Кубическое уравнение – алгебраическое уравнение третьей степени. Общий вид кубического уравнения: ах3 + bх2 + сх + d = 0, а ≠ 0

Заменяя в этом уравнении х новым неизвестным у, связанным с х равенством х = у – (b/3а), кубическое уравнение можно привести к более простому (каноническому) виду: у3 + pу + q = 0, где p = - b2 + с, q = 2b – bс + d

3а2 а 27а3 3а2 а решение этого уравнения можно получить с помощью формулы Кардано.

1. 1 История кубических уравнений

Термин «кубическое уравнение» ввели Р. Декарт (1619 г.) и У. Оутред (1631г.).

Первые попытки найти решения задач, сводящихся к кубическим уравнениям, были сделаны математиками древности (например, задачи об удвоении куба и трисекции угла).

Математики средневековья Востока создали довольно развитую теорию (в геометрической форме) кубических уравнений; наиболее обстоятельно она изложена в трактате доказательств задач алгебры и алмукабалы «Омара Хайя» (около 1070 года), где рассмотрен вопрос о нахождении положительных корней 14 видов кубических уравнений, содержащих в обеих частях только члены с положительными коэффициентами.

В Европе впервые в тригонометрической форме решение одного случая кубического уравнения дал Виет (1953 г.).

Первое решение в радикалах одного из видов кубических уравнений удалось найти С. Ферро (около 1515 г.), однако оно не было опубликовано. Открытие независимо повторили Тарталья (1535 г.), указав правило решения еще двух других видов кубических уравнений. Опубликованы эти открытия в 1545 году Дж. Кардано, который упомянул об авторстве Н. Тартальи.

В конце XV в. профессор математики в университетах Рима и Милана Лука Пачоли в своем знаменитом учебнике «Сумма знаний по арифметике, геометрии, отношениям и пропорциональности» задачу о нахождении общего метода для решения кубических уравнений ставил в один ряд с задачей о квадратуре круга. И все же усилиями итальянских алгебраистов такой метод вскоре был найден.

Начнём с упрощения

Если кубическое уравнение общего вида ах3 + bх2 + сх + d = 0, где а ≠ 0, разделить на а, то коэффициент при х3 станет равен 1. Поэтому в дальнейшем будем исходить из уравнения х3 + Pх2 + Qх + R = 0. (1)

Так же как в основе решения квадратного уравнения лежит формула квадрата суммы, решение кубического уравнения опирается на формулу куба суммы:

(а + b)3 = а3 + 3а2b + 3аb2 + b3.

Чтобы не путаться в коэффициентах, заменим здесь а на х и перегруппируем слагаемые:

(х + b)3 = х3 + 3bх2 + 3b2х + b3. (2)

Мы видим, что надлежащим образом b, а именно взяв b = P/3, можно добиться того, что правая часть этой формулы будет отличаться от левой части уравнения х3 + Pх2 + Qх + R = 0 только коэффициентом при х и свободным членом. Сложим уравнение х3 + Pх2 + Qх + R = 0 и (х + b)3 = х3 + 3bх2 + 3b2х + b3 и приведём подобные:

(х + b)3 + (Q – 3b2)х + R – b3 = 0.

Если здесь сделать замену y = х + b, получим кубическое уравнение относительно у без члена с у2: у3 + ру + q = 0.

Итак, мы показали, что в кубическом уравнении х3 + Pх2 + Qх + R = 0 с помощью подходящей подстановки можно избавиться от члена, содержащего квадрат неизвестного. Поэтому теперь будем решать уравнение вида х3 + рх + q = 0. (3)

1. 2 История формулы Кардано

Формула Кардано названа по имени Дж. Кардано, впервые опубликовавшего её в 1545 году.

Автор этой формулы Никколо Тарталья. Он создал это решение в 1535 г. специально для участия в математическом состязании, в котором, естественно, победил. Тарталья, сообщая формулу (в стихотворной форме) Кардано, представил только ту часть решения кубического уравнения, в которой корень имеет одно (действительное) значение.

Результаты Кардано в этой формуле относятся к рассмотрению так называемого неприводимого случая, в котором уравнение имеет три значения (действительных значений, в те времена не было ни мнимых, ни даже отрицательных чисел, хотя попытки в этом направлении были). Однако, вопреки тому, что Кардано указал в своей публикации на авторство Тартальи, формулу называют именем Кардано.

1. 3 Формула Кардано

Теперь давайте еще раз обратимся к формуле куба суммы, но запишем ее иначе:

(а + b)3 = а3 + b3 + 3аb(а + b).

Сравните эту запись с уравнением х3 + рх + q = 0 и попробуйте установить связь между ними. Подставим в нашу формулу х = а + b: х3 = а3 + b3 + 3аbх, или х3 – 3аbх – (а3 + b3) = 0

Теперь уже ясно: для того, чтобы найти корень уравнения х3 + рх + q = 0, достаточно решить систему уравнений а3 + b3 = - q, а3 + b3 = - q, или

3аb = - p,а3b3 = - p 3,

3 и взять в качестве х сумму а и b. Заменой и = а3, v = b3 эта система приводится к совсем простому виду: и + v = - q, иv = - p 3.

Дальше можно действовать по-разному, но все «дороги» приведут к одному и тому же квадратному уравнению. Например, согласно теореме Виета, сумма корней приведенного квадратного уравнения равна коэффициенту при х со знаком минус, а произведение – свободному члену. Отсюда следует, что и и v – корни уравнения t2 + qt – (p/3)3 = 0.

Выпишем эти корни: t1,2 = - q ± q 2 + p 3.

Переменные а и b равны кубическим корням из t1 и t2, а искомое решение кубического уравнения х3 + рх + q = 0 – сумме этих корней: х = 3 – q + q 2 + p 3+ 3 – q – q 2 + p 3.

Эта формула известна как формула Кардано.

Решаем уравнения

Прежде, чем посмотреть на формулу Кардано в работе, поясним, как по одному корню кубического уравнения х3 + рх + q = 0 найти другие его корни, если они есть.

Пусть известно, что наше уравнение имеет корень h. Тогда его левую часть можно разложить на линейный и квадратный множители. Делается это очень просто. Подставляем в уравнение выражение свободного члена через корень q = - h3 – ph и пользуемся формулой разности кубов:

0 = х3 – h3 + px – ph = (x – h)(x2 + hx + h2) + p(x - h) = (x – h)(x2 + hx + h2 + p).

Теперь можно решить квадратное уравнение х2 + hx + h2 + p = 0 и найти остальные корни данного кубического уравнения.

Итак, мы во всеоружии и, казалось бы, можем справиться с любым кубическим уравнением. Давайте попробуем свои силы.

1. Начнем с уравнения х3 + 6х – 2 = 0

Подставляем в формулу Кардано p = 6 и q = -2 и после несложных сокращений получаем ответ: х = 3√4 – 3√2. Что ж, формула вполне симпатичная. Только перспектива выносить множитель х – (3√4 – 3√2) из левой части уравнения и решать остающееся квадратное уравнение со «страшными» коэффициентами для вычисления других корней не очень-то вдохновляет. Однако, присмотревшись к уравнению внимательнее, можно успокоиться: функция в левой части строго возрастает и поэтому может обращаться в нуль только один раз. Значит, найденное число – единственный действительный корень уравнения.

у у = х3 + 6х – 2

3√4 – 3√2 х

Рис. 1 График функции у = х3 + 6х – 2 пересекает ось абсцисс в одной точке - 3√4 – 3√2.

2. Следующий пример – уравнение х3 + 3х – 4 = 0.

Формула Кардано дает х = 3 2 + √5 + 3 2 - √5.

Как и в предыдущем примере, мы видим, что этот корень единственный. Но не нужно обладать сверхпроницательностью, чтобы, глядя на уравнение, угадать его корень: х = 1. Приходится признать, что формула выдала обычную единицу в таком причудливом виде. Между прочим, упростить это громоздкое, но не лишенное изящества выражение алгебраическими преобразованиями не удается – кубические иррациональности в нем неустранимы.

3. Ну а теперь возьмем уравнение, заведомо имеющее три действительных корня. Составить его легко – просто перемножим три скобки вида х – b. Нужно только позаботиться, чтобы сумма корней равнялась нулю, ведь, по общей теореме Виета, она отличается от коэффициента при х2 только знаком. Самый простой набор таких корней – это 0, 1 и – 1.

Применим формулу Кардано к уравнению х (х – 1)(х + 1) = 0, или х3 – х = 0.

Полагая в ней p = -1 и q = 0, получаем х = 3 √ - 1/27 + 3 - √ - 1/27.

у у = х (х - 1)(х + 1)

Рис. 2 Уравнение х (х – 1)(х + 1) = 0 имеет три действительных корня: -1, 0 и 1. Соответственно график функции у = х (х – 1)(х + 1) пересекает ось абсцисс в трех точках.

Под знаком квадратного корня появилось отрицательное число. Такое бывает и при решении квадратных уравнений. Но квадратное уравнение в этом случае не имеет действительных корней, а у кубического их целых три!

Более тщательный анализ показывает, что мы попали в эту ловушку не случайно. Уравнение х3 + px + q = 0 имеет три действительных корня тогда и только тогда, когда выражение Δ = (q/2)2 + (p/3)3 под квадратным корнем в формуле Кардано отрицательно. Если Δ > 0, то действительный корень один (рис. 3, б), а если Δ = 0, то их два (один из них – двукратный), за исключением случая p = q = 0, когда все три корня сливаются.

у Δ 0 у = -pх - q у = х3

0 х 0 х у = -pх - q у = х3 а) б)

Рис. 3 Кубическое уравнение х3 + px + q = 0 можно представить в виде х3 = -px – q. Отсюда видно, что корням уравнения будут соответствовать абсциссы точек пересечения двух графиков: у = х3 и у = -px – q. Если Δ 0 – один.

1. 4 Теорема Виета

Теорема Виета. Если целое рациональное уравнение степени n, приведенное к стандартному виду, имеет n различных действительных корней х1, х2,. хn, то они удовлетворяют равенствам: х1 + х2 + + хn = - а1 , а0 х1х2 + х1х3 + + хn-1хn = а2 а0 х1 · х2 · · хn = (-1)nаn.

Для корней уравнения третьей степени а0х3 + а1х2 + а2х + а3 = 0, где а0 ≠ 0 справедливы равенства х1 + х2 + х3 = - а1, а0 х1х2 + х1х3 + х2х3 = а2, а0 х1х2х3 = - а3.

1. 5 Теорема Безу. Схема Горнера

Решение уравнений тесно связано с разложением многочленов на множители. Поэтому при решении уравнений важно все, что связано с выделением в многочлене линейных множителей, т. е. с делением многочлена А(х) на двучлен х – α. Основой многих знаний о делении многочлена А(х) на двучлен х – α, является теорема, принадлежащая французскому математику Этьену Безу (1730-1783 гг.) и носящая его имя.

Теорема Безу. Остаток от деления многочлена А(х) на двучлен х – α равен А(α) (т. е. значению многочлена А(х) при х = α).

Найдем остаток от деления многочлена А(х) = х4 – 6х3 + 8 на х + 2.

Решение. По теореме Безу остаток от деления на х + 2 равен А(-2) = (-2)4 – 6(-2)3 + 8 = 72.

Удобный способ нахождения значений многочлена при заданном значении переменной х ввел английский математик Вильямс Джордж Горнер (1786-1837 гг.). Этот способ впоследствии получил название схемы Горнера. Он состоит в заполнении некоторой таблицы из двух строк. Например, чтобы вычислить А(-2) в предыдущем примере, в верхней строке таблицы перечисляем коэффициенты данного многочлена, записанного в стандартной форме х4 – 6х3 + 8 = х4 + (-6)х3 + 0 · х2 + 0 · х + 8.

Коэффициент при старшей степени дублируем в нижней строке, а перед ним записываем значение переменной х = -2, при котором вычисляется значение многочлена. Получается следующая таблица:

Пустые клетки таблицы заполняем по следующему правилу: крайнее справа число нижней строки умножается на -2 и складывается с числом, стоящим над пустой клеткой. По этому правилу в первой пустой клетке стоит число (-2) · 1 + (-6) = -8, во второй клетке ставится число (-2) · (-8) + 0 = 16, в третьей клетке – число (-2) · 16 + 0 = - 32, в последней клетке – число (-2) · (-32) + 8 = 72. Полностью заполненная по схеме Горнера таблица выглядит так:

2 1 -8 16 -32 72

Число в последней клетке и есть остаток от деления многочлена на х + 2, А(-2) = 72.

На самом деле из полученной таблицы, заполненной по схеме Горнера, можно записать не только остаток, но и неполное частное

Q(x) = x3 – 8x2 + 16x – 32, так как число, стоящее на второй строке (не считая с последнего), - это коэффициенты многочлена Q(x) – неполного частного от деления на х + 2.

Решим уравнение х3 – 2х2 – 5х + 6 = 0

Выпишем все делители свободного члена уравнения: ± 1, ± 2, ± 3, ± 6.

х = 1, х = -2, х = 3

Ответ: х = 1, х = -2, х = 3

2. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Сформулирую основные выводы о проделанной работе.

В процессе работы я познакомился с историей развития проблемы решения уравнения третьей степени. Теоретическая значимость полученных результатов заключается в том, что осознанно занимает место формулы Кардано в решении некоторых уравнений третьей степени. Я убедился в том, что формула решения уравнения третьей степени существует, но из-за её громоздкости она не популярна и не очень надежна, так как не всегда достигает конечного результата.

В дальнейшем можно рассматривать такие вопросы: как узнать заранее, какие корни имеет уравнение третьей степени; можно ли кубическое уравнение решить графическим способом, если можно, то как; как оценить приближенно корни кубического уравнения?

Изложено, как решать кубические уравнения. Рассмотрен случай, когда известен один корень. Методы поиска целых и рациональных корней. Применение формул Кардано и Виета для решения любого кубического уравнения.

Здесь мы рассматриваем решение кубических уравнений вида
(1) .
Далее считаем, что - это действительные числа.


(2) ,
то разделив его на , получаем уравнение вида (1) с коэффициентами
.

Уравнение (1) имеет три корня: , и . Один из корней всегда действительный. Действительный корень мы обозначаем как . Корни и могут быть либо действительными, либо комплексно сопряженными. Действительные корни могут быть кратными. Например, если , то и - это двукратные корни (или корни кратности 2), а - простой корень.

Если известен один корень

Пусть нам известен один корень кубического уравнения (1). Обозначим известный корень как . Тогда разделив уравнение (1) на , получим квадратное уравнение. Решая квадратное уравнение, найдем еще два корня и .

Для доказательства воспользуемся тем, что кубический многочлен можно представить в виде:
.
Тогда, разделив (1) на , получаем квадратное уравнение.

Примеры деления многочленов представлены на странице
“Деление и умножение многочлена на многочлен уголком и столбиком ”.
Решение квадратных уравнений рассмотрено на странице
“Корни квадратного уравнения ”.

Если один из корней - целый

Если исходное уравнение имеет вид:
(2) ,
и его коэффициенты , , , - целые числа, то можно попытаться найти целый корень. Если это уравнение имеет целый корень, то он является делителем коэффициента . Метод поиска целых корней заключается в том, что мы находим все делители числа и проверяем, выполняется ли для них уравнение (2). Если уравнение (2) выполняется, то мы нашли его корень. Обозначим его как . Далее делим уравнение (2) на . Получаем квадратное уравнение. Решая его, находим еще два корня.

Примеры определения целых корней даны на странице
Примеры разложения многочленов на множители > > > .

Поиск рациональных корней

Если в уравнении (2) , , , - целые числа, причем , и целых корней нет, то можно попытаться найти рациональные корни, то есть корни вида , где и - целые.

Для этого умножим уравнение (2) на и сделаем подстановку :
;
(3) .
Далее ищем целые корни уравнения (3) среди делителей свободного члена .

Если мы нашли целый корень уравнения (3), то, возвращаясь к переменной , получаем рациональный корень уравнения (2):
.

Формулы Кардано и Виета для решения кубического уравнения

Если нам не известен ни один корень, и целых корней нет, то найти корни кубического уравнения можно по формулам Кардано.

Рассмотрим кубическое уравнение:
(1) .
Сделаем подстановку:
.
После этого уравнение приводится к неполному или приведенному виду:
(4) ,
где
(5) ; .

Использованная литература:
И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов, «Лань», 2009.
Г. Корн, Справочник по математике для научных работников и инженеров, 2012.

Симонян Альбина

В работе рассмотрены приёмы и методы решения кубических уравнений. Применение формулы Кардано для решения задач при подготовке к ЕГЭ по математике.

Скачать:

Предварительный просмотр:

МОУ ДОД Дворец творчества детей и молодежи

Донская Академия Наук Юных Исследователей

Секция: математики - алгебра и теория чисел

Исследовательская работа

«Заглянем в мир формул»

по теме «Решение уравнений 3 степени»

Руководитель: учитель математики Бабина Наталья Алексеевна

Г.Сальск 2010

  1. Введение …………………………………………………………………………….3
  2. Основная часть…………………………………………………………………….4
  3. Практическая часть……………………………………………………………10-13
  4. Заключение………………………………………………………………………….14
  5. Литература…………………………………………………………………………..15
  6. Приложения

1.Введение

Математическое образование, получаемое в общеобразовательных школах, является важнейшим компонентом общего образования и обшей культуры современного человека. Практически все, что окружает человека –это все так или иначе связано с математикой. А последние достижения в физике, технике, информационных технологиях не оставляет сомнения, что и в будущем положение вещей остается прежним. Поэтому решение многих практических задач сводится к решению различных видов уравнений, которые необходимо научится решать. Линейные уравнения первой степени, нас учили решать еще в первом классе, и особого интереса к ним мы не проявляли. Интереснее нелинейные уравнения – уравнения больших степеней. Математика выявляет порядок, симметрию и определенность, а это – высшие виды прекрасного.

Целью моего проекта”Заглянем в мир формул” по теме “Решение кубических уравнений третий степени”, является систематизирование знаний о способах решения кубических уравнений, установление факта существования формулы для нахождения корней уравнения третий степени, а также связи между корнями и коэффициентами в кубическом уравнении. Мы на занятиях решали уравнения и кубические, и степени выше 3-х. Решая уравнения разными методами, мы складывали, вычитали, умножали, делили коэффициенты, возводили их в степень и извлекали из них корни, коротко говоря, выполняли алгебраические действия. Есть формула для решения квадратных уравнений. А существует ли формула для решения уравнения третьей степени, т.е. указания, в каком именно порядке и какие именно алгебраические действия надо произвести с коэффициентами, чтобы получить корни. Мне стало интересно узнать, не попытались ли известные математики отыскать общую формулу, пригодную для решения кубических уравнений? А если попытались, смогли ли они получить выражение корней через коэффициенты уравнения?

2. Основная часть:

В те далекие времена, когда мудрецы впервые стали задумываться о равенствах,содержащих неизвестные величины, наверное, еще не было ни монет, ни кошельков. В древних математических задачах Междуречья, Индии, Китая, Греции неизвестные величины выражали число павлинов в саду, количество быков в стаде, совокупность вещей, учитываемых при разделе имущества. Дошедшие до нас источники свидетельствуют, что древние ученые владели какими-то общими приемами решения задач с неизвестными величинами. Однако ни в одном папирусе, ни в одной глиняной табличке не дано описания этих приемов. Исключением является "Арифметика" греческого математика Диофанта Александрийского (III в.) – собрание задач на составление уравнений с систематическим изложением их решений. Однако первым руководством по решению задач, получившим широкую известность, стал труд багдадского ученого IX в. Мухаммеда Бен Мусы ал-Хорезми.

Так у меня возникла идея создания проекта «Заглянем в мир формул…», основополагающими вопросами данного проекта стали:

  1. установление, существует ли формула для решения кубических уравнений;
  2. в случае положительного ответа - поиск формулы, выражающей корни кубического уравнения через конечное число алгебраических операций над его коэффициентами.

Так как в учебниках, да и в других книгах по математике, большинство рассуждений и доказательств проводится не на конкретных примерах, а в общем виде, то я решила искать частные примеры, подтверждающие или опровергающие мою мысль. В поисках формулы решения кубических уравнений я решила действовать по знакомым алгоритмам решения квадратных уравнений. Например, решая уравнение х 3 + 2х 2 - 5х -6=0 выделила полный куб, применив формулу (х+а) 3 =х 3 + 3х 2 а +3а 2 х+а 3 . Чтобы выделить полный куб из левой части взятого мной уравнения, превратила в нем 2х 2 в 3х 2 а, т.е. искала такое а, чтобы было справедливо равенство 2х 2 = 3х 2 а . Нетрудно было вычислить, что а = . Преобразовала левую часть данного уравнения следующим образом: х 3 + 2х 2 -5х-6=0

(х 3 +3х 2 а+ 3х . +) - 3х . - - 5х - 6= (х+) 3 - 6х - 6 Сделала подстановку у = х + , т.е. х = у - у 3 - 6(у -) - 6=0; у 3 - 6у + 4- 6=0; Исходное уравнение приняло вид: у 3 - 6у - 2=0; Получилось не очень-то красивое уравнение, ведь вместо целых коэффициентов у меня теперь дробные, хотя и исчез член уравнения, содержащий квадрат неизвестного! Приблизилась ли я к цели? Ведь член, содержащий первую степень неизвестного, остался. Может быть, надо было выделить полный куб так, чтобы исчез член – 5х? (х+а) 3 =х 3 +3х 2 а+ 3а 2 х + а 3 . Отыскала такое а, чтобы 3а 2 х = -5х ; т.е. чтобы а 2 = - Но тут-то получилось совсем нехорошо – в этом равенстве слева стоит положительное число, а справа – отрицательное. Такого равенства быть не может. Уравнение пока мне не удалось решить, я смогла его привести лишь к виду у 3 - 6у - 2=0.

Итак, итог проделанной мной работы на начальном этапе: смогла из кубического уравнения удалить член, содержащий вторую степень, т.е. если дается каноническое уравнение ах 3 +вх 2 +сх+d, то его можно привести к неполному кубическому уравнению х 3 +рх+q=0. Далее, работая с разной справочной литературой, я смогла узнать, что уравнение вида х 3 +рх=q удалось решить итальянскому математику Даль Ферро (1465- 1526). Почему для такого вида, а не для вида х 3 +рх+q=0? Это потому что, тогда еще не были введены отрицательные числа и уравнения рассматривались лишь с положительными коэффициентами. А отрицательные числа получили признание чуть попозже. Историческая справка: Даль Ферро подбирал многочисленные варианты по аналогии с формулой корней приведенного квадратного уравнения. Рассуждал он так: корень квадратного уравнения есть - ± т.е. имеет вид: х=t ± . Значит, корнем кубического уравнения тоже должна быть сумма или разность каких –то чисел, причем, наверное, среди них должны быть и корни третьей степени. Каких - же именно? Из многочисленных вариантов один оказался удачным: ответ он нашел в виде разности - Еще труднее было догадаться, что t и u надо подобрать так, чтобы =. Подставив вместо х разность - , а вместо р произведение получили: (-) 3 +3 (-)=q. Раскрыли скобки: t - 3 +3- u+3- 3=q. После приведения подобных членов получили: t-u=q.

Получилась система уравнений:

t u = () 3 t-u=q. Возведем правую и левую части первого уравнения в квадрат, а второе уравнение умножим на 4 и сложим первое и второе уравнения. 4t 2 +2tu +u 2 =q 2 +4() 3 ; (t+u) 2 =4()+() 3 t+u =2 Из новой системы t+u=2 ; t -u=q имеем: t= + ; u= - . Подставив вместо х выражение - получили В ходе работы над проектом я узнала любопытнейшие материалы. Оказывается, Даль Ферро не опубликовал найденного им метода, но некоторые его ученики знали об этом открытии, и вскоре один из них, Антонио Фиор, решил этим воспользоваться. В те годы были распространены публичные диспуты по научным вопросам. Победители таких диспутов обычно получали неплохое вознаграждение, их часто приглашали на высокие должности.

В это же время в итальянском городе Верона жил небогатый учитель математики Николо (1499-1557), прозванный Тартальей (т.е. заикой). Он был очень талантливым и сумел заново открыть прием Даля Ферро(Приложение 1). Состоялся поединок между Фиором и Тартальей. По условию соперники обменялись тридцатью задачами, на решение которых отводилось 50 дней. Но т.к. Фиор знал по существу лишь одну задачу и был уверен, что какой-то учитель решить ее не может, то все 30 задач оказались однотипными. Тарталья справился с ними за 2 часа. Фиор же не смог решить ни одной задачи, предложенных противником. Победа прославила Тарталью на всю Италию, но вопрос до конца не был решен. .

Все это удалось сделать Джероламо Кардано. Ту самую формулу, которую открыл Даль Ферро и переоткрыл Тарталья называют формулой Кардано(Приложение 2).

Кардано Джироламо (24.9.1501-21.9.1576) - итальянский математик, механик и врач. Родился в Павии. Учился в университетах Павии и Падуи. В молодости занимался медициной. В 1534г. стал профессором математики в Милане и Болонье. В математике с именем Кардано обычно связывают формулу для решения кубического уравнения, которую он позаимствовал у Н. Тартальи. Эта формула была опубликована в книге Кардано "Великое искусство, или О правилах алгебры" (1545г.). С того времени Тарталья и Кардано стали смертельными врагами. В этой книге систематически изложены современные Кардано методы решения уравнений, главным образом кубических. Кардано выполнил линейное преобразование, позволяющее привести кубическое уравнение к виду, свободному от члена 2-ой степени и указал на зависимость между корнями и коэффициентами уравнения, на делимость многочлена на разность x –a, если a-его корень. Кардано одним из первых в Европе допускал существование отрицательных корней уравнений. В его работе впервые появляются мнимые величины. В механике Кардано занимался теорией рычагов и весов. Одно из движений отрезка по сторонам прямого угла механики называют карда новым движением. Итак, по формуле Кардано можно решать уравнения вида х 3 +рх+q=0 (Приложение 3)

Кажется, проблема решена. Есть формула для решения кубических уравнений.

Вот она!

Выражение, стоящее под корнем - дискриминант. D = () 2 + () 3 Я решила вернуться к моему уравнению и попытаться решить его по формуле Кардано: Моё уравнение имеет вид: у 3 - 6у - 2=0, где р= - 6=-; q = - 2 = - . Легко подсчитать, что () 3 = =- и () 2 = =, () 2 + () 3 = = - = - . А дальше? Из числителя этой дроби я корень извлекла легко, получилось 15. А что делать со знаменателем? Мало того, что корень не извлекается нацело, так ведь еще извлекать – то его надо из отрицательного числа! В чем же дело? Можно предположить, что это уравнение не имеет корней, ведь при D Итак, в ходе работы над проектом встретилась с очередной проблемой. В чем же дело? Я стала составлять уравнения, имеющие корни, но не содержащие члена квадрата неизвестного:

  1. составила уравнение, имеющее корень х= - 4.

х 3 +15х+124=0 И действительно, проверкой убедилась, что -4 является корнем уравнения. (-4) 3 +15*(-4)+124=- 64 – 60 +124=0,

Проверила, можно ли получить этот корень по формуле Кардано х=+=+= =1- 5 =- 4

Получила, х = -4.

  1. составила второе уравнение, имеющее действительный корень х=1: х 3 + 3х – 4 =0 и проверила формулу.

И в этом случае формула действовала безотказно.

  1. подобрала уравнение х 3 +6х+2=0, имеющее один иррациональный корень.

Решив данное уравнение, я получила этот корень х = - И тут- то у меня появилось предположение: формула срабатывала, если уравнение имело всего один корень. А моё уравнение, решение которого загнало меня в тупик, имело три корня! Вот где нужно искать причину! Теперь я взяла уравнение, имеющее три корня: 1; 2; -3. х 3 – 7х +6=0 p= -7; q = 6. Проверила дискриминант: D = () 2 + () 3 = () 3 + (-) 3 = 9 -

Как я и предположила, под знаком квадратного корня опять оказалось отрицательное число. Я пришла к выводу: путь к трем корням уравнения х 3 +рх+q=0 ведет через невозможную операцию извлечения квадратного корня из отрицательного числа.

  1. Теперь мне осталось узнать, с чем же я столкнусь в случае, когда уравнение имеет два корня. Выбрала уравнение, имеющее два корня: х 3 – 12 х + 16 = 0. p = -12, q = 16.

D=() 2 +() 3 =() 2 +() 3 =64-64=0 D = 64 – 64 = 0. Теперь можно было сделать вывод, что число корней кубического уравнения вида х 3 +рх+q=0 зависит от знака дискриминанта D=() 2 +() 3 следующим образом:

Если D>0, то уравнение имеет 1 решение.

Если D

Если D=0, то уравнение имеет 2 решение.

Подтверждение моего вывода я нашла в справочнике по математике, автор Н.И.Бронштейн. Итак, мой вывод : формулой Кардано можно пользоваться, когда мы уверены, что корень единственный. Мне удалось установить, что существует формула для поиска корней кубического уравнения, но для вида х 3 +рх+q=0.

3. Практическая часть .

Работа над проектом «… очень помогла мне при решении некоторых задач с параметрами. Например: 1. При каком наименьшем натуральном значении а уравнение х 3 -3х+4=а имеет 1 решение? Уравнение переписали в виде х 3 -3х+4-а=0; р= -3; q=4-а. По условию оно должно иметь 1 решение т.е. D>0 Найдем D. D=() 2 +(-) 3 = +(-1) 3 = == а 2 -8а+12>0

А (-∞;2) (6; ∞)

Наименьшее натуральное значение а из этого промежутка – это 1.

Ответ. 1

2. При каком наибольшем натуральном значении параметра а уравнение х 3 +х 2 -8х+2-а=0 имеет три корня?

Уравнение х 3 +3х 2 -24х+6-3а=0 приводим к виду у 3 +ру+q=0, где а=1; в=3; с=-24; d=6-3а где q = - + и 3 p = q=32-3а; р=-27. Для данного вида уравнения D=() 2 + () 3 =() 2 +(-9) 3 = -729 =; D 2 -4 *9* (-1892) = 36864 + 68112 = 324 2 а 1 = ==28, а 2 == - = -7.

+_ . __-___ . _+

7 28

А (-7; 28)

Наибольшее натуральное значение а из этого интервала: 28.

Ответ.28

3. В зависимости от значений параметра а найти число корней уравнения х 3 – 3х – а=0

Решение. В уравнении р =-3; q = -а. D=() 2 + () 3 =(-) 2 +(-1) 3 = -1=.

_+ . __-__ . _+

При а (-∞;-2) (2;∞) уравнение имеет 1 решение;

При а (-2;2) уравнение имеет 3 корня;

При а = -2; 2 уравнение имеет 2 решения.

Тесты:

1.Сколько корней имеют уравнения:

1) х 3 -12х+8=0?

а) 1; б) 2; в)3; г)4

2) х 3 -9х+14=0

а) 1; б) 2; в)3; г)4

2.При каких значениях р уравнение х 3 +рх+8=0 имеет два корня?

а)3; б) 5; в) -3; г)5

Ответ: 1.г) 4

2.в) 3.

3.в)-3

Французский математик Франсуа Виет (1540-1603) за 400 лет до нас (Приложение 4) смог установить связь корней уравнения второй степени с их коэффициентами.

Х 1 +х 2 =-р;

Х 1 ∙х 2 =q.

Мне стало интересно узнать: а можно ли установить связь корней уравнения третьей степени с их коэффициентами? Если да, то какова эта связь? Так возник мой мини – проект. Я решила использовать имеющиеся навыки работы в области квадратных уравнений при решении моей проблемы. Действовала по аналогии. Взяла уравнение х 3 +рх 2 +qх+r =0. Если обозначим корни уравнения х 1 , х 2 , х 3 , то уравнение можно записать в виде (х-х 1 ) (х-х 2 ) (х-х 3 )=0 Раскрыв скобки, получим: х 3 -( х 1 +х 2 +х 3 )х 2 +(х 1 х 2 + х 1 х 3 +х 2 х 3 )х - х 1 х 2 х 3 =0. Получили следующую систему:

Х 1 +х 2 +х 3 = - р;

Х 1 х 2 х 3 = - r.

Таким образом, можно связать корни уравнений произвольной степени с их коэффициентами. Что же в интересующем меня вопросе можно извлечь из теоремы Виета?

1. Произведение всех корней уравнения равно модулю свободного члена. Если корни уравнения – целые числа, то они должны быть делителями свободного члена.

Опять вернемся к уравнению х 3 + 2х 2 -5х-6=0. Целые числа должны принадлежать множеству: ±1; ±2; ±3; ±6. Последовательно подставляя числа в уравнение, получим корни: -3; -1; 2.

2.Если решить это уравнение разложением на множители, теорема Виета дает «подсказку»: надо, чтобы при составлении групп для разложения появились числа – делители свободного члена. Ясно, что сразу может и не поучиться, ведь не все делители являются корнями уравнения. И, увы, может не получиться вообще – ведь корни уравнения могут и не быть целыми числами.

Решим уравнение х 3 +2х 2 -5х-6=0 разложением на множители. х 3 +2х 2 -5х-6=х 3 +(3х 2 - х 2 )-3х-2х-6=х 2 (х+3)– х(х+3) – 2(х+3)=(х+3)(х 2 –х-2)= =(х+3)(х 2 +х -2х -2)=(х+3)(х(х+1)-2(х+1))=(х+2)(х+1)(х-2) Исходное уравнение равносильно такому: (х+2)(х+1)(х-2)=0. А у этого уравнения три корня: -3;-1;2. Пользуясь «подсказкой» теоремы Виета я решила такое уравнение: х 3 -12х+16=0 х 1 х 2 х 3 = -16. Делители свободного члена: ±1;±2;±4;±8;±16. х 3 -12х+16= х 3 -4х-8х+16= (х 3 -4х)-(8х-16)=х(х 2 -4)-8(х-2)=х(х-2)(х+2)-8(х-2)=

=(х-2)(х(х+2)-8)=(х-2)(х 2 +2х-8) (х-2)(х 2 +2х-8)=0 х-2=0 или х 2 +2х-8=0 х=2 х 1 =-4; х 2 =2. Ответ. -4; 2.

3.Зная полученную систему равенств, можно найти по корням уравнения неизвестные коэффициенты уравнения .

Тесты:

1. Уравнение х 3 +рх 2 + 19х - 12=0 имеет корни 1, 3, 4. Найти коэффициент р; Ответ. а) 12; б) 19; в) -12; г) -8 2. Уравнение х 3 – 10 х 2 + 41х +r=0 имеет корни 2, 3, 5. Найти коэффициент r; Ответ. а) 19; б)-10; в) 30; г) -30.

Задания на применение результатов данного проекта в достаточном количестве можно найти в пособии для поступающих в вузы под редакцией М.И.Сканави. Знание теоремы Виета может оказать неоценимую помощь при решении таких задач.

№6.354

4. Заключение

1. Существует формула, выражающая корни алгебраического уравнения через коэффициенты уравнения: где D==() 2 + () 3 D>0, 1 решение. Формула Кардано.

2. Свойство корней кубического уравнения

Х 1 +х 2 +х 3 = - р;

Х 1 . х 2 + х 1 х 3 +х 2 х 3 = q;

Х 1 х 2 х 3 = - r.

В итоге я пришла к выводу, что существует формула, выражающая корни кубических уравнений через его коэффициенты, а также существует связь между корнями и коэффициентами уравнения.

5. Литература:

1.Энциклопедический словарь юного математика. А.П.Савин. –М.: Педагогика, 1989.

2.Единый государственный экзамен по математике – 2004. Задачи и решения. В.Г.Агаков, Н.Д.Поляков, М.П.Урукова и др. Чебоксары. Изд-во Чуваш. ун-та, 2004.

3.Уравнения и неравенства с параметрами. В.В.Мочалов, Сильвестров В.В. Уравнения и неравенства с параметрами: Учеб. пособие. –Чебоксары: Изд-во Чуваш. Ун-та, 2004.

4.Задачи по математике. Алгебра. Справочное пособие. Вавилов В.В., Олехник С.Н.-М.: Наука, 1987.

5.Решебник всех конкурсных задач по математике сборника под редакцией М.И.Сканави. Издательство «Украинская энциклопедия» имени М.П.Бажова, 1993.

6.За страницами учебника алгебры. Л.Ф.Пичурин.-М.: Просвещение,1990.

Предварительный просмотр:

Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com


Подписи к слайдам:

Заглянем в мир формул

Математическое образование, получаемое в общеобразовательных школах, является важнейшим компонентом общего образования и обшей культуры современного человека. Практически все, что окружает человека –это все так или иначе связано с математикой. А последние достижения в физике, технике, информационных технологиях не оставляет сомнения, что и в будущем положение вещей остается прежним. Поэтому решение многих практических задач сводится к решению различных видов уравнений, которые необходимо научится решать. Линейные уравнения первой степени, нас учили решать еще в первом классе, и особого интереса к ним мы не проявляли. Интереснее нелинейные уравнения – уравнения больших степеней. Математика выявляет порядок, симметрию и определенность, а это – высшие виды прекрасного. Введение:

уравнение имеет вид (1) преобразуем уравнение так, чтобы выделить точный куб: умножим (1) уравнения на 3 (2) преобразуем (2) уравнения получим следующее уравнение возведем в третью степень правую и левую часть (3) уравнения найдем корни уравнения Примеры решения уравнения кубического вида

Квадратные уравнения уравнения вида где дискриминант Среди действительных чисел корней нет

Уравнение третей степени

Историческая справка: В те далекие времена, когда мудрецы впервые стали задумываться о равенствах содержащих неизвестные величины, наверное, еще не было ни монет, ни кошельков. В древних математических задачах Междуречья, Индии, Китая, Греции неизвестные величины выражали число павлинов в саду, количество быков в стаде, совокупность вещей, учитываемых при разделе имущества. Дошедшие до нас источники свидетельствуют, что древние ученые владели какими-то общими приемами решения задач с неизвестными величинами. Однако ни в одном папирусе, ни в одной глиняной табличке не дано описания этих приемов. Исключением является "Арифметика" греческого математика Диофанта Александрийского (III в.) – собрание задач на составление уравнений с систематическим изложением их решений. Однако первым руководством по решению задач, получившим широкую известность, стал труд багдадского ученого IX в. Мухаммеда Бен Мусы ал-Хорезми.

уравнение имеет вид (1) применим формулу 1) путем подбора найти а так чтобы выполнялось следующее равенство преобразуем левую часть (1) уравнение следующим образом: выделение полного куба взять в качестве у сумму получим уравнение относительно у (2) упростим (2) уравнение (3) В (3) уравнении исчез член содержавший квадрат неизвестного, но член содержавший первую степень неизвестного остался 2) путем подбора найти а так чтобы выполнялось следующее равенство Такое равенство невозможно так как слева стоит положительное число а слева отрицательное Если мы пойдем по этому пути то застрянем….На избранном пути нас постигнет неудача. Уравнение мы пока не можем решить.

Кубические уравнения уравнения вида где (1) 1. Упростим уравнения разделить на а, то коэффициент при "x" станет равен 1, следовательно решение любого кубического уравнения опирается на формулу куба суммы: (2) если взять то уравнения (1) отличается от уравнения (2) только коэффициентом при х и свободным членом. Сложим уравнения (1) и (2) и приведем подобные: если здесь сделать замену получим кубическое уравнение относительно у без члена:

Кардано Джироламо

Кардано Джироламо (24.9.1501-21.9.1576) - итальянский математик, механик и врач. Родился в Павии. Учился в университетах Павии и Падуи. В молодости занимался медициной. В 1534г. стал профессором математики в Милане и Болонье. В математике с именем Кардано обычно связывают формулу для решения кубического уравнения, которую он позаимствовал у Н. Тартальи. Эта формула была опубликована в книге Кардано "Великое искусство, или О правилах алгебры" (1545г.). С того времени Тарталья и Кардано стали смертельными врагами. В этой книге систематически изложены современные Кардано методы решения уравнений, главным образом кубических. Кардано выполнил линейное преобразование, позволяющее привести кубическое уравнение к виду, свободному от члена 2-ой степени;указал на зависимость между корнями и коэффициентами уравнения, на делимость многочлена на разность x –a, если a-его корень. Кардано одним из первых в Европе допускал существование отрицательных корней уравнений. В его работе впервые появляются мнимые величины. В механике Кардано занимался теорией рычагов и весов. Одно из движений отрезка по сторонам прямого угла механики называют кардановым движением. Биография Кардано Джироламо

В это же время в итальянском городе Верона жил небогатый учитель математики Николо (1499-1557), прозванный Тартальей (т.е. заикой). Он был очень талантливым и сумел заново открыть прием Даля Ферро. Состоялся поединок между Фиором и Тартальей. По условию соперники обменялись 30 задачами, на решение которых отводилось 50 дней. Но так как Фиор знал по существу лишь одну задачу и был уверен, что какой-то учитель решить ее не может, то все 30 задач оказались однотипными. Тарталья справился с ними за два часа. Фиор же не смог решить ни одну задачи, предложенных противником. Победа прославила Тарталью на всю Италию, но вопрос до конца не был решен.Тот простой прием, с помощью которого мы смогли справиться с членом уравнения, содержащим квадрат неизвестной величины (выделения полного куба), тогда еще не был открыт и решение уравнений разных видов не было приведено в систему. Поединок Фиора с Тартальей

уравнение вида из данного уравнения а посчитаем дискриминант уравнения Мало того, что корень данного уравнение не извлекается нацело, так ведь еще надо его извлекать из отрицательного числа. В чем же дело? Можно предположить, что это уравнение не имеет корней, ведь D

Корни кубического уравнения зависят от дискриминанта уравнение имеет 1 решение уравнение имеет 3 решения уравнение имеет 2 решения Вывод

уравнение имеет вид найдем корни уравнения по формуле Кардано Примеры решения кубических уравнений по формуле Кардано

уравнение вида (1) из данного уравнения а так как по условию данное уравнение должно иметь 1 решение значит Посчитаем дискриминант (1) уравнения + - + 2 6 Ответ: наименьше натуральное значение а из этого промежутка - это 1 При каком наименьшем натуральном значении а уравнение имеет 1 решение?

Решение кубических уравнений по методу Виета Уравнения имеет вид

Решить уравнение, если известно, что произведение двух его корней равно 1 по теореме Виета и условию имеем или значение подставим в первое уравнение или подставим значение из третьего уравнения в первое получим найдем корни уравнения или Ответ:

Используемая литература: « Математика. Учебно-методическое пособие » Ю.А.Гусман, А.О.Смирнов. Энциклопедия «Я познаю мир. Математика» - Москва, АСТ, 1996 год. « Математика. Учебно-методическое пособие » В.Т. Лисичкин. Пособие для поступающих в вузы под редакцией М.И.Сканави. Единый Государственный экзамен по математике – 2004г.

Спасибо за внимание

Кубические уравнения имеют вид ax 3 + bx 2 + cx + d = 0). Способ решения таких уравнений известен уже несколько столетий (он был открыт в 16 веке итальянскими математиками). Решить некоторые кубические уравнения довольно сложно, но при правильном подходе (и хорошем уровне теоретических знаний) вы сможете решать даже самые сложные кубические уравнения.

Шаги

Решение при помощи формулы для решения квадратного уравнения

    Как отмечалось выше, кубические уравнения имеют вид a x 3 + b x 2 + c x + d = 0 {\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0} , где коэффициенты c {\displaystyle c} и d {\displaystyle d} могут быть равны 0 {\displaystyle 0} , то есть кубическое уравнение может состоять только из одного члена (с переменной в третьей степени). Сначала проверьте, имеет ли данное вам кубическое уравнение свободный член, то есть d {\displaystyle d} . Если свободного члена нет, вы можете решить данное кубическое уравнение при помощи формулы для решения квадратного уравнения .

    • Если свободный член есть, используйте другой метод решения (смотрите следующие разделы).

  1. Так как в данном уравнении свободного члена нет, то все члены этого уравнения содержат переменную x {\displaystyle x} , которую можно вынести за скобки: x (a x 2 + b x + c) {\displaystyle x(ax^{2}+bx+c)} .

    • Пример. 3 x 3 + − 2 x 2 + 14 x = 0 {\displaystyle 3x^{3}+-2x^{2}+14x=0} . Если вынести x {\displaystyle x} за скобки, вы получите x (3 x 2 + − 2 x + 14) = 0 {\displaystyle x(3x^{2}+-2x+14)=0} .

  2. Обратите внимание, что уравнение в скобках - это квадратное уравнение вида ( a x 2 + b x + c {\displaystyle ax^{2}+bx+c} ), которое можно решить при помощи формулы ({-b +/-√ (). Решите квадратное уравнение, и вы решите кубическое уравнение.

    • В нашем примере подставьте значения коэффициентов a {\displaystyle a} , b {\displaystyle b} , c {\displaystyle c} ( 3 {\displaystyle 3} , − 2 {\displaystyle -2} , 14 {\displaystyle 14} ) в формулу: − b ± b 2 − 4 a c 2 a {\displaystyle {\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}} − (− 2) ± ((− 2) 2 − 4 (3) (14) 2 (3) {\displaystyle {\frac {-(-2)\pm {\sqrt {((-2)^{2}-4(3)(14)}}}{2(3)}}} 2 ± 4 − (12) (14) 6 {\displaystyle {\frac {2\pm {\sqrt {4-(12)(14)}}}{6}}} 2 ± (4 − 168 6 {\displaystyle {\frac {2\pm {\sqrt {(4-168}}}{6}}} 2 ± − 164 6 {\displaystyle {\frac {2\pm {\sqrt {-164}}}{6}}}
    • Решение 1: 2 + − 164 6 {\displaystyle {\frac {2+{\sqrt {-164}}}{6}}} 2 + 12.8 i 6 {\displaystyle {\frac {2+12.8i}{6}}}
    • Решение 2: 2 − 12.8 i 6 {\displaystyle {\frac {2-12.8i}{6}}}

  3. Помните, что квадратные уравнения имеют два решения, а кубические - три решения. Вы нашли два решения квадратного, а следовательно и кубического уравнения. В случаях, когда вы выносите "х" за скобки, третье решение всегда равно 0 {\displaystyle 0} .

    • Это верно, так как любое число или выражение, умноженное на 0 {\displaystyle 0} , равно 0 {\displaystyle 0} . Так как вы вынесли x {\displaystyle x} за скобки, то вы разложили кубическое уравнение на два множителя ( x {\displaystyle x} и квадратное уравнение), один из которых должен быть равен 0 {\displaystyle 0} , чтобы все уравнение равнялось 0 {\displaystyle 0} .

    Нахождение целых решений при помощи разложения на множители

    1. Проверьте, имеет ли данное вам кубическое уравнение свободный член. Описанный в предыдущем разделе метод не годится для решения кубических уравнений, в которых присутствует свободный член. В этом случае вам придется воспользоваться методом, который описан в этом или следующем разделах.

      • Пример. 2 x 3 + 9 x 2 + 13 x = − 6 {\displaystyle 2x^{3}+9x^{2}+13x=-6} . Здесь перенесите свободный член d = − 6 {\displaystyle d=-6} на левую сторону уравнения, чтобы на правой стороне получить 0 {\displaystyle 0} : 2 x 3 + 9 x 2 + 13 x + 6 = 0 {\displaystyle 2x^{3}+9x^{2}+13x+6=0} .

    2. Найдите множители коэффициента a {\displaystyle a} (коэффициент при x 3 {\displaystyle x^{3}} ) и свободного члена d {\displaystyle d} . Множители числа - это числа, которые при перемножении дают исходное число. Например, множителями числа 6 {\displaystyle 6} являются числа 1 {\displaystyle 1} , 2 {\displaystyle 2} , 3 {\displaystyle 3} , 6 {\displaystyle 6} ( 6 × 1 {\displaystyle 6\times 1} и 2 × 3 {\displaystyle 2\times 3} ).

      • В нашем примере a = 2 {\displaystyle a=2} и d = 6 {\displaystyle d=6} . Множители 2 {\displaystyle 2} - это числа 1 {\displaystyle 1} и 2 {\displaystyle 2} . Множители 6 {\displaystyle 6} - это числа 1 {\displaystyle 1} , 2 {\displaystyle 2} , 3 {\displaystyle 3} , и 6 {\displaystyle 6} .

    3. Разделите множители коэффициента a {\displaystyle a} на множители свободного члена d {\displaystyle d} . Вы получите дроби и целые числа. Целым решением данного вам кубического уравнения будет либо одно из этих целых чисел, либо отрицательное значение одного из этих целых чисел.

      • В нашем примере разделите множители a {\displaystyle a} ( 1 {\displaystyle 1} , 2 {\displaystyle 2} ) на множители d {\displaystyle d} ( 1 {\displaystyle 1} , 2 {\displaystyle 2} , 3 {\displaystyle 3} , 6 {\displaystyle 6} ) и получите: 1 {\displaystyle 1} , , , , 2 {\displaystyle 2} и . Теперь добавьте к этому ряду чисел их отрицательные значения: 1 {\displaystyle 1} , − 1 {\displaystyle -1} , 1 2 {\displaystyle {\frac {1}{2}}} , − 1 2 {\displaystyle -{\frac {1}{2}}} , 1 3 {\displaystyle {\frac {1}{3}}} , − 1 3 {\displaystyle -{\frac {1}{3}}} , 1 6 {\displaystyle {\frac {1}{6}}} , − 1 6 {\displaystyle -{\frac {1}{6}}} , 2 {\displaystyle 2} , − 2 {\displaystyle -2} , 2 3 {\displaystyle {\frac {2}{3}}} и − 2 3 {\displaystyle -{\frac {2}{3}}} . Целые решения данного вам кубического уравнения находятся в этом ряду чисел.

    4. Теперь вы можете найти целые решения вашего кубического уравнения, подставив в него целые числа из найденного ряда чисел. Но если вы не хотите тратить время на это, воспользуйтесь . Такая схема подразумевает деление целых чисел на значения a {\displaystyle a} , b {\displaystyle b} , c {\displaystyle c} , d {\displaystyle d} данного кубического уравнения. Если остаток равен 0 {\displaystyle 0} , целое число является одним из решений кубического уравнения.

      • Деление по схеме Горнера - непростая тема; для получения дополнительной информации по ней перейдите по ссылке, указанной выше. Вот пример того, как найти одно из решений данного вам кубического уравнения при помощи деления по схеме Горнера: -1 | 2 9 13 6 __| -2-7-6 __| 2 7 6 0 Так как остаток 0 {\displaystyle 0} , то одним из решений уравнения является целое число − 1 {\displaystyle -1} .

    Использование дискриминанта

    1. В этом методе вы будете работать со значениями коэффициентов a {\displaystyle a} , b {\displaystyle b} , c {\displaystyle c} , d {\displaystyle d} . Поэтому лучше выписать значения этих коэффициентов заранее.

      • Пример. math>x^3-3x^2+3x-1. Здесь a = 1 {\displaystyle a=1} , b = − 3 {\displaystyle b=-3} , c = 3 {\displaystyle c=3} , d = − 1 {\displaystyle d=-1} . Не забывайте, что когда перед x {\displaystyle x} коэффициента нет, то это значит, что коэффициент равен 1 {\displaystyle 1} .

    2. Вычислите △ = b 2 − 3 a c {\displaystyle \triangle _{0}=b^{2}-3ac} . В этом методе потребуется провести несколько сложных вычислений, но если вы уясните его, вы сможете решать самые сложные кубические уравнения. Для начала вычислите △ 0 {\displaystyle \triangle _{0}} , одну из нескольких важных величин, которые нам понадобятся, подставив соответствующие значения в формулу.

      • В нашем примере: b 2 − 3 a c {\displaystyle b^{2}-3ac} (− 3) 2 − 3 (1) (3) {\displaystyle (-3)^{2}-3(1)(3)} 9 − 3 (1) (3) {\displaystyle 9-3(1)(3)} 9 − 9 = 0 = △ 0 {\displaystyle 9-9=0=\triangle _{0}} 2 (− 27) − 9 (− 9) + 27 (− 1) {\displaystyle 2(-27)-9(-9)+27(-1)} − 54 + 81 − 27 {\displaystyle -54+81-27} 81 − 81 = 0 = △ 1 {\displaystyle 81-81=0=\triangle _{1}}

    3. Вычислите Δ = Δ1 2 - 4Δ0 3) ÷ -27a 2 . Теперь вычислите дискриминант уравнения при помощи найденных значений Δ0 и Δ1. Дискриминант - это число, дающее вам информацию о корнях многочлена (вы, возможно, уже знаете, что дискриминант квадратного уравнения равен b 2 - 4ac ). В случае кубического уравнения, если дискриминант положительный, то уравнение имеет три решения; если дискриминант равен нулю, то уравнение имеет одно или два решения; если дискриминант отрицательный, то уравнение имеет только одно решение. Кубическое уравнение всегда имеет по крайней мере одно решение, потому что график такого уравнения пересекает ось X по крайней мере в одной точке.

      • Если подставить в эту формулу соответствующие значения величин, вы получите возможные решения данного вам кубического уравнения. Подставьте их в исходное уравнение и если равенство соблюдено, то решения правильные. Например, если, подставив значения в формулу, вы получили 1, подставьте 1 в x 3 - 3x 2 + 3x - 1 и получите 0. То есть равенство соблюдено, и 1 является одним из решений данного вам кубического уравнения.

Введение

1. Теоретическая часть

1.1 Основные понятия и определения

1.3 Формула Кардано

2. Решение задач

Заключение


Введение


Уравнения. Можно утверждать наверняка, что не найдется ни одного человека, который бы не был знаком с ними. Дети сызмала начинают решать «задачи с иксом». Дальше - больше. Правда, для многих знакомство с уравнениями и заканчивается школьными делами. Известный немецкий математик Курант писал: «На протяжении двух с лишним тысячелетий обладание некоторыми, не слишком поверхностными, знаниями в области математики входило необходимой составной частью в интеллектуальный инвентарь каждого образованного человека». И среди этих знаний было умение решать уравнения.

Уже в древности люди осознали, как важно научиться решать алгебраические уравнения вида


a0xn + a1xn - 1 + … + an = 0


ведь к ним сводятся очень многие и очень разнообразные вопросы практики и естествознания (конечно, здесь можно сразу предполагать, что а0 ¹ 0, так как иначе степень уравнения на самом деле не n, а меньше). Многим, разумеется, приходила в голову заманчивая мысль найти для любой степени n формулы, которые выражали бы корни уравнения через его коэффициенты, т.е., решали бы уравнение в радикалах. Однако «мрачное средневековье» оказалось как нельзя более мрачным и в отношении обсуждаемой задачи - в течение целых семи столетий требуемых формул никто не нашел! Только в XVI веке итальянским математикам удалось продвинуться дальше - найти формулы для n = 3 и 4. История их открытий и даже авторство найденных формул достаточно темны по сей день, и мы не будем здесь выяснять сложные отношения между Ферро, Кардано, Тартальей и Феррари, а изложим лучше математическую суть дела.

Цель работы - исследовать различные методы решения уравнений третьей степени.

Для достижения поставленной цели необходимо выполнить ряд задач:

-Анализ научной литературы;

-Анализ школьных учебников;

-Подбор примеров для решения;

-Решение уравнений различными методами.

Работа состоит из двух частей. В первой рассматриваются различные методы решения уравнений. Вторая часть посвящена решению уравнений различными способами.


1. Теоретическая часть


1 Основные понятия и определения


Кубическое уравнение - это уравнение третьей степени вида:



Число x, обращающее уравнение в тождество, называется корнем или решением уравнения. Оно является также корнем многочлена третьей степени, стоящего в левой части канонической записи.

Над полем комплексных чисел, согласно основной теореме алгебры, кубическое уравнение всегда имеет 3 корня (с учётом кратности).

Так как каждый вещественный многочлен нечётной степени имеет хотя бы один вещественный корень, все возможные случаи состава корней кубического уравнения исчерпывается тремя, описанными ниже. Эти случаи легко различаются с помощью дискриминанта

Итак, возможны только три случая:

Если? > 0, тогда уравнение имеет три различных вещественных корня.

Если? < 0, то уравнение имеет один вещественный и пару комплексно сопряжённых корней.

Если? = 0, тогда хотя бы два корня совпадают. Это может быть, когда уравнение имеет двойной вещественный корень и ещё один отличный от них вещественный корень; либо, все три корня совпадают, образуя корень кратности 3. Разделить эти два случая помогает результант кубического уравнения и его второй производной: у многочлена есть корень кратности 3 тогда и только тогда, когда указанный результант так же равен нулю.

Корни кубического уравнения связаны с коэффициентами следующим образом:

1.2 Методы решения кубических уравнений


Наиболее распространенный метод решения кубических уравнений - метод перебора.

Сначала путём перебора найдём один из корней уравнения. Дело в том, что кубические уравнения всегда имеют по крайней мере один действительный корень, причем целый корень кубического уравнения с целыми коэффициентами является делителем свободного члена d. Коэффициенты этих уравнений обычно подобраны так, что искомый корень лежит среди небольших целых чисел, таких как: 0, ± 1, ± 2, ± 3. Поэтому мы будем искать корень среди этих чисел и проверять его путём подстановки в уравнение. Вероятность успеха при таком подходе очень высока. Предположим, что этот корень.

Вторая стадия решения - это деление многочлена на двучлен x - x1. Согласно теореме Безу это деление без остатка возможно, и мы получим в результате многочлен второй степени, который надо приравнять к нулю. Решая полученное квадратное уравнение, мы найдём (или нет) оставшиеся два корня.

Решение двучленного кубического уравнения

Двучленное кубическое уравнение имеет вид (2)

Это уравнение приводится к виду делением на коэффициент A, отличный от нуля. Далее применяется формула сокращенного умножения сумма кубов:

Из первой скобки находим, а квадратный трехчлен имеет лишь комплексные корни.

Возвратные кубические уравнения

Возвратное кубическое уравнение имеет вид и B -коэффициенты.

Проведем группировку:

Очевидно, что x=-1 является корнем такого уравнения, а корни полученного квадратного трехчлена легко находятся через дискриминант.


1.3 Формула Кардано


В общем случае, корни кубического уравнения находятся по формуле Кардано.

Для кубического уравнения (1) находятся значения с помощью подстановки: x= (2), и уравнение приводится к виду:

неполное кубическое уравнение, в котором будет отсутствовать слагаемое содержащее вторую степень.

Считаем, что уравнение имеет коэффициентами комплексные числа. Данное уравнение, всегда будет иметь комплексные корни.

Обозначим один из таких корней: . Введем вспомогательную неизвестную u и рассмотрим многочлен f(u)=.

Обозначим корни этого многочлена через? и?, по теореме Виетта (см. стр. 8):



Подставим в уравнение (3), выражение (4), получаем:



C другой стороны из (5): (7)

Отсюда следует, т.е из формул (6), (7), что числа являются корнями уравнения:

Из последнего уравнения:

Два других корня, находятся по формуле:


1.4 Тригонометрическая формула Виета


Эта формула находит решения приведенного кубического уравнения, то есть уравнения вида

Очевидно, что любое кубическое уравнение можно привести к уравнению вида (4), просто поделив его на коэффициент a. Итак, алгоритм применения этой формулы:

Вычисляем

2. Вычисляем

3. а) Если, то вычисляем

И наше уравнение имеет 3 корня (вещественных):


б) Если, то заменим тригонометрические функции гиперболическими.

Вычисляем

Тогда единственный корень(вещественный):

Мнимые корни:



В) Если, то уравнение имеет меньше трех различных решений:

2. Решение задач


Пример 1. Найти действительные корни кубического уравнения

Применяем формулу сокращенного умножения разность кубов:

Из первой скобки находим, квадратный трехчлен во второй скобке не имеет действительных корней, так как дискриминант отрицателен.

Пример 2. Решить уравнение

Это уравнение возвратное. Проведем группировку:


является корнем уравнения. Находим корни квадратного трехчлена

Пример 3. Найти корни кубического уравнения

Преобразуем уравнение к приведенному: домножим на обе части и проведем замену переменной.

Свободный член равен 36. Запишем все его делители:

Подставляем их по очереди в равенство до получения тождества:

Таким образом, является корнем. Ему соответствует

Разделим на, используя схему Горнера.


Коэффициенты многочлена2-11129-0.52-11+2*(-0.5)=-1212-12*(-0.5)=189+18*(-0.5)=0

Получаем

Найдем корни квадратного трехчлена:

Очевидно, что, то есть его кратным корнем является.

Пример 4.Найти действительные корни уравнения

является корнем уравнения. Найдем корни квадратного трехчлена.

Так как дискриминант меньше нуля, то действительных корней трехчлен не имеет.

Пример 5. Найти корни кубического уравнения 2.

Следовательно,

Подставляем в формулу Кардано:


принимает три значения. Запишем их.


При имеем

При имеем

При имеем

Разобьем эти значения по парам, которые в произведении дают

Первая пара значений и

Вторая пара значений и

Третья пара значений и

Возвращаемся к формуле Кардано

Таким образом,

Заключение

кубический уравнение трехчлен

В результате выполнения курсовой работы были исследованы различные методы решения уравнений третьей степени, такие, как метод перебора, формула Карано, формула Виета, методы решения возвратных, двучленных уравнений.


Список использованных источников


1)Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. «Справочник по математике для инженеров и учащихся ВТУЗов», М., 1986.

2)Колмогоров А.Н. Алгебра и начала анализа. Учебное пособие для 9-го класса средней школы, 1977.

)Омельченко В.П. Математика: учебное пособие / В.П. Омельченко, Э.В.Курбатова. - Ростов н/Д.: Феникс, 2005.- 380с.


Репетиторство

Нужна помощь по изучению какой-либы темы?

Наши специалисты проконсультируют или окажут репетиторские услуги по интересующей вас тематике.
Отправь заявку с указанием темы прямо сейчас, чтобы узнать о возможности получения консультации.