 2x = 0 или 2cos x + 1 = 0;

Из первого уравнения 2x = π/2 + πn, n Є Z; из второго уравнения cos x = -1/2.

Имеем х = π/4 + πn/2, n Є Z; из второго уравнения x = ±(π – π/3) + 2πk, k Є Z.

В итоге х = π/4 + πn/2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

Ответ: х = π/4 + πn/2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

Умения и навыки решать тригонометрические уравнения являются очень важными, их развитие требует значительных усилий, как со стороны ученика, так и со стороны учителя.

С решением тригонометрических уравнений связаны многие задачи стереометрии, физики, и др. Процесс решения таких задач как бы заключает в себе многие знания и умения, которые приобретаются при изучении элементов тригонометрии.

Тригонометрические уравнения занимают важное место в процессе обучения математики и развития личности в целом.

Остались вопросы? Не знаете, как решать тригонометрические уравнения?
Чтобы получить помощь репетитора – зарегистрируйтесь .
Первый урок – бесплатно!

сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Простейшие тригонометрические уравнения решаются, как правило, по формулам. Напомню, что простейшими называются вот такие тригонометрические уравнения:

sinx = а

cosx = а

tgx = а

ctgx = а

х - угол, который нужно найти,
а - любое число.

А вот и формулы, с помощью которых можно сразу записать решения этих простейших уравнений.

Для синуса:


Для косинуса:

х = ± arccos a + 2π n, n ∈ Z


Для тангенса:

х = arctg a + π n, n ∈ Z


Для котангенса:

х = arcctg a + π n, n ∈ Z

Собственно, это и есть теоретическая часть решения простейших тригонометрических уравнений. Причём, вся!) Совсем ничего. Однако, количество ошибок по этой теме просто зашкаливает. Особенно, при незначительном отклонении примера от шаблона. Почему?

Да потому, что масса народу записывает эти буковки, не понимая их смысла совершенно! С опаской записывает, как бы чего не вышло...) С этим надо разобраться. Тригонометрия для людей, или люди для тригонометрии, в конце концов!?)

Разберёмся?

Один угол у нас будет равен arccos a, второй: -arccos a.

И так будет получаться всегда. При любом а.

Если не верите, наведите курсор мышки на картинку, или коснитесь рисунка на планшете.) Я изменил число а на какое-то отрицательное. Всё равно, один угол у нас получился arccos a, второй: -arccos a.

Следовательно, ответ можно всегда записать в виде двух серий корней:

х 1 = arccos a + 2π n, n ∈ Z

х 2 = - arccos a + 2π n, n ∈ Z

Объединяем эти две серии в одну:

х= ± arccos а + 2π n, n ∈ Z

И все дела. Получили общую формулу для решения простейшего тригонометрического уравнения с косинусом.

Если вы понимаете, что это не какая-то сверхнаучная мудрость, а просто сокращённая запись двух серий ответов, вам и задания "С" будут по плечу. С неравенствами, с отбором корней из заданного интервала... Там ответ с плюсом/минусом не катит. А если отнестись к ответу делово, да разбить его на два отдельных ответа, всё и решается.) Собственно, для этого и разбираемся. Что, как и откуда.

В простейшем тригонометрическом уравнении

sinx = а

тоже получается две серии корней. Всегда. И эти две серии тоже можно записать одной строчкой. Только эта строчка похитрее будет:

х = (-1) n arcsin a + π n, n ∈ Z

Но суть остаётся прежней. Математики просто сконструировали формулу, чтобы вместо двух записей серий корней, сделать одну. И всё!

Проверим математиков? А то мало ли...)

В предыдущем уроке подробно разобрано решение (безо всяких формул) тригонометрического уравнения с синусом:

В ответе получились две серии корней:

х 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z

х 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z

Если мы будем решать это же уравнение по формуле, получим ответ:

х = (-1) n arcsin 0,5 + π n, n ∈ Z

Вообще-то, это недоделанный ответ.) Ученик обязан знать, что arcsin 0,5 = π /6. Полноценный ответ будет:

х = (-1) n π /6 + π n, n ∈ Z

Тут возникает интересный вопрос. Ответ через х 1 ; х 2 (это правильный ответ!) и через одинокий х (и это правильный ответ!) - одно и то же, или нет? Сейчас узнаем.)

Подставляем в ответ с х 1 значения n =0; 1; 2; и т.д., считаем, получаем серию корней:

х 1 = π/6; 13π/6; 25π/6 и так далее.

При такой же подстановке в ответ с х 2 , получаем:

х 2 = 5π/6; 17π/6; 29π/6 и так далее.

А теперь подставляем значения n (0; 1; 2; 3; 4...) в общую формулу для одинокого х . Т.е возводим минус один в нулевую степень, затем в первую, вторую, и т.д. Ну и, разумеется, во второе слагаемое подставляем 0; 1; 2 3; 4 и т.д. И считаем. Получаем серию:

х = π/6; 5π/6; 13π/6; 17π/6; 25π/6 и так далее.

Вот всё и видно.) Общая формула выдаёт нам точно такие же результаты, что и два ответа по отдельности. Только все сразу, по порядочку. Не обманули математики.)

Формулы для решения тригонометрических уравнений с тангенсом и котангенсом тоже можно проверить. Но не будем.) Они и так простенькие.

Я расписал всю эту подстановку и проверку специально. Здесь важно понять одну простую вещь: формулы для решения элементарных тригонометрических уравнений есть, всего лишь, краткая запись ответов. Для этой краткости пришлось вставить плюс/минус в решение для косинуса и (-1) n в решение для синуса.

Эти вставки никак не мешают в заданиях, где нужно просто записать ответ элементарного уравнения. Но если надо решать неравенство, или далее нужно что-то делать с ответом: отбирать корни на интервале, проверять на ОДЗ и т.п, эти вставочки могут запросто выбить человека из колеи.

И что делать? Да либо расписать ответ через две серии, либо решать уравнение/неравенство по тригонометрическому кругу. Тогда исчезают эти вставочки и жизнь становится легче.)

Можно подвести итоги.

Для решения простейших тригонометрических уравнений существуют готовые формулы ответов. Четыре штуки. Они хороши для мгновенной записи решения уравнения. Например, надо решить уравнения:


sinx = 0,3

Легко: х = (-1) n arcsin 0,3 + π n, n ∈ Z


cosx = 0,2

Без проблем: х = ± arccos 0,2 + 2π n, n ∈ Z


tgx = 1,2

Запросто: х = arctg 1,2 + π n, n ∈ Z


ctgx = 3,7

Одной левой: x= arcctg3,7 + π n, n ∈ Z

cos x = 1,8

Если вы, блистая знаниями, мгновенно пишете ответ:

х= ± arccos 1,8 + 2π n, n ∈ Z

то блистаете вы уже, это... того... из лужи.) Правильный ответ: решений нет. Не понимаете, почему? Прочитайте, что такое арккосинус. Кроме того, если в правой части исходного уравнения стоят табличные значения синуса, косинуса, тангенса, котангенса, - 1; 0; √3; 1/2; √3/2 и т.п. - ответ через арки будет недоделанным. Арки нужно обязательно перевести в радианы.

А если уж вам попалось неравенство, типа

то ответ в виде:

х πn, n ∈ Z

есть редкая ахинея, да...) Тут надо по тригонометрическому кругу решать. Чем мы и займёмся в соответствующей теме.

Для тех, кто героически дочитал до этих строк. Я просто не могу не оценить ваши титанические усилия. Вам бонус.)

Бонус:

При записи формул в тревожной боевой обстановке, даже закалённые учёбой ботаны частенько путаются, где πn, а где 2π n. Вот вам простой приёмчик. Во всех формулах стоит πn. Кроме единственной формулы с арккосинусом. Там стоит 2πn. Два пиэн. Ключевое слово - два. В этой же единственной формуле стоят два знака в начале. Плюс и минус. И там, и там - два.

Так что, если вы написали два знака перед арккосинусом, легче вспомнить, что в конце будет два пиэн. А ещё наоборот бывает. Пропустит человек знак ± , доберётся до конца, напишет правильно два пиэн, да и спохватится. Впереди-то два знака! Вернётся человек к началу, да ошибку-то и исправит! Вот так.)

Если Вам нравится этот сайт...

Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)

Можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся - с интересом!)

можно познакомиться с функциями и производными.

Концепция решения тригонометрических уравнений.

  • Для решения тригонометрического уравнения преобразуйте его в одно или несколько основных тригонометрических уравнений. Решение тригонометрического уравнения в конечном итоге сводится к решению четырех основных тригонометрических уравнений.

  • Решение основных тригонометрических уравнений.

    • Существуют 4 вида основных тригонометрических уравнений:
    • sin x = a; cos x = a
    • tg x = a; ctg x = a
    • Решение основных тригонометрических уравнений подразумевает рассмотрение различных положений «х» на единичной окружности, а также использование таблицы преобразования (или калькулятора).
    • Пример 1. sin x = 0,866. Используя таблицу преобразования (или калькулятор), вы получите ответ: х = π/3. Единичная окружность дает еще один ответ: 2π/3. Запомните: все тригонометрические функции являются периодическими, то есть их значения повторяются. Например, периодичность sin x и cos x равна 2πn, а периодичность tg x и ctg x равна πn. Поэтому ответ записывается следующим образом:
    • x1 = π/3 + 2πn; x2 = 2π/3 + 2πn.
    • Пример 2. соs х = -1/2. Используя таблицу преобразования (или калькулятор), вы получите ответ: х = 2π/3. Единичная окружность дает еще один ответ: -2π/3.
    • x1 = 2π/3 + 2π; х2 = -2π/3 + 2π.
    • Пример 3. tg (x - π/4) = 0.
    • Ответ: х = π/4 + πn.
    • Пример 4. ctg 2x = 1,732.
    • Ответ: х = π/12 + πn.

  • Преобразования, используемые при решении тригонометрических уравнений.

    • Для преобразования тригонометрических уравнений используются алгебраические преобразования (разложение на множители, приведение однородных членов и т.д.) и тригонометрические тождества.
    • Пример 5. Используя тригонометрические тождества, уравнение sin x + sin 2x + sin 3x = 0 преобразуется в уравнение 4cos x*sin (3x/2)*cos (x/2) = 0. Таким образом, нужно решить следующие основные тригонометрические уравнения: cos x = 0; sin (3x/2) = 0; cos (x/2) = 0.

    • Нахождение углов по известным значениям функций.

      • Перед изучением методов решения тригонометрических уравнений вам необходимо научиться находить углы по известным значениям функций. Это можно сделать при помощи таблицы преобразования или калькулятора.
      • Пример: соs х = 0,732. Калькулятор даст ответ х = 42,95 градусов. Единичная окружность даст дополнительные углы, косинус которых также равен 0,732.

    • Отложите решение на единичной окружности.

      • Вы можете отложить решения тригонометрического уравнения на единичной окружности. Решения тригонометрического уравнения на единичной окружности представляют собой вершины правильного многоугольника.
      • Пример: Решения x = π/3 + πn/2 на единичной окружности представляют собой вершины квадрата.
      • Пример: Решения x = π/4 + πn/3 на единичной окружности представляют собой вершины правильного шестиугольника.

    • Методы решения тригонометрических уравнений.

      • Если данное тригонометрическое уравнение содержит только одну тригонометрическую функцию, решите это уравнение как основное тригонометрическое уравнение. Если данное уравнение включает две или более тригонометрические функции, то существуют 2 метода решения такого уравнения (в зависимости от возможности его преобразования).
        • Метод 1.
      • Преобразуйте данное уравнение в уравнение вида: f(x)*g(x)*h(x) = 0, где f(x), g(x), h(x) - основные тригонометрические уравнения.
      • Пример 6. 2cos x + sin 2x = 0. (0 < x < 2π)
      • Решение. Используя формулу двойного угла sin 2x = 2*sin х*соs х, замените sin 2x.
      • 2соs х + 2*sin х*соs х = 2cos х*(sin х + 1) = 0. Теперь решите два основных тригонометрических уравнения: соs х = 0 и (sin х + 1) = 0.
      • Пример 7. cos x + cos 2x + cos 3x = 0. (0 < x < 2π)
      • Решение: Используя тригонометрические тождества, преобразуйте данное уравнение в уравнение вида: cos 2x(2cos x + 1) = 0. Теперь решите два основных тригонометрических уравнения: cos 2x = 0 и (2cos x + 1) = 0.
      • Пример 8. sin x - sin 3x = cos 2x . (0 < x < 2π)
      • Решение: Используя тригонометрические тождества, преобразуйте данное уравнение в уравнение вида: -cos 2x*(2sin x + 1) = 0. Теперь решите два основных тригонометрических уравнения: cos 2x = 0 и (2sin x + 1) = 0.
        • Метод 2.
      • Преобразуйте данное тригонометрическое уравнение в уравнение, содержащее только одну тригонометрическую функцию. Затем замените эту тригонометрическую функцию на некоторую неизвестную, например, t (sin x = t; cos x = t; cos 2x = t, tg x = t; tg (x/2) = t и т.д.).
      • Пример 9. 3sin^2 x - 2cos^2 x = 4sin x + 7 (0 < x < 2π).
      • Решение. В данном уравнении замените (cos^2 x) на (1 - sin^2 x) (согласно тождеству). Преобразованное уравнение имеет вид:
      • 3sin^2 x - 2 + 2sin^2 x - 4sin x - 7 = 0. Замените sin х на t. Теперь уравнение имеет вид: 5t^2 - 4t - 9 = 0. Это квадратное уравнение, имеющее два корня: t1 = -1 и t2 = 9/5. Второй корень t2 не удовлетворяет области значений функции (-1 < sin x < 1). Теперь решите: t = sin х = -1; х = 3π/2.
      • Пример 10. tg x + 2 tg^2 x = ctg x + 2
      • Решение. Замените tg x на t. Перепишите исходное уравнение в следующем виде: (2t + 1)(t^2 - 1) = 0. Теперь найдите t, а затем найдите х для t = tg х.

    • Особые тригонометрические уравнения.

      • Есть несколько особых тригонометрических уравнений, которые требуют конкретных преобразований. Примеры:
      • a*sin x+ b*cos x = c ; a(sin x + cos x) + b*cos x*sin x = c;
      • a*sin^2 x + b*sin x*cos x + c*cos^2 x = 0

    • Периодичность тригонометрических функций.

      • Как упоминалось ранее, все тригонометрические функции являются периодическими, то есть их значения повторяются через определенный период. Примеры:
        • Период функции f(x) = sin x равен 2π.
        • Период функции f(x) = tg x равен π.
        • Период функции f(x) = sin 2x равен π.
        • Период функции f(x) = cos (x/2) равен 4π.
      • Если период указан в задаче, вычислите значение «х» в пределах этого периода.
      • Примечание: решение тригонометрических уравнений – непростая задача, которая часто приводит к ошибкам. Поэтому тщательно проверяйте ответы. Для этого можно использовать графический калькулятор, чтобы построить график данного уравнения R(х) = 0. В таких случаях решения будут представлены в виде десятичных дробей (то есть π заменяется на 3,14).

    • Линия УМК Г. К. Муравина. Алгебра и начала математического анализа (10-11) (углуб.)

    Линия УМК Г.К. Муравина, К.С. Муравина, О.В. Муравиной. Алгебра и начала математического анализа (10-11) (баз.)

    Как научить решать тригонометрические уравнения и неравенства: методика преподавания

    Курс математики корпорации «Российский учебник», авторства Георгия Муравина и Ольги Муравиной, предусматривает постепенный переход к решению тригонометрических уравнений и неравенств в 10 классе, а также продолжение их изучения в 11 классе. Представляем вашему вниманию этапы перехода к теме с выдержками из учебника «Алгебра и начало математического анализа» (углубленный уровень).

    1. Синус и косинус любого угла (пропедевтика к изучению тригонометрических уравнений)

    Пример задания. Найти приближенно углы, косинусы которых равны 0,8.

    Решение. Косинус - это абсцисса соответствующей точки единичной окружности. Все точки с абсциссами, равными 0,8, принадлежат прямой, параллельной оси ординат и проходящей через точку C (0,8; 0). Эта прямая пересекает единичную окружность в двух точках: P α ° и P β ° , симметричных относительно оси абсцисс.

    С помощью транспортира находим, что угол α° приближенно равен 37°. Значит, общий вид углов поворота с конечной точкой P α°:

    α° ≈ 37° + 360°n , где n - любое целое число.

    В силу симметрии относительно оси абсцисс точка P β ° - конечная точка поворота на угол –37°. Значит, для нее общий вид углов поворота:

    β° ≈ –37° + 360°n , где n - любое целое число.

    Ответ: 37° + 360°n , –37° + 360°n , где n - любое целое число.

    Пример задания. Найти углы, синусы которых равны 0,5.

    Решение. Синус - это ордината соответствующей точки единичной окружности. Все точки с ординатами, равными 0,5, принадлежат прямой, параллельной оси абсцисс и проходящей через точку D (0; 0,5).

    Эта прямая пересекает единичную окружность в двух точках: P φ и P π–φ , симметричных относительно оси ординат. В прямоугольном треугольнике OKP φ катет KP φ равен половине гипотенузы OP φ, значит,

    Общий вид углов поворота с конечной точкой P φ :

    где n - любое целое число. Общий вид углов поворота с конечной точкой P π–φ :


    где n - любое целое число.

    Ответ: где n - любое целое число.

    2. Тангенс и котангенс любого угла (пропедевтика к изучению тригонометрических уравнений)

    Пример 2.

    Пример задания. Найти общий вид углов, тангенс которых равен –1,2.

    Решение. Отметим на оси тангенсов точку C с ординатой, равной –1,2, и проведем прямую OC . Прямая OC пересекает единичную окружность в точках P α ° и P β° - концах одного и того же диаметра. Углы, соответствующие этим точкам, отличаются друг от друга на целое число полуоборотов, т.е. на 180°n (n - целое число). С помощью транспортира находим, что угол P α° OP 0 равен –50°. Значит, общий вид углов, тангенс которых равен –1,2, следующий: –50° + 180°n (n - целое число)

    Ответ: –50° + 180°n , n ∈ Z.

    По синусу и косинусу углов 30°, 45° и 60° легко найти их тангенсы и котангенсы. Например,

    Перечисленные углы довольно часто встречаются в разных задачах, поэтому полезно запомнить значения тангенса и котангенса этих углов.

    3. Простейшие тригонометрические уравнения

    Вводятся обозначения: arcsin α, arccos α, arctg α, arcctg α. Не рекомендуется торопиться с введением объединенной формулы. Две серии корней значительно удобнее записывать, особенно, когда нужно отбирать корни на интервале.

    При изучении темы «простейшие тригонометрические уравнения», уравнения чаще всего сводятся к квадратам.

    4. Формулы приведения

    Формулы приведения являются тождествами, т. е. они верны для любых допустимых значений φ . Анализируя полученную таблицу, можно заметить, что:

    1) знак в правой части формулы совпадает со знаком приводимой функции в соответствующей четверти, если считать φ острым углом;

    2) название меняют только функции углов и

    φ + 2πn

    5. Свойства и график функции y = sin x

    Простейшие тригонометрические неравенства решаются либо по графику, либо на окружности. При решении тригонометрического неравенства на окружности важно не перепутать, какую точку указывать первой.

    6. Свойства и график функции y = cos x

    Задачу построения графика функции y = cos x можно свести к построению графика функции y = sin x . Действительно, поскольку график функции y = cos x можно получить из графика функции y = sin x сдвигом последнего вдоль оси абсцисс влево на

    7. Свойства и графики функций y = tg x и y = ctg x

    Область определения функции y = tg x включает в себя все числа, кроме чисел вида где n ∈ Z . Как и при построении синусоиды, сначала постараемся получить график функции y = tg x на промежутке


    В левом конце этого промежутка тангенс равен нулю, а при приближении к правому концу значения тангенса неограниченно увеличиваются. Графически это выглядит так, как будто график функции y = tg x прижимается к прямой уходя вместе с ней неограниченно вверх.

    8. Зависимости между тригонометрическими функциями одного и того же аргумента

    Равенства и выражают соотношения между тригонометрическими функциями одного и того же аргумента φ. С их помощью, зная синус и косинус некоторого угла, можно найти его тангенс и котангенс. Из этих равенств легко получить, что тангенс и котангенс связаны между собой следующим равенством.

    tg φ · ctg φ = 1

    Есть и другие зависимости между тригонометрическими функциями.

    Уравнение единичной окружности с центром в начале координат x 2 + y 2 = 1 связывает абсциссу и ординату любой точки этой окружности.

    Основное тригонометрическое тождество

    cos 2 φ + sin 2 φ = 1

    9. Синус и косинус суммы и разности двух углов

    Формула косинуса суммы

    cos (α + β) = cos α cos β – sin α sin β

    Формула косинуса разности

    cos (α – β) = cos α cos β + sin α sin β

    Формула синуса разности

    sin (α – β) = sin α cos β – cos α sin β

    Формула синуса суммы

    sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β

    10. Тангенс суммы и тангенс разности двух углов

    Формула тангенса суммы

    Формула тангенса разности

    Учебник входит в УМК по математике для 10–11 классов, изучающих предмет на базовом уровне. Теоретический материал разделен на обязательный и дополнительный, система заданий дифференцирована по уровню сложности, каждый пункт главы завершается контрольными вопросами и заданиями, а каждая глава - домашней контрольной работой. В учебник включены темы проектов и сделаны ссылки на интернет-ресурсы.

    11. Тригонометрические функции двойного угла

    Формула тангенса двойного угла

    cos2α = 1 – 2sin 2 α cos2α = 2cos 2 α – 1

    Пример задания. Решить уравнение

    Решение.

    13. Решение тригонометрических уравнений

    В большинстве случаев исходное уравнение в процессе решения сводится к простейшим тригонометрическим уравнениям. Однако для тригонометрических уравнений не существует единого метода решения. В каждом конкретном случае успех зависит от знания тригонометрических формул и от умения выбрать из них нужные. При этом обилие различных формул иногда делает этот выбор довольно трудным.

    Уравнения, сводящиеся к квадратам

    Пример задания. Решить уравнение 2 cos 2 x + 3 sinx = 0

    Решение . С помощью основного тригонометрического тождества это уравнение можно свести к квадратному относительно sinx :

    2cos 2 x + 3sinx = 0, 2(1 – sin 2 x ) + 3sinx = 0,

    2 – 2sin 2 x + 3sinx = 0, 2sin 2 x – 3sinx – 2 = 0

    Введем новую переменную y = sin x , тогда уравнение примет вид: 2y 2 – 3y – 2 = 0.

    Корни этого уравнения y 1 = 2, y 2 = –0,5.

    Возвращаемся к переменной x и получаем простейшие тригонометрические уравнения:

    1) sin x = 2 – это уравнение не имеет корней, так как sin x < 2 при любом значении x ;

    2) sin x = –0,5,

    Ответ :

    Однородные тригонометрические уравнения

    Пример задания. Решить уравнение 2sin 2 x – 3sinx cosx – 5cos 2 x = 0.

    Решение. Рассмотрим два случая:

    1) cosx = 0 и 2) cosx ≠ 0.

    Случай 1. Если cos x = 0, то уравнение принимает вид 2sin 2 x = 0, откуда sinx = 0. Но это равенство не удовлетворяет условию cosx = 0, так как ни при каком x косинус и синус одновременно в нуль не обращаются.

    Случай 2. Если cos x ≠ 0, то можно разделить уравнение на cos 2 x «Алгебра и начало математического анализа. 10 класс» , как и многие другие издания, можно на платформе LECTA. Для этого воспользуйтесь предложением .

    #ADVERTISING_INSERT#