Разбираемся в том что такое окружность и круг. Формула площади круга и длины окружности.

Мы каждый день встречаем множество предметов, по форме которые образовывают круг или напротив окружность. Иногда возникает вопрос, что такое окружность и чем она отличается от круга. Конечно же, мы все проходили уроки геометрии, но иногда не помешает освежить знания весьма простыми объяснениями.

Что такое длина окружности и площадь круга: определение

Итак, окружность является замкнутой кривой линией, которая ограничивает или же напротив, образует круг. Обязательное условие окружности — у нее есть центр и все точки равноудалены от него. Проще говоря, окружность это гимнастический обруч (или как его часто называют хула-хуп) на плоской поверхности.

Длина окружности это общая длина той самой кривой, которая образует окружность. Как известно вне зависимости от размеров окружности соотношение ее диаметра и длины равно числу π = 3,141592653589793238462643.

Из этого следует, что π=L/D, где L — длина окружности, а D — диаметр окружности.

Если Вам известен диаметр, то длину можно найти по простой формуле: L= π* D

В случае если известен радиус: L=2 πR

Мы разобрались, что такое окружность и можем перейти к определению круга.

Круг — это геометрическая фигура, которая окружена окружностью. Или же, круг это фигура, рубеж которой состоит из большого количества точек равноудаленных от центра фигуры. Вся площадь, которая находится внутри окружности, включая ее центр, называется кругом.

Стоит заметить, что у окружности и круга, который находится в ней значения радиуса и диаметра одинаковые. А диаметр в свою очередь в два раза больше чем радиус.

Круг имеет площадь на плоскости, которую можно узнать при помощи простой формулы:

Где S — площадь круга, а R — радиус данного круга.

Чем круг отличается от окружности: объяснение

Основное отличие между кругом и окружностью — это то, что круг — геометрическая фигура, а окружность — замкнутая кривая. Также обратите внимание на отличия между окружностью и кругом:

  • Окружность это замкнутая линия, а круг — площадь внутри этой окружности;
  • Окружность это кривая линия на плоскости, а круг — пространство, сомкнутое в кольцо окружностью;
  • Сходство между окружностью и кругом: радиус и диаметр;
  • У круга и окружности единый центр;
  • В случае если заштриховывается пространство внутри окружности, оно превращается в круг;
  • У окружности есть длина, но ее нет у круга, и наоборот, у круга есть площадь, которой нет у окружности.

Круг и окружность: примеры, фото

Для наглядности предлагаем рассмотреть фото, на котором слева изображен круг, а справа окружность.

Формула длины окружности и площади круга: сравнение

Формула длины окружности L=2 πR

Формула площади круга S= πR²

Обратите внимание, что в обеих формулах присутствует радиус и число π. Данные формулы рекомендуется выучить наизусть, так как они простейшие и обязательно пригодятся в повседневной жизни и на работе.

Площадь круга по длине окружности: формула

S=π(L/2π)=L²/4π, где S — площадь круга, L — длина окружности.

Видео: Что такое круг, окружность и радиус

Демонстрационный материал: циркуль, материал для опыта: предметы круглой формы и верёвочки (на каждого ученика) и линейки; модель круга, цветные мелки.

Цель: Изучение понятия «окружность» и ее элементов, установление связи между ними; введение новых терминов; формирование умения проводить наблюдения и с помощью экспериментальных данных делать выводы; воспитание познавательного интереса к математике.

Ход урока

I. Организационный момент

Приветствие. Постановка цели.

II. Устный счёт

III. Новый материал

Среди всевозможных плоских фигур выделяются две главные: треугольник и окружность. Эти фигуры известны вам с раннего детства. Как дать определение треугольника? Через отрезки! А как же определить что такое окружность? Ведь эта линия в каждой точке изгибается! Известный математик Гратендик, вспоминая свои школьные годы, заметил, что увлёкся математикой после того, как узнал определение окружности.

Начертим окружность с помощью геометрического прибора - циркуля. Построение окружности демонстрационным циркулем на доске:

  1. отметим точку на плоскости;
  2. ножку циркуля с остриём совмещаем с отмеченной точкой, а ножку с грифелем вращаем вокруг этой точки.

Получилась геометрическая фигура - окружность.

(Слайд №1)

Так что же такое окружность?

Определение. Окружность - это замкнутая кривая линия, все точки которой находятся на равном расстоянии от данной точки плоскости, называемой центром окружности.

(Слайд № 2)

На сколько частей делит окружность плоскость?

Точка О- центр окружности.

ОR - радиус окружности (это отрезок, соединяющий центр окружности с любой её точкой). По-латыни radius- спица колеса.

AB – хорда окружности (это отрезок, соединяющий любые две точки на окружности).

DC – диаметр окружности (это хорда, проходящая через центр окружности). Диаметр- с греческого “ поперечник".

DR– дуга окружности (это часть окружности, ограниченная двумя точками).

Сколько в окружности можно провести радиусов, диаметров?

Часть плоскости внутри окружности и сама окружность образуют круг.

Определение. Круг - это часть плоскости, ограниченная окружностью. Расстояние от любой точки круга до центра круга не превышает расстояния от центра круга до любой точки на окружности.

Чем отличаются друг от друга окружность и круг, и что в них общего?

Как связаны между собой длины радиуса (r) и диаметра (d) одной окружности?

d = 2 * r (d – длина диаметра; r – длина радиуса)

Как связаны между собой длины диаметра и любой хорды?

Диаметр – это наибольшая из хорд окружности!

Окружность – удивительно гармоничная фигура, древние греки считали её самой совершенной, так как окружность – единственная кривая, которая может “ скользить сама по себе”, вращаясь вокруг центра. Основное свойство окружности даёт ответ на вопросы, почему для её вычерчивания используют циркуль и почему колёса делают круглыми, а не квадратными или треугольными. Кстати, о колесе. Это одно из самых великих изобретений человечества. Оказывается, додуматься до колеса было не так просто, как это может показаться. Ведь даже ацтеки, жившие в Мексике, почти до XVI века не знали колеса.

Окружность можно изобразить на клетчатой бумаге без циркуля, то есть от руки. Правда окружность получается определённого размера. (Учитель показывает на клетчатой доске)

Правило изображения такой окружности записывается так 3-1, 1-1, 1-3.

Начертите от руки четверть такой окружности.

Скольким клеткам равен радиус этой окружности? Рассказывают, что великий немецкий художник Альбрехт Дюрер одним движением руки (без правил) мог столь точно нарисовать окружность, что последующая проверка при помощи циркуля (центр указывал художник) не показывала никаких отклонений.

Лабораторная работа

Вы уже знаете, как измерять длину отрезка, находить периметры многоугольников (треугольника, квадрата, прямоугольника). А как измерить длину окружности, если сама окружность – кривая линия, а единица измерения длины – отрезок?

Есть несколько способов измерения длины окружности.

След от круга (один оборот) на прямой.

Учитель на доске чертит прямую, отмечает точку на ней и на границе модели круга. Совмещает их, а затем плавно катит круг по прямой до тех пор, пока отмеченная точка А на окружности не окажется на прямой в точке В . Отрезок АВ тогда будет равен длине окружности.

Леонардо да Винчи: "Движение повозок всегда показывало нам, как спрямлять окружность круга".

Задание ученикам:

а) выполнить чертёж окружности, обведя дно круглого предмета;

б) обернуть дно предмета ниткой (один раз) так, чтобы конец нитки совпал с началом в одной и той же точке окружности;

в) распрямить эту нить до отрезка и по линейке измерить её длину, это и будет длина окружности.

Учитель интересуется результатами измерений у нескольких учеников.

Однако эти способы непосредственного измерения длины окружности малоудобные и дают грубоприблежённые результаты. Поэтому уже с древних времён начали искать более совершенные способы измерения длины окружности. В процессе измерений заметили, что между длиной окружности и длиной её диаметра имеется определённая зависимость.

г) Измерьте диаметр дна предмета (наибольшую из хорд окружности);

д) найдите отношение С:d (с точностью до десятых).

Спросить у нескольких учеников результаты вычислений.

Многие учёные – математики пытались доказать, что это отношение есть число постоянное, не зависящее от размеров окружности. Впервые это удалось сделать древнегреческому математику Архимеду. Он нашёл довольно точное значение этого отношения.

Это отношение стали обозначать греческой буквой (читается “пи”) – первая буква греческого слова “периферия” – круг.

С – длина окружности;

d – длина диаметра.

Исторические сведения о числе π:

Архимед, живший в Сиракузах (Сицилия) с 287 г. до 212 г. до н.э., нашёл без измерений, одними лишь рассуждениями значение

На самом деле число π не может быть выражено какой – либо точной дробью. Математик XVI века Лудольф имел терпение вычислить его с 35 десятичными знаками и завещал вырезать это значение π на своём могильном памятнике. В 1946 – 1947 гг. два учёных независимо друг от друга вычислили 808 десятичных знаков числа π. Сейчас же на ЭВМ найдено более миллиарда знаков числа π.

Приближённое значение π с точностью до пяти десятичных знаков можно запомнить по следующей строчке (по числу букв в слове):

π ≈ 3,14159 –“ это я знаю и помню прекрасно”.

Знакомство с формулой длины окружности

Зная то, что С:d = π, чему будет равна длина окружности С?

(Слайд №3) C = πd C = 2πr

Как появилась вторая формула?

Читается: длина окружности равна произведению числа π на её диаметр (или удвоенному произведению числа π на её радиус).

Площадь круга равна произведению числа π на квадрат радиуса.

S= π r 2

IV. Решение задач

№1. Найдите длину окружности, радиус которой равен 24 см. Число π округлите до сотых.

Решение: π ≈ 3,14.

Если r = 24 см, то C = 2 π r ≈ 2 3,14 24 = 150,72(см).

Ответ: длина окружности 150,72 см.

№2 (устно): Как найти длину дуги, равной полуокружности?

Задача: Если обтянуть земной шар по экватору проволокой и затем прибавить к её длине 1 метр, то сможет ли между проволокой и землёй проскочить мышь?

Решение: C = 2 πR, С+1 = 2π(R+х)

Не только мышь, но и крупный кот проскочит в такой промежуток. А казалось бы, что значит 1 м по сравнению с 40 млн. метров земного экватора?

V. Заключение

  1. На какие основные моменты нужно обратить внимание при построении окружности?
  2. Какие моменты урока был вам наиболее интересны?
  3. Что нового вы узнали на этом уроке?

Решение кроссворда с картинками (Слайд №3)

Оно сопровождается повторением определений круга, хорды, дуги, радиуса, диаметра, формул длины окружности. И как результат - ключевое слово: «ОКРУЖНОСТЬ» (по горизонтали).

Итог урока : выставление оценок, комментарии по выполнению домашнего задания. Домашнее задание: п. 24, №853, 854. Провести эксперимент по нахождению числа π ещё 2 раза.

Чтобы в общих чертах представить себе, что такое окружность, взгляните на кольцо или обруч. Можно также взять круглый стакан и чашку, поставить вверх дном на лист бумаги и обвести карандашом. При многократном увеличении полученная линия станет толстой и не совсем ровной, и края ее будут размытыми. Окружность как геометрическая фигура не имеет такой характеристики, как толщина.

Окружность: определение и основные средства описания

Окружность - это замкнутая кривая, состоящая из множества точек, расположенных в одной плоскости и равноудаленных от центра окружности. При этом центр находится в той же плоскости. Как правило, он обозначается буквой О.

Расстояние от любой из точек окружности до центра называется радиусом и обозначается буквой R.

Если соединить две любые точки окружности, то полученный отрезок будет называться хордой. Хорда, проходящая через центр окружности, - это диаметр, обозначаемый буквой D. Диаметр делит окружность на две равные дуги и по длине вдвое превышает размер радиуса. Таким образом, D = 2R, или R = D/2.

Свойства хорд

  1. Если через две любые точки окружности провести хорду, а затем перпендикулярно последней - радиус или диаметр, то этот отрезок разобьет и хорду, и дугу, отсеченную ею, на две равные части. Верно и обратное утверждение: если радиус (диаметр) делит хорду пополам, то он перпендикулярен ей.
  2. Если в пределах одной и той же окружности провести две параллельные хорды, то дуги, отсеченные ними, а также заключенные между ними, будут равны.
  3. Проведем две хорды PR и QS, пересекающиеся в пределах окружности в точке T. Произведение отрезков одной хорды всегда будет равно произведению отрезков другой хорды, то есть PT х TR = QT х TS.

Длина окружности: общее понятие и основные формулы

Одной из базовых характеристик данной геометрической фигуры является длина окружности. Формула выводится с использованием таких величин, как радиус, диаметр и константа "π", отражающая постоянство отношения длины окружности к ее диаметру.

Таким образом, L = πD, или L = 2πR, где L - это длина окружности, D - диаметр, R - радиус.

Формула длины окружности может рассматриваться как исходная при нахождении радиуса или диаметра по заданной длине окружности: D = L/π, R = L/2π.

Что такое окружность: основные постулаты

  • не иметь общих точек;
  • иметь одну общую точку, при этом прямая называется касательной: если провести радиус через центр и точку касания, то он будет перпендикулярен касательной;
  • иметь две общие точки, при этом прямая называется секущей.

2. Через три произвольные точки, лежащие в одной плоскости, можно провести не более одной окружности.

3. Две окружности могут соприкасаться только в одной точке, которая расположена на отрезке, соединяющем центры этих окружностей.

4. При любых поворотах относительно центра окружность переходит сама в себя.

5. Что такое окружность с точки зрения симметрии?

  • одинаковая кривизна линии в любой из точек;
  • относительно точки О;
  • зеркальная симметрия относительно диаметра.

6. Если построить два произвольных вписанных угла, опирающихся на одну и ту же дугу окружности, они будут равны. Угол, опирающийся на дугу, равную половине то есть отсеченную хордой-диаметром, всегда равен 90°.

7. Если сравнивать замкнутые кривые линии одинаковой длины, то получится, что окружность отграничивает участок плоскости наибольшей площади.

Окружность, вписанная в треугольник и описанная около него

Представление о том, что такое окружность, будет неполным без описания особенностей взаимосвязи этой с треугольниками.

  1. При построении окружности, вписанной в треугольник, ее центр всегда будет совпадать с точкой пересечения треугольника.
  2. Центр окружности, описанной около треугольника, располагается на пересечении срединных перпендикуляров к каждой из сторон треугольника.
  3. Если описать окружность около то ее центр будет находиться на середине гипотенузы, то есть последняя будет являться диаметром.
  4. Центры вписанной и описанной окружностей будут находиться в одной точке, если базой для построения является

Основные утверждения об окружности и четырехугольниках

  1. Вокруг выпуклого четырехугольника можно описать окружность лишь тогда, когда сумма его противоположных внутренних углов равняется 180°.
  2. Построить вписанную в выпуклый четырехугольник окружность можно, если одинакова сумма длин его противоположных сторон.
  3. Описать окружность вокруг параллелограмма можно, если его углы прямые.
  4. Вписать в параллелограмм окружность можно в том случае, если все его стороны равны, то есть он является ромбом.
  5. Построить окружность через углы трапеции можно, только если она равнобедренная. При этом центр описанной окружности будет располагаться на пересечении четырехугольника и срединного перпендикуляра, проведенного к боковой стороне.

Это замкнутая плоская линия, всякая точки которой равноудалена от одной и той же точки (O ), называемой центром .

Прямые (OA , OB , OС. . .), соединяющие центр с точками окружности - это радиусы .

Из этого получаем:

1. Все радиусы одной окружности равны.

2. Два круга с одинаковыми радиусами будут равны.

3. Диаметр равен двум радиусам.

4. Точка , лежащая внутри круга, ближе к центру, а точка, лежащая вне круга, дальше от центра, чем точки окружности.

5. Диаметр , перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и обе стягиваемые ею дуги пополам.

6. Дуги , заключенные между параллельными хордами , равны.

При работе с окружностями применяют следующие теоремы:

1. Теорема . Прямая и окружность не могут иметь более двух общих точек.

Из этой теоремы получаем два логично вытекающих следствия:

Никакая часть окружности не может совместиться с прямой, потому что в противном случае окружность с прямой имела бы более двух общих точек.

Линия, никакая часть которой не может совместиться с прямой, называется кривой .

Из предыдущего следует, что окружность есть кривая линия .

2. Теорема . Через всякие три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести окружность и только одну.

Как следствие данной теоремы получаем:

Три перпендикуляра к сторонам треугольника вписанного в окружность проведенные через их середины, пересекаются в одной точке, которая является центром окружности.

Решим задачу. Требуется найти центр предложенной окружности .

Отметим на предложенной три любые точки A, B и С, начертим через них две хорды , например, AB и СB, и из середины этих хорд укажем перпендикуляры MN и PQ. Искомый центр, будучи одинаково удален от A, B и С, должен лежать и на MN, и на PQ, следовательно, он находится на пересечении этих перпендикуляров, т.е. в точке O.

Школьная пора для большинства взрослых людей ассоциируется с беззаботным детством. Конечно, многие неохотно посещают школу, но только там они могут получить базовые знания, которые впоследствии пригодятся им в жизни. Одним из таких является вопрос о том, и круг. Спутать данные понятия достаточно просто, ведь слова являются однокоренными. Но разница между ними не настолько большая, как может показаться неопытному ребенку. Дети данную тему любят по причине ее простоты.

Что такое окружность?

Окружность - это замкнутая линия, каждая точка которой равно удалена от центральной. Самым ярким примером окружности является обруч, который представляет собой замкнутое тело. Собственно, и говорить особо об окружности не приходится. В вопросе о том, что такое окружность и круг, значительно интереснее вторая его часть.

Что такое круг?

Представьте, что вы решили разукрасить нарисованную выше окружность. Для этого можно выбрать любые краски: синие, желтые или зеленые - кому что ближе по душе. И вот вы начали заполнять пустоту чем-то. После того как это было закончено, у нас получилась фигура, которая называется кругом. По сути, круг - это часть поверхности, очерченная окружностью.

У круга есть несколько важных параметров, часть из которых также характерна и для окружности. Первый - это радиус. Им называется расстояние между центральной точкой круга (ну или окружности) и самой окружностью, что создает границы кругу. Вторая важная характеристика, которая неоднократно используется в школьных задачах - это диаметр (то есть расстояние между противоположными точками окружности).

Ну и наконец, третья характеристика, присущая кругу - это площадь. Данное свойство специфичное только для него, окружность не имеет площади в силу того, что у нее нет ничего внутри, а центр, в отличие от круга, скорее воображаемый, чем настоящий. В самом же круге можно установить четкий центр, через который провести ряд линий, которые делят его на сектора.

Примеры круга в реальной жизни

На самом деле возможных предметов, которые можно назвать разновидностью круга, достаточно. Например, если посмотреть на колесо машины прямо, то вот вам пример готового круга. Да, он необязательно должен быть заполнен однотонно, вполне возможны различные узоры внутри него. Второй пример круга - это солнце. Конечно, на него посмотреть будет тяжело, но оно на небе выглядит, как маленький кружочек.

Да, сама звезда Солнце - это не круг, она имеет еще и объем. Но вот само солнце, которое мы видим над нашей головой в летнее время, является типичным кругом. Правда, площадь у него все равно высчитать не получится. Ведь сравнение его с кругом приводится только для наглядности, чтобы было проще понять, что такое окружность и круг.

Отличия окружности от круга

Значит, какой вывод мы можем сделать? Чем отличается окружность от круга, так это тем, что у последнего есть площадь, и в большинстве случаев окружность является границей круга. Хотя бывают и исключения на первый взгляд. Может показаться иногда, что нет окружности в круге, но это не так. В любом случае что-то да есть. Просто окружность может быть очень маленькой, и тогда ее не видно невооруженным глазом.

Также окружностью может быть то, что выделяет круг из фона. Например, на приведеном выше изображении синий круг находится на белом фоне. А вот та черта, по которой мы понимаем, что здесь начинается фигура, и называется в данном случае окружностью. Таким образом, окружность - круга. Вот чем отличается окружность от круга.

Что такое сектор?

Сектор - это участок круга, который образуется двумя проведенными по нему радиусами. Чтобы понять это определение, нужно просто вспомнить пиццу. Когда ее разрезают на равные кусочки, все они и являются секторами круга, который представлен в виде такого вкусного блюда. При этом совершенно необязательно секторы должны быть равны. Они могут быть разной величины. Например, если отрезать половину пиццы, то она также будет сектором этого круга.

Предмет, отображаемый этим понятием, может иметь только круг. тоже можно провести, конечно, но после этого она станет кругом) не имеет площади, поэтому и сектор выделить не получится.

Выводы

Да, тема о круге и окружности (что это такое) очень проста для понимания. Но вообще все то, что касается этих является самым сложным для изучения. Школьнику нужно быть готовым к тому, что круг - фигура капризная. Но, как говорится, тяжело в учении - легко в бою. Да, геометрия - наука сложная. Зато успешное ее освоение позволяет сделать маленький шажок в сторону успеха. Потому что старания при обучении позволяют не только пополнять багаж собственных знаний, но и получать необходимые в жизни навыки. Собственно, на это и нацелена школа. А ответ на вопрос о том, что такое окружность и круг, является вторичным, хоть и важным.