Формулы
ОБЪЕМ ЦИЛИНДРА
ОБЪЕМ КОНУСА
ОБЪЕМ УСЕЧЕННОГО КОНУСА
ОБЪЕМ ШАРА
V=1/3∏H(R2+r2+Rr)
V=4/3 ∙ ∏R 3
Формулы для вычисления объема: шара, шарового сектора, шарового слоя, шарового сектора и площади сферы
- Площадь сферы равна:
S = 4 π R 2 ,
где R – это радиус сферы
- Объем шара равен:
V = 1 ⅓ π R 3 = 4/3 π R 3
где R – это радиус шара
- Объем шарового сегмента равен:
V = π h 2 (R - ⅓ h) ,
где R – это радиус шара, а h – это высота сегмента
- Объем шарового слоя равен:
V = V 1 – V 2 ,
где V 1 – это объем одного шарового сегмента, а V 2 – это объем второго шарового сегмента
- Объем шарового сектора равен:
V = ⅔ π R 2 h ,
где R – это радиус шара, а h – это высота шарового сегмента
Теоретический диктант
Вариант 1
Вписать в текст недостающие по смыслу слова .
- Всякое сечение шара плоскостью есть круг. Центр этого круга есть …………………… перпендикуляра, опущенного из центра шара на секущую плоскость.
2. Центр шара является его ………………….……. симметрии.
3. Осевое сечение шара есть ………………………….
4. Линии пересечения двух сфер есть…………………
5. Плоскости, равноудаленные от центра, пересекают шар по ……………...кругам.
6. Около любой правильной пирамиды можно описать сферу, причем ее центр лежит на ……………….. пирамиды.
основание
центром
круг
окружность
равным
высоте
Теоретический диктант
Вариант 2
плоскостью
окружность
высоте
перпендикулярен
касания
высоте
Карточка №1
Плоскость перпендикулярная диаметру шара, делит его части 3см и 9см. Найдите объем шара?
288 П см³
Карточка №2
Два равных шара расположены так, что центр одного лежит на поверхности другого. Как относится объем общей части шаров к объему целого шара?
5 / 16
Карточка №3
Какую часть объема шара составляет объем шарового сегмента, у которого высота равна 0,1 диаметра шара, равного 20см?
Задача №1
Объем шара радиуса R равен V . Найдите: объем шара радиуса: а) 2 R б) 0,5 R
Задача №2
Чему равен объем шарового сектора, если радиус окружности основания равен 60см, а радиус шара-75см.
БЫСТРО И КРАТКО НАПИШИТЕ ОТВЕТЫ НА ВОПРОСЫ:
- Сколько сфер можно провести:
а) через одну и ту же окружность;
б) через окружность и точку, не принадлежащую её плоскости?
2. Сколько сфер можно провести через четыре точки, являющиеся вершинами:
а) квадрата;
б) равнобедренной трапеции;
3. Верно ли, что через любые две точки сферы проходит один большой круг?
4. Через какие две точки сферы можно провести несколько окружностей большого круга?
5. Как должны быть расположены две равные окружности, чтобы через них могла пройти сфера того же радиуса?
бесконечно
одну
бесконечно
бесконечно
Ни одной
Диаметрально противоположные
Иметь общий центр
Теоретический диктант
Вариант 2
Вписать в текст недостающие по смыслу слова.
- Любая диаметральная плоскость шара является его ………………… симметрии.
2. Осевое сечение сферы есть………………..
3. Центр шара, описанного около правильной пирамиды, лежит на …………………. пирамиды.
4. Радиус сферы, проведенный в точку касания сферы и плоскости ………………...……………………..к касательной плоскости.
5. Касательная плоскость имеет с шаром только одну общую точку …………………….
6. В любую правильную пирамиду можно вписать сферу, причем ее центр лежит на ……………… .…….пирамиды.
плоскостью
окружность
высоте
перпендикулярен
касания
высоте
Ур.52
Уровень1 Вариант 1
1.На расстоянии 12 см от центра шара проведено сечение, радиус которого равен 9см. Найдите объем шара и площадь его поверхности.
2. Сфера радиуса 3см имеет цент в точке О (4;-2;1). Составьте уравнение сферы, в которую перейдет данная сфера при симметрии относительно плоскости ОХУ. Найдите объем шара, ограниченного данной сферой.
Уровень 1 Вариант 2
1.Через точку, лежащую на сфере, проведено сечение радиуса 3см под углом 60° к радиусу сферы, проведенному в данную точку. Найдите площадь сферы и объем шара.
2. Сфера радиуса 3 имеет центр в точке О (-2;5;3). Составьте уравнение сферы, в которую перейдет данная сфера при симметрии относительно плоскости ОХ Z . Найдите площадь данной сферы.
Тестовая самостоятельная работа ур.52
Уровень2 Вариант 1
1.На расстоянии 2√7см от центра шара проведено сечение. Хорда этого сечения, равна 4см, стягивая угол 90°. Найдите объем шара и площадь его поверхности.
2. Сфера с центром в точке О (2;1;-2) проходит через начало координат. Составьте уравнение сферы, в которую перейдет данная сфера при симметрии относительно оси абцисс. Найдите объем шара, ограниченного полученной сферой.
Уровень2 Вариант 2
1.На расстоянии 4см от центра шара проведено сечении. Хорда, удаленная от центра этого сечения на √5см, стягивая угол 120°. Найдите объем шара и площадь его поверхности.
2. Сфера с центром в точке О (-1;-2;2) проходит через начало координат. Составьте уравнение сферы, в которую перейдет данная сфера при симметрии относительно плоскости Z =1. Найдите площадь сферы.
Самостоятельная работа
Вариант 2
- Диаметр шара ½ дм. Вычислите объём шара и площадь сферы.
2. Волейбольный мяч имеет радиус 12 дм. Какой объём воздуха содержится в мяче?
Вариант 1
- Радиус шара ¾ дм. Вычислите объём шара и площадь сферы.
2. Футбольный мяч имеет диаметр 30 дм. Какой объём воздуха содержится в мяче?
Самостоятельная работа
Вариант 1
Вариант 2
- Решить задачи :
- Записать формулы площади сферы, объема шара и его частей.
- Решить задачи :
№ 1. Объем шара равен 36Псм³. Найдите площадь сферы, ограничивающей данный шар.
№ 2. В шаре радиуса 15см проведено сечение, площадь которого равна 81см². Найдите объем меньшего шарового сегмента, отсекаемого плоскостью сечения.
№ 3. Найдите объем шарового сектора, если радиус шара равен 6см, а высота соответствующего сегмента составляет шестую часть диаметра шара.
№ 1. Площадь поверхности шара равна 144П см². Найдите объем данного шара.
№ 2. На расстоянии 9м от центра шара проведено сечение, длина окружности которого равна 24П см. Найдите объем меньшего шарового сегмента, отсекаемого плоскостью сечения.
№ 3. Найдите объем шарового сектора, если радиус шара равен 6см, а высота конуса, образующего сектор, составляет треть диаметра шара.
113,04=4πR³/3 = R³=27, R=3. S=4πR², S=4π3²=36π. Ответ: 3,36π. Дано: шар; S=64π см² Найти: R, V Решение: S=4πR², 64π=4πR², = R=4 V=4πR³/3, V=4π4³/3=256π/3. Ответ: 4,256π/3. 3. Дано: шаровой сегмент, r осн.=60 см, Rшара=75 см. Найти: Vшарового сегмента. Решение: V=πh²(R-⅓h) О ₁ С=√R²-r²=√75²-60²=45 h= ОС-ОС ₁ =75-45=30 V=π·30²·(75-⅓·30)=58500π. Ответ: 58500π. " width="640"
Решение задач с самопроверкой.
Дано: шар; V=113,04 см³,
Найти: R, S.
Решение: V=4πR³/3, = 113,04=4πR³/3 = R³=27, R=3.
S=4πR², S=4π3²=36π.
Ответ: 3,36π.
Дано: шар; S=64π см²
Найти: R, V
Решение: S=4πR², 64π=4πR², = R=4
V=4πR³/3, V=4π4³/3=256π/3.
Ответ: 4,256π/3.
3. Дано: шаровой сегмент, r осн.=60 см, Rшара=75 см.
Найти: Vшарового сегмента.
Решение: V=πh²(R-⅓h) О ₁ С=√R²-r²=√75²-60²=45
h= ОС-ОС ₁ =75-45=30 V=π·30²·(75-⅓·30)=58500π.
Ответ: 58500π.
Рефлексия
Отрази свое настроение смайликом.
Возьмите смайлик соответствующий Вашему настроению на конец урока и, уходя прикрепите его на доске с магнитной основой.
Домашнее задание
- Домашнее задание
- Повторить формулы объемов шара, шарового сегмента, шарового слоя, шарового сектора. №723, №724, №755
Литература и интернет ресурсы
Учебник по геометрии 10-11 класс Атанасян Л.С., 2008 год
Гаврилова Н.Ф. Поурочные разработки по геометрии 11 класс
Урок и презентация на темы: "Арксинус. Таблица арксинусов. Формула y=arcsin(x)"
Дополнительные материалы
Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания! Все материалы проверены антивирусной программой.
Пособия и тренажеры в интернет-магазине "Интеграл" для 10 класса от 1С
Программная среда "1С: Математический конструктор 6.1"
Решаем задачи по геометрии. Интерактивные задания на построение в пространстве
Что будем изучать:
1. Что такое арксинус?
2. Обозначение арксинуса.
3. Немного истории.
4. Определение.
6. Примеры.
Что такое арксинус?
Ребята, мы с вами уже научились решать уравнения для косинуса, давайте теперь научимся решать подобные уравнения и для синуса. Рассмотрим sin(x)= √3/2. Для решения этого уравнения требуется построить прямую y= √3/2 и посмотреть: в каких точках она пересекает числовую окружность. Видно, что прямая пересекает окружность в двух точках F и G. Эти точки и будут решением нашего уравнения. Переобозначим F как x1, а G как x2. Решение этого уравнения мы уже находили и получили: x1= π/3 + 2πk,
а x2= 2π/3 + 2πk.
Решить данное уравнение довольно просто, но как решить, например, уравнение
sin(x)= 5/6. Очевидно, что это уравнение будет иметь также два корня, но какие значения будут соответствовать решению на числовой окружности? Давайте внимательно посмотрим на наше уравнение sin(x)= 5/6.
Решением нашего уравнения будут две точки: F= x1 + 2πk и G= x2 + 2πk,
где x1 – длина дуги AF, x2 – длина дуги AG.
Заметим: x2= π - x1, т.к. AF= AC - FC, но FC= AG, AF= AC - AG= π - x1.
Но, что это за точки?
Столкнувшись с подобной ситуацией, математики придумали новый символ – arcsin(x). Читается, как арксинус.
Тогда решение нашего уравнения запишется так: x1= arcsin(5/6), x2= π -arcsin(5/6).
И решение в общем виде: x= arcsin(5/6) + 2πk и x= π - arcsin(5/6) + 2πk.
Арксинус - это угол (длина дуги AF, AG) синус, которого равен 5/6.
Немного истории арксинуса
_3.jpg)
История происхождения нашего символа совершенно такая же, как и у arccos. Впервые символ arcsin появляется в работах математика Шерфера и известного французского ученого Ж.Л. Лагранжа. Несколько ранее понятие арксинус рассматривал Д. Бернули, правда записывал его другими символами.
Общепринятыми эти символы стали лишь в конце XVIII столетия. Приставка "arc" происходит от латинского "arcus" (лук, дуга). Это вполне согласуется со смыслом понятия: arcsin x - это угол (а можно сказать и дуга), синус которого равен x.
Определение арксинуса
Если |а|≤ 1, то arcsin(a) – это такое число из отрезка [- π/2; π/2], синус которого равен а.
_2.jpg)
Если |а|≤ 1, то уравнение sin(x)= a имеет решение: x= arcsin(a) + 2πk и
x= π - arcsin(a) + 2πk
_3.jpg)
Перепишем:
x= π - arcsin(a) + 2πk = -arcsin(a) + π(1 + 2k).
Ребята, посмотрите внимательно на два наших решения. Как думаете: можно ли их записать общей формулой? Заметим, что если перед арксинусом стоит знак "плюс", то π умножается на четное число 2πk, а если знак "минус", то множитель - нечетный 2k+1.
С учётом этого, запишем общую формула решения для уравнения sin(x)=a:_4.jpg)
Есть три случая, в которых предпочитают записывать решения более простым способом:
sin(x)=0, то x= πk,
sin(x)=1, то x= π/2 + 2πk,
sin(x)=-1, то x= -π/2 + 2πk.
Для любого -1 ≤ а ≤ 1 выполняется равенство: arcsin(-a)=-arcsin(a).
_5.jpg)
Напишем таблицу значений косинуса наоборот и получим таблицу для арксинуса.
Примеры
1. Вычислить: arcsin(√3/2).
Решение: Пусть arcsin(√3/2)= x, тогда sin(x)= √3/2. По определению: - π/2 ≤x≤ π/2. Посмотрим значения синуса в таблице: x= π/3, т.к. sin(π/3)= √3/2 и –π/2 ≤ π/3 ≤ π/2.
Ответ: arcsin(√3/2)= π/3.
2. Вычислить: arcsin(-1/2).
Решение: Пусть arcsin(-1/2)= x, тогда sin(x)= -1/2. По определению: - π/2 ≤x≤ π/2. Посмотрим значения синуса в таблице: x= -π/6, т.к. sin(-π/6)= -1/2 и -π/2 ≤-π/6≤ π/2.
Ответ: arcsin(-1/2)=-π/6.
3. Вычислить: arcsin(0).
Решение: Пусть arcsin(0)= x, тогда sin(x)= 0. По определению: - π/2 ≤x≤ π/2. Посмотрим значения синуса в таблице: значит x= 0, т.к. sin(0)= 0 и - π/2 ≤ 0 ≤ π/2.
Ответ: arcsin(0)=0.
4. Решить уравнение: sin(x) = -√2/2.
x= arcsin(-√2/2) + 2πk и x= π - arcsin(-√2/2) + 2πk.
Посмотрим в таблице значение: arcsin (-√2/2)= -π/4.
Ответ: x= -π/4 + 2πk и x= 5π/4 + 2πk.
5. Решить уравнение: sin(x) = 0.
Решение: Воспользуемся определением, тогда решение запишется в виде:
x= arcsin(0) + 2πk и x= π - arcsin(0) + 2πk. Посмотрим в таблице значение: arcsin(0)= 0.
Ответ: x= 2πk и x= π + 2πk
6. Решить уравнение: sin(x) = 3/5.
Решение: Воспользуемся определением, тогда решение запишется в виде:
x= arcsin(3/5) + 2πk и x= π - arcsin(3/5) + 2πk.
Ответ: x= (-1) n - arcsin(3/5) + πk.
7. Решить неравенство sin(x)
Решение: Синус - это ордината точки числовой окружности. Значит: нам надо найти такие точки, ордината которых меньше 0.7. Нарисуем прямую y=0.7. Она пересекает числовую окружность в двух точках. Неравенству y
Тогда решением неравенства будет: -π – arcsin(0.7) + 2πk
_7.jpg)
Задачи на арксинус для самостоятельного решения
1) Вычислить: а) arcsin(√2/2), б) arcsin(1/2), в) arcsin(1), г) arcsin(-0.8).2) Решить уравнение: а) sin(x) = 1/2, б) sin(x) = 1, в) sin(x) = √3/2, г) sin(x) = 0.25,
д) sin(x) = -1.2.
3) Решить неравенство: а) sin (x)> 0.6, б) sin (x)≤ 1/2.
Арксинус в переводе с латинского означает дуга и синус. Это обратная функция.
Говоря иначе:
Пример-пояснение
:
Найдем arcsin 1/2.
Решение
.
Выражение arcsin 1/2 показывает, что синус угла t равен 1/2 (sin t = 1/2).
точка 1/2, находящася на оси у
, соответствует точке π/6 на числовой окружности.
Значит, arcsin 1/2 = π/6.
Обратите внимание:
если sin π/6 = 1/2, то arcsin 1/2 = π/6.
То есть в первом случае по точке на числовой окружности находим значение синуса, а во втором – наоборот, по значению синуса находим точку на числовой окружности. Движение в обратную сторону. Это и есть арксинус.
Формулы.
(2)
|
√2
Пример 1
: Вычислить arcsin (– --).
2
Решение .
Решая пример, следуем буквально по таблице над нашим примером.
√2
а = – --.
2
√2
Тогда sin t = – --, при этом t входит в отрезок [–π/2; π/2]
2
π
Значит t = – -- (входит в отрезок [–π/2; π/2])
4
√2 π
Ответ
: arcsin (– --) = – -
2 4
Акцентируем ваше внимание: синусом числа –π/4 является -√2/2, а арксинусом -√2/2 является –π/4. Движение в обратном порядке. Cинусом числа является точка на оси координат, а арксинусом – точка на числовой окружности.
√3
Пример 2
: Вычислить arcsin --
2
Решение .
√3
Пусть arcsin -- = t.
2
√3
Тогда sin t = --.
2
Точка t находится в отрезке [–π/2; π/2]. Вычисляем значение t.
√3
Число -- соответствует значению sin π/3, при этом π/3 находится в отрезке [–π/2; π/2].
2
Итог :
√3
arcsin -- = π/3.
2
Что такое арксинус, арккосинус? Что такое арктангенс, арккотангенс?
Внимание!
К этой теме имеются дополнительные
материалы в Особом разделе 555.
Для тех, кто сильно "не очень..."
И для тех, кто "очень даже...")
К понятиям арксинус, арккосинус, арктангенс, арккотангенс учащийся народ относится с опаской. Не понимает он эти термины и, стало быть, не доверяет этой славной семейке.) А зря. Это очень простые понятия. Которые, между прочим, колоссально облегчают жизнь знающему человеку при решении тригонометрических уравнений!
Сомневаетесь насчёт простоты? Напрасно.) Прямо здесь и сейчас вы в этом убедитесь.
Разумеется, для понимания, неплохо бы знать, что такое синус, косинус, тангенс и котангенс. Да их табличные значения для некоторых углов... Хотя бы в самых общих чертах. Тогда и здесь проблем не будет.
Итак, удивляемся, но запоминаем: арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс - это просто какие-то углы. Ни больше ни меньше. Бывает угол, скажем 30°. А бывает угол arcsin0,4. Или arctg(-1,3). Всякие углы бывают.) Просто записать углы можно разными способами. Можно записать угол через градусы или радианы. А можно - через его синус, косинус, тангенс и котангенс...
Что означает выражение
arcsin 0,4 ?
Это угол, синус которого равен 0,4 ! Да-да. Это смысл арксинуса. Специально повторю: arcsin 0,4 - это угол, синус которого равен 0,4.
И всё.
Чтобы эта простая мысль сохранилась в голове надолго, я даже приведу разбивочку этого ужасного термина - арксинус:
arc
sin
0,4
угол,
синус которого
равен 0,4
Как пишется, так и слышится.) Почти. Приставка arc означает дуга (слово арка знаете?), т.к. древние люди вместо углов использовали дуги, но это сути дела не меняет. Запомните эту элементарную расшифровку математического термина! Тем более, для арккосинуса, арктангенса и арккотангенса расшифровка отличается только названием функции.
Что такое arccos 0,8 ?
Это угол, косинус которого равен 0,8.
Что такое arctg(-1,3) ?
Это угол, тангенс которого равен -1,3.
Что такое arcctg 12 ?
Это угол, котангенс которого равен 12.
Такая элементарная расшифровка позволяет, кстати, избежать эпических ляпов.) Например, выражение arccos1,8 выглядит вполне солидно. Начинаем расшифровку: arccos1,8 - это угол, косинус которого равен 1,8... Скока-скока!? 1,8!? Косинус не бывает больше единицы!!!
Верно. Выражение arccos1,8 не имеет смысла. И запись такого выражения в какой-нибудь ответ изрядно повеселит проверяющего.)
Элементарно, как видите.) У каждого угла имеется свой персональный синус и косинус. И почти у каждого - свой тангенс и котангенс. Стало быть, зная тригонометрическую функцию, можно записать и сам угол. Для этого и предназначены арксинусы, арккосинусы, арктангенсы и арккотангенсы. Далее я всю эту семейку буду называть уменьшительно - арки. Чтобы печатать меньше.)
Внимание! Элементарная словесная и осознанная расшифровка арков позволяет спокойно и уверенно решать самые различные задания. А в непривычных заданиях только она и спасает.
А можно переходить от арков к обычным градусам или радианам? - слышу осторожный вопрос.)
Почему - нет!? Легко. И туда можно, и обратно. Более того, это иногда нужно обязательно делать. Арки - штука простая, но без них как-то спокойнее, правда?)
Например: что такое arcsin 0,5?
Вспоминаем расшифровку: arcsin 0,5 - это угол, синус которого равен 0,5. Теперь включаем голову (или гугл)) и вспоминаем, у какого угла синус равен 0,5? Синус равен 0,5 у угла в 30 градусов . Вот и все дела: arcsin 0,5 - это угол 30°. Можно смело записать:
arcsin 0,5 = 30°
Или, более солидно, через радианы:
Всё, можно забыть про арксинус и работать дальше с привычными градусами или радианами.
Если вы осознали, что такое арксинус, арккосинус... Что такое арктангенс, арккотангенс... То легко разберётесь, например, с таким монстром.)
Несведущий человек отшатнётся в ужасе, да...) А сведущий вспомнит расшифровку: арксинус - это угол, синус которого... Ну и так далее. Если сведущий человек знает ещё и таблицу синусов... Таблицу косинусов. Таблицу тангенсов и котангенсов, то проблем вообще нет!
Достаточно сообразить, что:
Расшифрую, т.е. переведу формулу в слова: угол, тангенс которого равен 1 (arctg1) - это угол 45°. Или, что едино, Пи/4. Аналогично:
и всё... Заменяем все арки на значения в радианах, всё посокращается, останется посчитать, сколько будет 1+1. Это будет 2.) Что и является правильным ответом.
Вот таким образом можно (и нужно) переходить от арксинусов, арккосинусов, арктангенсов и арккотангенсов к обычным градусам и радианам. Это здорово упрощает страшные примеры!
Частенько, в подобных примерах, внутри арков стоят отрицательные значения. Типа, arctg(-1,3), или, к примеру, arccos(-0,8)... Это не проблема. Вот вам простые формулы перехода от отрицательных значений к положительным:
Нужно вам, скажем, определить значение выражения:
Это можно и по тригонометрическому кругу решить, но вам не хочется его рисовать. Ну и ладно. Переходим от отрицательного значения внутри арккосинуса к положительному по второй формуле:
Внутри арккосинуса справа уже положительное значение. То, что
вы просто обязаны знать. Остаётся подставить радианы вместо арккосинуса и посчитать ответ:
Вот и всё.
Ограничения на арксинус, арккосинус, арктангенс, арккотангенс.
С примерами 7 - 9 проблема? Ну да, есть там некоторая хитрость.)
Все эти примеры, с 1-го по 9-й, тщательно разобраны по полочкам в Разделе 555. Что, как и почему. Со всеми тайными ловушками и подвохами. Плюс способы резкого упрощения решения. Кстати, в этом разделе много полезной информации и практических советов по тригонометрии в целом. И не только по тригонометрии. Очень помогает.
Если Вам нравится этот сайт...
Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)
Можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся - с интересом!)
можно познакомиться с функциями и производными.
