>>Геометрия: Третий признак равенства треугольников. Полные уроки
ТЕМА УРОКА: Третий признак равенства треугольников.
Цели урока:
- Образовательные – повторение, обобщение и проверка знаний по теме: “Признаки равенства треугольников”; выработка основных навыков.
- Развивающие – развить внимание учащихся, усидчивость, настойчивость, логическое мышление, математическую речь.
- Воспитательные - посредством урока воспитывать внимательное отношение друг к другу, прививать умение слушать товарищей, взаимовыручке, самостоятельность.
Задачи урока:
- Формировать навыки в построении треугольников с помощью масштабной линейки, транспортира и чертежного треугольника.
- Проверить умение учащихся решать задачи.
План урока:
- Из истории математики.
- Признаки равенства треугольников.
- Актуализация опорных знаний.
- Прямоугольные треугольники.
Из истории математики.
Прямоугольный треугольник занимает почётное место в вавилонской геометрии, упоминание о нём часто встречается в папирусе Ахмеса.
Термин гипотенуза происходит от греческого hypoteinsa, означающего тянущаяся под чем либо, стягивающая. Слово берёт начало от образа древнеегипетских арф, на которых струны натягивались на концы двух взаимно перпендикулярных подставок.
Термин катет происходит от греческого слова «катетос », которое означало отвес, перпендикуляр. В средние века словом катет означали высоту прямоугольного треугольника, в то время, как другие его стороны называли гипотенузой, соответственно основанием. В XVII веке слово катет начинает применяться в современном смысле и широко распространяется, начиная с XVIII века.
Евклид употребляет выражения:
«стороны, заключающие прямой угол», - для катетов;
«сторона, стягивающая прямой угол», - для гипотенузы.
Для начала нам необходимо освежить в памяти предыдущие признаки равенства треугольников. И так начнем с первого.
1-ый признак равенства треугольников.
Теорема
Доказательство
Рассмотрим треугольники АВС и A 1 B 1 C 1 , у которых АВ = A 1 B 1 , ∠A = ∠A 1 , ∠B = ∠B 1 (рис. 68). Докажем, что Δ АВС = Δ А 1 В 1 С 1 .
Рис. 68
Наложим треугольник АВС на треугольник A 1 B 1 C 1 так, чтобы вершина А совместилась с вершиной А 1 , сторона АВ - с равной ей стороной AjBj, и вершины С и С 1 оказались по одну сторону от прямой А 1 В 1 .
Так как ∠A = ∠A 1 и ∠B = ∠B 1 , то сторона АС, наложится на луч А 1 С 1 , а сторона ВС - на луч В 1 С 1 . Поэтому вершина С - общая точка сторон АС и ВС - окажется лежащей как на луче А 1 С 1 , так и на луче B 1 C 1 и, следовательно, совместится с общей точкой этих лучей - вершиной С 1 . Значит, совместятся стороны АС и A 1 C 1 , ВС и В 1 С 1 .
Итак, треугольники АВС и А 1 В 1 С 1 полностью совместятся, поэтому они равны. Теорема доказана.
Третий признак равенства треугольников
Теорема
Доказательство
Рассмотрим треугольники АВС и A 1 B 1 C 1 , у которых АВ = А 1 В 1 , ВС = В 1 С 1 , СА = С 1 А 1 (рис. 69).
Рис. 69
Докажем, что Δ АВС = Δ А 1 В 1 С 1 . Приложим треугольник АВС к треугольнику A 1 B 1 C 1 так, чтобы вершина А совместилась с вершиной А 1 , вершина В - с вершйной В 1 , а вершины С и С 1 оказались по разные стороны от прямой A 1 B 1 (рис. 70).
Рис. 70
Возможны три случая: луч С 1 С проходит внутри угла А 1 С 1 В 1 (рис. 70, а); луч С 1 С совпадает с одной из сторон этого угла (рис. 70, б); луч С 1 С проходит вне угла А 1 С 1 В 1 (рис. 70, в). Рассмотрим первый случай (остальные случаи рассмотрите самостоятельно).
Так как по условию теоремы стороны АС и А 1 С 1 , ВС и В 1 С 1 равны, то треугольники А 1 С 1 С и В 1 С 1 С - равнобедренные (см. рис. 70, а). По теореме о свойстве углов равнобедренного треугольника ∠1 = ∠2, ∠3 = ∠4, поэтому ∠A 1 CB 1 = ∠A 1 C 1 B 1 . Итак, АС = А 1 С 1 , ВС = В 1 С 1 , ∠C = ∠C 1 .
Следовательно, треугольники АВС и А 1 В 1 С 1 равны по первому признаку равенства треугольников. Теорема доказана.
Из третьего признака равенства треугольников следует, что треугольник - жёсткая фигура . Поясним, что это означает.
Представим себе две рейки, у которых два конца скреплены гвоздём (рис. 71, а). Такая конструкция не является жёсткой: сдвигая или раздвигая свободные концы реек, мы можем менять угол между ними. Теперь возьмём ещё одну рейку и скрепим её концы со свободными концами первых двух реек (рис. 71, б).
Рис. 71
Полученная конструкция - треугольник - будет уже жёсткой. В ней нельзя сдвинуть или раздвинуть никакие две стороны, т. е. нельзя изменить ни один угол. Действительно, если бы это удалось, то мы получили бы новый треугольник, не равный исходному. Но это невозможно, так как новый треугольник должен быть равен исходному по третьему признаку равенства треугольников.
Это свойство - жёсткость треугольника - широко используется на практике. Так, чтобы закрепить столб в вертикальном положении, к нему ставят подпорку (рис. 72, а); такой же принцип используется при установке кронштейна (рис. 72, б).
Рис. 72
Задачи
121. Отрезки АВ и CD пересекаются в середине О отрезка АВ, ∠OAD = ∠OBC.
а) Докажите, что Δ СВО = Δ DAO;
б) найдите ВС и СО, если CD = 26 см, AD = 15 см.
122. На рисунке 53 (см. с. 31) ∠1 = ∠2, ∠3 = ∠4.
а) Докажите, что Δ АВС = Δ CDA;
б) найдите АВ и ВС, если АО =19 см, CD = 11 см.
123. На биссектрисе угла А взята точка D, а на сторонах этого угла - точки В и С такие, что ∠ADB = ∠ADC. Докажите, что BD = CD.
124. По данным рисунка 73 докажите, что ОР = ОТ, ∠P = ∠T.
Рис. 73
125. На рисунке 74 ∠DAC = ∠DBC, АО = ВО. Докажите, что ∠C = ∠D и AC = BD.
Рис. 74
126. На рисунке 74 ∠DAB = ∠CBA, ∠CAB = ∠DBA, АС =13 см. Найдите BD.
127. В треугольниках АВС и А 1 B 1 С 1 АВ = А 1 В 1 , ВС = B 1 C 1 , ∠B - ∠B 1 . На сторонах АВ и A 1 B 1 отмечены точки D и D 1 так, что ∠ACO = ∠A 1 C 1 D 1 . Докажите, что Δ BCD = Δ B 1 C 1 D 1 .
128. Докажите, что в равных треугольниках биссектрисы, проведённые к соответственно равным сторонам, равны.
129. Отрезки АС и BD пересекаются в середине О отрезка АС, ∠BCO = ∠DAO. Докажите, что Δ ВОА = Δ DOC.
130. В треугольниках АВС и A 1 В 1 С 1 отрезки СО и С 1 О 1 - медианы, BC = B 1 C 1 , ∠B - ∠B 1 и ∠C = ∠C 1 . Докажите, что:
а) Δ АСО = Δ А 1 С 1 О 1 ;
б) Δ ВСO = Δ В 1 С 1 O.
131. В треугольниках DEF и MNP EF - NP, DF = MP и ∠F = ∠P. Биссектрисы углов Е и D пересекаются в точке О, а биссектрисы углов М и N - в точке К. Докажите, что ∠DOE = ∠MKN.
132. Прямая, перпендикулярная к биссектрисе угла А, пересекает стороны угла в точках М и N. Докажите, что треугольник AMN - равнобедренный.
133. Докажите, что если биссектриса треугольника является его высотой, то треугольник - равнобедренный.
134. Докажите, что равнобедренные треугольники равны, если основание и прилежащий к нему угол одного треугольника соответственно равны основанию и прилежащему к нему углу другого треугольника.
135. Докажите, что если сторона одного равностороннего треугольника равна стороне другого равностороннего треугольника, то треугольники равны.
136. На рисунке 52 (см. с. 31) АВ-АС, BD = DC и ∠BAC = 50°. Найдите ∠CAD.
137. На рисунке 53 (см. с. 31) BC = AD, AB = CD. Докажите, что ∠B = ∠D.
138. На рисунке 75 AB = CD и BD = АС. Докажите, что: a) ∠CAD = ∠ADB; б) ∠BAC = ∠CDB.
Рис. 75
139. На рисунке 76 AB = CD, AD = BC, BE - биссектриса угла ABC, a DF - биссектриса угла ADC. Докажите, что:
а) ∠ABE = ∠ADF;
б) Δ АВЕ = Δ CDF.
Рис. 76
140. В треугольниках АВС и А 1 В 1 С 1 медианы ВМ и В 1 М 1 равны, АВ = А 1 В 1 АС = А 1 С 1 . Докажите, что Δ АВС = Δ А 1 В 1 С 1 .
141. В треугольниках АВС и А 1 В 1 С 1 отрезки AD и A 1 D 1 - биссектрисы, АВ = А 1 В 1 , BD = B 1 D 1 и AD = A 1 D 1 . Докажите, что Δ АВС = Δ А 1 В 1 С 1 .
142. Равнобедренные треугольники ADC и BCD имеют общее основание DC. Прямая АВ пересекает отрезок CD в точке О. Докажите, что: a) ∠ADB = ∠ACB; б) DO = OC.
Ответы к задачам
121. б) ВС = 15 см, СО = 13 см.
122. б) АВ = 11 см, ВС =19см.
142. Указание. Рассмотреть два случая. Точка В лежит: а) на луче АО; б) на продолжении луча АО.
§ 3. Второй и третий признаки равенства треугольников - Геометрия 7 класс (Атанасян Л. С.)
Краткое описание:
В этом параграфе вы познакомитесь со вторым и третьим признаками равенства треугольников. Чем же они отличаются от первого?
Суть сравнения треугольников по признакам равенства та же. Достаточно рассмотреть лишь некоторые элементы двух треугольников, чтобы сделать вывод об их равенстве.
И такими элементами по второму признаку являются одна сторона и два угла, прилежащих к ней. Для сравнения треугольников по третьему признаку нужно доказать равенство трех сторон одного треугольника соответственно трем сторонам другого треугольника.
Получается, что по трем элементам треугольника можно судить обо всех остальных его элементах. Это действительно так. Но из этого правила есть исключение.
Если три элемента – три угла – одного треугольника соответственно равны трем элементам – трем углам – другого треугольника, то ничего о равенстве этих треугольников сказать нельзя. Они могут быть равными, а могут и не быть. Потому, что можно построить бесконечное множество треугольников, углы которых будут соответственно равны. Такие треугольники в геометрии называются подобными. Равенство их углов, конечно, указывает на определенные зависимости между сторонами подобных треугольников, но не указывает на то, какие именно значения должны принимать стороны подобных треугольников.
1.1. С целью поддержания деловой репутации и обеспечения выполнения норм федерального законодательства ФГАУ ГНИИ ИТТ «Информика» (далее – Компания) считает важнейшей задачей обеспечение легитимности обработки и безопасности персональных данных субъектов в бизнес-процессах Компании.
1.2. Для решения данной задачи в Компании введена, функционирует и проходит периодический пересмотр (контроль) система защиты персональных данных.
1.3. Обработка персональных данных в Компании основана на следующих принципах:
Законности целей и способов обработки персональных данных и добросовестности;
Соответствия целей обработки персональных данных целям, заранее определенным и заявленным при сборе персональных данных, а также полномочиям Компании;
Соответствия объема и характера обрабатываемых персональных данных, способов обработки персональных данных целям обработки персональных данных;
Достоверности персональных данных, их актуальности и достаточности для целей обработки, недопустимости обработки избыточных по отношению к целям сбора персональных данных;
Легитимности организационных и технических мер по обеспечению безопасности персональных данных;
Непрерывности повышения уровня знаний работников Компании в сфере обеспечения безопасности персональных данных при их обработке;
Стремления к постоянному совершенствованию системы защиты персональных данных.
2. Цели обработки персональных данных
2.1. В соответствии с принципами обработки персональных данных, в Компании определены состав и цели обработки.
Цели обработки персональных данных:
Заключение, сопровождение, изменение, расторжение трудовых договоров, которые являются основанием для возникновения или прекращения трудовых отношений между Компанией и ее работниками;
Предоставление портала, сервисов личного кабинета для учеников, родителей и учителей;
Хранение результатов обучения;
Исполнение обязательств, предусмотренных федеральным законодательством и иными нормативными правовыми актами;
3. Правила обработки персональных данных
3.1. В Компании осуществляется обработка только тех персональных данных, которые представлены в утвержденном Перечне персональных данных, обрабатываемых в ФГАУ ГНИИ ИТТ «Информика»
3.2. В Компании не допускается обработка следующих категорий персональных данных:
Расовая принадлежность;
Философские убеждения;
О состоянии здоровья;
Состояние интимной жизни;
Национальная принадлежность;
Религиозные убеждения.
3.3. В Компании не обрабатываются биометрические персональные данные (сведения, которые характеризуют физиологические и биологические особенности человека, на основании которых можно установить его личность).
3.4. В Компании не осуществляется трансграничная передача персональных данных (передача персональных данных на территорию иностранного государства органу власти иностранного государства, иностранному физическому лицу или иностранному юридическому лицу).
3.5. В Компании запрещено принятие решений относительно субъектов персональных данных на основании исключительно автоматизированной обработки их персональных данных.
3.6. В Компании не осуществляется обработка данных о судимости субъектов.
3.7. Компания не размещает персональные данные субъекта в общедоступных источниках без его предварительного согласия.
4. Реализованные требования по обеспечению безопасности персональных данных
4.1. С целью обеспечения безопасности персональных данных при их обработке в Компании реализуются требования следующих нормативных документов РФ в области обработки и обеспечения безопасности персональных данных:
Федеральный закон от 27.07.2006 г. № 152-ФЗ «О персональных данных»;
Постановление Правительства Российской Федерации от 1 ноября 2012 г. N 1119 "Об утверждении требований к защите персональных данных при их обработке в информационных системах персональных данных";
Постановление Правительства Российской Федерации от 15.09.2008 г. №687 «Об утверждении Положения об особенностях обработки персональных данных, осуществляемой без использования средств автоматизации»;
Приказ ФСТЭК России от 18.02.2013 N 21 "Об утверждении Состава и содержания организационных и технических мер по обеспечению безопасности персональных данных при их обработке в информационных системах персональных данных";
Базовая модель угроз безопасности персональных данных при их обработке в информационных системах персональных данных (утверждена заместителем директора ФСТЭК России 15.02.2008 г.);
Методика определения актуальных угроз безопасности персональных данных при их обработке в информационных системах персональных данных (утверждена заместителем директора ФСТЭК России 14.02.2008 г.).
4.2. Компания проводит оценку вреда, который может быть причинен субъектам персональных данных и определяет угрозы безопасности персональных данных. В соответствии с выявленными актуальными угрозами Компания применяет необходимые и достаточные организационные и технические меры, включающие в себя использование средств защиты информации, обнаружение фактов несанкционированного доступа, восстановление персональных данных, установление правил доступа к персональным данным, а также контроль и оценку эффективности применяемых мер.
4.3. В Компании назначены лица, ответственные за организацию обработки и обеспечения безопасности персональных данных.
4.4. Руководство Компании осознает необходимость и заинтересовано в обеспечении должного как с точки зрения требований нормативных документов РФ, так и обоснованного с точки зрения оценки рисков для бизнеса уровня безопасности персональных данных, обрабатываемых в рамках выполнения основной деятельности Компании.
Второй признак равенства треугольников
Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.
MN = PR ∡ N = ∡ R ∡ M = ∡ P
Как и в доказательстве первого признака, нужно убедиться, достаточно ли этого для равенства треугольников, можно ли их полностью совместить?
1. Так как MN = PR , то эти отрезки совмещаются, если совместить их конечные точки.
2. Так как ∡ N = ∡ R и ∡ M = ∡ P , то лучи \(MK\) и \(NK\) наложатся соответственно на лучи \(PT\) и \(RT\).
3. Если совпадают лучи, то совпадают точки их пересечения \(K\) и \(T\).
4. Совмещены все вершины треугольников, то есть Δ MNK и Δ PRT полностью совместятся, значит они равны.
Третий признак равенства треугольников
Если три стороны одного треугольника соответственно равны трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.
MN = PR KN = TR MK = PT
Опять попробуем совместить треугольники Δ MNK и Δ PRT наложением и убедится, что соответственно равные стороны гарантирует и равенство соответственных углов этих треугольников и они полностью совпадут.
Совместим, например, одинаковые отрезки \(MK\) и\(PT\). Допустим, что точки \(N\) и \(R\) при этом не совмещаются.
Пусть \(O\) - середина отрезка \(NR\). Соответственно данной информации MN = PR , KN = TR . Треугольники \(MNR\) и \(KNR\) равнобедренные с общим основанием \(NR\).
Поэтому их медианы \(MO\) и \(KO\) являются высотами, значит перпендикулярны \(NR\). Прямые \(MO\) и \(KO\) не совпадают, так как точки \(M\), \(K\), \(O\) не лежат на одной прямой. Но через точку \(O\) прямой \(NR\) можно провести только одну перпендикулярную ей прямую. Мы пришли к противоречию.
Доказано, что должны совместиться и вершины \(N\) и \(R\).
Третий признак позволяет назвать треугольник очень сильной, устойчивой фигурой, иногда говорят, что треугольник - жёсткая фигура . Если длины сторон не меняются, то углы тоже не меняются. Например, у четырёхугольника такого свойства нет. Поэтому разные поддержки и укрепления делают треугольными.
Но своеобразную устойчивость, стабильность и совершенство числа \(3\) люди оценивали и выделяли давно.
Об этом говорят сказки.
Там мы встречаем «Три медведя», «Три ветра», «Три поросенка», «Три товарища», «Три брата», «Три счастливца», «Трое умельцев», «Три царевича», «Три друга», «Три богатыря» и др.
Там даются «три попытки», «три совета», «три указания», «три встречи», исполняются «три желания», нужно потерпеть «три дня», «три ночи», «три года», пройти через «три государства», «три подземных царства», выдержать «три испытания», проплыть через «три моря».
