Изучение многих физических и геометрических закономерностей часто приводит к решению задач с параметрами. Некоторые ВУЗы также включают в экзаменационные билеты уравнения, неравенства и их системы, которые часто бывают весьма сложными и требующими нестандартного подхода к решению. В школе же этот один из наиболее трудных разделов школьного курса алгебры рассматривается только на немногочисленных факультативных или предметных курсах.
На мой взгляд, функционально-графический метод является удобным и быстрым способом решения уравнений с параметром.
Как известно, в отношении уравнений с параметрами встречаются две постановки задачи.

  1. Решить уравнение (для каждого значения параметра найти все решения уравнения).
  2. Найти все значения параметра, при каждом из которых решения уравнения удовлетворяют заданным условиям.

В данной работе рассматривается и исследуется задача второго типа применительно к корням квадратного трехчлена, нахождение которых сводится к решению квадратного уравнения.
Автор надеется, что данная работа поможет учителям при разработке уроков и при подготовке учащихся к ЕГЭ.

1. Что такое параметр

Выражение вида aх 2 + bх + c в школьном курсе алгебры называют квадратным трехчленом относительно х, где a, b, c – заданные действительные числа, причем, a =/= 0. Значения переменной х, при которых выражение обращается в нуль, называют корнями квадратного трехчлена. Для нахождения корней квадратного трехчлена, необходимо решить квадратное уравнение aх 2 + bх + c = 0.
Вспомним из школьного курса алгебры основные уравнения aх + b = 0;
aх2 + bх + c = 0. При поиске их корней, значения переменных a, b, c, входящих в уравнение считаются фиксированными и заданными. Сами переменные называют параметром. Поскольку, в школьных учебниках нет определения параметра, я предлагаю взять за основу следующий его простейший вариант.

Определение. Параметром называется независимая переменная, значение которой в задаче считается заданным фиксированным или произвольным действительным числом, или числом, принадлежащим заранее оговоренному множеству.

2. Основные типы и методы решения задач с параметрами

Среди задач с параметрами можно выделить следующие основные типы задач.

  1. Уравнения, которые необходимо решить либо для любого значения параметра (параметров), либо для значений параметра, принадлежащих заранее оговоренному множеству. Например. Решить уравнения: aх = 1, (a – 2)х = a 2 – 4.
  2. Уравнения, для которых требуется определить количество решений в зависимости от значения параметра (параметров). Например. При каких значениях параметра a уравнение 4х 2 – 4 aх + 1 = 0 имеет единственный корень?
  3. Уравнения, для которых при искомых значениях параметра множество решений удовлетворяет заданным условиям в области определения.

Например, найти значения параметра, при которых корни уравнения (a – 2)х 2 – 2aх + a + 3 = 0 положительные.
Основные способы решения задач с параметром: аналитический и графический.

Аналитический – это способ так называемого прямого решения, повторяющего стандартные процедуры нахождения ответа в задачах без параметра. Рассмотрим пример такой задачи.

Задача № 1

При каких значениях параметра а уравнение х 2 – 2aх + a 2 – 1 = 0 имеет два различных корня, принадлежащих промежутку (1; 5)?

Решение

х 2 – 2aх + a 2 – 1 = 0.
По условию задачи уравнение должно иметь два различных корня, а это возможно лишь при условии: Д > 0.
Имеем: Д = 4a 2 – 2(а 2 – 1) = 4. Как видим дискриминант не зависит от а, следовательно, уравнение имеет два различных корня при любых значениях параметра а. Найдем корни уравнения: х 1 = а + 1, х 2 = а – 1
Корни уравнения должны принадлежать промежутку (1; 5), т.е.
Итак, при 2 < а < 4 данное уравнение имеет два различных корня, принадлежащих промежутку (1; 5)

Ответ: 2 < а < 4.
Такой подход к решению задач рассматриваемого типа возможен и рационален в тех случаях, когда дискриминант квадратного уравнения «хороший», т.е. является точным квадратом какого либо числа или выражения или корни уравнения можно найти по теореме обратной т.Виета. Тогда, и корни не представляют собой иррациональных выражений. В противном случае решения задач такого типа сопряжено с достаточно сложными процедурами с технической точки зрения. Да и решение иррациональных неравенств требует от ученика новых знаний.

Графический – это способ, при котором используют графики в координатной плоскости (х;у) или (х;а). Наглядность и красота такого способа решения помогает найти быстрый путь решения задачи. Решим задачу № 1 графическим способом.
Как известно из курса алгебры корни квадратного уравнения (квадратного трехчлена) являются нулями соответствующей квадратичной функции: У = х 2 – 2ах + а 2 – 1. Графиком функции является парабола, ветви направлены вверх (первый коэффициент равен 1). Геометрическая модель, отвечающая всем требованиям задачи, выглядит так.

Теперь осталось «зафиксировать» параболу в нужном положении необходимыми условиями.

    1. Так как парабола имеет две точки пересечения с осью х , то Д > 0.
    2. Вершина параболы находится между вертикальными прямыми х = 1 и х = 5, следовательно абсцисса вершины параболы х о принадлежит промежутку (1; 5), т.е.
      1 <х о < 5.
    3. Замечаем, что у (1) > 0, у (5) > 0.

Итак, переходя от геометрической модели задачи к аналитической, получаем систему неравенств.

Ответ: 2 < а < 4.

Как видно из примера, графический способ решения задач рассматриваемого типа возможен в случае, когда корни «нехорошие», т.е. содержат параметр под знаком радикала (в этом случае дискриминант уравнения не является полным квадратом).
Во втором способе решения мы работали с коэффициентами уравнения и областью значения функции у = х 2 – 2ах + а 2 – 1.
Такой способ решения нельзя назвать только графическим, т.к. здесь приходится решать систему неравенств. Скорее этот способ комбинированный: функционально-графический. Из этих двух способов последний является не только изящным, но и наиболее важным, так как в нем просматриваются взаимосвязь между всеми типами математической модели: словесное описание задачи, геометрическая модель – график квадратного трехчлена, аналитическая модель – описание геометрической модели системой неравенств.
Итак, мы рассмотрели задачу, в которой корни квадратного трехчлена удовлетворяют заданным условиям в области определения при искомых значениях параметра.

А каким еще возможным условиям могут удовлетворять корни квадратного трехчлена при искомых значениях параметра?

Самым мощным инструментом при решении сложных задач с параметрами является теорема Виета. Но здесь нужно быть предельно внимательным к формулировке.

Этих двух теорем (прямой и обратной)

Теорема Виета

Если уравнение имеет корни и ; то выполнены равенства .

Особенности теоремы:

Первое . Теорема верна только для уравнения и не верна для

В последнем случае нужно сначала разделить обе части уравнения на ненулевой коэффициент а при х 2 , а потом уже применять теорему Виета.

Второе. Для использования результатов теоремы необходимо иметь факт существования корней уравнений т.е. не забывать наложить условие D>0

Обратная

Теорема Виета

Если есть произвольные числа и то они являются корнями уравнения

Очень важное замечание , облегчающее решение задач: обратная теорема гарантирует существование корней в уравнении что позволяет не возится с дискриминантом. Он автоматически в этом случае неотрицателен.

Условия на корни Равносильное условие на коэффициенты а,в,с, и дискриминант D
Корни существуют (и различны)
Корни существуют и равны Причем
Корни существуют и
Корни существуют и
Корни существуют и различны
Корни существуют, один корень равен нулю, а другой >0

1). Установить, при каких значениях параметра уравнение

Не имеет корней.

Если уравнение не имеет корней, то необходимо и достаточно, чтобы дискриминант

имеет различные положительные корни .

Раз корни есть, то если они оба положительные, то и Воспользуемся формулой Виета, тогда для данного уравнения

⟹

Имеет различные отрицательные корни


Имеет корни разного знака

Имеет совпадающие корни

2). При каких значениях параметра а оба корня квадратного уравнения будут положительными?

Решение.

Так как заданное уравнение является квадратным, то оба его корня (равные или различные) будут положительными, если дискриминант неотрицателен, а сумма и произведение корней положительны, то есть



Так как, а по теореме Виета,

То получим систему неравенств

3). Найти все значения параметра а неположительны.

Так как заданное уравнение является квадратным, то . Оба его корня (равные или различные) будут отрицательными или равными нулю, если дискриминант неотрицательный, сумма корней отрицательна или равна нулю, а произведение корней неотрицательно, то есть

а по теореме Виета

то получим систему неравенств.

откуда

4).При каких значениях параметра а равна 22.5 ?

Вначале предложим “ решение “, с которым нам не раз приходилось встречаться.

поскольку то получаем “Ответ” Однако при найденном значении а исходное уравнение корней не имеет.

В этом решении мы столкнулись с одной из “популярнейших” ошибок, связанной с применением теоремы Виета:

вести речь о корнях предварительно не выяснив, существуют они или нет.

Так, в данном примере, в первую очередь необходимо было установить, что лишь при исходное уравнение имеет корни. Только после этого можно обратится к выкладкам, приведенным выше.

Ответ: Таких а не существует.

5). Корни уравнения таковы, что Определить

Решение. По теореме Виета Возведем обе части первого равенства в квадрат Учитывая, что а получаем или Проверка показывает, что значения удовлетворяют исходному уравнению.

Ответ :

6).При каком значении параметра а сумма квадратов корней уравнения принимает наименьшее значение:

Найдем дискриминант данного уравнения. Имеем Здесь важно не сделать ошибочный вывод о том, что уравнение имеет два корня при любом а . оно действительно имеет два корня при любом, но допустимом а , т.е. при при

Используя теорему Виета, запишем

Таким образом, для получения ответа осталось найти наименьшее значение квадратичной функции

на множестве

Поскольку при а при то функция на указанном множестве принимает наименьшее значение в точке

Задачи для самостоятельного решения

1). Найти все значения параметра а , при которых корни квадратного уравнения

неотрицательны

2). Вычислить значение выражения ,где -корни уравнения

3). Найти все значения параметра а , при которых сумма квадратов действительных корней уравнения больше 6.

Ответ:

4).При каких значениях параметра а уравнение ах 2 -4х+а=0 имеет:

а) положительные корни

б) отрицательные корни

Расположение корней квадратичной функции относительно

заданных точек.

Для подобных задач характерна следующая формулировка: при каких значениях параметра корни (только один корень) больше (меньше, не больше, не меньше) заданного числа А; корни расположены между числами А и В; корни не принадлежат промежутку с концами в точках А и В и т.п.

При решении задач, связанных с квадратным трехчленом

часто приходится иметь дело со следующими стандартными ситуациями (которые мы сформулируем в виде «вопрос – ответ».

Вопрос 1 . Пусть дано число (1) оба его корня и больше т.е. ?

Ответ . Коэффициенты квадратного трехчлена (7) должны удовлетворять условиям

где - абсцисса вершины параболы .

Справедливость сказанного вытекает из рис. 1, на котором отдельно представлены случаи и Отметим, что двух условий и еще недостаточно, чтобы корни и были больше На первом из рис. 1 штрихом изображена парабола, удовлетворяющая этим двум условиям, но ее корни меньше Однако, если к указанным двум условиям добавить, что абсцисса вершины параболы больше то и корни будут большими чем

Вопрос 2 . Пусть дано число При каких условиях на коэффициенты квадратного трехчлена (1) его корни и лежат на разные стороны от т.е. ?

Ответ. коэффициенты квадратного трехчлена (1) должны удовлетворять условию

Справедливость сказанного вытекает из рис. 2, на котором отдельно представлены случаи и Отметим, что указанное условие гарантирует существование двух различных корней и квадратного трехчлена (1).

Вопрос 3 . При каких условиях на коэффициенты квадратного трехчлена (1) его корни и различны и только один из них лежит в заданном интервале

Ответ. Коэффициенты квадратного трехчлена (1) должны удовлетворять условию

Вопрос 4. При каких условиях на коэффициенты квадратного трехчлена (1) множество его корней не пусто и все его корни и лежат в заданном интервале т.е.


Ответ . Коэффициенты квадратного трехчлена (1) должны удовлетворять условиям

Для решения таких задач полезно работать с таблицей, которая приведена ниже.

Корни многочлена


.

Данные об авторе

Стукалова Надежда Васильевна

Место работы, должность:

МБОУ СОШ №15,учитель математики

Тамбовская область

Характеристики урока (занятия)

Уровень образования:

Среднее (полное) общее образование

Целевая аудитория:

Учащийся (студент)

Целевая аудитория:

Учитель (преподаватель)

Класс(ы):

Предмет(ы):

Алгебра

Предмет(ы):

Математика

Цель урока:

Тип урока:

Комбинированный урок

Учащихся в классе (аудитории):

Используемые учебники и учебные пособия:

А. Г. Мордкович, алгебра,9 класс, учебник,2011

А. Г. Мордкович, алгебра,9 класс, задачник,2011

С.А. Теляковский, алгебра 9 класс, учебник, 2009

Используемая методическая литература:

Мирошин, В.В. Решение задач с параметрами: Теория и практика / В.В. Мирошин.- М.: Экзамен, 2009.

Л. В Кузнецова Сборник заданий для экзамена

Используемое оборудование:

Компьютер, кинопроектор

Краткое описание:

План урока: 1. Организационный момент. 2. Обобщение и систематизация знаний (вспомнить необходимые и достаточные условия расположения корней квадратного трёхчлена на числовой прямой). 3. Решение задач с параметрами (работа в группах). 4. Самостоятельная работа с последующей проверкой. 5. Подведение итогов. 6. Домашнее задание.

Конспект урока

на тему

«Расположение корней квадратного трёхчлена

в зависимости от значений параметра»

учитель математики Стукалова Н.В. МБОУ СОШ №15

г. Мичуринск - наукоград РФ 2011г.

Цель урока:

Развивать практические умения и навыки учащихся по решению заданий с параметрами;

Подготовить учащихся к успешной сдачи ГИА по математике;

Развивать исследовательскую и познавательную деятельности учащихся;

Формировать интерес к математике;

Развивать математические способности учащихся.

План урока:

1. Организационный момент.

2. Обобщение и систематизация знаний (вспомнить необходимые и достаточные условия расположения корней квадратного трёхчлена на числовой прямой).

3. Решение задач с параметрами (работа в группах).

4. Самостоятельная работа с последующей проверкой.

5. Подведение итогов.

6. Домашнее задание.

Ход урока.

1. Организационный момент.

Учитель сообщает тему урока, ставит цели и задачи перед учащимися, сообщает план урока.

Задачи с параметрами вызывают большие затруднения. Это связано с тем, что решение таких задач требует не только знания свойств функций и уравнений, умения выполнять алгебраические преобразования, но также высокой логической культуры и хорошей техники исследования.

Наш урок посвящен решению задач по расположению корней квадратного трёхчлена на числовой прямой.

2. Обобщение и систематизация знаний:

Вспомнить необходимые и достаточные условия для выполнения различных требований расположения корней квадратного уравнения относительно заданных точек или промежутков.

После ответа учащихся демонстрируются слайды с правильным ответом.

1. Расположение корней по обе стороны от заданной на числовой прямой

точки.

условию х 1 < m<х 2, необходимо и достаточно выполнения неравенства аf(x)<0.

2. Расположение корней по обе стороны от заданного отрезка.

Для того чтобы корни квадратного уравнения при а ≠ 0 удовлетворяли

условию х 1 < m, х 2 < n, где m

системы неравенств

3. Расположение корней с одной стороны от заданной на числовой прямой

Точки.

Для того чтобы корни квадратного уравнения при а ≠ 0 удовлетворяли

условию m<х 1 <х 2, т.е располагались на числовой прямой правее точки х = m,

необходимо и достаточно выполнения системы неравенств

Если левее точки х = m, необходимо и достаточно выполнения

системы неравенств

4. Принадлежность корней заданному интервалу.

интервалу (m;n), необходимо и достаточно выполнения системы

неравенств

5.Принадлежность корней заданному отрезку.

Для того чтобы корни квадратного уравнения при а ≠ 0 принадлежали

интервалу , необходимо и достаточно выполнения системы

неравенств

3. Решение задач с параметрами.

Учащиеся разделены на 4 группы. В каждой группе есть дети более успешные в алгебре. Каждая группа начинает решение задачи, совпадающей с номером своей группы. После обсуждения хода решения задачи, от каждой группы по одному представителю выходят к доске и оформляют решение задачи своей группы, и объясняет её решение (на откидных досках). В это время ребята должны решить задачи другой группы (можно получать консультацию у учителя).

Задача №1.

При каких значениях параметра а один корень уравнения (12а + 7)х 2 + (9а - 42)х + +11 - 3а = =0 больше 1, другой корень меньше 1?

Решение.

Графиком функции у = f(х), где f(х) = (12а + 7)х 2 + (9а - 42)х + +11 - 3а, при

а ≠ - 7/12 является параболой, ветви которой при а > - 7/12 направлены вверх, при а < - 7/12 - вниз. Тогда значения параметра а удовлетворяют неравенству

(12а +)f(1)< 0, где f(1) = 12а+7+9а-42+11-3а = 18а-24. Решив неравенство (12а+7)(18а-24)<0, получим, что - 7/12<а<4/3. Ответ: (-7/12; 4/3).

Задача № 2 .

Найдите значения параметра а, при которых корни уравнения (1+а)х 2 - 3ах +4а = 0 больше 1.

Решение.

При а≠-1 заданное уравнение является квадратным и D= -а(7а+16). Получим систему , откуда -16/7≤а≤ -1.

Значения параметра, при которых корни данного уравнения при а ≠ - 1 больше 1, принадлежат промежутку [-16/7; -1).

При а = -1 заданное уравнение имеет вид3х - 4 = 0 и единственный корень

Ответ: [-16/7; -1]

Задача № 3 .

При каких значениях параметра kкорни уравнения (k-2)х 2 -2kх+2k-3=0

принадлежат интервалу (0;1)?

Решение.

При k≠2 искомые значения параметра должны удовлетворять системе неравенств

ГдеD= 4k 2 -4(k-2)(2k-3) = -4(k 2 -7k+6), f(0) = 2k-3? F(1) = k-5, x в = k/(k-2).

Данная система не имеет решений.

При k = 2 заданное уравнение имеет вид -4х+1 = 0, его единственный корень

х = ¼, который принадлежит интервалу (0;1).

Задача №4 .

При каких значениях а оба корня уравнения х 2 -2ах+а 2 -а = 0 расположены на отрезке?

Искомые значения должны удовлетворять системе неравенств

где D= 4а 2 -4(а 2 -а) = 4а, f(2) = a 2 -5a+4, f(6) = a 2 -13a+36, х в = а.

Единственным решением системы является значение, а = 4.

4. Самостоятельная работа (контрольно - обучающая).

Учащиеся работают в группах, выполняют один и тот же вариант, так как материал очень сложный и не всем может быть по силам.

№1. При каких значениях параметра а оба корня уравнения х 2 -2ах+а 2 - 1 =0 принадлежит интервалу (-2;4)?

№2. Найдите все значения k, при которых один корень уравнения

(k-5)x 2 -2kx+k-4=0 меньше1, а другой корень больше 2.

№3. При каких значениях а число 1 находится между корнями квадратного трехчлена х 2 + (а+1)х - а 2 ?

По окончании времени демонстрируются ответы. Осуществляется самопроверка самостоятельной работы.

5. Итог урока. Закончить предложение.

«Сегодня на уроке…».

«Мне запомнилось …».

«Хотелось бы отметить …».

Учитель анализирует весь ход урока и его основные моменты, оценивает деятельность каждого ученика на уроке.

6. Домашнее задание

(из сборника заданий для подготовки к ГИА в 9 классе авт. Л. В. Кузнецова)

Уравнения содержащие параметр.
Урок 2: Расположение корней квадратного уравнения в зависимости
от параметра.
Цель: Формировать умение распознавать положение параболы в
зависимости от ее коэффициентов.
I.
Объяснение нового материала.
Ход урока
Решение многих задач с параметрами, предлагаемых на экзаменах, в
частности, на ЕГЭ по математике, требует умения правильно
формулировать необходимые и достаточные условия, соответствующие
различным случаям расположения корней квадратного трёхчлена на
числовой оси.
Рассмотрим пример: найдите все значения параметра с, при которых оба

меньше, чем – 1.
1
2). Теперь нужно
Уравнение имеет два различных корня при D > 0 (с >
составить систему уравнений когда х1>−1 и х2>−1 . Ее будет
достаточно сложно решить.
Для решения заданий такого типа существует специальный метод.
Сначала рассмотрим квадратичную функцию f(x) = ax2+bx+c,a≠0.
Запишем ее в виде f(x)=a(x+ b
2a)
Вспомним основные характеристики параболы, позволяющие построить ее
график. При решении заданий с параметрами эти характеристики
применяются в другом контексте.
+ 4ac−b2
4a
2
.
1. Прямая x=−b
2a – ось параболы, которая является одновременно
осью ее симметрии. Вершиной параболы является точка (
−b
2a
;4ac−b2
4a).
2. Знак числа а показывает, куда направлены ветви параболы: если а >
0, то вверх, если а < 0, то вниз.

3. Дискриминант D=b2−4ac показывает, пересекается ли парабола с
осью абсцисс.
Объединим вышесказанное в таблице:
Расположение графика по отношению к оси абсцисс в зависимости от
знаков коэффициента а и дискриминанта.
а > 0
а < 0
D > 0
D = 0
D < 0
Утверждение 1: Оба корня меньше числа А, то есть х1 < А и х2 < А тогда
и только тогда, когда { D>0,
a>0,
x0f(A)>0
или { D>0,
a<0,
x0f(A)<0.
Утверждение 2: Корни лежат по разные стороны от числа А, то есть х1 <
А < х2 , тогда и только тогда, когда { a>0,
системы можно заменить формулой a⋅f(A)<0.
f(A)<0 или { a<0,
f(A)>0.
Эти две
Утверждение 3: Оба корня больше числа А, то есть х1 > А и х2 > А, тогда
и только тогда, когда { D>0,
a>0,
x0>A,
f(A)>0
или { D>0,
a<0,
x0>A,
f(A)<0.

Утверждение 4: Оба корня лежат между точками А и В, то есть А < х1 <
a<0,
А<х0<В,
f(A)<0,
f(В)<0.
a>0,
А<х0<В,
f(A)>0,
f(В)>0
В и А < х2 < В, тогда и только тогда, когда { D>0,
> х2 и А < х1 < В, тогда и только тогда, когда { a>0,
> х2 и А < х2 < В, тогда и только тогда, когда { a>0,
или { D>0,
f(В)>0 или { a<0,
или { a<0,
f(A)>0,
f(В)<0
f(A)>0,
f(В)<0.
f(A)<0,
f(В)>0.
f(A)<0,
Утверждение 5: Больший корень лежит между точками А и В, то есть х1
Утверждение 6: Меньший корень лежит между точками А и В, то есть х1
Утверждение 7: Корни лежат по разные стороны от отрезка
есть х1 < А < В < х2, тогда и только тогда, когда { a>0,
f(A)<0,
f(В)<0
или { a<0,
f(A)>0,
f(В)>0.
[А;В]
, то
Вернемся к примеру1: найдите все значения параметра с, при которых оба
корня квадратного уравнения х2+4сх+(1−2с+4с2)=0 различны и
меньше, чем – 1. (Для решения необходимо воспользоваться утверждением
1.)
Пример 2: При каких действительных значениях k оба корня (в том числе
кратных) уравнения (1 + k)х2 – 3kх + 4k = 0 больше 1? (Для решения
необходимо воспользоваться утверждением 3.)
II. Закрепление пройденного материала. Практическая работа в
группах.
1 группа:
1. При каких значениях k число 2 находится между корнями уравнения 2х2
1
2 х + (k – 3)(k + 5) = 0?
–
2. При каких значениях параметра а оба корня уравнения х2 – ах + 2 = 0
лежат в интервале (0; 3)?

2 группа:
1. При каких значениях k число 3 находится между корнями уравнения х2
+
х + (k – 1)(k + 7) = 0?
2. Существуют ли такие значения параметра а, что корни уравнения х2 +
2х + а = 0 лежат между – 1 и 1?
3 группа:
1. Найдите множество значений параметра k, при число 2 находится
между корнями уравнения 9х2 – 6х – (k – 2)(k + 2) = 3.
2. При каких значениях параметра а все решения уравнения (а – 1)х2 – (а +
1)х + а = 0 имеет единственное решение удовлетворяющее условию 0 <
x < 3?
III. Домашняя работа.
1. При каких значениях параметра а оба корня уравнения (а + 4)х2 – 2(а +
2)х + 3(а + 6) = 0 положительны?
2. При каких значениях параметра а оба корня уравнения (а – 3)х2 – 3(а –
4)х + 4а – 16 = 0 принадлежат интервалу (2; 5)?
3. При каких значениях параметра а один из корней уравнения 2ах2 – 2х –
3а – 2 = 0 больше 1, а другой меньше 1?