Частично использовать разложение на множители разность степеней мы уже умеем - при изучении темы «Разность квадратов» и «Разность кубов» мы научились представлять как произведение разность выражений, которые можно представить как квадраты или как кубы некоторых выражений или чисел.
Формулы сокращенного умножения
По формулам сокращенного умножения:
разность квадратов можно представить как произведение разности двух чисел или выражений на их сумму
Разность кубов можно представить как произведение разности двух чисел на неполный квадрат суммы
Переход к разности выражений в 4 степени
Опираясь на формулу разности квадратов, попробуем разложить на множители выражение $a^4-b^4$
Вспомним, как возводится степень в степень - для этого основание остается прежним, а показатели перемножаются, т. е ${(a^n)}^m=a^{n*m}$
Тогда можно представить:
$a^4={{(a}^2)}^2$
$b^4={{(b}^2)}^2$
Значит, наше выражение можно представить, как $a^4-b^4={{(a}^2)}^2$-${{(b}^2)}^2$
Теперь в первой скобке мы вновь получили разность чисел, значит вновь можно разложить на множители как произведение разности двух чисел или выражений на их сумму: $a^2-b^2=\left(a-b\right)(a+b)$.
Теперь вычислим произведение второй и третьей скобок используя правило произведения многочленов, - умножим каждый член первого многочлена на каждый член второго многочлена и сложим результат. Для этого сначала первый член первого многочлена - $a$ - умножим на первый и второй член второго (на $a^2$ и $b^2$),т.е. получим $a\cdot a^2+a\cdot b^2$, затем второй член первого многочлена -$b$- умножим на первый и второй члены второго многочлена (на $a^2$ и $b^2$),т.е. получим $b\cdot a^2 + b\cdot b^2$ и составим сумму получившихся выражений
$\left(a+b\right)\left(a^2+b^2\right)=a\cdot a^2+a\cdot b^2+ b \cdot a^2 + b\cdot b^2 = a^3+ab^2+a^2b+b^3$
Запишем разность одночленов 4 степени с учетом вычисленного произведения:
$a^4-b^4={{(a}^2)}^2$-${{(b}^2)}^2={(a}^2-b^2)(a^2+b^2)$=$\ \left(a-b\right)(a+b)(a^2+b^2)\ $=
Переход к разности выражений в 6 степени
Опираясь на формулу разности квадратов попробуем разложить на множители выражение $a^6-b^6$
Вспомним, как возводится степень в степень - для этого основание остается прежним, а показатели перемножаются, т. е ${(a^n)}^m=a^{n\cdot m}$
Тогда можно представить:
$a^6={{(a}^3)}^2$
$b^6={{(b}^3)}^2$
Значит, наше выражение можно представить, как $a^6-b^6={{(a}^3)}^2-{{(b}^3)}^2$
В первой скобке мы получили разность кубов одночленов, во второй сумму кубов одночленов, теперь вновь можно разложить на множители разность кубов одночленов как произведение разности двух чисел на неполный квадрат суммы $a^3-b^3=\left(a-b\right)(a^2+ab+b^2)$
Исходное выражение принимает вид
$a^6-b^6={(a}^3-b^3)\left(a^3+b^3\right)=\left(a-b\right)(a^2+ab+b^2)(a^3+b^3)$
Вычислим произведение второй и третье скобок используя правило произведения многочленов, - умножим каждый член первого многочлена на каждый член второго многочлена и сложим результат.
$(a^2+ab+b^2)(a^3+b^3)=a^5+a^4b+a^3b^2+a^2b^3+ab^4+b^5$
Запишем разность одночленов 6 степени с учетом вычисленного произведения:
$a^6-b^6={(a}^3-b^3)\left(a^3+b^3\right)=\left(a-b\right)(a^2+ab+b^2)(a^3+b^3)=(a-b)(a^5+a^4b+a^3b^2+a^2b^3+ab^4+b^5)$
Разложение на множители разности степеней
Проанализируем формулы разности кубов, разности $4$ степеней, разности $6$ степеней
Мы видим, что в каждом из данных разложений присутствует некоторая аналогия, обобщая которую получим:
Пример 1
Разложить на множители ${32x}^{10}-{243y}^{15}$
Решение: Сначала представим каждый одночлен как некоторый одночлен в 5 степени:
\[{32x}^{10}={(2x^2)}^5\]\[{243y}^{15}={(3y^3)}^5\]
Используем формулу разности степеней
Рисунок 1.
Разложение многочлена на множители. Часть 1
Разложение на множители - это универсальный прием, помогающий решить сложные уравнения и неравенства. Первая мысль, которая должна прийти в голову при решении уравнений и неравенств, в которых в правой части стоит ноль - попробовать разложить левую часть на множители.
Перечислим основные способы разложения многочлена на множители :
- вынесение общего множителя за скобку
- использование формул сокращенного умножения
- по формуле разложения на множители квадратного трехчлена
- способ группировки
- деление многочлена на двучлен
- метод неопределенных коэффициентов
В этой статье мы остановимся подробно на первых трех способах, остальные рассмотрим в следующих статьях.
1. Вынесение общего множителя за скобку.
Чтобы вынести за скобку общий множитель надо сначала его найти. Коэффициент общего множителя равен наибольшему общему делителю всех коэффициентов.
Буквенная часть общего множителя равна произведению выражений, входящих в состав каждого слагаемого с наименьшим показателем степени.
Схема вынесения общего множителя выглядит так:
Внимание!
Количество членов в скобках равно количеству слагаемых в исходном выражении. Если одно из слагаемых совпадает с общим множителем, то при его делении на общий множитель, получаем единицу.
Пример 1.
Разложить на множители многочлен:
Вынесем за скобки общий множитель. Для этого сначала его найдем.
1.Находим наибольший общий делитель всех коэффициентов многочлена, т.е. чисел 20, 35 и 15. Он равен 5.
2. Устанавливаем, что переменная содержится во всех слагаемых, причем наименьший из её показателей степени равен 2. Переменная содержится во всех слагаемых, и наименьший из её показателей степени равен 3.
Переменная содержится только во втором слагаемом, поэтому она не входит в состав общего множителя.
Итак, общий множитель равен
3. Выносим за скобки множитель пользуясь схемой, приведенной выше:
Пример 2. Решить уравнение:
Решение. Разложим левую часть уравнения на множители. Вынесем за скобки множитель :
Итак, получили уравнение 
Приравняем каждый множитель к нулю:
Получаем - корень первого уравнения.
Корни :
Ответ: -1, 2, 4
2. Разложение на множители с помощью формул сокращенного умножения.
Если количество слагаемых в многочлене, который мы собираемся разложить на множители меньше или равно трех, то мы пытаемся применить формулы сокращенного умножения.
1. Если многочлен представляет собой разность двух слагаемых , то пытаемся применить формулу разности квадратов :
или формулу разности кубов :
Здесь буквы и обозначают число или алгебраическое выражение.
2. Если многочлен представляет собой сумму двух слагаемых, то, возможно, его можно разложить на множители с помощью формулы суммы кубов :
3. Если многочлен состоит из трех слагаемых, то пытаемся применить формулу квадрата суммы :
или формулу квадрата разности :
Или пытаемся разложить на множители по формуле разложения на множители квадратного трехчлена :
Здесь и - корни квадратного уравнения 
Пример 3. Разложить на множители выражение:
Решение. Перед нами сумма двух слагаемых. Попытаемся применить формулу суммы кубов. Для этого нужно сначала каждое слагаемое представить в виде куба какого-то выражения, а затем применить формулу для суммы кубов:
Пример 4.
Разложить на множители выражение: 
Рещение. Перед нами разность квадратов двух выражений. Первое выражение: , второе выражение:
Применим формулу для разности квадратов:
Раскроем скобки и приведем подобные члены, получим:
Для того, чтобы разложить на множители, необходимо упрощать выражения. Это необходимо для того, чтобы можно было в дальнейшем сократить. Разложение многочлена имеет смысл тогда, когда его степень не ниже второй. Многочлен с первой степенью называют линейным.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Статья раскроет все понятия разложения, теоретические основы и способы разложений многочлена на множители.
Теория
Теорема 1Когда любой многочлен со степенью n , имеющие вид P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 , представляют в виде произведения с постоянным множителем со старшей степенью a n и n линейных множителей (x - x i) , i = 1 , 2 , … , n , тогда P n (x) = a n (x - x n) (x - x n - 1) · . . . · (x - x 1) , где x i , i = 1 , 2 , … , n – это и есть корни многочлена.
Теорема предназначена для корней комплексного типа x i , i = 1 , 2 , … , n и для комплексных коэффициентов a k , k = 0 , 1 , 2 , … , n . Это и есть основа любого разложения.
Когда коэффициенты вида a k , k = 0 , 1 , 2 , … , n являются действительными числами, тогда комплексные корни, которые будут встречаться сопряженными парами. Например, корни x 1 и x 2 , относящиеся к многочлену вида P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 считаются комплексно сопряженным, тогда другие корни являются действительными, отсюда получаем, что многочлен примет вид P n (x) = a n (x - x n) (x - x n - 1) · . . . · (x - x 3) x 2 + p x + q , где x 2 + p x + q = (x - x 1) (x - x 2) .
Замечание
Корни многочлена могут повторяться. Рассмотрим доказательство теоремы алгебры, следствия из теоремы Безу.
Основная теорема алгебры
Теорема 2Любой многочлен со степенью n имеет как минимум один корень.
Теорема Безу
После того, как произвели деление многочлена вида P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 на (x - s) , тогда получаем остаток, который равен многочлену в точке s , тогда получим
P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 = (x - s) · Q n - 1 (x) + P n (s) , где Q n - 1 (x) является многочленом со степенью n - 1 .
Следствие из теоремы Безу
Когда корень многочлена P n (x) считается s , тогда P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 = (x - s) · Q n - 1 (x) . Данное следствие является достаточным при употреблении для описания решения.
Разложение на множители квадратного трехчлена
Квадратный трехчлен вида a x 2 + b x + c можно разложить на линейные множители. тогда получим, что a x 2 + b x + c = a (x - x 1) (x - x 2) , где x 1 и x 2 - это корни (комплексные или действительные).
Отсюда видно, что само разложение сводится к решению квадратного уравнения впоследствии.
Пример 1
Произвести разложение квадратного трехчлена на множители.
Решение
Необходимо найти корни уравнения 4 x 2 - 5 x + 1 = 0 . Для этого необходимо найти значение дискриминанта по формуле, тогда получим D = (- 5) 2 - 4 · 4 · 1 = 9 . Отсюда имеем, что
x 1 = 5 - 9 2 · 4 = 1 4 x 2 = 5 + 9 2 · 4 = 1
Отсюда получаем, что 4 x 2 - 5 x + 1 = 4 x - 1 4 x - 1 .
Для выполнения проверки нужно раскрыть скобки. Тогда получим выражение вида:
4 x - 1 4 x - 1 = 4 x 2 - x - 1 4 x + 1 4 = 4 x 2 - 5 x + 1
После проверки приходим к исходному выражению. То есть можно сделать вывод, что разложение выполнено верно.
Пример 2
Произвести разложение на множители квадратный трехчлен вида 3 x 2 - 7 x - 11 .
Решение
Получим, что необходимо вычислить получившееся квадратное уравнение вида 3 x 2 - 7 x - 11 = 0 .
Чтобы найти корни, надо определить значение дискриминанта. Получим, что
3 x 2 - 7 x - 11 = 0 D = (- 7) 2 - 4 · 3 · (- 11) = 181 x 1 = 7 + D 2 · 3 = 7 + 181 6 x 2 = 7 - D 2 · 3 = 7 - 181 6
Отсюда получаем, что 3 x 2 - 7 x - 11 = 3 x - 7 + 181 6 x - 7 - 181 6 .
Пример 3
Произвести разложение многочлена 2 x 2 + 1 на множители.
Решение
Теперь нужно решить квадратное уравнение 2 x 2 + 1 = 0 и найти его корни. Получим, что
2 x 2 + 1 = 0 x 2 = - 1 2 x 1 = - 1 2 = 1 2 · i x 2 = - 1 2 = - 1 2 · i
Эти корни называют комплексно сопряженными, значит само разложение можно изобразить как 2 x 2 + 1 = 2 x - 1 2 · i x + 1 2 · i .
Пример 4
Произвести разложение квадратного трехчлена x 2 + 1 3 x + 1 .
Решение
Для начала необходимо решить квадратное уравнение вида x 2 + 1 3 x + 1 = 0 и найти его корни.
x 2 + 1 3 x + 1 = 0 D = 1 3 2 - 4 · 1 · 1 = - 35 9 x 1 = - 1 3 + D 2 · 1 = - 1 3 + 35 3 · i 2 = - 1 + 35 · i 6 = - 1 6 + 35 6 · i x 2 = - 1 3 - D 2 · 1 = - 1 3 - 35 3 · i 2 = - 1 - 35 · i 6 = - 1 6 - 35 6 · i
Получив корни, запишем
x 2 + 1 3 x + 1 = x - - 1 6 + 35 6 · i x - - 1 6 - 35 6 · i = = x + 1 6 - 35 6 · i x + 1 6 + 35 6 · i
Замечание
Если значение дискриминанта отрицательное, то многочлены останутся многочленами второго порядка. Отсюда следует, что раскладывать их не будем на линейные множители.
Способы разложения на множители многочлена степени выше второй
При разложении предполагается универсальный метод. Большинство всех случаев основано на следствии из теоремы Безу. Для этого необходимо подбирать значение корня x 1 и понизить его степень при помощи деления на многочлена на 1 делением на (x - x 1) . Полученный многочлен нуждается в нахождении корня x 2 , причем процесс поиска цикличен до тех пор, пока не получим полное разложение.
Если корень не нашли, тогда применяются другие способы разложения на множители: группировка, дополнительные слагаемые. Данная тема полагает решение уравнений с высшими степенями и целыми коэффициентами.
Вынесение общего множителя за скобки
Рассмотрим случай, когда свободный член равняется нулю, тогда вид многочлена становится как P n (x) = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x .
Видно, что корень такого многочлена будет равняться x 1 = 0 , тогда можно представить многочлен в виде выражения P n (x) = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x = = x (a n x n - 1 + a n - 1 x n - 2 + . . . + a 1)
Данный способ считается вынесением общего множителя за скобки.
Пример 5
Выполнить разложение многочлена третьей степени 4 x 3 + 8 x 2 - x на множители.
Решение
Видим, что x 1 = 0 - это корень заданного многочлена, тогда можно произвести вынесение х за скобки всего выражения. Получаем:
4 x 3 + 8 x 2 - x = x (4 x 2 + 8 x - 1)
Переходим к нахождению корней квадратного трехчлена 4 x 2 + 8 x - 1 . Найдем дискриминант и корни:
D = 8 2 - 4 · 4 · (- 1) = 80 x 1 = - 8 + D 2 · 4 = - 1 + 5 2 x 2 = - 8 - D 2 · 4 = - 1 - 5 2
Тогда следует, что
4 x 3 + 8 x 2 - x = x 4 x 2 + 8 x - 1 = = 4 x x - - 1 + 5 2 x - - 1 - 5 2 = = 4 x x + 1 - 5 2 x + 1 + 5 2
Для начала примем за рассмотрение способ разложения, содержащий целые коэффициенты вида P n (x) = x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 , где коэффициента при старшей степени равняется 1 .
Когда многочлен имеет целые корни, тогда их считают делителями свободного члена.
Пример 6
Произвести разложение выражения f (x) = x 4 + 3 x 3 - x 2 - 9 x - 18 .
Решение
Рассмотрим, имеются ли целые корни. Необходимо выписать делители числа - 18 . Получим, что ± 1 , ± 2 , ± 3 , ± 6 , ± 9 , ± 18 . Отсюда следует, что данный многочлен имеет целые корни. Можно провести проверку по схеме Горнера. Она очень удобная и позволяет быстро получить коэффициенты разложения многочлена:
Отсюда следует, что х = 2 и х = - 3 – это корни исходного многочлена, который можно представить как произведение вида:
f (x) = x 4 + 3 x 3 - x 2 - 9 x - 18 = (x - 2) (x 3 + 5 x 2 + 9 x + 9) = = (x - 2) (x + 3) (x 2 + 2 x + 3)
Переходим к разложению квадратного трехчлена вида x 2 + 2 x + 3 .
Так как дискриминант получаем отрицательный, значит, действительных корней нет.
Ответ: f (x) = x 4 + 3 x 3 - x 2 - 9 x - 18 = (x - 2) (x + 3) (x 2 + 2 x + 3)
Замечание
Допускается использование подбором корня и деление многочлена на многочлен вместо схемы Горнера. Перейдем к рассмотрению разложения многочлена, содержащим целые коэффициенты вида P n (x) = x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 , старший из которых на равняется единице.
Этот случай имеет место быть для дробно-рациональных дробей.
Пример 7
Произвести разложение на множители f (x) = 2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 .
Решение
Необходимо выполнить замену переменной y = 2 x , следует переходить к многочлену с коэффициентами равными 1 при старшей степени. Необходимо начать с умножения выражения на 4 . Получаем, что
4 f (x) = 2 3 · x 3 + 19 · 2 2 · x 2 + 82 · 2 · x + 60 = = y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60 = g (y)
Когда получившаяся функция вида g (y) = y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60 имеет целые корни, тогда их нахождение среди делителей свободного члена. Запись примет вид:
± 1 , ± 2 , ± 3 , ± 4 , ± 5 , ± 6 , ± 10 , ± 12 , ± 15 , ± 20 , ± 30 , ± 60
Перейдем к вычислению функции g (y) в этих точка для того, чтобы получить в результате ноль. Получаем, что
g (1) = 1 3 + 19 · 1 2 + 82 · 1 + 60 = 162 g (- 1) = (- 1) 3 + 19 · (- 1) 2 + 82 · (- 1) + 60 = - 4 g (2) = 2 3 + 19 · 2 2 + 82 · 2 + 60 = 308 g (- 2) = (- 2) 3 + 19 · (- 2) 2 + 82 · (- 2) + 60 = - 36 g (3) = 3 3 + 19 · 3 2 + 82 · 3 + 60 = 504 g (- 3) = (- 3) 3 + 19 · (- 3) 2 + 82 · (- 3) + 60 = - 42 g (4) = 4 3 + 19 · 4 2 + 82 · 4 + 60 = 756 g (- 4) = (- 4) 3 + 19 · (- 4) 2 + 82 · (- 4) + 60 = - 28 g (5) = 5 3 + 19 · 5 2 + 82 · 5 + 60 = 1070 g (- 5) = (- 5) 3 + 19 · (- 5) 2 + 82 · (- 5) + 60
Получаем, что у = - 5 – это корень уравнения вида y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60 , значит, x = y 2 = - 5 2 - это корень исходной функции.
Пример 8
Необходимо произвести деление столбиком 2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 на x + 5 2 .
Решение
Запишем и получим:
2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 = x + 5 2 (2 x 2 + 14 x + 6) = = 2 x + 5 2 (x 2 + 7 x + 3)
Проверка делителей займет много времени, поэтому выгодней предпринять разложение на множители полученного квадратного трехчлена вида x 2 + 7 x + 3 . Приравниванием к нулю и находим дискриминант.
x 2 + 7 x + 3 = 0 D = 7 2 - 4 · 1 · 3 = 37 x 1 = - 7 + 37 2 x 2 = - 7 - 37 2 ⇒ x 2 + 7 x + 3 = x + 7 2 - 37 2 x + 7 2 + 37 2
Отсюда следует, что
2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 = 2 x + 5 2 x 2 + 7 x + 3 = = 2 x + 5 2 x + 7 2 - 37 2 x + 7 2 + 37 2
Искусственные приемы при разложении многочлена на множители
Рациональные корни не присущи всем многочленам. Для этого необходимо пользоваться специальными способами для нахождения множителей. Но не все многочлены можно разложить или представить в виде произведения.
Способ группировки
Бывают случаи, когда можно сгруппировывать слагаемые многочлена для нахождения общего множителя и вынесения его за скобки.
Пример 9
Произвести разложение многочлена x 4 + 4 x 3 - x 2 - 8 x - 2 на множители.
Решение
Потому как коэффициенты – целые числа, тогда корни предположительно тоже могут быть целыми. Для проверки возьмем значения 1 , - 1 , 2 и - 2 для того, чтобы вычислить значение многочлена в этих точках. Получаем, что
1 4 + 4 · 1 3 - 1 2 - 8 · 1 - 2 = - 6 ≠ 0 (- 1) 4 + 4 · (- 1) 3 - (- 1) 2 - 8 · (- 1) - 2 = 2 ≠ 0 2 4 + 4 · 2 3 - 2 2 - 8 · 2 - 2 = 26 ≠ 0 (- 2) 4 + 4 · (- 2) 3 - (- 2) 2 - 8 · (- 2) - 2 = - 6 ≠ 0
Отсюда видно, что корней нет, необходимо использовать другой способ разложения и решения.
Необходимо провести группировку:
x 4 + 4 x 3 - x 2 - 8 x - 2 = x 4 + 4 x 3 - 2 x 2 + x 2 - 8 x - 2 = = (x 4 - 2 x 2) + (4 x 3 - 8 x) + x 2 - 2 = = x 2 (x 2 - 2) + 4 x (x 2 - 2) + x 2 - 2 = = (x 2 - 2) (x 2 + 4 x + 1)
После группировки исходного многочлена необходимо представить его как произведение двух квадратных трехчленов. Для этого нам понадобится произвести разложение на множители. получаем, что
x 2 - 2 = 0 x 2 = 2 x 1 = 2 x 2 = - 2 ⇒ x 2 - 2 = x - 2 x + 2 x 2 + 4 x + 1 = 0 D = 4 2 - 4 · 1 · 1 = 12 x 1 = - 4 - D 2 · 1 = - 2 - 3 x 2 = - 4 - D 2 · 1 = - 2 - 3 ⇒ x 2 + 4 x + 1 = x + 2 - 3 x + 2 + 3
x 4 + 4 x 3 - x 2 - 8 x - 2 = x 2 - 2 x 2 + 4 x + 1 = = x - 2 x + 2 x + 2 - 3 x + 2 + 3
Замечание
Простота группировки не говорит о том, что выбрать слагаемы достаточно легко. Определенного способа решения не существует, поэтому необходимо пользоваться специальными теоремами и правилами.
Пример 10
Произвести разложение на множители многочлен x 4 + 3 x 3 - x 2 - 4 x + 2 .
Решение
Заданный многочлен не имеет целых корней. Следует произвести группировку слагаемых. Получаем, что
x 4 + 3 x 3 - x 2 - 4 x + 2 = = (x 4 + x 3) + (2 x 3 + 2 x 2) + (- 2 x 2 - 2 x) - x 2 - 2 x + 2 = = x 2 (x 2 + x) + 2 x (x 2 + x) - 2 (x 2 + x) - (x 2 + 2 x - 2) = = (x 2 + x) (x 2 + 2 x - 2) - (x 2 + 2 x - 2) = (x 2 + x - 1) (x 2 + 2 x - 2)
После разложения на множители получим, что
x 4 + 3 x 3 - x 2 - 4 x + 2 = x 2 + x - 1 x 2 + 2 x - 2 = = x + 1 + 3 x + 1 - 3 x + 1 2 + 5 2 x + 1 2 - 5 2
Использование формул сокращенного умножения и бинома Ньютона для разложения многочлена на множители
Внешний вид зачастую не всегда дает понять, каким способом необходимо воспользоваться при разложении. После того, как были произведены преобразования, можно выстроить строчку, состоящую из треугольника Паскаля, иначе их называют биномом Ньютона.
Пример 11
Произвести разложение многочлена x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 на множители.
Решение
Необходимо выполнить преобразование выражения к виду
x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3
На последовательность коэффициентов суммы в скобках указывает выражение x + 1 4 .
Значит, имеем x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3 = x + 1 4 - 3 .
После применения разности квадратов, получим
x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3 = x + 1 4 - 3 = = x + 1 4 - 3 = x + 1 2 - 3 x + 1 2 + 3
Рассмотрим выражение, которое находится во второй скобке. Понятно, что там коней нет, поэтому следует применить формулу разности квадратов еще раз. Получаем выражение вида
x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3 = x + 1 4 - 3 = = x + 1 4 - 3 = x + 1 2 - 3 x + 1 2 + 3 = = x + 1 - 3 4 x + 1 + 3 4 x 2 + 2 x + 1 + 3
Пример 12
Произвести разложение на множители x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6 .
Решение
Займемся преобразованием выражения. Получаем, что
x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6 = x 3 + 3 · 2 · x 2 + 3 · 2 2 · x + 2 3 - 2 = (x + 2) 3 - 2
Необходимо применить формулу сокращенного умножения разности кубов. Получаем:
x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6 = = (x + 2) 3 - 2 = = x + 2 - 2 3 x + 2 2 + 2 3 x + 2 + 4 3 = = x + 2 - 2 3 x 2 + x 2 + 2 3 + 4 + 2 2 3 + 4 3
Способ замены переменной при разложении многочлена на множители
При замене переменной производится понижение степени и разложение многочлена на множители.
Пример 13
Произвести разложение на множители многочлена вида x 6 + 5 x 3 + 6 .
Решение
По условию видно, что необходимо произвести замену y = x 3 . Получаем:
x 6 + 5 x 3 + 6 = y = x 3 = y 2 + 5 y + 6
Корни полученного квадратного уравнения равны y = - 2 и y = - 3 , тогда
x 6 + 5 x 3 + 6 = y = x 3 = y 2 + 5 y + 6 = = y + 2 y + 3 = x 3 + 2 x 3 + 3
Необходимо применить формулу сокращенного умножения суммы кубов. Получим выражения вида:
x 6 + 5 x 3 + 6 = y = x 3 = y 2 + 5 y + 6 = = y + 2 y + 3 = x 3 + 2 x 3 + 3 = = x + 2 3 x 2 - 2 3 x + 4 3 x + 3 3 x 2 - 3 3 x + 9 3
То есть получили искомое разложение.
Рассмотренные выше случаи помогут в рассмотрении и разложении многочлена на множители разными способами.
Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
