1. Биссектрисы углов B и C трапеции ABCD пересекаются в точке O, лежащей на стороне AD. Докажите, что точка O равноудалена от прямых AB, BC и CD.

2. В выпуклом четырёхугольнике ABCD углы BCA и BDA равны. Докажите, что углы ABD и ACD также равны.

3. В трапеции ABCD с основаниями BC и AD диагонали пересекаются в точке P. Докажите, что площади треугольников АPB и CPD равны.

4. В треугольнике ABC с тупым углом ABC проведены высоты AA 1 и CC 1 . Докажите, что треугольники A 1 BC 1 и ABC подобны.

5. Внутри параллелограмма ABCD выбрали произвольную точку E. Докажите, что сумма площадей треугольников BEC и AED равна половине площади параллелограмма.

6. Высоты BB 1 и CC 1 остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке E. Докажите, что углы BB 1 C 1 и BCC 1 равны.

7. Докажите, что медиана треугольника делит его на два треугольника, площади которых равны между собой.

8. Известно, что около четырёхугольника ABCD можно описать окружность и что продолжения сторон AB и CD четырёхугольника пересекаются в точке M. Докажите, что треугольники MBC и MDA.

9. На средней линии трапеции ABCD с основаниями AD и BC выбрали произвольную точку F. Докажите, что сумма площадей треугольников BFC и AFD равна половине площади трапеции.

10. Окружности с центрами в точках I и J пересекаются в точках A и B, причём точки I и J лежат по одну сторону от прямой AB. Докажите, что AB⊥IJ.

11. Основания BC и AD трапеции ABCD равны соответственно 5 и 20, BD=10. Докажите, что треугольники CBD и ADB подобны.

12. Точка Е- середина боковой стороны АВ трапеции АВСD. Докажите, что площадь треугольника ЕСD равна половине площади трапеции.

13. Через точку O пересечения диагоналей параллелограмма ABCD проведена прямая, пересекающая стороны BC и AD в точках L и G соответственно. Докажите, что CL=AG.

14. Сторона AB параллелограмма ABCD вдвое больше стороны AD. Точка K - середина стороны AB. Докажите, что DK - биссектриса угла ADC.

15. Биссектрисы углов A и B параллелограмма ABCD пересекаются в точке F стороны CD. Докажите, что F - середина CD.

16. Окруж­но­сти с цен­тра­ми в точ­ках O 1 и O 2 не имеют общих точек. Внут­рен­няя общая ка­са­тель­ная к этим окруж­но­стям делит от­ре­зок, со­еди­ня­ю­щий их цен­тры, в от­но­ше­нии m :n . До­ка­жи­те, что диа­мет­ры этих окруж­но­стей от­но­сят­ся как m :n .

17. На стороне АС треугольника АВС выбраны точки D и E так, что отрезки AD и CE равны (см. рисунок). Оказалось, что углы АEB и BDC тоже равны. Докажите, что треугольник АВС -равнобедренный.

18. В равностороннем треугольнике ABC точки M, N, K - середины сторон АВ, ВС, СА MNK - равносторонний.

19. В равностороннем треугольнике ABC точки M, N, K - середины сторон АВ, ВС, СА соответственно. Докажите, что ВMKN - ромб.

20. В равнобедренном треугольнике ABC (АВ = ВС ) точки M , N , K - середины сторон АВ, ВС, СА соответственно. Докажите, что треугольник MNK - равнобедренный.

21. Дан правильный восьмиугольник. Докажите, что если последовательно соединить отрезками середины его сторон, то получится правильный восьмиугольник.

22. В параллелограмме АВСD проведены перпендикуляры ВЕ и DF к диагонали АС. Докажите, что треугольники BEF  и  DFE равны.

23. В параллелограмме ABCD диагонали AC и BD пересекаются в точке O . Докажите, что площадь параллелограмма ABCD в четыре раза больше площади треугольника BOC .

24. В параллелограмме ABCD точка M - середина стороны AB . Известно, что MC =MD . Докажите, что данный параллелограмм - прямоугольник.

25. Докажите, что отрезок, соединяющий середины оснований трапеции, делит её на две равные по площади части.

Разбор типовых вариантов заданий №25 ОГЭ по математике

Первый вариант задания

Окружности с центрами в точках I и J пересекаются в точках А и В, причём точки I и J лежат по одну сторону от прямой АВ. Докажите, что прямые АВ и IJ перпендикулярны.

Алгоритм решения:
  1. Делаем чертеж.
  2. Определяем место расположения точек I и J.
  3. Используем свойство серединного перпендикуляра.
  4. Делаем вывод.
Решение:

1. Делаем чертеж, согласно условия:

2. Определяем место расположения точек I и J:

Точка I равноудалена от точек A и B. Аналогично, точка J равноудалена от концов отрезка AB.

3. По свойству геометрического места точек, равноудаленных от концов отрезка, эти точки расположены на серединном перпендикуляре к отрезку AB.

А если две точки I и J лежат на серединном перпендикуляре, прямая IJ совпадает с ним.

Следовательно, прямые IJ и АВ перпендикулярны.

Второй вариант задания

Окружности с центрами в точках Е и F пересекаются в точках С и D, причём точки Е и F лежат по одну сторону от прямой CD. Докажите, что прямые CD и EF перпендикулярны.

Алгоритм решения:
  1. Рассмотрим треугольники CEF и DEF и установим их равенство.
  2. Воспользуемся свойством равных фигур для определения вида треугольника CED.
Решение:

1. Делаем чертеж по условию задачи:

2. Рассмотрим треугольники CEF и DEF и установим их равенство:

У них CE=DE, как радиусы окружности с центром в точке Е,

Аналогично, CF = DF, как радиусы окружности с центром в точке F.

EF – общая сторона.

Значит, данные треугольники равны.

Тогда по свойству равных фигур .

Рассмотрим треугольник CED. У него CE=DE, поскольку это соответствующие стороны равных фигур. Значит, треугольник равнобедренный.

EF – биссектриса угла E. следовательно, EF – высота по свойству равнобедренного треугольника. Отсюда следует, что .

Утверждение доказано.

Третий вариант задания

Окружности с центрами в точках М и N пересекаются в точках S и Т, причём точки М и N лежат по одну сторону от прямой ST. Докажите, что прямые MN и ST перпендикулярны.

Алгоритм решения:
  1. Делаем чертеж по условию задачи.
  2. Рассмотрим треугольники SMN и TMN и установим их равенство.
  3. Воспользуемся свойством равных фигур для определения вида треугольника SMT.
  4. Используем свойство равнобедренного треугольника и делаем вывод.
Решение:

1. Делаем чертеж согласно условия задачи.

2. Рассмотрим треугольники SMN и TMN. Они равны по трем сторонам:

SM=TM как радиусы окружности с центром в точке М,

SN=TN как радиусы окружности с центром в точке N,

а MN – общая сторона (см. рисунок выше).

3. По свойству равных фигур, , как соответствующие углы в равных треугольниках.

4. Рассмотрим треугольник SMT.

В нем по доказанному выше , а значит MN – биссектриса угла M. Данный треугольник равнобедренный с равными сторонами SM и TM.

Следовательно, MN – высота по свойству биссектрисы равнобедренного треугольника. Следовательно, .

Утверждение доказано.

Четвертый вариант задания

В выпуклом четырёхугольнике ABCD углы ВСА и BDA равны. Докажите, что углы ABD и ACD также равны.

Алгоритм решения:
  1. Выполняем рисунок по условию задачи.
  2. Устанавливаем подобие треугольников BOC и AOD.
  3. Записываем соотношение для сторон.
  4. Устанавливаем подобие треугольников AOB и DOC.
  5. Делаем вывод.
Решение:

1. Выполняем чертеж по условию задачи:

2. Рассматриваем треугольники BOC и AOD.У них:

углы ВСА и BDA равны по условию задачи,

углы BOC и AOD равны как вертикальные.

Значит, треугольники BOC и AOD подобны по двум углам.

3. Для подобных треугольников BOC и AOD записываем соотношение соответствующих сторон:

Доказательство:

Рассмотрим треугольники BEC и AED. BE = EA, так как E - середина стороны AB по условию. EC= ED по условию, а BC = AD по свойству параллелограмма (противолежащие стороны равны). Таким образом, BE = EA, EC= ED, BC = AD. Следовательно, треугольники BEC и AED равны по трём сторонам.

В равных треугольниках - равные элементы. Значит, углы CBE и DAE равны. Так как их сумма равна 180° по свойству параллелограмма, то углы равны 90° (180 / 2 = 90) .

Следовательно, данный параллелограмм - прямоугольник.

Пособия по математике серии «ЕГЭ 2014. Математика» ориентированы на подготовку учащихся старшей школы к успешной сдаче единого государственного экзамена по математике. В данном учебном пособии представлен материал для подготовки к решению задачи С5.
На различных этапах обучения пособие поможет обеспечить уровневый подход к организации повторения, осуществить контроль и самоконтроль знаний по темам «Уравнения и системы уравнений», «Неравенства и системы неравенств», «Задачи с параметром».
Пособие предназначено для учащихся старшей школы, учителей математики, родителей.

Логический перебор в нелинейных уравнениях и неравенствах.
Круг задач, решение которых основывается на стандартных преобразованиях и логическом переборе, довольно широк, а их формулировки достаточно разнообразны. Ключевым признаком такой задачи является то, что ее решение, как отмечалось выше, не предполагает знакомства с какими-то новыми идеями и методами, которых нет в школьных учебниках, а требует лишь умения выполнять преобразования, отвечать на вопросы о существовании корней уравнения или решений неравенства, удовлетворяющих определенным условиям, находить, если требуется, сами эти решения, выполнять необходимый логический перебор.

Пример 1. Найти все значения параметра а, при каждом из которых уравнение х3 - (a + 4)х2 + 4ах = 0 имеет ровно два различных корня.
Решение. Вынесем за скобку общий множитель левой части уравнения: х(х2 - (а + 4)х + 4а) = 0, откуда х = 0 или х2 - (а + 4)х + 4а = 0. Корнями последнего уравнения являются х = 4 и х = а (эти корни можно найти, воспользовавшись формулами Виета или формулой корней квадратного уравнения). Ровно два различных корня данное уравнение имеет, только если а = 0 или а = 4.
Ответ: а = 0, а = 4.

Содержание
Предисловие
Глава 1. Логический перебор в задачах с параметром
§1.1. Линейные уравнения и неравенства с параметром
§1.2. Логический перебор в нелинейных уравнениях и неравенствах
Глава 2. Квадратный трехчлен в задачах с параметром и нестандартных задачах
§2.1. Исследование дискриминанта и формулы Виета
§2.2. Расположение корней квадратного трехчлена
§2.3. Задачи, сводимые к исследованию квадратного трехчлена
Глава 3. Применение свойств функций к решению уравнений и неравенств
§3.1. Монотонность
§3.2. Ограниченность
§3.3. Инвариантность
Глава 4. Графические интерпретации
§4.1. Метод областей
§4.2. Преобразования графиков
§4.3. Геометрические идеи
Глава 5. Другие методы
§5.1. Метод упрощающего значения
§5.2. Параметр как переменная
§5.3. Тригонометрические подстановки
§5.4. Векторные интерпретации в алгебре
Диагностическая работа 1
Диагностическая работа 2
Диагностическая работа 3
Диагностическая работа 4
Диагностическая работа 5
Ответы.

Бесплатно скачать электронную книгу в удобном формате, смотреть и читать:
Скачать книгу ЕГЭ 2014, Математика, Задача С5, Задачи с параметром, Шестаков С.А. - fileskachat.com, быстрое и бесплатное скачивание.

  • ЕГЭ 2019, Математика, Значения выражений, Задача 9, Профильный уровень, Задача 2 и 5, Базовый уровень, Рабочая тетрадь, Шестаков С.А., Ященко И.В.
  • ЕГЭ 2019, Математика, Задачи по стереометрии, Задача 8, Профильный уровень, Задача 13 и 16, Базовый уровень, Рабочая тетрадь, Шестаков С.А., Ященко И.В.
  • ЕГЭ 2019, Математика, Простейшие уравнения, Задача 5, Профильный уровень, Задача 4 и 7, Базовый уровень, Рабочая тетрадь, Шестаков С.А., Ященко И.В.

Видеокурс «Получи пятерку» включает все темы, необходимые для успешной сдачи ЕГЭ по математике на 60-65 баллов. Полностью все задачи 1-13 Профильного ЕГЭ по математике. Подходит также для сдачи Базового ЕГЭ по математике. Если вы хотите сдать ЕГЭ на 90-100 баллов, вам надо решать часть 1 за 30 минут и без ошибок!

Курс подготовки к ЕГЭ для 10-11 класса, а также для преподавателей. Все необходимое, чтобы решить часть 1 ЕГЭ по математике (первые 12 задач) и задачу 13 (тригонометрия). А это более 70 баллов на ЕГЭ, и без них не обойтись ни стобалльнику, ни гуманитарию.

Вся необходимая теория. Быстрые способы решения, ловушки и секреты ЕГЭ. Разобраны все актуальные задания части 1 из Банка заданий ФИПИ. Курс полностью соответствует требованиям ЕГЭ-2018.

Курс содержит 5 больших тем, по 2,5 часа каждая. Каждая тема дается с нуля, просто и понятно.

Сотни заданий ЕГЭ. Текстовые задачи и теория вероятностей. Простые и легко запоминаемые алгоритмы решения задач. Геометрия. Теория, справочный материал, разбор всех типов заданий ЕГЭ. Стереометрия. Хитрые приемы решения, полезные шпаргалки, развитие пространственного воображения. Тригонометрия с нуля - до задачи 13. Понимание вместо зубрежки. Наглядное объяснение сложных понятий. Алгебра. Корни, степени и логарифмы, функция и производная. База для решения сложных задач 2 части ЕГЭ.

Сегодня компания Apple вдвойне порадовала своих поклонников, презентовав сразу два новых смартфона: флагманский iPhone 5S и "бюджетный" iPhone 5C. Нельзя сказать, что мы с нетерпением ждали этого события. Слухи, ходившие в Сети последние несколько месяцев, сделали свое дело: о девайсах было известно почти все задолго до их премьеры, и интерес к ним, как результат, слегка подувял. Тем не менее, iPhone 5S и iPhone 5C представлены, так что давайте разбираться.

iPhone 5S и iPhone 5C

Как и предполагалось, внешне iPhone 5S напоминает своего «старшего» брата iPhone 5. Дизайн новинки почти не изменился, в глаза кидается новое оформление кнопки Home, под которой расположился сканер отпечатков пальцев TouchID, а также двойная LED-вспышка. В остальном iPhone 5S идентичен своему предшественнику. Если не знать отличия устройств, их вполне можно спутать (чем вполне могут воспользоваться недобросовестные продавцы).

Внутренняя составляющая iPhone 5S также перенесла изменения, но более масштабные. В основном, изменения коснулись процессора. В iPhone 5S используется А7, первый 64-bit процессор для мобильных устройств. Благодаря ему производительность iPhone 5S увеличилась в 40 раз по сравнению с оригинальным iPhone, а в плане графики - в 56 раз.

Изменилась немного и камера iPhone 5S. Это по-прежнему 8-Мп модуль, но размер сенсора камеры увеличен на 15% в сравнении с iPhone 5, пиксель теперь стал 1,5 мкм, а апертура - f/2.2 (смартфон должен делать более качественные снимки в условиях плохой освещенности). Apple оснастила iPhone 5S двойной LED-вспышкой: одна с холодным светом, вторая - с теплым, благодаря чему достигается более 1000 сочетаний для верного цветового баланса. Также камера научилась снимать слоу-мо в HD-разрешении при 120 fps. Примеры фотографий с камеры iPhone 5S .

iPhone 5S появится в продаже в США, Австралии и Канаде уже 20 сентября по цене $199, $299 и $399 за модели 16, 32 и 64 Гб. В отличие от предыдущих смартфонов Apple, iPhone 5S будет доступен в трех цветах: черном, белом и золотистом (champagne). Предзаказ на iPhone 5S будет открыт 13 сентября. Что касается SIM-free (без контракта) версии, то iPhone 5S с 16 Гб обойдется покупателям в $649, 32-Гб модификация - в $749, а версия на 64 Гб - в $849. Цены в Европе и Азии .

Технические характеристики Apple iPhone 5S (GSM-версия):

  • Камера: 8 Мп, автофокус, тачфокус, двойная LED-вспышка, f/2.2, геотегирование, запись Full HD-видео в разрешении 1080p@30fps, определение лиц, стабилизация, Slo-mo видео в разрешении 720p@120fps
  • Дополнительная камера: 1,2 Мп
  • Процессор: двухъядерный, A7, 64-bit, дополнительный процессор М7.
  • Объем памяти: 16, 32, 64 Гб
  • A-GPS
  • ГЛОНАСС
  • Wi-Fi (802.11a/b/g/n)
  • Bluetooth 4.0
  • 3,5-мм разъем
  • nano-SIM
  • Сканер отпечатков пальцев TouchID
  • Аккумулятор: Li-Ion
  • Размеры: 123,8 x 58,6 x 7,6 мм
  • Вес: 112 г
  • Тип: смартфон
  • Цвета: темно-серый, серебристый, золотистый
  • Дата релиза: 20 сентября 2012 года

Вторым виновником сегодняшнего торжества является бюджетный iPhone 5C. По-сути, это тот же iPhone 5, только в пластиковом корпусе. Смартфон можно будет купить уже 20 сентября. 16-Гб версия обойдется покупателям в $99, а 32-Гб - $199, конечно же, при подписании контакта на 2 года (без - $549 и $649). Цены в Европе и Азии . Покупатель сможет выбрать выбрав один из пяти цветов. Также Apple выпустила серию фирменных чехлов, которые позволят владельцу еще больше разнообразить свой новенький iPhone 5C. Стоимость каждого чехла - $29. Кстати, модели A1457, A1530 (iPhone 5S) и A1507, A1529 (iPhone 5C) поддерживают российские LTE-сети!

Технические характеристики Apple iPhone 5C (GSM-версия):

  • Сеть: GSM/GPRS/EDGE (850/900/1800/1900 МГц), WCDMA/HSPA+/DC-HSDPA (850/900/1700/1900/2100 МГц), LTE (1, 2, 3, 4, 5, 8, 13, 17, 19, 20, 25)
  • Платформа (на момент анонса): iOS 7
  • Дисплей: емкостный, 4”, 1136 х 640 точек, 16 млн цветов, Retina Display, IPS, 326 ppi, контрастность 800:1
  • Камера: 8 Мп, автофокус, тачфокус, LED-вспышка, f/2.4, геотегирование, запись Full HD-видео в разрешении 1080p@30fps, определение лиц, стабилизация
  • Дополнительная камера: 1,2 Мп
  • Процессор: двухъядерный, A6
  • Объем памяти: 16, 32 Гб
  • A-GPS
  • ГЛОНАСС
  • Wi-Fi (802.11a/b/g/n)
  • Bluetooth 4.0
  • 3,5-мм разъем
  • nano-SIM
  • Три микрофона, датчики положений, приближенности и освещенности, электронный компас, гироскоп
  • Аккумулятор: Li-Ion
  • Время работы в режиме разговора: до 10 часов в сетях 3G
  • Время работы в режиме проигрывания музыки: до 40 часов
  • Время работы в режиме просмотра видео: до 10 часов
  • Время работы при Wi-Fi-браузинге: до 10 часов
  • Время работы при 3G-браузинге: до 8 часов
  • Время работы при LTE-браузинге: до 10 часов
  • Время работы в режиме ожидания: до 250 часов
  • Размеры: 124,4 x 59,2 x 8,97 мм
  • Вес: 132 г
  • Форм-фактор: моноблок с тачскрином
  • Тип: смартфон
  • Цвета: синий, зеленый, красный, белый, желтый
  • Дата анонса: 10 сентября 2013 года
  • Дата релиза: 20 сентября 2013 года

Также сегодня Apple назвала официальную дату старта глобального обновления девайсов до iOS 7. 18 сентября новую версию операционной системы получат iPhone 4S и 5, позже - iPhone 4, iPad 2, 3, 4, iPad mini и iPod touch 5. iOS 7 разрабатывалась под руководством Джони Айва (Johnny Ive) и была представлена в июне. iOS 7 вызвала достаточно противоречивую реакцию у поклонников Apple и критиков, но с момента премьеры было выпущено несколько бета-версий, а финальная версия должна быть лишена всех багов. Отметим, что после обновления на iOS 7 официально вернуться на предыдущую версию операционной системы вы не сможете. Ознакомиться с особенностями iOS 7 можно в