«Подобные слагаемые» — Учебник по математике 6 класс (Виленкин)

Краткое описание:


В этом разделе Вы узнаете, что означает выражение «подобные слагаемые» и как их находить.
Вы уже научились раскрывать скобки, выучили распределительное свойство умножения, знаете, что означает численно-буквенное выражение (помните, это выражение типа 5а, 6ас). А теперь давайте рассмотрим выражение вида 8а+8с. Заметили, что у первого слагаемого и у второго слагаемого одинаковый коэффициент – число 8? В этом случае число 8 можно вынести за скобки и представить в виде одного из множителей произведения, то есть 8*(а+с). Получается, что 8 – это общий множитель первого и второго слагаемых.
А теперь рассмотрим вот такой пример: 10а+15а-20а. У каждого из слагаемых (10а, 15а, -20а) есть одинаковая буквенная часть (а), а коэффициенты разные (10, 15 и -20). Такие слагаемые называются подобными (то есть похожими друг на друга). Такое выражение можно переписать иным способом, вынеся за скобки в качестве множителя буквенное выражение (то есть а), а в скобках от каждого слагаемого останется только число (коэффициент): а*(10+15-20)=а*5=5а. Таким образом, мы упростили численно-буквенное выражение, отыскав подобные слагаемые. То есть подобные слагаемые – это численно-буквенные выражения, имеющие одинаковую буквенную часть. Сложение, которое мы выполнили в примере, называют приведением (либо сложением) подобных слагаемых (то есть их коэффициенты суммируют и полученный результат умножают на букву).

Является . В этой статье мы дадим определение подобных слагаемых, разберемся, что называют приведением подобных слагаемых, рассмотрим правила, по которым выполняется это действие, и приведем примеры приведения подобных слагаемых с подробным описанием решения.

Навигация по странице.

Определение и примеры подобных слагаемых.

Разговор о подобных слагаемых возникает после знакомства с буквенными выражениями , когда возникает необходимость проведения преобразований с ними. По учебникам математики Н. Я. Виленкина определение подобных слагаемых дается в 6 классе, и оно имеет следующую формулировку:

Определение.

Подобные слагаемые – это слагаемые, которые имеют одинаковую буквенную часть.

Стоит внимательно разобраться в этом определении. Во-первых, речь идет о слагаемых, а, как известно, слагаемые являются составными элементами сумм. Значит, подобные слагаемые могут присутствовать лишь в выражениях, которые представляют собой суммы. Во-вторых, в озвученном определении подобных слагаемых присутствует незнакомое понятие «буквенная часть». Что же понимают под буквенной частью? Когда дается это определение в шестом классе, под буквенной частью понимается одна буква (переменная) или произведение нескольких букв. В-третьих, остается вопрос: «А что же это за такие слагаемые с буквенной частью»? Это слагаемые, представляющие собой произведение некоторого числа, так называемого числового коэффициента , и буквенной части.

Вот теперь можно привести примеры подобных слагаемых . Рассмотрим сумму двух слагаемых 3·a и 2·a вида 3·a+2·a . Слагаемые в этой сумме имеют одинаковую буквенную часть, которая представлена буквой a , поэтому, согласно определению эти слагаемые являются подобными. Числовыми коэффициентами указанных подобных слагаемых являются числа 3 и 2 .

Еще пример: в сумме 5·x·y 3 ·z+12·x·y 3 ·z+1 подобными являются слагаемые 5·x·y 3 ·z и 12·x·y 3 ·z с одинаковой буквенной частью x·y 3 ·z . Заметим, что в буквенной части присутствует y 3 , ее присутствие не нарушает данное выше определение буквенной части, так как она, по сути, является произведением y·y·y .

Отдельно отметим, что числовые коэффициенты 1 и −1 у подобных слагаемых часто не записываются явно. Например, в сумме 3·z 5 +z 5 −z 5 все три слагаемых 3·z 5 , z 5 и −z 5 являются подобными, они имеют одинаковую буквенную часть z 5 и коэффициенты 3 , 1 и −1 соответственно, из которых 1 и −1 явно не видны.

Исходя из этого, в сумме 5+7·x−4+2·x+y подобными слагаемыми являются не только 7·x и 2·x , но и слагаемые без буквенной части 5 и −4 .

Позже расширяется и понятие буквенной части – буквенной частью начинаю считать не только произведение букв, а произвольное буквенное выражение. К примеру, в учебнике алгебры для 8 класса авторов Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова под редакцией С. А. Теляковского приведена сумма вида , и сказано, что составляющие ее слагаемые являются подобными. Общей буквенной частью этих подобных слагаемых является выражение с корнем вида .

Аналогично, подобными слагаемыми в выражении 4·(x 2 +x−1/x)−0,5·(x 2 +x−1/x)−1 можно считать слагаемые 4·(x 2 +x−1/x) и −0,5·(x 2 +x−1/x) , так как они имеют одинаковую буквенную часть (x 2 +x−1/x) .

Обобщив всю изложенную информацию, можно дать следующее определение подобных слагаемых.

Определение.

Подобными слагаемыми называются слагаемые в буквенном выражении, имеющие одинаковую буквенную часть, а также слагаемые, не имеющие буквенной части, где под буквенной частью понимается любое буквенное выражение.

Отдельно скажем, что подобные слагаемые могут быть одинаковыми (когда равны их числовые коэффициенты), а могут быть и разными (когда их числовые коэффициенты различны).

В заключение этого пункта обсудим один очень тонкий момент. Рассмотрим выражение 2·x·y+3·y·x . Являются ли слагаемые 2·x·y и 3·y·x подобными? Этот вопрос можно формулировать и так: «одинаковы ли буквенные части x·y и y·x указанных слагаемых»? Порядок следования буквенных множителей в них различен, так что фактически они не одинаковые, следовательно, слагаемые 2·x·y и 3·y·x в свете введенного выше определения не являются подобными.

Однако достаточно часто такие слагаемые называют подобными (но для строгости лучше этого не делать). При этом руководствуются вот чем: согласно перестановка множителей в произведении не влияет на результат, поэтому исходное выражение 2·x·y+3·y·x можно переписать в виде 2·x·y+3·x·y , слагаемые которого подобны. То есть, когда говорят о подобных слагаемых 2·x·y и 3·y·x в выражении 2·x·y+3·y·x , то имеют в виду слагаемые 2·x·y и 3·x·y в преобразованном выражении вида 2·x·y+3·x·y .

Приведение подобных слагаемых, правило, примеры

Преобразование выражений, содержащих подобные слагаемые, подразумевает выполнение сложения этих слагаемых. Это действие получило особое название - приведение подобных слагаемых .

Приведение подобных слагаемых проводится в три этапа:

  • сначала проводится перестановка слагаемых так, чтобы подобные слагаемые оказались рядом друг с другом;
  • после этого выносится за скобки буквенная часть подобных слагаемых;
  • наконец, вычисляется значение числового выражения , образовавшегося в скобках.

Разберем записанные шаги на примере. Приведем подобные слагаемые в выражении 3·x·y+1+5·x·y . Во-первых, переставляем слагаемые местами так, чтобы подобные слагаемые 3·x·y и 5·x·y оказались рядом: 3·x·y+1+5·x·y=3·x·y+5·x·y+1 . Во-вторых, выносим буквенную часть за скобки, получаем выражение x·y·(3+5)+1 . В-третьих, вычисляем значение выражения, которое образовалось в скобках: x·y·(3+5)+1=x·y·8+1 . Так как числовой коэффициент принято записывать перед буквенной частью, то перенесем его на это место: x·y·8+1=8·x·y+1 . На этом приведение подобных слагаемых завершено.

Для удобства три перечисленных выше шага объединяют в правило приведения подобных слагаемых : чтобы привести подобные слагаемые, нужно сложить их коэффициенты и полученный результат умножить на буквенную часть (если она есть).

Решение предыдущего примера с использованием правила приведения подобных слагаемых будет короче. Приведем его. Коэффициентами подобных слагаемых 3·x·y и 5·x·y в выражении 3·x·y+1+5·x·y являются числа 3 и 5 , их сумма равна 8 , умножив ее на буквенную часть x·y , получаем результат приведения этих слагаемых 8·x·y . Осталось не забыть про слагаемое 1 в исходном выражении, в итоге имеем 3·x·y+1+5·x·y=8·x·y+1 .

Пусть дано вы-ра-же-ние, ко-то-рое яв-ля-ет-ся про-из-ве-де-ни-ем числа и букв. Число в таком вы-ра-же-нии на-зы-ва-ет-ся ко-эф-фи-ци-ен-том . На-при-мер:

в вы-ра-же-нии ко-эф-фи-ци-ен-том яв-ля-ет-ся число 2;

в вы-ра-же-нии - число 1;

в вы-ра-же-нии - это число -1;

в вы-ра-же-нии ко-эф-фи-ци-ен-том яв-ля-ет-ся про-из-ве-де-ние чисел 2 и 3, то есть число 6.

Задача 1

У Пети было 3 кон-фе-ты и 5 аб-ри-ко-сов. Мама по-да-ри-ла Пете ещё 2 кон-фе-ты и 4 аб-ри-ко-са (см. Рис. 1). Сколь-ко всего кон-фет и аб-ри-ко-сов стало у Пети?

Рис. 1. Ил-лю-стра-ция к за-да-че

Ре-ше-ние

За-пи-шем усло-вие за-да-чи в таком виде:

1) Было 3 кон-фе-ты и 5 аб-ри-ко-сов:

2) Мама по-да-ри-ла 2 кон-фе-ты и 4 аб-ри-ко-са:

3) То есть всего у Пети:

4) Скла-ды-ва-ем кон-фе-ты с кон-фе-та-ми, аб-ри-ко-сы с аб-ри-ко-са-ми:

Сле-до-ва-тель-но, всего стало 5 кон-фет и 9 аб-ри-ко-сов.

Ответ: 5 кон-фет и 9 аб-ри-ко-сов.

Приведение подобных слагаемых

В за-да-че 1 в чет-вёр-том дей-ствии мы за-ни-ма-лись при-ве-де-ни-ем по-доб-ных сла-га-е-мых.

Сла-га-е-мые, име-ю-щие оди-на-ко-вую бук-вен-ную часть, на-зы-ва-ют-ся по-доб-ны-ми сла-га-е-мы-ми. По-доб-ные сла-га-е-мые могут от-ли-чать-ся толь-ко сво-и-ми чис-ло-вы-ми ко-эф-фи-ци-ен-та-ми.

Чтобы сло-жить (при-ве-сти) по-доб-ные сла-га-е-мые, надо сло-жить их ко-эф-фи-ци-ен-ты и ре-зуль-тат умно-жить на общую бук-вен-ную часть.

При-ве-де-ни-ем по-доб-ных сла-га-е-мых мы упро-ща-ем вы-ра-же-ние.

Примеры приведения подобных слагаемых

Яв-ля-ют-ся по-доб-ны-ми сла-га-е-мы-ми, так как у них оди-на-ко-вая бук-вен-ная часть. Сле-до-ва-тель-но, для их при-ве-де-ния необ-хо-ди-мо сло-жить все их ко-эф-фи-ци-ен-ты - это 5, 3 и -1 и умно-жить на общую бук-вен-ную часть - это a .

2)

В дан-ном вы-ра-же-нии за-пи-са-ны по-доб-ные сла-га-е-мые. Общая бук-вен-ная часть - это xy , а ко-эф-фи-ци-ен-ты - это 2, 1 и -3. При-ве-дём эти по-доб-ные сла-га-е-мые:

3)

В дан-ном вы-ра-же-нии по-доб-ны-ми сла-га-е-мы-ми яв-ля-ют-ся и , при-ве-дём их:

4)

Упро-стим дан-ное вы-ра-же-ние. Для этого на-хо-дим по-доб-ные сла-га-е-мые. В этом вы-ра-же-нии есть две пары по-доб-ных сла-га-е-мых - это и , и .

Упро-стим дан-ное вы-ра-же-ние. Для этого рас-кро-ем скоб-ки, вос-поль-зо-вав-шись рас-пре-де-ли-тель-ным за-ко-ном:

В вы-ра-же-нии есть по-доб-ные сла-га-е-мые - это и , при-ве-дём их:

Итоги урока

На этом уроке мы по-зна-ко-ми-лись с по-ня-ти-ем ко-эф-фи-ци-ент, узна-ли, какие сла-га-е-мые на-зы-ва-ют-ся по-доб-ны-ми, и сфор-му-ли-ро-ва-ли пра-ви-ло при-ве-де-ния по-доб-ных сла-га-е-мых, а также мы ре-ши-ли несколь-ко при-ме-ров, в ко-то-рых ис-поль-зо-ва-ли дан-ное пра-ви-ло.

источник конспекта - http://interneturok.ru/ru/school/matematika/6-klass/undefined/privedenie-podobnyh-slagaemyh

источник видео - http://www.youtube.com/watch?v=GdRqwj5sXzE

источник видео - http://www.youtube.com/watch?v=z2_XZDtGr3o

источник видео - http://www.youtube.com/watch?v=qagWrAOPxGI

источник видео - http://www.youtube.com/watch?v=Ty5DBUIGB5I

источник видео - http://www.youtube.com/watch?v=t0mOyseNddg

источник видео - http://www.youtube.com/watch?v=S8DoWa5wrfA

источник презентации - http://ppt4web.ru/matematika/podobnye-slagaemye2.html

Параллелограммом называют четырехугольник противолежащие стороны которого попарно параллельны. Также параллелограмм владеет такими свойствами, как противоположные стороны равны, противоположные углы равны, сумма всех углов равна 360 градусов.

Вам понадобится

  • Знания по геометрии.

Инструкция

1. Представим дан один из углов параллелограмма и равен A. Обнаружим значения остальных 3. По свойству параллелограмма противоположные углы равны. Значит угол, лежащий наоборот данного равен данному и его значение равно А.

2. Обнаружим оставшиеся два угла. Потому что сумма всех углов в параллелограмме равна 360 градусов, а противоположные углы между собой равны, то получается, что угол, принадлежащий одной стороне с данным, равен (360 — 2А)/2. Ну либо позже реформирования получим 180 — А. Таким образом в параллелограмме два угла равны А, а два других угла равны 180 — А.

Обратите внимание!
Значение одного угла не может превышать 180 градусов. Полученные значения углов дозволено легко проверить. Для этого сложите их и, если сумма равна 360, все посчитано правильно.

Полезный совет
Прямоугольник и ромб являются частным случаем параллелограмма, следственно все свойства и способы вычисления углов применимы и к ним.

Видеокурс «Получи пятерку» включает все темы, необходимые для успешной сдачи ЕГЭ по математике на 60-65 баллов. Полностью все задачи 1-13 Профильного ЕГЭ по математике. Подходит также для сдачи Базового ЕГЭ по математике. Если вы хотите сдать ЕГЭ на 90-100 баллов, вам надо решать часть 1 за 30 минут и без ошибок!

Курс подготовки к ЕГЭ для 10-11 класса, а также для преподавателей. Все необходимое, чтобы решить часть 1 ЕГЭ по математике (первые 12 задач) и задачу 13 (тригонометрия). А это более 70 баллов на ЕГЭ, и без них не обойтись ни стобалльнику, ни гуманитарию.

Вся необходимая теория. Быстрые способы решения, ловушки и секреты ЕГЭ. Разобраны все актуальные задания части 1 из Банка заданий ФИПИ. Курс полностью соответствует требованиям ЕГЭ-2018.

Курс содержит 5 больших тем, по 2,5 часа каждая. Каждая тема дается с нуля, просто и понятно.

Сотни заданий ЕГЭ. Текстовые задачи и теория вероятностей. Простые и легко запоминаемые алгоритмы решения задач. Геометрия. Теория, справочный материал, разбор всех типов заданий ЕГЭ. Стереометрия. Хитрые приемы решения, полезные шпаргалки, развитие пространственного воображения. Тригонометрия с нуля - до задачи 13. Понимание вместо зубрежки. Наглядное объяснение сложных понятий. Алгебра. Корни, степени и логарифмы, функция и производная. База для решения сложных задач 2 части ЕГЭ.