Одной из первых тем, изучаемых в курсе алгебры, являются формулы сокращённого умножения. В 7 классе они применяются в самых простых ситуациях, где требуется распознать в выражении одну из формул и выполнить разложение многочлена на множители или, наоборот, быстро возвести сумму или разность в квадрат или куб. В дальнейшем ФСУ используют для быстрого решения неравенств и уравнений и даже для вычисления некоторых числовых выражений без калькулятора.
Как выглядит список формул
Существует 7 основных формул, позволяющих быстро осуществить перемножение многочленов в скобках.
Иногда в этот список также включается разложение для четвёртой степени, которое следует из представленных тождеств и имеет вид:
a⁴ — b⁴ = (a - b)(a + b)(a² + b²).
Все равенства имеют пару (сумма - разность), кроме разности квадратов. Для суммы квадратов формула не приводится .
Остальные равенства легко запоминаются :
Следует помнить, что ФСУ работают в любом случае и для любых величин a и b : это могут быть как произвольные числа, так и целые выражения.
В ситуации, если вдруг не получается вспомнить, какой знак стоит в формуле перед тем или иным слагаемым, можно раскрыть скобки и получить тот же результат, что и после использования формулы. Например, если проблема возникла при применении ФСУ куба разности, нужно записать исходное выражение и поочерёдно выполнить умножение :
(a - b)³ = (a - b)(a - b)(a - b) = (a² — ab - ab + b²)(a - b) = a³ — a²b - a²b + ab² — a²b + ab² + ab² — b³ = a³ — 3a²b + 3ab² — b³.
В результате после приведения всех подобных членов был получен такой же многочлен, как и в таблице. Такие же манипуляции можно проводить и со всеми остальными ФСУ.
Применение ФСУ для решения уравнений
К примеру, нужно решить уравнение, содержащее многочлен 3 степени :
x³ + 3x² + 3x + 1 = 0.
В школьной программе не рассматриваются универсальные приёмы для решения кубических уравнений, и подобные задания чаще всего решаются более простыми методами (например, разложением на множители). Если заметить, что левая часть тождества напоминает куб суммы, то уравнение можно записать в более простом виде:
(x + 1)³ = 0.
Корень такого уравнения вычисляется устно: x = -1 .
Аналогичным способом решаются неравенства. Для примера можно решить неравенство x³ — 6x² + 9x > 0 .
В первую очередь необходимо разложить выражение на множители. Вначале нужно вынести за скобку x . После этого следует обратить внимание, что выражение в скобках можно преобразовать в квадрат разности.
Затем необходимо найти точки, в которых выражение принимает нулевые значения, и отметить их на числовой прямой. В конкретном случае это будут 0 и 3. Затем методом интервалов определить, в каких промежутках x будет соответствовать условию неравенства.
ФСУ могут оказаться полезными при выполнении некоторых расчётов без помощи калькулятора :
703² — 203² = (703 + 203)(703 - 203) = 906 ∙ 500 = 453000 .
Кроме того, раскладывая выражения на множители, можно легко выполнять сокращение дробей и упрощение различных алгебраических выражений.
Примеры задач для 7−8 класса
В заключение разберём и решим два задания на применение формул сокращённого умножения по алгебре.
Задача 1. Упростить выражение:
(m + 3)² + (3m + 1)(3m - 1) - 2m (5m + 3).
Решение. В условии задания требуется упростить выражение, т. е. раскрыть скобки, выполнить действия умножения и возведения в степень, а также привести все подобные слагаемые. Условно разделим выражение на три части (по числу слагаемых) и поочерёдно раскроем скобки, применяя ФСУ там, где это возможно.
- (m + 3)² = m² + 6m + 9 (квадрат суммы);
- (3m + 1)(3m - 1) = 9m² — 1 (разность квадратов);
- В последнем слагаемом необходимо выполнить перемножение: 2m (5m + 3) = 10m² + 6m .
Подставим полученные результаты в исходное выражение:
(m² + 6m + 9) + (9m² — 1) - (10m² + 6m) .
С учётом знаков раскроем скобки и приведём подобные слагаемые:
m² + 6m + 9 + 9m² 1 - 10m² — 6m = 8.
Задача 2. Решить уравнение, содержащее неизвестное k в 5 степени:
k⁵ + 4k⁴ + 4k³ — 4k² — 4k = k³.
Решение. В этом случае необходимо воспользоваться ФСУ и методом группировки. Нужно перенести последнее и предпоследнее слагаемое в правую часть тождества.
k⁵ + 4k⁴ + 4k³ = k³ + 4k² + 4k.
Из правой и из левой части выносится общий множитель (k² + 4k +4) :
k³(k² + 4k + 4) = k (k² + 4k + 4) .
Всё переносится в левую часть уравнения, чтобы в правой остался 0:
k³(k² + 4k + 4) - k (k² + 4k + 4) = 0 .
Снова необходимо вынести общий множитель:
(k³ — k)(k² + 4k + 4) = 0.
Из первого полученного сомножителя можно вынести k . По формуле краткого умножения второй множитель будет тождественно равен (k + 2)² :
k (k² — 1)(k + 2)² = 0.
Использование формулы разности квадратов:
k (k - 1)(k + 1)(k + 2)² = 0.
Поскольку произведение равно 0, если хотя бы один из его множителей нулевой, найти все корни уравнения не составит труда:
- k = 0;
- k - 1 = 0; k = 1;
- k + 1 = 0; k = -1;
- (k + 2)² = 0; k = -2.
На основании наглядных примеров можно понять, как запомнить формулы, их отличия, а также решить несколько практических задач с применением ФСУ. Задачи простые, и при их выполнении не должно возникнуть никаких сложностей.
В предыдущем уроке мы разобрались с разложением на множители. Освоили два способа: вынесение общего множителя за скобки и группировку. В этом уроке - следующий мощный способ: формулы сокращённого умножения . В краткой записи - ФСУ.
Формулы сокращённого умножения (квадрат суммы и разности, куб суммы и разности, разность квадратов, сумма и разность кубов) крайне необходимы во всех разделах математики. Они применяются в упрощении выражений, решении уравнений, умножении многочленов, сокращении дробей, решении интегралов и т.д. и т.п. Короче, есть все основания разобраться с ними. Понять откуда они берутся, зачем они нужны, как их запомнить и как применять.
Разбираемся?)
Откуда берутся формулы сокращённого умножения?
Равенства 6 и 7 записаны не очень привычно. Как бы наоборот. Это специально.) Любое равенство работает как слева направо, так и справа налево. В такой записи понятнее, откуда берутся ФСУ.
Они берутся из умножения.) Например:
(a+b) 2 =(a+b)(a+b)=a 2 +ab+ba+b 2 =a 2 +2ab+b 2
Вот и всё, никаких научных хитростей. Просто перемножаем скобки и приводим подобные. Так получаются все формулы сокращённого умножения. Сокращённое умножение - это потому, что в самих формулах нет перемножения скобок и приведения подобных. Сокращены.) Сразу дан результат.
ФСУ нужно знать наизусть. Без первых трёх можно не мечтать о тройке, без остальных - о четвёрке с пятёркой.)
Зачем нужны формулы сокращённого умножения?
Есть две причины, выучить, даже зазубрить эти формулы. Первая - готовый ответ на автомате резко уменьшает количество ошибок. Но это не самая главная причина. А вот вторая...
Если Вам нравится этот сайт...
Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)
Можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся - с интересом!)
можно познакомиться с функциями и производными.
