Всем доброго дня! Зовут меня Иван, и я папа школьника, который не слишком силен в математике. Недавно сыну задали задание – найти объем параллелепипеда и немного покорпев над ним и так и не сумев решить задачку, он обратился ко мне. Школьных знаний в моей памяти осталось немного, а потому пришлось браться за учебники, перечитывать их и потом объяснять изученный материал сыну. Наверняка мой опыт окажется полезным и для других родителей и потому я и написал эту статью, в которой подробно рассказана информация по решению задач на объем этой геометрической фигуры.
Немного теории
Прежде чем я расскажу, как собственно найти объем и площадь параллелепипеда, и по какой формуле, давайте вместе вспомним, что же это за такое. У этой геометрической фигуры имеется три равнозначных трактовки:
- Параллелепипедом считается многогранник с 6-ью гранями, особенность которых заключается в том, что любая – это параллелограмм.
- Под термин попадает и шестигранник с 3-мя парами граней, которые будут параллельны друг дружке.
- Параллелепипедом называется и призма, в основе которой будет параллелограмм.
Чаще всего исчислить объем требуется у параллелепипедов нескольких разных видов. Для каждого случая есть своя формула и свое решение и ниже я подробно объясню, как решать типовые задачи по исчислению объемов разных видов этой геометрической фигуры.
Переходим к практике
Как решить задачу на нахождение объема прямоугольного параллелепипеда? Особенностью этого типа фигуры является то, что каждая ее грань – это прямоугольник. Если хотите понять, как выглядит прямоугольный параллелепипед – посмотрите на самую обычную коробку из-под обуви.
Чтобы решить задачку, сначала ищем значения двух сторон основания фигуры. Стороны имеют перпендикулярное расположение друг к другу и находятся по формуле: П-АхБ, где А – это длина, а Б – это ширина. Далее выясняем еще один ключевой параметр, а именно находим высоту. И затем переходим к вычислению объема, в котором рабочей будет такая формула: V=ПхН, то есть для получения объема нужно площадь основания умножить на высоту. Как найти высоту – тут стоит заглянуть в учебник по геометрии и выписать формулу по нахождению ребра фигуры.
Чтобы найти объем прямого параллелепипеда прямого, разберемся с тем, как выглядит эта конкретная фигура. Ее боковые грани – прямоугольники, перпендикулярные основанию, а потому объем будет вычисляться идентично задаче выше, но только следует учесть, что высотой будет выступать не ребро фигуры, а отрезок, соединяющий грани противоположные друг другу и перпендикулярный основе. Основание здесь параллелограмм и потому формула будет чуть сложней: П=АхБхsin(а). А, Б – это длина и ширина основания, а «а» – это угол, который они будут образовывать, пересекаясь.
Объём параллелепипеда
Разберемся с объемом наклонного типа фигуры. Грани этого типа фигуры не перпендикулярны ее основанию, а потому расчеты следует начать с нахождения высоты. Высоту умножаем на площадь основания и получаем объем, то есть формула у нас выглядит следующим образом: V=ПхН.
Остается узнать, как исчислить объем фигуры, грани которой квадратные. Такую фигуру чаще называют кубом, но в тоже время она является параллелепипедом, каждая грань которого – квадрат. А потому все ее ребра будут равны между собой. Формула вычисления объема будет максимально простой: нужно измерить ребра и результат исчислений возвести в 3-ю степень.
Вот так находится объем такой интересной геометрической фигуры как параллелепипед. Надеюсь, написанная мною короткая шпаргалка станет хорошим подспорьем для школьников и родителей в решении задач по геометрии и ни одну контрольную ваш ученик не напишет на плохую отметку!
Перед тем как мы перейдем к практической части статьи, где будем искать объем параллелепипеда, давайте вспомним, что это за фигура такая, и узнаем, для чего эти расчеты могут нам понадобиться.
Существует три определения, и все они эквивалентны. Так, параллелепипедом является:
1. Многогранник, имеющий шесть граней, каждая из которых представляет собой параллелограмм.
2. Шестигранник, который имеет три пары граней, параллельных меж собой.
3. Призма, в основании которой находится параллелограмм.
Самые, пожалуй, распространенные в нашей реальной жизни типы рассматриваемой геометрической фигуры - это прямоугольный параллелепипед и куб. Кроме того, различают наклонный и прямой параллелепипед.
Прямоугольный параллелепипед: объем
Прямоугольный параллелепипед отличает то, что каждая грань его - это прямоугольник. В качестве бытового примера этой фигуры можно привести обычную коробку (обувную, подарочную, почтовую).
Для начала необходимо найти значения двух сторон основания параллелепипеда, которые расположены друг к другу перпендикулярно (на плоскости бы они назывались ширина и длина).
П = А*Б, где А - длина, Б - ширина.
Теперь делаем еще одно измерение - высоты заданной фигуры, которую назовем Н.
Ну а искомый объем мы узнаем, если умножим высоту на площадь основания, то есть:
Объем параллелепипеда прямого
Параллелепипед прямой отличается тем, что боковые его грани - прямоугольники в силу того, что они перпендикулярны основаниям фигуры.
Объем вычисляется аналогично, разница лишь в том, что высота здесь - не есть ребро параллелепипеда. В данном случае она представляет собой линию, которая соединяет две противолежащие грани фигуры и перпендикулярна ее основанию.
Поскольку основанием вашего параллелепипеда является параллелограмм, а не прямоугольник, то и формула для расчета площади основания несколько усложняется. Теперь она будет выглядеть таким вот образом:
П = А * Б * sin(а), где А, Б - длина и, соответственно, ширина основания, а «а» - угол, который они образуют при своем пересечении.
Как найти объем параллелепипеда наклонного?
Наклонным признается любой параллелепипед, который прямым не является.
В силу того, что грани этой фигуры основанию не перпендикулярны, сначала необходимо отыскать высоту. Помножив же ее на площадь основания (формулу смотрите выше), вы и получите объем:
V = П*Н, где П - площадь основания, Н - высота.
Объем параллелепипеда с квадратными гранями
Куб - это такой прямоугольный параллелепипед, каждая из шести граней которого представляет собой квадрат. Отсюда вытекает и свойство данной фигуры - все ее ребра меж собой равны. В качестве примера представим такую детскую игрушку, как кубики.
Ну, с нахождением объема куба все вообще предельно просто. Для этого вам потребуется произвести всего лишь одно измерение (ребра) и возвести полученное значение в третью степень. Вот так:
V = А³.
Как же объем параллелепипеда может пригодиться нам в жизни?
Допустим, что вы озадачены такой проблемой, как количество коробок, которое может разместиться в багажнике вашего авто. Для этого вам нужно вооружиться линейкой или рулеткой, ручкой, листом бумаги, а также вышеприведенными формулами прямоугольного параллелепипеда.
Измерив объем одной коробки и помножив значение на количество имеющихся у вас коробок, вы узнаете, сколько кубических сантиметров потребуется для их размещения в багажнике машины.
И да, помните, что в некоторых случаях кубические сантиметры целесообразно будет переводить в метры. Так, если в результате вы получили объем коробки, равный 50 см в кубе, то для перевода просто умножьте эту цифру на 0,001. Так вы получите кубические метры. А если же вы хотите узнать объем в литрах, то результат в кубометрах умножьте на 1000.
Инструкция
Метод 2. Допустим, что прямоугольный параллелепипед является кубом. Куб - это прямоугольный параллелепипед, у каждая грань представлена квадратом. Следовательно, все его стороны равны. Тогда для расчеты длины его диагонали будет выражена так:
Источники:
- формула диагонали прямоугольника
Параллелепипед - частный случай призмы, у которой все шесть граней являются параллелограммами или прямоугольниками. Параллелепипед с прямоугольными гранями называют также прямоугольным. У параллелепипеда имеется четыре пересекающиеся диагонали. Если даны три ребра а, b, с, найти все диагонали прямоугольного параллелепипеда можно, выполняя дополнительные построения.
Инструкция
Найдите диагональ параллелепипеда m. Для этого в а, n, m найдите неизвестную гипотенузу: m² = n² + a². Подставьте известные значения, затем вычислите корень квадратный. Полученный результат и будет первой диагональю параллелепипеда m.
Аналогичным образом проведите последовательно все остальные три диагонали параллелепипеда. Также для каждой из них выполните дополнительные построения диагоналей прилегающих граней. Рассматривая образуемые прямоугольные треугольники и применяя теорему Пифагора, найдите значения остальных диагоналей .
Видео по теме
Источники:
- нахождение параллелепипеда
Гипотенуза – это сторона , противолежащая прямому углу. Катеты – стороны треугольника, прилежащие к прямому углу. Применительно к треугольникам АВС и АСD: АВ и ВС, АD и DC– , АС – общая гипотенуза для обоих треугольников (искомая диагональ ). Следовательно, АС = квадрат АВ + квадрат ВС или АС в = квадрат АD + квадрат DС. Подставьте значения длин сторон прямоугольника в вышеприведенную формулу и вычислите длину гипотенузы (диагонали прямоугольника ).
Например, стороны прямоугольника АВСD равны следующим значениям: АВ = 5 см и ВС = 7см. Квадрат диагонали АС данного прямоугольника по теореме Пифагора: АС в квадрате = квадрат АВ + квадрат ВС = 52+72 = 25 + 49 = 74 кв.см. С помощью калькулятора вычислите значение квадратного корня 74. У вас должно получиться 8,6 см (округленное значение). Имейте в виду, что по одному из свойств прямоугольника , его диагонали равны. Значит длина второй диагонали BD прямоугольника АВСD равна длине диагонали АС. Для вышеприведенного примера эта величина
Инструкция
Если школьник пытается рассчитать объем прямоугольника, то уточните: о конкретно фигуре идет речь – или его объемном аналоге, прямоугольном . Узнайте также: что именно требуется найти по условиям задачи – объем, или длину. Кроме того, выясните: какая часть рассматриваемой фигуры имеется ввиду – вся фигура, грань, ребро, вершина, сторона или .
Чтобы вычислить объем прямоугольного , перемножьте между собой его длину, ширину и высоту (). То есть воспользуйтесь формулой:
где: a, b и с – длина, ширина и высота параллелепипеда (соответственно), а V – его объем.
Все длины сторон предварительно приведите к одной единице измерения, тогда и объем параллелепипеда получится в соответствующих «кубических» единицах.
Какова будет емкость бака для воды, имеющего размеры:
длина – 2 метра;
ширина – 1 метр 50 сантиметров;
высота – 200 сантиметров.
1. Приводим длины сторон к метрам: 2; 1,5; 2.
2. Перемножаем полученные числа: 2 * 1,5 * 2 = 6 (кубических ).
Если речь в задаче идет все-таки о прямоугольнике, то наверняка требуется вычислить его площадь. Для этого просто умножьте длину прямоугольника на его ширину. То есть примените формулу:
где:
a и b – длины сторон прямоугольника,
S – площадь прямоугольника.
Используйте эту же формулу, если в задаче грань прямоугольного параллелепипеда – согласно определения, она также имеет форму прямоугольника.
Объем куба составляет 27 м³. Чему равна площадь прямоугольника, образуемого гранью куба?
Наклонным называется параллелепипед, боковые грани которого не перпендикулярны граням основания. В этом случае объем равен произведению площади основания на высоту - V=Sh. Высота наклонного параллелепипеда - перпендикулярный отрезок, опущенный из любой верхней вершины на соответствующую сторону основания грани (то есть высота любой боковой грани).
Кубом называется прямой параллелепипед, у которого все ребра равны, а все шесть граней являются . Объем равен произведению площади основания на высоту - V=Sh. Основание - квадрат, площадь основания которого равна произведению двух его сторон, то есть величина стороны в . Высота куба - та же величина, поэтому в данном случае объемом будет величина ребра куба, возведенная в третью - V=a³.
Обратите внимание
Основания параллелепипеда всегда параллельны друг другу, это следует из определения призмы.
Измерения параллелепипеда - это длины его ребер.
Объем всегда равен произведению площади основания на высоту параллелепипеда.
Объем наклонного параллелепипеда может быть вычислен, как произведение величины бокового ребра на площадь перпендикулярного ему сечения.
Чтобы вычислить объем любого тела, нужно знать его линейные размеры. Это касается таких фигур как призма, пирамида, шар, цилиндр и конус. Для каждой из этих фигур есть своя определения объема.
Вам понадобится
- - линейка;
- - знание свойств объемных фигур;
- - формулы площади многоугольника.
Инструкция
Например, для того, чтобы найти объем , основание которой представляет собой прямоугольный треугольник с катетами 4 и 3 см, а высота 7 см произведите такие расчеты:
вычислите площадь прямоугольного , который является основанием призмы. Для этого перемножьте длины катетов, а результат поделите на 2. Sосн=3∙4/2=6 см²;
умножьте площадь основания на высоту, это и будет объем призмы V=6∙7=42 см³.
Чтобы вычислить объем пирамиды, найдите произведения площади ее основания на высоту, а результат умножьте на 1/3 V=1/3∙Sосн∙H. Высота пирамиды – отрезок, опущенный из ее вершины на плоскость основания. Наиболее часто встречаются так называемые правильные пирамиды, вершина проецируется в центр основания, которое представляет собой правильный .
Например, для того, чтобы найти объем пирамиды, в основе которой лежит правильный шестиугольник со стороной 2 см, высота которой составляет 5 см, проделайте такие действия:
по формуле S=(n/4) a² ctg(180º/n), где n – сторон правильного многоугольника, а – длина одной из сторон, найдите площадь основания. S=(6/4) 2² ctg(180º/6)≈10,4 см²;
рассчитайте объем пирамиды по формуле V=1/3∙Sосн∙H=1/3∙10,4∙5≈17,33 см³.
Объем найдите так же, как призмы, через произведение площади одного из оснований на его высоту V=Sосн∙H. При расчетах учитывайте, что основание цилиндра представляет собой круг, площадь которого равна Sосн=2∙π∙R², где π≈3,14, а R – радиус круга, который является основанием цилиндра.
Объем конуса по аналогии с пирамидой найдите по формуле V=1/3∙Sосн∙H. Основанием конуса является круг, площадь которого найдите так, как это описано для цилиндра.
Видео по теме
Шаром называют простейшую объемную фигуру геометрически правильной формы, все точки пространства внутри границ которой удалены от ее центра на расстояние, не превышающее радиуса. Поверхность, образуемая множеством максимально удаленных от центра точек, называется сферой. Для количественного выражения меры пространства, заключенного внутри сферы, предназначен параметр, который называется объемом шара.
Инструкция
Если требуется измерить объем шара не теоретически, а только подручными средствами, то сделать это можно, например, определив объем вытесненной им воды. Этот способ применим в том случае, когда есть возможность поместить шар в какую-либо соразмерную ему емкость - мензурку, стакан, банку, ведро, бочку, бассейн и т.д. В этом случае перед помещением шара отметьте уровень воды, сделайте это повторно после полного его погружения, а затем найдите разность между отметками. Обычно мерная емкость заводского производства имеет деления, показывающие объем в литрах и производных от него единицах - , и т.д. Если полученное значение надо в и кратные ему единицы объема, то исходите из того, что один литр соответствует одному кубическому дециметру или одной тысячной доле кубометра.
Если известен , из которого изготовлен шар, и плотность этого материала можно узнать, например, из справочника, то определить объем можно взвесив этот предмет. Просто разделите результат взвешивания на справочную плотность изготовления: V=m/p.
Если радиус шара известен из условий задачи или его можно измерить, то для вычисления объема можно использовать соответствующую математическую формулу. Умножьте учетверенное число Пи на третью степень радиуса, а полученный результат разделите на тройку: V=4*π*r³/3. Например, при радиусе в 40см объем шара составит 4*3,14*40³/3 = 267946,67см³ ≈ 0,268м³.
Измерить диаметр чаще проще, чем радиус. В этом случае нет необходимости делить его пополам для использования с формулой из предыдущего шага - лучше саму формулу. В соответствии с преобразованной формулой умножьте число Пи на диаметр в третьей степени, а результат разделите на шестерку: V=π*d³/6. Например, в 50см должен иметь объем в 3,14*50³/6 = 65416,67см³ ≈ 0,654м³.
В силу некоторых обстоятельств может возникнуть необходимость из листа прямоугольной формы сделать квадрат , например, во время изготовления многих поделок из бумаги в технике оригами. Но далеко не всегда под рукой есть карандаш и линейка. Однако существуют способы, благодаря которым можно получить квадрат , не имея ничего, кроме смекалки.
Вам понадобится
- - прямоугольник;
- - линейка;
- - карандаш;
- - ножницы.
Инструкция
Прямоугольник – это геометрическая фигура, у которой все четыре угла прямые, а пары сторон параллельны друг другу. Противоположные стороны прямоугольника по длине между собой , а между парами - разные. Квадрат отличается от предыдущей фигуры только тем, что у него все четыре стороны одинаковы.
Для того чтобы квадрат из прямоугольника , можно воспользоваться и карандашом. Например, стороны прямоугольника равны 30 см (длина) и 20 см (ширина). Тогда квадрат будет иметь стороны с меньшим значением, то есть 20 см. Отмерьте на верхней длинной стороне прямоугольника 20 см. Выполните то же действие, но только с нижней стороной. Соедините полученные точки с помощью линейки. В случае надобности отрежьте излишек, в результате чего получится квадрат со сторонами 20 см.
Сделать квадрат из прямоугольника можно даже в том случае, если отсутствуют чертежные принадлежности. Положите перед собой и согните один из его прямых углов (это может быть любой угол) строго пополам. Если поставить полученную фигуру на длинную сторону, то будет прямоугольная трапеция, визуально состоящая из треугольника и другого прямоугольника . Загните полученный прямоугольник на треугольник ( будет двойным за счет сложенной ), загладьте пальцами и отрежьте или аккуратно его оторвите. Разверните бумагу, которая и будет собой представлять квадрат . Из маленького оставшегося прямоугольника можно снова получить квадрат , только меньшего размера. Способы допустимо использовать те же самые.
Прямоугольник - одна из самых простых плоских фигур, а прямоугольный параллелепипед - такая же простая фигура, но в пространстве (рис. 1). Они очень похожи.
Так же похожи, как круг и шар.
Рис. 1. Прямоугольник и параллелепипед
Разговор про площади начинают с площади прямоугольника, а про объемы - с объема прямоугольного параллелепипеда.
Если мы умеем находить площадь прямоугольника, то это нам позволяет найти площадь любой фигуры.
Вот эту фигуру мы можем разбить на 3 прямоугольника и найти площадь каждого, а значит, и всей фигуры. (Рис. 2.)
Рис. 2. Фигура
Рис. 3. Фигура, площадь которой равна семи прямоугольникам
Даже если фигура не разбивается точно на прямоугольники, это можно сделать с любой точностью и площадь посчитать приблизительно.
Площадь этой фигуры (рис. 3) примерно равна сумме площадей семи прямоугольников. Неточность получается за счет верхних маленьких фигур. Если увеличить число прямоугольников, то неточность уменьшится.
То есть прямоугольник - это инструмент для вычисления площадей любых фигур.
Такая же ситуация, когда речь идет об объемах.
Любую фигуру можно выложить прямоугольными параллелепипедами, кирпичиками. Чем мельче будут эти кирпичики, тем точнее мы сможем посчитать объем (рис. 4, рис.5).
Рис. 4. Вычисление площади с помощью прямоугольных параллелепипедов
Прямоугольный параллелепипед является инструментом для вычисления объемов любых фигур.
Рис. 5. Вычисление площади с помощью маленьких параллелепипедов
Давайте немного вспомним.
Квадрат со стороной 1 единица (рис. 6) имеет площадь в 1 квадратную единицу. Исходная линейная единица может быть любой: сантиметр, метр, километр, миля.
Например, 1 см 2 - это площадь квадрата со стороной 1 см.
Рис. 6. Квадрат и прямоугольник
Площадь прямоугольника - это количество таких квадратов, которые в него поместятся. (Рис. 6.)
Уложим единичные квадраты в длину прямоугольника в один ряд. Получилось 5 штук.
В высоту помещается 3 квадрата. Значит, всего помещается три ряда, в каждом по пять квадратов.
Итого площадь равна .
Понятно, что нет нужды каждый раз внутри прямоугольника размещать единичные квадраты.
Достаточно умножить длину одной стороны на длину другой.
Или в общем виде:
Очень похоже обстоят дела с объемом прямоугольного параллелепипеда.
Объем куба со стороной 1 единица - это 1 кубическая единица. Опять же, исходные линейные величины могут быть любыми: миллиметры, сантиметры, дюймы.
Например, 1 см 3 - это объем куба со стороной 1 см, а 1 км 3 - это объем куба со стороной 1 км.
Найдем объем прямоугольного параллелепипеда со сторонами 7 см, 5 см, 4 см. (Рис. 7.)
Рис. 7. Прямоугольный параллелепипед
Объем нашего прямоугольного параллелепипеда - это количество единичных кубов, помещающихся в него.
Уложим на дно ряд единичных кубиков со стороной 1 см вдоль длинной стороны. Поместилось 7 штук. Уже по опыту работы с прямоугольником мы знаем, что на дно поместится всего 5 таких рядов, по 7 штук в каждом. То есть всего:
Назовем это слой. Сколько таких слоев мы можем уложить друг на друга?
Это зависит от высоты. Она равна 4 см. Значит, укладывается 4 слоя в каждом по 35 штук. Всего:
А откуда у нас появилось число 35? Это 75. То есть количество кубиков мы получили перемножением длин всех трех сторон.
Но это и есть объем нашего прямоугольного параллелепипеда.
Ответ: 140
Теперь мы можем записать формулу и в общем виде. (Рис. 8.)
Рис. 8. Объем параллелепипеда
Объем прямоугольного параллелепипеда со сторонами , , равен произведению всех трех сторон.
Если длины сторон даны в сантиметрах, то объем получится в кубических сантиметрах (см 3).
Если в метрах, то объем в кубических метрах (м 3).
Аналогично объем может быть измерен в кубических миллиметрах, километрах и т. д.
Стеклянный куб со стороной 1 м наполнен водой целиком. Какова масса воды? (Рис. 9.)
Рис. 9. Куб
Куб является единичным. Сторона - 1 м. Объем - 1 м 3 .
Если мы знаем, сколько весит 1 кубический метр воды (сокращенно говорят кубометр), то задача решена.
Но если мы этого не знаем, то нетрудно посчитать.
Длина стороны .
Посчитаем объем в дм 3 .
Но 1 дм 3 имеет отдельное название, 1 литр. То есть у нас 1000 литров воды.
Нам всем известно, что масса одного литра воды равна 1 кг. То есть у нас 1000 кг воды, или 1 тонна.
Понятно, что такой куб, наполненный водой, не под силу передвинуть ни одному обычному человеку.
Ответ: 1 т.
Рис. 10. Холодильник
Холодильник имеет высоту 2 метра, ширину 60 см и глубину 50 см. Найти его объем.
Прежде чем мы воспользуемся формулой объема - произведение длин всех сторон - необходимо перевести длины в одинаковые единицы измерения.
Мы можем перевести все в сантиметры.
Соответственно, и объем мы получим в кубических сантиметрах.
Думаю, вы согласитесь, что в кубических метрах объем более понятен.
Человек на глаз плохо отличает число с пятью нулями от числа с шестью нулями, а ведь одно в 10 раз больше, чем другое.
Часто нам нужно перевести одну единицу объема в другую. Например, кубометры в кубические дециметры. Тяжело запомнить все эти соотношения. Но этого и не нужно делать. Достаточно понять общий принцип.
Например, сколько кубических сантиметров в кубическом метре?
Давайте посмотрим, сколько кубиков со стороной 1 сантиметр поместится в куб со стороной 1 м. (Рис. 11.)
Рис. 11. Куб
В один ряд укладывается 100 штук (ведь в одном метре 100 см).
В один слой укладывается 100 рядов или кубиков.
Всего помещается 100 слоев.
Таким образом,
То есть если линейные величины связаны соотношением «в одном метре 100 см», то чтобы получить соотношение для кубических величин, нужно возвести 100 в 3 степень (). И не нужно каждый раз чертить кубы.
