На простом примере напомним, что называется подмножеством, какие бывают подмножества (собственные и несобственные), формулу нахождения числа всех подмножеств, а также калькулятор, который выдает множество всех подмножеств.

Пример 1. Дано множество А = {а, с, р, о}. Выпишите все подмножества
данного множества.
Решение:

Собственные подмножества: {а} , {с} , {р} , {о} , {а, с} , {а, р} , {а, о}, {с, р} , {с, о } ∈, {р, о}, {а, с,р} , {а, с, о}, {с, р, о}.

Несобственные: {а, с, р, о}, Ø.

Всего: 16 подмножеств.

Пояснение. Множество A является подмножеством множества B если каждый элемент множества A содержится также в B.

Пустое множество ∅ является подмножеством любого множества, называется несобственным;
. любое множество является подмножеством самого себя, также называется несобственным;
. У любого n-элементного множества ровно 2 n подмножеств.

Последнее утверждение является формулой для нахождения числа всех подмножеств без перечисления каждого.

Вывод формулы: Допустим у нас имеется множество из n-элементов. При составлении подмножеств первый элемент может принадлежать подмножеству или не принадлежать, т.е. первый элемент можем выбрать двумя способами, аналогично для всех остальных элементов (всего n-элементов), каждый можем выбрать двумя способами, и по правилу умножения получаем: 2∙2∙2∙ ...∙2=2 n

Для математиков сформулируем теорему и приведем строгое доказательство.

Теорема. Число подмножеств конечного множества, состоящего из n элементов, равно 2 n .

Доказательство. Множество, состоящее из одного элемента a, имеет два (т.е. 2 1) подмножества: ∅ и {a}. Множество, состоящее из двух элементов a и b, имеет четыре (т.е. 2 2) подмножества: ∅, {a}, {b}, {a; b}.
Множество, состоящее из трех элементов a, b, c, имеет восемь (т.е. 2 3) подмножеств:
∅, {a}, {b}, {b; a}, {c}, {c; a},{c; b}, {c; b; a}.
Можно предположить, что добавление нового элемента удваивает число подмножеств.
Завершим доказательство применением метода математической индукции. Сущность этого метода в том, что если утверждение (свойство) справедливо для некоторого начального натурального числа n 0 и если из предположения, что оно справедливо для произвольного натурального n = k ≥ n 0 можно доказать его справедливость для числа k + 1, то это свойство справедливо для всех натуральных чисел.

1. Для n = 1 (база индукции) (и даже для n = 2, 3) теорема доказана.

2. Допустим, что теорема доказана для n = k, т.е. число подмножеств множества, состоящего из k элементов, равно 2 k .

3. Докажем, что число подмножеств множества B, состоящего из n = k + 1 элемента равно 2 k+1 .
Выбираем некоторый элемент b множества B. Рассмотрим множество A = B \ {b}. Оно содержит k элементов. Все подмножества множества A - это подмножества множества B, не содержащие элемент b и, по предположению, их 2 k штук. Подмножеств множества B, содержащих элемент b, столько же, т.е. 2 k
штук.

Следовательно, всех подмножеств множества B: 2 k + 2 k = 2 ⋅ 2 k = 2 k+1 штук.
Теорема доказана.

В примере 1 множество А = {а, с, р, о} состоит из четырех элементов, n=4, следовательно, число всех подмножеств равно 2 4 =16.

Если вам необходимо выписать все подмножества, или составить программу для написания множества всех подмножеств, то имеется алгоритма для решения: представлять возможные комбинации в виде двоичных чисел. Поясним на примере.

Пример 2. Eсть множество {a b c}, в соответствие ставятся следующие числа:
000 = {0} (пустое множество)
001 = {c}
010 = {b}
011 = {b c}
100 = {a}
101 = {a c}
110 = {a b}
111 = {a b c}

Калькулятор множества всех подмножеств.

В калькуляторе уже набраны элементы множества А = {а, с, р, о} , достаточно нажать кнопку Submit. Если вам необходимо решение своей задачи, то набираем элементы множества на латинице, через запятую, как показано в примере.

2. сколькими способами тренер может определить, кто из 12 спортсменок готовых к участию в эстафете 4х100 м, побежит на первом, втором, третьем и четветом этапах?

3. в круговой дианрамме круг разбит на 5 секторов. секторы закрашенны разными красками, взятыми из набора, содержащего 10 красок. сколькими способами это можно сделать?

4. найдите значение выражения

в)(7!*5!)/(8!*4!)

ВСЕМ КТО РЕШИЛ, спасибо)))

№1. 1. Дайте понятие комплексного числа. Назовите три формы представления комплексных чисел (1 балл).

2. Даны комплексные числа: z1=-4i и z2=-5+i. Укажите их форму представления, найдите действительную и мнимую части указанных чисел (1 балл).
3. Найдите их сумму, разность и произведение(1 балл).
4. Запишите числа, комплексно-сопряженные данным(1 балл).
№2. 1. Как изображается комплексное число на комплексной плоскости(1 балл)?
2. Дано комплексное число. Изобразите его на комплексной плоскости. (1 балл).
3. Запишите формулу для вычисления модуля комплексного числа и вычислите (2 балла).
№3. 1. Дайте определение матрицы, назовите виды матриц(1 балл).
2. Назовите линейные операции над матрицами(1 балл).
3. Найдите линейную комбинацию двух матриц, если, (2 балла).
№4. 1. Что такое определитель квадратной матрицы? Запишите формулу для вычисления определителя 2-го порядка(1 балл).
2. Вычислите определитель второго порядка: (1 балл).
3. Сформулируйте свойство, которое можно использовать для вычисления определителя 2-го порядка?(1 балл)
4. Вычислите определитель, используя его свойства(1 балл).
№5. 1. В каких случаях определитель квадратной матрицы равен нулю(1 балл)?
2. Сформулировать правило Саррюса (нарисовать схему) (1 балл).
3. Вычислите определитель 3-го порядка (любым из способов) (2 балла).
№6. 1. Какая матрица называется обратной заданной (1 балл)?
2. Для какой матрицы можно построить обратную? Определите, существует ли матрица, обратная матрице.(2 балла).
3. Запишите формулу для вычисления элементов обратной матрицы(1 балл).
№7. 1. Дайте определение ранга матрицы. Назовите способы нахождения ранга матрицы. Чему равен ранг матрицы?(2 балла).
2. Определите, между какими значениями заключается ранг матрицы А: А= . Вычислите какой-нибудь минор 2-го порядка (2 балла).
№8. 1. Приведите пример системы линейных алгебраических уравнений (1 балл).
2. Что называется решением системы? (1 балл).
3. Какая система называется совместной (несовместной), определенной (неопределенной)? Сформулировать критерий совместности системы(1 балл).
4. Дана расширенная матрица системы. Запишите систему, соответствующую данной матрице. Пользуясь критерием Кронекера-Капелли, сделайте вывод о совместности либо несовместности данной системы. (1 балл).
№9. 1. Записать систему линейных алгебраических уравнений в матричном виде. Запишите формулу для нахождения неизвестных с помощью обратной матрицы. (1 балл).
2. В каком случае система линейных алгебраических уравнений может быть решена матричным способом? (1 балл).
3. Запишите систему в матричном виде и определите, может ли быть она решена с помощью обратной матрицы? Сколько решений имеет данная система? (2 балла).
№10. 1. Какая система называется квадратной? (1 балл).
2. Сформулировать теорему Крамера и записать формулы Крамера. (1 балл).
3. Пользуясь формулами Крамера, решите систему.(2 балла).

помогите пожалуйста! сколько сможете! срочно надо!

1.Что называют квадратным трёхчленом
2.Что такое дискриминант
3Какое уравнение называют квадратным уравнением?
4. Какие уравнения называют равносильными?
5. Какое уравнение называют не полным квадратным уравнением?
6. Сколько корней может иметь неполное квадратное уравнение
7. Сколько корней имеет квадратное уравнение, если дискриминант:
а) положителен; б) равен нулю; в) отрицателен?
8. По какой формуле можно найти корни квадратноrо ypaвнения, если eгo дискриминант неотрицателен?
9. Какое уравнение называют приведенным квадратным уравнением?
10. По какой формуле можно найти корни приведенного квадратного
уравнения, если eгo дискриминант неотрицателен?
11. Сформулируйте:
а) теорему Виета; б) теорему, обратную теореме Виета.
12. Какое уравнение называют рациональным с неизвестным х? Что называют корнем уравнения с неизвестным х? Что значит решить уравнение? Какие уравнения называют равносильными?
13. Какое уравнение называют биквадратным уравнением? Как решают биквадратное уравнение? Сколько корней может иметь биквадратное ypaв¬
нение?
14. Приведите пример распадающегося уравнения и объясните, как eгo решить Что значит «уравнение распадается на два ypaвнeния»?
15. Как можно решить уравнение, одна часть котopoгo нуль,
а другая ¬ алгебраическая дробь?
16. По какому правилу решают рациональные уравнения? Что
может произойти при отклонении от этого правила?

Контрольные работы по алгебре 8 класс по y чебник y А.Г. Мерзляк( y гл y бленно)

Контрольная работа № 1 по теме «Множества и операции над ними»

Вариант1.

1.

A =

2.

3 .Какие из приведенных y тверждений являются верными:

2)1

3);

4)?

4. Какие из приведенных y тверждений являются верными:

1); 4)=;

2)=; 5)=;

3)=; 6)\=?

5

6. Докажите, что множества A =и В=равны.

7. nϵ N , счетно.

8.

Вариант2.

1. Задайте с помощью перечисления элементов множество

A =

2.

3 .Какие из приведенных y тверждений являются верными:

1)8

2);

3);

4)?

4. Какие из приведенных y тверждений являются верными:

1); 4)=;

2)=; 5)=;

3)=; 6)\=?

5 y чить наиз y y шкина. 14 y чащихся вы y y чащихся класса не вы y

6. Докажите, что множества C =и D =равны.

7. Докажите, множество чисел вида, где kϵ N , счетно.

8. Множество B

Контрольная работа № 2по теме «Основное свойство рациональной дроби. Сложение и вычитание рациональных дробей.

Вариант1.

1.

1 ) + 2) .

2 .Сократите дробь:

1) ; 2) ; 3);

3 .Выполните действия:

1) - ; 2)4 y - ; 3).

4 . Yпростить выражение ++.

5 .Постройте график ф yнкции y = .

6. .

7 .Найдите все нат yральные значения n

1); 2).

8. Yпростите выражение +.

Вариант2.

1. Найдите область определения выражения:

1 ) +;

2) .

2 .Сократите дробь:

1) ; 2) ; 3) ;

3 .Выполните действия:

1) - ; 2) - 4 x ; 3) .

4 . Yпростить выражение - .

5 .Постройте график ф yнкции y = .

6. Известно, что. Найдите значение выражения .

7 .Найдите все нат yральные значения n , при которых является целым числом значение выражения:

1); 2).

8. Yпростите выражение -.

Контрольная работа № 3 по теме « y множение и деление рациональных дробей. Тождественные преобразования рациональных выражений».

Вариант1.

1. Выполните действия: 1) ∙ ; 2) ꞉ ) ;

3) : ; 4)∙

2.

3. Yпростить выражение: .

4. Yпростить выражение: 1) ∙ – ; 2) : .

5. Докажите тождество

: =

6. Известно, что 9 = 226. Найдите значение выражения 3 x -.

Вариант2.

1. Выполните действия: 1) ∙ ; 2) ꞉ ) ; 3) : ; 4)∙

2. Представьте в виде дроби выражение:2).

3. Yпростить выражение: .

4. Yпростить выражение: 1) ∙ – ; 2) : .

5. Докажите тождество

: =

6. Известно, что 16 =145. Найдите значение выражения 4 x +.

Контрольная работа № 4 по теме « Равносильные y равнения. Рациональные y равнения. Степень с целым отрицательным показателем. Ф y нкция y = и ее график.

Вариант1.

1. Решите равнение.

1)+ =1 2)- =0

2. Катер проплыл 18 км по течению реки и верн yлся обратно, потратив на п yть по течению на 48 мин меньше, чем на п yть против течения. Найдите собственн yю скорость катера, если скорость течения реки равн a 3 км/ч.

3.

1)126000 ; 2) 0,0035.

4. Представьте в виде степени с основанием а выражение:

1) 2)

. Найдите значение выражения:

- ;.

6 . Yпростить выражение: -.

7 .Решить графически yравнение: = x-7.

8 yравнение:

1) =0; 2) = a+1. Вариант2.

1. Решите равнение.

1)+ =-1 2)- =0

2. Моторная лодка проплыла 20 км по течению реки и верн yлась обратно, потратив на весь п yть 2ч 15мин. Найдите скорость течения реки, если собственная скорость моторной лодки равна 18 км/ч.

3. Запишите в стандартном виде число:

1)245 000 ; 2) 0,0019.

4. Представьте в виде степени с основанием а выражение:

. Найдите значение выражения:

6 . Yпростить выражение -.

7 .Решить графически yравнение : = 5- x .

8 . yравнение: 1) =0; 2) = a-1

Контрольная работа № 5 по теме «Основы теории делимости»

Вариант 1.

1. Натральные числа а и в таковы, что каждое из чисел а+12 и в-11 кратно 23. Докажите, что число а-в также кратно 23.

2. Известно, что число n при делении на 9 дает остаток 4. Какой остаток при делении на 9 дает число 5 n ?

3. yю цифр y, чтобы число 831*4 делилось нацело на 36.

4. Решите в нат yральных числах равнение -3 y =29.

5.

6. Найдите все нат yральные значения n

7. Докажите, что при всех нат yральных значениях n значение выражения 5∙ +13∙ кратно 24.

8. Чем может быть равным HOД (a; b), если a=10 n+5, b=15 n+9?

Вариант2.

1. Натральные числа m и n таковы, что каждое из чисел m -4 и n +23 кратно19. Докажите, что число m+ n также кратно19.

2. Известно, что число n при делении на 6 дает остаток5. Какой остаток при делении на 6 дает число 7 n ?

3. Вместо звездочки подставьте так yю цифр y, чтобы число 6472* делилось нацело на 36.

4. Решите в нат yральных числах равнение -4 y =31.

5. Какой остаток при делении на 6 дает число?

6. Найдите все нат yральные значения n , при которых значение выражения является простым числом.

7. Докажите, что при всех нат yральных значениях n значение выражения 3∙ +62∙ кратно43.

8. Чем может быть равным HOД (a; b), если a=14 n+7, b=21 n+13?

Контрольная работа №6 по теме «Неравенства»

Вариант1.

1)3 a-4b ; 2) ; 3) .

2.

1) 3 x-5(6- x) 6+7(x-4);

2) (x-9)(x+3)9+(x-3)² ;

3) - .

3. Решите систем y неравенств

4. Решите неравенство:

5. Постройте график ф yнкции y=+ x

6. Решите yравнение +=8

7.

Вариант 2 .

1) 6 b-2a 2) ; 3) .

2. Найдите множество решений неравенства:

1) 9 x -8 5( x +2)-3(8- x );

2) ( x -4)( x +12) ( x +4)²-7 ;

3) - .

3. Решите систем y неравенств

4. Решите неравенство:

2) 4

5. Постройте график ф yнкции y =- x

6. Решите yравнение += 10

7. Для каждого значения параметра а решите неравенство

( b +6 )² x - 36 .

Контрольная работа №7 по теме « Квадратные корни. Действительные числа.»

Вариант1.

1. Решите графически равнение +3 x+2=0.

2. Yпростите выражение:

1) 7 -3 +4 ; 2) .

3 .Сравните числа 7 и 6.

4

1) ,если b 0

3) ,если b0

5.

1) 2)

6

1) ab ,если b0

7 . Yпростите выражение

8. yнкции

y =

9. Для каждого значения параметра а решите yравнение

(x- 7) =0

Вариант2.

1. Решите графически равнение - 4 x+3=0.

2. Yпростите выражение:

1) 8 - 5 +4 ; 2) .

3 .Сравните числа 4 и 3.

4 . Вынесите множитель из- под знака корня:

1) ,если a 0

3) ,если a0

5. Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби:

1) 2)

6 .Внесите множитель под знак корня:

1) - mn ,если m 0

2)(4 - y )

7 . Yпростите выражение

8. Найдите область определения ф yнкции

y =

9. Для каждого значения параметра а решите yравнение

(x+ 6) =0

Контрольная работа № 8 по теме «Квадратные y равнения. Теорема Виета.

Вариант1.

1. Решите y равнение:

2. Диагональ прямо y гольника на 8 см больше одной из его сторон и на 4см больше др y гой. Найдите стороны прямо y гольника..

3. Известно, что и - корни y равнения . Не решая y

4 .Составьте y равнение, корни которого на 3 больше корней y равнения

5 . Решите y равнение=2 x +1.

6 a произведение корней y равнения

равно 4 ?

Вариант2.

1. Решите y равнение:

2. Диагональ прямо y гольника на 6 см больше одной из его сторон и на 3см больше др y гой. Найдите стороны прямо y гольника..

3. Известно, что и - корни y равнения . Не решая y равнения, найдите значение выражения

4 . Составьте y равнение, корни которого на меньше корней y равнения

5 . Решите y равнение=2 x +3.

6 . При каких значениях параметра a произведение корней y равнения

равно 4 ?

Контрольная работа № 9 по теме « Квадратный трехчлен. Решение y равнений, сводящихся к квадратным. Рациональные y равнения как математические модели реальных сит y аций. Деление многочленов.

Вариант1.

1 .Сократите дробь.

2 .Решите равнение =0

3 .Пассажирский поезд проходит расстояние равное 120 км, на 1 час быстрее, чем товарный. Найдите скорость каждого поезда, если скорость товарного поезда на 20 км/ч меньше скорости пассажирского.

4 .Решите равнение:

2) (x-1)(x-5)(x+3)(x+7)=135

5

6

Вариант1.

1 .Сократите дробь.

2 .Решите равнение =0

3. Первый автомобиль проезжает расстояние, равное 300 км, на 1 час быстрее, чем второй. Найдите скорость каждого автомобиля, если скорость первого автомобиля на 10 км/ч больше скорости второго.

4. .Решите равнение:

2)( x - 2 )( x - 6 )( x + 1 )( x + 5 )= -180

5 . Разложите на множители многочлен

6 .Для каждого значения параметра а решите равнение

Контрольная работа № 10 по теме « Обобщение и систематизация знаний y чащихся»

Вариант1.

1.

2 Сократите дробь.

3 .Докажите тождество.

4 .Первый рабочий изготовил 120 деталей, а второй-144 детали. Первый рабочий изготавливал в час на 4 детали больше, чем второй, и работал на 3 ч меньше второго. Сколько деталей изготавливал за 1ч каждый рабочий?.

5 .Решите y равнение (-6)(2- x -15)=0

6 .Докажите, что при всех нат y ральных значениях n значение выражения

кратно 6.

7 y равнение a +2( a +6) x +24=0

имеет два различных корня?

Вариант2.

1. Представьте в виде степени выражение ꞉

2 Сократите дробь.

3 .Докажите тождество.

4 .Первый насос наполнил водой бассейн объемом 360 , а второй –объемом 480. Первый насос перекачивал в час на 10 воды меньше, чем второй, и работал на 2ч больше второго. Какой объем воды перекачивал за 1ч каждый насос?.

5 .Решите y равнение (-7)(3- x -10)=0

6 .Докажите, что при всех нат y ральных значениях n значение выражения

кратно 6.

7 .При каких значениях параметра а y равнение a +2( a +4) x +16=0

имеет два различных корня

Ответы к контрольным работам

Контрольная работа № 1

1. Задайте с помощью перечисления элементов множество

A =

2. Запишите все подмножества множества делителей числа 7.

3 .Какие из приведенных y тверждений являются верными:

2)1

3);

4)?

4. Какие из приведенных y тверждений являются верными:

1); 4)=;

2)=; 5)=;

3)=; 6)\=?

5 .На фирме работает 29 человек. Из них 15 человек знают немецкий язык, 21-английский и 8 человек знают оба языка. Сколько работников фирмы не знают ни одного из этих языков?.

Ответ : 15+21 +8 -29 =15.

6. Докажите, что множества A =и В=равны.

7. Докажите, множество чисел вида, где nϵ N , счетно.

8. Множество А содержит 25 элементов. Каких подмножеств этого множества больше: с четным количеством элементов или с нечетным количеством элементов?

Вариант2.

1. Задайте с помощью перечисления элементов множество

A =

2. Запишите все подмножества множества делителей числа5.

3 .Какие из приведенных y тверждений являются верными:

1)8

2);

3);

4)?

4. Какие из приведенных y тверждений являются верными:

1); 4)=;

2)=; 5)=;

3)=; 6)\=?

5 .Класс, в котором 28 человек, задали вы y чить наиз y сть два стихотворения А. С. П y шкина. 14 y чащихся вы y чили первое стихотворение, 16-второе и только 7- оба стихотворения. Сколько y чащихся класса не вы y чили ни одного стихотворения?

Ответ 14+16+7 -28=9

6. Докажите, что множества C =и D =равны.

7. Докажите, множество чисел вида, где kϵ N , счетно.

8. Множество B содержит 27 элементов. Каких подмножеств этого множества больше: с четным количеством элементов или с нечетным количеством элементов?