Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.

Сбор и использование персональной информации

Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.

От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.

Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.

Какую персональную информацию мы собираем:

Как мы используем вашу персональную информацию:

  • Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
  • Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
  • Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
  • Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.

Раскрытие информации третьим лицам

Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.

Исключения:

  • В случае если необходимо - в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ - раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
  • В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.

Защита персональной информации

Мы предпринимаем меры предосторожности - включая административные, технические и физические - для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.

Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.

Инструкция

Если вы хотите найти значение функции, используя формулу, подставьте в эту формулу вместо аргумента (х), его допустимые значения, то есть значения, входящие в ее область определения. Для этого допустимых значений данной функции.

Чтобы найти область определения функции, определите, вид она имеет. Если представлена вида у = а/в, то ее областью определения будут являться все значения в, за исключением нуля. Число а является любым . Для нахождения области определения функции подкоренного выражения при условии четного показателя, данное выражение должно быть нуля или равно ему. Находя область определения функции того же выражения, но с нечетным показателем, учитывайте, что х – может быть любым числом в том случае, если подкоренное выражение не дробное. Находя область определения логарифмической функции, руководствуйтесь правилом о том, что выражение, которое стоит под знаком логарифма, должно быть положительной величиной.

Отыскав область определения функции, переходите к ее решению. Например, чтобы функцию : у = 2,5 х – 10 при х = 100, подставьте в данную формулу вместо х число 100. Данная операция будет выглядеть следующим образом: у = 2,5 × 100 – 10; у = 240. Это число и будет искомым значением функции.

Чтобы найти значение функции, используя , отложите в координат на оси ОХ значение аргумента (отметьте точку, соответствующую аргументу). Затем из данной точки проведите перпендикуляр до пересечения его с графиком функции. Из полученной точки пересечения перпендикуляра с графиком функции опустите перпендикуляр на ось ОУ. Основание построенного перпендикуляра будет соответствовать искомому значению функции.

Видео по теме

Связанная статья

Источники:

  • как найти функцию от аргумента по таблице

Еще в школьные годы подробно изучаются функции и строятся их графики. Но, к сожалению, читать график функции и находить ее тип по представленному чертежу практически не учат. В действительности это довольно просто, если помнить основные виды функций.

Инструкция

Если представленным графиком является , которая через начало координат и с осью ОX угол α (который является углом наклона прямой к положительной полуоси), то функция, описывающая такую прямую, будет представлена как y = kx. При этом коэффициент пропорциональности k равен тангенсу угла α.

Если заданная прямая проходит через вторую и четвертую координатные четверти, то k равен 0, и функция возрастает. Пусть представленный график является прямой линией, располагающейся любым образом относительно осей координат. Тогда функцией такого графика будет линейная, которая представлена видом y = kx + b, где переменные y и х стоят в первой , а b и k могут принимать как отрицательные, так и положительные значения или .

Если прямая параллельна прямой с графиком y = kx и отсекает на оси ординат b единиц, тогда уравнение имеет вид x = const, если график параллелен оси абсцисс, то k = 0.

Кривая линия, которая состоит из двух ветвей, симметричных относительно начала координат и располагающихся в разных четвертях, гиперболой. Такой график показывает обратную зависимость переменной y от переменной x и описывается уравнением вида y = k/x, где k не должен быть равен нулю, так как является коэффициентом обратной пропорциональности. При этом, если значение k больше нуля, функция убывает; если же k меньше нуля – возрастает.

Если предложенным графиком является парабола, проходящая через начало координат, ее функция при выполнении условия, что b = с = 0, будет иметь вид y = ax2. Это самый простой случай квадратичной функции. График функции вида y = ax2 + bx + с будет иметь такой же вид, что и простейший случай, однако вершина (точка, где график пересекается с осью ординат) будет находиться не в начале координат. В квадратичной функции, представленной видом y = ax2 + bx + с, значения величин a, b и c – постоянные, при этом a не равно нулю.

Параболой также может являться график степенной функции, выраженной уравнением вида y = xⁿ, только если n является любым четным числом. Если же значение n - нечетное число, такой график степенной функции будет представлен кубической параболой. В случае, если переменная n является любым отрицательным числом, уравнение функции приобретает вид .

Видео по теме

Логарифмической называется функция, которая обратна показательной. Такая функция имеет вид: y = logax, в которой значение a – положительное число (не равное нулю). Внешний вид графика логарифмической функции зависит от значения a.

Вам понадобится

  • - математический справочник;
  • - линейка;
  • - простой карандаш;
  • - тетрадь;
  • - ручка.

Инструкция

Прежде чем приступить к построению графика логарифмической функции обратите внимание на то, что областью определения данной функции есть множество положительных : эта величина R+. Вместе с тем, у логарифмической функции есть область значения, которая представлена действительными .

Внимательно изучите условия . Если а>1, то на графике изображают возрастающую логарифмическую функцию. Доказать такую особенность логарифмической функции несложно. Для примера, возьмите два произвольных положительных значения x1 и x2, причем, x2>x1. Докажите, что loga x2>loga x1 (сделать это можно методом от ).

Предположите, что loga x2≤loga x1. Учитывая то, что показательная функция вида у=ах при а>1 возрастает, неравенство примет следующий вид: aloga x2≤aloga x1. По общеизвестному определению aloga x2=x2, в то как aloga x1=x1. Ввиду этого, неравенство приобретает вид: x2≤x1, а это напрямую противоречит первоначальным допущениям, в согласии с x2>x1. Таким образом, вы пришли к тому, что и требовалось доказать: при а>1 возрастает.

Изобразите график логарифмической функции. График функции y = logax будет проходить через точку (1;0). Если a>1, функция будет возрастающей. Следовательно, если 0

Обратите внимание

Если в задании логарифм будет обозначен lg x, не думайте, что авторы математического пособия допустили ошибку, пропустив букву «о»: перед вами десятичный логарифм.

Полезный совет

Для точности построения графика логарифмической функции рассчитайте, чем будет равен y при разных значениях x (0,5; 2; 4, 8). На основании этих данных поставьте точки и по ним постройте график.

Источники:

  • Определение и основные свойства логарифмической функции
  • график логарифмической функции

Термин решения функции как таковой в математике не используется. Под данной формулировкой следует понимать выполнение некоторых действий над заданной функцией с целью нахождения какой-то определенной характеристики, а также выяснение необходимых данных для построения графика функции.

Инструкция

Можно рассмотреть примерную схему, по которой целесообразно поведение функции и строить ее график.
Найдите область определения функции. Определите, является ли функция четной и нечетной. В случае нахождения нужного ответа, продолжите только на требуемой полуоси. Определите, является ли функция периодической. В случае положительного ответа продолжите исследование только на одном периоде. Найдите точки и определите ее поведение в окрестности этих точек.

Найдите точки пересечения графика функции с осями координат. Найдите , если они есть. Исследуйте с помощью первой производной функцию на экстремумы и интервалы монотонности. Также проведите исследование с помощью второй производной на выпуклость, вогнутость и точки перегиба. Выберите точки для уточнения функции и вычислите в них значения функции. Постройте график функции, учитывая полученные результаты по всем проведенным исследованиям.

На оси 0Х следует выделить характерные точки: точки разрыва, х=0 , нули функции, точки экстремума, точки перегиба. В этих х вычислите значения функции (если они существуют) и на плоскости 0xy отметьте соответствующие точки графика, а также точки, выбранные для уточнения. Линия, проведенная через все построенные точки с учетом интервалов монотонности, направлений выпуклости и , и даст эскиз графика функции.

Так, на конкретном примере функции y=((x^2)+1)/(x-1) проведите исследование с помощью первой производной. Перепишите функцию в виде y=x+1+2/(x-1). Первая производная будет y’=1-2/((x-1)^2).
Найдите критические точки первого рода: y’=0, (x-1)^2=2, в результате получатся две точки: x1=1-sqrt2, x2=1+sqrt2. Отметьте полученные значения на области определения функции (рис. 1).
Определите знак производной на каждом из интервалов. На основе от «+» к «-» и от «-» к «+», получите, что точка максимума функции x1=1-sqrt2, а точка минимума x2=1+sqrt2. Этот же вывод можно сделать и по знаку второй производной.

Совет 5: Как решить дифференциальное уравнение первого порядка

Дифференциальное уравнение первого порядка относится к простейшим дифференциальным уравнениям. Они наиболее легко поддаются исследованию и решению, а в конечном итоге их всегда можно проинтегрировать.

Инструкция

Решение дифференциального первого порядка рассмотрим на примере xy"=y. Вы видите, что оно содержит: х - независимую ; у - зависимую переменную, функцию; y" - первую производную функции.

Не пугайтесь, если в некоторых случаях первого порядка не будет «х» или (и) «у». Главное, чтобы в дифференциальном уравнении обязательно была y" (первая производная), и отсутствовали y"", y"""( высших порядков).

Теперь разделите переменные. Например, в левой части оставьте только переменные содержащие y, а в правой - переменные содержащие x. У вас должно получиться следующее: dyy=dxx.

Выберем на плоскости прямоугольную систему координат и будем откладывать на оси абсцисс значения аргумента х , а на оси ординат - значения функции у = f (х) .

Графиком функции y = f(x) называется множество всех точек, у которых абсциссы принадлежат области определения функции, а ординаты равны соответствующим значениям функции.

Другими словами, график функции y = f (х) - это множество всех точек плоскости, координаты х, у которых удовлетворяют соотношению y = f(x) .



На рис. 45 и 46 приведены графики функций у = 2х + 1 и у = х 2 - 2х .

Строго говоря, следует различать график функции (точное математическое определение которого было дано выше) и начерченную кривую, которая всегда дает лишь более или менее точный эскиз графика (да и то, как правило, не всего графика, а лишь его части, расположенного в конечной части плоскости). В дальнейшем, однако, мы обычно будем говорить «график», а не «эскиз графика».

С помощью графика можно находить значение функции в точке. Именно, если точка х = а принадлежит области определения функции y = f(x) , то для нахождения числа f(а) (т. е. значения функции в точке х = а ) следует поступить так. Нужно через точку с абсциссой х = а провести прямую, параллельную оси ординат; эта прямая пересечет график функции y = f(x) в одной точке; ордината этой точки и будет, в силу определения графика, равна f(а) (рис. 47).



Например, для функции f(х) = х 2 - 2x с помощью графика (рис. 46) находим f(-1) = 3, f(0) = 0, f(1) = -l, f(2) = 0 и т. д.

График функции наглядно иллюстрирует поведение и свойства функции. Например, из рассмотрения рис. 46 ясно, что функция у = х 2 - 2х принимает положительные значения при х < 0 и при х > 2 , отрицательные - при 0 < x < 2; наименьшее значение функция у = х 2 - 2х принимает при х = 1 .

Для построения графика функции f(x) нужно найти все точки плоскости, координаты х , у которых удовлетворяют уравнению y = f(x) . В большинстве случаев это сделать невозможно, так как таких точек бесконечно много. Поэтому график функции изображают приблизительно - с большей или меньшей точностью. Самым простым является метод построения графика по нескольким точкам. Он состоит в том, что аргументу х придают конечное число значений - скажем, х 1 , х 2 , x 3 ,..., х k и составляют таблицу, в которую входят выбранные значения функции.

Таблица выглядит следующим образом:



Составив такую таблицу, мы можем наметить несколько точек графика функции y = f(x) . Затем, соединяя эти точки плавной линией, мы и получаем приблизительный вид графика функции y = f(x).

Следует, однако, заметить, что метод построения графика по нескольким точкам очень ненадежен. В самом деле поведение графика между намеченными точками и поведение его вне отрезка между крайними из взятых точек остается неизвестным.

Пример 1 . Для построения графика функции y = f(x) некто составил таблицу значений аргумента и функции:

Соответствующие пять точек показаны на рис. 48.



На основании расположения этих точек он сделал вывод, что график функции представляет собой прямую (показанную на рис. 48 пунктиром). Можно ли считать этот вывод надежным? Если нет дополнительных соображений, подтверждающих этот вывод, его вряд ли можно считать надежным. надежным.

Для обоснования своего утверждения рассмотрим функцию

.

Вычисления показывают, что значения этой функции в точках -2, -1, 0, 1, 2 как раз описываются приведенной выше таблицей. Однако график этой функции вовсе не является прямой линией (он показан на рис. 49). Другим примером может служить функция y = x + l + sinπx; ее значения тоже описываются приведенной выше таблицей.

Эти примеры показывают, что в «чистом» виде метод построения графика по нескольким точкам ненадежен. Поэтому для построения графика заданной функции,как правило, поступают следующим образом. Сначала изучают свойства данной функции, с помощью которых можно построить эскиз графика. Затем, вычисляя значения функции в нескольких точках (выбор которых зависит от установленных свойств функции), находят соответствующие точки графика. И, наконец, через построенные точки проводят кривую, используя свойства данной функции.

Некоторые (наиболее простые и часто используемые) свойства функций, применяемые для нахождения эскиза графика, мы рассмотрим позже, а сейчас разберем некоторые часто применяемые способы построения графиков.


График функции у = |f(x)|.

Нередко приходится строить график функции y = |f(x) |, где f(х) - заданная функция. Напомним, как это делается. По определению абсолютной величины числа можно написать

Это значит, что график функции y =|f(x)| можно получить из графика, функции y = f(x) следующим образом: все точки графика функции у = f(х) , у которых ординаты неотрицательны, следует оставить без изменения; далее, вместо точек графика функции y = f(x) , имеющих отрицательные координаты, следует построить соответствующие точки графика функции у = -f(x) (т. е. часть графика функции
y = f(x) , которая лежит ниже оси х, следует симметрично отразить относительно оси х ).



Пример 2. Построить график функции у = |х|.

Берем график функции у = х (рис. 50, а) и часть этого графика при х < 0 (лежащую под осью х ) симметрично отражаем относительно оси х . В результате мы и получаем график функции у = |х| (рис. 50, б).

Пример 3 . Построить график функции y = |x 2 - 2x|.


Сначала построим график функции y = x 2 - 2x. График этой функции - парабола, ветви которой направлены вверх, вершина параболы имеет координаты (1; -1), ее график пересекает ось абсцисс в точках 0 и 2. На промежутке (0; 2) фукция принимает отрицательные значения, поэтому именно эту часть графика симметрично отразим относительно оси абсцисс. На рисунке 51 построен график функции у = |х 2 -2х| , исходя из графика функции у = х 2 - 2x

График функции y = f(x) + g(x)

Рассмотрим задачу построения графика функции y = f(x) + g(x). если заданы графики функций y = f(x) и y = g(x) .

Заметим, что областью определения функции y = |f(x) + g(х)| является множество всех тех значений х, для которых определены обе функции y = f{x) и у = g(х), т. е. эта область определения представляет собой пересечение областей определения, функций f{x) и g{x).

Пусть точки (х 0 , y 1 ) и (х 0 , у 2 ) соответственно принадлежат графикам функций y = f{x) и y = g(х) , т. е. y 1 = f(x 0), y 2 = g(х 0). Тогда точка (x0;. y1 + y2) принадлежит графику функции у = f(х) + g(х) (ибо f(х 0) + g(x 0 ) = y1 +y2 ),. причем любая точка графика функции y = f(x) + g(x) может быть получена таким образом. Следовательно, график функции у = f(х) + g(x) можно получить из графиков функций y = f(x) . и y = g(х) заменой каждой точки (х n , у 1) графика функции y = f(x) точкой (х n , y 1 + y 2), где у 2 = g(x n ), т. е. сдвигом каждой точки (х n , у 1 ) графика функции y = f(x) вдоль оси у на величину y 1 = g(х n ). При этом рассматриваются только такие точки х n для которых определены обе функции y = f(x) и y = g(x) .

Такой метод построения графика функции y = f(x) + g(х ) называется сложением графиков функций y = f(x) и y = g(x)

Пример 4 . На рисунке методом сложения графиков построен график функции
y = x + sinx .

При построении графика функции y = x + sinx мы полагали, что f(x) = x, а g(x) = sinx. Для построения графика функции выберем точки с aбциссами -1,5π, -, -0,5, 0, 0,5,, 1,5, 2. Значения f(x) = x, g(x) = sinx, y = x + sinx вычислим в выбранных точках и результаты поместим в таблице.


Материал, представленный в видеоуроке, является продолжением темы построения графиков функций путем различных преобразований. Мы рассмотрим, как строится график функции y= f (kx ), если известен график функции у= f (x ) . В данном случае k - любое действительное число, не равное нулю.

Вначале рассмотрим случай, когда k - положительное число. Для примера построим график функции у= f (3 x ) , если график функции у= f (х) у нас есть. На рисунке на оси координат изображен график у= f (х ), на котором есть точки с координатами А и В. Выбирая произвольные значения х и подставляя их в функцию у= f (3 x ), находят соответствующие значения функции у . Таким образом, получают точки графика функции у= f (3 x ) А 1 и В 1 , у которых ординаты такие же, как у точек А и В. То есть мы можем сказать, что из графика функции у= f (x ) путемсжатия с коэффициентом k к оси ординат можно получить график функции y= f (kx ) . Важно отметить, что точки пересечения с осью ординатпри сжатии остаются на прежнем месте.

В случае, когда k - отрицательное число, график функции y= f (kx ) преобразовывается из графика функции у= f (x ) путем растяжения от оси ординат с коэффициентом 1/ k .

1) вначале строится часть волны графика функции у = sin х (см. рисунок);

2) т.к. k = 2, выполняется сжатие графика функции у= sinx к оси ординат, коэффициент сжатия равен 2. Находим точку пересечения с осью x . Т.к. график функции у = sin х пересекает ось абсцисс в точке π, то график функции у = sin 2 х пересекает ось абсцисс в точке π/k = π/2.Аналогичным способом находятся все остальные точки графика функции у = sin 2x и по этим точкам строится весь график.

Рассмотрим 2-й пример - построение графика функции у = cos (x/2) .

1) строим часть волны графика функции у = cosх (см. рисунок);

2) т.к. k =1/2, выполняем растяжение графика функции у = sin х от оси ординат с коэффициентом ½.

Найдем точку пересечения графика с осью х . Т.к. график функции у = cos х пересекает ось абсцисс в точке π/2, то график функции у = cos (x/2) пересекает ось абсцисс в точке π. Таким же образом находим все остальные точки графика функции у = cos (x/2) , построим по этим точкам весь график.

Далее рассмотрим вариант построения графика функции y = f (kx ), где k - число отрицательное. Например, при k = -1 функция y = f (kx ) = f (- x ). На рисунке изображен график у= f (х), на котором есть точки с координатами А и В. Выбрав произвольные значения х и подставив их в функцию y = f (- x ), находим соответствующие значения функции у . Получим точки графика функции y = f (- x ) А 1 и В 1 , которые будут симметричны точкам А и В относительно оси ординат. То есть при использовании симметрии относительно оси ординат из графика функции у= f (kx ) получаем график функции y= f (- x ).

Переходим к построению графика функции y = f (kx ) при k<0 на примере функции у = 4 sin (- x/2).

1) построим часть волны графика у = sin х ;

2) т.к. k = 4, выполним растяжение полуволны графика относительно оси абсцисс, где коэффициент растяжения равен 4;

3) выполним симметричное преобразование относительно оси абсцисс;

4) произведем растяжение от оси ординат (коэффициент растяжения равен 2);

5) завершим построение всего графика.

В данном видеоуроке мы подробно рассмотрели, каким образом поэтапно можно построить график функции y= f (kx ) при разных значениях k .

ТЕКСТОВАЯ РАСШИФРОВКА:

Сегодня познакомимся с преобразованием, которое поможет научиться строить график функции у = f (kx)

(игрек равен эф от аргумента, который представляет произведение ка и икс), если известен график функции у = f (x) (игрек равно эф от икс), где ка - любое действительное число (кроме нуля)».

1) Рассмотрим случай, когда k - положительное число на конкретном примере, когда k = 3.То есть нужно построить график функции

у = f (3x) (игрек равен эф от трех икс), если известен график функции у = f (x). Пусть на графике функции у = f (x) есть точка А с координатами (6; 5) и В с координатами (-3; 2). Это значит, что f (6) = 5 и f (- 3) = 2 (эф от шести равно пяти и эф от минус трех равно двум). Проследим за перемещением этих точек при построении графика функции у = f (3x).

Возьмем произвольное значение х = 2, вычислим у, подставив значение х в график функции у = f (3x) , получим, что у = 5. (на экране: у = f (3x) = f (3∙2)= f (6) = 5.) То есть на графике функции у= f (3x) есть точка с А 1 координатами (2; 5). Если же х = - 1, то подставив значение х в график функции у = f (3x), получим значение у= 2.

(На экране: у = f (3x) = f (- 1∙ 3) = f (- 3) = 2.)

То есть на графике функции у= f (3x) есть точка с координатами В 1 (- 1; 2). Итак, на графике функции у = f (3x) есть точки с той же ординатой, что и на графике функции у = f (x), при этом абсцисса точки в два раза меньше по модулю.

То же будет справедливо и для других точек графика функции у = f (x), когда мы будем переходить к графику функции у = f (3x).

Обычно такое преобразование называют сжатием к оси у(игрек) с коэффициентом 3.

Следовательно, график функции у = f (kx) получается из графика функции у = f (x) с помощью сжатия к оси у(игрек) с коэффициентом k. Заметим, что при таком преобразовании на месте остается точка пересечения графика функции у = f (x) с осью ординат.

Если же k меньше единицы, то говорят не о сжатии с коэффициентом k, а о растяжении от оси у с коэффициентом (то есть, если k = , то говорят о растяжении с коэффициентом 4).

ПРИМЕР 1. Построить график функции у = sin 2x (игрек равен синусу двух икс).

Решение. Вначале построим полуволну графика у = sin x на промежутке от ноля до пи. Так как коэффициент равен двум, а значит k - положительное число больше единицы, значит осуществим сжатие графика функции у = sin x к оси ординат с коэффициентом 2. Найдем точку пересечения с осью ОХ. Если график функции у = sin x пересекает ось ОХ в точке π, то график функции у = sin 2x будет пересекать в точке (π: k =π: 2 =)(пи делим на ка равно пи деленное на два равно пи на два). Аналогичным способом найдем все остальные точки графика функции у = sin2 x. Так, точке графика функции у = sin x с координатами (;1) будет соответствовать точка графика функции у = sin 2x с координатами (;1). Таким образом получим одну полуволну графика функции у = sin 2x. Используя периодичность функции построим весь график.

ПРИМЕР 2. Построить график функции у = cos (игрек равен косинусу частного икс и двух).

Решение. Вначале построим полуволну графика у = cos x. Так как k - положительное число меньше е единицы, значит осуществим растяжение графика функции у = cos x от оси ординат с коэффициентом 2.

Найдем точку пересечения с осью ОХ. Если график функции у = cos x пересекает ось ОХ в точке, то график функции у = cos будет пересекать в точке π. (: k =π: = π). Аналогичным способом найдем все остальные точки графика функции у = cos. Таким образом получим одну полуволну искомого графика функции. Используя периодичность функции построим весь график.

Рассмотрим случай, когда k равно минус единице. То есть нужно построить график функции у = f (-x) (игрек равен эф от минус икс), если известен график функции у = f (x). Пусть на графике есть точка А с координатами (4; 5) и точка В (-5; 1). Это значит, что f (4) = 5 и f (- 5) = 1.

Так как при подстановке в формулу у = f (-x) вместо х = - 4 получим у = f (4) = 5, то на графике функции у = f (-x) есть точка с координатами А 1

(- 4 ; 5) (минус четыре, пять). Аналогично, графику функции у = f (-x) принадлежит точка В 1 (5; 1).То есть графику функции у = f (x) принадлежат точки А(4; 5) и В(-5; 1), а графику функции у = f (-x) принадлежат точки А 1 (- 4; 5) и В 1 (5; 1). Эти пары точек симметричны относительно оси ординат.

Следовательно, график функции у = f (-x) с помощью преобразования симметрии относительно оси ординат можно получить из график функции у = f (x).

3) И, наконец, рассмотрим случай, когда k - отрицательное число. Учитывая, что равенство f (kx) = f (- |k|x) (эф от произведения ка на икс равно эф от произведения минус модуля ка и икса) справедливое, то речь идет о построении графика функции у = f (- |k|x), который можно построить поэтапно:

1) построить график функции у = f (x);

2) построенный график подвергнуть сжатию или растяжению к оси ординат с коэффициентом |k| (модуль ка);

3) осуществить преобразование симметрии относительно оси у

(игрек) полученного во втором пункте графика.

ПРИМЕР 3. Построить график функции у = 4 sin (-) (игрек равно четыре, умноженное на синус частного минус икс на два).

Решение. Прежде всего вспомним, что sin(- t) = -sint(синус от минус тэ равно минус синусу тэ), значит, у = 4 sin (-) = - 4 sin (игрек равен минус четырем, умноженным на синус частного икс на два). Строить будем поэтапно:

1) Построим одну полуволну графика функции у= sinх.

2) Осуществим растяжение построенного графика от оси абсцисс с коэффициентом 4 и получим одну полуволну графика функции

у= 4sinх(игрек равно четыре, умноженное на синус икс).

3) К построенной полуволне графика функции у= 4sinх применим преобразование симметрии относительно оси х(икс) и получим полуволну графика функции у= - 4sinх.

4) Для полуволны графика функции у= - 4sinх осуществим растяжение от оси ординат с коэффициентом 2; получим полуволну графика функции - 4 sin .

5) С помощью полученной полуволны построим весь график.

Если задано множество чисел X и указан способ f , по которому для каждого значения х ЄX ставится в соответствие только одно число у . Тогда считается заданной функция y = f (х ), у которой область определения X (обычно обозначают D (f ) = X ). Множество Y всех значений у , для которых есть как минимум одно значение х ЄX , такое, что y = f (х ), такое множество называют множеством значений функции f (чаще всего обозначают E (f )= Y ).

Или зависимость одной переменной у от другой х , при которой каждому значению переменной х из определенного множества D соответствует единственное значение переменной у , называется функцией .

Функциональную зависимость переменной у от х часто подчеркивают записью у(х), которую читают игрек от икс.

Область определения функции у (х ), т. е. множество значений ее аргумента х , обозначают символом D (y ), который читают дэ от игрек.

Область значений функции у (х ), т. е. множество значений, которые принимает функция у, обозначают символом Е (у ), который читают е от игрек.

Основными способами задания функции являются:

а) аналитический (с помощью формулы y = f (х )). К этому способу можно отнести и случаи, когда функция задается системой уравнений. Если функция задана формулой, то область ее определения составляют все те значения аргумента, при которых выражение, записанное в правой части формулы, имеет значения.

б) табличный (с помощью таблицы соответствующих значений х и у ). Таким способом часто задается температурный режим или курсы валют, но этот способ не такой наглядный, как следующий;

в) графический (с помощью графика). Это один из самых наглядных способов задания функции, поскольку по графику сразу "читаются" изменения. Если функция у (х ) задана графиком, то область ее определения D (y ) есть проекция графика на ось абсцисс, а область значений Е (у ) - проекция графика на ось ординат (смотри рисунок).

г) словестный . Этот способ часто применяется в задачах, а точнее в описании их условия. Обычно этот способ заменяют одним из приведенных выше.

Функции y = f (х ), x ЄX , и y = g (х ), x ЄX , называются тождественно равными на подмножестве М СX , если для каждого x 0 ЄМ справедливо равенство f (х 0) = g (х 0).

График функции y = f (х ) можно представить, как множество таких точек (х ; f (х )) на координатной плоскости, где х - произвольная переменная, из D (f ). Если f (х 0) = 0, где х 0 то точка с координатами (x 0 ; 0) - это точка, в которой график функции y = f (х ) пересекается с осью Оx . Если 0ЄD (f ), то точка (0; f (0)) - это точка, в которой график функции у = f (x ) пересекается с осью Оу .

Число х 0 из D (f ) функции y = f (х ) это нуль функции, тогда, когда f (х 0) = 0.

Промежуток М СD (f ) это промежуток знакопостоянства функции y = f (х ), если либо для произвольного x ЄМ верно f (х ) > 0, либо для произвольного х ЄМ верно f (х ) < 0.

Есть приборы , которые вырисовывают графики зависимостей между величинами. Это барографы - приборы для фиксации зависимости атмосферного давления от времени, термографы - приборы для фиксации зависимости температуры от времени, кардиографы - приборы для графической регистрации деятельности сердца. У термографа есть барабан, он равномерно вращается. Бумаги, намотанной на барабан, касается самописец, который в зависимости от температуры поднимается и опускается и вырисовывает на бумаге определенную линию.

От представления функции формулой можно перейти к ее представлению таблицей и графиком.

При изучении математики очень важно понимать, что такое функция, ее области определения и значения. С помощью исследования функций на экстремум можно решить многие задачи по алгебре. Даже задачи по геометрии иногда сводятся к рассмотрению уравнений геометрических фигур на плоскости.