Пружинный маятник представляет собой материальную точку массой , прикрепленную к абсолютно упругой невесомой пружине с жесткостью . Различают два наиболее простых случая: горизонтальный (рис.15,а ) и вертикальный (рис.15, б ) маятники.

а) Горизонтальный маятник (рис. 15,а). При смещении груза
из положения равновесия на величину на него действует в горизонтальном направлениивозвращающая упругая сила
(закон Гука).

Предполагается, что горизонтальная опора, по которой скользит груз
при своих колебаниях, абсолютно гладкая (трения нет).

б) Вертикальный маятник (рис.15, б ). Положение равновесия в этом случае характеризуется условием:

где - величина упругой силы, действующей на груз
при статическом растяжении пружины на под действием силы тяжести груза
.

а

Рис.15. Пружинный маятник: а – горизонтальный и б – вертикальный

Если растянуть пружину и отпустить груз, то он начнет совершать вертикальные колебания. Если смещение в какой-то момент времени будет
, то сила упругости запишется теперь как
.

В обоих рассмотренных случаях пружинный маятник совершает гармонические колебания с периодом

(27)

и циклической частотой

. (28)

На примере рассмотрения пружинного маятника можно сделать вывод о том, что гармонические колебания – это движение, вызванное силой, возрастающей пропорционально смещению . Таким образом, если возвращающая сила по виду напоминает закон Гука
(она получила название квазиупругой силы ), то система должна совершать гармонические колебания. В момент прохождения положения равновесия на тело не действует возвращающая сила, однако, тело по инерции проскакивает положение равновесия и возвращающая сила меняет направление на противоположное.

Математический маятник

Рис.16. Математический маятник

Математический маятник представляет собой идеализированную систему в виде материальной точки, подвешенной на невесомой нерастяжимой нити длиной , которая совершает малые колебания под действием силы тяжести (рис. 16).

Колебания такого маятника при малых углах отклонения
(не превышающих 5º) можно считать гармоническими, и циклическая частота математического маятника:

, (29)

а период:

. (30)

2.3. Энергия тела при гармонических колебаниях

Энергия, сообщенная колебательной системе при начальном толчке, будет периодически преобразовываться: потенциальная энергия деформированной пружины будет переходить в кинетическую энергию движущегося груза и обратно.

Пусть пружинный маятник совершает гармонические колебания с начальной фазой
, т.е.
(рис.17).

Рис.17. Закон сохранения механической энергии

при колебаниях пружинного маятника

При максимальном отклонении груза от положения равновесия полная механическая энергия маятника (энергия деформированной пружины с жесткостью ) равна
. При прохождении положения равновесия (
) потенциальная энергия пружины станет равной нулю, и полная механическая энергия колебательной системы определится как
.

На рис.18 представлены графики зависимостей кинетической, потенциальной и полной энергии в случаях, когда гармонические колебания описываются тригонометрическими функциями синуса (пунктирная линия) или косинуса (сплошная линия).

Рис.18. Графики временной зависимости кинетической

и потенциальной энергии при гармонических колебаниях

Из графиков (рис.18) следует, что частота изменения кинетической и потенциальной энергии в два раза выше собственной частоты гармонических колебаний.

Когда в школе проходят колебания, то их иллюстрируют двумя самыми простыми примерами: грузик на пружинке и математический маятник (то есть точечный грузик на нерастяжимой нити) в поле тяжести. В обоих случаях в колебаниях наблюдается важная закономерность: их период не зависит от амплитуды - по крайней мере до тех пор, пока эта амплитуда остается малой, - а определяется только механическими свойствами системы.

А теперь давайте совместим эти два примера и рассмотрим колебания грузика, подвешенного на растяжимой пружинке в поле тяжести (рис. 1).

Для простоты мы пренебрегаем третьим измерением и считаем, что этот пружинный маятник колеблется строго в плоскости рисунка. В этом случае грузик (который тоже считается точечным) может двигаться в вертикальной плоскости в произвольном направлении, а не только вверх-вниз или влево-вправо, как изображено на рис. 2. Но если опять ограничиться только малыми отклонениями от положения равновесия, то горизонтальные и вертикальные колебания совершаются практически независимо, со своими периодами T x и T y .

Казалось бы, раз эти колебания определяются совершенно разными силами и характеристиками системы, то их периоды могут быть совершенно произвольными, никак не связанными друг с другом. Оказывается - нет!

Задача

Докажите , что у такого маятника период горизонтальных колебаний всегда больше периода вертикальных: T x > T y .

Подсказка

Задача может поначалу удивить тем, что в ней как будто ничего и не дано, а что-то при этом требуется доказать. Но ничего страшного тут нет. Когда задача формулируется таким образом, это означает, что вы можете для себя ввести какие-то обозначения, которые вам нужны, сосчитать с ними то, что требуется, а потом прийти к выводу, который уже не зависит от этих величин. Проделайте это для данной задачи. Возьмите формулы для периодов колебания, подумайте, что за величины в них входят, и сравните два периода друг с другом, поделив один на другой.

Решение

Период колебания грузика массы m на пружинке жесткости k и длины L 0 составляет

.

Эта формула не меняется и в том случае, если грузик подвешен в поле тяжести с ускорением свободного падения g . Конечно, положение равновесия грузика сместится вниз на высоту ΔL = mg/k - именно при таком удлинении пружинки сила упругости компенсирует силу тяжести. Но период вертикальных колебаний относительно этого нового положения равновесия с растянутой пружинкой останется тем же.

Период горизонтальных колебаний растянутого маятника выражается через ускорение свободного падения g и его полную длину L = L 0 + ΔL :

.

Именно благодаря дополнительному растяжению в поле тяжести мы выясняем, что

Вот и всё решение.

Послесловие

Несмотря на свою кажущуюся простоту, маятник на пружинке - система, довольно богатая на явления. Это один из самых простых примеров симпатичного явления - резонанса Ферми. Заключается оно вот в чем. Вообще говоря, если грузик как-то оттянуть и отпустить, то он будет колебаться и по вертикали, и по горизонтали. Эти два типа колебания будут просто накладываться и не мешать друг другу. Но если периоды вертикальных и горизонтальных колебаний связаны соотношением T x = 2T y , то горизонтальные и вертикальные колебания, словно против своей воли, начнут постепенно превращаться друг в друга, как на анимации справа. Энергия колебаний будет как бы перекачиваться из вертикальных колебаний в горизонтальные и наоборот.

Выглядит это так: вы оттягиваете грузик вниз и отпускаете его. Он поначалу колеблется только вверх-вниз, затем сам по себе начинает раскачиваться в стороны, на какое-то мгновение колебание становится почти полностью горизонтальным, а потом снова возвращается к вертикальному. Удивительно, но строго вертикальное колебание оказывается неустойчивым.

Объяснение этого замечательного эффекта, а также магического соотношения T x :T y = 2:1, вот в чем. Обозначим через x и y отклонения грузика от положения равновесия (ось y направлена вверх). При таком отклонении потенциальная энергия вырастает на величину

Это - точная формула, она годится для любых отклонений, больших и маленьких. Но если x и y малы, существенно меньше L , то выражение приблизительно равно

плюс другие слагаемые, содержащие еще более высокие степени отклонений. Величины U y и U x - это обычные потенциальные энергии, из которых получаются вертикальные и горизонтальные колебания. А вот выделенная синим цветом величина U xy - это особая добавка, которая порождает взаимодействие между этими колебаниями. Благодаря этому маленькому взаимодействию колебания по вертикали влияют на горизонтальные колебания и наоборот. Это становится совсем прозрачно, если провести вычисления дальше и написать уравнение колебаний по горизонтали и вертикали:

где введены обозначения

Без синей добавки у нас были бы обычные независимые колебания по вертикали и горизонтали с частотами ω y и ω x . Эта добавка играет роль вынуждающей силы , дополнительно раскачивающей колебания. Если частоты ω y и ω x произвольны, то эта маленькая сила не приводит ни к какому существенному эффекту. Но если выполняется соотношение ω y = 2ω x , наступает резонанс: вынуждающая сила для обоих типов колебаний содержит компоненту с той же частотой, что и само колебание . В результате эта сила медленно, но неуклонно раскачивает один тип колебаний и подавляет другой. Именно так горизонтальные и вертикальные колебания перетекают друг в друга.

Дополнительные красоты возникают, если в этом примере по-честному учесть третье измерение. Будем считать, что грузик может сжимать-разжимать пружинку по вертикали и качаться, как маятник, в двух горизонтальных направлениях. Тогда, при выполнении условия резонанса, при взгляде сверху грузик выписывает звездчатую траекторию, как, например, на рис. 3. Так получается потому, что плоскость колебания не остается неподвижной, а поворачивается - но не плавно, а как бы скачками. Пока колебание идет из стороны в сторону, эта плоскость более-менее держится, а поворот происходит за тот короткий промежуток, когда колебание почти вертикально. Предлагаем читателям самостоятельно подумать, каковы причины этого поведения и от чего зависит угол поворота плоскости. А желающие окунуться с головой в эту довольно-таки глубокую задачу могут полистать статью Stepwise Precession of the Resonant Swinging Spring , в которой не только приведен подробный анализ задачи, но и рассказывается о ее истории и о связи этой задачи с другими разделами физики, в частности с атомной физикой.

Добрый день!

Все довольно просто. Сейчас я, возможно, скажу несколько сложных слов, но затем постараюсь разъяснить их смысл. Для простоты изложения речь будет идти об одномерном случае, на случай многих степеней свободы все легко обобщается.

Итак, главная задача механики --- найти зависимость координаты тела от времени, то есть, по сути, найти некоторую функцию, которая каждому моменту времени сопоставляет некоторое значение координаты. Любое движение мы описываем при помощи второго закона Ньютона. В этот закон входит ускорение, которое является второй производной координаты тела по времени, и сила, которая обычно зависит от самой координаты. Также сила может зависеть от скорости тела, то есть от первой производной координаты по времени. Таким образом, с математической точки зрения второй закон Ньютона представляет некоторое соотношение между координатой, ее первой и второй производными. Такое соотношение называется в математике дифференциальным уравнение. Старшая производная, входящая в такое уравнение, --- вторая. Математика говорит, что решение такого уравнения, то есть общий вид функции, удовлетворяющей нашему соотношению, зависит от двух произвольных постоянных, которые невозможно определить из уравнения. Эти произвольные постоянные определяются для каждого конкретного случая, например, при помощи так называемых начальных условий. То есть чтобы в точности понять, как будет двигаться тело, нужно знать не только, какие силы на него действуют, но и каковы его начальная координата и скорость. Две произвольные константы в решении подбираются таким образом, чтобы полученная нами функция и ее производная (то есть скорость) в начальный момент времени имели заданные значения.

Это абсолютно общая ситуация. Вспомните, когда мы говорим о движении тела с постоянным ускорением, чтобы в точности задать движение нам нужно именно два числа, начальная координата и начальная скорость.

Тоже самое справедливо и для колебания. Колебание конкретного маятника (то есть маятника с заданной собственной частотой) определяется также двумя числами. Обычно решение уравнения для маятника, получаемого из второго закона Ньютона, записывают в виде .

Здесь и играют как раз роль произвольных постоянных, которые нужно определять из начальных условий. Посчитаем скорость: . Пусть нам известно, что в нулевой момент времени координата и скорость маятника были равны и . Решив систему обычных уравнений , можно найти конкретные выражения для и через и .

Не буду приводить ответ в общем случае, если Вы захотите, то легко сделаете это сами. Расскажу только о конкретных случая. Пусть, например, известно, что в нулевой момент времени тело находится в положении равновесия (то есть ), а его скорость равна своей максимальной величине (то есть ). Тогда получаем для нашего конкретного случая, что система уравнений приобретает вид: . Из первого уравнения сразу понятно, что (первому уравнению, конечно, удовлетворяет и условие , но тогда наше решение получится нулевым, а нас это не устраивает). Второе тогда приобретает вид: , откуда . Таким образом мы нашли выражения для обеих постоянных. В итоге имеем: . При этом для ускорения получается . Если теперь обозначить через более привычное выражение для амплитуды , получатся более привычные формулы.

Рассмотрим еще один пример. Пусть теперь груз находится в крайнем положении, то есть его скорость равна нулю. Будем считать, что от отклонился в отрицательную сторону оси, то есть его координата равна . Тогда уравнения на начальные условия приобретают вид: . Из второго уравнения . Из первого: . Таким образом, для координаты имеет: (второе равенство при помощи формулы приведения). Для скорости: . Для ускорения: .

Конкретные формулы зависят от начальных данных. С учетом периодичности синусов и косинусов, пользуясь разными формулами приведения, можно из формул убирать знаки добавлять фазы и т.д.

Что касается формулы в задаче, там нет , частоты, так как подставлено ее конкретное значение:

Тела под действием силы упругости, потенциальная энергия которой пропорциональна квадрату смещения тела из положения равновесия:

где k – жесткость пружины.

При свободных механических колебаниях кинетическая и потенциальная энергии изменяются периодически. При максимальном отклонении тела от положения равновесия его скорость, а следовательно, и кинетическая энергия обращаются в нуль. В этом положении потенциальная энергия колеблющегося тела достигает максимального значения. Для груза на горизонтально расположенной пружине потенциальная энергия – это энергия упругих деформаций пружины.

Когда тело при своем движении проходит через положение равновесия, его скорость максимальна. В этот момент оно обладает максимальной кинетической и минимальной потенциальной энергией. Увеличение кинетической энергии происходит за счет уменьшения потенциальной энергии. При дальнейшем движении начинает увеличиваться потенциальная энергия за счет убыли кинетической энергии и т. д.

Таким образом, при гармонических колебаниях происходит периодическое превращение кинетической энергии в потенциальную и наоборот.

Если в колебательной системе отсутствует трение, то полная механическая энергия при свободных колебаниях остается неизменной.

Для груза на пружине:

Запуск колебательного движения тела осуществляется с помощью кнопки Старт . Остановить процесс в любой момент времени позволяет кнопка Стоп .

Графически показано соотношение между потенциальной и кинетической энергиями при колебаниях в любой момент времени. Обратите внимание, что в отсутствие затухания полная энергия колебательной системы остается неизменной, потенциальная энергия достигает максимума при максимальном отклонении тела от положения равновесия, а кинетическая энергия принимает максимальное значение при прохождении тела через положение равновесия.