На данном уроке мы узнаем о таком понятии, как коэффициент. Также мы рассмотрим несколько задач, на примере которых сможем без труда находить коэффициенты различных выражений.
Это произведение: число 2 умножается на букву .
В таком произведении договорились число называть коэффициентом .
Коэффициент - это числовой множитель в произведении, где есть буква.
Например:
Поэтому коэффициент равен 4.
Поэтому коэффициент 1.
Поэтому коэффициент -1.
Поэтому коэффициент равен 5.
В математике договорились писать коэффициент в начале, поэтому:
Букв может быть несколько, но это не влияет на коэффициент. Например:
Коэффициент -17.
Коэффициент 46.
Если в произведении несколько числовых множителей, то такое выражение может быть упрощено:
Коэффициент в данном выражении - 100.
Числовой множитель в произведении, где есть хотя бы одна буква, называется коэффициентом.
Если чисел несколько, нужно их перемножить, упростить выражение и таким образом будет получен коэффициент.
В одном произведении есть только один коэффициент.
Если есть сумма, например, такая:
То у каждого слагаемого есть коэффициенты: и .
Если числа нет, то можно поставить единицу. Это и есть коэффициент.
, коэффициент 1.
Найти коэффициент: а) ; б) 
.
а) , коэффициент -50.
б) ,коэффициент .
Итак, коэффициент - это число, которое стоит в произведении с одной или несколькими переменными. Оно может быть целым или дробным, положительным или отрицательным.
При посадке картошки урожай получается в 10 раз больше, чем количество посаженной картошки. Каков будет урожай, если посадили 65 кг?
Решение
А если посажено 90 кг картошки?
А если неизвестно, сколько посажено? Как тогда решать в таком случае?
Если посадили кг, то урожай будет кг.
Итак, 10 - здесь коэффициент (назовем его урожайность), а - переменная. может принимать любые значения, а формула будет рассчитывать величину урожая.
Если урожайность другая, например 9, то формула выглядит так: .
Коэффициент в формуле изменился.
Если рассматривать разные урожайности, то формула по виду будет оставаться такой же, меняться будет только коэффициент.
Значит, можно записать общий вид всех таких формул.
Где - коэффициент; - переменная.
Это урожайность, она может быть равна, например, 10 или 9, как раньше, или другому числу.
Итак, как ответить на вопрос «какой коэффициент в записи ?»?
Если ничего не известно про эту запись, то и являются просто буквами, переменными. Коэффициент единица.
Если же известно, что это часть формулы для расчета урожая картофеля, тогда - это и есть коэффициент.
Иными словами, часто коэффициент может обозначаться буквой.
В математике, физике, других науках много формул, где одна из букв является коэффициентом.
Пример
Плотность вещества в физике обозначается буквой .
Чем больше плотность, тем больше весит один и тот же объем вещества.
Если знать объем вещества и его плотность, то найти массу легко по формуле:
Любой человек, который знаком с этой формулой, на вопрос «какой здесь коэффициент?» ответит «».
Коэффициент - это число в произведении, где есть одна или несколько переменных.
Есть договоренность писать коэффициент перед переменными.
Если числа в произведении нет, то можно поставить множитель 1, он и будет коэффициентом.
Если перед нами известная нам формула, то одна из букв вполне может быть коэффициентом.
Список литературы
- Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И. Математика 6. - М.: Мнемозина, 2012.
- Мерзляк А.Г., Полонский В.В., Якир М.С. Математика 6 класс. - Гимназия, 2006.
- Депман И.Я., Виленкин Н.Я. За страницами учебника математики. - Просвещение, 1989.
- Рурукин А.Н., Чайковский И.В. Задания по курсу математика 5-6 класс - ЗШ МИФИ, 2011.
- Рурукин А.Н., Сочилов С.В., Чайковский К.Г. Математика 5-6. Пособие для учащихся 6-х классов заочной школы МИФИ. - ЗШ МИФИ, 2011.
- Шеврин Л.Н., Гейн А.Г., Коряков И.О., Волков М.В. Математика: Учебник-собеседник для 5-6 классов средней школы. Библиотека учителя математики. - Просвещение, 1989.
- Интернет портал «Uchportal.ru» ()
- Интернет портал «Фестиваль педагогических идей» ()
- Интернет портал «School-assistant.ru» ()
Домашнее задание
В математике одним из параметров, описывающих положение прямой на декартовой плоскости координат, является угловой коэффициент этой прямой. Этот параметр характеризует наклон прямой к оси абцисс. Чтобы понять, как найти угловой коэффициент, сначала вспомним общий вид уравнения прямой в системе координат XY.
В общем виде любую прямую можно представить выражением ax+by=c, где a, b и c - произвольные действительные числа, но обязательно a 2 + b 2 ≠ 0.
Подобное уравнение с помощью несложных преобразований можно довести до вида y=kx+d, в котором k и d - действительные числа. Число k является угловым коэффициентом, а само уравнение прямой подобного вида называется уравнением с угловым коэффициентом. Получается, что для нахождения углового коэффициента, необходимо просто привести исходное уравнение к указанному выше виду. Для более полного понимания рассмотрим конкретный пример:
Задача: Найти угловой коэффициент линии, заданной уравнением 36x - 18y = 108
Решение: Преобразуем исходное уравнение.
Ответ: Искомый угловой коэффициент данной прямой равен 2.
В случае, если в ходе преобразований уравнения мы получили выражение типа x = const и не можем в результате представить y в виде функции x, то мы имеем дело с прямой, параллельной оси Х. Угловой коэффициент подобной прямой равен бесконечности.
Для прямых, которых выражены уравнением типа y = const, угловой коэффициент равняется нулю. Это характерно для прямых, параллельных оси абцисс. Например:
Задача: Найти угловой коэффициент линии, заданной уравнением 24x + 12y - 4(3y + 7) = 4
Решение: Приведем исходное уравнение к общему виду
24x + 12y - 12y + 28 = 4
Из полученного выражения выразить y невозможно, следовательно угловой коэффициент данной прямой равен бесконечности, а сама прямая будет параллельна оси Y.
Геометрический смысл
Для лучшего понимания обратимся к картинке:
На рисунке мы видим график функции типа y = kx. Для упрощения примем коэффициент с = 0. В треугольнике ОАВ отношение стороны ВА к АО будет равно угловому коэффициенту k. Вместе с тем отношение ВА/АО - это тангенс острого угла α в прямоугольном треугольнике ОАВ. Получается, что угловой коэффициент прямой равняется тангенсу угла, который составляет эта прямая с осью абцисс координатной сетки.
Решая задачу, как найти угловой коэффициент прямой, мы находим тангенс угла между ней и осью Х сетки координат. Граничные случаи, когда рассматриваемая прямая параллельна осям координат, подтверждают вышенаписанное. Действительно для прямой, описанной уравнением y=const, угол между ней и осью абцисс равен нулю. Тангенс нулевого угла также равен нулю и угловой коэффициент тоже равен нулю.
Для прямых, перпендикулярных оси абцисс и описываемых уравнением х=const, угол между ними и осью Х равен 90 градусов. Тангенс прямого угла равен бесконечности, так же и угловой коэффициент подобных прямых равен бесконечности, что подтверждает написанное выше.
Угловой коэффициент касательной
Распространенной, часто встречающейся на практике, задачей является также нахождение углового коэффициента касательной к графику функции в некоторой точке. Касательная - это прямая, следовательно к ней также применимо понятие углового коэффициента.
Чтобы разобраться, как найти угловой коэффициент касательной, нам будет необходимо вспомнить понятие производной. Производная от любой функции в некоторой точке - это константа, численно равная тангенсу угла, который образуется между касательной в указанной точке к графику этой функции и осью абцисс. Получается, что для определения углового коэффициента касательной в точке x 0 , нам необходимо рассчитать значение производной исходной функции в этой точке k = f"(x 0). Рассмотрим на примере:
Задача: Найти угловой коэффициент линии, касательной к функции y = 12x 2 + 2xe x при х = 0,1.
Решение: Найдем производную от исходной функции в общем виде
y"(0,1) = 24 . 0,1 + 2 . 0,1 . e 0,1 + 2 . e 0,1
Ответ: Искомый угловой коэффициент в точке х = 0,1 равен 4,831
Уравнением реакции в химии называется запись химического процесса с помощью химических формул и математических знаков.
Такая запись является схемой химической реакции. Когда возникает знак «=», то это называется «уравнение». Попробуем его решить .
Пример разбора простых реакций
В кальции один атом, так как коэффициент не стоит. Индекс здесь тоже не написан, значит, единица. С правой стороны уравнения Са тоже один. По кальцию нам не надо работать.
Смотрим следующий элемент - кислород. Индекс 2 говорит о том, что здесь 2 иона кислорода. С правой стороны нет индексов, то есть одна частица кислорода, а с левой – 2 частицы. Что мы делаем? Никаких дополнительных индексов или исправлений в химическую формулу вносить нельзя, так как она написана правильно.
Коэффициенты – это то, что написано перед наименьшей частью. Они имеют право меняться. Для удобства саму формулу не переписываем. С правой части один умножаем на 2, чтобы получить и там 2 иона кислорода.
После того как мы поставили коэффициент, получилось 2 атома кальция. С левой стороны только один. Значит, теперь перед кальцием мы должны поставить 2.
Теперь проверяем итог. Если количество атомов элементов равно с обеих сторон, то можем поставить знак «равно».
Другой наглядный пример: два водорода слева, и после стрелочки у нас тоже два водорода.
- Два кислорода до стрелочки, а после стрелочки индексов нет, значит, один.
- Слева больше, а справа меньше.
- Ставим коэффициент 2 перед водой.
Умножили всю формулу на 2, и теперь у нас изменилось количество водорода. Умножаем индекс на коэффициент, и получается 4. А с левой стороны осталось два атома водорода. И чтобы получить 4, мы должны водород умножить на два.
Вот тот случай, когда элемент в одной и в другой формуле с одной стороны, до стрелочки.
Один ион серы слева, и один ион - справа. Две частицы кислорода, плюс еще две частицы кислорода. Значит, что с левой стороны 4 кислорода. Справа же находится 3 кислорода. То есть с одной стороны получается четное число атомов, а с другой – нечетное. Если же мы умножим нечетное в два раза, то получим четное число. Доводим сначала до четного значения. Для этого умножаем на два всю формулу после стрелочки. После умножения получаем шесть ионов кислорода, да еще и 2 атома серы. Слева же имеем одну микрочастицу серы. Теперь уравняем ее. Ставим слева уравнения перед серой 2.
Уравняли .
Сложные реакции
Этот пример более сложный, так как здесь больше элементов вещества.
Это называется реакцией нейтрализации. Что здесь нужно уравнивать в первую очередь:
- С левой стороны один атом натрия.
- С правой стороны индекс говорит о том, что здесь 2 натрия.
Напрашивается вывод, что надо умножить всю формулу на два.
Теперь смотрим, сколько серы. С левой и правой стороны по одной. Обращаем внимание на кислород. С левой стороны мы имеем 6 атомов кислорода. С другой стороны – 5 . Меньше справа, больше слева. Нечетное количество надо довести до четного значения. Для этого формулу воды умножаем на 2, то есть из одного атома кислорода делаем 2.
Теперь с правой стороны уже 6 атомов кислорода. С левой стороны также 6 атомов. Проверяем водород. Два атома водорода и еще 2 атома водорода. То есть будет четыре атома водорода с левой стороны. И с другой стороны также четыре атома водорода. Все элементы уравнены. Ставим знак «равно».
Следующий пример.
Здесь пример интересен тем, что появились скобки. Они говорят о том, что если множитель стоит за скобкой, то каждый элемент, стоящий в скобках, умножается на него. Начать необходимо с азота, так как его меньше, чем кислорода и водорода. Слева азот один, а справа, с учетом скобок, его два.
Справа два атома водорода, а нужно четыре. Мы выходим из положения, просто умножая воду на два, в результате чего получили четыре водорода. Отлично, водород уравняли. Остался кислород. До реакции присутствует 8 атомов, после – тоже 8.
Отлично, все элементы уравнены, можем ставить «равно».
Последний пример .
На очереди у нас барий. Он уравнен, его трогать не нужно. До реакции присутствует два хлора, после нее – всего один. Что же нужно сделать? Поставить 2 перед хлором после реакции.
Теперь за счет коэффициента, который только что поставлен, после реакции получилось два натрия, и до реакции тоже два. Отлично, все остальное уравнено.
Также уравнивать реакции можно методом электронного баланса. Этот метод имеет ряд правил, по которым его можно осуществлять. Следующим действием мы должны расставить степени окисления всех элементов в каждом веществе для того, чтобы понять где произошло окисление, а где восстановление.
Одним из основных статистических показателей последовательности чисел является коэффициент вариации. Для его нахождения производятся довольно сложные расчеты. Инструменты Microsoft Excel позволяют значительно облегчить их для пользователя.
Этот показатель представляет собой отношение стандартного отклонения к среднему арифметическому. Полученный результат выражается в процентах.
В Экселе не существует отдельно функции для вычисления этого показателя, но имеются формулы для расчета стандартного отклонения и среднего арифметического ряда чисел, а именно они используются для нахождения коэффициента вариации.
Шаг 1: расчет стандартного отклонения
Стандартное отклонение, или, как его называют по-другому, среднеквадратичное отклонение, представляет собой квадратный корень из . Для расчета стандартного отклонения используется функция СТАНДОТКЛОН . Начиная с версии Excel 2010 она разделена, в зависимости от того, по генеральной совокупности происходит вычисление или по выборке, на два отдельных варианта: СТАНДОТКЛОН.Г и СТАНДОТКЛОН.В .
Синтаксис данных функций выглядит соответствующим образом:
СТАНДОТКЛОН(Число1;Число2;…)
= СТАНДОТКЛОН.Г(Число1;Число2;…)
= СТАНДОТКЛОН.В(Число1;Число2;…)
Шаг 2: расчет среднего арифметического
Среднее арифметическое является отношением общей суммы всех значений числового ряда к их количеству. Для расчета этого показателя тоже существует отдельная функция – СРЗНАЧ . Вычислим её значение на конкретном примере.
Шаг 3: нахождение коэффициента вариации
Теперь у нас имеются все необходимые данные для того, чтобы непосредственно рассчитать сам коэффициент вариации.
Таким образом мы произвели вычисление коэффициента вариации, ссылаясь на ячейки, в которых уже были рассчитаны стандартное отклонение и среднее арифметическое. Но можно поступить и несколько по-иному, не рассчитывая отдельно данные значения.
Существует условное разграничение. Считается, что если показатель коэффициента вариации менее 33%, то совокупность чисел однородная. В обратном случае её принято характеризовать, как неоднородную.
Как видим, программа Эксель позволяет значительно упростить расчет такого сложного статистического вычисления, как поиск коэффициента вариации. К сожалению, в приложении пока не существует функции, которая высчитывала бы этот показатель в одно действие, но при помощи операторов СТАНДОТКЛОН и СРЗНАЧ эта задача очень упрощается. Таким образом, в Excel её может выполнить даже человек, который не имеет высокого уровня знаний связанных со статистическими закономерностями.
Всем привет!
Вступив в сообщество ставок на спорт, не нашел никаких статей по теории ставок, хотя сам ставил и знаю, что теоретического материала в беттинге не меньше, чем в покере. Поэтому хочу разместить здесь несколько постов о математических и аналитических основах ставок на спорт. Надеюсь, кому-нибудь пригодится.
Начать хотелось бы с того, чего начинает каждый игрок: с линии букмекера. Первый вопрос, который возник у меня, когда я впервые взял в руки распечатанную линию: Как букмекер определяет всю эту массу коэффициентов?
Букмекерские конторы работают исключительно с целью извлечения прибыли. И, вопреки широко распространенному мнению, прибыль букмекера зависит не от количества проигранных ставок, а от правильно выставленных коэффициентов. Что значит "правильно"? Это значит, что при любом, даже самом неожиданном исходе события, букмекер должен остаться с прибылью.
Рассмотрим, как формируются коэффициенты. Сначала аналитики определяют шансы команд. Делается это многими способами, которые можно поделить на две группы: аналитические и эвристические. Аналитические - это в основном статистика и математика (теория вероятностей), эвристические - это экспертные оценки. Тем или иным образом комбинируя полученные результаты, выводятся вероятности исходов события. Допустим, в результате деятельности аналитиков и экспертов получены следующие вероятности исходов:
Это "чистые шансы", но эти коэффициенты никогда не будут в линии, потому что букмекер в этом случае не получит прибыли. В линии коэффициенты на эти события будут выглядеть примерно так:
То есть из каждой поставленной всеми игроками в сумме сто тысяч рублей, 75 000 было поставлено на победу 1, 15 000 на ничью и 10 000 - на победу 2. Большинство игроков чаще всего ставит на заведомых фаворитов, составляя на основе таких исходов большую часть экпрессов. Что же получит букмекер с каждой вложенной игроками сотни тысяч долларов в случае различных исходов?
Видно, что в случае победы фаворита, которая случается чаще всего, букмекер понесет убытки. Это совершенно недопустимо для бизнеса, и букмекер обязан исключить даже теоретическую возможность возникновения подобной ситуации.
Для этого он должен искусственно занизить коэффициент на фаворита. Букмекер заранее не знает, как в точности распределятся ставки, но знает наверняка, что игроки будут "грузить" на фаворита, поэтому для страховки завышает вероятность победы фаворита.
В реальности ни реальные шансы, ни распределение средств игроками точно рассчитать невозможно, всегда существует некоторая погрешность. Поэтому букмекеры стараются изначально занизить коэффициенты на фаворита, чтобы гарантировать себе прибыль, т.е. определяют шансы команд и добавляют к рассчитанной вероятности победы фаворита 10-20%. А по мере поступления ставок, в зависимости от их реального текущего распределения, варьируют коэффициентами, чтобы прибыль была наибольшей.
Вывод: основной принцип, которым руководствуется букмекер - распределение финансов между двумя или более группами игроков таким образом, чтобы выплачивать выигрыши за счет средств проигравших, оставляя определенный процент себе. Очень часто полученные таким образом коэффициенты не имеют ничего общего с вероятностями тех или иных событий. Поэтому нужно иметь собственную систему оценки спортивных событий.
Спасибо за внимание!
