КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА ПО ДИСЦИПЛИНЕ:
«МЕТОДЫ ОПТИМАЛЬНЫХ РЕШЕНИЙ»
Вариант № 8
1. Решить графическим методом задачу линейного программирования. Найти максимум и минимум функции при заданных ограничениях:
,
.
Решение
Необходимо найти минимальное значение целевой функции и максимальное, при системе ограничений:
9x 1 +3x 2 ≥30, (1)
X 1 +x 2 ≤4, (2)
x 1 +x 2 ≤8, (3)
Построим область допустимых решений, т.е. решим графически систему неравенств. Для этого построим каждую прямую и определим полуплоскости, заданные неравенствами (полуплоскости обозначены штрихом).
Пересечением полуплоскостей будет являться область, координаты точек которого удовлетворяют условию неравенствам системы ограничений задачи. Обозначим границы области многоугольника решений.
Построим прямую, отвечающую значению функции F = 0: F = 2x 1 +3x 2 = 0. Вектор-градиент, составленный из коэффициентов целевой функции, указывает направление минимизации F(X). Начало вектора – точка (0; 0), конец – точка (2; 3). Будем двигать эту прямую параллельным образом. Поскольку нас интересует минимальное решение, поэтому двигаем прямую до первого касания обозначенной области. На графике эта прямая обозначена пунктирной линией.
Прямая
пересекает область в точке C. Так как
точка C получена в результате пересечения
прямых (4) и (1), то ее координаты удовлетворяют
уравнениям этих прямых:
.
Решив систему уравнений, получим: x 1 = 3.3333, x 2 = 0.
Откуда найдем минимальное значение целевой функции: .
Рассмотрим целевую функцию задачи .
Построим прямую, отвечающую значению функции F = 0: F = 2x 1 +3x 2 = 0. Вектор-градиент, составленный из коэффициентов целевой функции, указывает направление максимизации F(X). Начало вектора – точка (0; 0), конец – точка (2; 3). Будем двигать эту прямую параллельным образом. Поскольку нас интересует максимальное решение, поэтому двигаем прямую до последнего касания обозначенной области. На графике эта прямая обозначена пунктирной линией.
Прямая
пересекает область в точке B. Так как
точка B получена в результате пересечения
прямых (2) и (3), то ее координаты удовлетворяют
уравнениям этих прямых:
.
Откуда найдем максимальное значение целевой функции: .
Ответ:
и
.
2 . Решитьзадачу линейного программирования симплекс-методом:
.
Решение
Решим прямую задачу линейного программирования симплексным методом, с использованием симплексной таблицы.
Определим минимальное значение целевой
функции
при следующих условиях-ограничений:
.
Для построения первого опорного плана систему неравенств приведем к системе уравнений путем введения дополнительных переменных.
В 1-м неравенстве смысла (≥) вводим базисную переменную x 3 со знаком минус. В 2-м неравенстве смысла (≤) вводим базисную переменнуюx 4 . В 3-м неравенстве смысла (≤) вводим базисную переменную x 5 .
Введем искусственные переменные
:
в 1-м равенстве вводим переменнуюx
6
;
Для постановки задачи на минимум целевую функцию запишем так: .
За использование искусственных переменных, вводимых в целевую функцию, накладывается так называемый штраф величиной М, очень большое положительное число, которое обычно не задается.
Полученный базис называется искусственным, а метод решения называется методом искусственного базиса.
Причем искусственные переменные не имеют отношения к содержанию поставленной задачи, однако они позволяют построить стартовую точку, а процесс оптимизации вынуждает эти переменные принимать нулевые значения и обеспечить допустимость оптимального решения.
Из уравнений выражаем искусственные переменные: x 6 = 4-x 1 -x 2 +x 3 , которые подставим в целевую функцию: или.
Матрица коэффициентов
этой системы уравнений имеет вид:
.
Решим систему уравнений относительно базисных переменных: x 6 , x 4 , x 5.
Полагая, что свободные переменные равны 0, получим первый опорный план:
X1 = (0,0,0,2,10,4)
Базисное решение называется допустимым, если оно неотрицательно.
|
x 1 |
x 2 |
x 3 |
x 4 |
x 5 |
x 6 |
||
|
x 6 | |||||||
|
x 4 | |||||||
|
x 5 | |||||||
Текущий опорный план не оптимален, так
как в индексной строке находятся
положительные коэффициенты. В качестве
ведущего выберем столбец, соответствующий
переменной x 2 , так как это наибольший
коэффициент. Вычислим значенияD
i
и из них выберем наименьшее: min(4: 1 , 2: 2
, 10: 2) = 1.
Следовательно, 2-ая строка является ведущей.
Разрешающий элемент равен (2) и находится на пересечении ведущего столбца и ведущей строки.
|
x 1 |
x 2 |
x 3 |
x 4 |
x 5 |
x 6 | |||
|
x 6 | ||||||||
|
x 4 | ||||||||
|
x 5 | ||||||||
Формируем следующую часть симплексной таблицы. Вместо переменной x 4 в план 1 войдет переменная x 2 .
Строка, соответствующая переменной x 2 в плане 1, получена в результате деления всех элементов строки x 4 плана 0 на разрешающий элемент РЭ=2. На месте разрешающего элемента получаем 1. В остальных клетках столбца x 2 записываем нули.
Таким образом, в новом плане 1 заполнены строка x 2 и столбец x 2 . Все остальные элементы нового плана 1, включая элементы индексной строки, определяются по правилу прямоугольника.
|
x 1 |
x 2 |
x 3 |
x 4 |
x 5 |
x 6 |
||
|
x 6 | |||||||
|
x 2 | |||||||
|
x 5 | |||||||
|
1 1 / 2 +1 1 / 2 M |
Текущий опорный план неоптимален, так
как в индексной строке находятся
положительные коэффициенты. В качестве
ведущего выберем столбец, соответствующий
переменной x 1 , так как это наибольший
коэффициент. Вычислим значенияD
i
по строкам как частное от деления:
и из них выберем наименьшее: min (3: 1 1 / 2 , - , 8: 2) = 2.
Следовательно, 1-ая строка является ведущей.
Разрешающий элемент равен (1 1 / 2) и находится на пересечении ведущего столбца и ведущей строки.
|
x 1 |
x 2 |
x 3 |
x 4 |
x 5 |
x 6 | |||
|
x 6 |
1 1 / 2 | |||||||
|
x 2 | ||||||||
|
x 5 | ||||||||
|
-1 1 / 2 +1 1 / 2 M |
Формируем следующую часть симплексной таблицы. Вместо переменной x 6 в план 2 войдет переменная x 1 .
Получаем новую симплекс-таблицу:
|
x 1 |
x 2 |
x 3 |
x 4 |
x 5 |
x 6 |
||
|
x 1 | |||||||
|
x 2 | |||||||
|
x 5 | |||||||
Среди значений индексной строки нет положительных. Поэтому эта таблица определяет оптимальный план задачи.
Окончательный вариант симплекс-таблицы:
|
x 1 |
x 2 |
x 3 |
x 4 |
x 5 |
x 6 |
||
|
x 1 | |||||||
|
x 2 | |||||||
|
x 5 | |||||||
Так как в оптимальном решении отсутствуют искусственные переменные (они равны нулю), то данное решение является допустимым.
Оптимальный план можно записать так: x 1 = 2, x 2 = 2:.
Ответ
:
,
.
3. Фирма «Три толстяка» занимается доставкой мясных консервов с трёх складов, расположенных в разных точках города в три магазина. Запасы консервов, имеющиеся на складах, а также объёмы заказов магазинов и тарифы на доставку (в условных денежных единицах) представлены в транспортной таблице.
Найти план перевозок, обеспечивающий наименьшие денежные затраты (первоначальный план перевозок выполнить по методу «северо-западного угла»).
Решение
Проверим необходимое и достаточное условие разрешимости задачи:
=
300 + 300 + 200 = 800 .
=
250 + 400 + 150 = 800.
Условие баланса соблюдается. Запасы равны потребностям. Следовательно, модель транспортной задачи является закрытой.
Занесем исходные данные в распределительную таблицу.
|
Потребности |
Используя метод северо-западного угла, построим первый опорный план транспортной задачи.
План начинается заполняться с верхнего левого угла.
Искомый элемент равен 4. Для этого элемента запасы равны 300, потребности 250. Поскольку минимальным является 250, то вычитаем его: .
|
300 - 250 = 50 |
|||
|
250 - 250 = 0 |
Искомый элемент равен 2. Для этого элемента запасы равны 50, потребности 400. Поскольку минимальным является 50, то вычитаем его: .
|
50 - 50 = 0 |
|||
|
400 - 50 = 350 |
Искомый элемент равен 5. Для этого элемента запасы равны 300, потребности 350. Поскольку минимальным является 300, то вычитаем его:
|
300 - 300 = 0 |
|||
|
350 - 300 = 50 |
Искомый элемент равен 3. Для этого элемента запасы равны 200, потребности 50. Поскольку минимальным является 50, то вычитаем его:
|
200 - 50 = 150 |
|||
|
50 - 50 = 0 |
Искомый элемент равен 6. Для этого элемента запасы равны 150, потребности 150. Поскольку минимальным является 150, то вычитаем его:
|
150 - 150 = 0 |
|||
|
150 - 150 = 0 |
|
Потребности |
Найти графическим методом максимум целевой функции
F = 2x 1 + 3x 2 ® max
При ограничениях
Решение с помощью таблиц Excel
Вначале построим на листе Excel решение системы неравенств.
Рассмотрим первое неравенство .
Построим граничную прямую по двум точкам. Прямую обозначим (L1)(или Ряд1). Координаты х 2 считаем по формулам:
Для построения выбираем точечную диаграмму
Выбираем данные для прямой
Изменяем название прямой:
Выбираем макет диаграммы. Изменяем название осей координат:
Прямая (L1) на графике:
Решение строгого неравенства можно найти с помощью единственной пробной точки, не принадлежащей прямой (L1). Например, с помощью точки (0; 0)Ï(L1).
0 + 3×0 < 18 или 0 < 18 .
Неравенство является верным, следовательно решением неравенства (1) будет та полуплоскость, в которой пробная точка расположена (на рисунке ниже прямой L1).
Затем решаем неравенство (2) .
Построим граничную прямую 2 по двум точкам. Прямую обозначим (L2).
Прямая (L2) на графике:
Решение строгого неравенства 2 можно найти с помощью единственной пробной точки, не принадлежащей прямой (L2). Например, с помощью точки (0; 0)Ï(L2).
При подстановке координат точки (0; 0), получаем неравенство
2×0 + 0 < 16 или 0 < 16 .
Неравенство является верным, следовательно решением неравенства (2) будет та полуплоскость, в которой пробная точка расположена (на рисунке ниже прямой L2).
Затем решаем неравенство (3) .
Построим граничную прямую по двум точкам. Прямую обозначим (L3).
Прямая (L3) на графике:
Решение строгого неравенства 2 можно найти с помощью единственной пробной точки, не принадлежащей прямой (L3). Например, с помощью точки (0; 0)Ï(L3).
При подстановке координат точки (0; 0), получаем неравенство
Неравенство является верным, следовательно решением неравенства (3) будет та полуплоскость, в которой пробная точка расположена (на рисунке ниже прямой L3).
Затем решаем неравенство (4) .
Построим граничную прямую по двум точкам. Прямую обозначим (L4).
На листе Excel добавляем данные
Прямая (L4) на графике:
Решение строгого неравенства 3х 1 < 21 можно найти с помощью единственной пробной точки, не принадлежащей прямой (L4). Например, с помощью точки (0; 0)Ï(L4).
При подстановке координат точки (0; 0), получаем неравенство
Неравенство является верным, следовательно, решением неравенства (4) будет та полуплоскость, в которой пробная точка расположена (на рисунке левее прямой L4).
Решением двух неравенств (5) и (6)
является 1-ая четверть, ограниченная координатными прямыми и .
Система неравенств решена. Решением системы неравенств (1) – (6) в данном примере является выпуклый многоугольник в левом нижнем углу рисунка, ограниченный прямыми L1, L2, L3, L4 и координатными прямыми и . Убедиться, что многоугольник выбран правильно, можно подстановкой пробной точки, например (1; 1) в каждое неравенство исходной системы. При подстановке точки (1; 1) получаем, что все неравенства, в том числе естественные ограничения, верные.
Рассмотрим теперь целевую функцию
F = 2x 1 + 3x 2 .
Построим линии уровня для значений функции F = 0 и F = 12 (числовые значения выбраны произвольно). На листе Excel добавляем данные
Линии уровней на графике:
Построим вектор направлений (или градиент) {2; 3}. Координаты вектора совпадают с коэффициентами целевой функции F .
ТЕМА: ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ
ЗАДАЧА 2.А. Решение задачи линейного программирования графическим методом
Внимание!
Это ОЗНАКОМИТЕЛЬНАЯ ВЕРСИЯ работы №2073, цена оригинала 200 рублей. Оформлена в программе Microsoft Word.
Оплата . Контакты.
Вариант 7. Найти максимальное и минимальное значения линейной функции Ф = 2x 1 — 2·x 2 при ограничениях: x 1 + х 2 ≥ 4;
— х 1 + 2·х 2 ≤ 2;
x 1 + 2·х 2 ≤ 10;
х i ≥ 0, i = 1,2.
Решение:
Заменив условно знаки неравенств на знаки равенств, получим систему уравнений x1 + х2 = 4;
— х1 + 2·х2 = 2;
x1 + 2·х2 = 10.
Построим по этим уравнениям прямые, затем в соответствии со знаками неравенств выделим полуплоскости и получим их общую часть – область допустимых решений ОДР – четырехугольник MNPQ.
Минимальное значение функ-
ции — в точке М(2; 2)
Ф min = 2·2 — 2·2 = 0.
Максимальное значение достигается в точке N (10; 0),
Ф max = 2·10 — 2·0 = 20.
Вариант 8. Найти максимальное и минимальное значения
линейной функции Ф = x 1 + x 2
при ограничениях: x 1 — 4·х 2 — 4 ≤ 0;
3·х 1 — х 2 ≥ 0;
x 1 + х 2 — 4 ≥ 0;
х i ≥ 0, i = 1,2.
Решение:
Заменив условно знаки неравенств на знаки равенств, получим систему уравнений x1 — 4·х2 = 4 ;
3·х1 — х2 = 0;
Построим по этим уравнениям прямые, затем в соответствии со знаками неравенств выделим полуплоскости и получим их общую часть – область допустимых решений ОДР – неограниченный многоугольник MNPQ.
Минимальное значение функ-
ции – на прямой NP, например
в точке Р(4; 0)
Ф min = 4 + 0 = 4.
ОДР сверху не ограничена, следовательно, Ф max = + ∞.
Вариант 10. Найти максимальное и минимальное значения
линейной функции Ф = 2·x 1 — 3·x 2
при ограничениях: x 1 + 3·x 2 ≤ 18;
2·х 1 + х 2 ≤ 16;
х 2 ≤ 5;
х i ≥ 0, i = 1,2.
Заменив условно знаки неравенств знаками равенств, получим систему уравнений
x 1 + 3·x 2 = 18 (1);
2·х 1 + х 2 = 16 (2);
3·х 1 = 21 (4).
Построим по этим уравнениям прямые, затем в соответствии со знаками неравенств выделим полуплоскости и получим их общую часть — область допустимых решений ОДР – многоугольник MNPQRS.
Построим вектор Г(2; -3) и через начало координат проведем линию уровня – прямую.
Перемещаем линию уровня в направлении, значение Ф при этом растет. В точке S(7; 0) целевая функция достигает максимума Ф max =2·7–3·0= = 14. Перемещаем линию уровня в направлении, значение Ф при этом убывает. Минимальное значение функции — в точке N(0; 5)
Ф min = 2·0 – 3·5 = –15.
ЗАДАЧА 2.B. Решение задачи линейного программирования
аналитическим симплексным методом
Вариант 7. Минимизировать целевую функцию Ф = x 1 — x 2 + x 3 + x 4 + x 5 — x 6
при ограничениях: x 1 + x 4 +6·x 6 = 9,
3·x 1 + x 2 – 4·x 3 + 2·x 6 = 2,
x 1 + 2·x 3 + x 5 + 2·x 6 = 6.
Решение:
Количество неизвестных n=6, количество уравнений m=3. Следовательно, r = n-m = 3 неизвестных можно принять в качестве свободных. Выберем x 1 , x 3 и x 6 .
Базисные переменные x 2 ,x 4 и x 5 выразим через свободные и приведем систему к единичному базису
х 2 = 2 — 3·x 1 + 4·x 3 – 2·x 6
x 4 = 9 – x 1 – 6·x 6 (*)
x 5 = 6 – x 1 — 2·x 3 – 2·x 6
Целевая функция будет иметь вид:
Ф = x 1 — 2 + 3·x 1 — 4·x 3 + 2·x 6 + x 3 + 9 – x 1 – 6·x 6 +6 – x 1 — 2·x 3 – 2·x 6 – x 6 =
13 + 2·x 1 — 5·x 3 – 7·x 6
Положим x 1 = x 3 = x 6 = 0, при этом базисные переменные примут значения x 2 = 2; x 4 = 9; x 5 = 6, то есть, первое допустимое решение (0; 2; 0; 9; 6; 0), целевая функция Ф 1 = 13.
Переменные х 3 и х 6 входят в целевую функцию с отрицательными коэффициентами, следовательно, при увеличении их значений величина Ф будет уменьшаться. Возьмем, к примеру, х 6 . Из 1-го уравнения системы (*) видно, что увеличение значения x 6 возможно до x 6 = 1 (пока x 2 ³ 0). При этом x 1 и x 3 сохраняют значения, равные нулю. Теперь в качестве базисных переменных примем х 4 , х 5 , х 6 , в качестве свободных – х 1 , х 2 , х 3 . Выразим новые базисные переменные через новые свободные. Получим
х 6 = 1 – 3/2·x 1 – 1/2·x 2 + 2·x 3
x 4 = 3 + 8·x 1 + 3·x 2 – 12·x 3
x 5 = 4 + 2·x 1 + x 2 – 6·x 3
Ф = 6 + 25/2 ·x 1 + 7/2·x 2 – 19·x 3
Присвоим свободным переменным нулевые значения, то есть, x 1 =x 2 = x 3 =0, при этом х 6 = 1, x 4 = 3, x 5 = 4, то есть, третье допустимое решение (0; 0; 0; 3; 4; 1). При этом Ф 3 = 6.
Переменная x 3 входит в целевую функцию с отрицательным коэффициентом, следовательно увеличение x 3 относительно нулевого значения приведет к снижению Ф. Из 2-го уравнения видно, что x 3 может возрастать до 1/4, из 3-го уравнения – до 2/3. Второе уравнение более критично. Переменную x 3 переведем в число базисных, x 4 — в число свободных.
Теперь в качестве новых свободных переменных примем x 1 , x 2 и x 4 . Выразим через них новые базисные переменные x 3 , x 5 , x 6 . Получим систему
х 3 = 1/4 + 2/3·x 1 + 1/4·x 2 – 1/12·x 4
x 5 = 5/2 — 2·x 1 – 1/2·x 2 + 1/2·x 4
x 6 = 3/2 – 1/6·x 1 – 1/6·x 4
Целевая функция примет вид
Ф = 5/4 — 1/6·x 1 — 5/4·x 2 + 19/12·x 4
Переменные х 1 и х 2 входят в целевую функцию с отрицательными коэффициентами, следовательно, при увеличении их значений величина Ф будет уменьшаться. Возьмем, например, х 2 . Из 2-го уравнения системы видно, что увеличение значения x 2 возможно до x 2 = 5 (пока x 5 ³ 0). При этом x 1 и x 4 сохраняют нулевые значения, значения других переменных равны x 3 = 3/2; x 5 = 0, x 6 = 3/2, то есть, четвертое допустимое решение (0; 5; 3/2; 0; 0; 3/2). При этом Ф 4 = 5/4.
Теперь в качестве новых свободных переменных примем x 1 , x 4 и x 5 . Выразим через них новые базисные переменные x 2 , x 3 , x 6 . Получим систему
х 2 = 5 — 4·x 1 + x 4 – 2·x 5
x 3 = 3/2 – 1/3·x 1 + 1/6·x 4 — 1/2·x 5
x 6 = 3/2 – 1/6·x 1 – 1/6·x 4
Целевая функция примет вид
Ф = — 5 + 29/6·x 1 + 1/3·x 4 + 5/2·x 5
Коэффициенты при обеих переменных в выражении для Ф положительные, следовательно, дальнейшее уменьшение величины Ф невозможно.
То есть, минимальное значение Ф min = — 5, последнее допустимое решение (0; 5; 3/2; 0; 0; 3/2) является оптимальным.
Вариант 8. Максимизировать целевую функцию Ф = 4·x 5 + 2·x 6
при ограничениях: x 1 + x 5 + x 6 = 12;
x 2 + 5·x 5 — x 6 = 30;
x 3 + x 5 — 2·x 6 = 6;
2·x 4 + 3·x 5 — 2·x 6 = 18;
Решение:
Количество уравнений равно 4, количество неизвестных – 6. Следовательно r = n – m = 6 – 4 = 2 переменных можем выбрать в качестве свободных, 4 переменных – в качестве базисных. В качестве свободных выберем x 5 и x 6 , в качестве базисных — x 1 , x 2 , x 3 , x 4 . Выразим базисные переменные через свободные и приведем систему уравнений к единичному базису
x 1 = 12 — x 5 — x 6 ;
x 2 = 30 — 5·x 5 + x 6 ;
x 3 = 6 — x 5 + 2·x 6 ;
x 4 = 9 — 3/2·x 5 + x 6 ;
Целевую функцию запишем в виде Ф = 4·x 5 + 2·x 6 . Присвоим свободным переменным нулевые значения x 5 = x 6 = 0. При этом базисные переменные примут значения x 1 = 12, x 2 = 30, x 3 = 6, x 4 = 9, то есть, получим первое допустимое решение (12, 30, 6, 9, 0,) и Ф 1 = 0.
В целевую функцию обе свободные переменные входят с положительными коэффициентами, то есть, возможно дальнейшее увеличение Ф. Переведем, например, x 6 в число базисных. Из уравнения (1) видно, что x 1 = 0 при x 5 = 12, в (2) ÷ (4) x 6 входит с положительными коэффициентами. Перейдем к новому базису: базисные переменные – x 6 , x 2 , x 3 , x 4 , свободные — x 1 , x 5. Выразим новые базисные переменные через новые свободные
х 6 = 12 — x 1 — x 5 ;
x 2 = 42 — x 1 — 6·x 5 ;
x 3 = 30 — 2·x 1 — 3·x 5 ;
x 4 = 21 — x 1 — 5/2·x 5 ;
Целевая функция примет вид Ф = 24 — 2·x 1 + 2·x 5 ;
Присвоим свободным переменным нулевые значения x 1 = x 5 = 0. При этом базисные переменные примут значения x 6 =12, x 2 =42, x 3 = 30, x 4 = 21, то есть, получим второе допустимое решение (0, 42, 30, 21, 0, 12) и Ф 2 = 24.
В целевую функцию x 5 входит с положительным коэффициентом, то есть, возможно дальнейшее увеличение Ф. Перейдем к новому базису: базисные переменные – x 6 , x 5 , x 3 , x 4 , свободные — x 1 , x 2. Выразим новые базисные переменные через новые свободные
х 6 = 5 — 5/6·x 1 + 1/6·x 2 ;
x 5 = 7 — 1/6·x 1 — 1/6·x 2 ;
x 3 = 9 — 3/2·x 1 + 1/2·x 2 ;
x 4 = 7/2 — 7/12·x 1 + 5/12·x 5 ;
Целевая функция примет вид Ф = 38 – 7/2·x 1 – 1/3·x 2 ;
Присвоим свободным переменным нулевые значения x 1 = x 2 = 0. При этом базисные переменные примут значения x 6 = 5, x 5 = 7, x 3 = 9, x 4 = 7/2, то есть, получим третье допустимое решение Х 3 = (0, 0, 9, 7/2, 7, 5) и Ф 3 = 38.
В целевую функцию обе переменные входят с отрицательными коэффициентами, то есть, дальнейшее увеличение Ф невозможно.
Следовательно, последнее допустимое решение является оптимальным, то есть, Х опт = (0, 0, 9, 7/2, 7, 5) и Ф max = 38.
Вариант 10. Максимизировать целевую функцию Ф = x 2 + x 3
при ограничениях: x 1 — x 2 + x 3 = 1,
x 2 — 2·х 3 + х 4 = 2.
Решение:
Система уравнений — ограничений совместна, так как ранги матрицы системы уравнений и расширенной матрицы одинаковы и равны 2. Следовательно, две переменные можно принять в качестве свободных, две другие переменные — базисные — выразить линейно через две свободные.
Примем за свободные переменные x 2 и х 3 .Тогда базисными будут переменные х 1 и х 2 , которые выразим через свободные
x 1 = 1 + x 2 — x 3 ; (*)
x 4 = 2 — x 2 + 2·x 3 ;
Целевая функция уже выражена через x 2 и x 3 , то есть, Ф = x 2 + x 3 .
При х 2 =0 и х 3 =0 базисные переменные будут равными х 1 = 1, х 4 = 2.
Имеем первое допустимое решение Х 1 = (1, 0, 0, 2), при этом Ф 1 = 0.
Увеличение Ф возможно при увеличении, например, значения х 3 , который входит в выражение для Ф с положительным коэффициентом (x 2 при этом остается равным нулю). В первое уравнение системы (*) видно, что х 3 можно увеличивать до 1 (из условия х 1 ³0), то есть это уравнение накладывает ограничение на увеличение значения х 3 . Первое уравнение системы (*) является разрешающим. На базе этого уравнения переходим к новому базису, поменяв х 1 и х 3 местами. Теперь базисными переменными будут х 3 и x 4 , свободными — x 1 и x 2 . Выразим теперь х 3 и x 4 через х 1 и х 2 .
Получим: x 3 = 1 — x 1 + x 2 ; (**)
x 4 = 4 — 2·x 1 + x 2 ;
Ф = х 2 + 1 — х 1 + х 2 = 1 — x 1 + 2·x 2
Приравняв нулю свободные переменные, получим второе допустимое базисное решение Х 2 = (0; 0; 1; 4), при котором Ф 2 =1.
Увеличение Ф возможно при увеличении х 2 . Увеличение же х 2 , судя по последней системе уравнений (**), не ограничено. Следовательно, Ф будет принимать все большие положительные значения, то есть, Ф мах = + ¥.
Итак, целевая функция Ф не ограничена сверху, потому оптимального решения не существует.
ЗАДАЧА 2.D. Составить задачу, двойственную к приведенной
исходной задаче.
Вариант 7. Максимизировать целевую функцию Ф = 2 × х 1 — х 4
при ограничениях: х 1 + х 2 = 20,
х 2 + 2 × х 4 ≥ 5,
х 1 + х 2 + х 3 ≤ 8,
х i ≥ 0 (i = 1, 2, 3, 4)
Решение:
Приведем систему ограничений к единому, например, каноническому виду, введя дополнительные переменные во 2-ое и 3-е уравнения
х 1 + х 2 = 20,
х 2 + 2× х 4 – х 5 = 5,
— х 1 + х 2 + х 3 + х 6 = 8.
Получили несимметричную задачу 2-го типа. Двойственная задача будет иметь вид:
Минимизировать целевую функцию F = 20× у 1 + 5× y 2 + 8× y 3
при y 1 — y 3 ≥ 2,
y 1 + y 2 + y 3 ≥ 0,
y 3 ≥ 0,
2× y 2 ≥ 1,
Y 2 ≥ 0,
y 3 ≥ 0.
Вариант 8. Максимизировать целевую функцию Ф = х 2 — х 4 — 3 × х 5
при ограничениях: х 1 + 2 × х 2 — х 4 + х 5 = 1,
— 4 × х 2 + х 3 + 2 × х 4 — х 5 = 2,
3 × х 2 + х 5 + х 6 = 5,
x i ≥ 0, (i = 1, 6)
Решение:
Имеем исходную задачу на максимизацию с системой ограничений в виде уравнений, то есть, пара двойственных задач имеет несимметричный вид 2-го типа, математическая модель которых в матричной форме имеет вид:
Исходная задача: Двойственная задача:
Ф = С× Х max F = B Т × Y min
при А× Х = В при A Т × Y ≥ С Т
В исходной задаче матрица-строка коэффициентов при переменных в целевой функции имеет вид С = (0; 1; 0; -1; -3; 0),
матрица-столбец свободных членов и матрица коэффициентов при переменных в системе ограничений имеют вид
В = 2 , А = 0 — 4 1 2 -1 0
Найдем транспонированную матрицу коэффициентов, матрицу-строку коэффициентов при переменных в целевой функции и матрицу-столбец свободных членов
0 1 0 0 В Т = (1; 2; 5)
A T = -1 2 0 С Т = -1
Двойственная задача запишется в следующем виде:
найти минимальное значение целевой функции F = y 1 + 2× y 2 + 5× y 3
при ограничениях y 1 ≥ 0,
2× y 1 — 4× y 2 + 3× y 3 ≥ 1,
— y 1 + 2× y 2 ≥ -1,
y 1 — y 2 + y 3 ≥ -3,
Вариант 10. Минимизировать функцию Ф = х 1 + х 2 + х 3
при ограничениях: 3 × х 1 + 9 × х 2 + 7 × х 3 ≥ 2,
6 × х 1 + 4·х 2 + 5 × х 3 ≥ 3,
8 × х 1 + 2·х 2 + 4 × х 3 ≥ 4,
Решение:
Имеем исходную задачу на минимизацию с системой ограничений в виде неравенств, то есть, пара двойственных задач имеет симметричный вид 3-го типа, математическая модель которых в матричной форме имеет вид:
Исходная задача Двойственная задача
Ф = С× Х min F = B Т × Y max
при А × Х ≥ В при A Т × Y ≤ С Т
Х ≥ 0 Y ≥ 0
В исходной задаче матрица-строка коэффициентов при переменных в целевой функции, матрица-столбец свободных членов и матрица коэффициентов при переменных в системе ограничений имеют вид
С = (1; 1; 1), В = 3 , А = 6 4 5
Найдем матрицы двойственной задачи
В T = (2; 3; 4) С T = 3 A T = 9 4 2
Двойственная задача формулируется в виде:
Максимизировать целевую функцию F = 2y 1 + 3y 2 + 4y 3
при ограничениях 3× y 1 + 6× y 2 + 8× y 3 ≤ 1,
9× y 1 + 4× y 2 + 2× y 3 ≤ 1,
7× y 1 + 5× y 2 + 4× y 3 ≤ 1,
y i ≥ 0 (i = 1, 2, 3)
ЗАДАЧА 2.С. Решение задачи линейного программирования с помощью симплексных таблиц.
Вариант 7. Максимизировать целевую функцию Ф = 2·x 1 — x 2 + 3·x 3 + 2·x 4
при ограничениях: 2·x 1 + 3·x 2 — x 3 + 2·x 4 ≤ 4,
x 1 — 2·x 2 + 5·x 3 — 3·x 4 ≥ 1,
4·x 1 + 10·x 2 +3·x 3 + x 4 ≤ 8.
Решение:
Приведем систему ограничений к каноническому виду
2·x 1 + 3·x 2 — x 3 + 2·x 4 + z 1 = 4, (1)
x 1 — 2·x 2 + 5·x 3 — 3·x 4 — z 2 = 1, (2)
4·x 1 + 10·x 2 +3·x 3 + x 4 + z 3 = 8. (3)
Имеем систему 3-х уравнений с 7-ю неизвестными. Выберем в качестве базисных 3 переменных x 1 , z 1 , z 3 , в качестве свободных — x 2 , x 3 , x 4 , z 2 , выразим через них базисные переменные.
Из (2) имеем x 1 = 1 + 2·x 2 — 5·x 3 + 3·x 4 + x 6
Подставим в (1) и (3), получим
x 1 — 2·x 2 + 5·x 3 — 3·x 4 — z 2 = 1,
z 1 + 7·x 2 — 11·x 3 + 8·x 4 + 2·z 2 = 2,
z 3 + 18·x 2 — 17·x 3 + 13·x 4 + 4·z 2 = 4,
Ф — 3·x 2 + 7·x 3 — 8·x 4 — 2· z 2 = 2.
Составим симплекс-таблицу
I итерация Таблица 1
| Базисн. перем. | Свобод. перем. | |||||||||
| x 1 | 1 | 1 | — 2 | 5 | — 3 | 0 | — 1 | 0 | 3/8 | |
| z 1 | 2 | 0 | 7 | -11 | 1 | 2 | 0 | 1/ 4 | 1/8 | |
| z 3 | 4 | 0 | 18 | -17 | 13 | 0 | 4 | 1 | 4/13 | 13/8 |
| Ф | 2 | 0 | — 3 | 7 | — 8 | 0 | — 2 | 0 | 1 |
Х 1 = (1; 0; 0; 0; 2; 0; 4) Ф 1 = 2.
II итерация Таблица 2
| x 1 | 14/8 | 1 | 5/8 | 7/8 | 0 | 3/8 | -2/8 | 0 | 2 | — 1 |
| x 4 | 1/ 4 | 0 | 7/8 | -11/8 | 1 | 1/8 | 2/8 | 0 | 11/7 | |
| z 3 | 6/8 | 0 | 53/8 | 0 | -13/8 | 6/8 | 1 | 6/7 | 8/7 | |
| Ф | 4 | 0 | 4 | — 4 | 0 | 1 | 0 | 0 | 32/7 |
Х 2 = (14/8; 0; 0; 1/4; 0; 0; 4) Ф 2 = 4.
III итерация Таблица 3
| x 1 | 1 | 1 | — 6 | 0 | 0 | -1 | — 1 | 1/2 | ||
| x 4 | 10/ 7 | 0 | 79/7 | 0 | 1 | -17/7 | 10/7 | 11/7 | 11/7 | |
| x 3 | 6/7 | 0 | 53/7 | 1 | 0 | -13/7 | 6/7 | 8/7 | 13/14 | |
| Ф | 52/7 | 0 | 240/7 | 0 | 0 | -45/7 | 24/7 | 32/7 | 45/14 |
Х 3 = (1; 0; 6/7; 10/7; 0; 0; 0) Ф 3 = 52/7.
IV итерация Таблица 4
| z 1 | 1/ 2 | 1/2 | — 3 | 0 | 0 | 1 | -1/2 | -1/2 | ||
| x 4 | 37/ 14 | 17/14 | 56/14 | 0 | 1 | 0 | 3/14 | 5/14 | ||
| x 3 | 25/14 | 13/14 | 28/14 | 1 | 0 | 0 | -1/14 | 3/14 | ||
| Ф | 149/14 | 45/14 | 15 | 0 | 0 | 0 | 3/14 | 19/14 |
Х 4 = (0; 0; 25/14; 37/14; 1/2; 0; 0) Ф 4 = 149/14.
В индексной строке последней таблицы нет отрицательных чисел, то есть, в выражении для целевой функции все Г i < 0. Имеем случай I, следовательно, последнее базисное решение является оптимальным.
Ответ: Ф m ax = 149/14,
оптимальное решение (0; 0; 25/14; 37/14; 1/2; 0; 0)
Вариант 8. Минимизировать целевую функцию Ф = 5·x 1 — x 3
при ограничениях: x 1 + x 2 + 2·x 3 — x 4 = 3,
x 2 + 2· x 4 =1,
Решение:
Количество переменных равно 4, ранг матрицы — 2, следовательно количество свободных переменных равно r = 4 — 2 = 2, количество базисных тоже 2. В качестве свободных переменных примем х 3 , х 4 , базисные переменные x 1 , x 2 выразим через свободные и приведем систему к единичному базису:
x 2 = 1 — 2· x 4 ,
x 1 = 3 — x 2 — 2·x 3 + x 4 = 3 – 1 + 2· x 4 — 2·x 3 + x 4 = 2 — 2·x 3 + 3· x 4
Ф = 5·x 1 — x 3 = 5·(2 — 2·x 3 + 3· x 4) — x 3 = 10 — 10·x 3 + 15· x 4 — x 3 = 10 — 11·x 3 + 15· x 4
Запишем систему уравнений и целевую функцию в удобном для симплекс-таблицы виде, то есть, x 2 + 2· x 4 = 1,
x 1 +2·x 3 — 3· x 4 = 2
Ф + 11·x 3 — 15· x 4 = 10
Составим таблицу
I итерация Таблица 1
| Базисн. перем. | Свобод. перем. | ||||||
| X 1 | 2 | 1 | 0 | — 3 | 1/2 | ||
| X 2 | 1 | 0 | 1 | 0 | 2 | ||
| Ф | 10 | 0 | 0 | 11 | — 15 | — 11/2 |
Х 1 = (2; 1; 0; 0) Ф 1 = 10.
II итерация Таблица 2
| X 3 | 1 | 1/2 | 0 | 1 | -3/2 | 3/4 | |
| X 2 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1/2 | ||
| Ф | — 1 | — 11/2 | 0 | 0 | 3/2 | — 3/4 |
Х 2 = (0; 1; 1; 0) Ф 2 = -1.
III итерация Таблица 3
| X 3 | 7/4 | 1/2 | 3/4 | 1 | 0 | ||
| X 4 | 1/2 | 0 | 1/2 | 0 | 1 | ||
| Ф | — 7/4 | — 11/2 | — 3/4 | 0 | 0 |
Х 3 = (0; 0; 7/4; 1/2) Ф 3 = -7/4.
В индексной строке последней таблицы нет положительных чисел, то есть, в выражении для целевой функции все Г i > 0. Имеем случай I, следовательно, последнее базисное решение является оптимальным.
Ответ: Ф min = -7/4, оптимальное решение (0; 0; 7/4; 1/2)
********************
Вариант 10. Минимизировать целевую функцию Ф = x 1 + x 2 ,
при ограничениях: x 1 –2·x 3 + x 4 = 2,
x 2 – x 3 + 2·x 4 = 1,
Решение:
Количество переменных равно 5, ранг матрицы — 3, следовательно количество свободных переменных равно r = 6-3 = 2. В качестве свободных переменных примем х 3 и х 4 , в качестве базисных — x 1 , x 2 , x 5 . Все уравнения системы уже приведены к единичному базису (базисные переменные выражены через свободные), но записаны в виде, не удобном к применению симплекс-таблиц. Запишем систему уравнений в виде
x 1 — 2·x 3 + x 4 = 2
x 2 — x 3 +2·x 4 = 1
x 5 + x 3 — x 4 . = 5
Целевую функцию выразим через свободные переменные и запишем в виде Ф — 3·x 3 +3·x 4 = 3
Составим таблицу
I итерация Таблица 1
| Базисн. перем. | Свобод. перем. | |||||||
| х 1 | 2 | 1 | 0 | -2 | 1 | 0 | 2 | -1/2 |
| х 2 | 1 | 0 | 1 | -1 | 0 | 1/2 | 1/2 | |
| х 5 | 5 | 0 | 0 | 1 | -1 | 1 | 1/2 | |
| Ф | 3 | 0 | 0 | -3 | 3 | 0 | -3/2 |
Х 1 = (2; 3; 0; 0; 5) Ф 1 = 3.
Таблица 2
| х 1 | 3/2 | 1 | -1/2 | -3/2 | 0 | 0 | ||
| х 4 | 1/2 | 0 | 1/2 | -1/2 | 1 | 0 | ||
| х 5 | 11/2 | 0 | 1/2 | 1/2 | 0 | 1 | ||
| Ф | 3/2 | 0 | -3/2 | -3/2 | 0 | 0 |
Х 2 = (3/2; 0; 0; 1/2; 11/2) Ф 2 = 3/2.
В индексной строке последней таблицы нет положительных чисел, то есть, в выражении для целевой функции все Гi > 0. Имеем случай 1, следовательно, последнее базисное решение является оптимальным.
Ответ: Ф min = 3/2, оптимальное решение (3/2; 0; 0; 1/2; 11/2).
Лабораторная работа № 1. Решение задач линейного программирования
Цель работы Получение навыка решения задач линейного программирования графическим, симплексным методом и средствамиExcel.
Задача линейного программирования заключается в изучении способов отыскания максимального или минимального значений линейной функции при наличии линейных ограничений. Целевой функцией называется функция, максимальное или минимальное значение которой находится. Совокупность значений переменных, при которых достигается максимальное или минимальное значения, называется оптимальным решением (оптимальным планом), всякая другая совокупность значений, удовлетворяющая ограничениям, называется допустимым решением (допустимым планом).
Геометрический метод решения задачи линейного программирования рассмотрим на примере.
Пример . Найти максимальное значение целевой функцииL =2x 1 +2x 2 при заданных ограничениях
Решение. Построим область решений системы ограничений, меняя знаки неравенств на знаки точных равенств:
l 1: 3x 1 -2x 2 +6=0,
l 2: 3x 1 +x 2 -3=0,
l 3:x 1 -3=0.
D С
2 0 1 3 х 1
(l 1) (l 3)
Прямая l 1 делит плоскостьх Оу на две полуплоскости, из которых нужно выбрать одну, удовлетворяющую первому неравенству в системе (3). Для этого возьмем т.О (0; 0) и подставим в неравенство. Если оно верно, то нужно заштриховать ту полуплоскость от прямой, в которой находится т.О (0; 0). Аналогично поступают с прямымиl 2 иl 3 . Областью решений неравенств (3) является многоугольникАВС D . Для каждой точки плоскости функцияL принимает фиксированное значениеL =L 1 . Множество всех токах точек есть прямаяL =c 1 x 1 +c 2 x 2 (в нашем случаеL =2x 1 +2x 2), перпендикулярная векторуС (с 1 ;с 2) (С (2; 2)), выходящему из начала координат. Если эту прямую передвигать в положительном направлении векторас , то целевая функцияL будет возрастать, в противоположном случае будет убывать. Таким образом, в нашем случае, прямая при выходе из многоугольникаАВС D решений пройдет через т.В (3; 7,5), а потому в т.В целевая функция принимает максимальное значение, т.е.L max =2ּ3+2ּ7,5=21. Аналогично определяется, что минимальное значение функция принимает в т.D (1; 0) иL min =2ּ1+2ּ0=2.
Алгоритм симплексного метода решения задачи линейного программирования состоит в следующем.
1. Общая задача линейного программирования сводится к канонической задаче (в ограничениях стоят знаки равенства) введением стольких вспомогательных переменных, сколько неравенств содержит система ограничений.
2. Функция цели выражается через базисные и вспомогательные переменные.
3. Составляется первая симплекс-таблица. В базис записываются переменные, относительно которых разрешена система ограничений (лучше всего за базисные принять вспомогательные переменные). В первой строке таблицы перечисляются все переменные, и отводится столбец для свободных членов. В последнюю строку таблицы записывают коэффициенты функции цели с противоположными знаками
4. Каждая симплекс-таблица дает решение задачи линейного программирования: свободные переменные равны нулю, базисные переменные равны соответственно свободным членам.
5. Критерием оптимальности является отсутствие отрицательных элементов в последней строке таблицы для решения задачи на максимум и положительных элементов на минимум.
6. Для улучшения решения необходимо от одной симплекс-таблица перейти к другой. Для этого в предыдущей таблице находят ключевой столбец, соответствующий наименьшему отрицательному элементу в последней строке таблицы в задаче на максимум и наибольший положительный коэффициент в задаче на минимум. Затем находят ключевую строку, соответствующую минимальному отношению свободных членов к соответствующим положительным элементам ключевого столбца. На пересечении ключевого столбца и ключевой строки находится ключевой элемент.
7. Заполнение следующей симплекс-таблицы начинаем с заполнения базиса: из базиса выводится переменная, соответствующая ключевой строке, и на ее место вводится переменная, соответствующая ключевому столбцу. Элементы бывшей ключевой строки получаются делением прежнего элемента на ключевой. Элементы бывшего ключевого столбца становятся нулями, кроме ключевого элемента, который равен единицы. Все остальные элементы вычисляются по правилу прямоугольника:
8. Преобразование симплекс-таблиц производят до тех пор, пока не получат оптимального плана.
Пример
. Найти максимальное значение
функции
,
если переменные
удовлетворяют системе ограничений:
Решение.
1. Вводим новые переменные
,
с помощью которых неравенства системы
преобразуем в уравнения:
У коэффициентов целевой функции меняем
знак или записываем ее в виде
.
Заполняем первую симплексную таблицу,
в нулевой строке записываемх
1 ,х
2 и
(свободные коэффициенты). В нулевом
столбце –х
3 ,х
4 ,х
5 иF
. Заполняем эту
таблицу по полученной системе уравнений
и преобразованной целевой функции.
|
|
|
|
|
|
| |||
|
| |||
|
| |||
|
|
Проверяем критерий оптимальности на нахождение максимального значения: в последней строке все коэффициенты должны быть положительными. Этот критерий не выполняется, переходим к составлению второй таблицы.
2. Находим разрешающий элемент первой
таблицы следующим образом. Среди
элементов последней строки выбираем
наибольший по модулю отрицательный
коэффициент (это -3) и второй столбец
принимаем как разрешающий. Если же все
коэффициенты столбца неположительные,
то
.
Для определения разрешающей строки
свободные коэффициенты делим на
соответствующие элементы разрешающего
столбца и выбираем минимальное
отношение, при этом отрицательные
коэффициенты не берем. Имеем
,
вторая строка является разрешающей.
Пересечение разрешающей строки и столбца
дает разрешающий элемент – это 3.
3. Заполняем вторую симплексную таблицу.
Переменные на пересечении которых
получаем разрешающий элемент, меняем
местами, т.е.
и
.
Разрешающий элемент заменяем ему
обратным, т.е. на.
Элементы разрешающей строки и столбца
(кроме разрешающего элемента) делим на
разрешающий элемент. При этом у
коэффициентов разрешающего столбца
меняем знак.
Остальные элементы второй таблицы получаем по правилу прямоугольника из элементов первой таблицы. Для заполняемой клетки и клетки с разрешающим элементом составляем прямоугольник. Затем из элемента для заполняемой клетки вычитаем произведение элементов двух других вершин, деленное на разрешающий элемент. Покажем расчеты по этому правилу для заполнения первой строки второй таблицы:
.
Заполнение таблиц по таким правилам продолжаем до тех пор, пока не будет выполнен критерий. Имеем для нашей задачи еще две таблицы.
|
х 1 |
х 4 |
х 3 |
х 2 | ||||||
|
х 3 |
х 1 |
| |||||||
|
х 2 |
|
х 2 |
|
|
|
||||
|
х 5 |
|
х 5 |
| ||||||
|
|
4. Результат выполнения этого алгоритма
записывают следующим образом. В
заключительной таблице элемент, стоящий
на пересечении строки
и столбцаb
, дает
максимальное значение целевой функции.
В нашем случае
.
Значения переменных по строкам равны
свободным коэффициентам. Для нашей
задачи имеем
.
Существуют и другие способы составления и заполнения симплексных таблиц. Например, для этапа 1 в нулевой строке таблицы записывают все переменные и свободные коэффициенты. После нахождения разрешающего элемента по тем же правилам в следующей таблице заменяем переменную в нулевом столбце, а в строке нет. Все элементы разрешающей строки делим на разрешающий элемент, и записываем в новой таблице. Для остальных элементов разрешающего столбца записываем нули. Далее выполняем указанный алгоритм с учетом этих правил.
При решении задачи линейного программирования на минимум в последней строке выбирают наибольший положительный коэффициент, и выполняют указанный алгоритм до тех пор, пока в последней строке не будет положительных коэффициентов.
Решение задач линейного программирования средствами Excelвыполняется следующим образом.
Для решения задач линейного программирования используется надстройка Поиск решения. Сначала необходимо убедиться, что эта надстройка присутствует на вкладке Данные в группе Анализ (для 2003 года смотреть Сервис). Если команда Поиск решения или группа Анализ отсутствует, необходимо загрузить эту надстройку.
Для этого щелкните Файл Microsoft Office (2010), далее щелкните кнопку Параметры Excel. В появившемся окне Параметры Excel выберите слева поле Надстройки. В правой части окна должно быть установлено значения поля Управление равным Надстройки Excel, нажмите кнопку «Перейти», которая находится рядом с этим полем. В окне Надстройки установите флажок рядом с пунктом Поиск решения и нажмите кнопку ОК. Далее можно работать с установленной надстройкой Поиск Решения.
До вызова Поиск Решения необходимо подготовить данные для решения задачи линейного программирования (из математической модели) на рабочем листе:
1) Определить ячейки, в которые будет помещен результат решения для этого, в первом строке вводим переменные и целевую функцию. Вторую строку не заполняем (изменяемые ячейки) в этих ячейках будет получен оптимальный результат. В следующую строку вести данные для целевой функции, а в следующие строки системы ограничений (коэффициенты при неизвестных). Правую часть ограничений (свободные коэффициенты) вводим, оставляя свободную ячейку после записи коэффициентов системы ограничений.
2) Ввести зависимость от изменяемых ячеек для целевой функции и зависимости от изменяемых ячеек для левых частей системы ограничений в оставленные свободные ячейки. Для введения формул зависимостей удобно пользоваться математической функцией СУММПРОИЗВ.
Далее необходимо воспользоваться надстройкой Поиск решения. На вкладке Данные в группе Анализ выберите команду Поиск решения. Появится диалоговое окно Поиск решения, которое необходимо заполнить следующим образом:
1) Указать ячейку, содержащую целевую функцию в поле «Оптимизировать целевую функцию» (эта ячейка должна содержать формулу для целевой функции). Выбираем вариант оптимизации значения целевой ячейки (максимизация, минимизация):
2) В поле «Изменяя ячейки переменных» вводим изменяемые ячейки. В следующем поле «В соответствии с ограничениями» вводим заданные ограничения с помощью кнопки «Добавить». В появившемся окне вводим ячейки, содержащие формулы системы ограничений, выбираем знак ограничения и значение ограничения (свободный коэффициент):
3) Ставим флажок в поле «Сделать переменные без ограничений неотрицательными». Выбрать метод решения «Поиск решения линейных задач симплекс-методом». После нажатия кнопки «Найти решение» запускается процесс решения задачи. В итоге появляется диалоговое окно «Результаты поиска решения» и исходная таблица с заполненными ячейками для значений переменных и оптимальным значением целевой функции.
Пример.
Решить, используя надстройку
«Поиск решения» Excel задачу линейного
программирования: найти максимальное
значение функции
при ограничениях
,
;
,
.
Решение. Для решения нашей задачи на рабочем листе Excel выполним указанный алгоритм. Вводим исходные данные в виде таблицы
Вводим зависимости для целевой функции и системы ограничений. Для этого в ячейку С2 вводим формулу =СУММПРОИЗВ(A2:B2;A3:B3). В ячейки С4 и С5 соответственно формулы: =СУММПРОИЗВ(A2:B2;A4:B4) и =СУММПРОИЗВ(A2:B2;A5:B5). В результате получаем таблицу.
Запускаем команду «Поиск решения» и заполняем появившееся окно Поиск решения следующим образом. В поле «Оптимизировать целевую функцию» вводим ячейку С2. Выбираем оптимизации значения целевой ячейки «Максимум».
В поле «Изменяя ячейки переменных» вводим изменяемые ячейки A2:B2. В поле «В соответствии с ограничениями» вводим заданные ограничения с помощью кнопки «Добавить». Ссылки на ячейку $C$4:$C$5 Ссылки на ограничения =$D$4:$D$5 между ними знак <= затем кнопку «ОК».
Ставим флажок в поле «Сделать переменные без ограничений неотрицательными». Выбрать метод решения «Поиск решения линейных задач симплекс-методом».
Нажатием кнопки «Найти решение» запускается процесс решения задачи. В итоге появляется диалоговое окно «Результаты поиска решения» и исходная таблица с заполненными ячейками для значений переменных и оптимальным значением целевой функции.
В диалоговом окне «Результаты поиска решения» сохраняем результат x1=0,75, x2=0,75 , F=1,5-равный максимальному значению целевой функции.
Задания для самостоятельной работы
Задание 1. Графическим, симплексным методами и средствами Excel найти максимальное и минимальное значение функцииF (x ) при заданной системе ограничений.
1. F (x )=10x 1 +5x 2 2. F (x )=3x 1 -2x 2
3. F (x )=3x 1 +5x 2 4. F (x )=3x 1 +3x 2
5. F (x )=4x 1 -3x 2 6. F (x )=2x 1 -x 2
7. F (x )=-2x 1 +4x 2 8. F (x )=4x 1 -3x 2
9. F (x )=5x 1 +10x 2 10. F (x )=2x 1 +x 2
11. F (x )=x 1 +x 2 12. F (x )=3x 1 +x 2
13. F (x )=4x 1 +5x 2 14. F (x )=3x 1 +2x 2
15. F (x )=-x 1 -x 2 16. F (x )=-3x 1 -5x 2
17. F (x )=2x 1 +3x 2 18. F (x )=4x 1 +3x 2
19. F (x )=-3x 1 -2x 2 20. F (x )=-3x 1 +4x 2
21. F (x )=5x 1 -2x 2 22. F (x )=-2x 1 +3x 3
23. F (x )=2x 1 +3x 2 24. F (x )=4x 1 +3x 2
25. F (x )=-3x 1 -2x 2 26. F (x )=-3x 1 +4x 2
27. F (x )=-2x 1 +4x 2 28. F (x )=4x 1 -3x 2
29. F (x )=-x 1 -x 2 30. F (x )=-3x 1 -5x 2
Контрольные вопросы.
1. Какие задачи называются задачами линейного программирования?
2. Приведите примеры задач линейного программирования.
3. Как решается задача линейного программирования графическим методом?
4. Опишите алгоритм симплекс-метода решения задач линейного программирования.
5. Опишите алгоритм решения задач линейного программирования средствами Excel.
Решение
: найдем максимальное и минимальное значение функции \(f (x, y)\) при следующих ограничениях $$ f(x,y)=(x-4)^2 + (y-3)^2 \rightarrow max,min \\ \begin{cases} 2x+3y\geq 6 \\ 3x-2y\leq 18\\ -x+2y\leq 8\\ x,y\geq0\end{cases} $$
Графический способ решения задачи целесообразно использовать, для задач с двумя переменными, которые записаны в симметричной форме, а также для задач со многими переменными при условии, что в их канонической записи содержится не более двух свободных переменных.
В данном случае задача с двумя переменными.
Алгоритм решения задачи "геометрическая интерпретация задачи линейного программирования":
1.Построим на плоскости xOy область допустимых решений.
2.Выделим область неотрицательных решений.
4. Построим семейство целевых функций.
5. Находим максимальное (минимальное) значение целевой функции.
1. Строим область допустимых решений задачи \(D\).
Для построения области допустимых решений:
1) Строим граничные прямые:
преобразуем неравенства к равенствам, а затем к уравнению прямой линии в отрезках на осях вида \(\frac{x}{a}+\frac{y}{b} = 1\), тогда \(x=a\) - отрезок отсекаемый на оси Ox, \(y=b\) - на оси Oy $$ \begin{cases} 2x+3y = 6 \\ 3x-2y = 18\\ -x+2y = 8 \end{cases} => \begin{cases} \frac{x}{3}+\frac{y}{2} = 1 \\ \frac{x}{8}-\frac{y}{9} = 1 \\ -\frac{x}{6}+ \frac{y}{4} = 1 \end{cases} $$ Для каждой прямой откладываем отрезки на осях и соединяем их. Получили нужные прямые.
2) Находим полуплоскости, которые удовлетворяют заданным неравенствам:
Для неравенства \(2x+3y\geq 6\) - полуплоскость, которая лежит выше прямой \(2x+3y = 6\). Прямая AC
Для неравенства \(3x-2y\leq 18 => -3x+2y \geq -18\)- полуплоскость, которая лежит выше прямой \(3x-2y = 18\). Прямая CB
Для неравенства \(-x+2y\leq 8\)- полуплоскость, которая лежит ниже прямой \(-x+2y = 8\). Прямая AB
Область допустимых решений определяется как общая часть трех полуплоскостей, соответствующих данным неравенствам. Эта область представляет собой треугольник \(ABC\)
Областью \(D\) является треугольник \(ABC\) см. рис.
2.Выделим область неотрицательных решений.
Область неотрицательных решений расположена в первой четверти и является общей частью всех пяти полуплоскостей, три их которых - область \(D\), полученная из неравенств и дополнительно два неравенства \(x \geq 0\) - верхняя полуплоскость (I и II четверти) и \(y \geq 0\) - правая полуплоскость (I и IV четверти), которые выражают условие неотрицательности переменных \(x;y\). Получили искомую область неотрицательных решений \(DEBFG\)
3.Найдем координаты вершин области.
Координаты четырех вершин уже известны (это точки пересечения прямых с осями).
Запишем эти координаты:
\(D(0;2)\), \(E(0;4)\), \(F(6;0)\), \(G(3;0)\)
Найдем координаты точки \(B\), как точки пересечения прямых \(-x+2y = 8\) и \(3x-2y = 18\). Решим систему уравнений и найдем координаты этой точки $$\begin{cases} -x+2y = 8\\ 3x-2y = 18\end{cases}=> \begin{cases} 2x = 26\\ 3x-2y = 18\end{cases}=> \begin{cases} x = 13\\ y =10.5\end{cases}$$
Получили координаты точки \(B(13;10.5)\)
4. Строим семейство целевых функций.
Уравнение \(f(x,y)=(x-4)^2 + (y-3)^2 \rightarrow max,min\) определяет на плоскости xOy семейство концентрических окружностей с центом в точке с координатами \(Q(4;3)\), каждой из которых отвечает определенное значение параметра \(f\). Как известно, для уравнения окружности параметр \(f=R^2\).
Изобразим в одной системе координат семейство концентрических окружностей \(f\) и семейство прямых. Задача определения точки максимума (минимума) точки \(f\) сведется к нахождению в допустимой области точки, через которую проходит окружность семейства \(f=const\), отвечающая за наибольшее (наименьшее) значение параметра \(f\).
5. Находим максимальное (минимальное) значение целевой функции.
Минимальное значение целевой функции : Путем постепенного увеличения радиуса окружности мы получили, что первая вершина, через которую пройдет окружность это точка \(G(3;0)\). Целевая функция в этой точке будет минимальной и равна \(f(3,0)=(3-4)^2 + (0-3)^2 = 10\)
Максимальное значение целевой функции : Путем дальнейшего увеличения радиуса окружности мы получили, что последняя вершина, через которую пройдет окружность это точка \(B(13;10.5)\). Целевая функция в этой точке будет максимальной и равна \(f(13,10.5)=(13-4)^2 + (10.5-3)^2 = 137.25\)
Можно убедиться в правильности решения путем подстановки координат оставшихся вершин в уравнение целевой функции:
в вершине \(D(0;2)\) значение целевой функции равно \(f(0,2)=(0-4)^2 + (2-3)^2 = 17\)
в вершине \(E(0;4)\) значение целевой функции равно \(f(0,4)=(0-4)^2 + (4-3)^2 = 17\)
в вершине \(F(6;0)\) значение целевой функции равно \(f(6,4)=(6-4)^2 + (0-3)^2 = 13\)
Получили, что
Ответ
:
минимальное значение целевой функции \(f_{min} = 10\)
максимальное значение целевой функции \(f_{max} = 137.25\)
