Пособия по математике серии «ЕГЭ 2014. Математика» ориентированы на подготовку учащихся старшей школы к успешной сдаче единого государственного экзамена по математике. В данном учебном пособии представлен материал для подготовки к решению задачи С5.
На различных этапах обучения пособие поможет обеспечить уровневый подход к организации повторения, осуществить контроль и самоконтроль знаний по темам «Уравнения и системы уравнений», «Неравенства и системы неравенств», «Задачи с параметром».
Пособие предназначено для учащихся старшей школы, учителей математики, родителей.

Логический перебор в нелинейных уравнениях и неравенствах.
Круг задач, решение которых основывается на стандартных преобразованиях и логическом переборе, довольно широк, а их формулировки достаточно разнообразны. Ключевым признаком такой задачи является то, что ее решение, как отмечалось выше, не предполагает знакомства с какими-то новыми идеями и методами, которых нет в школьных учебниках, а требует лишь умения выполнять преобразования, отвечать на вопросы о существовании корней уравнения или решений неравенства, удовлетворяющих определенным условиям, находить, если требуется, сами эти решения, выполнять необходимый логический перебор.

Пример 1. Найти все значения параметра а, при каждом из которых уравнение х3 - (a + 4)х2 + 4ах = 0 имеет ровно два различных корня.
Решение. Вынесем за скобку общий множитель левой части уравнения: х(х2 - (а + 4)х + 4а) = 0, откуда х = 0 или х2 - (а + 4)х + 4а = 0. Корнями последнего уравнения являются х = 4 и х = а (эти корни можно найти, воспользовавшись формулами Виета или формулой корней квадратного уравнения). Ровно два различных корня данное уравнение имеет, только если а = 0 или а = 4.
Ответ: а = 0, а = 4.

Содержание
Предисловие
Глава 1. Логический перебор в задачах с параметром
§1.1. Линейные уравнения и неравенства с параметром
§1.2. Логический перебор в нелинейных уравнениях и неравенствах
Глава 2. Квадратный трехчлен в задачах с параметром и нестандартных задачах
§2.1. Исследование дискриминанта и формулы Виета
§2.2. Расположение корней квадратного трехчлена
§2.3. Задачи, сводимые к исследованию квадратного трехчлена
Глава 3. Применение свойств функций к решению уравнений и неравенств
§3.1. Монотонность
§3.2. Ограниченность
§3.3. Инвариантность
Глава 4. Графические интерпретации
§4.1. Метод областей
§4.2. Преобразования графиков
§4.3. Геометрические идеи
Глава 5. Другие методы
§5.1. Метод упрощающего значения
§5.2. Параметр как переменная
§5.3. Тригонометрические подстановки
§5.4. Векторные интерпретации в алгебре
Диагностическая работа 1
Диагностическая работа 2
Диагностическая работа 3
Диагностическая работа 4
Диагностическая работа 5
Ответы.

Бесплатно скачать электронную книгу в удобном формате, смотреть и читать:
Скачать книгу ЕГЭ 2014, Математика, Задача С5, Задачи с параметром, Шестаков С.А. - fileskachat.com, быстрое и бесплатное скачивание.

  • ЕГЭ 2019, Математика, Значения выражений, Задача 9, Профильный уровень, Задача 2 и 5, Базовый уровень, Рабочая тетрадь, Шестаков С.А., Ященко И.В.
  • ЕГЭ 2019, Математика, Задачи по стереометрии, Задача 8, Профильный уровень, Задача 13 и 16, Базовый уровень, Рабочая тетрадь, Шестаков С.А., Ященко И.В.
  • ЕГЭ 2019, Математика, Простейшие уравнения, Задача 5, Профильный уровень, Задача 4 и 7, Базовый уровень, Рабочая тетрадь, Шестаков С.А., Ященко И.В.

Видеокурс «Получи пятерку» включает все темы, необходимые для успешной сдачи ЕГЭ по математике на 60-65 баллов. Полностью все задачи 1-13 Профильного ЕГЭ по математике. Подходит также для сдачи Базового ЕГЭ по математике. Если вы хотите сдать ЕГЭ на 90-100 баллов, вам надо решать часть 1 за 30 минут и без ошибок!

Курс подготовки к ЕГЭ для 10-11 класса, а также для преподавателей. Все необходимое, чтобы решить часть 1 ЕГЭ по математике (первые 12 задач) и задачу 13 (тригонометрия). А это более 70 баллов на ЕГЭ, и без них не обойтись ни стобалльнику, ни гуманитарию.

Вся необходимая теория. Быстрые способы решения, ловушки и секреты ЕГЭ. Разобраны все актуальные задания части 1 из Банка заданий ФИПИ. Курс полностью соответствует требованиям ЕГЭ-2018.

Курс содержит 5 больших тем, по 2,5 часа каждая. Каждая тема дается с нуля, просто и понятно.

Сотни заданий ЕГЭ. Текстовые задачи и теория вероятностей. Простые и легко запоминаемые алгоритмы решения задач. Геометрия. Теория, справочный материал, разбор всех типов заданий ЕГЭ. Стереометрия. Хитрые приемы решения, полезные шпаргалки, развитие пространственного воображения. Тригонометрия с нуля - до задачи 13. Понимание вместо зубрежки. Наглядное объяснение сложных понятий. Алгебра. Корни, степени и логарифмы, функция и производная. База для решения сложных задач 2 части ЕГЭ.

Предлагаемые при итоговой аттестации учащихся задания группы С5 интересны для учителей и выпускников не только с точки зрения достижения результата на экзамене, но и как средство сравнения возможностей реализуемой учителем образовательной программы для разных групп учащихся. Рассмотрим задание С5, предлагавшееся в 2013 для выпускников 11 класса, решение одним способом аналога которого приведено в книге С.А. Шестакова «ЕГЭ 2014. Математика Задача С5 Задачи с параметром» издательства МЦНМО на стр. 156 -157 .

С5. Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение имеет единственный корень.

Данное задание можно решать с помощью приемов, доступных выпускникам 9 классов.

Рисунок 1

Способ 1. Использование графической интерпретации. Перепишем уравнение в виде . Пусть Построим графики y = f (x ) и семейство графиков y = g (x ). f (x ) задает полуокружность, g (x ) – семейство прямых, для которых параметр а влияет как на изменение углового коэффициента, так и на свободный член. Можно заметить, что с ростом а угловой коэффициент монотонно убывает, а свободный член монотонно возрастает. При а = 0 (I) горизонтальная прямая касается полуокружности, уравнение имеет единственное решение. При a > 0 (II) угловой коэффициент прямой отрицательный, ордината точки пересечения с осью Oy больше 1, общих точек с полуокружностью нет. При убывании а в области отрицательных значений прямые сначала имеют две общих точки с полуокружностью, пока прямая не займет положение (III). Для определения соответствующего значения а имеем уравнение 0 = 3а + 3а + 1, а = – 1/6. При дальнейшем уменьшении а прямая имеет с полуокружностью одну точку, пока не станет проходить через точку (– 1; 0), соответствующее этому значение а находим из уравнения 0 = а + 3а + 1, а = – 1/4. При меньших а общих точек у прямой и полуокружности нет.
Следовательно, единственное решение у уравнения будет в случае а = 0 или для а из [– 1/4; – 1/6).

Ответ: .

Способ 2. Более интересной будет графическая иллюстрация, если заметить, что задаваемое семейство прямых представляет собой пучок прямых. Все прямые, кроме вертикальной, проходящие через точку (х0;у0) могут быть заданы в виде y – y 0 = a (x – x 0), где
Для задания прямых используем преобразование y – 1 = a (x – 3), откуда получаем общую точку всех прямых (3; 1). Решение задачи может сопровождаться рисунком, приведенным ниже, где обозначение граничных положений такое же, как и в способе 1. Однако, на экзамене выпускник самостоятельно не придет к понятию пучка прямых, если соответствующая конструкция не будет отработана с учащимися при подготовке к экзамену. Ответ в задаче получается аналогичными способу 1 расчетами.

Рисунок 2

Способ 3. Для данной задачи возможно получить вполне корректное решение, если даже не увидеть уравнения полуокружности, а привести исходное уравнение к виду, позволяющему проанализировать взаимное положение графика функции и семейства прямых g (x ) = a (3 – x ). Область определения f (x ) – отрезок [–3;–1], причем на [–3;–2] f (x ) возрастает, на [–2;–1] – убывает. Множество значений функции f (x ) – отрезок [–1;0]. Пучок прямых, задаваемый g (x ), проходит через точку (3;0). Наличие общих точек анализируется похожим образом на способ 2, не используя явного вида графика f (x ).

Способ 4. Равносильный переход с последующим исследованием расположения корней квадратного трехчлена.
Большая часть работ выпускников, авторы которых идут по аналитическому пути решения задачи, содержит только первый маленький шаг на пути к верному решению.

Исследовав последнее квадратное относительно х уравнение, они делают ошибочный вывод, что наличие единственного корня данного уравнения обеспечивает выполнение условий исходной задачи.

В действительности исходное уравнение равносильно системе, в которую входит условие не отрицательности выражения, приравниваемого к радикалу.

Рисунок 3

При а = 0 уравнение имеет единственный корень х = –2. При a = –5/12 корень уравнения (1)
x = –21/13 не удовлетворяет неравенству (2). Учтем, что уравнение (1) имеет 2 корня при а < 0. Для х из неравенства (2) получаем x > 3 + 1/a . Поскольку дискриминант квадратного трехчлена уравнения (1) не представляет собой квадрат простого выражения, достаточно проблематично через иррациональные неравенства получить значения параметра а. Задание существенно упростится, если использовать метод составления системы необходимых и достаточных условий, соответствующей нужному расположению корней квадратного трехчлена. Ветви соответствующей параболы направлены вверх, меньший корень должен лежать слева от значения 3 + 1/a , а больший – справа. Уравнение (1) можно представить в виде f (x ) = 0, тогда требуемые значения параметра а будут определяться из условия f (3 + 1/a ) < 0 или же x 2 = 3 +1/а . Эти условия являются и необходимыми, и достаточными. После приведения к общему знаменателю и упрощения получаем При а = – 1/4 получаем, что 3 + 1/а = –1 – больший корень уравнения, при а = –1/6 получаем, что 3 + 1/а = –3 – меньший корень уравнения, что нас не устраивает. Объединяя найденные значения а , имеем

Способ 5. Иррациональные неравенства.

К сожалению, если исследованию расположения корней квадратного трехчлена, почти не уделялось времени, то нам остается метод «тупо в лоб».

Уравнение (1) приводится к виду

Как показано выше, из граничных значений имеем а = 0. При D 1 > 0 получаем

При а < 0 из (2) и
Система условий приводит нас к равносильному при D 1 > 0 (с необходимостью учета строгого и нестрогого неравенств системы) неравенству

Учитывая замечания к способу 4, получаем

Способ 6. f (x ) = a .
В старшей школе много времени уделяется элементам математического анализа, особенно в классах с углубленным изучением математики. Возможностью хоть как-то использовать приобретенные навыки в этой области можно воспользоваться и для решения задач группы С. Исходное уравнение определено при На [– 3;– 1] перепишем уравнение в виде Пусть D(f ) = [– 3;– 1]. f (x ) = 0 при x = – 2.

Определим множество значений функции. f (–3) = –1/6, f (–2) = 0, f (–1) = –1/4. Единственная точка экстремума на D(f ) оказалась точкой максимума. Е (f ) = [–1/4;0]. Построим эскиз графика функции y = f (x ).

Как видно из представленного эскиза, уравнение f (x ) = a имеет единственное решение для .

Рисунок 4.

Способ 7. Применение элементов высшей математики: f (x ) = g (x ).

Если мы смогли преобразовать исходное уравнение к виду, когда одна из его частей не зависит от параметра, то исследование числа корней уравнения f (x ) = a сводится к определению числа точек пересечения графика f (x ) с горизонтальными прямыми. Правда, формулы для f (x ) громоздки. Однако, некоторый выигрыш в формулах для задания функций, сполна компенсируется поиском условий качания их графиков.
Исходное уравнение определено при На [– 3;– 1] перепишем уравнение в виде Построив эскизы графиков левой и правой частей уравнения, можно определить условие единственности корня исходного уравнения. В способе 7 (в отличие от способа 6) существует определенная проблема: условие касания графиков при а = 0 следует обосновывать.

Рисунок 5.

Абсциссу точки касания графиков f (x ) и g (x ) найдем из условия равенства при этом аргументе значений функций и их производных.

Получаем x 0 = –2, а = 0. В качестве рекомендации, можно посоветовать ученикам стараться сводить использование графиков функций таким образом, чтобы с одной стороны появлялся график функции без параметра, а с другой стороны было выражение, зависящее только от параметра.

Сегодня компания Apple вдвойне порадовала своих поклонников, презентовав сразу два новых смартфона: флагманский iPhone 5S и "бюджетный" iPhone 5C. Нельзя сказать, что мы с нетерпением ждали этого события. Слухи, ходившие в Сети последние несколько месяцев, сделали свое дело: о девайсах было известно почти все задолго до их премьеры, и интерес к ним, как результат, слегка подувял. Тем не менее, iPhone 5S и iPhone 5C представлены, так что давайте разбираться.

iPhone 5S и iPhone 5C

Как и предполагалось, внешне iPhone 5S напоминает своего «старшего» брата iPhone 5. Дизайн новинки почти не изменился, в глаза кидается новое оформление кнопки Home, под которой расположился сканер отпечатков пальцев TouchID, а также двойная LED-вспышка. В остальном iPhone 5S идентичен своему предшественнику. Если не знать отличия устройств, их вполне можно спутать (чем вполне могут воспользоваться недобросовестные продавцы).

Внутренняя составляющая iPhone 5S также перенесла изменения, но более масштабные. В основном, изменения коснулись процессора. В iPhone 5S используется А7, первый 64-bit процессор для мобильных устройств. Благодаря ему производительность iPhone 5S увеличилась в 40 раз по сравнению с оригинальным iPhone, а в плане графики - в 56 раз.

Изменилась немного и камера iPhone 5S. Это по-прежнему 8-Мп модуль, но размер сенсора камеры увеличен на 15% в сравнении с iPhone 5, пиксель теперь стал 1,5 мкм, а апертура - f/2.2 (смартфон должен делать более качественные снимки в условиях плохой освещенности). Apple оснастила iPhone 5S двойной LED-вспышкой: одна с холодным светом, вторая - с теплым, благодаря чему достигается более 1000 сочетаний для верного цветового баланса. Также камера научилась снимать слоу-мо в HD-разрешении при 120 fps. Примеры фотографий с камеры iPhone 5S .

iPhone 5S появится в продаже в США, Австралии и Канаде уже 20 сентября по цене $199, $299 и $399 за модели 16, 32 и 64 Гб. В отличие от предыдущих смартфонов Apple, iPhone 5S будет доступен в трех цветах: черном, белом и золотистом (champagne). Предзаказ на iPhone 5S будет открыт 13 сентября. Что касается SIM-free (без контракта) версии, то iPhone 5S с 16 Гб обойдется покупателям в $649, 32-Гб модификация - в $749, а версия на 64 Гб - в $849. Цены в Европе и Азии .

Технические характеристики Apple iPhone 5S (GSM-версия):

  • Камера: 8 Мп, автофокус, тачфокус, двойная LED-вспышка, f/2.2, геотегирование, запись Full HD-видео в разрешении 1080p@30fps, определение лиц, стабилизация, Slo-mo видео в разрешении 720p@120fps
  • Дополнительная камера: 1,2 Мп
  • Процессор: двухъядерный, A7, 64-bit, дополнительный процессор М7.
  • Объем памяти: 16, 32, 64 Гб
  • A-GPS
  • ГЛОНАСС
  • Wi-Fi (802.11a/b/g/n)
  • Bluetooth 4.0
  • 3,5-мм разъем
  • nano-SIM
  • Сканер отпечатков пальцев TouchID
  • Аккумулятор: Li-Ion
  • Размеры: 123,8 x 58,6 x 7,6 мм
  • Вес: 112 г
  • Тип: смартфон
  • Цвета: темно-серый, серебристый, золотистый
  • Дата релиза: 20 сентября 2012 года

Вторым виновником сегодняшнего торжества является бюджетный iPhone 5C. По-сути, это тот же iPhone 5, только в пластиковом корпусе. Смартфон можно будет купить уже 20 сентября. 16-Гб версия обойдется покупателям в $99, а 32-Гб - $199, конечно же, при подписании контакта на 2 года (без - $549 и $649). Цены в Европе и Азии . Покупатель сможет выбрать выбрав один из пяти цветов. Также Apple выпустила серию фирменных чехлов, которые позволят владельцу еще больше разнообразить свой новенький iPhone 5C. Стоимость каждого чехла - $29. Кстати, модели A1457, A1530 (iPhone 5S) и A1507, A1529 (iPhone 5C) поддерживают российские LTE-сети!

Технические характеристики Apple iPhone 5C (GSM-версия):

  • Сеть: GSM/GPRS/EDGE (850/900/1800/1900 МГц), WCDMA/HSPA+/DC-HSDPA (850/900/1700/1900/2100 МГц), LTE (1, 2, 3, 4, 5, 8, 13, 17, 19, 20, 25)
  • Платформа (на момент анонса): iOS 7
  • Дисплей: емкостный, 4”, 1136 х 640 точек, 16 млн цветов, Retina Display, IPS, 326 ppi, контрастность 800:1
  • Камера: 8 Мп, автофокус, тачфокус, LED-вспышка, f/2.4, геотегирование, запись Full HD-видео в разрешении 1080p@30fps, определение лиц, стабилизация
  • Дополнительная камера: 1,2 Мп
  • Процессор: двухъядерный, A6
  • Объем памяти: 16, 32 Гб
  • A-GPS
  • ГЛОНАСС
  • Wi-Fi (802.11a/b/g/n)
  • Bluetooth 4.0
  • 3,5-мм разъем
  • nano-SIM
  • Три микрофона, датчики положений, приближенности и освещенности, электронный компас, гироскоп
  • Аккумулятор: Li-Ion
  • Время работы в режиме разговора: до 10 часов в сетях 3G
  • Время работы в режиме проигрывания музыки: до 40 часов
  • Время работы в режиме просмотра видео: до 10 часов
  • Время работы при Wi-Fi-браузинге: до 10 часов
  • Время работы при 3G-браузинге: до 8 часов
  • Время работы при LTE-браузинге: до 10 часов
  • Время работы в режиме ожидания: до 250 часов
  • Размеры: 124,4 x 59,2 x 8,97 мм
  • Вес: 132 г
  • Форм-фактор: моноблок с тачскрином
  • Тип: смартфон
  • Цвета: синий, зеленый, красный, белый, желтый
  • Дата анонса: 10 сентября 2013 года
  • Дата релиза: 20 сентября 2013 года

Также сегодня Apple назвала официальную дату старта глобального обновления девайсов до iOS 7. 18 сентября новую версию операционной системы получат iPhone 4S и 5, позже - iPhone 4, iPad 2, 3, 4, iPad mini и iPod touch 5. iOS 7 разрабатывалась под руководством Джони Айва (Johnny Ive) и была представлена в июне. iOS 7 вызвала достаточно противоречивую реакцию у поклонников Apple и критиков, но с момента премьеры было выпущено несколько бета-версий, а финальная версия должна быть лишена всех багов. Отметим, что после обновления на iOS 7 официально вернуться на предыдущую версию операционной системы вы не сможете. Ознакомиться с особенностями iOS 7 можно в