Пылинка, имеющая массу 10 -8 г и заряд

(-1,8)·10 -14 Кл, влетает в электрическое поле вертикального высокого конденсатора в точке, находящейся посередине между его пластинами (см. рисунок, вид сверху). Чему должна быть равна минимальная скорость, с которой пылинка влетает в конденсатор, чтобы она смогла пролететь его насквозь? Длина пластин конденсатора 10 см, расстояние между пластинами 1 см, напряжение на пластинах конденсатора 5 000 В. Система находится в вакууме.

Вариант №1

В1. В доме, в котором живет Оля, 9 этажей и несколько подъездов. На каждом этаже находится по 6 квартир. Оля живет в квартире №98. В каком подъезде живет Оля?

В2. На диаграмме показано количество посетителей сайта РИА Новости во все дни с 10 по 29 ноября 2009 года. По горизонтали указываются дни месяца, по вертикали - количество посетителей сайта за данный день. Определите по диаграмме, во сколько раз наибольшее количество посетителей больше, чем наименьшее количество посетителей за день.

В3. Найдите площадь треугольника, вершины которого имеют координаты (1;7), (3;7), (7;9).

В4. В таблице даны тарифы на услуги трех фирм такси. Предполагается поездка длительностью 70 минут. Нужно выбрать фирму, в которой заказ будет стоить дешевле всего. Сколько рублей будет стоить этот заказ?

*Если поездка продолжается меньше указанного времени, она оплачивается по стоимости минимальной поездки.

В5. Найдите корень уравнения

В6 . В треугольнике ABC AC=20, BC =4,5 , угол C равен 90 0 . Найдите радиус вписанной окружности.

В7 . Найдите значение выражения .

В8. На рисунке изображен график - производной функции , определенной на интервале . Найдите количество точек экстремума функции , принадлежащих отрезку .

В9. В правильной шестиугольной призме все ребра равны 1. Найдите угол . Ответ дайте в градусах.

В10. В случайном эксперименте симметричную монету бросают трижды. Найдите вероятность того, что орел выпадет все три раз

В11. Конус вписан в шар. Радиус основания конуса равен радиусу шара. Объем конуса равен 6. Найдите объем шара.

В12. Высота над землeй подброшенного вверх мяча меняется по закону , где h - высота в метрах, t - время в секундах, прошедшее с момента броска. Сколько секунд мяч будет находиться на высоте не менее 5 метров?

В13. Из двух городов, расстояние между которыми равно 560 км, навстречу друг другу одновременно выехали два автомобиля. Через сколько часов автомобили встретятся, если их скорости равны 65 км/ч и 75 км/ч?

В14. Найдите наименьшее значение функции на отрезке .

Часть 2

С1 а) Решить уравнение 4 s w:ascii="Cambria Math" w:h-ansi="Cambria Math"/>sinx"> +5 = 0 .

б) Указать корни, принадлежащие промежутку .

С2 . В правильной шестиугольной призме ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 все ребра которой равны 10, найдите расстояние от точки Е до прямой В 1 С 1

С3 . Решить систему неравенств

С4. Прямая, перпендикулярная гипотенузе прямоугольного треугольника, отсекает от него четырехугольник, в который можно вписать окружность. Найти радиус окружности, если отрезок этой прямой, заключенной внутри треугольника, равен 40, а отношение катетов треугольника равно .

С5 . Найти все значения а , при каждом из которых наименьшее значение функции f(x) = 2a x + больше 1.

С6. Можно ли привести пример пяти различных натуральных чисел, произведение которых равно 1008 и

б) четыре;

из них образуют геометрическую прогрессию?

Вариант №2 Часть 1

В1. В сентябре 1 кг картофеля стоил 20 рублей, в октябре картофель подорожал на 25%, а в ноябре еще на 20%. Сколько рублей стоил 1 кг картофеля после подорожания в ноябре?

В2. На рисунке жирными точками показан курс доллара, установленный Центробанком РФ, во все рабочие дни с 22 сентября по 22 октября 2010 года. По горизонтали указываются числа месяца, по вертикали - цена доллара в рублях. Для наглядности жирные точки на рисунке соединены линией. Определите по рисунку, какой был курс доллара 9 октября. Ответ дайте в рублях.

В3. Найдите площадь прямоугольника, вершины которого имеют координаты (9;0), (10;1), (1;10), (0;9).

В4 . Из пункта А в пункт D ведут три дороги. Через пункт В едет грузовик со средней скоростью 36 км/ч, через пункт С едет автобус со средней скоростью 48 км/ч. Третья дорога - без промежуточных пунктов, и по ней движется легковой автомобиль со средней скоростью 56 км/ч. На рисунке показана схема дорог и расстояние (в км) между пунктами по дорогам. Все три автомобиля одновременно выехали из А. Какой автомобиль добрался до D позже других? В ответе укажите, сколько часов он находился в дороге.

В5. Найдите корень уравнения .

В6. Угол между стороной правильного n-угольника, вписанного в окружность, и радиусом этой окружности, проведенным в одну из вершин стороны, равен 80 0 . Найдите n.

В7 . Найдите значение выражения .

С1_1.

Ток через вольтметр практически не течет, а сопротивление амперметра пренебрежимо мало.

2. Сила тока в цепи определяется законом Ома для замкнутой (полной)

цепи:

В соответствии с законом Ома для участка цепи напряжение, измеряемое

вольтметром: U = I (R1 + R2) = ε − Ir .

3. При перемещении движка реостата вправо его сопротивление

уменьшается, что приводит к уменьшению полного сопротивления цепи.

Сила тока в цепи при этом растет, а напряжение на батарее уменьшается.

С1_2. Около небольшой металлической пластины, укрепленной на изолирующей подставке, подвесили на шелковой нити легкую металлическую незаряженную гильзу. Когда пластину подсоединили к клемме высоковольтного

выпрямителя, подав на нее положительный заряд, гильза пришла в движение. Опишите движение гильзы и объясните его.

Под действием электрического поля пластины изменится распределение электронов в гильзе и произойдет ее электризация: та ее сторона, которая ближе к пластине, будет иметь отрицательный заряд, а противоположная сторона - положительный. Поскольку сила взаимодействия заряженных тел уменьшается с ростом расстояния между ними, притяжение к пластине левой стороны гильзы

будет больше отталкивания правой стороны гильзы, и гильза будет

двигаться к пластине, пока не коснется ее. В момент касания часть электронов перейдет с гильзы на положительно заряженную пластину, гильза приобретет положительный заряд и оттолкнется от одноименно заряженной пластины. Гильза

отклонится вправо и зависнет в положении, когда равнодействующая всех

сил равна нулю.

С1_3.

В схеме, показанной на рисунке, сопротивления резисторов одинаковы.

Как изменится напряжение между обкладками конденсатора в результате

замыкания ключа К? Внутреннее сопротивление источника равно нулю.

Ответ поясните, указав, какие физические закономерности вы

использовали для объяснения.

1) Ответ: напряжение на обкладках конденсатора уменьшится вдвое.

2) В случае разомкнутого ключа напряжение на обкладках конденсатора

равно ε, так как внутреннее сопротивление источника тока равно 0.

3) Резисторы в цепи включены последовательно. Поэтому при замкнутом

ключе напряжение на обкладках конденсатора равно напряжению на

параллельно подключенном резисторе, которое, в свою очередь, по закону

Ома равно U =ε/2 .

С1_4 .На трех параллельных металлических пластинах

большой площади располагаются заряды, указанные

на рисунке. Какой заряд находится на левой плоскости первой пластины?

Суммарное электрическое поле внутри первой пластины должно быть

равно нулю , иначе в ней будет течь ток. Значит, поле зарядов,

расположенных левее этого массива , должно компенсироватьс я полем

зарядов, расположенных справа от него .

Поэтому, во-первых, суммарный заряд всех трех пластин должен быть

распределен так, что суммарный «левый» заряд равен (по величине и по

знаку) суммарному «правому» заряду.

Во-вторых, суммарный заряд всех трех пластин равен нулю:

q -3 q  2 q  0 . Значит, слева от проводящего массива первой пластины

(как и справа от него) должен располагаться суммарный нулевой заряд.

Это достигается в том случае, когда на левой поверхности первой

пластины находится заряд 0.

С2_1 .Тело, свободно падающее с высоты 7,8 м, первый участок пути от начала движения проходит за время τ, а такой же участок в конце – за время 0,5τ.

Найдите τ.

С2_2. Маленький шарик падает сверху на наклонную плоскость и упруго

отражается от неё. Найдите скорость шарика в момент его следующего

удара о плоскость. Угол наклона плоскости к горизонту равен 30°.

Скорость шарика в момент первого удара направлена вертикально вниз и

равна 1 м/с.

С2_3 . На границе раздела керосина и ртути плавает однородный сплошной цилиндр (см. рисунок). Доля объема цилиндра, которая находится выше границы раздела жидкостей, α = 0,367 . Какова плотность цилиндра ρ ?

ρ 1 – плотность керосина,

ρ 2 – плотность ртути.

Условие плавания тел: ρVg = ρ 1 V 1 g + ρ 2 V 2 g,

где V – объем цилиндра, V1 и V2 – соответственно объемы верхней и

нижней частей цилиндра, причем V 1 + V 2 = V.

Поскольку α = V 1/ V , тогда находим плотность цилиндра:

ρ = ρ 2 − α(ρ 2 − ρ 1).

Ответ: ρ ≈ 8900 кг/м3.

№ 29

С3_1. В горизонтально расположенной трубке постоянного сечения, запаянной с одного конца, помещен столбик ртути длиной 15 см, который отделяет воздух в трубке от атмосферы. Трубку расположили вертикально запаянным концом вниз и нагрели на 60 К. При этом объем, занимаемый воздухом, не изменился. Давление атмосферы в лаборатории –750 мм рт.ст. Какова температура воздуха в лаборатории?

Рис 1. Рис 2

В начальный момент времени давление воздуха в правой (закрытой части трубки равно атмосферному). Когда трубку перевернули – давление воздуха (он теперь внизу трубки) равно атмосферному давлению + давление столбика ртути : p = p 0 + h , где

p 0 = 750 мм рт.ст, h = 150 мм рт. ст.

Поскольку нагревание воздуха в трубке происходит до температуры T = T 0 + ΔT = T 0 + 60 и первоначального объема, то по уравнению Клапейрона -Менделеева: p 0 V = ν RT (p 0 + h ) V = ν R (T + 60)

Ответ: T 0 = 300 К.

С3_2. В калориметре находился лед при температуре − 5°С. Какой была масс льда, если после добавления в калориметр 15 г воды, имеющей температуру 20°С, и установления теплового равновесия температура содержимого калориметра оказалась равной − 2°С? Теплообменом с окружающей средой и теплоемкостью калориметра пренебречь .

Количество теплоты, необходимое для нагревания льда, находящегося в калориметре, до температуры t: Q = c 1 m 1 (t − t 1).

Количество теплоты, отдаваемое водой при охлаждении ее до 0 °С:

Q 1 = c 2 m 2 (t 2 − 0).Количество теплоты, выделяющейся при отвердевании воды при 0 °С: Q 2 = λm 2 .

Количество теплоты, выделяющейся при охлаждении льда, полученного из

воды, до температуры t: Q 3 = c 1 m 2 (0 − t).

Уравнение теплового баланса: Q = Q1 +Q2 +Q3 .

С3_3.

Воздушный шар, оболочка которого имеет массу M = 145 кг, наполняется горячим воздухом, нагретым до температуры t = 265 °С. Определите минимальный объем шара, при котором он начнет подниматься, если

температура окружающего воздуха t0 = 0 °С и давление 10 5 Па? Оболочка шара нерастяжима и имеет в нижней части небольшое отверстие.

Условие, соответствующее подъему шара F Арх ≥ Mg + mg ,

где М – масса оболочки, m – масса воздуха внутри оболочки, или

ρ 0 gV ≥ Mg + ρgV ⇒ ρ 0 V ≥ M + ρV ,

где ρ 0 – плотность окружающего воздуха, ρ – плотность воздуха внутри

оболочки, V – объем шара.

Для воздуха внутри шара:

С3_4.

Одноатомный идеальный газ неизменной массы совершает циклический

процесс, показанный на рисунке. Газ отдает за цикл холодильнику

количество теплоты |Qх| = 8 кДж. Чему равна работа газа за цикл?

За цикл количество теплоты, отданное холодильнику:

|Qх| = (U 2 – U 3) + |A 23 | = (3/2)(νRT 2 – νRT 3) + (1/2)(p 0 + 2p 0) 2V 0 =

= (3/2)(2p 0 3V 0 – p 0 V 0) + 3p 0 V 0 = (21/2) p0V0.

Работа газа за цикл Aц = (p 0 /2) 2V 0 = p 0 V 0 .

Отсюда Ац = (2/21) |Qх| ≈ 760 Дж. Ответ: Ац ≈ 760 Дж.

С3_5.

С3_6.

Решение задач части С4 .

C 4_1 .По прямому горизонтальному проводнику длиной L = 1 м с площадью поперечного сечения 1,25*10 –5 м 2 , подвешенному с помощью двух одинаковых невесомых пружинок жесткостью 100 Н/м, течет электрический ток I = 10 А. При включении вертикального магнитного поля с индукцией B = 0,1 Тл проводник отклонился от исходного положения так, что оси пружинок составляют с вертикалью угол α (см. рисунок). Абсолютное удлинение каждой из пружинок при этом составляет 7·10 –3 м. Определите плотность материала ρ провода.

С4_2.

Положительно заряженная пылинка, имеющая массу 10–8 г, влетает в

электрическое поле конденсатора в точке, находящейся посередине между его пластинами (см. рисунок). Минимальная скорость, с которой пылинка должна влететь в конденсатор, чтобы затем пролететь его насквозь, равна 30 м/с. Длина пластин конденсатора 10 см, расстояние между пластинами

1 см, напряженность электрического поля внутри конденсатора 500 кВ/м. Чему равен заряд частицы? Силой тяжести пренебречь. Система находится в вакууме.

С4_3.

В электрической цепи, показанной на рисунке, ЭДС источника тока равна 4,5 В; емкость конденсатора 2 мФ; индуктивность катушки

20 мГн и сопротивление лампы 5 Ом. В начальный момент времени ключ К замкнут. Какая энергия выделится в лампе после размыкания ключа? Внутренним сопротивлением источника тока пренебречь. Сопротивлением катушки и проводов пренебречь.

Пока ключ замкнут, через катушку L течет ток I,

определяемый

сопротивлением лампочки,

конденсатор заряжен до напряжения: U = ε. Энергия электромагнитного поля в катушке L:

Энергия электромагнитного поля в конденсаторе

После размыкания ключа вся энергия, запасенная в конденсаторе и

катушке, выделится в лампе:

С4_4 .Конденсатор емкостью 2 мкФ присоединен к источнику постоянного тока с ЭДС 3,6 В и внутренним сопротивлением 1 Ом. Сопротивления резисторов R 1 = 4 Ом, R 2 = 7 Ом, R 3 = 3 Ом. Каков заряд на левой обкладке конденсатора?

С4_5.

Электрическая цепь состоит из источника тока и реостата. Внутреннее

сопротивление источника r = 2 Ом. Сопротивление реостата можно

изменять в пределах от 1 Ом до 5 Ом. Максимальная мощность тока Рmax, выделяемая на реостате, равна 4,5 Вт. Чему равна ЭДС источника?

Мощность, выделяемая в цепи, Р = IU = I (ℰ – Ir ).

Корни уравнения I( ℰ – Ir) = 0: I 1 = 0,I 2 = ℰ /r.

Поэтому максимум функции P(I) достигается при I = ℰ /(2r) и равен

Pmax = ℰ 2 /(4r) =4,5 (Вт). Поэтому ℰ 2 =4r Pmax, откуда ℰ =6В.

Ответ: ℰ = 6 В.

С4_6.

С4_7.

А25

ЭДС= U конд + U резисторе U резисторе =IR

C 5_1 .В идеальном колебательном контуре амплитуда колебаний силы тока в катушке индуктивности Im = 5 мА , а амплитуда напряжения на конденсаторе U = 2,0 В . В момент времени t напряжение на конденсаторе равно 1,2 В . Найдите силу тока в катушке в этот момент.

Тогда:

С5_2 .Плоская горизонтальная фигура площадью 0,1 м 2 , ограниченная

проводящим контуром, с сопротивлением 5 Ом , находится в однородном

магнитном поле. Пока проекция магнитной индукции на вертикальную ось О z медленно и равномерно убывает от некоторого начального значения B 1 z до конечного значения B 2 z = – 0,1 Тл, по контуру протекает заряд

0,008 Кл . Найдите B 1 z , если ось Oz перпендикулярна плоскости фигуры.

С5_3. Тонкий алюминиевый брусок прямоугольного сечения, имеющий длину

L = 0,5 м, соскальзывает из состояния покоя по гладкой наклонной плоскости из диэлектрика в вертикальном магнитном

поле индукцией В = 0,1 Тл (см. рисунок). Плоскость наклонена к горизонту под углом α = 30°. Продольная ось бруска при движении сохраняет

горизонтальное направление. В момент, когда брусок пройдет по

наклонной плоскости расстояние l, величина ЭДС индукции на концах

бруска ε = 0,17 В. Найдите l.

С5_4.

С5_5.

Электроны, вылетевшие в положительном направлении оси OX под действием света с катода фотоэлемента, попадают в электрическое и магнитное поля (см. рисунок). Какой должна быть частота падающего света

ν, чтобы в момент попадания самых быстрых электронов в область полей действующая на них сила была направлена против оси OY ? Работа выхода для вещества катода 2,39 эВ, напряжённость электрического поля 3 · 10 2 В/м, индукция магнитного поля 10 −3 Тл.

С5_6. Небольшой груз, подвешенный на длинной нити, совершает гармонические колебания с амплитудой 0,1 м. При помощи собирающей линзы с фокусным расстоянием 0,2 м изображение колеблющегося груза проецируется на экран, расположенный на расстоянии 0,5 м от линзы. Главная оптическая ось линзы перпендикулярна плоскости колебаний маятника и плоскости экрана. Максимальная скорость изображения груза на экране равна 0,3 м/с. Какова длина нити подвеса?

С5_7.

С5_8 . Плоская катушка диаметром 6 см, состоящая из 120 витков, находится в однородном магнитном поле, индукция которого 6 ⋅ 10–2 Тл. Катушка поворачивается вокруг оси, перпендикулярной линиям индукции, на угол

180  за 0,2 с. Плоскость катушки до и после поворота перпендикулярна

линиям индукции поля. Чему равно среднее значение ЭДС индукции,

возникающей в катушке?

C 6_1 . Образец, содержащий радий, за 1 с испускает 3,7 ⋅ 10 10 α-частиц, обладающих импульсом 1,0 ⋅ 10 –19 кг ⋅ м/с . За какое время выделится энергия

100 Дж ? Масса α-частиц равна 6,7 ⋅ 10 –27 кг. Энергией отдачи ядер,

γ-излучением и релятивистскими эффектами пренебречь.

С6_2 . Препарат активностью 1,7 ⋅ 10 11 частиц в секунду помещен в медный контейнер массой 0,5 кг. За 30 мин температура контейнера повышается на 1,3 К. Найдите энергию α-частицы, считая, что энергия всех α-частицполностью переходит во внутреннюю энергию. Теплоемкостью препаратаи теплообменом с окружающей средой пренебречь.

За время Δt в препарате выделяется количество теплоты Q = A ⋅ ε ⋅ Δt, где электронной оболочки атома и указаны частоты

фотонов, излучаемых и поглощаемых при

переходах между этими уровнями. Какова

частота ν 24 , если ν 13 = 7·10 14 Гц, ν 32 = 3·10 14 Гц, а

при переходе с уровня Е 4 на уровень Е 1

излучаются фотоны длиной волны λ = 360 нм?

С6_5 . Пациенту ввели внутривенно V 0 = 1 см 3 раствора, содержащего изотоп 24 11 Na, общей активностью а 0 = 2000 распадов в секунду. Период

полураспада изотопа равен 15,3 ч. Какова активность такой же по

объему пробы крови пациента через t = 3 ч 50 мин, если общий объем его

крови V = 6 л?

Активность всего объема крови пациента по прошествии времени t равна

a (t ) = a 0 2 - t/T

Активность образца крови в момент времени t:

С6_6.

С6_7.

ЗАРЯЖЕННОЕ ТЕЛО В КОНДЕНСАТОРЕ

Задача 5.1. Пылинка имеет массу т = 1,0×10 –11 кг и заряд q = = 9,8×10 –16 Кл. Каким должно быть расстояние между горизонтально расположенными пластинками, к которым приложена разность потенциалов U = 5,0×10 3 В, чтобы пылинка висела между ними?

Так как пылинка неподвижна, то mg = Eq и Е = U/d . Подставим второе уравнение в первое и получим:

.

Подставим численные значения:

0,050 м = 5,0 см.

Ответ : » 5,0 см.

СТОП! Решите самостоятельно: А1, В2, C1.

Задача 5.2. В плоском конденсаторе электроемкостью С = 3,5´ ´10 -10 Ф, пластины которого расположены горизонтально, движется вниз заряженная капля массы т = 2,5×10 –4 кг с ускорением а = = 1,8 м/с 2 . Определить заряд на пластинах конденсатора, если заряд капли q = 1,0×10 –6 Кл, а расстояние между пластинами d = 0,1 м.

» 7×10 –9 Кл.

Ответ : » 7×10 –9 Кл.

СТОП! Решите самостоятельно: А3, В8, C2, С4.

Задача 5.3. Шарик массы т = 0,4 г и с зарядом q = 4,9 нКл подвешен на нити в поле плоского воздушного конденсатора, заряд которого Q = 4,43 нКл и площадь пластины S = 50 см 2 . На какой угол от вертикали отклонится при этом нить с шариком?

Учтем, что

Подставим (3) в (1) и решим систему уравнений (1) и (2) относительно угла a:

Ответ : .

СТОП! Решите самостоятельно: А4, В9, C6.

Задача 5.4. Внутри плоского конденсатора, к обкладкам которого приложена разность потенциалов U = 5 В, помещен стержень длины l = 5 см с двумя точечными зарядами q = 2×10 –6 Кл противоположного знака. Найти максимальный момент М относительно центра стержня сил, действующих на стержень с зарядами, если расстояние между обкладками d = 10 см. Определить работу А сил электрического поля при повороте стержня на угол a = 90° от положения неустойчивого равновесия.

Когда стержень расположен параллельно пластинам конденсатора, моменты сил и примут максимальные значения:

, ,

а суммарный момент, вращающий стержень по часовой стрелке, будет равен

Подставим числовые значения:

Работа сил электрического поля не зависит от формы траектории, поэтому работа сил поля над положительным зарядом при повороте стержня будет точно такой же, как при перемещении заряда из точки 1 в точку 2 по двум прямолинейным отрезкам 1 0 и 02 (рис. 5.5).