I 5 комплексные числа. Комплексные числа

Урок геометрии в 10 классе.

Тема: Параллельность прямых и плоскостей

Цель: Систематизировать знания учащихся по теме «Параллельность прямых и плоскостей», углубить и закрепить знания учащихся при решении задач, развивать пространственные представления учащихся

Оборудование: компьютеры (программа «Открытая математика. Стереометрия.»), мультимедийная доска, тест, составленный с помощью тестовой оболочки.

Ход урока

I Объявление темы и цели урока.

Мотивация учебной деятельности.

Сегодня мы проводим урок по геометрии на тему «Параллельность прямых и плоскостей» с использованием компьютерных технологий. Применение компьютеров расширяет возможности обучения, в частности, стереометрии, так как способствует развитию пространственных представлений учащихся, помогает более четкому формированию геометрических понятий, расширяет имеющийся запас геометрических образов.

На предыдущих уроках мы рассмотрели основные вопросы темы: параллельность прямых в пространстве, параллельность прямой и плоскости, параллельность плоскостей. Повторим эти вопросы.

II Актуализация опорных знаний.

Какие прямые в пространстве называются параллельными? (…лежат в одной плоскости и не пересекаются.)

Интерес вызывают прямые, которые не имеют общих точек и не параллельны. Это?...скрещивающиеся прямые. Дайте определение скрещивающихся прямых. (…прямые, которые не пересекаются и не лежат в одной плоскости.)

Сформулируйте признак параллельности прямых. (Две прямые, параллельные третьей прямой, параллельны.)

В каком случае прямая и плоскость называются параллельными? (…если они не пересекаются.)

Сформулируйте признак параллельности прямой и плоскости. (Если прямая, не принадлежащая плоскости, параллельна какой-нибуть прямой в этой плоскости, то она параллельна и самой плоскости.)

В каком случае две плоскости называются параллельными? (…если они не пересекаются.)

Сформулируйте признак параллельности плоскостей. (Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то такие плоскости параллельны.)

III Работа за компьютерами.

Просмотрим теоретический материал в программе «Открытая математика. Стереометрия.» (Путь к программе: D\VCD\Stereometry)

Учащиеся просматривают теорию, данную в главе 2: Параллельность в пространстве

(2.1 Параллельность прямых

2.2 Параллельность прямой и плоскости

2.2 Параллельность двух плоскостей)

Работая с программой, учащиеся встречают новые для них понятия такие, как лемма, признак скрещивающихся прямых, теорема о следе и др.

IV Работа по группам .

За каждым компьютером остается один ученик и работает с тестовой программой. (На рабочем столе ярлык test-w, Тест 10 кл., Открыть.) Тест проверяет и оценивает знания учащихся по теме урока. Задания теста прилагаются.

Остальные учащиеся садятся за столы и выполняют устное решение следующих задач:

Сколько существует случаев взаимного расположения двух различных прямых в пространстве? (Три)

Верно ли. Две прямые называются скрещивающимися, если не существует плоскости, в которой лежат обе эти прямые? (Да)

Сколько пар скрещивающихся ребер имеет треугольная пирамида? (Три)

Сколько пар скрещивающихся ребер имеет четырехугольная пирамида? (Восемь)

Дана прямая a и точка А вне ее. Сколько прямых, скрещивающихся с a можно провести через точку А? (Бесконечно много)

Дана плоскость альфа и точка А вне ее. Сколько прямых, параллельных плоскости альфа можно провести через точку А? (Бесконечно много)

Работа в группах закончилась. Просматриваются результаты тестов. Ребята возвращаются за компьютеры и проводят работу над ошибками, которые были допущены при работе с тестами.

V Решение задач .

Работа с программой «Открытая математика. Стереометрия.»

Кнопка: Задачи с решениями.

Даны скрещивающиеся прямые a ,b и точка Т. Провести через точку Т прямую, пересекающую прямые a и b .

В планиметрии справедлива теорема: две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны. Справедлива ли эта теорема в стереометрии? (Нет)

Учащиеся решают задачи коллективно, просматривают решение задач на компьютере, работают с рисунком: убирают заливку и восстанавливают, поворачивают рисунок в различных направлениях, увеличивают его и уменьшают и т.д. Работают с моделью куба. Находят пары пересекающихся, параллельных, скрещивающихся прямых; пересекающихся и параллельных плоскостей и т.д.

Кнопка: Задачи.

Учащиеся решают задачи самостоятельно, вводят ответ, анализируют его правильность.

VI Итог.

Повторили, систематизировали, углубили знания по теме урока. Уделили внимание задачам со скрещивающимися прямыми. Компьютерная программа помогла наглядно представить комбинации геометрических фигур в пространстве.

Оценивание учащихся.

VII Домашнее задание:

Оформить решение разобранных задач в тетради.

Приложение

Задания теста

Даны две скрещивающиеся прямые a и b . Сколько существует плоскостей, проходящих через a и параллельных b ?

• ни одной

  только одна

  бесконечно много

  ни одной или одна

Сколько существует плоскостей, проходящих через три данные различные точки пространства?

• только одна

  бесконечно много

  одна или бесконечно много

  ни одной или одна

  ни одной, одна или бесконечно много

В пространстве даны прямая a и точка М вне a . Сколько существует плоскостей, проходящих через М и параллельных прямой a ?

• одна или бесконечно много

  ни одной

  бесконечно много

  ни одной или бесконечно много

  только одна

Даны плоскость альфа и не лежащая в ней прямая a . Сколько существует плоскостей, проходящих через a и параллельных альфа?

• бесконечно много

  ни одной или одна

  одна или бесконечно много

  ни одной

  только одна

В пространстве даны прямая a и точка М. Сколько существует прямых, проходящих через М и параллельных прямой a ?

• бесконечно много

  ни одной

  ни одной или одна

  только одна

  одна или бесконечно много

Даны плоскость альфа и точка М вне альфа. Сколько существует плоскостей, проходящих через М и параллельных плоскости альфа?

• ни одной

  только одна

  ни одной или одна

  ни одной или бесконечно много

  бесконечно много

Примечание. Задания теста как и ответы к ним выбираются случайным образом. Тест можно ограничить во времени.

Цели урока:

обучающие:

• рассмотреть возможные случаи взаимного расположения прямых в пространстве;
• формировать навык чтения и построения чертежей, пространственных конфигураций, пространственных фигур к задачам.

развивающие:

• развивать пространственное воображение учащихся при решении геометрических задач, геометрическое мышление, интерес к предмету, познавательную и творческую деятельность учащихся, математическую речь, память, внимание;
• вырабатывать самостоятельность в освоении новых знаний.

воспитательные:

• воспитывать у учащихся ответственное отношение к учебному труду, волевые качества;
• формировать эмоциональную культуру и культуру общения,
• развивать чувство патриотизма, любви к родному городу.

Методы обучения:

• словесный,
• наглядный,
• деятельностный

Формы обучения:

Средства обучения:(в том числе технические средства обучения)

• компьютер,
• мультимедийный проектор,
• экран,
• принтер,
• печатные средства (раздаточный материал),
• кроссворд.

Вступительное слово учителя.

Применяя изученные знания из курса планиметрии о взаимном расположении прямых на плоскости, попытаемся решить вопрос о взаимном расположении прямых в пространстве.

Урок помогли подготовить учащиеся Скотникова Ольга и Штефан Юлия, которые методом самостоятельного поиска фотографий с достопримечательностями города Хабаровска рассмотрели различные варианты взаимного расположения прямых в пространстве.

Они не только сумели рассмотреть различные варианты взаимного расположения прямых в пространстве, но и выполнили творческую работу - создали мультимедийную презентацию.

Презентации творческих отчетов с кратким пояснением и исторической справкой достопримечательностей нашего города:

К 150-летнему юбилею нашего города постарались мастера света и на набережной устроили великолепное лазерное шоу. Слайд№2

Внимание многочисленных гостей Хабаровска привлекает монументальный памятник, установленный на Комсомольской площади. Двадцатидвухметровый монумент увековечил память о героическом подвиге дальневосточных красногвардейцев и партизан, навсегда освободивших край от белогвардейцев и иностранных интервентов. Памятник был открыт в октябре 1956г. Слайд№3

Железнодорожный вокзал Хабаровска был построен в 1929 г. и в те годы считался одним из самых больших и красивых вокзалов Дальнего Востока. В настоящее время вокзал реконструирован, полностью изменен его интерьер и он снова приобрел облик русского вокзала 20 века. Слайд№4

Вывод по слайдам №3№4 . Слайд№5

Аэропорт г. Хабаровска имеет статус международного, оснащен современным оборудованием, авиационно-техническая База способна обслуживать любые типы самолетов, вплоть до Боинга-747.

Широкая сеть регулярных маршрутов связывает Хабаровск с десятками городов России, СНГ, Дальнего зарубежья. Комфортабельные воздушные суда уходят из аэропортов Хабаровска и возвращаются обратно в самое удобное для пассажиров время.

Необходимо принимать правильные решения в течение ограниченного времени при управлении полетами самолетов в зависимости от их взаимного расположения в воздушном пространстве и на аэродроме. Слайд№6

Утес - это замечательное место стало одним из символов Хабаровска. Можно сказать, что история города началась именно с этого места.

В 1858г. капитан Я.В.Дьяченко высадился здесь со своим отрядом и решил основать здесь свой лагерь. Позднее он стал военным поселением, затем деревней Хабаровкой, а теперь это прекрасный город Хабаровск.

Здание располагает большим балконом, который является великолепной смотровой площадкой, позволяющей увидеть набережную, пляж и просторы Амура, уходящие за горизонт. Слайд№7

Подведение итогов презентаций.

Как вы оцениваете творческую подготовку к уроку Ваших одноклассниц?

Сделаем вывод.. Какие варианты взаимного расположения прямых в пространстве мы узнали сегодня на уроке? Слайд№8

Закрепление.

Математический диктант, учащиеся выполняют на отдельных листах по готовым чертежам и сдают на проверку помощникам-консультантам, которые проверяют и результаты проверки заносят в специальную ведомость.

ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - КУБ.

K, M, N - СЕРЕДИНЫ РЕБЕР

B 1 C 1 , D 1 D, D 1 C 1 СООТВЕТСТВЕННО,

P - ТОЧКА ПЕРЕСЕЧЕНИЯ

ДИАГОНАЛЕЙ ГРАНИ AA 1 B 1 B.

Определите взаимное расположение прямых. Слайд№9,10,11,12,13,14

Самопроверка. Слайд№15

SABC - ТЕТРАЭДР.

K, M, N, P - СЕРЕДИНЫ РЕБЕР

SA, SC, AB, BC СООТВЕТСТВЕННО.

Слайд№16,1,18,19,20

Самопроверка.Слайд№21

После выполнения математического диктанта - краткое устное объяснение с обоснованием всех заданий.

Тест, учащиеся выполняют по раздаточному материалу и также сдают на проверку помощникам-консультантам, которые проверяют и результаты проверки заносят в специальную ведомость

Сколько существует случаев взаимного расположения двух различных прямых в пространстве?

В тексте дано определение скрещивающихся прямых. Правильно ли следующее определение: "Две прямые называются cкрещивающимися, если не существует плоскости, в которой лежат обе эти прямые".

в) ответить однозначно нельзя

Сколько пар скрещивающихся ребер имеет треугольная пирамида?

Сколько пар скрещивающихся ребер имеет четырехугольная пирамида?

Дана прямая a и точка A вне ее. Сколько прямых, скрещивающихся с a, можно провести через точку A?

б) множество

Для того, чтобы две прямые не были скрещивающимися (необходимо или достаточно) чтобы они пересекались.

Для того, чтобы две прямые были параллельными (необходимо или достаточно) чтобы они лежали в одной плоскости.

Самостоятельная работа по вариантам

1 вариант

Даны скрещивающиеся прямые a, b и точка T. Провести через точку T прямую, пересекающую прямые a и b.

2 вариант

Прямые a и b скрещивающиеся. Провести прямую, пересекающую b и параллельную прямой a.

Ведомость учета результатов математического диктанта и тестирования

Домашнее задание.

Подготовить творческий отчет о взаимном расположении прямых и плоскостей в пространстве.

Подведение итогов.

Кроссворд. Слайд №22,23

Напомним необходимые сведения о комплексных числах.

Комплексное число - это выражение вида a + bi , где a , b - действительные числа, а i - так называемая мнимая единица , символ, квадрат которого равен –1, то есть i 2 = –1. Число a называется действительной частью , а число b - мнимой частью комплексного числа z = a + bi . Если b = 0, то вместо a + 0i пишут просто a . Видно, что действительные числа - это частный случай комплексных чисел.

Арифметические действия над комплексными числами те же, что и над действительными: их можно складывать, вычитать, умножать и делить друг на друга. Сложение и вычитание происходят по правилу (a + bi ) ± (c + di ) = (a ± c ) + (b ± d )i , а умножение - по правилу (a + bi ) · (c + di ) = (ac – bd ) + (ad + bc )i (здесь как раз используется, что i 2 = –1). Число = a – bi называется комплексно-сопряженным к z = a + bi . Равенство z · = a 2 + b 2 позволяет понять, как делить одно комплексное число на другое (ненулевое) комплексное число:

(Например, .)

У комплексных чисел есть удобное и наглядное геометрическое представление: число z = a + bi можно изображать вектором с координатами (a ; b ) на декартовой плоскости (или, что почти то же самое, точкой - концом вектора с этими координатами). При этом сумма двух комплексных чисел изображается как сумма соответствующих векторов (которую можно найти по правилу параллелограмма). По теореме Пифагора длина вектора с координатами (a ; b ) равна . Эта величина называется модулем комплексного числа z = a + bi и обозначается |z |. Угол, который этот вектор образует с положительным направлением оси абсцисс (отсчитанный против часовой стрелки), называется аргументом комплексного числа z и обозначается Arg z . Аргумент определен не однозначно, а лишь с точностью до прибавления величины, кратной 2π радиан (или 360°, если считать в градусах) - ведь ясно, что поворот на такой угол вокруг начала координат не изменит вектор. Но если вектор длины r образует угол φ с положительным направлением оси абсцисс, то его координаты равны (r · cos φ ; r · sin φ ). Отсюда получается тригонометрическая форма записи комплексного числа: z = |z | · (cos(Arg z ) + i sin(Arg z )). Часто бывает удобно записывать комплексные числа именно в такой форме, потому что это сильно упрощает выкладки. Умножение комплексных чисел в тригонометрической форме выглядит очень просто: z 1 · z 2 = |z 1 | · |z 2 | · (cos(Arg z 1 + Arg z 2) + i sin(Arg z 1 + Arg z 2)) (при умножении двух комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются). Отсюда следуют формулы Муавра : z n = |z | n · (cos(n · (Arg z )) + i sin(n · (Arg z ))). С помощью этих формул легко научиться извлекать корни любой степени из комплексных чисел. Корень n-й степени из числа z - это такое комплексное число w , что w n = z . Видно, что , а , где k может принимать любое значение из множества {0, 1, ..., n – 1}. Это означает, что всегда есть ровно n корней n -й степени из комплексного числа (на плоскости они располагаются в вершинах правильного n -угольника).