Мы рассмотрели решение нескольких задач на работу. Это задачи, которые присутствуют в составе ЕГЭ по математике. Ознакомьтесь с теоретическим материалом, который в ней изложен, это важно. Здесь продолжим, и рассмотрим ещё задачи.

Повторим формулу и правила решения задач на работу:

*Работа равна произведению её производительности и времени за которое она совершается.

Из этой формулы легко найти время и производительность:


Ещё раз повторим правила, которые работают в таких задачах:

1. Если объем работы не важен и в задаче нет никаких данных, позволяющих его найти - работа принимается за единицу. Построен дом (один), покрашен забор (один), наполнен резервуар (один). А вот если речь идет о количестве кирпичей, количестве деталей, литрах воды, покрашенных метрах - работа как раз и равна этому количеству.

2. Если трудятся двое рабочих (два экскаватора, два мастера, Даша и Маша...) или трое (не важно) - их производительности складываются.

3. В качестве переменной «х» удобно взять производительность.

4. Если трудятся двое рабочих (два экскаватора, два мастера, Даша и Маша...) или трое (не важно) - их производительности складываются.

Рассмотрим задачи:

Двое рабочих, работая вместе, могут выполнить работу за 9 дней. За сколько дней, работая отдельно, выполнит эту работу первый рабочий, если он за один день выполняет такую же часть работы, какую второй - за три дня?

В этой задаче ничего не сказано о том, какая это работа и чему равен её объем. Значит, работу можем принять за единицу.

Пусть х - производительность первого рабочего.

Производительность второго нам тоже понадобится, и ее мы обозначим за у.

По условию, первый рабочий за день делает такую же часть работы, какую второй - за три дня. Значит производительность первого в три раза больше, чем у второго х = 3у. Отсюда у = (1/3)х.

Работая вместе, эти двое сделали всю работу за 9 дней. При совместной работе производительности складываются. Значит,

Итак, первый рабочий за день выполняет 1/12 всей работы. Значит, на всю работу ему понадобится 12 дней.

Ответ: 12

Решите самостоятельно:


Игорь и Паша красят забор за 21 час. Паша и Володя красят этот же забор за 28 часов, а Володя и Игорь - за 36 часов. За сколько часов мальчики покрасят забор, работая втроем?

Здесь работают трое, и переменных будет тоже три.

Пусть х - производительность Игоря, у - производительность Паши, а z - производительность Володи. Забор, то есть величину работы, примем за 1 - ведь мы ничего не можем сказать о его размере.


Игорь и Паша покрасили забор за 21 час. Мы помним, что при совместной работе производительности складываются. Запишем уравнение:

Можно искать х, у и z по отдельности, но лучше использовать такой приём – сложить все три уравнения. Получим:

Значит, работая втроем, Игорь, Паша и Володя красят за час одну восемнадцатую часть забора. Весь забор они покрасят за 18 часов.

Ответ: 18

Решите самостоятельно:

Даша и Маша пропалывают грядку за 36 минут, а одна Маша - за 108 минут. За сколько минут пропалывает грядку одна Даша?

Обозначаем, производительность Маши х, производительность Даши у. Можем составить уравнение:

То есть, они совместно делают работу за 36 минут.

Сказано, что Маша одна тратит 108 минут, значит х ∙108 = 1.

Можем решить систему:

Решив её, получим:

Даша за одну минуту пропалывает 1/54 грядки. Значит, всю грядку прополет за 54 минуты.

Ответ: 54

Решите самостоятельно:

За 12 часов 6 рабочих сделали 960 деталей, сколько рабочих сделают 4200 деталей за 35 часов.

Рассуждаем логически:

Один рабочий за 12 часов делает 960/6=160 деталей. Тогда за час он делает 160/12 деталей — это есть его производительность. Как известно работа равна произведению производительности и времени. *Здесь у нас имеется ещё и число рабочих, которое нужно найти. Число рабочих обозначим за х. Можем записать:

Ответ: 9

Две трубы наполняют бассейн за 7 часа 55 минут, а одна первая труба наполняет бассейн за 38 часов. За сколько часов наполняет бассейн одна вторая труба?

Не забываем перевести минуты в часы. Кроме того, в этой задаче составим таблицу. Производительность первой трубы равна за 1/38 бассейна в час. Производительность второй трубы обозначим y.

Переведём минуты в часы.

Понятно, что 55 минут составляют 55/60 часа.

Можно составить пропорцию:

60 минута ––– 1 час

55 минут ––– t часов

Заполним таблицу для первой трубы и двух труб работающих одновременно. Помним, что при совместной работе производительности складывают:


Можем записать уравнение:

Получили производительность второй трубы 1/10 (бассейна в час). Значит, весь бассейн она заполнит за 10 часов.

Ответ: 10

Решите самостоятельно:

Первая труба наполняет резервуар на 60 минут дольше, чем вторая. Обе трубы наполняют этот же резервуар за 40 минут. За сколько минут наполняет этот резервуар одна вторая труба?

Примем производительность первой трубы за х (резервуара в минуту), второй трубы у.

Составим таблицу, для первой и второй трубы заполним графу «время».

Первая труба будет заполнять резервуар за 1/х минут, вторая за 1/у минут.


Первая труба наполняет резервуар на 60 минут дольше, чем вторая, то есть времени затрачивается больше

Можем записать два уравнения и решить систему:

Выразим из второго уравнения х:

Подставим в первое уравнение и решим:

Решаем квадратное уравнение:

Подставим найденные значения у в уравнение:

Система имеет два решения:

Понятно, что производительность не может быть отрицательной. Решением является первая пара. Таким образом, первая труба заполнит 1/120 резервуара в минуту, а вторая 1/60 резервуара в минуту.

Следовательно весь резервуар второй трубой будет заполнен за 60 минут.

Конечно, мало уметь просто составить таблицу и заполнить её соответствующими данными. Кроме этого, необходимо уметь делать выводы из этой информации. Как вы видите, одни задачи сводятся к решению простого линейного уравнения, другие к решению системы уравнений.

Поэтому важно:

— уметь сопоставлять информацию данную в условии;

— понимать сам процесс совешения работы и формулу связывающую её с временем и производительностью;

— знать правила решения, оговоренные в начале статьи.

На этом закончим. В данной рубрике продолжим рассматривать задачи (прогрессии, проценты, смеси и сплавы), не пропустите! Успехов вам!

С уважением, Александр Крутицких.

P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.

Инструкция

Подберите подкоренному числу такой множитель, вынесение которого из под корня действительно выражение - иначе операция потеряет . Например, если под знаком корня с показателем, равным трем (кубический корень), стоит число 128, то из под знака можно вынести, например, число 5. При этом подкоренное число 128 придется разделить на 5 в кубе: ³√128 = 5∗³√(128/5³) = 5∗³√(128/125) = 5∗³√1.024. Если наличие дробного числа под знаком корня не противоречит условиям задачи, то можно в таком виде. Если же нужен более простой вариант, то сначала разбейте подкоренное выражение на такие целочисленные множители, кубический корень одного из которых будет являться целым число м. Например: ³√128 = ³√(64∗2) = ³√(4³∗2) = 4∗³√2.

Используйте для подбора множителей подкоренного числа , если вычислять в уме степени числа не представляется возможным. Особенно это актуально к корня м с показателем степени больше двух. Если есть доступ в интернет, то можно производить вычисления встроенными в поисковые системы Google и Nigma вычислителями. Например, если надо найти наибольший целочисленный множитель, который можно вынести из под знака кубического корня для числа 250, то перейдя на сайт Google введите запрос «6^3», чтобы проверить, нельзя ли вынести из под знака корня шестерку. Поисковик покажет результат, равный 216. Увы, 250 нельзя разделить без остатка на это число . Тогда введите запрос 5^3. Результатом будет 125, а это позволяет разбить 250 на множители 125 и 2, а значит вынести из под знака корня число 5, оставив там число 2.

Источники:

  • как вынести из под корня
  • Квадратный корень из произведения

Вынести из-под корня один из сомножителей необходимо в ситуациях, когда нужно упростить математическое выражение. Бывают случаи, когда выполнить нужные вычисления с помощью калькулятора невозможно. Например, если вместо чисел используются буквенные обозначения переменных.

Инструкция

Разложите подкоренное выражение на простые сомножители. Посмотрите, какой из сомножителей повторяется столько же раз, указано в показателей корня , или больше. Например, вам нужно извлечь корень из числа а в четвертой степени. В этом случае число можно представить как а*а*а*а = а*(а*а*а)=а*а3. Показателю корня в этом случае будет соответствовать сомножитель а3. Его и нужно вынести за знак .

Извлеките корень получившихся подкоренных в отдельности там, где это возможно. Извлечение корня представляет собой алгебраическое действие, обратное возведению в степень. Извлечение корня произвольной степени из числа найти такое число, которое при возведении его в эту произвольную степень даст в результате данное число. Если извлечение корня произвести нельзя, оставьте подкоренное выражение под знаком корня так, как оно есть. В результате проведения перечисленных действий вы произведете вынесение из-под знака корня .

Видео по теме

Обратите внимание

Будьте внимательны при записи подкоренного выражения в виде сомножителей – ошибка на этом этапе приведёт к неправильным результатам.

Полезный совет

При извлечении корней удобно пользоваться специальными таблицами или таблицами логарифмических корней – этим вы значительно сократите время на нахождение правильного решения.

Источники:

  • знак извлечения корня в 2019

Упрощение алгебраических выражений требуется во многих разделах математики, в том числе при решении уравнений высших степеней, дифференцировании и интегрировании. При этом используется несколько методов, включая разложение на множители. Чтобы применить этот способ, нужно найти и вынести общий множитель за скобки .

Инструкция

Вынесение общего множителя за скобки – один из самых распространенных способов разложения . Этот прием применяется для упрощения структуры длинных алгебраических выражений, т.е. многочленов. Общим может быть число, одночлен или двучлен, а для его поиска применяется распределительное свойство умножения.

Число.Посмотрите внимательно на коэффициенты при каждом многочлена, можно ли разделить их на одно и то же число. Например, в выражении 12 z³ + 16 z² – 4 очевидным является множитель 4. После преобразования получится 4 (3 z³ + 4 z² - 1). Иными , это число является наименьшим общим целочисленным делителем всех коэффициентов.

Одночлен.Определите, ли одна и та же переменная в каждый из слагаемых многочлена. Предположим, что это так, теперь посмотрите на коэффициенты, как в предыдущем случае. Пример: 9 z^4 – 6 z³ + 15 z² – 3 z.

Каждый элемент этого многочлена содержит переменную z. Кроме того, все коэффициенты – числа, кратные 3. Следовательно, общим множителем будет одночлен 3 z:3 z (3 z³ – 2 z² + 5 z - 1).

Двучлен.За скобки общий множитель из двух , переменной и числа, которое является общего многочлена. Поэтому, если множитель -двучлен неочевиден, то нужно найти хотя бы один корень. Выделите свободный член многочлена, это коэффициент без переменной. Теперь примените метод подстановки в общее выражение всех целочисленных делителей свободного члена.

Рассмотрите : z^4 – 2 z³ + z² - 4 z + 4. Проверьте, не является ли какой-либо из целых делителей числа 4 z^4 – 2 z³ + z² - 4 z + 4 = 0. Путем простой подстановки найдите z1 = 1 и z2 = 2, значит, за скобки можно вынести двучлены (z - 1) и (z - 2). Для того, чтобы найти оставшееся выражение, воспользуйтесь последовательным делением в столбик.

Как извлечь корень из числа. В этой статье мы будем учиться извлекать квадратный корень из четырехзначных и пятизначных чисел.

Давайте, для примера, извлечем квадратный корень из числа 1936.

Следовательно, .

Последняя цифра в числе 1936 - цифра 6. На 6 заканчивается квадрат числа 4 и числа 6. Следовательно, 1936 может быть квадратом числа 44 или числа 46. Осталось проверить с помощью умножения.

Значит,

Извлечем квадратный корень из числа 15129.

Следовательно, .

Последняя цифра в числе 15129 - цифра 9. На 9 заканчивается квадрат числа 3 и числа 7. Следовательно, 15129 может быть квадратом числа 123 или числа 127. Проверим с помощью умножения.

Значит,

Как извлечь корень - видео

А теперь предлагаю вам посмотреть видео Анны Денисовой - "Как извлечь корень ", автора сайта " Простая физика ", в котором она рассказывает, как извлекать квадратные и кубические корни без калькулятора.

В видео рассматривается несколько способов извлечения корней:

1. Самый простой способ извлечения квадратного корня.

2. Подбором, используя квадрат суммы.

3. Вавилонский способ.

4. Способ извлечения квадратного корня в столбик.

5. Быстрый способ извлечения кубического корня.

6. Способ извлечения кубического корня в столбик.