В нашей статье расскажем о Лиге плюща и о том, чем университеты лиги так привлекают молодежь…
Немного истории…
Лига плюща (The Ivy League) появилась в 20 веке как спортивное объединение 8 частных университетов северо-востока США, в которых спорт был важной составляющей студенческой жизни. Свое название лига получила в честь побегов плюща, которые еще с 19 века студенты в первый день учебного года высаживали у стен колледжей, и которые со временем полностью покрыли старинные здания университетов.
Со временем Лига плюща стала не только и не столько спортивным, сколько академическим сообществом, состоящим из ведущих американских вузов:
Университеты Лиги плюща – это высокое качество образования, элитарность, богатая история и традиции. Попадая в эти вузы, учащиеся становятся частью уникального студенческого сообщества, оказаться в котором мечтают миллионы, а удается – лишь единицам.
Преимущества и особые характеристики Лиги плюща
Учебные заведения, входящие в Лигу плюща, исключительны по многим параметрам – от уровня образования до атмосферы, которая царит в их стенах. Чем именно они привлекают студентов со всего мира?
Качество образования
Качество образования – это главное преимущество университетов Лиги плюща. Оказавшись здесь, вы можете быть уверены в получении лучших знаний и опыта, а также диплома, который будет высоко цениться по всему миру. Кстати, по статистике, зарплата выпускников вузов Лиги плюща, в среднем, на 32% выше, чем у выпускников других университетов Америки.
Все вузы лиги ежегодно входят в Топ-15 лучших учебных заведений США, а также в список ведущих университетов мира. Так, в 2016 году в мировой Топ-10, по версии «THE World University Rankings», вошли Гарвардский и Принстонский университеты.
Финансирование
Важным фактором, определяющим высокий уровень образования в вузах Лиги плюща, является обширное финансирование, которое получают университеты. Это дает им возможность нанимать на работу лучших педагогов и специалистов, предлагать студентам отличные условия для учебы и проживания, проводить уникальные научные исследования и разрабатывать передовые учебные программы.
Помимо этого, финансовое благосостояние вузов Лиги плюща позволяет им выдавать крупные стипендии лучшим студентам, поддерживая их на пути к новым знаниям.
Престиж
Учиться в университетах Лиги плюща – это не просто круто и интересно, но и очень престижно. Именно здесь училось множество заслуженных деятелей наук и искусства, политиков, бизнесменов, обладателей Нобелевских премий и других выдающихся наград.
Например, среди выпускников Гарвардского университета насчитывается сразу 153 лауреата Нобелевской премии, это больше, чем у любого другого вуза мира. Не отстает и Колумбийский университет со 101 обладателем премии среди выпускников, а также Йельский университет, воспитавший 52 лауреатов.
А еще, в вузах Лиги плюща училось 14 президентов Америки, включая Теодора Рузвельта, Франклина Рузвельта, Джона Кеннеди, Джорджа Буша и Барака Обаму. И это еще не все…
Среди знаменитых выпускников Лиги плюща – Билл Гейтс и Марк Цукерберг, Мэтт Деймон и Натали Портман, Роберт Оппенгеймер, Мадлен Олбрайт, Алиша Киз и Кэти Холмс, Фрэнсис Скотт Фицджеральд, Эмма Уотсон и многие другие! Хотите оказаться в их компании?
Элитарность
Исторически университеты Лиги плюща отличались элитарностью студенческого сообщества, здесь учились исключительно дети из семей выше среднего класса. Поскольку долгое время в вузы принимали только белокожих англо-саксонских протестантов, учебные заведения отличал достаточно однородный состав «белой аристократии». Со временем ситуация начала меняться, национальный и социальный состав студентов стал более разнообразным, а обучение – более доступным.
Тем не менее, вузы Лиги плюща до сих пор остаются наиболее «элитарными». Здесь и сегодня учатся дети богатых родителей, и получают второе образование уже известные и многого добившиеся люди, а расценки на образование (как и его стандарты) остаются на уровне выше среднего по стране.
Подобная элитарность всегда оказывала и продолжает оказывать влияние на атмосферу в университетах, делая их своеобразным заокеанским аналогом британского Оксбриджа. Одним словом, здесь студента ожидает «избранное общество», в котором современность и мультикультурность причудливым образом смешивается с некоторой старомодной чопорностью и чувством собственной исключительности.
Выборность
Кстати, попасть в один из университетов Лиги плюща только благодаря обеспеченным родственникам и связям не получится. Высокий интеллектуальный уровень студентов лиги определяется жесткими критериями при зачислении абитуриентов.
Только представьте – из тысяч студентов, подающих документы, поступают всего 6-16%! По статистике, сложнее всего поступить в Гарвардский, Колумбийский и Йельский университеты, а легче всего – в Корнелльский университет и Дартмутский колледж.
Студенческая жизнь
Студенческое сообщество Лиги плюща – это отдельный уникальный мир, живущий по своим законам и правилам. Исторически, здесь, как нигде, развилась традиция студенческих братств и сестринств, представляющих собой закрытые клубы, членство в которых распространяется не только на студенческие годы, но и на всю последующую жизнь студента. Самое известное из таких обществ – это братство «Череп и кости» Йельского университета, членами которого были три президента США.
Помимо клубов и тайных обществ, еще одной важной частью студенческой жизни в вузах Лиги плюща является спорт. В каждом университете действует множество спортивных клубов, позволяющих студентам тренироваться и гордиться своими достижениями. Кроме того, активный образ жизни помогает студентам отдохнуть от регулярной и напряженной учебы. Всего в лиге существует 16 мужских и женских команд в разных видах спорта, которые участвуют не только в межуниверситетских, но и в национальных соревнованиях.
Кстати, Лига плюща – это еще и, своего рода, законодатель моды. Именно здесь появились такие стили, как «Ivy League» и «Preppy», берущие начало от университетской формы студентов. Более того, существует даже особая стрижка «Harvard Clip», сделав которую, вы обязательно приблизитесь к классическому образу гарвардского студента!
Как поступить в университет Лиги плюща?
На первый взгляд может показаться, что поступление в один из вузов Лиги плюща – это недостижимая мечта. На самом деле, учиться здесь вполне реально, достаточно соответствовать нескольким важным критериям…
Во-первых, это высокая академическая успеваемость. Это главное требование, которые университеты Лиги плюща выдвигают к абитуриентам. Нужно иметь отличные оценки, сертификаты и аттестаты, а также очень хорошо владеть английским языком и доказать это, успешно сдав языковой экзамен.
Во-вторых, конечно, важно иметь финансовую возможность оплачивать обучение в вузе Лиги плюща. Как мы уже писали, учиться здесь дорого. В частности, стоимость обучения и проживания может превышать $60,000 в год. В ряде случаев, талантливые иностранные студенты университетов могут получать стипендию и финансовую поддержку, но, в первую очередь, рассчитывать стоит все же на собственные силы.
В-третьих, не стоит полагать, что приемная комиссия вузов обращает внимание только и исключительно на успеваемость и финансовое благосостояние студента. В зависимости от конкретного университета, важными могут оказаться и другие качества, например, такие как активная общественная позиция, спортивные достижения, мотивация, творческое мышление, исследовательские наклонности и т.д. Обычно вузы стараются выявить наличие тех или иных важных качеств, знакомясь с мотивационным письмом абитуриента или проводя собеседование, к которому следует тщательно подготовиться.
Как видите, любая цель достижима, и, возможно, уже в ближайшие годы вы тоже окажетесь среди студентов знаменитой Лиги плюща! А пока узнайте больше об особенностях поступления в американские вузы…
С понятием пирамида учащиеся сталкиваются еще задолго до изучения геометрии. Виной всему знаменитые великие египетские чудеса света. Поэтому, начиная изучение этого замечательного многогранника, большинство учеников уже наглядно представляют ее себе. Все вышеупомянутые достопримечательности имеют правильную форму. Что такое правильная пирамида , и какие свойства она имеет и пойдет речь дальше.
Вконтакте
Определение
Определений пирамиды можно встретить достаточно много. Начиная еще с древних времен, она пользовалась большой популярностью.
К примеру, Эвклид определял ее как телесную фигуру, состоящую из плоскостей, которые, начиная от одной, сходятся в определенной точке.
Герон представил более точную формулировку. Он настаивал на том, что это фигура, которая имеет основание и плоскости в виде треугольников, сходящиеся в одной точке.
Опираясь на современное толкование, пирамиду представляют, как пространственный многогранник, состоящий из определённого k-угольника и k плоских фигур треугольной формы, имеющую одну общую точку.
Разберемся более подробно, из каких элементов она состоит:
- k-угольник считают основой фигуры;
- фигуры 3-угольной формы выступают гранями боковой части;
- верхняя часть, из которой берут начало боковые элементы, называют вершиной;
- все отрезки, соединяющие вершину, называют рёбрами;
- если из вершины на плоскость фигуры опустить прямую под углом в 90 градусов, то её часть, заключенная во внутреннем пространстве — высота пирамиды;
- в любом боковом элементе к стороне нашего многогранника можно провести перпендикуляр, называемый апофемой.
Число рёбер вычисляется по формуле 2*k, где k – количество сторон k-угольника. Сколько граней у такого многогранника, как пирамида, можно определить посредством выражения k+1.
Важно! Пирамидой правильной формы называют стереометрическую фигуру, плоскость основы которой является k-угольник с равными сторонами.
Основные свойства
Правильная пирамида обладает множеством свойств, которые присущи только ей. Перечислим их:
- Основа – фигура правильной формы.
- Ребра пирамиды, ограничивающие боковые элементы, имеют равные числовые значения.
- Боковые элементы – равнобедренные треугольники.
- Основание высоты фигуры попадает в центр многоугольника, при этом он одновременно является центральной точкой вписанной и описанной .
- Все боковые рёбра наклонены к плоскости основы под одинаковым углом.
- Все боковые поверхности имеют одинаковый угол наклона по отношению к основе.
Благодаря всем перечисленным свойствам, выполнение вычислений элементов намного упрощается. Исходя из приведенных свойств, обращаем внимание на два признака:
- В том случае, когда многоугольник вписывается в окружность, боковые грани будут иметь с основой равные углы.
- При описании окружности около многоугольника, все рёбра пирамиды, исходящие из вершины, будут иметь равную длину и равные углы с основой.
В основе лежит квадрат
Правильная четырёхугольная пирамида – многогранник, у которого в основе лежит квадрат.
У неё четыре боковых грани, которые по своему виду являются равнобедренными.
На плоскости квадрат изображают , но основываются на всех свойствах правильного четырёхугольника.
К примеру, если необходимо связать сторону квадрата с его диагональю, то используют следующую формулу: диагональ равна произведению стороны квадрата на корень квадратный из двух.
В основе лежит правильный треугольник
Правильная треугольная пирамида – многогранник, в основании которого лежит правильный 3-угольник.
Если основание является правильным треугольником, а боковые рёбра равны ребрам основания, то такая фигура называется тетраэдром.
Все грани тетраэдра являются равносторонними 3-угольниками. В данном случае необходимо знать некоторые моменты и не тратить на них время при вычислениях:
- угол наклона ребер к любому основанию равен 60 градусов;
- величина всех внутренних граней также составляет 60 градусов;
- любая грань может выступить основанием;
- , проведённые внутри фигуры, это равные элементы.
Сечения многогранника
В любом многограннике различают несколько видов сечения плоскостью. Зачастую в школьном курсе геометрии работают с двумя:
- осевое;
- параллельное основе.
Осевое сечение получают при пересечении плоскостью многогранника, которая проходит через вершину, боковые рёбра и ось. В данном случае осью является высота, проведённая из вершины. Секущая плоскость ограничивается линиями пересечения со всеми гранями, в результате получаем треугольник.
Внимание! В правильной пирамиде осевым сечением является равнобедренный треугольник.
Если секущая плоскость проходит параллельно основанию, то в результате получаем второй вариант. В этом случае имеем в разрезе фигуру, подобную основе.
К примеру, если в основании лежит квадрат, то сечение параллельно основе также будет квадратом, только меньших размеров.
При решении задач при таком условии используют признаки и свойства подобия фигур, основанные на теореме Фалеса . В первую очередь необходимо определить коэффициент подобия.
Если плоскость проведена параллельно основе, и она отсекает верхнюю часть многогранника, то в нижней части получают правильную усеченную пирамиду. Тогда говорят, что основы усеченного многогранника являются подобными многоугольниками. В этом случае боковые грани являются равнобокими трапециями. Осевым сечением также является равнобокая .
Для того чтобы определить высоту усеченного многогранника, необходимо провести высоту в осевом сечении, то есть в трапеции.
Площади поверхностей
Основные геометрические задачи, которые приходится решать в школьном курсе геометрии, это нахождение площадей поверхности и объема у пирамиды.
Значение площади поверхности различают двух видов:
- площади боковых элементов;
- площади всей поверхности.
Из самого названия понятно, о чём идёт речь. Боковая поверхность включает в себя только боковые элементы. Из этого следует, что для ее нахождения необходимо просто сложить площади боковых плоскостей, то есть площади равнобедренных 3-угольников. Попробуем вывести формулу площади боковых элементов:
- Площадь равнобедренного 3-угольника равна Sтр=1/2(aL), где а – сторона основания, L – апофема.
- Количество боковых плоскостей зависит от вида k-го угольника в основании. К примеру, правильная четырехугольная пирамида имеет четыре боковые плоскости. Следовательно, необходимо сложить площади четырёх фигур Sбок=1/2(aL)+1/2(aL)+1/2(aL)+1/2(aL)=1/2*4а*L. Выражение упрощено таким способом потому, что значение 4а=Росн, где Росн – периметр основы. А выражение 1/2*Росн является её полупериметром.
- Итак, делаем вывод, что площадь боковых элементов правильной пирамиды равна произведению полупериметра основания на апофему: Sбок=Росн*L.
Площадь полной поверхности пирамиды состоит из суммы площадей боковых плоскостей и основания: Sп.п.= Sбок+Sосн.
Что касается площади основания, то здесь формула используется соответственно виду многоугольника.
Объем правильной пирамиды равен произведению площади плоскости основания на высоту, разделенную на три: V=1/3*Sосн*Н, где Н – высота многогранника.
Что такое правильная пирамиды в геометрии
Свойства правильной четырехугольной пирамиды
Начальный уровень
Пирамида. Визуальный гид (2019)
Что такое пирамида?
Как она выглядит?
Видишь: у пирамиды внизу (говорят «в основании ») какой-нибудь многоугольник, и все вершины этого многоугольника соединены с некоторой точкой в пространстве (эта точка называется «вершина »).
У всей этой конструкции ещё есть боковые грани , боковые рёбра и рёбра основания . Ещё раз нарисуем пирамиду вместе со всеми этими названиями:
Некоторые пирамиды могут выглядеть очень странно, но всё равно это - пирамиды.
Вот, например, совсем «косая» пирамида .
И ещё немного о названиях: если в основании пирамиды лежит треугольник, то пирамида называется треугольной, если четырёхугольник, то четырёхугольной, а если стоугольник, то … догадайся сам.
При этом точка, куда oпустилась высота , называется основанием высоты . Обрати внимание, что в «кривых» пирамидах высота может вообще оказаться вне пирамиды. Вот так:
И ничего в этом страшного нет. Похоже на тупоугольный треугольник.
Правильная пирамида.
Много сложный слов? Давай расшифруем: «В основании - правильный » - это понятно. А теперь вспомним, что у правильного многоугольника есть центр - точка, являющаяся центром и , и .
Ну вот, а слова «вершина проецируется в центр основания» означают, что основание высоты попадает как раз в центр основания. Смотри, как ровненько и симпатично выглядит правильная пирамида .
Шестиугольная : в основании - правильный шестиугольник, вершина проецируется в центр основания.
Четырёхугольная : в основании - квадрат, вершина проецируется в точку пересечения диагоналей этого квадрата.
Треугольная : в основании - правильный треугольник, вершина проецируется в точку пересечения высот (они же и медианы, и биссектрисы) этого треугольника.
Очень важные свойства правильной пирамиды:
В правильной пирамиде
- все боковые рёбра равны.
- все боковые грани - равнобедренные треугольники и все эти треугольники равны.
Объем пирамиды
Главная формула объема пирамиды:
Откуда взялась именно? Это не так уж просто, и на первых порах нужно просто запомнить, что у пирамиды и конуса в формуле объема есть, а у цилиндра - нет.
Теперь давай посчитаем объем самых популярных пирамид.
Пусть сторона основания равна, а боковое ребро равно. Нужно найти и.
Это площадь правильного треугольника.
Вспомним, как искать эту площадь. Используем формулу площади:
У нас « » - это, а « » - это тоже, а.
Теперь найдем.
По теореме Пифагора для
Чему же равно? Это радиус описанной окружности в, потому что пирамида правильная и, значит, - центр.
Так как - точка пересечения и медиан тоже.
(теорема Пифагора для)
Подставим в формулу для.
И подставим все в формулу объема:
Внимание: если у тебя правильный тетраэдр (т.е.), то формула получается такой:
Пусть сторона основания равна, а боковое ребро равно.
Здесь и искать не нужно; ведь в основании - квадрат, и поэтому.
Найдем. По теореме Пифагора для
Известно ли нам? Ну, почти. Смотри:
(это мы увидели, рассмотрев).
Подставляем в формулу для:
А теперь и и подставляем в формулу объема.
Пусть сторона основания равна, а боковое ребро.
Как найти? Смотри, шестиугольник состоит ровно из шести одинаковых правильных треугольников. Площадь правильного треугольника мы уже искали при подсчете объема правильной треугольной пирамиды, здесь используем найденную формулу.
Теперь найдем (это).
По теореме Пифагора для
Но чему же равно? Это просто, потому что (и все остальные тоже) правильный.
Подставляем:
\displaystyle V=\frac{\sqrt{3}}{2}{{a}^{2}}\sqrt{{{b}^{2}}-{{a}^{2}}}
ПИРАМИДА. КОРОТКО О ГЛАВНОМ
Пирамида - это многогранник, который состоит из любого плоского многоугольника (), точки, не лежащей в плоскости основания, (вершина пирамиды ) и всех отрезков, соединяющих вершину пирамиды с точками основания (боковые ребра ).
Перпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды на плоскость основания.
Правильная пирамида - пирамида, у которой в основании лежит правильный многоугольник, а вершина пирамиды проецируется в центр основания.
Свойство правильной пирамиды:
- В правильной пирамиде все боковые рёбра равны.
- Все боковые грани - равнобедренные треугольники и все эти треугольники равны.
Определение. Боковая грань - это треугольник, у которого один угол лежит в вершине пирамиды, а противоположная ему сторона совпадает со стороной основания (многоугольника).
Определение. Боковые ребра - это общие стороны боковых граней. У пирамиды столько ребер сколько углов у многоугольника.
Определение. Высота пирамиды - это перпендикуляр, опущенный из вершины на основание пирамиды.
Определение. Апофема - это перпендикуляр боковой грани пирамиды, опущенный из вершины пирамиды к стороне основания.
Определение. Диагональное сечение - это сечение пирамиды плоскостью, проходящей через вершину пирамиды и диагональ основания.
Определение. Правильная пирамида - это пирамида, в которой основой является правильный многоугольник, а высота опускается в центр основания.
Объём и площадь поверхности пирамиды
Формула. Объём пирамиды через площадь основы и высоту:
Свойства пирамиды
Если все боковые ребра равны, то вокруг основания пирамиды можно описать окружность, а центр основания совпадает с центром окружности. Также перпендикуляр, опущенный из вершины, проходит через центр основания (круга).
Если все боковые ребра равны, то они наклонены к плоскости основания под одинаковыми углами.
Боковые ребра равны тогда, когда они образуют с плоскостью основания равные углы или если вокруг основания пирамиды можно описать окружность.
Если боковые грани наклонены к плоскости основания под одним углом, то в основание пирамиды можно вписать окружность, а вершина пирамиды проектируется в ее центр.
Если боковые грани наклонены к плоскости основания под одним углом, то апофемы боковых граней равны.
Свойства правильной пирамиды
1. Вершина пирамиды равноудалена от всех углов основания.
2. Все боковые ребра равны.
3. Все боковые ребра наклонены под одинаковыми углами к основанию.
4. Апофемы всех боковых граней равны.
5. Площади всех боковых граней равны.
6. Все грани имеют одинаковые двугранные (плоские) углы.
7. Вокруг пирамиды можно описать сферу. Центром описанной сферы будет точка пересечения перпендикуляров, которые проходят через середину ребер.
8. В пирамиду можно вписать сферу. Центром вписанной сферы будет точка пересечения биссектрис, исходящие из угла между ребром и основанием.
9. Если центр вписанной сферы совпадает с центром описанной сферы, то сумма плоских углов при вершине равна π или наоборот, один угол равен π/n , где n - это количество углов в основании пирамиды.
Связь пирамиды со сферой
Вокруг пирамиды можно описать сферу тогда, когда в основании пирамиды лежит многогранник вокруг которого можно описать окружность (необходимое и достаточное условие). Центром сферы будет точка пересечения плоскостей, проходящих перпендикулярно через середины боковых ребер пирамиды.
Вокруг любой треугольной или правильной пирамиды всегда можно описать сферу.
В пирамиду можно вписать сферу, если биссекторные плоскости внутренних двугранных углов пирамиды пересекаются в одной точке (необходимое и достаточное условие). Эта точка будет центром сферы.
Связь пирамиды с конусом
Конус называется вписанным в пирамиду, если их вершины совпадают, а основание конуса вписано в основание пирамиды.
Конус можно вписать в пирамиду, если апофемы пирамиды равны между собой.
Конус называется описанным вокруг пирамиды, если их вершины совпадают, а основание конуса описана вокруг основания пирамиды.
Конус можно описать вокруг пирамиды если, все боковые ребра пирамиды равны между собой.
Связь пирамиды с цилиндром
Пирамида называется вписанной в цилиндр, если вершина пирамиды лежит на одной основе цилиндра, а основание пирамиды вписано в другую основу цилиндра.
Цилиндр можно описать вокруг пирамиды если вокруг основания пирамиды можно описать окружность.
В четырехгранник четыре грани и четыре вершины и шесть ребер, где любые два ребра не имеют общих вершин но не соприкасаются.
Каждая вершина состоит из трех граней и ребер, которые образуют трехгранный угол .
Отрезок, соединяющий вершину четырехгранника с центром противоположной грани называется медианой четырехгранника (GM).
Бимедианой называется отрезок, соединяющий середины противоположных ребер, которые не соприкасаются (KL).
Все бимедианы и медианы четырехгранника пересекаются в одной точке (S). При этом бимедианы делятся пополам, а медианы в отношении 3:1 начиная с вершины.
Определение. Остроугольная пирамида - это пирамида в которой апофема больше половины длины стороны основания.
Определение. Тупоугольная пирамида - это пирамида в которой апофема меньше половины длины стороны основания.
Определение. Правильный тетраэдр - четырехгранник у которого все четыре грани - равносторонние треугольники. Он является одним из пяти правильных многоугольников. В правильного тетраэдра все двугранные углы (между гранями) и трехгранные углы (при вершине) равны.
Определение. Прямоугольный тетраэдр называется четырехгранник у которого прямой угол между тремя ребрами при вершине (ребра перпендикулярны). Три грани образуют прямоугольный трехгранный угол и грани являются прямоугольными треугольниками, а основа произвольным треугольником. Апофема любой грани равна половине стороны основы, на которую падает апофема.
Определение. Равногранный тетраэдр называется четырехгранник у которого боковые грани равны между собой, а основание - правильный треугольник. У такого тетраэдра грани это равнобедренные треугольники.
Определение. Ортоцентричный тетраэдр называется четырехгранник у которого все высоты (перпендикуляры), что опущены с вершины до противоположной грани, пересекаются в одной точке.
Определение. Звездная пирамида называется многогранник у которого основой является звезда.
