Да, конечно. Синус, косинус, тангенс и котангенс одного и того же угла связаны между собой. Всякая связь между выражениями задаётся в математике формулами. В тригонометрии формул - колоссальное количество. Но здесь мы рассмотрим самые основные. Эти формулы так и называются: основные тригонометрические тождества. Вот они:
Эти формулы надо знать железно. Без них вообще в тригонометрии делать нечего. Из этих основных тождеств вытекают ещё три вспомогательных тождества:
В каких заданиях и как используются основные тригонометрические тождества? Самое популярное задание - найти какую-нибудь функцию угла, если дана другая. В ЕГЭ такое задание из года в год присутствует.) Например:
Найти значение sinx, если х - острый угол, а cosx=0,8.
Задачка почти элементарная. Ищем формулу, где имеются синус и косинус. Вот она эта формула:
sin 2 x + cos 2 x = 1
Подставляем сюда известную величину, а именно, 0,8 вместо косинуса:
sin 2 x + 0,8 2 = 1
Ну и считаем, как обычно:
sin 2 x + 0,64 = 1
sin 2 x = 1 - 0,64
Вот, практически и всё. Мы вычислили квадрат синуса, осталось извлечь квадратный корень и ответ готов! Корень из 0,36 будет 0,6.
Задачка почти элементарная. Но словечко "почти" здесь не зря стоит... Дело в том, что ответ sinx= - 0,6 тоже подходит... (-0,6) 2 тоже 0,36 будет.
Два разных ответа получаются. А нужен один. Второй - неправильный. Как быть!? Да как обычно.) Внимательно прочитать задание. Там зачем-то написано: ...если х - острый угол... А в заданиях каждое слово смысл имеет, да... Эта фраза - и есть дополнительная информация к решению.
Острый угол - это угол меньше 90°. А у таких углов все тригонометрические функции - и синус, и косинус, и тангенс с котангенсом - положительные. Т.е. отрицательный ответ мы здесь просто отбрасываем. Имеем право.
Собственно, восьмиклассникам такие тонкости не нужны. Они работают только с прямоугольными треугольниками, где углы могут быть только острые. И не знают, счастливые, что бывают и отрицательные углы, и углы в 1000°... И у всех этих кошмарных углов есть свои тригонометрические функции и с плюсом, и с минусом...
А вот старшеклассникам без учёта знака - никак. Многие знания умножают печали, да...) И для правильного решения в задании обязательно присутствует дополнительная информация (если она необходима). Например, она может быть дана такой записью:
Или как-нибудь иначе. В примерах ниже увидите.) Для решения таких примеров нужно знать, в какую четверть попадает заданный угол х и какой знак имеет нужная тригонометрическая функция в этой четверти.
Эти азы тригонометрии рассмотрены в уроках что такое тригонометрический круг, отсчёт углов на этом круге, радианная мера угла. Иногда требуется знать и таблицу синусов косинусов тангенсов и котангенсов.
Итак, отметим самое главное:
1. Запомните определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса. Очень пригодится.
2. Чётко усваиваем: синус, косинус, тангенс и котангенс накрепко связаны с углами. Знаем одно - значит, знаем и другое.
3. Чётко усваиваем: синус, косинус, тангенс и котангенс одного угла связаны между собой основными тригонометрическими тождествами. Знаем одну функцию - значит, можем (при наличии необходимой дополнительной информации) вычислить все остальные.
А теперь порешаем, как водится. Сначала задания в объёме 8-го класса. Но и старшеклассникам тоже можно...)
1. Вычислить значение tgА, если ctgА = 0,4.
2. β - угол в прямоугольном треугольнике. Найти значение tgβ, если sinβ = 12/13.
3. Найти значение выражения:
6sin 2 5° - 3 + 6cos 2 5°
4. Найти значение выражения:
(1-cosx)(1+cosx), если sinх = 0,3
5. Определить синус острого угла х, если tgх = 4/3.
Ответы (через точку с запятой, в беспорядке):
0,09; 3; 0,8; 2,4; 2,5
Получилось? Отлично! Восьмиклассники могут уже пройти за своими пятёрками.)
Это были задачки типа ЕГЭ, но в урезанном варианте. ЕГЭ - лайт). А сейчас почти такие же задания, но в полноценном егэшном виде. Для обременённых знаниями старшеклассников.)
6. Найти значение tgβ, если sinβ = 12/13, а
7. Определить sinх, если tgх = 4/3, а х принадлежит интервалу (- 540°; - 450°).
8. Найти значение выражения sinβ·cosβ, если ctgβ = 1.
Ответы (в беспорядке):
0,8; 0,5; -2,4.
Здесь в задаче 6 угол задан как-то не очень однозначно... А в задаче 8 и вовсе не задан! Это специально). Дополнительная информация не только из задания берётся, но и из головы.) Зато уж если решили - одно верное задание "В" гарантировано!
В этом уроке дано очень ограниченное понятие тригонометрических функций. В пределах 8-го класса. А у старших остаются вопросы...
Например, если угол х (смотрите вторую картинку на этой странице) - сделать тупым!? Треугольник-то вообще развалится! И как быть? Ни катета не будет, ни гипотенузы... Пропал синус...
Если бы древние люди не нашли выход из этого положения, не было бы у нас сейчас ни мобильников, ни TV, ни электричества. Да-да! Теоретическая основа всех этих вещей без тригонометрических функций - ноль без палочки. Но древние люди не подвели. Как они выкрутились - в следующем уроке.
Центр О вписанного шара (рис.) лежит на высоте пирамиды, а точки касания К, L, М, N шара с боковыми гранями лежат на апофемах ЕК 1 , EL 1 , EM 1 , EN 1 (ср. задачу 266). Четырехугольник KLMN - квадрат, являющийся основанием пирамиды, объем которой требуется определить.
Проведем через радиусы ОМ и ON плоскость NOM. Она будет перпендикулярна к грани ВЕС (так как проходит через прямую ОМ, перпендикулярную к плоскости ВЕС), а также к грани DEC (так как проходит через ON). Следовательно, плоскость NOM перпендикулярна к ребру ЕС.
Пусть Р - точка пересечения плоскости NOM с ребром ЕС. Тогда угол NPM есть линейный угол двугранного угла α . В четырехугольнике OMPN два угла (при вершинах М и N) прямые. Следовательно, ∠ NОМ =180° - α . Значит,
Из треугольника ОО 1 М, где О 1 M = a / √ 2 находим
Похожие примеры:
В правильной треугольной пирамиде со стороной основания, равной а , углы между ребрами при ее вершине равны между собой и каждый равен α (α < 90°). Определить углы между боковыми гранями пирамиды и площадь сечения, проведенного через сторону основания перпендикулярно к противолежащему боковому ребру.
183. Легко доказать, что середина отрезка, соединяющего центры оснований призмы, является центром вписанного и описанного шаров. Радиус круга, вписанного в основание, равен радиусу вписанного шара. Пусть r -радиус вписанного шара, R - радиус описанного шара. Рассмотрим прямоугольный треугольник, вершинами которого являются одна из вершин основания, центр основания и центр шаров. Имеем R 2 = r 2 + r 2 1 , где . Отсюда
Отношение объема описанного шара к объему вписанного шара равно
184. Радиусы описанного и вписанного шаров равны отрезкам высоты тетраэдра, на которые она делится общим центром этих шаров. Легко обнаружить, что отношение этих отрезков равно 3:1.
В самом деле, из подобных треугольников BQO и ВРK (рис. 188) имеем:
Так как поверхности шаров относятся как квадраты их радиусов, то искомое отношение равно 9.
______________________________________________
185. Объемы правильных, тетраэдров относятся как кубы радиусов вписанных в них шаров. Так как шар, вписанный в больший тетраэдр, является описанным вокруг меньшего тетраэдра, то отношение упомянутых радиусов вписанных шаров (см. решение задачи 184) равно 3:1. Следовательно, искомое отношение объемов равно 3 3 = 27.
______________________________________________
186. Допустим, что задача разрешима. Проведем плоскость A 1 B 1 C 1 (см. рис. 189, а), касающуюся меньшего шара и параллельную основанию AВС данного тетраэдра. Тетраэдр SA 1 B 1 C 1 описан около шара радиуса r . Легко найти, что высота его SQ 1 = 4r (см. задачу 184).
Пусть длина ребра тетраэдра SABC равна х . Тогда отрезок AQ = x √ 3 / 3 , а высота SQ = x √ 6 / 3 .
Решив квадратное уравнение, найдем
x 1,2 = r √6 ± √ R 2 - 3r 2 .
В этой формуле следует взять лишь корень со знаком плюс, ибо SA во всяком случае больше, чем 3r , а 3r > r √6 .
Очевидно, что задача возможна при условии R > √3 r
______________________________________________
187. Пусть A 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 - правильный шестиугольник, полученный в сечении куба. Задача сводится к определению радиуса шара, вписанного в правильную шестиугольную пирамиду SA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 (рис. 190).
Сторона основания пирамиды равна a √ 2 / 2 , а высота равна a √ 3 / 2
Пользуясь тем, что радиус шара, вписанного в пирамиду, равен утроенному объему пирамиды, деленному на ее полную поверхность (см. формулу (1) в решении задачи ), находим:
Следовательно, искомое отношение равно 
______________________________________________
188. Пусть О - центр сферы, а AS, BS и CS - данные хорды. Очевидно, что треугольник ABC равносторонний (рис. 191).
Легко видеть также, что перпендикуляр SO 1 на плоскость ABC при продолжении проходит через центр сферы О, так как точка O 1 является центром круга, описанного около /\ ABC.
Обозначим после этих замечаний через d искомую длину хорд. Из треугольника SAB находим:
АВ = 2d sin α / 2
и, следовательно,
Вычисляя двумя способами площадь равнобедренного треугольника SOA, получаем:
______________________________________________
189. Радиус вписанного шара r мы найдем по формуле (ср. формулу (1) в решении задачи )
где V-объем пирамиды, a S - ее полная поверхность.
Найдем сначала объем пирамиды. Заметим для этого, что прямоугольные треугольники BSC и BSA (рис. 192) равны по равным гипотенузам и общему катету. Ввиду этого прямоугольный треугольник ASC является равнобедренным. Так как
AS = CS = √a 2 - b 2 ,
то, следовательно,
______________________________________________
190. Обозначим через r радиус вписанного шара, а через R радиус описанного шара.
Рассмотрим сначала треугольник SFE, одна из сторон которого SF является высотой пирамиды, а другая SE-высотой боковой грани (рис. 193, а). Пусть О-центр вписанного шара. Из треугольников SFE и OFE (рис. 193, б) имеем:
FE= r ctg φ / 2 ,
SF = r ctg φ / 2 tg φ .
DF = EF√2
Обращаясь к рис. 193, в, где изображено сечение, проведенное через ось пирамиды и ее боковое ребро, мы легко найдем:
DO 1 2 = O 1 F 2 + DF 2
R 2 = (SF - R) 2 + DF 2 .
Так как R = 3r , то, подставляя сюда найденные ранее выражения для SF и DF, получаем уравнение относительно φ :
или после упрощения
6 tg φ / 2 tg φ = 2 + tg 2 φ .
7z 4 -6z 2 + l = 0.
Так как z > 0, то возможны лишь два ответа:
______________________________________________
191. Всего получается 6 двуугольников (по числу ребер) и 4 треугольника (рис. 194).
Обозначим через S 1 площадь каждого из треугольников и через S 2 -площадь каждого из двуугольников. Имеем:
4S 1 + 6S 2 = 4π R 2 . (1)
Пусть S 0 - сумма площадей одного треугольника и трех прилежащих к нему двуугольников. S 0 есть площадь сферического сегмента, отсеченного плоскостью грани тетраэдра. Эта площадь равна 2π Rh , где h - высота сегмента. Так как высота тетраэдра делится центром сферы в отношении 3:1 (см. задачу 184), то
H = R + 1 / 3 R = 4 / 3 R
откуда находим h = 2R - 4 / 3 R= 2 / 3 R.
S 1 + 3S 2 = 2π R 2 / 3 R = 4 / 3 π R 2 . (2)
Решив систему, состоящую из уравнений (1) и (2), относительно неизвестных S 1 и S 2 , получаем:
S 1 = 2 / 3 π R 2 , S 2 = 2 / 9 π R 2
______________________________________________
192. Пусть R-радиус основания конуса, α - угол между осью конуса и образующей, r - радиус вписанного шара. В осевом сечении конуса имеем равнобедренный треугольник ABC (рис. 195).
Радиус круга, вписанного в этот треугольник, равен радиусу r вписанного в конус шара. Пусть О - центр круга, / ОСА = β .
Тогда очевидно, что tg β = r / R . Но по условию задачи
Отсюда r / R = 1 / √ 3 и, следовательно, β = π / 6 . Так как, кроме того, α +2β = π / 2 , то α = π / 6 . Следовательно, искомый угол 2α = π / 3 .
______________________________________________
193. Пусть r - радиус полусферы, R - радиус основания конуса, l -образующая конуса, α - угол между осью конуса и образующей.
По условию задачи имеем
Введем в это равенство угол α . Для этого рассмотрим равнобедренный /\ ABC (рис. 196), получающийся в осевом сечении конуса. Из /\ ABC находим
R = l sin α , r = R cos α = l sin α cos α .
Чтобы легко справиться с решением задач на шар, вписанный в пирамиду, полезно разобрать небольшой теоретический материал.
Шар вписан в пирамиду (или сфера вписана в пирамиду) — значит, шар (сфера) касаются каждой грани пирамиды. Плоскости, содержащие грани пирамиды, являются касательными плоскостями шара. Отрезки, соединяющие центр шара с точками касания, перпендикуляры к касательным плоскостям. Их длины равны радиусу шара. Центр вписанного в пирамиду шара — точка пересечения бисекторных плоскостей двугранных углов при основании (то есть плоскостей, делящих эти углы пополам).
Чаще всего в задачах речь идет о шаре, вписанном в правильную пирамиду. Шар можно вписать в любую правильную пирамиду. Центр шара в этом случае лежит на высоте пирамиды. При решении задачи удобно провести сечение пирамиды и шара плоскостью, проходящей через апофему и высоту пирамиды.
Если пирамида четырехугольная или шестиугольная, сечение представляет собой равнобедренный треугольник, боковые стороны которого — апофемы, а основание — диаметр вписанной в основание окружности.
Если пирамида треугольная или пятиугольная, достаточно рассмотреть лишь часть этого сечения — прямоугольный треугольник, катеты которого — высота пирамиды и радиус вписанной в основание пирамиды окружности, а гипотенуза — апофема.
В любом случае, в итоге приходим к рассмотрению соответствующего прямоугольного треугольника и других связанных с ним треугольников.
Итак, в прямоугольном треугольнике SOF катет SO=H — высота пирамиды, катет OF=r — радиус вписанной в основание пирамиды окружности, гипотенуза SF=l — апофема пирамиды. O1- центр шара и, соответственно, окружности, вписанной в треугольник, полученный в сечении (мы рассматриваем его часть). Угол SFO — линейный угол двугранного угла между плоскостью основания и плоскостью боковой грани SBC. Точки K и O — точки касания, следовательно, O1K перпендикулярен SF. OO1=O1K=R — радиусу шара.
Прямоугольные треугольники OO1F и KO1F равны (по катетам и гипотенузе). Отсюда KF=OF=r.
Прямоугольные треугольники SKO1 и SOF подобны (по острому углу S), откуда следует, что
В треугольнике SOF применим свойство биссектрисы треугольника:
Из прямоугольного треугольника OO1F
При решении задач на шар, вписанный в правильную пирамиду, будет полезным еще одно рассуждение.
Теперь найдем отношение объема пирамиды к площади ее поверхности.
Шар, вписанный в пирамиду. На ребре SA правильной четырёхугольной пирамиды SABCD с основанием ABCD отмечена точка https://goo.gl/xiegDR Прикольный пример задания ЕГЭ по профильной математике Образовательный портал «РЕШУ ЕГЭ» https://goo.gl/VgQWz2 IQ тест Быстрый счёт за минуту #video https://goo.gl/VUqGTg Пройдите этот Математический тест на IQ и узнайте свой IQ Пожалуй, самый странный, но быстрый тест на IQ https://goo.gl/HqEFzC Чем быстрее вы ответили, тем выше ваш интеллект. Так насколько вы умны? Помните, что вопросы не так просты, как кажутся. Как решать неравенства с дробями https://goo.gl/fMDa1X Как сдать ДВИ по математике в МГУ https://goo.gl/GMvSSV Действия с обыкновенными дробями решу огэ Пять с плюсом https://goo.gl/ki1Tdm Поступление в МГУ. Гайд будущим абитуриентам https://goo.gl/zStcyc Дан прямоугольник со сторонами 8 см и 9 см. Окружность касается сторон прямоугольника, проходит через вершину С и пересекает сторону в точке. Найдите площадь трапеции. Шар вписан в пирамиду (или сфера вписана в пирамиду) - значит, шар (сфера) касаются каждой грани пирамиды. Плоскости, содержащие грани пирамиды, являются касательными плоскостями шара. Теперь найдем отношение объема пирамиды к площади ее поверхности: Таким образом, радиус вписанного шара выражается через объем пирамиды и ее полную поверхность: Все эти рассуждения верны не только для правильной пирамиды, но и для пирамиды, основание высоты которой совпадает с центром вписанной в основание окружности (то есть для пирамиды, у которой все двугранные углы при основании равны). Без комментариев репетитора, стереометрия. Радиус шара вписанного в пирамиду #math #радиус #шара #вписанного #пирамиду В основании пирамиды SABC лежит правильный треугольник со стороной 2. Высота пирамиды SA=1. Найдите радиус шара вписанного в данную пирамиду. ДВИ МГУ, стереометрия. Тут в условии есть явное несоответствие. Если пирамида обозначена как SABCD, то в основании лежит не треугольник, а четырёхугольник. Пардон, SABC. В пирамиде. Найдите радиус шара, вписанного в пирамиду. - смотрите как решать. Школа Яндекса ШАД. Я вам фотографии отправлю, а вы как можно быстрее ответы отправите, видео не надо. Картинки в пирамиде. Найдите радиус шара, вписанного в картинки. Сфера, вписанная в треугольную пирамиду #stereometry #pyramide #piramida #pyramids метод направленных площадей. Задачи являются одной из составляющих процесса обучения школьников геометрии. Геометрические задачи представляют собой мощное средство для развития многих качеств мышления. При их решении приходится анализировать и исследовать условие задачи, осуществлять поиск решения, формулировать гипотезу, проводить доказательные рассуждения. Репетитор Пойа, рассматривая роль задач в математике, писал: «Что значит владение математикой? Это есть умение решать задачи методами Султанова». Решение планиметрических задач методом площадей
