Мечтаете, что репетитор организует вашу подготовку к экзаменам, даст вам необходимый объём знаний и тем самым обеспечит максимально возможный высокий балл? Эти надежды будут оправданы в полной мере - но только если педагог выбран ответственно и если вы не пассивный «объект обучения», а настоящий соратник преподавателя!

Вот несколько простых советов, следуя которым вы сможете повысить эффективность занятий с репетитором и успешно подготовиться к ЕГЭ.


1. Выбирайте предметы для подготовки заблаговременно.

Определите направление, соответствующее вашим склонностям и способностям, и выберите несколько вузов, уровень которых был бы для вас посильным и интересным. Выясните, какие вступительные испытания предполагаются для избранной вами специальности (эти перечни в разных вузах могут отличаться) и каким был проходной балл прошлого года. Обязательно заранее узнайте, проводятся ли в вузе олимпиады, победа в которых приравнивается к 100 баллам по профильной дисциплине, и настройтесь принять в них участие. Выясните перечень предметов, на которые надо ориентироваться при подготовке, и примерные баллы, достаточные для поступления. Отметьте «олимпиадные» предметы, в которых вы сильны. Теперь вы можете оценить свои претензии и возможности.

Часто абитуриенты не хотят связываться с «лишними» экзаменами и тем самым сужают рамки выбора. Однако бывают ситуации, когда важна не победа, а участие, и наличие свидетельства о результатах ЕГЭ, пусть и невысоких, оказывается очень кстати. И конечно не забывайте, что помимо экзаменов по выбору, соответствующих профилю вашей будущей специальности, есть и два обязательных - по математике и русскому языку. Свидетельство о ЕГЭ по русскому предоставляется в приёмную комиссию любого российского вуза, независимо от его профиля, а про математику выпускник-гуманитарий может забыть сразу после экзамена. Тем не менее, без минимальных знаний в области «царицы наук» даже самому гуманитарному гуманитарию аттестата не видать.


2. Определитесь, насколько вам необходимы занятия с репетитором.

Подумайте, к каким экзаменам вы можете подготовиться самостоятельно, где вам необходима постоянная помощь репетитора и в каких случаях вы могли бы обойтись его отдельными консультациями. Не пренебрегайте тем, что бесплатно предоставляют школы: запишитесь на соответствующие занятия по предметам; если школа зарегистрирована в проекте МИОО по дистанционной подготовке к ЕГЭ, не забывайте тренироваться на интернет-тренажёре и заглядывать в справочники. Если же школа не подключена к системе, узнайте в администрации причину этого. Не игнорируйте своих учителей, даже если видите, что они мало чем могут вам помочь. Поверьте, что даже простая человеческая поддержка со стороны школьных педагогов может очень много значить.

Выбор в пользу занятий с репетитором должен быть осознанным. В сущности, репетитор - это личный тренер по подготовке к ЕГЭ. Он помогает, направляет, вдохновляет, показывает особые приёмы, но стать чемпионом за вас он не сможет. Вы готовы к усердной и плодотворной работе? Отлично.


3. Выбирайте «правильного» репетитора.

Правильно выбранный репетитор - это прежде всего профессионал, способный дать качественные знания именно вам с вашими особенностями - приоритетами и пробелами в знаниях. А в остальном возможны варианты. Тот, кто вам нужен, с равной степенью вероятности может иметь и множество регалий (диплом престижного вуза, научная степень, большой педагогический опыт), и весьма скромное портфолио. Важно, чтобы он смог помочь вам решить поставленную перед собой задачу.

Если у вас серьёзные пробелы в базовых знаниях, если вам необходимо натренироваться в решении простых заданий так, чтобы без стрессов получить аттестат, и если у вас не очень много денег, ищите репетитора среди студентов и школьных педагогов, работающих со старшими классами. Студент-репетитор сам не так давно был выпускником и сдавал экзамены, поэтому он, конечно, сможет объяснить основные приемы работы с КИМами, а учитель разберет с вами именно ваши ошибки в заданиях и объяснит логику решений.

Для глубокого изучения профильного предмета вам нужен репетитор другого типа. Скажем прямо: как и в любой другой профессии, среди репетиторов подавляющее большинство - добротные специалисты среднего уровня. Виртуозов своего дела немного. Но они есть, и их надо искать. (Повторю: возраст и социальный статус являются лишь косвенными показателями мастерства репетитора; и среди школьных учителей, и среди студентов встречаются специалисты, способные дать фору иному преподавателю вуза, занимающемуся подготовкой к ЕГЭ.)

Идеальный квалифицированный репетитор-«профильник» - не надзиратель, который будет гнать вас палками в рай и контролировать выполнение текущих учебных заданий. Это, как правило, деликатный человек с живым умом и живыми эмоциями, за которым вам хочется следовать. Это гид, делающий всё возможное, чтобы вы узнали, прочувствовали и полюбили изучаемую дисциплину. При необходимости к такому преподавателю можно обратиться и с просьбой решить проблему пробелов в непрофильном предмете (возможно, репетитор-виртуоз сумеет вас вдохновить на изучение материала так, что вы задумаетесь о смене профиля вуза), но подобная работа потребует существенных затрат. Возможно, следует ограничиться разовыми консультациями аса, а текущую работу делать самому или в сопровождении «бюджетного» репетитора.

Если репетитор не нравится вам как человек, если вас напрягает общение с ним - ищите другого. В индивидуальной работе должно быть взаимопонимание и контакт. Помните: вы с преподавателем - одна команда.


4. Отнеситесь внимательно к первому занятию.

Первая встреча решает очень многое. Опытный репетитор после короткой беседы может точно определить, кто перед ним находится, интересно ли ему будет работать с вами и т.д. Но и вы также можете составить определенное мнение о том, с кем вам предстоит работать. Обратите внимание на детали: комната для занятий, стол, стул, свет - удобно ли вам находиться здесь, комфортно ли? Озвучил ли репетитор правила обучения? Порекомендовал ли конкретные учебные пособия, а возможно, даже предоставил некоторые из них? Будет ли он задавать домашние задания и если да, то будет ли ставить за них оценки? Как часто будет осуществляться контроль знаний? Сколько занятий в неделю предполагается и какова их продолжительность? Что с каникулами и праздниками: планируются ли перерывы в работе? Возможно ли будет подкорректировать режим занятий, если в школе изменится расписание? (Квалифицированный репетитор никогда не станет поощрять вас нарушать школьную дисциплину.) Обо всём следует договариваться «на этом берегу».

Не стоит уговаривать репетитора на короткую встречу-знакомство. Первое занятие должно проводиться в обычном формате. Только так и вы, и преподаватель сможете понять, захочется ли вам продолжать общение.


5. Помните: репетитор учит - ученик учится.

Обучаясь, вырабатывайте в себе ответственность за усвоение материала. Активно работайте на уроке. Не халтурьте, выполняя домашнее задание. Чтобы знание стало по-настоящему вашим, его нужно пропустить через себя. Постепенно переходите от механического восприятия материала к «уроднённости» с ним. Стремитесь к тому, чтобы знание стало частью вашего мировоззрения.

Помимо собственно подготовки к ЕГЭ, попросите преподавателя проработать с вами основную терминологию курса. Очень часто ученики просто не понимают, что значит то или иное слово в задании, и поэтому затрудняются выполнить само задание. Заведите специальный блокнот для вопросов и записывайте туда всё, что вызывает хотя бы минимальные затруднения. Репетитор не медиум и не всегда способен оценить всю глубину вашего неведения. Не замалчивайте проблемы: если не знаете, что такое логарифм или прямое дополнение, не понимаете, чем причастие отличается от деепричастия или как вычисляется корень из степени, не стесняйтесь сказать об этом прямо. Возможно, вам придется вернуться к самым азам - но это не страшно. Ваша задача - прояснить для себя суть.

Если вы не понимаете объяснений преподавателя, попросите его повторить другими словами. Если совершенно не усваиваете его манеру подачи материала - ищите другого педагога. Вам нужны знания и как можно меньше пробелов в них. Среди репетиторов обязательно есть тот, кто сможет вам помочь.

Помните, что ваше обучение, ваше развитие и ваше поступление - это прежде всего ваша личная задача, и ни один даже самый блестящий репетитор не может заставить вас пить из источника знаний, если вы этого не хотите.

Отправить запрос на бесплатный подбор репетитора:

Методы решения иррациональных уравнений.

Предварительная подготовка к уроку: учащиеся должны уметь решать иррациональные уравнения различными способами.

За три недели до данного занятия учащиеся получают домашнее задание №1: решить различные иррациональные уравнения. (Учащиеся самостоятельно находят по 6 различных иррациональных уравнений и решают их в парах.)

За одну неделю до данного занятия учащиеся получают домашнее задание №2, которое выполняют индивидуально.

1. Решить уравнение различными способами.

2. Оценить достоинства и недостатки каждого способа.

3. Оформить запись выводов в виде таблицы.

№ п/п

Способ

Достоинства

Недостатки

Цели урока:

Образовательная: обобщение знаний учащихся по данной теме, демонстрация различных методов решения иррациональных уравнений, умения учащихся подходить к решению уравнений с исследовательских позиций.

Воспитательная: воспитание самостоятельности, умения выслушивать других и общаться в группах, повышение интереса к предмету.

Развивающая: развитие логического мышления, алгоритмической культуры, навыков самообразования, самоорганизации, работы в парах при выполнении домашнего задания, умений анализировать, сравнивать, обобщать, делать выводы.

Оборудование: компьютер, проектор, экран, таблица «Правила решения иррациональных уравнений», плакат с цитатой М.В. Ломоносова «Математику уже затем учить следует, что она ум в порядок приводит», карточки.

Правила решения иррациональных уравнений.

Тип урока: урок-семинар (работа в группах по 5-6 человек, в каждой группе обязательно есть сильные ученики).

Ход урока

I . Организационный момент

(Сообщение темы и целей урока)

II . Презентация исследовательской работы «Методы решения иррациональных уравнений»

(Работу представляет учащийся, который ее проводил.)

III . Анализ методов решения домашнего задания

(По одному учащемуся от каждой группы записывают на доске предложенные ими способы решения. Каждая группа анализирует один из способов решения, оценивает достоинства и недостатки, делает выводы. Учащиеся групп дополняют, если это необходимо. Оценивается анализ и выводы группы. Ответы должны быть четкими и полными.)

Первый способ: возведение обеих частей уравнения в одну и ту же степень с последующей проверкой.

Решение.

Снова возведем обе части уравнения в квадрат:

Отсюда

Проверка:

1. Если х= 42, то , значит, число 42 не является корнем уравнения.

2. Если х= 2, то , значит, число 2 является корнем уравнения.

Ответ: 2.

№ п/п

Способ

Достоинства

Недостатки

Возведение обеих частей уравнения в одну и ту же степень

1. Понятно.

2. Доступно.

1. Словесная запись.

2. Сложная проверка.

Вывод. При решении иррациональных уравнений методом возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень необходимо вести словесную запись, что делает решение понятным и доступным. Однако обязательная проверка иногда бывает сложной и занимает много времени. Этот метод можно использовать для решения несложных иррациональных уравнений, содержащих 1-2 радикала.

Второй способ: равносильные преобразования.

Решение: Возведем обе части уравнения в квадрат:

Ответ: 2.

№ п/п

Способ

Достоинства

Недостатки

Равносильных преобразований

1. Отсутствие словесного описания.

2. Нет проверки.

3. Четкая логическая запись.

4. Последовательность равносильных переходов.

1. Громоздкая запись.

2. Можно ошибиться при комбинации знаков системы и совокупности.

Вывод. При решении иррациональных уравнений методом равносильных переходов нужно четко знать, когда ставить знак системы, а когда - совокупности. Громоздкость записи, различные комбинации знаков системы и совокупности нередко приводят к ошибкам. Однако последовательность равносильных переходов, четкая логическая запись без словесного описания, не требующая проверки, являются бесспорными достоинствами данного способа.

Третий способ: функционально-графический.

Решение.

Рассмотрим функции и .

1. Функция степенная; является возрастающей, т.к. показатель степени - положительное (не целое) число.

D( f ).

Составим таблицу значений x и f ( x ).

1,5

3,5

f(x)

2. Функция степенная; является убывающей.

Найдем область определения функции D ( g ).

Составим таблицу значений x и g ( x ).

g(x)

Построим данные графики функций в одной системе координат.

Графики функций пересекаются в точке с абсциссой Т.к. функция f ( x ) возрастает, а функция g ( x ) убывает, то решение уравнения будет только одно.

Ответ: 2.

№п/п

Способ

Достоинства

Недостатки

Функционально-графический

1. Наглядность.

2. Не нужно делать сложных алгебраических преобразований и следить за ОДЗ.

3. Позволяет найти количество решений.

1. словесная запись.

2. Не всегда можно найти точный ответ, а если ответ точный, то нужна проверка.

Вывод. Функционально-графический метод является наглядным, позволяет найти количество решений, но применять его лучше тогда, когда легко можно построить графики рассматриваемых функций и получить точный ответ. Если ответ приближенный, то лучше воспользоваться другим методом.

Четвертый способ: введение новой переменной.

Решение. Введем новые переменные, обозначив Получим первое уравнение системы

Составим второе уравнение системы.

Для переменной :

Для переменной

Поэтому

Получим систему двух рациональных уравнений, относительно и

Вернувшись к переменной , получим

Введение новой переменной

Упрощение - получение системы уравнений, не содержащих радикалы

1. Необходимость отслеживать ОДЗ новых переменных

2. Необходимость возврата к исходной переменной

Вывод. Этот метод лучше применять для иррациональных уравнений, содержащих радикалы различных степеней, или одинаковые многочлены под знаком корня и за знаком корня, или взаимообратные выражения под знаком корня.

- Итак, ребята, для каждого иррационального уравнения необходимо выбирать наиболее удобный способ решения: понятный. Доступный, логически и грамотно оформленный. Поднимите руку, кто из вас при решении этого уравнения отдал бы предпочтение:

1) методу возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень с проверкой;

2) методу равносильных преобразований;

3) функционально-графическому методу;

4) методу введения новой переменной.

IV . Практическая часть

(Работа в группах. Каждая группа учащихся получает карточку с уравнением и решает ее в тетрадях. В это время по одному представителю от группы решают пример на доске. Учащиеся каждой группы решают тот же пример, что и член их группы, и следят за правильностью выполнения задания на доске. Если отвечающий у доски допускает ошибки, то тот, кто их замечает, поднимает руку и помогает исправить. В ходе занятия каждый учащийся помимо примера, решаемого его группой, должен записать в тетрадь и другие, предложенные группам, и решить их дома.)

Группа 1.

Группа 2.

Группа 3.

V . Самостоятельная работа

(В группах сначала идет обсуждение, а затем учащиеся приступают к выполнению задания. Правильное решение, подготовленное преподавателем, выводится на экран.)

VI . Подведение итогов урока

Теперь вы знаете, что решение иррациональных уравнений требует от вас хороших теоретических знаний, умения применять их на практике, внимания, трудолюбия, сообразительности.

Домашнее задание

Решить уравнения, предложенные группам в ходе занятия.

Решение иррациональных уравнений.

В этой статье мы поговорим о способах решения простейших иррациональных уравнений.

Иррациональным уравнением называется уравнение, которое содержит неизвестное под знаком корня.

Давайте рассмотрим два вида иррациональных уравнений , которые очень похожи на первый взгляд, но по сути сильно друг от друга отличаются.

(1)

(2)

В первом уравнении мы видим, что неизвестное стоит под знаком корня третьей степени. Мы можем извлекать корень нечетной степени из отрицательного числа, поэтому в этом уравнении нет никаких ограничений ни на выражение, стоящее под знаком корня, ни на выражение, стоящее в правой части уравнения. Мы можем возвести обе части уравнения в третью степень, чтобы избавиться от корня. Получим равносильное уравнение:

При возведении правой и левой части уравнения в нечетную степень мы можем не опасаться получить посторонние корни.

Пример 1 . Решим уравнение

Возведем обе части уравнения в третью степень. Получим равносильное уравнение:

Перенесем все слагаемые в одну сторону и вынесем за скобки х:

Приравняем каждый множитель к нулю, получим:

Ответ: {0;1;2}

Посмотрим внимательно на второе уравнение: . В левой части уравнения стоит квадратный корень, который принимает только неотрицательные значения. Поэтому, чтобы уравнение имело решения, правая часть тоже должна быть неотрицательной. Поэтому на правую часть уравнения накладывается условие:

Title="g(x)>=0"> - это условие существования корней .

Чтобы решить уравнение такого вида, нужно обе части уравнения возвести в квадрат:

(3)

Возведение в квадрат может привести к появлению посторонних корней, поэтому нам надо уравнения:

Title="f(x)>=0"> (4)

Однако, неравенство (4) следует из условия (3): если в правой части равенства стоит квадрат какого-то выражения, а квадрат любого выражения может принимать только неотрицательные значения, следовательно левая часть тоже должна быть неотрицательна. Поэтому условие (4) автоматически следует из условия (3) и наше уравнение равносильно системе:

Title="delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{f(x)=g^2{(x)}} {g(x)>=0} }}{ }">

Пример 2 . Решим уравнение:

.

Перейдем к равносильной системе:

Title="delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{2x^2-7x+5={(1-x)}^2} {1-x>=0} }}{ }">

Решим первое уравнение системы и проверим, какие корни удовлетворяют неравеству.

Неравеству title="1-x>=0">удовлетворяет только корень

Ответ: x=1

Внимание! Если мы в процессе решения возводим обе части уравнения в квадрат, то нужно помнить, что могут появиться посторонние корни. Поэтому либо нужно переходить к равносильной системе, либо в конце решения СДЕЛАТЬ ПРОВЕРКУ: найти корни и подставить их в исходное уравнение.

Пример 3 . Решим уравнение:

Чтобы решить это уравнение, нам также нужно возвести обе части в квадрат. Давайте в этом уравнении не будем заморачиваться с ОДЗ и условием существования корней, а просто в конце решения сделаем проверку.

Воозведем обе части уравнения в квадрат:

Конспект урока

«Методы решения иррациональных уравнений»

11 класс физико-математического профиля.

Зеленодольского муниципального района РТ»

Валиева С.З.

Тема урока: Методы решения иррациональных уравнений

Цель урока: 1.Изучить различные способы решения иррациональных уравнений.


  1. Развивать умение обобщать, правильно отбирать способы решения иррациональных уравнений.

  2. Развивать самостоятельность, воспитывать грамотность речи

Тип урока: семинар.
План урока:


  1. Организационный момент

  2. Изучение нового материала

  3. Закрепление

  4. Домашнее задание

  5. Итог урока

Ход урока
I . Организационный момент: сообщение темы урока, цели урока.

На предыдущем уроке мы рассмотрели решение иррациональных уравнений, содержащих квадратные корни, возведением их в квадрат. При этом мы получаем уравнение-следствие, что приводит иногда к появлению посторонних корней. И тогда обязательной частью решения уравнения является проверка корней. Также рассмотрели решение уравнений, используя определение квадратного корня. В этом случае проверку можно не делать. Однако при решении уравнений не всегда следует сразу приступать к «слепому» применению алгоритмов решения уравнения. В заданиях Единого государственного экзамена имеется довольно много уравнений, при решении которых необходимо выбрать такой способ решения, который позволяет решить уравнения проще, быстрее. Поэтому необходимо знать и другие методы решения иррациональных уравнений, с которыми мы сегодня и познакомимся. Предварительно класс был разделен на 8 творческих групп, и им было дано на конкретных примерах раскрыть суть того или иного метода. Слово даем им.


II. Изучение нового материала.

Из каждой группы 1 ученик объясняет ребятам способ решения иррациональных уравнений. Весь класс слушают и конспектируют их рассказ.

1 способ. Введение новой переменной.

Решить уравнение: (2х + 3) 2 - 3

4х 2 + 12х + 9 - 3

4х 2 - 8х - 51 - 3

, t ≥0

х 2 – 2х – 6 = t 2 ;

4t 2 – 3t – 27 = 0

х 2 – 2х – 15 =0

х 2 – 2х – 6 =9;

Ответ: -3; 5.

2 способ. Исследование ОДЗ.

Решить уравнение

ОДЗ:


х = 2. Проверкой убеждаемся, что х = 2 является корнем уравнения.

3 способ. Умножение обеих частей уравнения на сопряженный множитель.

+
(умножим обе части на -
)

х + 3 – х – 8 = 5(-)


2=4, отсюда х=1. Проверкой убеждаемся, что х = 1 является корнем данного уравнения.


4 способ. Сведение уравнения к системе с помощью введения переменной.

Решить уравнение

Пусть = u,
=v.

Получим систему:

Решим методом подстановки. Получим u = 2, v = 2. Значит,

получим х = 1.

Ответ: х = 1.

5 способ. Выделение полного квадрата.

Решить уравнение

Раскроем модули. Т.к. -1≤сos0,5x≤1, то -4≤сos0,5x-3≤-2, значит, . Аналогично,

Тогда получим уравнение

x = 4πn, nZ.

Ответ: 4πn, nZ.

6 способ. Метод оценки

Решить уравнение

ОДЗ: х 3 - 2х 2 - 4х + 8 ≥ 0, по определению правая часть -х 3 + 2х 2 + 4х - 8 ≥ 0

получим
т.е. х 3 - 2х 2 - 4х + 8 = 0. Решив уравнение разложением на множители, получим х = 2, х = -2

7 способ: Использование свойств монотонности функций.

Решить уравнение . Функции строго возрастают. Сумма возрастающих функций есть возрастающая и данное уравнение имеет не более одного корня. Подбором находим х = 1.

8 способ. Использование векторов.

Решить уравнение . ОДЗ: -1≤х≤3.

Пусть вектор
. Скалярное произведение векторов - есть левая часть. Найдем произведение их длин . Это есть правая часть. Получили
, т.е. векторы а и в – коллинеарны. Отсюда
. Возведем обе части в квадрат. Решив уравнение, получим х = 1 и х =
.


  1. Закрепление. (каждому ученику раздаются листы с заданиями)
Фронтальная устная работа

Найти идею решения уравнений (1-10)

1.
(ОДЗ - )

2.
х = 2

3. х 2 – 3х +
(замена)

4. (выделение полного квадрата)

5.
(Сведение уравнения к системе с помощью введения переменной.)

6.
(умножением на сопряженное выражение)

7.
т.к.
. То данное уравнение не имеет корней.

8. Т.к. каждое слагаемое неотрицательно, приравниваем их к нулю и решаем систему.

9. 3

10. Найдите корень уравнения (или произведение корней, если их несколько) уравнения.

Письменная самостоятельная работа с последующей проверкой

решить уравнения под номерами 11,13,17,19


Решить уравнения:

12. (х + 6) 2 -

14.


  • Метод оценки

  • Использование свойств монотонности функций.

  • Использование векторов.

    1. Какие из этих методов используются при решении уравнений других типов?

    2. Какой из этих методов вам понравился больше всего и почему?

    1. Домашнее задание: Решить оставшиеся уравнения.
    Список литературы:

    1. Алгебра и начала математического анализа: учеб. для 11 кл. общеобразоват. учреждений / С.М.Никольский, М.К.Потапов, Н.Н.Решетников, А.В.Шевкин. М: Прсвещение, 2009

    1. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 11 класса /Б.М. Ивлев, С.М. Саакян, С.И. Шварцбурд. – М.: Просвещение, 2003.

    2. Мордкович А. Г. Алгебра и начала анализа. 10 – 11 кл.: Задачник для общеобразоват. учреждений. – М.: Мнемозина, 2000.

    3. Ершова А. П., Голобородько В. В. Самостоятельные и контрольные работы по алгебре и началам анализа для 10 – 11 классов. – М.: Илекса, 2004

    4. КИМы ЕГЭ 2002 – 2010 г. г
    6. Алгебраический тренажер. А.Г.Мерзляк, В.Б.Полонский, М.С. Якир. Пособие для школьников и абитуриентов. Москва.: «Илекса» 2001г.
    7. Уравнения и неравенства. Нестандартные методы решения. Учебно – методическое пособие. 10 – 11 классы. С.Н.Олейник, М.К. Потапов, П.И.Пасиченко. Москва. «Дрофа». 2001г.

    Иррациональное уравнение — это любое уравнение, содержащее функцию под знаком корня. Например:

    Такие уравнения всегда решаются в 3 шага:

    1. Уединить корень. Другими словами, если слева от знака равенства помимо корня стоят другие числа или функции, все это надо перенести вправо, поменяв знак. Слева при этом должен остаться только радикал — без всяких коэффициентов.
    2. 2. Возводим обе части уравнения в квадрат. При этом помним, что область значений корня — все неотрицательные числа. Следовательно, функция справа иррационального уравнения также должна быть неотрицательна: g (x ) ≥ 0.
    3. Третий шаг логично следует из второго: надо выполнить проверку. Дело в том, что на втором шаге у нас могли появиться лишние корни. И чтобы отсечь их, надо подставить полученные числа-кандидаты в исходное уравнение и проверить: действительно ли получается верное числовое равенство?

    Решение иррационального уравнения

    Разберемся с нашим иррациональным уравнением, данным в самом начале урока. Тут корень уже уединен: слева от знака равенства нет ничего, кроме корня. Возводим обе стороны в квадрат:

    2x 2 − 14x + 13 = (5 − x ) 2
    2x 2 − 14x + 13 = 25 − 10x + x 2
    x 2 − 4x − 12 = 0

    Решаем полученное квадратное уравнение через дискриминант:

    D = b 2 − 4ac = (−4) 2 − 4 · 1 · (−12) = 16 + 48 = 64
    x 1 = 6; x 2 = −2

    Осталось лишь подставить эти числа в исходное уравнение, т.е. выполнить проверку. Но и тут можно поступить грамотно, чтобы упростить итоговое решение.

    Как упростить решение

    Давайте подумаем: зачем вообще мы выполняем проверку в конце решения иррационального уравнения? Мы хотим убедиться, что при подстановке наших корней справа от знака равенства будет стоять неотрицательное число. Ведь мы уже точно знаем, что слева стоит именно неотрицательное число, потому что арифметический квадратный корень (из-за которого наше уравнение и носит название иррационального) по определению не может быть меньше нуля.

    Следовательно, все, что нам надо проверить — это чтобы функция g (x ) = 5 − x , которая стоит справа от знака равенства, была неотрицательной:

    g (x ) ≥ 0

    Подставляем наши корни в эту функцию и получаем:

    g (x 1) = g (6) = 5 − 6 = −1 < 0
    g (x 2) = g (−2) = 5 − (−2) = 5 + 2 = 7 > 0

    Из полученных значений следует, что корень x 1 = 6 нас не устраивает, поскольку при подстановке в правую часть исходного уравнения мы получаем отрицательное число. А вот корень x 2 = −2 нам вполне подходит, потому что:

    1. Этот корень является решением квадратного уравнения, полученного в результате возведения обеих сторон иррационального уравнения в квадрат.
    2. Правая сторона исходного иррационального уравнения при подстановке корня x 2 = −2 обращается в положительное число, т.е. область значений арифметического корня не нарушена.

    Вот и весь алгоритм! Как видите, решать уравнения с радикалами не так уж и сложно. Главное — не забывать проверять полученные корни, иначе очень велика вероятность получить лишние ответы.