Квадратным трехчленом называется многочлен вида ax^2+bx+c, где х – переменная, a, b и с – некоторые числа, причем а не равно нулю.
Собственно, первое что нам нужно знать, чтобы разложить злополучный трехчлен на множители – теорема. Выглядит она следующим образом: “Если х1 и х2 – корни квадратного трехчлена ax^2+bx+c, то ax^2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)”. Конечно, существует и доказательство этой теоремы, но оно требует некоторых теоретических знаний (при вынесении за скобки в многочлене ax^2+bx+c множителя а получаем ax^2+bx+c=a(x^2+(b/a)x + c/a). По теореме Виетта x1+x2=-(b/a), х1*х2=с/а, следовательно b/a=-(x1+x2), с/а=х1*х2. значит, x^2+ (b/a)x+c/a= x^2- (x1+x2)x+ x1x2=x^2-x1x-x2x+x1x2=x(x-x1)-x2(x-x1)= (x-x1)(x-x2). значит, ax^2+bx+c=a(x-x1)(x-x2) . Иногда учителя заставляют учить доказательство, но если оно не востребовано, советую просто запомнить итоговую формулу.

2 шаг

Возьмем как пример трехчлен 3x^2-24x+21. Первое, что нам нужно сделать – приравнять трехчлен к нулю: 3x^2-24x+21=0. Корни полученного квадратного уравнения и будут корнями трехчлена, соответственно.

3 шаг

Решим уравнение 3x^2-24x+21=0. a=3, b=-24, c=21. Итак, решаем. Кто не знает как решать квадратные уравнения, смотрите в мою инструкцию с 2-мя способами их решения на примере этого же уравнения. Получились корни х1=7, х2=1.

4 шаг

Теперь, когда у нас есть корни трехчлена, можно смело подставлять их в формулу =) ax^2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)
получаем:3x^2-24x+21=3(х-7)(х-1)
Можно избавиться от члена а, внеся его в скобки: 3x^2-24x+21=(х-7)(х*3-1*3)
в итоге получаем: 3x^2-24x+21=(х-7)(3х-3). Примечание: каждый из полученных множителей ((х-7), (3х-3) являются многочленами первой степени. Вот и все разложение =) Если сомневаетесь в полученном ответе, всегда можно его проверить, перемножив скобки.

5 шаг

Проверка решения. 3x^2-24x+21=3(х-7)(х-3)
(x-7)(3x-3)=3x^2-3x-21x+21=3x^2-24x+21. Теперь мы точно знаем, что наше решение верно! Надеюсь, моя инструкция кому-нибудь поможет =) Удачи в учебе!

  • В нашем случае в уравнении D >0 и мы получили по 2 корня. Если бы было D<0, то уравнение, как и многочлен, соответственно, корней бы не имело.
  • Если квадратный трехчлен не имеет корней, то его нельзя разложить на множители, являющиеся многочленами первой степени.

Квадратный трехчлен ax 2 +bx+c можно разложить на линейные множители по формуле:

ax 2 +bx+c=a (x-x 1)(x-x 2) , где x 1, x 2 — корни квадратного уравнения ax 2 +bx+c=0.

Разложить квадратный трехчлен на линейные множители:

Пример 1). 2x 2 -7x-15.

Решение. 2x 2 -7x-15=0.

a =2; b =-7; c =-15. Это общий случай для полного квадратного уравнения. Находим дискриминант D .

D=b 2 -4ac=(-7) 2 -4∙2∙(-15)=49+120=169=13 2 >0; 2 действительных корня.

Применим формулу: ax 2 +bx+c=a (x-x 1)(x-x 2).

2x 2 -7x-15=2 (х+1,5)(х-5)=(2х+3)(х-5). Мы представили данный трехчлен 2x 2 -7x-15 2х+3 и х-5.

Ответ: 2x 2 -7x-15=(2х+3)(х-5).

Пример 2). 3x 2 +2x-8 .

Решение. Найдем корни квадратного уравнения:

a =3; b =2; c =-8. Это частный случай для полного квадратного уравнения с четным вторым коэффициентом (b =2). Находим дискриминант D 1 .

Применим формулу: ax 2 +bx+c=a (x-x 1)(x-x 2).

Мы представили трехчлен 3x 2 +2x-8 в виде произведения двучленов х+2 и 3х-4 .

Ответ: 3x 2 +2x-8=(х+2) (3х-4) .

Пример 3) . 5x 2 -3x-2.

Решение. Найдем корни квадратного уравнения:

a =5; b =-3; c =-2. Это частный случай для полного квадратного уравнения с выполненным условием: a+b+c=0 (5-3-2=0). В таких случаях первый корень всегда равен единице, а второй корень равен частному от деления свободного члена на первый коэффициент:

Применим формулу: ax 2 +bx+c=a (x-x 1)(x-x 2).

5x 2 -3x-2=5 (х-1)(х+0,4)=(х-1)(5х+2). Мы представили трехчлен 5x 2 -3x-2 в виде произведения двучленов х-1 и 5х+2.

Ответ: 5x 2 -3x-2=(х-1) (5х+2).

Пример 4). 6x 2 +x-5.

Решение. Найдем корни квадратного уравнения:

a =6; b =1; c =-5. Это частный случай для полного квадратного уравнения с выполненным условием: a-b+c=0 (6-1-5=0). В таких случаях первый корень всегда равен минус единице, а второй корень равен минус частному от деления свободного члена на первый коэффициент:

Применим формулу: ax 2 +bx+c=a (x-x 1)(x-x 2).

Мы представили трехчлен 6x 2 +x-5 в виде произведения двучленов х+1 и 6х-5 .

Ответ: 6x 2 +x-5=(х+1) (6х-5) .

Пример 5). x 2 -13x+12.

Решение. Найдем корни приведенного квадратного уравнения:

x 2 -13x+12=0. Проверим, можно ли применить . Для этого найдем дискриминант и убедимся, что он является полным квадратом целого числа.

a =1; b =-13; c =12. Находим дискриминант D.

D=b 2 -4ac =13 2 -4∙1∙12=169-48=121=11 2 .

Применим теорему Виета: сумма корней должна быть равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней должно быть равно свободному члену:

x 1 +x 2 =13; x 1 ∙x 2 =12. Очевидно, что x 1 =1; x 2 =12.

Применим формулу: ax 2 +bx+c=a (x-x 1)(x-x 2).

x 2 -13x+12=(х-1)(х-12).

Ответ: x 2 -13x+12=(х-1) (х-12) .

Пример 6). x 2 -4x-6.

Решение. Найдем корни приведенного квадратного уравнения:

a =1; b =-4; c =-6. Второй коэффициент — четное число. Находим дискриминант D 1 .

Дискриминант не является полным квадратом целого числа, поэтому, теорема Виета нам не поможет, и мы найдем корни по формулам для четного второго коэффициента:

Применим формулу: ax 2 +bx+c=a (x-x 1)(x-x 2) и запишем ответ.

На данном уроке мы с вами научимся раскладывать квадратные трёхчлены на линейные множители. Для этого необходимо вспомнить теорему Виета и обратную ей. Данное умение поможет нам быстро и удобно раскладывать квадратные трёхчлены на линейные множители, а также упростит сокращение дробей, состоящих из выражений.

Итак вернёмся к квадратному уравнению , где .

То, что стоит у нас в левой части, называется квадратным трёхчленом.

Справедлива теорема: Если - корни квадратного трёхчлена, то справедливо тождество

Где - старший коэффициент, - корни уравнения.

Итак, мы имеем квадратное уравнение - квадратный трёхчлен, где корни квадратного уравнения также называются корнями квадратного трёхчлена. Поэтому если мы имеем корни квадратного трёхчлена, то этот трёхчлен раскладывается на линейные множители.

Доказательство:

Доказательство данного факта выполняется с помощью теоремы Виета, рассмотренной нами в предыдущих уроках.

Давайте вспомним, о чём говорит нам теорема Виета:

Если - корни квадратного трёхчлена, у которого , то .

Из данной теоремы вытекает следующее утверждение, что .

Мы видим, что, по теореме Виета, , т. е., подставив данные значения в формулу выше, мы получаем следующее выражение

что и требовалось доказать.

Вспомним, что мы доказали теорему, что если - корни квадратного трёхчлена, то справедливо разложение .

Теперь давайте вспомним пример квадратного уравнения , к которому с помощью теоремы Виета мы подбирали корни . Из этого факта мы можем получить следующее равенство благодаря доказанной теореме:

Теперь давайте проверим правильность данного факта простым раскрытием скобок:

Видим, что на множители мы разложили верно, и любой трёхчлен, если он имеет корни, может быть разложен по данной теореме на линейные множители по формуле

Однако давайте проверим, для любого ли уравнения возможно такое разложение на множители:

Возьмём, к примеру, уравнение . Для начала проверим знак дискриминанта

А мы помним, что для выполнения выученной нами теоремы D должен быть больше 0, поэтому в данном случае разложение на множители по изученной теореме невозможно.

Поэтому сформулируем новую теорему: если квадратный трёхчлен не имеет корней, то его нельзя разложить на линейные множители.

Итак, мы рассмотрели теорему Виета, возможность разложения квадратного трёхчлена на линейные множители, и теперь решим несколько задач.

Задача №1

В данной группе мы будем по факту решать задачу, обратную к поставленной. У нас было уравнение, и мы находили его корни, раскладывая на множители. Здесь мы будем действовать наоборот. Допустим, у нас есть корни квадратного уравнения

Обратная задача такова: составьте квадратное уравнение, чтобы были его корнями.

Для решения данной задачи существует 2 способа.

Поскольку - корни уравнения, то - это квадратное уравнение, корнями которого являются заданные числа. Теперь раскроем скобки и проверим:

Это был первый способ, по которому мы создали квадратное уравнение с заданными корнями, в котором нет каких-либо других корней, поскольку любое квадратное уравнение имеет не более двух корней.

Данный способ предполагает использование обратной теоремы Виета.

Если - корни уравнения, то они удовлетворяют условию, что .

Для приведённого квадратного уравнения , , т. е. в данном случае , а .

Таким образом, мы создали квадратное уравнение, которое имеет заданные корни.

Задача №2

Необходимо сократить дробь .

Мы имеем трёхчлен в числителе и трёхчлен в знаменателе, причём трёхчлены могут как раскладываться, так и не раскладываться на множители. Если же и числитель, и знаменатель раскладываются на множители, то среди них могут оказаться равные множители, которые можно сократить.

В первую очередь необходимо разложить на множители числитель .

Вначале необходимо проверить, можно ли разложить данное уравнении на множители, найдём дискриминант . Поскольку , то знак зависит от произведения ( должно быть меньше 0), в данном примере , т. е. заданное уравнение имеет корни.

Для решения используем теорему Виета:

В данном случае, поскольку мы имеем дело с корнями, то просто подобрать корни будет довольно сложно. Но мы видим, что коэффициенты уравновешены, т. е. если предположить, что , и подставить это значение в уравнение, то получается следующая система: , т. е. 5-5=0. Таким образом, мы подобрали один из корней данного квадратного уравнения.

Второй корень мы будем искать методом подставления уже известного в систему уравнений, к примеру, , т.е. .

Таким образом, мы нашли оба корня квадратного уравнения и можем подставить их значения в исходное уравнение, чтобы разложить его на множители:

Вспомним изначальную задачу, нам необходимо было сократить дробь .

Попробуем решить поставленную задачу, подставив вместо числителя .

Необходимо не забыть, что при этом знаменатель не может равняться 0, т. е. , .

Если данные условия будут выполняться, то мы сократили исходную дробь до вида .

Задача №3 (задача с параметром)

При каких значениях параметра сумма корней квадратного уравнения

Если корни данного уравнения существуют, то , вопрос: когда .

Разработка открытого урока

по алгебре в 8 классе

по теме: «Квадратный трехчлен. Разложение квадратного трехчлена на множители.»

Учитель математики КГУ СОШ №16 г.Караганды

Бекенова Г.М.

Караганда 2015

"Математику нельзя изучать наблюдая".

Ларри Нивен - профессор математики

Тема урока:

Квадратный трехчлен.

Разложение квадратного трехчлена на множители.

Цели урока:

1. Добиться от всех учащихся класса успешной отработки и применения знаний при разложении квадратного трехчлена на множители.

2. Способствовать: а) развитию самоконтроля и самообучения,

б) умению пользоваться интерактивной доской,

в) развитию математической грамотности, аккуратности.

3. Воспитывать умение грамотно, лаконично выражать свою мысль, толерантно относиться к точке зрения одноклассников, получать удовлетворение от достигнутых результатов.

Тип урока: комбинированный урок с дифференцированным и индивидуальным подходом, с элементами развивающего и опережающего обучения.

Место урока: третий урок по данной теме(основной), на первых двух ученики узнали определение квадратного трехчлена, научились находить его корни, познакомились с алгоритмом разложения квадратного трехчлена на множители, а это в дальнейшем поможет в решении уравнений, сокращении дробей, преобразовании алгебраических выражений.

Структура урока:

1 Актуализация знаний с дифференцированным подходом к учащимся.

2 Контроль- самопроверка ранее усвоенных знаний.

3 Изложение нового материала- частично поисковый метод.

4 Первичное закрепление изученного, индивидуально- дифференцированный подход.

5 Осмысление, обобщение знаний.

6 Постановка домашнего задания методом проблемного обучения.

Оборудование: интерактивная доска, обычная доска, карточки с заданиями, учебник «Алгебра 8», копировальная бумага и чистые листочки, символы физиогностики.

Ход урока

Организационный момент (1 минута).

1. Приветствие учащихся; проверка их готовности к уроку.

2. Сообщение цели урока.

І этап.

“Повторение - мать учения.”

1. Проверка домашнего задания. № 476 (б,г), №474, №475

2. Индивидуальная работа по карточкам (4 человека)(во время проверки домашнего задания)(5 минут)

ІІ этап.

"Доверяй, но проверяй"

Проверочная работа с самоконтролем.

Проверочная работа(через копировальную бумагу) с самопроверкой.

І вариантm ІІ вариан т

1) 2)

2. Разложить на множители квадратный трехчлен:

Ответы

к проверочной работе

"Доверяй, но проверяй."

1. Найти корни квадратного трехчлена:

І вариант ІІ вариа н т

2. Разложить квадратный трехчлен на множители:

1) (X-3) (X+5); 1) (X+9) (X-7)

2) 9X (X-14); 2) 8X(X-16);

3) 4 (X-6) (X+6). 3) 7 (X-3) (X+3).

Несколько ярких ответов отметить.

Вопрос учащимся:

Как вы думаете, где можно применить разложение квадратного трехчлена на множители?

Верно:при решении уравнений,

при сокращении дробей,

в преобразовании алгебраических выражений.

ІІІ этап

” Уменье и труд все перетрут ” (10 минут)

1. Рассмотрим применение разложения квадратного трехчлена на множители при сокращении дробей. Работа учащихся у доски.

Сократить дробь:

2. А теперь рассмотрим применение разложения квадратного трехчлена на множители в преобразованиях алгебраических выражений.

Учебник. Алгебра 8. стр. 126 № 570 (б)

А теперь покажите, как вы применяете разложение квадратного трехчлена на множители.

IV этап

"Куй железо, пока горячо!"

Самостоятельная работа (13 минут)

І вариант ІІ вариант

Сократить дробь:

5. Я понял что…….

6. Теперь я могу…….

7. Я почувствовал что…..

8. Я приобрёл….

9. Я научился…….

10.У меня получилось………

11.Я смог….

12. Я попробую……

13. Меня удивило…..

14. Урок дал мне для жизни….

15. Мне захотелось….

Информация о домашнем задании: на следующий урок принести домашнюю самостоятельную работу, которую получили неделю назад.

Домашняя самостоятельная работа.

І вариант І І вариант

№ 560 (а,в) № 560 (б,г)

№ 564 (а,в) № 564(б,г)

№ 566 (а) № 566 (б)

№ 569 (а) № 569 (б)

№ 571 (а,в) № 571 (б,г)

Урок окончен.