Тесты "координаты на плоскости". Построение точки по заданным координатам

Но многие натуральные числа делятся нацело ещё и на другие натуральные числа.

Например :

Число 12 делится на 1, на 2, на 3, на 4, на 6, на 12;

Число 36 делится на 1, на 2, на 3, на 4, на 6, на 12, на 18, на 36.

Числа, на которые число делится нацело (для 12 это 1, 2, 3, 4, 6 и 12) называются делителями числа . Делитель натурального числа a - это такое натуральное число, которое делит данное число a без остатка. Натуральное число, которое имеет более двух делителей, называется составным .

Обратите внимание, что числа 12 и 36 имеют общие делители. Это числа: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Наибольший из делителей этих чисел - 12. Общий делитель двух данных чисел a и b - это число, на которое делятся без остатка оба данных числа a и b .

Общим кратным нескольких чисел называется число, которое делится на каждое из этих чисел. Например , числа 9, 18 и 45 имеют общее кратное 180. Но 90 и 360 - тоже их общие кратные. Среди всех jбщих кратных всегда есть наименьшее, в данном случае это 90. Это число называется наименьшим общим кратным (НОК) .

НОК всегда натуральное число, которое должно быть больше самого большого из чисел, для которых оно определяется.

Наименьшее общее кратное (НОК). Свойства.

Коммутативность:

Ассоциативность:

В частности, если и — взаимно-простые числа , то:

Наименьшее общее кратное двух целых чисел m и n является делителем всех других общих кратных m и n . Более того, множество общих кратных m, n совпадает с множеством кратных для НОК(m, n ).

Асимптотики для могут быть выражены через некоторые теоретико-числовые функции.

Так, функция Чебышёва . А также:

Это следует из определения и свойств функции Ландау g(n) .

Что следует из закона распределения простых чисел.

Нахождение наименьшего общего кратного (НОК).

НОК(a, b ) можно вычислить несколькими способами:

1. Если известен наибольший общий делитель , можно использовать его связь с НОК:

2. Пусть известно каноническое разложение обоих чисел на простые множители:

где p 1 ,...,p k — различные простые числа, а d 1 ,...,d k и e 1 ,...,e k — неотрицательные целые числа (они могут быть нулями, если соответствующее простое отсутствует в разложении).

Тогда НОК (a ,b ) вычисляется по формуле:

Другими словами, разложение НОК содержит все простые множители , входящие хотя бы в одно из разложений чисел a, b , причём из двух показателей степени этого множителя берётся наибольший.

Пример :

Вычисление наименьшего общего кратного нескольких чисел может быть сведено к нескольким последовательным вычислениям НОК от двух чисел:

Правило. Чтобы найти НОК ряда чисел, нужно:

— разложить числа на простые множители;

— перенести во множители искомого произведения самое большое разложение (произведение множителей самого большого числа из заданных), а потом добавить множители из разложения других чисел, которые не встречаются в первом числе или стоят в нем меньшее число раз;

— полученное произведение простых множителей будет НОК заданных чисел.

Любые два и более натуральных чисел имеют свое НОК. Если числа не кратны друг другу или не имеют одинаковых множителей в разложении, то их НОК равно произведению этих чисел.

Простые множители числа 28 (2, 2, 7) дополнили множителем 3 (числа 21), полученное произведение (84) будет наименьшим числом, которое делится на 21 и 28 .

Простые множители наибольшего числа 30 дополнили множителем 5 числа 25, полученное произведение 150 больше самого большого числа 30 и делится на все заданные числа без остатка. Это наименьшее произведение из возможных (150, 250, 300...), которому кратны все заданные числа.

Числа 2,3,11,37 — простые, поэтому их НОК равно произведению заданных чисел.

Правило . Чтобы вычислить НОК простых чисел, нужно все эти числа перемножить между собой.

Еще один вариант:

Чтобы найти наименьшее общее кратное (НОК) нескольких чисел нужно:

1) представить каждое число как произведение его простых множителей, например:

504 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 7 ,

2) записать степени всех простых множителей:

504 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 7 = 2 3 · 3 2 · 7 1 ,

3) выписать все простые делители (множители) каждого из этих чисел;

4) выбрать наибольшую степень каждого из них, встретившуюся во всех разложениях этих чисел;

5) перемножить эти степени.

Пример . Найти НОК чисел: 168, 180 и 3024.

Решение . 168 = 2 · 2 · 2 · 3 · 7 = 2 3 · 3 1 · 7 1 ,

180 = 2 · 2 · 3 · 3 · 5 = 2 2 · 3 2 · 5 1 ,

3024 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 3 · 7 = 2 4 · 3 3 · 7 1 .

Выписываем наибольшие степени всех простых делителей и перемножаем их:

НОК = 2 4 · 3 3 · 5 1 · 7 1 = 15120.

Представленный ниже материал является логическим продолжением теории из статьи под заголовком НОК - наименьшее общее кратное, определение, примеры, связь между НОК и НОД . Здесь мы поговорим про нахождение наименьшего общего кратного (НОК) , и особое внимание уделим решению примеров. Сначала покажем, как вычисляется НОК двух чисел через НОД этих чисел. Дальше рассмотрим нахождение наименьшего общего кратного с помощью разложения чисел на простые множители. После этого остановимся на нахождении НОК трех и большего количества чисел, а также уделим внимание вычислению НОК отрицательных чисел.

Навигация по странице.

Вычисление наименьшего общего кратного (НОК) через НОД

Один из способов нахождения наименьшего общего кратного основан на связи между НОК и НОД . Существующая связь между НОК и НОД позволяет вычислять наименьшее общее кратное двух целых положительных чисел через известный наибольший общий делитель. Соответствующая формула имеет вид НОК(a, b)=a·b:НОД(a, b) . Рассмотрим примеры нахождения НОК по приведенной формуле.

Пример.

Найдите наименьшее общее кратное двух чисел 126 и 70 .

Решение.

В этом примере a=126 , b=70 . Воспользуемся связью НОК с НОД, выражающуюся формулой НОК(a, b)=a·b:НОД(a, b) . То есть, сначала нам предстоит найти наибольший общий делитель чисел 70 и 126 , после чего мы сможем вычислить НОК этих чисел по записанной формуле.

Найдем НОД(126, 70) , используя алгоритм Евклида: 126=70·1+56 , 70=56·1+14 , 56=14·4 , следовательно, НОД(126, 70)=14 .

Теперь находим требуемое наименьшее общее кратное: НОК(126, 70)=126·70:НОД(126, 70)= 126·70:14=630 .

Ответ:

НОК(126, 70)=630 .

Пример.

Чему равно НОК(68, 34) ?

Решение.

Так как 68 делится нацело на 34 , то НОД(68, 34)=34 . Теперь вычисляем наименьшее общее кратное: НОК(68, 34)=68·34:НОД(68, 34)= 68·34:34=68 .

Ответ:

НОК(68, 34)=68 .

Заметим, что предыдущий пример подходит под следующее правило нахождения НОК для целых положительные чисел a и b : если число a делится на b , то наименьшее общее кратное этих чисел равно a .

Нахождение НОК с помощью разложения чисел на простые множители

Другой способ нахождения наименьшего общего кратного базируется на разложении чисел на простые множители . Если составить произведение из всех простых множителей данных чисел, после чего из этого произведения исключить все общие простые множители, присутствующие в разложениях данных чисел, то полученное произведение будет равно наименьшему общему кратному данных чисел .

Озвученное правило нахождения НОК следует из равенства НОК(a, b)=a·b:НОД(a, b) . Действительно, произведение чисел a и b равно произведению всех множителей, участвующих в разложениях чисел a и b . В свою очередь НОД(a, b) равен произведению всех простых множителей, одновременно присутствующих в разложениях чисел a и b (о чем написано в разделе нахождение НОД с помощью разложения чисел на простые множители).

Приведем пример. Пусть мы знаем, что 75=3·5·5 и 210=2·3·5·7 . Составим произведение из всех множителей данных разложений: 2·3·3·5·5·5·7 . Теперь из этого произведения исключим все множители, присутствующие и в разложении числа 75 и в разложении числа 210 (такими множителями являются 3 и 5 ), тогда произведение примет вид 2·3·5·5·7 . Значение этого произведения равно наименьшему общему кратному чисел 75 и 210 , то есть, НОК(75, 210)= 2·3·5·5·7=1 050 .

Пример.

Разложив числа 441 и 700 на простые множители, найдите наименьшее общее кратное этих чисел.

Решение.

Разложим числа 441 и 700 на простые множители:

Получаем 441=3·3·7·7 и 700=2·2·5·5·7 .

Теперь составим произведение из всех множителей, участвующих в разложениях данных чисел: 2·2·3·3·5·5·7·7·7 . Исключим из этого произведения все множители, одновременно присутствующие в обоих разложениях (такой множитель только один – это число 7 ): 2·2·3·3·5·5·7·7 . Таким образом, НОК(441, 700)=2·2·3·3·5·5·7·7=44 100 .

Ответ:

НОК(441, 700)= 44 100 .

Правило нахождения НОК с использованием разложения чисел на простые множители можно сформулировать немного иначе. Если ко множителям из разложения числа a добавить недостающие множители из разложения числа b , то значение полученного произведения будет равно наименьшему общему кратному чисел a и b .

Для примера возьмем все те же числа 75 и 210 , их разложения на простые множители таковы: 75=3·5·5 и 210=2·3·5·7 . Ко множителям 3 , 5 и 5 из разложения числа 75 добавляем недостающие множители 2 и 7 из разложения числа 210 , получаем произведение 2·3·5·5·7 , значение которого равно НОК(75, 210) .

Пример.

Найдите наименьшее общее кратное чисел 84 и 648 .

Решение.

Получаем сначала разложения чисел 84 и 648 на простые множители. Они имеют вид 84=2·2·3·7 и 648=2·2·2·3·3·3·3 . К множителям 2 , 2 , 3 и 7 из разложения числа 84 добавляем недостающие множители 2 , 3 , 3 и 3 из разложения числа 648 , получаем произведение 2·2·2·3·3·3·3·7 , которое равно 4 536 . Таким образом, искомое наименьшее общее кратное чисел 84 и 648 равно 4 536 .

Ответ:

НОК(84, 648)=4 536 .

Нахождение НОК трех и большего количества чисел

Наименьшее общее кратное трех и большего количества чисел может быть найдено через последовательное нахождение НОК двух чисел. Напомним соответствующую теорему, дающую способ нахождения НОК трех и большего количества чисел.

Теорема.

Пусть даны целые положительные числа a 1 , a 2 , …, a k , наименьшее общее кратное m k этих чисел находится при последовательном вычислении m 2 =НОК(a 1 , a 2) , m 3 =НОК(m 2 , a 3) , …, m k =НОК(m k−1 , a k) .

Рассмотрим применение этой теоремы на примере нахождения наименьшего общего кратного четырех чисел.

Пример.

Найдите НОК четырех чисел 140 , 9 , 54 и 250 .

Решение.

В этом примере a 1 =140 , a 2 =9 , a 3 =54 , a 4 =250 .

Сначала находим m 2 =НОК(a 1 , a 2)=НОК(140, 9) . Для этого по алгоритму Евклида определяем НОД(140, 9) , имеем 140=9·15+5 , 9=5·1+4 , 5=4·1+1 , 4=1·4 , следовательно, НОД(140, 9)=1 , откуда НОК(140, 9)=140·9:НОД(140, 9)= 140·9:1=1 260 . То есть, m 2 =1 260 .

Теперь находим m 3 =НОК(m 2 , a 3)=НОК(1 260, 54) . Вычислим его через НОД(1 260, 54) , который также определим по алгоритму Евклида: 1 260=54·23+18 , 54=18·3 . Тогда НОД(1 260, 54)=18 , откуда НОК(1 260, 54)= 1 260·54:НОД(1 260, 54)= 1 260·54:18=3 780 . То есть, m 3 =3 780 .

Осталось найти m 4 =НОК(m 3 , a 4)=НОК(3 780, 250) . Для этого находим НОД(3 780, 250) по алгоритму Евклида: 3 780=250·15+30 , 250=30·8+10 , 30=10·3 . Следовательно, НОД(3 780, 250)=10 , откуда НОК(3 780, 250)= 3 780·250:НОД(3 780, 250)= 3 780·250:10=94 500 . То есть, m 4 =94 500 .

Таким образом, наименьшее общее кратное исходных четырех чисел равно 94 500 .

Ответ:

НОК(140, 9, 54, 250)=94 500 .

Во многих случаях наименьшее общее кратное трех и большего количества чисел удобно находить с использованием разложений данных чисел на простые множители. При этом следует придерживаться следующего правила. Наименьшее общее кратное нескольких чисел равно произведению, которое составляется так: ко всем множителям из разложения первого числа добавляются недостающие множители из разложения второго числа, к полученным множителям добавляются недостающие множители из разложения третьего числа и так далее .

Рассмотрим пример нахождения наименьшего общего кратного с использованием разложения чисел на простые множители.

Пример.

Найдите наименьшее общее кратное пяти чисел 84 , 6 , 48 , 7 , 143 .

Решение.

Сначала получаем разложения данных чисел на простые множители: 84=2·2·3·7 , 6=2·3 , 48=2·2·2·2·3 , 7 (7 – простое число , оно совпадает со своим разложением на простые множители) и 143=11·13 .

Для нахождения НОК данных чисел к множителям первого числа 84 (ими являются 2 , 2 , 3 и 7 ) нужно добавить недостающие множители из разложения второго числа 6 . Разложение числа 6 не содержит недостающих множителей, так как и 2 и 3 уже присутствуют в разложении первого числа 84 . Дальше к множителям 2 , 2 , 3 и 7 добавляем недостающие множители 2 и 2 из разложения третьего числа 48 , получаем набор множителей 2 , 2 , 2 , 2 , 3 и 7 . К этому набору на следующем шаге не придется добавлять множителей, так как 7 уже содержится в нем. Наконец, к множителям 2 , 2 , 2 , 2 , 3 и 7 добавляем недостающие множители 11 и 13 из разложения числа 143 . Получаем произведение 2·2·2·2·3·7·11·13 , которое равно 48 048 .

Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное - ключевые арифметические понятия, которые позволяют без усилий оперировать обыкновенными дробями. НОК и чаще всего используются для поиска общего знаменателя нескольких дробей.

Основные понятия

Делитель целого числа X - это другое целое число Y, на которое X разделяется без остатка. К примеру, делитель 4 - это 2, а 36 - 4, 6, 9. Кратное целого X - это такое число Y, которое делится на X без остатка. К примеру, 3 кратно 15, а 6 - 12.

Для любой пары чисел мы можем найти их общие делители и кратные. К примеру, для 6 и 9 общим кратным является 18, а общим делителем - 3. Очевидно, что делителей и кратных у пар может быть несколько, поэтому при расчетах используется наибольший делитель НОД и наименьшее кратное НОК.

Наименьший делитель не имеет смысла, так как для любого числа это всегда единица. Наибольшее кратное также бессмысленно, так как последовательность кратных устремляется в бесконечность.

Нахождение НОД

Для поиска наибольшего общего делителя существует множество методов, самые известные из которых:

последовательный перебор делителей, выбор общих для пары и поиск наибольшего из них;
разложение чисел на неделимые множители;
алгоритм Евклида;
бинарный алгоритм.

Сегодня в учебных заведениях наиболее популярными являются методы разложения на простые множители и алгоритм Евклида. Последний в свою очередь используется при решении диофантовых уравнений: поиск НОД требуется для проверки уравнения на возможность разрешения в целых числах.

Нахождение НОК

Наименьшее общее кратное точно также определяется последовательным перебором или разложением на неделимые множители. Кроме того, легко найти НОК, если уже определен наибольший делитель. Для чисел X и Y НОК и НОД связаны следующим соотношением:

НОК (X,Y) = X × Y / НОД(X,Y).

Например, если НОД(15,18) = 3, то НОК(15,18) = 15 × 18 / 3 = 90. Наиболее очевидный пример использования НОК - поиск общего знаменателя, который и является наименьшим общим кратным для заданных дробей.

Взаимно простые числа

Если у пары чисел нет общих делителей, то такая пара называется взаимно простой. НОД для таких пар всегда равен единице, а исходя из связи делителей и кратных, НОК для взаимно простых равен их произведению. К примеру, числа 25 и 28 взаимно просты, ведь у них нет общих делителей, а НОК(25, 28) = 700, что соответствует их произведению. Два любых неделимых числа всегда будут взаимно простыми.

Калькулятор общего делителя и кратного

При помощи нашего калькулятора вы можете вычислить НОД и НОК для произвольного количества чисел на выбор. Задания на вычисление общих делителей и кратных встречаются в арифметике 5, 6 класса, однако НОД и НОК - ключевые понятия математики и используются в теории чисел, планиметрии и коммуникативной алгебре.

Примеры из реальной жизни

Общий знаменатель дробей

Наименьшее общее кратное используется при поиске общего знаменателя нескольких дробей. Пусть в арифметической задаче требуется суммировать 5 дробей:

1/8 + 1/9 + 1/12 + 1/15 + 1/18.

Для сложения дробей выражение необходимо привести к общему знаменателю, что сводится к задаче нахождения НОК. Для этого выберите в калькуляторе 5 чисел и введите значения знаменателей в соответствующие ячейки. Программа вычислит НОК (8, 9, 12, 15, 18) = 360. Теперь необходимо вычислить дополнительные множители для каждой дроби, которые определяются как соотношение НОК к знаменателю. Таким образом, дополнительные множители будут выглядеть как:

360/8 = 45
360/9 = 40
360/12 = 30
360/15 = 24
360/18 = 20.

После этого умножаем все дроби на соответствующий дополнительный множитель и получаем:

45/360 + 40/360 + 30/360 + 24/360 + 20/360.

Такие дроби мы можем легко суммировать и получить результат в виде 159/360. Сокращаем дробь на 3 и видим окончательный ответ - 53/120.

Решение линейных диофантовых уравнений

Линейные диофантовы уравнения - это выражения вида ax + by = d. Если отношение d / НОД(a, b) есть целое число, то уравнение разрешимо в целых числах. Давайте проверим пару уравнений на возможность целочисленного решения. Сначала проверим уравнение 150x + 8y = 37. При помощи калькулятора находим НОД (150,8) = 2. Делим 37/2 = 18,5. Число не целое, следовательно, уравнение не имеет целочисленных корней.

Проверим уравнение 1320x + 1760y = 10120. Используем калькулятор для нахождения НОД(1320, 1760) = 440. Разделим 10120/440 = 23. В результате получаем целое число, следовательно, диофантово уравнение разрешимо в целых коэффициентах.

Заключение

НОД и НОК играют большую роль в теории чисел, а сами понятия широко используются в самых разных областях математики. Используйте наш калькулятор для расчета наибольших делителей и наименьших кратных любого количества чисел.

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение средняя общеобразовательная школа № 150 город Челябинск Методическая разработка. Урок – обобщение. «Звёздный час на координатной плоскости» Составитель: учитель математики первой категории Безгодова Надежда Ильинична 2012 год Обобщающий урок по теме «Координатная плоскость»: «Звездный час на координатной плоскости» Цель урока:    Закрепить навыки определения координат точки в координатной плоскости и построения точки по ее координатам; обобщить и систематизировать материал по теме « Координатная плоскость»; установить связи между теорией и практикой. Развить у учащихся умение применять логические операции – сравнение; анализ; развивать и активизировать познавательные процессы – мышление, внимание, восприятие; приобщить учащихся к информационным технологиям. Формировать эстетическую культуру при построении чертежей; умение работать в группе, воспитывать сотрудничество, культуру и интерес к окружающему миру. Задачи урока:    Систематизировать знания обучающихся по теме «Координатной плоскость». Развивать мышление, самостоятельность. Воспитывать аккуратность, доброжелательное отношение друг к другу. Тип урока: комбинированный урок обобщения и систематизации знаний. Организационные формы обобщения: индивидуальная, парная, групповая, коллективная. Оборудование:    компьютер; раздаточный материал; презентация. Ход урока: Орг. момент. Собрать тетради с домашним заданием на перемене. Здравствуйте, садитесь. Сегодня у нас итоговый урок по теме: « Координатная плоскость». Выполняя различные задания, вы покажите свои знания, умения и навыки, способность применять их в различных ситуациях. Урок у нас будет необычный. Мы проведём «Звёздный час на координатной плоскости» На различных этапах урока за правильно выполненные задания вы будете получать звёздочку. (Класс предварительно делится на группы, в каждой группе консультант, за ответы на каждый вопрос консультант даёт звёздочку.) Разминка №1 2 -2.8-3.2 1,4-7,4 -3*3:1.2:1.5 +3 *1.6 *0.5:4 +8,5 +0.8 +1 1 №2 Составить рассказ по графику движения П у т ь (км) 8 4 1 2 Время (ч) №3 Назвать координаты точек y M (-2; 7) x D (-2;-2;) N (0; 6) K (-5; 4) C (1; 4) T (5;-2) P (-3; 2) S (3;-6) E (2;0) Общаясь друг с другом, люди часто говорят: «Оставьте свои координаты». Для чего?...Чтобы человека легко было найти. Это могут быть: номер телефона, домашний адрес, место работы,E-mail. Суть координат или системы координат состоит в том, что это правило, по которому определяется положение объекта. Системы координат окружают нас повсюду. Презентация (Слайды 2-7)     Чтобы правильно занять своё место в кинотеатре нужно знать две координаты ряд и место. Чтобы определить месторасположение судна необходима система географических координат (широта - параллели и долгота-меридианы). С помощью координатной сетки лётчики, моряки определяют местоположение объектов; Играя в морской бой, необходимо знать, что каждая клетка на игровом поле определяется двумя координатами - буквой и цифрой, аналогично и в шахматах;   Применяются координаты и на туристических схемах, для поиска достопримечательностей или нужной улицы; При астрономических наблюдениях координатная сетка накладывается на небесный свод с Землёй в центре. Мы видим, что системы координат встречаются в нашей жизни практически на каждом шагу. Ребята, как вы думаете, давно ли это происходит? Предлагаю обратиться к нам уже знакомой Линии времени. Презентация (слайд 8) Деятельность учащихся: один из учащихся слайд читает вслух. «Более чем за 100 лет до н.э. греческий учёный Гиппарх предложил опоясать на карте земной шар параллелями и меридианами и ввести теперь хорошо известные географические координаты: широту и долготу и обозначить их числами.» « Во II веке древнегреческий астроном Клавдий Птолемей уже пользовался долготой и широтой в качестве географических координат. Но эти понятия впервые были систематизированы в 17 веке Рене Декартом». «Рене Декарт (1596-1650)- французский философ, естествоиспытатель, математик. Целью Декарта было описание природы при помощи математических законов. Автор прямоугольной координатной плоскости, поэтому её часто называют декартовой системой координат». Итак, мы отправляемся в звёздный путь… Работа по группам ТЕСТ по теме « Координатная плоскость». Под каким углом пересекаются координатные прямые, образующие систему координат на плоскости?  Под острым углом  Под прямым углом  Под тупым углом  Под развернутым углом 2) Как называется горизонтальная прямая в системе координат?  Ось аппликат  Ось ординат  Ось абсцисс  Биссектриса 3) Как называется вертикальная прямая в системе координат?  Ось ординат  Ось абсцисс  Ось аппликат  Биссектриса 4) Как называют точку пересечения этих прямых?  Начало всех начал  Середина  Начало отсчета  Разделитель 1) Как называют пару чисел, определяющих положение точек на координатной плоскости?  Координаты точки  Числа на плоскости  Числа для точки  Показатели точки 6) Что показывают стрелки на координатных прямых?  Что прямые можно продолжить  Положительное направление  Отрицательное направление  Ничего не показывают 5) Как правильно записываются координаты?  (х;у)  (у;х)  х, у  В любом порядке (консультанты собирают и оценивают работу, раздают зёздочки отмечают на листе маршрута) 7) Физкультминутка (слайд 9) Работа у нас была очень напряженной, поэтому мы сейчас выполним гимнастику для глаз. 1. Глубоко вдохните, зажмурьте глаза как можно сильнее. Задержите дыхание и на счет «3» быстро выдохните, широко раскрыв на выдохе глаза. (упражнение повторить 3-5 раз) 2. Не поворачивая головы, выполняем горизонтальные движения глаз: направо-налево. Представляем, что наши глазки «катаются по оси ОХ». (упражнение повторить 3-5 раз) 3. Не поворачивая головы, выполняем д.вижение глазными яблоками вертикально вверхвниз. Представляем, что наши глазки «катаются по оси ОУ». (упражнение повторить 3-5 раз) 4. Положите кончики пальцев на виски, слегка сжав их. 10 раз быстро и легко моргните. Закройте глаза и отдохните, сделав 2-3 глубоких вдоха. (упражнение повторить 3 раза) Ваши глазки отдохнули? Очень давно в древности, когда ещё не было компаса, люди находили путь по звёздам. Звёзд на небе было очень много, и наблюдатели объединили наиболее яркие и заметные группы в созвездия и дали им названия. Это имена мифических героев, животных Геркулес, Центавр, Телец, Кассиопея, Андромеда, Большая медведица. Особенно богато звёздами зимнее небо. На первый взгляд названия выглядят странно и не всегда можно на небе рассмотреть то, о чём говорит созвездие. Но если посмотреть старинные атласы звёздного неба, то мы увидим чудесные рисунки жителей неба. Построение созвездий. (Дифференцированная и индивидуальная работа) Слайд 10. Созвездие «Лебедь» (-3; 4), (-2;2), (0;0), (2;-2), (5;-3). (3;1), (-3;-1), (-7;-2) Созвездие «Весы» (1;5), (-2;4), (-5;5). (-5;-1), (-1;-2). (3;1). Созвездие «Льва» (2;5), (1;4), (0;4), (-1;3), (-1;2), (-5;1), (-7;-2), (-5;-1), (0;0) Созвездие «Дракона» (12;6), (14,0), (12;-1), (9;-5), (4;-7), (1;-7), (-1;-6), (-4;-2), (-4;2), (-7;5), (-10;5), (-10;2), (-8;-5), (-11;-7), (-7;-9), (-6;-7). Созвездие «Цефея» (0;5), (-1;4), (-2;1), (1;-1), (6;-1), (3;2) Созвездие «Кассиопеи» (-5;0), (-3;2), (-1;0), (1;0), (3;-2) Созвездие «Андромеды» (-2; 9), (0;7), (1;4), (2;-2), (-2;-1), (-2;5), (-4;4) Созвездие «Персея» (-5;-3), (-2;-2), (0;-1), (2;-2), (4;-1), (5;0), (6;2), (1;1), (1;3) Созвездие «Пегаса» (-6; 8), (-4;9), (0;7), (1;5), (8;5), (8;-2), (0;-1), (-2;-4), (-2;-2). Созвездие «Кита» (11;-7), (9;-6), (10;-5), (7;-1), (4;-1), (2;0), (-3;0), (0;3), (6;1), (9;2) Созвездие «Малой медведицы» (6;6), (3;7), (-3;5,5); (-5;7), (-8;5), (-6;3), (0;7,5). Созвездие «Большой медведицы» (-15;-7), (-10;-5), (-3;-6), (6;-6), (5;-10), (-1;-10), (-6;-5,5). Оценка за урок Построить ломанную по координатным точкам, соединив их последовательно: Если ты заработал от 12 и более звездочек, Уровень 1: A(6;9), B(3;9), C(2;6), D(5;5), E(5;2), M(3;0), N(2;0), P(1;1). Если ты заработал 9-12 звездочек Уровень 2: A(2;9), B(1;4), D(5,6), C(5;4), E(5;1) Если ты заработал 5-8 звездочек Уровень 3: A(1;7), B(3;9), C(5;8), D(3;5), E(5;4), M(5;2), N(3;0), P(2;0), K(1;1) Домашнее задание Творческое задание: придумать и составить рисунок в координатной плоскости Итог урока Математика, ребята – в жизни нужный всем предмет, Без нее не состоится на Луну полет ракет, Без нее нельзя учиться, без нее нельзя считать, Без нее нельзя трудиться и планеты открывать. Координатная плоскость (6Б класс) № Фамилия, п\п Имя Тест 1 2 3 4 5 6 7 Устно Постр. Итог Постр. Итог Постр. Итог Координатная плоскость (6Б класс) № Фамилия, п\п Имя Тест 1 2 3 4 5 6 7 Устно Координатная плоскость (6Б класс) № Фамилия, П\п Имя Тест 1 2 3 4 5 6 7 Устно

Тест

Задание 1

Вариант 1

(4; 0)

(-1; 4)

(4; -1)

(-1; 0)

Вариант 2

Укажите правильное обозначение координаты точки А.

(3; 0)

(2; 3)

(2; 0)

(3; 2)

Вариант 3

Укажите правильное обозначение координаты точки А.

(-4; 2)

(-4; 0)

(2; -4)

(-2; 0)

Вариант 4

Укажите правильное обозначение координаты точки А.

(-1; 0)

(-1; -2)

(-2; -1)

(-2; 0)

Задание 2

Вариант 1

С (1; -5)

К (0; -5)

М (-5; 1)

В (-5; 0)

Вариант 2

Укажите точку, лежащую на оси абсцисс:

С (1; 8)

К (0; 8)

В (8; 0)

М (8; 1)

Вариант 3

Укажите точку, лежащую на оси абсцисс:

С (1; -3)

К (0; -3)

В (-3; 0)

М (-3; 1)

Вариант 4

Укажите точку, лежащую на оси абсцисс:

В (7; 0)

С (1; 7)

К (0; 7)

М (7; 1)

Задание 3

Вариант 1

А (0; -5)

В (-5; 0)

С (1; -5)

М (-5; 1)

Вариант 2

Укажите точку, лежащую на оси ординат:

В (7; 0)

С (1; 7)

М (7; 1)

А (0; 7)

Вариант 3

Укажите точку, лежащую на оси ординат:

В (-9; 0)

А (0; -9)

С (1; -9)

М (-9; 1)

Вариант 4

Укажите точку, лежащую на оси ординат:

В (3; 0)

С (1; 3)

А (0; 3)

М (3; 1)

Задание 4

Вариант 1

В какой координатной четверти расположена точка А (-254; -577)?

в IV четверти

в I четверти

во II четверти

в III четверти

Вариант 2

В какой координатной четверти расположена точка А (-276; 347)?

во II четверти

в IV четверти

в III четверти

в I четверти

Вариант 3

В какой координатной четверти расположена точка А (514; -572)?

в III четверти

в IV четверти

в I четверти

во II четверти

Вариант 4

В какой координатной четверти расположена точка А (187; 491)?

в IV четверти

в III четверти

во II четверти

в I четверти

Задание 5

Вариант 1

Где на координатной плоскости расположены точки, если их абсцисса равна 15?

в I и в IV четвертях

в I и во II четвертях

во II и в III четвертях

в III и в IV четвертях

Вариант 2

Где на координатной плоскости расположены точки, если их абсцисса равна 97?

в III и в IV четвертях

в I и во II четвертях

в I и в IV четвертях

во II и в III четвертях

Вариант 3

Где на координатной плоскости расположены точки, если их абсцисса равна -25?

в I и в IV четвертях

в I и во II четвертях

во II и в III четвертях

в III и в IV четвертях

Вариант 4

Где на координатной плоскости расположены точки, если их абсцисса равна -64?

в I и в IV четвертях

в III и в IV четвертях

в I и во II четвертях

во II и в III четвертях

Задание 6

Вариант 1

На координатной плоскости через точку А (-2; 4) проведена прямая, параллельная оси абсцисс. Укажите координаты точки пересечения прямой с осью ординат.

(4; 0)

(0; 4)

(-2; 0)

(0; -2)

Вариант 2

На координатной плоскости через точку А (3; 2) проведена прямая, параллельная оси абсцисс. Укажите координаты точки пересечения прямой с осью ординат.

(2; 0)

(3; 0)

(0; 2)

(0; 3)

Вариант 3

На координатной плоскости через точку А (5; -4) проведена прямая, параллельная оси абсцисс. Укажите координаты точки пересечения прямой с осью ординат.

(-4; 0)

(5; 0)

(0; -4)

(0; 5)

Вариант 4

На координатной плоскости через точку А (1; -5) проведена прямая, параллельная оси абсцисс. Укажите координаты точки пересечения прямой с осью ординат.

(0; -5)

(-5; 0)

(1; 0)

(0; 1)

Задание 7

Вариант 1

На координатной плоскости через точку В (5; -7) проведена прямая, параллельная оси ординат. Укажите координаты точки пересечения прямой с осью абсцисс.

(0; 5)

(0; -7)

(-7; 0)

(5; 0)

Вариант 2

На координатной плоскости через точку В (-3; -4) проведена прямая, параллельная оси ординат. Укажите координаты точки пересечения прямой с осью абсцисс.

(0; -3)

(0; -4)

(-3; 0)

(-4; 0)

Вариант 3

На координатной плоскости через точку В (-2; 7) проведена прямая, параллельная оси ординат. Укажите координаты точки пересечения прямой с осью абсцисс.

(-2; 0)

(0; -2)

(0; 7)

(7; 0)

Вариант 4

На координатной плоскости через точку В (4; 5) проведена прямая, параллельная оси ординат. Укажите координаты точки пересечения прямой с осью абсцисс.

(0; 4)

(0; 5)

(4; 0)

(5; 0)

Задание 8

Вариант 1

На координатной плоскости через точку А (-1; -2) проведена прямая, параллельная оси абсцисс. Какая из точек лежит на этой прямой?

(5; -2)

(-1; 5)

(-2; -1)

(-3; -1)

Вариант 2

На координатной плоскости через точку А (-2; 3) проведена прямая, параллельная оси абсцисс. Какая из точек лежит на этой прямой?

(-1; -3)

(5; 3)

(-2; -1)

(3; 1)

Вариант 3

На координатной плоскости через точку А (4; 2) проведена прямая, параллельная оси абсцисс. Какая из точек лежит на этой прямой?

(2; 4)

(-2; -1)

(3;- 2)

(5; 2)

Вариант 4

На координатной плоскости через точку А (1; -2) проведена прямая, параллельная оси абсцисс. Какая из точек лежит на этой прямой?

(5; -2)

(-2; 5)

(-2; 1)

(-3; -1)

Задание 9

Вариант 1

На координатной плоскости через точки А (-3; 3) и В (2; 1) проведены прямые, перпендикулярные оси абсцисс. Сколько из перечисленных точек М (-5; 4), К (-2; 1), С (4; 3), Р (-1; 3), О (0; -4) и Н (-4; -2) расположено между этими прямыми?

Вариант 2

На координатной плоскости через точки А (-4; 2) и В (1; 4) проведены прямые, перпендикулярные оси абсцисс. Сколько из перечисленных точек М (-3; 0), К (2; 1), С (0; 3), Р (-5; 3), О (3; -4) и Н (-5; -2) расположено между этими прямыми?

Вариант 3

На координатной плоскости через точки А (-2; -3) и В (3; 4) проведены прямые, перпендикулярные оси абсцисс. Сколько из перечисленных точек М (-4; 4), К (-1; 1), С (2; -3), Р (-1; -2), О (0; 3) и Н (-4; -2) расположено между этими прямыми?

Вариант 4

На координатной плоскости через точки А (-1; 2) и В (5; -1) проведены прямые, перпендикулярные оси абсцисс. Сколько из перечисленных точек М (-5; 4), К (-3; -1),

С (4; -3), Р (-2; -3), О (-3; -4) и Н (6; 2) расположено между этими прямыми?

Задание 10

Вариант 1

Какие из данных точек имеют ординату 2?

А и В

С и D

С и В

А и D

Вариант 2

Какие из данных точек имеют ординату -2?

С и В

С и D

А и D

А и В

Вариант 3

Какие из данных точек имеют ординату 4?

А и В

А и D

С и D

С и В

Вариант 4

Какие из данных точек имеют ординату -4?

А и D

А и В

С и D

С и В

Задание 11

Вариант 1

Точки А (-3; -2), В (-3; 1), С (2; 1) и D D .

(2; -2)

(1; -3)

(-2; 2)

(-2; 0)

Вариант 2

Точки А (-2; -1), В (-2; 5), С (6; 5) и D – вершины прямоугольника. Укажите координату вершины D .

(-1; 6)

(-1; 5)

(6; -1)

(5; -1)

Вариант 3

Точки А (1; 2), В (1; -2), С (-5; -2) и D – вершины прямоугольника. Укажите координату вершины D .

(2; -5)

(-2; 2)

(-2; 0)

(-5; 2)

Вариант 4

Точки А (2; -1), В (-1; -1), С (-1; 6) и D – вершины прямоугольника. Укажите координату вершины D .

(6; 2)

(2; 2)

(2; 6)

(-6; 2)

Задание 12

Вариант 1

На координатной плоскости через точку А (3; 2) проведена прямая, параллельная оси абсцисс, а через точку В (-2; 5) проведена прямая, параллельная оси ординат. Укажите координаты точки пересечения этих прямых.

(-2; 2)

(3; 5)

(2; -2)

(5; 3)

Вариант 2

На координатной плоскости через точку А (5; 4) проведена прямая, параллельная оси абсцисс, а через точку В (-2; -2) проведена прямая, параллельная оси ординат. Укажите координаты точки пересечения этих прямых.

(-2; 5)

(5; -2)

(-2; 4)

(4; -2)

Вариант 3

На координатной плоскости через точку А (3; -4) проведена прямая, параллельная оси абсцисс, а через точку В (-5; 3) проведена прямая, параллельная оси ординат. Укажите координаты точки пересечения этих прямых.

(3; 3)

(-4; -5)

(5; 3)

(-5; -4)

Вариант 4

На координатной плоскости через точку А (5; -1) проведена прямая, параллельная оси абсцисс, а через точку В (-4; 2) проведена прямая, параллельная оси ординат. Укажите координаты точки пересечения этих прямых.

(5; 2)

(2; 5)

(-4; -1)

(-1; -4)

Задание 13

Вариант 1

Найдите координаты точки пересечения отрезка АВ с осью ординат, если А (-3; 2),

В (6; -1).

(1; 0)

(3; 0)

(0; 1)

(0; 3)

Вариант 2

Найдите координаты точки пересечения отрезка АВ с осью ординат, если А (-3; -4),

В (6; 2).

(0; -2)

(-2; 0)

(3; 0)

(0; 3)

Вариант 3

Найдите координаты точки пересечения отрезка АВ с осью ординат, если А (-3; 4),

В (1; -4).

(-1; 0)

(-2; 0)

(0; -1)

(0; -2)

Вариант 4

Найдите координаты точки пересечения отрезка АВ с осью ординат, если А (-6; -1),

В (4; 4).

(0; 2)

(2; 0)

(-4; 0)

(0; -4)

Задание 14

Вариант 1

CD с осью абсцисс, если C (-2; 3),

D (6; -1).

(0; 4)

(2; 0)

(0; 2)

(4; 0)

Вариант 2

Найдите координаты точки пересечения отрезка CD с осью абсцисс, если C (-6; -1),

D (6; 3).

(0; -3)

(1; 0)

(-3; 0)

(0; 1)

Вариант 3

Найдите координаты точки пересечения отрезка CD с осью абсцисс, если C (-2; 6),

D (2; -2).

(1; 0)

(0; 1)

(2; 0)

(0; 2)

Вариант 4

Найдите координаты точки пересечения отрезка CD с осью абсцисс, если C (-6; -2),

D (4; 3).

(0; -2)

(-2; 0)

(1; 0)

(0; 1)

Задание 15

Вариант 1

На координатной плоскости даны точки А (-10; -18), В (35; 15), С (-5; 40) и D I , II , III , IV .

A, B, C, D

D, B, A, C

B, C, A, D

A, D, B, C

Вариант 2

На координатной плоскости даны точки А (20; 48), В (-95; 15), С (-45; -80) и D (1; -20). Расположите данные точки в соответствии с номерами координатных четвертей: I , II , III , IV .

A, B, C, D

B, C, A, D

D, B, A, C

A, D, B, C

Вариант 3

На координатной плоскости даны точки А (-70; -28), В (-85; 75), С (5; -48) и D (61; 86). Расположите данные точки в соответствии с номерами координатных четвертей: I , II , III , IV .

B, C, A, D

A, B, C, D

A, D, B, C

D, B, A, C

Вариант 4

На координатной плоскости даны точки А (10; 18), В (-35; -44), С (65; -40) и D (-51; 36). Расположите данные точки в соответствии с номерами координатных четвертей: I , II , III , IV .

B, C, A, D

A, D, B, C

A, B, C, D

D, B, A, C

Задание 16

Вариант 1

На координатной плоскости даны точки А (0; 3), В (0; 0) и С (5; 0). Определите вид угла АВС.

тупой

острый

прямой

развёрнутый

Вариант 2

На координатной плоскости даны точки А (-5; 2), В (0; 0) и С (4; 1). Определите вид угла АВС.

тупой

прямой

острый

развёрнутый

Вариант 3

На координатной плоскости даны точки А (-4; 5), В (0; 1) и С (4; -3). Определите вид угла АВС.

прямой

тупой

острый

развёрнутый

Вариант 4

На координатной плоскости даны точки А (-4; -1), В (2; 4) и С (-1; -2). Определите вид угла АВС.

прямой

тупой

острый

развёрнутый

Задание 17

Вариант 1

Чему равна градусная мера угла АВС, если А (-2; 6), В (3; 1), С (-2; 1).

90 о

30 о

45 о

80 о

Вариант 2

Чему равна градусная мера угла АВС, если А (-4; -1), В (1; 4), С (4; 1).

90 о

45 о

30 о

80 о

Вариант 3

Чему равна градусная мера угла АВС, если А (-3; -2), В (2; 3), С (2; -2).

30 о

90 о

60 о

45 о

Вариант 4

Чему равна градусная мера угла АВС, если А (-2; 4), В (-2; -3), С (3; -3).

30 о

90 о

60 о

45 о

Задание 18

Вариант 1

На координатной плоскости отметьте точки А (-3; 5), В (1; 2)Чему равна длина отрезка АВ, если, если длина единичного отрезка равна 1 см?

5 см

3 см

4 см

3,5 см

Вариант 2

Чему равна длина отрезка АВ, если А (-1; -1), В (3; 2), если длина единичного отрезка равна 1 см?

4 см

3,5 см

3 см

5 см

Вариант 3

Чему равна длина отрезка АВ, если А (-3; 6), В (3; -2), если длина единичного отрезка равна 1 см?

10 см

6 см

8 см

5 см

Вариант 4

Чему равна длина отрезка АВ, если А (-3; -2), В (5; 4), если длина единичного отрезка равна 1 см?

5 см

8 см

10 см

6 см

Задание 19

Вариант 1

Точки А (-1; -1), В (-1; 3), С (6; 3) и D (6; -1) – вершины прямоугольника на координатной плоскости. Найдите площадь этого прямоугольника, если длина единичного отрезка равна 1 см.

22 см 2

28 см 2

22 см

28 см

Вариант 2

Точки А (-5; 2), В (4; 2), С (4; -3) и D (-5; -3) – вершины прямоугольника на координатной плоскости. Найдите площадь этого прямоугольника, если длина единичного отрезка равна 1 см.

28 см 2

45 см

28 см

45 см 2

Вариант 3

Точки А (-2; 6), В (6; 6), С (6; -1) и D (-2; -1) – вершины прямоугольника на координатной плоскости. Найдите площадь этого прямоугольника, если длина единичного отрезка равна 1 см.

30 см 2

56 см

56 см 2

30 см

Вариант 4

Точки А (-1; 3), В (6; 3), С (6; -2) и D (-1; -2) – вершины прямоугольника на координатной плоскости. Найдите площадь этого прямоугольника, если длина единичного отрезка равна 1 см.

35 см 2

24 см 2

35 см

24 см

Задание 20

Вариант 1

Точки А (-2; 4), В (2; -2) и С (-2; -2) – вершины треугольника на координатной плоскости. Чему равна площадь этого треугольника?

12 см 2

24 см 2

12 см

24 см

Вариант 2