Задание 1
Если \(74\) человека составляют \(40\%\) , то \(74:2=37\) человек составляют \(20\%\) . Следовательно, \(100\%\) составляют \(37\cdot 5=185\) человек.
Ответ: 185
Задание 2
На графике показана зависимость температуры воды, выраженная в градусах Цельсия, от времени, отсчитываемого с начала ее нагревания. На оси абсцисс откладывается время в минутах, на оси ординат – температура. Определите по графику, на сколько градусов изменилась температура воды с \(3\)
минут до \(8\)
минут. Ответ дайте в градусах Цельсия.
По графику видно, что спустя \(3\) минуты после начала нагрева температура воды была равна \(40^\circ C\) , спустя \(8\) минут температура была равна \(90^\circ C\) , следовательно, с \(3\) по \(8\) минуту температура изменилась на \(90-40=50^\circ C\) .
Ответ: 50
Задание 3
На клетчатой бумаге изображен треугольник \(ABC\)
. Найдите среднюю линию этого треугольника, параллельную стороне \(AB\)
.
Так как средняя линия треугольника равна половине стороны, которой она параллельна, то средняя линия, параллельная \(AB\) , будет равна \(0,5 AB\) . Так как \(AB=5\) , то средняя линия равна \(2,5\) .
Ответ: 2,5
Задание 4
На олимпиаду по математике пришло \(500\) школьников. Их разместили в четырех аудиториях: в трех аудиториях по \(150\) человек, в четвертой – \(50\) человек. Найдите вероятность того, что случайно выбранный школьник будет писать олимпиаду в маленькой аудитории.
Будем искать вероятность как отношение количества подходящих исходов к количеству всех исходов. Так как в маленькой аудитории \(50\) мест, то количество подходящих мест – \(50\) . Всего мест \(500\) . Следовательно, вероятность равна \[\dfrac{50}{500}=0,1.\]
Ответ: 0,1
Задание 5
Задание 6
Дан параллелограмм со сторонами \(21\) и \(28\) . К меньшей стороне проведена высота, длина которой равна \(20\) . Найдите длину высоты, проведенной к большей стороне.
Рассмотрим рисунок. Так как площадь параллелограмма равна произведению стороны на высоту, проведенную к этой стороне, то площадь данного параллелограмма равна \(21\cdot 20\)
или \(28\cdot h\)
. Следовательно, \
Ответ: 15
Задание 7
На рисунке изображен график производной функции \(y = f(x)\) . На оси абсцисс отмечены семь точек: \(x_1\) , \(x_2\) , \(x_3\) , \(x_4\) , \(x_5\) , \(x_6\) , \(x_7\) . В скольких из этих точек функция \(f(x)\) возрастает?
Функция возрастает в тех точках, в которых значение ее производной положительно. Следовательно, так как на рисунке изображен график производной, нам подходят те точки, в которых график производной находится ВЫШЕ оси абсцисс. Это точки \(x_3, x_4, x_5, x_6, x_7\) . Всего таких точек 5.
Ответ: 5
Задание 8
В сосуд цилиндрической формы налили воду до уровня \(32\) см. Какого уровня достигнет вода, если ее перелить в другой сосуд цилиндрической формы, радиус основания которого в 4 раза больше радиуса основания первого сосуда? Ответ дайте в см.
Пусть радиус основания первого сосуда равен \(R_1\)
, а радиус основания второго равен \(R_2\)
. Тогда \(R_2=4R_1\)
. Заметим, что при переливании воды из одного сосуда в другой объем воды остается постоянным. Когда вода находилась в первом сосуде, то ее объем равен объему цилиндра с высотой \(32\)
и радиусом основания \(R_1\)
: \(V=\pi
R_1^2\cdot 32\)
. Когда ее перелили во второй сосуд, то ее объем равен объему цилиндра с высотой \(h\)
(эту величину нужно найти) и радиусом основания \(R_2\)
, то есть \(V=\pi R_2^2\cdot h\)
. Но тогда: \[\pi R_1^2\cdot 32=\pi R_2^2\cdot h \quad\Rightarrow\quad
h=\left(\dfrac{R_1}{R_2}\right)^2\cdot
32=\left(\dfrac14\right)^2\cdot 32=2.\]
Ответ: 2
Задание 9
Найдите значение выражения \
Перепишем выражение в виде \ По формуле косинуса двойного угла \(2\cos^2x-1=\cos 2x\) выражение перепишется как \
Ответ: -3
Задание 10
При сближении источника и приемника звуковых сигналов, движущихся в некоторой среде по прямой навстречу друг другу, частота звукового сигнала, регистрируемого приемником, не совпадает с частотой исходного сигнала \(f_0=140\) Гц и определяется следующим выражением: \ где \(c\) – скорость распространение сигнала в среде (в м/с), а \(u=15\) м/с и \(v=14\) м/с – скорости приемника и источника относительно среды соответственно. При какой максимальной скорости \(c\) (в м/с) распространения сигнала в среде частота сигнала в приемнике \(f\) будет не менее \(145\) Гц?
Так как нужно найти такое \(c\) , при котором \(f\geqslant 145\) , то нужно решить неравенство \ Решая данное неравенство методом интервалов, получим \(c\in \) . Следовательно, при таких значениях \(c\) значение \(f\) будет не менее \(145\) . Тогда наибольшее значение \(c\) – это \(826\) .
Ответ: 826
Задание 11
Теплоход, скорость которого в стоячей воде равна \(27\) км/ч, движется по течению из пункта А в пункт Б. По приезде в пункт Б теплоход сделал стоянку длительностью \(5\) часов, затем отправился обратно в пункт А. Известно, что теплоход вернулся в пункт А через \(32\) часа после отплытия из А. Сколько километров прошел теплоход, если скорость течения реки равна \(1\) км/ч?
Пусть расстояние между пунктами А и Б равно \(S\) . Тогда на дорогу из А в Б теплоход потратил \[\dfrac{S}{27+1}\quad {\small{\text{часов}}}\] Далее он сделал в пункте Б остановку длительностью 5 часов, и на дорогу из Б в А он потратил \[\dfrac{S}{27-1}\quad {\small{\text{часов}}}\] Всего он затратил 32 часа, следовательно, \[\dfrac S{27+1}+5+\dfrac S{27-1}=32 \quad\Rightarrow\quad 54S=26\cdot 27\cdot 28\quad\Rightarrow\quad S=13\cdot 28\] Тогда всего теплоход прошел \(2S\) километров, или \
Ответ: 728
Задание 12
Найдите точку минимума функции \
ОДЗ функции: \((x+10)^7> 0 \quad\Leftrightarrow\quad x>-10.\)
Точки минимума функции – это точки, в которых производная меняет свой знак с “\(-\)
” на “\(+\)
” (если смотреть слева направо). Найдем производную, ее нули и точки, где она не существует, и вычислим знаки на получившихся промежутках. \
Нули производной: \
Знаки производной на ОДЗ:
Следовательно, \(x=-9\)
– точка минимума.
Ответ: -9
Задание 13
а) Решите уравнение \[\log_4(2^{2x}-\sqrt3\cos x-\sin2x)=x\]
б) Укажите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \(\left[-\dfrac{\pi}2;\dfrac{3\pi}2\right].\)
а) ОДЗ уравнения: \(2^{2x}-\sqrt3\cos x-\sin2x>0\) . Решим уравнение на ОДЗ. Его можно преобразовать: \[\begin{aligned} &2^{2x}-\sqrt3\cos x-\sin2x=4^x \ (*)\quad\Rightarrow\quad -\sqrt3\cos x-\sin2x=0 \quad\Rightarrow\\ &\Rightarrow\quad 2\sin x\cos x+\sqrt3\cos x=0\quad\Rightarrow\quad \cos x(2\sin x+\sqrt3)=0\end{aligned}\] Решениями данного уравнения будут \(\cos x=0\) и \(\sin x=-\dfrac{\sqrt3}2\) : \[\left[\begin{gathered}\begin{aligned} &x=\dfrac{\pi}2+\pi n, n\in\mathbb{Z}\\ &x=-\dfrac{\pi}3+2\pi m, m\in\mathbb{Z}\\ &x=-\dfrac{2\pi}3+2\pi k, k\in\mathbb{Z} \end{aligned}\end{gathered}\right.\] Проверим, подходят ли эти корни под ОДЗ. Так как эти корни получились из уравнения \((*)\) , а \(4^x>0\) при всех \(x\) , то при подстановке данных корней в уравнение левая часть \((*)\) также будет всегда \(>0\) . А это и есть ОДЗ. Следовательно, все корни удовлетворяют ОДЗ.
б) Отберем корни. \[\begin{aligned} &-\dfrac{\pi}2\leqslant \dfrac{\pi}2+\pi n\leqslant \dfrac{3\pi}2 \quad\Leftrightarrow\quad -1\leqslant n\leqslant 1\quad\Rightarrow \quad n=-1; 0; 1\quad\Rightarrow\quad x=-\dfrac{\pi}2; \dfrac{\pi}2; \dfrac{3\pi}2\\ & -\dfrac{\pi}2\leqslant -\dfrac{\pi}3+2\pi m\leqslant \dfrac{3\pi}2 \quad\Leftrightarrow\quad -\dfrac1{12}\leqslant m\leqslant \dfrac{11}{12}\quad\Rightarrow\quad m=0\quad\Rightarrow\quad x=-\dfrac{\pi}3\\ &-\dfrac{\pi}2\leqslant -\dfrac{2\pi}3+2\pi k\leqslant \dfrac{3\pi}2\quad\Leftrightarrow\quad \dfrac1{12}\leqslant k\leqslant \dfrac{13}{12}\quad\Rightarrow\quad k=1\quad\Rightarrow\quad x=\dfrac{4\pi}3 \end{aligned}\]
Ответ:
а) \(x=\dfrac{\pi}2+\pi n, -\dfrac{\pi}3+2\pi m, -\dfrac{2\pi}3+2\pi k, n,m,k\in\mathbb{Z}\)
б) \(-\dfrac{\pi}2; -\dfrac{\pi}3; \dfrac{\pi}2; \dfrac{4\pi}3; \dfrac{3\pi}2\)
Задание 14
Основанием четырехугольной пирамиды \(SABCD\) является прямоугольник \(ABCD\) , причем \(AB=3\sqrt2\) , \(BC=6\) . Основанием высоты пирамиды является центр прямоугольника. Из вершин \(A\) и \(C\) опущены перпендикуляры \(AP\) и \(CQ\) на ребро \(SB\) .
а) Докажите, что \(P\) – середина отрезка \(BQ\) .
б) Найдите угол между гранями \(SBA\) и \(SBC\) , если \(SD=9\) .
а) Пусть \(O\)
– точка пересечения диагоналей прямоугольника \(ABCD\)
. Тогда \(SO\)
– высота пирамиды. Так как диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам, то \(AO=BO=CO=DO\)
. Следовательно, \(\triangle AOS=\triangle BOS=\triangle COS=\triangle
DOS\)
, откуда \(AS=BS=CS=DS\)
. Обозначим \(AS=x\)
.
Рассмотрим грань \(ASB\)
. Проведем \(SK\perp AB\)
. Тогда \(KB=0,5
AB=1,5\sqrt2\)
. Тогда \[\dfrac{KB}{SB}=\cos \angle SBA=\dfrac{BP}{BA}
\quad\Rightarrow\quad BP=\dfrac 9x\]
Рассмотрим грань \(CSB\)
. Проведем \(SH\perp CB\)
. Тогда \(HB=0,5 CB=3\)
. Тогда \[\dfrac{HB}{SB}=\cos \angle SBC=\dfrac{BQ}{BC}
\quad\Rightarrow\quad BQ=\dfrac {18}x\]
Следовательно, \
Чтд.
б) По условию \(x=9\) . Заметим, что в грани \(CSB\) \(PH\parallel CQ\) (так как \(PH\) – средняя линия в \(\triangle CQB\) ) Следовательно, \(PH\perp SB\) . Следовательно, по определению, \(\angle APH\) – линейный угол двугранного угла между гранями \(SBC\) и \(SBA\) . Найдем его по теореме косинусов из \(\triangle APH\) .
\(BP=\frac9{x}=1\)
. Следовательно, по теореме Пифагора из \(\triangle
ABP\)
: \(AP^2=18-1=17\)
.
По теореме Пифагора из \(\triangle HBP\)
: \(HP^2=9-1=8\)
.
По теореме Пифагора из \(\triangle ABH\)
: \(AH^2=18+9=27\)
.
Следовательно, по теореме косинусов из \(\triangle APH\)
: \[\cos \angle APH=\dfrac{AP^2+HP^2-AH^2}{2\cdot AP\cdot HP}=
-\dfrac1{2\sqrt{34}}\]
Следовательно, угол между гранями \(SAB\)
и \(SCB\)
равен \[\angle APH=\arccos\left(-\dfrac1{2\sqrt{34}}\right)\]
Ответ:
б) \(\arccos\left(-\frac1{2\sqrt{34}}\right)\)
Задание 15
Решите неравенство \[\dfrac{2^x}{2^x-8}+\dfrac{2^x+8}{2^x-4} +\dfrac{66}{4^x-12\cdot 2^x+32}\leqslant 0\]
Сделаем замену \(2^x=t\) , тогда неравенство примет вид \[\begin{aligned} &\dfrac{t}{t-8}+\dfrac{t+8}{t-4}+\dfrac{66}{t^2-12t+32}\leqslant 0 \quad\Leftrightarrow\quad \dfrac{t(t-4)+(t^2-8^2)+66}{(t-8)(t-4)}\leqslant 0 \quad\Leftrightarrow\\ &\Leftrightarrow\quad \dfrac{2t^2-4t+2}{(t-8)(t-4)}\leqslant 0 \quad\Leftrightarrow\quad \dfrac{2(t-1)^2}{(t-8)(t-4)}\leqslant 0 \end{aligned}\] Решим данное неравенство методом интервалов:
Тогда решением будут \[\left[\begin{gathered}\begin{aligned}
&t=1\\
&4
Ответ:
\(\{0\}\cup(2;3)\)
Задание 16
Точка \(E\) – середина боковой стороны \(CD\) трапеции \(ABCD\) . На ее стороне \(AB\) взята точка \(K\) так, что прямые \(CK\) и \(AE\) параллельны. Отрезки \(CK\) и \(BE\) пересекаются в точке \(O\) .
а) Докажите, что \(CO=OK\) .
б) Найдите отношение оснований трапеции \(BC:AD\) , если площадь треугольника \(BCK\) составляет \(\dfrac9{64}\) площади всей трапеции \(ABCD\) .
а) Продлим \(AE\) и \(BC\) до пересечения в точке \(P\) :
Тогда \(\angle AED=\angle CEP\)
как вертикальные, \(\angle ADE=\angle
PCE\)
как накрест лежащие при \(AD\parallel BP\)
и \(CD\)
секущей. Следовательно, по стороне и двум прилежащим углам \(\triangle
AED=\triangle CEP\)
. Тогда \(AD=CP\)
, \(AE=EP\)
.
Так как \(CK\parallel AP\)
, то \(\triangle BKO\sim \triangle ABE\)
и \(CBO\sim \triangle PBE\)
, следовательно, \[\dfrac{KO}{AE}=\dfrac{BO}{BE}=\dfrac{OC}{EP} \quad\Rightarrow\quad
\dfrac{KO}{OC}=\dfrac{AE}{EP}=1\]
Таким образом, \(KO=OC\)
, чтд.
б) Так как \(\triangle AED=\triangle CEP\) , то \(S_{ABCD}=S_{ABP}\) . Таким образом, \ Так как \(\triangle BCK\sim \triangle ABP\) , то их площади относятся как квадрат коэффициента подобия, следовательно, \ Следовательно, \(BC:BP=3:8\) , а значит \(BC:AD=BC:CP=3:5\) .
Ответ:
б) \(3:5\)
Задание 17
В июле 2020 года планируется брать кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:
- каждый январь долг возрастает на \(30\%\)
по сравнению с концом предыдущего года;
- с февраля по июнь каждого года необходимо выплачивать одним платежом часть долга.
Сколько рублей было взято в банке, если известно, что кредит был полностью погашен тремя равными платежами (то есть за 3 года) и сумма платежей превосходит взятую в банке сумму на \(156\,060\)
рублей?
Пусть \(A\)
рублей – сумма, взятая в кредит. Заметим, что кредит будет выплачиваться аннуитетными платежами. Обозначим за \(t=1,3\)
и составим таблицу: \[\begin{array}{|l|l|l|c|}
\hline \text{Номер года} & \text{Долг до начисления }\%
& \text{Долг после начисления }\% & \text{Платеж}\\
\hline 1 & A & tA & x\\
\hline 2 & tA-x & t(tA-x) &x\\
\hline 3 & t(tA-x)-x& t(t(tA-x)-x) &x\\
\hline \end{array}\]
Тогда после последнего платежа долг будет равен \
По условию \(3x-A=156\,060\)
, следовательно, \[\dfrac{3At^3}{t^2+t+1}-A=156\,060
\quad\Rightarrow\quad 3\cdot 2,197A-3,99A=156060\cdot 3,99
\quad\Rightarrow\quad A=\dfrac{156060\cdot 3990}{2601}=60\cdot
3990=239\,400\]
\(x_3\)
удовлетворяют \((2)\)
. Также заметим, что корень \(x_1\)
принадлежит отрезку \(\)
.
Рассмотрим три случая:
1) \(a>0\)
. Тогда \(x_2>3\)
, \(x_3<3\)
, следовательно, \(x_2\notin .\)
Тогда уравнение будет иметь один корень на \(\)
в одном из двух случаях:
- \(x_1\)
удовлетворяет \((2)\)
, \(x_3\)
не удовлетворяет \((1)\)
, или совпадает с \(x_1\)
, или удовлетворяет \((1)\)
, но не входит в отрезок \(\)
(то есть меньше \(0\)
);
- \(x_1\)
не удовлетворяет \((2)\)
, \(x_3\)
удовлетворяет \((1)\)
и не равен \(x_1\)
.
Заметим, что \(x_3\)
не может быть одновременно меньше нуля и удовлетворять \((1)\)
(то есть быть больше \(\frac35\)
). Учитывая это замечание, случаи записываются в следующую совокупность: \[\left[
\begin{gathered}\begin{aligned}
&\begin{cases} \dfrac9{25}-6\cdot \dfrac35+10-a^2>0\\
3-a\leqslant \dfrac35\end{cases}\\
&\begin{cases}
\dfrac9{25}-6\cdot \dfrac35+10-a^2\leqslant 0\\
3-a> Решая данную совокупность и учитывая, что \(a>0\)
, получим: \
2) \(a=0\) . Тогда \(x_2=x_3=3\in .\) Заметим, что в этом случае \(x_1\) удовлетворяет \((2)\) и \(x_2=3\) удовлетворяет \((1)\) , то есть уравнение имеет два корня на \(\) . Это значение \(a\) нам не подходит.
3) \(a<0\) . Тогда \(x_2<3\) , \(x_3>3\) и \(x_3\notin \) . Рассуждая аналогично пункту 1), нужно решить совокупность: \[\left[ \begin{gathered}\begin{aligned} &\begin{cases} \dfrac9{25}-6\cdot \dfrac35+10-a^2>0\\ 3+a\leqslant \dfrac35\end{cases}\\ &\begin{cases} \dfrac9{25}-6\cdot \dfrac35+10-a^2\leqslant 0\\ 3+a> \dfrac35\end{cases} \end{aligned}\end{gathered}\right.\] Решая данную совокупность и учитывая, что \(1, 2, 3, \dots, 99\) . Тогда сумма всех ста чисел – наименьшая возможная сумма в случае, когда среди чисел есть \(230\) . Вычислим ее: \[\dfrac{1+99}2\cdot 99+230=5180>5120\] Получили противоречие с условием, следовательно, ответ: нет.
б) Предположим, что на доске нет числа \(14\) . Снова упорядочим числа по возрастанию и рассмотрим числа: \(1, 2, \dots, 13, 15, \dots, 101\) . Мы взяли наименьшее возможное значение для первого числа, для второго и т.д. Тогда сумма всех этих чисел – наименьшая возможная сумма среди сумм произвольных ста натуральных чисел. Она равна: \[\dfrac{1+101}2\cdot 101-14=5137>5120\] Получили опять же противоречие с условием, следовательно, ответ: нет.
в) Приведем пример, когда среди чисел есть четыре числа, кратные \(14\)
(это числа \(14, 28, 42, 56\)
): \
Докажем, что не может быть меньше четырех чисел, кратных \(14\)
.
Возьмем набор чисел от \(1\)
до \(100\)
. Сумма чисел в данном наборе равна \(5050\)
. Это минимально возможная сумма ста различных натуральных чисел. Назовем числа, кратные \(14\)
, странными. В данном наборе 7 странных чисел. Будем уменьшать количество странных чисел в нашем наборе, сохраняя минимальность суммы чисел в наборе.
Итак, для того, чтобы сумма чисел была минимальна, мы должны убрать самое большое странное число – это \(98\)
. Тогда взамен ему придется добавить другое число (не странное!). Самое маленькое такое число – это \(101\)
. После этого мы получим минимальную сумму, равную \(5053\)
. Она меньше, чем \(5120\)
, поэтому будем продолжать дальше.
Поступая аналогично, уберем странные числа \(98, 84, 70\)
. Вместо них добавим \(101, 102, 103\)
. Получим при этом минимальную сумму, равную \(5104\)
. Сделав данную операцию еще раз, то есть убрав \(56\)
и добавив \(104\)
, получим минимальную сумму \(5152\)
, что больше, чем \(5120\)
. В силу минимальности суммы чисел в нашем наборе получаем противоречие.
Среднее общее образование
Линия УМК Г. К. Муравина. Алгебра и начала математического анализа (10-11) (углуб.)
Линия УМК Мерзляка. Алгебра и начала анализа (10-11) (У)
Математика
Подготовка к ЕГЭ по математике (профильный уровень): задания, решения и объяснения
Разбираем задания и решаем примеры с учителемЭкзаменационная работа профильного уровня длится 3 часа 55 минут (235 минут).
Минимальный порог - 27 баллов.
Экзаменационная работа состоит из двух частей, которые различаются по содержанию, сложности и числу заданий.
Определяющим признаком каждой части работы является форма заданий:
- часть 1 содержит 8 заданий (задания 1-8) с кратким ответом в виде целого числа или конечной десятичной дроби;
- часть 2 содержит 4 задания (задания 9-12) с кратким ответом в виде целого числа или конечной десятичной дроби и 7 заданий (задания 13–19) с развернутым ответом (полная запись решения с обоснованием выполненных действий).
Панова Светлана Анатольевна , учитель математики высшей категории школы, стаж работы 20 лет:
«Для того чтобы получить школьный аттестат, выпускнику необходимо сдать два обязательных экзамена в форме ЕГЭ, один из которых математика. В соответствии с Концепцией развития математического образования в Российской Федерации ЕГЭ по математике разделен на два уровня: базовый и профильный. Сегодня мы рассмотрим варианты профильного уровня».
Задание № 1 - проверяет у участников ЕГЭ умение применять навыки, полученные в курсе 5 - 9 классов по элементарной математике, в практической деятельности. Участник должен владеть вычислительными навыками, уметь работать с рациональными числами, уметь округлять десятичные дроби, уметь переводить одни единицы измерения в другие.
Пример 1. В квартире, где проживает Петр, установили прибор учета расхода холодной воды (счетчик). Первого мая счетчик показывал расход 172 куб. м воды, а первого июня - 177 куб. м. Какую сумму должен заплатить Петр за холодную воду за май, если цена 1 куб. м холодной воды составляет 34 руб 17 коп? Ответ дайте в рублях.
Решение:
1) Найдем количество потраченной воды за месяц:
177 - 172 = 5 (куб м)
2) Найдем сколько денег заплатят за потраченную воду:
34,17 · 5 = 170,85 (руб)
Ответ: 170,85.
Задание № 2 -является одним из простейших заданий экзамена. С ней успешно справляется большинство выпускников, что свидетельствует о владении определением понятия функции. Тип задания № 2 по кодификатору требований - это задание на использования приобретённых знаний и умений в практической деятельности и повседневной жизни. Задание № 2 состоит из описания с помощью функций различных реальных зависимостей между величинами и интерпретация их графиков. Задание № 2 проверяет умение извлекать информацию, представленную в таблицах, на диаграммах, графиках. Выпускникам нужно уметь определять значение функции по значению аргумента при различных способах задания функции и описывать поведение и свойства функции по её графику. Также необходимо уметь находить по графику функции наибольшее или наименьшее значение и строить графики изученных функций. Допускаемые ошибки носят случайный характер в чтении условия задачи, чтении диаграммы.
#ADVERTISING_INSERT#
Пример 2. На рисунке показано изменение биржевой стоимости одной акции добывающей компании в первой половине апреля 2017 года. 7 апреля бизнесмен приобрёл 1000 акций этой компании. 10 апреля он продал три четверти купленных акций, а 13 апреля продал все оставшиеся. Сколько потерял бизнесмен в результате этих операций?
Решение:
2) 1000 · 3/4 = 750 (акций) - составляют 3/4 от всех купленных акций.
6) 247500 + 77500 = 325000 (руб) - бизнесмен получил после продажи 1000 акций.
7) 340000 – 325000 = 15000 (руб) - потерял бизнесмен в результате всех операций.
Ответ: 15000.
Задание № 3 - является заданием базового уровня первой части, проверяет умения выполнять действия с геометрическими фигурами по содержанию курса «Планиметрия». В задании 3 проверяется умение вычислять площадь фигуры на клетчатой бумаге, умение вычислять градусные меры углов, вычислять периметры и т.п.
Пример 3. Найдите площадь прямоугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см на 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Решение: Для вычисления площади данной фигуры можно воспользоваться формулой Пика:
Для вычисления площади данного прямоугольника воспользуемся формулой Пика:
|
S = В + |
Г | |
| 2 |
|
S = 18 + |
6 | |
| 2 |
Читайте также: ЕГЭ по физике: решение задач о колебаниях
Задание № 4 - задача курса «Теория вероятностей и статистика». Проверяется умение вычислять вероятность события в простейшей ситуации.
Пример 4. На окружности отмечены 5 красных и 1 синяя точка. Определите, каких многоугольников больше: тех, у которых все вершины красные, или тех, у которых одна из вершин синяя. В ответе укажите, на сколько одних больше, чем других.
Решение: 1) Воспользуемся формулой числа сочетаний из n элементов по k :
у которых все вершины красные.
3) Один пятиугольник, у которого все вершины красные.
4) 10 + 5 + 1 = 16 многоугольников, у которых все вершины красные.
у которых вершины красные или с одной синей вершиной.
у которых вершины красные или с одной синей вершиной.
8) Один шестиуголник, у которого вершины красные с одной синей вершиной.
9) 20 + 15 + 6 + 1 = 42 многоуголника, у которых все вершины красные или с одной синей вершиной.
10) 42 – 16 = 26 многоугольников, в которых используется синяя точка.
11) 26 – 16 = 10 многоугольников – на сколько многоугольников, у которых одна из вершин - синяя точка, больше, чем многоугольников, у которых все вершины только красные.
Ответ: 10.
Задание № 5 - базового уровня первой части проверяет умения решать простейшие уравнения (иррациональные, показательные, тригонометрические, логарифмические).
Пример 5. Решите уравнение 2 3 + x = 0,4 · 5 3 + x .
Решение. Разделим обе части данного уравнения на 5 3 + х ≠ 0, получим
| 2 3 + x | = 0,4 или | 2 | 3 + х | = | 2 | , | ||
| 5 3 + х | 5 | 5 |
откуда следует, что 3 + x = 1, x = –2.
Ответ: –2.
Задание № 6 по планиметрии на нахождение геометрических величин (длин, углов, площадей), моделирование реальных ситуаций на языке геометрии. Исследование построенных моделей с использованием геометрических понятий и теорем. Источником трудностей является, как правило, незнание или неверное применение необходимых теорем планиметрии.
Площадь треугольника ABC равна 129. DE – средняя линия, параллельная стороне AB . Найдите площадь трапеции ABED .
Решение. Треугольник CDE подобен треугольнику CAB по двум углам, так как угол при вершине C общий, угол СDE равен углу CAB как соответственные углы при DE || AB секущей AC . Так как DE – средняя линия треугольника по условию, то по свойству средней линии | DE = (1/2)AB . Значит, коэффициент подобия равен 0,5. Площади подобных фигур относятся как квадрат коэффициента подобия, поэтому
Следовательно, S ABED = S ΔABC – S ΔCDE = 129 – 32,25 = 96,75.
Задание № 7 - проверяет применение производной к исследованию функции. Для успешного выполнения необходимо содержательное, не формальное владение понятием производной.
Пример 7. К графику функции y = f (x ) в точке с абсциссой x 0 проведена касательная, которая перпендикулярна прямой, проходящей через точки (4; 3) и (3; –1) этого графика. Найдите f ′(x 0).
Решение. 1) Воспользуемся уравнением прямой, проходящей через две заданные точки и найдём уравнение прямой, проходящей через точки (4; 3) и (3; –1).
(y – y 1)(x 2 – x 1) = (x – x 1)(y 2 – y 1)
(y – 3)(3 – 4) = (x – 4)(–1 – 3)
(y – 3)(–1) = (x – 4)(–4)
–y + 3 = –4x + 16| · (–1)
y – 3 = 4x – 16
y = 4x – 13, где k 1 = 4.
2) Найдём угловой коэффициент касательной k 2 , которая перпендикулярна прямой y = 4x – 13, где k 1 = 4, по формуле:
3) Угловой коэффициент касательной – производная функции в точке касания. Значит, f ′(x 0) = k 2 = –0,25.
Ответ: –0,25.
Задание № 8 - проверяет у участников экзамена знания по элементарной стереометрии, умение применять формулы нахождения площадей поверхностей и объемов фигур, двугранных углов, сравнивать объемы подобных фигур, уметь выполнять действия с геометрическими фигурами, координатами и векторами и т.п.
Объём куба, описанного около сферы, равен 216. Найдите радиус сферы.
Решение. 1) V куба = a 3 (где а – длина ребра куба), поэтому
а 3 = 216
а = 3 √216
2) Так как сфера вписана в куб, значит, длина диаметра сферы равна длине ребра куба, поэтому d = a , d = 6, d = 2R , R = 6: 2 = 3.
Задание № 9 - требует от выпускника навыков преобразования и упрощения алгебраических выражений. Задание № 9 повышенного уровня сложности с кратким ответом. Задания из раздела «Вычисления и преобразования» в ЕГЭ подразделяются на несколько видов:
- преобразования числовых/буквенных тригонометрических выражений.
преобразования числовых рациональных выражений;
преобразования алгебраических выражений и дробей;
преобразования числовых/буквенных иррациональных выражений;
действия со степенями;
преобразование логарифмических выражений;
Пример 9. Вычислите tgα, если известно, что cos2α = 0,6 и
| 3π | < α < π. |
| 4 |
Решение. 1) Воспользуемся формулой двойного аргумента: cos2α = 2 cos 2 α – 1 и найдём
| tg 2 α = | 1 | – 1 = | 1 | – 1 = | 10 | – 1 = | 5 | – 1 = 1 | 1 | – 1 = | 1 | = 0,25. |
| cos 2 α | 0,8 | 8 | 4 | 4 | 4 |
Значит, tg 2 α = ± 0,5.
3) По условию
| 3π | < α < π, |
| 4 |
значит, α – угол II четверти и tgα < 0, поэтому tgα = –0,5.
Ответ: –0,5.
#ADVERTISING_INSERT# Задание № 10 - проверяет у учащихся умение использовать приобретенные раннее знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни. Можно сказать, что это задачи по физике, а не по математике, но все необходимые формулы и величины даны в условии. Задачи сводятся к решению линейного или квадратного уравнения, либо линейного или квадратного неравенства. Поэтому необходимо уметь решать такие уравнения и неравенства, и определять ответ. Ответ должен получиться в виде целого числа или конечной десятичной дроби.
Два тела массой m
= 2 кг каждое, движутся с одинаковой скоростью v
= 10 м/с под углом 2α
друг к другу. Энергия (в джоулях), выделяющаяся при их абсолютно неупругом соударении определяется выражением Q
= mv
2 sin 2 α. Под каким наименьшим углом 2α
(в градусах) должны двигаться тела, чтобы в результате соударения выделилось не менее 50 джоулей?
Решение.
Для решения задачи нам необходимо решить неравенство Q ≥ 50, на интервале 2α
∈ (0°; 180°).
mv 2 sin 2 α ≥ 50
2· 10 2 sin 2 α ≥ 50
200 · sin 2 α ≥ 50
Так как α ∈ (0°; 90°), то будем решать только
Изобразим решение неравенства графически:
Так как по условию α ∈ (0°; 90°), значит 30° ≤ α < 90°. Получили, что наименьший угол α равен 30°, тогда наименьший угол 2α = 60°.
Задание № 11 - является типовым, но оказывается непростым для учащихся. Главным источником затруднений является построение математической модели (составление уравнения). Задание № 11 проверяет умение решать текстовые задачи.
Пример 11. На весенних каникулах 11-классник Вася должен был решить 560 тренировочных задач для подготовки к ЕГЭ. 18 марта в последний учебный день Вася решил 5 задач. Далее ежедневно он решал на одно и то же количество задач больше по сравнению с предыдущим днём. Определите, сколько задач Вася решил 2 апреля в последний день каникул.
Решение: Обозначим a 1 = 5 – количество задач, которые Вася решил 18 марта, d – ежедневное количество задач, решаемых Васей, n = 16 – количество дней с 18 марта по 2 апреля включительно, S 16 = 560 – общее количество задач, a 16 – количество задач, которые Вася решил 2 апреля. Зная, что ежедневно Вася решал на одно и то же количество задач больше по сравнению с предыдущим днём, то можно использовать формулы нахождения суммы арифметической прогрессии:560 = (5 + a 16) · 8,
5 + a 16 = 560: 8,
5 + a 16 = 70,
a 16 = 70 – 5
a 16 = 65.
Ответ: 65.
Задание № 12 - проверяют у учащихся умение выполнять действия с функциями, уметь применять производную к исследованию функции.
Найти точку максимума функции y = 10ln(x + 9) – 10x + 1.
Решение: 1) Найдем область определения функции: x + 9 > 0, x > –9, то есть x ∈ (–9; ∞).
2) Найдем производную функции:
4) Найденная точка принадлежит промежутку (–9; ∞). Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции:
Искомая точка максимума x = –8.
Скачать бесплатно рабочую программу по математике к линии УМК Г.К. Муравина, К.С. Муравина, О.В. Муравиной 10-11 Скачать бесплатно методические пособия по алгебреЗадание № 13 -повышенного уровня сложности с развернутым ответом, проверяющее умение решать уравнения, наиболее успешно решаемое среди заданий с развернутым ответом повышенного уровня сложности.
а) Решите уравнение 2log 3 2 (2cosx ) – 5log 3 (2cosx ) + 2 = 0
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку .
Решение: а) Пусть log 3 (2cosx ) = t , тогда 2t 2 – 5t + 2 = 0,
|
|
log 3 (2cosx ) = | 2 | ⇔ |
|
2cosx = 9 | ⇔ |
|
cosx = | 4,5 | ⇔ т.к. |cosx | ≤ 1, |
| log 3 (2cosx ) = | 1 | 2cosx = √3 | cosx = | √3 | ||||||
| 2 | 2 |
| то cosx = | √3 |
| 2 |
|
|
x = | π | + 2πk |
| 6 | |||
| x = – | π | + 2πk , k ∈ Z | |
| 6 |
б) Найдём корни, лежащие на отрезке .
Из рисунка видно, что заданному отрезку принадлежат корни
| 11π | и | 13π | . |
| 6 | 6 |
| Ответ: а) | π | + 2πk ; – | π | + 2πk , k ∈ Z ; б) | 11π | ; | 13π | . |
| 6 | 6 | 6 | 6 |
Диаметр окружности основания цилиндра равен 20, образующая цилиндра равна 28. Плоскость пересекает его основания по хордам длины 12 и 16. Расстояние между хордами равно 2√197.
а) Докажите, что центры оснований цилиндра лежат по одну сторону от этой плоскости.
б) Найдите угол между этой плоскостью и плоскостью основания цилиндра.
Решение: а) Хорда длиной 12 находится на расстоянии = 8 от центра окружности основания, а хорда длиной 16, аналогично, – на расстоянии 6. Поэтому расстояние между их проекциями на плоскость, параллельную основаниям цилиндров, составляет либо 8 + 6 = 14, либо 8 − 6 = 2.
Тогда расстояние между хордами составляет либо
= = √980 = = 2√245
= = √788 = = 2√197.
По условию реализовался второй случай, в нем проекции хорд лежат по одну сторону от оси цилиндра. Значит, ось не пересекает данную плоскость в пределах цилиндра, то есть основания лежат по одну сторону от нее. Что требовалось доказать.
б) Обозначим центры оснований за О 1 и О 2 . Проведем из центра основания с хордой длины 12 серединный перпендикуляр к этой хорде (он имеет длину 8, как уже отмечалось) и из центра другого основания - к другой хорде. Они лежат в одной плоскости β, перпендикулярной этим хордам. Назовем середину меньшей хорды B, большей A и проекцию A на второе основание - H (H ∈ β). Тогда AB,AH ∈ β и значит, AB,AH перпендикулярны хорде, то есть прямой пересечения основания с данной плоскостью.
Значит, искомый угол равен
| ∠ABH = arctg | AH | = arctg | 28 | = arctg14. |
| BH | 8 – 6 |
Задание № 15 - повышенного уровня сложности с развернутым ответом, проверяет умение решать неравенства, наиболее успешно решаемое среди заданий с развернутым ответом повышенного уровня сложности.
Пример 15. Решите неравенство |x 2 – 3x | · log 2 (x + 1) ≤ 3x – x 2 .
Решение: Областью определения данного неравенства является интервал (–1; +∞). Рассмотри отдельно три случая:
1) Пусть x 2 – 3x = 0, т.е. х = 0 или х = 3. В этом случае данное неравенство превращается в верное, следовательно, эти значения входят в решение.
2) Пусть теперь x 2 – 3x > 0, т.е. x ∈ (–1; 0) ∪ (3; +∞). При этом данное неравенство можно переписать в виде (x 2 – 3x ) · log 2 (x + 1) ≤ 3x – x 2 и разделить на положительное выражение x 2 – 3x . Получим log 2 (x + 1) ≤ –1, x + 1 ≤ 2 –1 , x ≤ 0,5 –1 или x ≤ –0,5. Учитывая область определения, имеем x ∈ (–1; –0,5].
3) Наконец, рассмотрим x 2 – 3x < 0, при этом x ∈ (0; 3). При этом исходное неравенство перепишется в виде (3x – x 2) · log 2 (x + 1) ≤ 3x – x 2 . После деления на положительное выражение 3x – x 2 , получим log 2 (x + 1) ≤ 1, x + 1 ≤ 2, x ≤ 1. Учитывая область, имеем x ∈ (0; 1].
Объединяя полученные решения, получаем x ∈ (–1; –0.5] ∪ ∪ {3}.
Ответ: (–1; –0.5] ∪ ∪ {3}.
Задание № 16 - повышенного уровня относится к заданиям второй части с развернутым ответом. Задание проверяет умения выполнять действия с геометрическими фигурами, координатами и векторами. Задание содержит два пункта. В первом пункте задание нужно доказать, а во втором пункте вычислить.
В равнобедренном треугольнике ABC с углом 120° при вершине A проведена биссектриса BD. В треугольник ABC вписан прямоугольник DEFH так, что сторона FH лежит на отрезке BC, а вершина E – на отрезке AB. а) Докажите, что FH = 2DH. б) Найдите площадь прямоугольника DEFH, если AB = 4.
Решение: а)
1) ΔBEF – прямоугольный, EF⊥BC, ∠B = (180° – 120°) : 2 = 30°, тогда EF = BE по свойству катета, лежащего против угла 30°.
2) Пусть EF = DH = x , тогда BE = 2x , BF = x √3 по теореме Пифагора.
3) Так как ΔABC равнобедренный, значит, ∠B = ∠C = 30˚.
BD – биссектриса ∠B, значит ∠ABD = ∠DBC = 15˚.
4) Рассмотрим ΔDBH – прямоугольный, т.к. DH⊥BC.
| 2x | = | 4 – 2x |
| 2x (√3 + 1) | 4 |
| 1 | = | 2 – x |
| √3 + 1 | 2 |
√3 – 1 = 2 – x
x = 3 – √3
EF = 3 – √3
2) S DEFH = ED · EF = (3 – √3 ) · 2(3 – √3 )
S DEFH = 24 – 12√3.
Ответ: 24 – 12√3.
Задание № 17 - задание с развернутым ответом, это задание проверяет применение знаний и умений в практической деятельности и повседневной жизни, умение строить и исследовать математические модели. Это задание - текстовая задача с экономическим содержанием.
Пример 17. Вклад в размере 20 млн рублей планируется открыть на четыре года. В конце каждого года банк увеличивает вклад на 10% по сравнению с его размером в начале года. Кроме того, в начале третьего и четвёртого годов вкладчик ежегодно пополняет вклад на х млн. рублей, где х - целое число. Найдите наибольшее значение х , при котором банк за четыре года начислит на вклад меньше 17 млн рублей.
Решение: В конце первого года вклад составит 20 + 20 · 0,1 = 22 млн рублей, а в конце второго – 22 + 22 · 0,1 = 24,2 млн рублей. В начале третьего года вклад (в млн рублей) составит (24,2 + х ), а в конце - (24,2 + х) + (24,2 + х) · 0,1 = (26,62 + 1,1х ). В начале четвёртого года вклад составит (26,62 + 2,1х) , а в конце - (26,62 + 2,1х ) + (26,62 + 2,1х ) · 0,1 = (29,282 + 2,31х ). По условию, нужно найти наибольшее целое х, для которого выполнено неравенство
(29,282 + 2,31x ) – 20 – 2x < 17
29,282 + 2,31x – 20 – 2x < 17
0,31x < 17 + 20 – 29,282
0,31x < 7,718
| x < | 7718 |
| 310 |
| x < | 3859 |
| 155 |
| x < 24 | 139 |
| 155 |
Наибольшее целое решение этого неравенства - число 24.
Ответ: 24.
Задание № 18 - задание повышенного уровня сложности с развернутым ответом. Это задание предназначено для конкурсного отбора в вузы с повышенными требованиями к математической подготовке абитуриентов. Задание высокого уровня сложности - это задание не на применение одного метода решения, а на комбинацию различных методов. Для успешного выполнения задания 18 необходим, кроме прочных математических знаний, также высокий уровень математической культуры.
При каких a система неравенств
| x 2 + y 2 ≤ 2ay – a 2 + 1 | |
| y + a ≤ |x | – a |
имеет ровно два решения?
Решение: Данную систему можно переписать в виде
| x 2 + (y – a ) 2 ≤ 1 | |
| y ≤ |x | – a |
Если нарисовать на плоскости множество решений первого неравенства, получится внутренность круга (с границей) радиуса 1 с центром в точке (0, а
). Множество решений второго неравенства – часть плоскости, лежащая под графиком функции y
= |
x
| –
a
,
причём последний есть график функции
y
= |
x
|
, сдвинутый вниз на а
. Решение данной системы есть пересечение множеств решений каждого из неравенств.
Следовательно, два решения данная система будет иметь лишь в случае, изображённом на рис. 1.
Точки касания круга с прямыми и будут двумя решениями системы. Каждая из прямых наклонена к осям под углом 45°. Значит, треугольник PQR – прямоугольный равнобедренный. Точка Q имеет координаты (0, а ), а точка R – координаты (0, –а ). Кроме того, отрезки PR и PQ равны радиусу окружности, равному 1. Значит,
| Qr = 2a = √2, a = | √2 | . |
| 2 |
| Ответ: a = | √2 | . |
| 2 |
Задание № 19 - задание повышенного уровня сложности с развернутым ответом. Это задание предназначено для конкурсного отбора в вузы с повышенными требованиями к математической подготовке абитуриентов. Задание высокого уровня сложности - это задание не на применение одного метода решения, а на комбинацию различных методов. Для успешного выполнения задания 19 необходимо уметь осуществлять поиск решения, выбирая различные подходы из числа известных, модифицируя изученные методы.
Пусть Sn сумма п членов арифметической прогрессии (а п ). Известно, что S n + 1 = 2n 2 – 21n – 23.
а) Укажите формулу п -го члена этой прогрессии.
б) Найдите наименьшую по модулю сумму S n .
в) Найдите наименьшее п , при котором S n будет квадратом целого числа.
Решение : а) Очевидно, что a n = S n – S n – 1 . Используя данную формулу, получаем:
S n = S (n – 1) + 1 = 2(n – 1) 2 – 21(n – 1) – 23 = 2n 2 – 25n ,
S n – 1 = S (n – 2) + 1 = 2(n – 1) 2 – 21(n – 2) – 23 = 2n 2 – 25n + 27
значит, a n = 2n 2 – 25n – (2n 2 – 29n + 27) = 4n – 27.
Б) Так как S n = 2n 2 – 25n , то рассмотрим функцию S (x ) = | 2x 2 – 25x| . Ее график можно увидеть на рисунке.
Очевидно, что наименьшее значение достигается в целочисленных точках, расположенных наиболее близко к нулям функции. Очевидно, что это точки х = 1, х = 12 и х = 13. Поскольку, S (1) = |S 1 | = |2 – 25| = 23, S (12) = |S 12 | = |2 · 144 – 25 · 12| = 12, S (13) = |S 13 | = |2 · 169 – 25 · 13| = 13, то наименьшее значение равно 12.
в) Из предыдущего пункта вытекает, что Sn положительно, начиная с n = 13. Так как S n = 2n 2 – 25n = n (2n – 25), то очевидный случай, когда данное выражение является полным квадратом, реализуется при n = 2n – 25, то есть при п = 25.
Осталось проверить значения с 13 до 25:
S 13 = 13 · 1, S 14 = 14 · 3, S 15 = 15 · 5, S 16 = 16 · 7, S 17 = 17 · 9, S 18 = 18 · 11, S 19 = 19 · 13, S 20 = 20 · 13, S 21 = 21 · 17, S 22 = 22 · 19, S 23 = 23 · 21, S 24 = 24 · 23.
Получается, что при меньших значениях п полный квадрат не достигается.
Ответ: а) a n = 4n – 27; б) 12; в) 25.
________________
*С мая 2017 года объединенная издательская группа «ДРОФА-ВЕНТАНА» входит в корпорацию «Российский учебник». В корпорацию также вошли издательство «Астрель» и цифровая образовательная платформа «LECTA». Генеральным директором назначен Александр Брычкин, выпускник Финансовой академии при Правительстве РФ, кандидат экономических наук, руководитель инновационных проектов издательства «ДРОФА» в сфере цифрового образования (электронные формы учебников, «Российская электронная школа», цифровая образовательная платформа LECTA). До прихода в издательство «ДРОФА» занимал позицию вице-президента по стратегическому развитию и инвестициям издательского холдинга «ЭКСМО-АСТ». Сегодня издательская корпорация «Российский учебник» обладает самым крупным портфелем учебников, включенных в Федеральный перечень - 485 наименований (примерно 40%, без учета учебников для коррекционной школы). Издательствам корпорации принадлежат наиболее востребованные российскими школами комплекты учебников по физике, черчению, биологии, химии, технологии, географии, астрономии - областям знаний, которые нужны для развития производственного потенциала страны. В портфель корпорации входят учебники и учебные пособия для начальной школы, удостоенные Премии Президента в области образования. Это учебники и пособия по предметным областям, которые необходимы для развития научно-технического и производственного потенциала России.
Сдача единого государственного экзамена является не только необходимостью при окончании общего среднего образования, но и частью вступительных испытаний в ВУЗы. Школьники, решившие поступать на специальности с математическим или техническим уклоном, сдают не только базовый уровень математики, но и профильный. Рассмотрим его особенности, сроки проведения и проверки и некоторые момент, связанные с результатами.
Порядок проведения ЕГЭ установлен ФЗ №273 «Об образовании в Российской Федерации».
Когда будут известны результаты экзамена?
Официальное расписание определило сдачу ЕГЭ по математике 2018 года профильного направления на пятницу, 1 июня. В качестве резервного дня в основном цикле выделена дата 25 июня , а 2 июля остается запасным днем для сдачи всех предметов.
Разделение экзамена по математике на уровни произошло в прошлом году. Они различаются по ряду признаков:
- Система оценки . Базовый уровень знания предмета оценивается по пятибалльной шкале (в качестве минимума устанавливается 3 балла). Оценка по профильному предмету оценивается по шкале в 100 баллов;
- Следующее отличие заключается в приеме экзаменов базового и профильного уровня для поступления в учебные заведения высшего и среднего профессионального звена. Так, базового уровня достаточно для колледжей, училищ, гуманитарных специальностей университетов. Наличие математики во вступительных экзаменах на технические специальности требует от абитуриента сданного профильного уровня;
- Различаются структуры экзаменов . База состоит из 20 задач с краткими ответами. Профильный экзамен значительно сложнее и строится из 2 частей.
Система ЕГЭ разрешает сдавать выпускникам школ базовую и профильную часть предмета без ограничений. Это значительно повышает шансы к поступлению в ВУЗы.
Обработка результатов ЕГЭ имеет определенные сроки и порядок:
- Сканирование и обработка бланков в регионах – до 4 дней;
- Обработка результатов на федеральном уровне – до 7 дней;
- Отправка результатов в регионы – 1 день;
- Подтверждение результатов государственной экзаменационной комиссией – не дольше 1 дня;
- Объявление результатов – 1 день.
Таким образом, срок проверки и обнародования результатов составляет не более 2-х недель. Результаты ЕГЭ 2018 по математике профильного уровня будут известны не позднее 17 июня .
Как узнать свой результат?
Узнать результаты прошедшего экзамена можно несколькими способами:
- Официальный портал Единого государственного экзамена www.ege.edu.ru;
- На информационных стендах в школах или иных заведениях, где проводился экзамен;
- В региональных управлениях или комитетах образования;
- Ряд регионов создают специализированные сайты или горячие телефонные линии.
Проверить свой результат можно при наличии:
- ФИО сдавшего предмета;
- Номера паспорта или иного документа, примененного во время экзамена для удостоверения личности;
- Идентификационного кода, присвоенного каждому участнику экзамена.
Информация о результатах экзамена является свободной и предоставляется бесплатно участникам ЕГЭ и их родителям.
Досрочный экзамен ЕГЭ по математике
Ряд школьников уже сдали ЕГЭ по математике в так называемый досрочный период . Участие в нем допускается, если школьник не сможет принять участие в основном этапе. В качестве причин могут служить:
- Запланированное лечение;
- Отдых в оздоровительных учреждениях;
- Участие в соревнованиях, олимпиадах и других учебных или творческих мероприятиях.
В 2017 году досрочная сдача математики состоялась 31 марта и 14 апреля (резервный день). Базовый уровень сдали 4,8 тысяч школьников, а профильный около 17 тысяч.
Результаты досрочного ЕГЭ по математике 2017 по плану должны были появится в доступе 11 апреля, но были обнародованы гораздо раньше – 7 числа.
Где посмотреть свою работу
Свою работу можно посмотреть после сдачи экзамена в электронном виде. Ее скан доступен в личном кабинете на портале ЕГЭ. Доступ к нему выдается при:
- Наличии идентификационного кода участника единого госэкзамена;
- ФИО и номера паспорта.
Если после объявления результатов участник не согласен с вынесенными баллами, то у него есть 2 дня на подачу апелляции в Экзаменационную комиссию. Заявление пишется в 2-х экземплярах и передается комиссии на рассмотрение. В срок до 5 июня решения задач будут снова рассмотрены и вынесено решение об изменении оценки или ее подтверждении.
Как оценивается экзамен? Система ЕГЭ для оценки результатов использует первичные и тестовые баллы, а также специальную шкалу их перевода друг в друга. Решения КИМов (контрольно-измерительных материалов) оцениваются в первичных баллах и затем переводятся согласно таблице в тестовые. Окончательным результатом экзамена считается число набранных тестовых баллов.
Разработка шкалы перевода первичных баллов в тестовые ведется каждый год и учитывает общий уровень подготовки школьников.
Для успешной сдачи профильной математики в 2018 году нужно набрать минимально:
- 6 первичных баллов;
- 27 тестовых баллов.
Дата пересдачи ЕГЭ по математике в 2018 году
Есть ряд дополнительных сроков для сдачи ЕГЭ . Они доступны, если по уважительным причинам школьник не смог сдать предмет в основной день. Для профильной математики это:
- 25 июня – резервный день в рамках основного этапа;
- 2 июля – резервный день основной части ЕГЭ, когда можно сдать любой предмет.
Возможность пересдать профильную математику в сентябре имеет ряд условий:
- Если у школьника сдана базовая математика, то к пересдаче профильного уровня он в этом году допущен не будет. Возможность пересдать ЕГЭ возникнет только в следующем году;
- Если провалены оба экзамена по математике (базовый и профильный), ученик может решить, какой из них он будет пересдавать.
Пересдача математики в сентябре назначена на 7 сентября . В качестве резервного дня значится 15 сентября.
