На уроке рассматривается решение 13 задания ЕГЭ по информатике
13 тема — «Количество информации» — характеризуется, как задания повышенного уровня сложности, время выполнения – примерно 3 минуты, максимальный балл — 1
при работе с текстом
- С помощью K бит можно закодировать Q = 2 K различных символов:
- Q — мощность алфавита
- K Q вариантов символов
- 2 — двоичная система счисления (данные хранятся в двоичном виде)
- I , нужно умножить количество символов N на число бит для хранения одного символа K :
- I
- N — длина сообщения (количество символов),
- K — количество бит для хранения одного символа.
- В этих двух формулах используется одна и та же переменная :
N = 2 i
Q = 2 K I = N * K
Рассмотрим пример с использованием одновременно двух формул:
Пример:
Объем сообщения – 7,5 Кбайт
7680 символов
. Какова мощность алфавита?
✍ Решение:
- Воспользуемся формулой:
- Найдем количество бит, необходимое для хранения 1 символа (сначала переведем значение в биты):
- Далее воспользуемся формулой:
- 8 бит на символ позволяют закодировать:
I = N*K;
I
— объем сообщения = 7,5 Кбайт;
N
— количество символов = 7680;
K
— количество бит на 1 символ
\[ K= \frac {7,5 * 2^{13}}{7680} = \frac {7,5 * 2^{13}}{15 * 2^9} = \frac {7,5 * 16}{15} = 8 \]
т.е. K = 8 бит на 1 символ
Q = 2 K
K
— количество бит для хранения одного символа из Q
вариантов символов (= 8)
Q
— мощность алфавита, т.е. количество вариантов символов
2 8 = 256 различных символов
256 символов — это и есть мощность
Ответ: 256
Измерение количества информации
при работе с различными системами
- С помощью K бит можно закодировать Q = 2 K различных (номеров) объектов некоторой системы:
- Q — общее количество объектов в некоторой системе, данные о которых хранятся в компьютере или передаются в сообщении,
- K — количество бит для хранения одного объекта из общего количества Q ,
- 2 — двоичная система счисления (данные хранятся в двоичном виде).
- Чтобы найти информационный объем сообщения I , нужно умножить количество объектов в сообщении — N — на число бит K для хранения одного объекта:
- I — информационный объем сообщения,
- N — количество объектов в сообщении
- K — количество бит для хранения одного объекта системы.
* также приняты другие обозначения: N = 2 i
Пример:
На производстве работает автоматическая система информирования склада о необходимости доставки в цех определенных групп расходных материалов. Система устроена так, что по каналу связи на склад передается условный номер расходных материалов
(при этом используется одинаковое, но минимально возможное количество бит в двоичном представлении этого числа). Известно, что был послан запрос на доставку 9 групп
материалов из 19 используемых
на производстве. Определите объем посланного сообщения
(Ответ дайте в битах)
✍ Решение:
- Воспользуемся формулой:
- для хранения номера одной группы потребуется бит:
K
— количество бит для хранения одного номера группы материалов
Q
— общее количество номеров для различных групп расходных материалов = 19
I = N*K;
I
— объем сообщения = ? бит;
N
— количество передаваемых номеров групп (= 9);
K
— количество бит на 1 номер (= 5)
Ответ: 45
Решение заданий 13 ЕГЭ по информатике
ЕГЭ по информатике 2017 задание 13 ФИПИ вариант 1 (Крылов С.С., Чуркина Т.Е.):
7 33 -символьного алфавита. В базе данных для хранения сведений о каждом пользователе отведено одинаковое и минимально возможное целое число байт бит . Кроме собственного пароля, для каждого пользователя в системе хранятся дополнительные сведения, для чего выделено целое число байт; это число одно и то же для всех пользователей.
Для хранения сведений о 60 пользователях потребовалось 900 байт.
Сколько байт выделено для хранения дополнительных сведений об одном пользователе?
В ответ запишите только целое число — количество байт.
✍ Решение:
- Сначала определимся с паролем. По формуле Q = M N получаем:
Результат: 9
Пошаговое решение данного 13 задания ЕГЭ по информатике также доступно в видеоуроке:
ЕГЭ 2017 сборник Д.М. Ушакова «10 тренировочных вариантов…» вариант 1:
Кабельная сеть проводит голосование среди зрителей о том, какой из четырех фильмов они хотели бы посмотреть вечером. Кабельной сетью пользуются 2000
человек. В голосовании участвовало 1200
человек.
Каков объем информации (в байтах
), записанный автоматизированной системой голосования?
✍ Решение:
- Так как номера четырех фильмов хранятся в компьютерной системе, то можно найти количество бит, необходимое для хранения номера фильма:
Результат: 300
ЕГЭ 2017 сборник Д.М. Ушакова «10 тренировочных вариантов…» вариант 6:
При регистрации в компьютерной системе каждому пользователю выдается пароль, состоящий из 15 символов и содержащий только символы из 12 -символьного набора A, B, C, D, E, F, G, H, I, K, L, M, N . В базе данных для хранения сведений о каждом пользователе отведено одинаковое и минимально возможное целое число байт . При этом используют посимвольное кодирование паролей, все символы кодируют одинаковым и минимально возможным количеством бит . Кроме собственно пароля, для каждого пользователя в системе хранятся дополнительные сведения, для чего отведено 12 байт на одного пользователя.
Определите объем памяти (в байтах
), необходимый для хранения сведений о 30
пользователях.
В ответе запишите только целое число — количество байт.
✍ Решение:
Результат: 600
Пример решения данного задания ЕГЭ доступно в видеоуроке:
ЕГЭ 2017 сборник Д.М. Ушакова «10 тренировочных вариантов…» вариант 10:
Репетиционный экзамен в школе сдают 105 человек. Каждому из них выделяют специальный номер, идентифицирующий его в автоматической системе проверки ответов. При регистрации участника для записи его номера система использует минимально возможное количество бит , одинаковое для каждого участника.
Каков объем информации в битах
, записанный устройством после регистрации 60
участников?
✍ Решение:
Результат: 420
Пример решения данного задания ЕГЭ доступно в видеоуроке:
13 задание. Демоверсия ЕГЭ 2018 информатика:
10 символов. В качестве символов используют прописные буквы латинского алфавита, т.е. 26 различных символов. В базе данных для хранения каждого пароля отведено одинаковое и минимально возможное целое число байт . При этом используют посимвольное кодирование паролей, все символы кодируют одинаковым и минимально возможным количеством бит .
Определите объём памяти (в байтах
), необходимый для хранения данных о 50
пользователях.
В ответе запишите только целое число – количество байт.
✍ Решение:
- Основной формулой для решения данной задачи является:
- Чтобы найти количество бит, необходимое для хранения одного пароля, для начала нужно найти количество бит, необходимых для хранения 1 символа в пароле. По формуле получаем:
где Q — количество вариантов символов, которые можно закодировать с помощью N бит.
Результат: 350
Подробное решение 13 задания демоверсии ЕГЭ 2018 года смотрите на видео:
Решение 13 задания ЕГЭ по информатике (диагностический вариант экзаменационной работы, Тренажер ЕГЭ 2018 года, С.С. Крылов, Д.М. Ушаков):
В некоторой стране автомобильный номер состоит из 7 символов . Каждый символ может быть одной из 18 различных букв или десятичной цифрой .
Каждый такой номер в компьютерной программе записывается минимально возможным и одинаковым целым количеством байт , при этом используют посимвольное кодирование и каждый символ кодируется одинаковым и минимально возможным количеством бит .
Определите объем памяти в байтах
, отводимый этой программой для записи 50
номеров.
✍ Решение:
- Так как в номере может быть использована либо одна буква из 18 , либо одна цифра из 10 , то всего в качестве одного символа в номере может быть использован один из 28 символов:
Результат: 250
Видеоразбор:
Решение 13 задания ЕГЭ по информатике (контрольный вариант №1 экзаменационной работы, Тренажер 2018 года, С.С. Крылов, Д.М. Ушаков):
Репетиционный экзамен сдают 9
потоков по 100
человек в каждом. Каждому из них выделяют специальный код, состоящий из номера потока и номера в потоке. При кодировании этих номеров участников проверяющая система использует минимально возможное количество бит
, одинаковое для каждого участника, отдельно для номера потока и номера в потоке. При этом для записи кода используется минимально возможное и одинаково целое количество байтов
.
Каков объем информации в байтах, записанный устройством после регистрации 80
участников?
В ответе укажите только число.
✍ Решение:
- Код состоит из двух составляющих: 1. номер потока (в битах) и 2. номер по порядку (в битах). Найдем количество бит, необходимое для их хранения:
Результат: 160
Видеоразбор задания:
Решение 13 задания ЕГЭ по информатике (К. Поляков, в. 4):
Объем сообщения – 7,5 Кбайт
. Известно, что данное сообщение содержит 7680 символов
. Какова мощность алфавита?
✍ Решение:
- Воспользуемся формулой:
I = 7,5 Кбайт = 7,5 * 2 13 бит
\[ K = \frac {7,5 * 2^{13}}{7680} = \frac {7,5 * 2^{13}}{15 * 2^9} = \frac {7,5 * 16}{15} = 8 \]
2 8 = 256
различных символов
(по формуле Q = 2 N)
Результат: 256
Видеоразбор задания представлен после очередной задачи.
Кодирование сообщений (текста):
Решение 13 задания ЕГЭ по информатике (К. Поляков, в. 6):
Мощность алфавита равна 256
. Сколько Кбайт памяти потребуется для сохранения 160 страниц текста
, содержащего в среднем 192 символа
на каждой странице?
✍ Решение:
- Найдем общее количество символов на всех страницах (для удобства будем использовать степени двойки):
\[ I = {15 * 2^{11}} * 2^3 бит = \frac {15 * 2^{14}}{2^{13}} Кбайт = 30 Кбайт \]
I = 30 Кбайт
Результат: 30
Смотрите подробный разбор заданий на кодирование текста:от 1 до 2100
), номер месяца (число от 1 до 12
) и номер дня в месяце (число от 1 до 31
). Каждое поле записывается отдельно от других полей с помощью минимально возможного числа бит.
Определите минимальное количество бит, необходимых для кодирования одной записи.
✍ Решение:
- Необходима формула Q = 2 n .
- Вычислим требуемое количество бит на хранение каждого пункта всей записи:
Решение 13 задания ЕГЭ по информатике (К. Поляков, в. 33):
Автомобильный номер состоит из нескольких букв (количество букв одинаковое во всех номерах), за которыми следуют три цифры. При этом используются 10 цифр
и только 5 букв
: Н, О, М, Е
и Р
. Нужно иметь не менее 100 тысяч
различных номеров.
Какое наименьшее количество букв должно быть в автомобильном номере?
✍ Решение:
- Необходима формула Q = m n .
Результат: 3
Предлагаем посмотреть видеоразбор задания:
Решение 13 задания ЕГЭ по информатике (К. Поляков, в. 58):
При регистрации в компьютерной системе каждому пользователю выдаётся пароль, состоящий из 9 символов . В качестве символов используют прописные и строчные буквы латинского алфавита (в нём 26 символов ), а также десятичные цифры . В базе данных для хранения сведений о каждом пользователе отведено одинаковое и минимально возможное целое число байт. При этом используют посимвольное кодирование паролей, все символы кодируют одинаковым и минимально возможным количеством бит. Кроме собственно пароля, для каждого пользователя в системе хранятся дополнительные сведения, для чего выделено 18 байт на одного пользователя. В компьютерной системе выделено 1 Кб для хранения сведений о пользователях.
О каком наибольшем количестве пользователей может быть сохранена информация в системе?
В ответе запишите только целое число – количество пользователей.
✍ Решение:
- Так как используются как прописные, так и строчные буквы, то получим всего вариантов символов для кодирования:
Результат: 40
Смотрите видео с решением задания:
В 13 задании профильного уровня ЕГЭ по математике необходимо решить уравнение, но уже повышенного уровня сложности, так как с 13 задания начинаются задания бывшего уровня С, и данное задание можно назвать С1. Перейдем к рассмотрению примеров типовых заданий.
Разбор типовых вариантов заданий №13 ЕГЭ по математике профильного уровня
Первый вариант задания (демонстрационный вариант2018)
а) Решите уравнение cos2x = 1-cos(п/2-x)
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку [-5п/2;-п].
Алгоритм решения:
- t
- Делаем обратную замену и решаем простейшие тригонометрические уравнения.
- Строим числовую ось.
- Наносим на нее корни.
- Отмечаем концы отрезка.
- Выбираем те значения, которые лежат внутри промежутка.
- Записываем ответ.
Решение:
1. Преобразуем правую часть равенства, используя формулу приведения cos(π/ 2−x )=sinx . Имеем:
сos2x = 1 – sin x .
Преобразуем левую часть уравнения, используя формулу косинуса двойного аргумента, с использованием синуса:
cos(2х)=1−2sin 2 х
Получаем такое уравнение: 1−sin 2 x =1− sinx
Теперь в уравнении присутствует только одна тригонометрическая функция sinx .
2. Вводим замену: t = sinx . Решаем получившееся квадратное уравнение:
1−2t 2 =1−t,
−2t 2 +t =0,
t (−2t +1)=0,
t = 0 или -2t + 1 = 0 ,
t 1 = 0 t 2 = 1/2.
3. Делаем обратную замену:
sin x = 0 или sin x = ½
Решаем эти уравнения:
sin x =0↔x =πn, nЄZ
sin(x )=1/2↔x = (-1) n ∙(π/6) + πn, nЄZ .
Следовательно, получаем два семейства решений.
1. В предыдущем пункте получено два семейства, в каждом из которых бесконечно много решений. Необходимо выяснить, какие из них, находятся в заданном промежутке. Для этого строим числовую прямую.
2. Наносим на нее корни обоих семейств, пометив их зеленым цветом (первого) и синим (второго).
3. Красным цветом помечаем концы промежутка.
4. В указанном промежутке расположены три корня что три корня: −2π ;−11π/ 6 и −7π/ 6.
а) πn, nЄZ; (-1) n ∙(π/6) + πn, nЄZ
б) −2π ;−11π 6;−7π 6
Второй вариант задания (из Ященко, №1)
а) Решите уравнение .
Алгоритм решения:
- Заменяем эту функцию переменной t и решаем получившееся квадратное уравнение.
- Делаем обратную замену и решаем простейшие показательные, потом тригонометрические уравнения.
- Строим координатную плоскость и окружность единичного радиуса на ней.
- Отмечаем точки, являющиеся концами отрезка.
- Выбираем те значения, которые лежат внутри отрезка.
- Записываем ответ.
Решение:
1. Вводим замену t = 4 cos х. тогда уравнение примет вид:
Решаем квадратное уравнение с помощью формул дискриминанта и корней:
D=b 2 – c = 81 – 4∙4∙2 =49,
t 1 = (9 – 7)/8= ¼, t 2 = (9+7)/8=2.
1. Строим координатную плоскость и окружность единичного радиуса на ней.
2. Отмечаем точки, являющиеся концами отрезка.
3. Выбираем те значения, которые лежат внутри отрезка..
Это корни . Их два.
а) 
Третий вариант задания (из Ященко, № 6)
а) Решите уравнение 
.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку .
Алгоритм решения:
- При помощи тригонометрических формул приводим уравнение к виду, содержащему только одну тригонометрическую функцию.
- Заменяем эту функцию переменной t и решаем получившееся квадратное уравнение.
- Делаем обратную замену и решаем простейшие показательные, а затем тригонометрические уравнения.
- Решаем неравенства для каждого случая.
- Записываем ответ.
Решение:
1. По формулам приведения 
.
2. Тогда данное уравнение примет вид:
3. Вводим замену . Получаем:
Решаем обычное квадратное уравнение с помощью формул дискриминанта и корней:
Оба корня положительны.
3. Возвращаемся к переменной х:
ЕГЭ по математике профильный уровень
Работа состоит из 19 заданий.
Часть 1:
8 заданий с кратким ответом базового уровня сложности.
Часть 2:
4 задания с кратким ответом
7 заданий с развернутым ответом высокого уровня сложности.
Время выполнения - 3 часа 55 минут.
Примеры заданий ЕГЭ
Решение задания ЕГЭ по математике.
Задача с решением:
В правильной треугольной пирамиде АВСS с основанием АВС известны ребра: АВ = 5 корней из 3, SC = 13.
Найти угол, образованный плоскостью основания и прямой, проходящей через середину ребер АS и ВС.
Решение:
1. Поскольку SABC - правильная пирамида, то ABC - равносторонний треугольник, а остальные грани - равные между собой равнобедренные треугольники.
То есть все стороны основания равны 5 sqrt(3), а все боковые ребра равны 13.
2. Пусть D - середина BC, E - середина AS, SH - высота, опущенная из точки S к основанию пирамиды, EP - высота, опущенная из точки E к основанию пирамиды.
3. Найдем AD из прямоугольного треугольника CAD по теореме Пифагора. Получится 15/2 = 7.5.
4. Поскольку пирамида правильная, точка H - это точка пересечения высот/медиан/биссектрис треугольника ABC, а значит, делит AD в отношении 2:1 (AH = 2 AD).
5. Найдем SH из прямоугольного треугольника ASH. AH = AD 2/3 = 5, AS = 13, по теореме Пифагора SH = sqrt(13 2 -5 2) = 12.
6. Треугольники AEP и ASH оба прямоугольные и имеют общий угол A, следовательно, подобные. По условию, AE = AS/2, значит, и AP = AH/2, и EP = SH/2.
7. Осталось рассмотреть прямоугольный треугольник EDP (нас как раз интересует угол EDP).
EP = SH/2 = 6;
DP = AD 2/3 = 5;
Тангенс угла EDP = EP/DP = 6/5,
Угол EDP = arctg(6/5)
Ответ:
А знаете ли вы, что?
Среди всех фигур, с одинаковым периметром, у круга будет самая большая площадь. И наоборот, среди всех фигур с одинаковой площадью, у круга будет самый маленький периметр.
Леонардо да Винчи вывел правило, согласно которому квадрат диаметра ствола дерева равен сумме квадратов диаметров ветвей, взятых на общей фиксированной высоте. Более поздние исследования подтвердили его с одним лишь отличием - степень в формуле необязательно равняется 2, а лежит в пределах от 1,8 до 2,3. Традиционно считалось, что эта закономерность объясняется тем, что у дерева с такой структурой оптимальный механизм снабжения веток питательными веществами. Однако в 2010 году американский физик Кристоф Эллой нашёл более простое механическое объяснение феномену: если рассматривать дерево как фрактал, то закон Леонардо минимизирует вероятность слома веток под воздействием ветра.
Лабораторные исследования показали, что пчёлы умеют выбирать оптимальный маршрут. После локализации расставленных в разных местах цветков пчела совершает облёт и возвращается обратно таким образом, что итоговый путь оказывается наикратчайшим. Таким образом, эти насекомые эффективно справляются с классической «задачей коммивояжёра» из информатики, на решение которой современные компьютеры, в зависимости от количества точек, могут тратить не один день.
Если умножить ваш возраст на 7, затем умножить на 1443, то результатом будет ваш возраст написанный три раза подряд.
Мы считаем отрицательные числа чем-то естественным, но так было далеко не всегда. Впервые отрицательные числа были узаконены в Китае в III веке, но использовались лишь для исключительных случаев, так как считались, в общем, бесмыссленными. Чуть позднее отрицательные числа стали использоваться в Индии для обозначения долгов, но западнее они не прижились – знаменитый Диофант Александрийский утверждал, что уравнение 4x+20=0 – абсурдно.
Американский математик Джордж Данциг, будучи аспирантом университета, однажды опоздал на урок и принял написанные на доске уравнения за домашнее задание. Оно показалось ему сложнее обычного, но через несколько дней он смог его выполнить. Оказалось, что он решил две «нерешаемые» проблемы в статистике, над которыми бились многие учёные.
В русской математической литературе ноль не является натуральным числом, а в западной, наоборот, принадлежит ко множеству натуральных чисел.
Используемая нами десятичная система счисления возникла по причине того, что у человека на руках 10 пальцев. Способность к абстрактному счёту появилась у людей не сразу, а использовать для счёта именно пальцы оказалось удобнее всего. Цивилизация майя и независимо от них чукчи исторически использовали двадцатичную систему счисления, применяя пальцы не только рук, но и ног. В основе распространённых в древних Шумере и Вавилоне двенадцатеричной и шестидесятиричной систем тоже было использование рук: большим пальцем отсчитывались фаланги других пальцев ладони, число которых равно 12.
Одна знакомая дама просила Эйнштейна позвонить ей, но предупредила, что номер ее телефона очень сложно запомнить: - 24-361. Запомнили? Повторите! Удивленный Эйнштейн ответил: - Конечно, запомнил! Две дюжины и 19 в квадрате.
Стивен Хокинг - один из крупнейших физиков-теоретиков и популяризатор науки. В рассказе о себе Хокинг упомянул, что стал профессором математики, не получая никакого математического образования со времён средней школы. Когда Хокинг начал преподавать математику в Оксфорде, он читал учебник, опережая собственных студентов на две недели.
Максимальное число, которое можно записать римскими цифрами, не нарушая правил Шварцмана (правил записи римских цифр) - 3999 (MMMCMXCIX) - больше трех цифр подряд писать нельзя.
Известно много притч о том, как один человек предлагает другому расплатиться с ним за некоторую услугу следующим образом: на первую клетку шахматной доски тот положит одно рисовое зёрнышко, на вторую - два и так далее: на каждую следующую клетку вдвое больше, чем на предыдущую. В результате тот, кто расплачивается таким образом, непременно разоряется. Это неудивительно: подсчитано, что общий вес риса составит более 460 миллиардов тонн.
Во многих источниках, зачастую с целью ободрения плохо успевающих учеников, встречается утверждение, что Эйнштейн завалил в школе математику или, более того, вообще учился из рук вон плохо по всем предметам. На самом деле всё обстояло не так: Альберт ещё в раннем возрасте начал проявлять талант в математике и знал её далеко за пределами школьной программы.
