Сколько различных решений имеет система уравнений

¬x9 ∨ x10 = 1,

Пояснение.

Получилось три набора переменных, удовлетворяющих этому уравнению. Теперь рассмотрим второе уравнение, оно аналогично первому, следовательно, его дерево решений аналогично первому. Это означает, что значению x2 равному нулю удовлетворяют значения x3, равные 0 и 1, а если x2 равно 1, то только значение 1. Таким образом, системе, состоящей из первого и второго уравнения удовлетворяют 4 набора переменных. Дерево решений для первого и второго уравнений будет выглядеть так:

Применив аналогичные рассуждения к третьему уравнению, получим, что системе, состоящей из первых трёх уравнений удовлетворяет 5 наборов переменных. Так как все уравнения аналогичны, получаем, что системе, данной в условии удовлетворяет 11 наборов переменных.

Ответ: 11.

Ответ: 11

Источник: ЕГЭ по ин­фор­ма­ти­ке 05.05.2014. До­сроч­ная волна. Ва­ри­ант 1.

x9 ∨ ¬x10 = 1,

где x1, x2, … x10 - логические переменные?

В ответе не нужно перечислять все различные наборы значений x1, x2, … x10, при которых выполнена данная система равенств. В качестве ответа Вам нужно указать количество таких наборов.

Пояснение.

Построим дерево решений для первого уравнения.

Получилось три набора переменных, удовлетворяющих этому уравнению. Теперь рассмотрим второе уравнение, оно аналогично первому, следовательно, его дерево решений аналогично первому. Это означает, что значению x2 равному единице удовлетворяют значения x3, равные 0 и 1, а если x2 равно 0, то только значение 0. Таким образом, системе, состоящей из первого и второго уравнения удовлетворяют 4 набора переменных. Дерево решений для первого и второго уравнений будет выглядеть так:

Применив аналогичные рассуждения к третьему уравнению, получим, что системе, состоящей из первых трёх уравнений удовлетворяет 5 наборов переменных. Так как все уравнения аналогичны, получаем, что системе, данной в условии, удовлетворяет 11 наборов переменных.

Ответ: 11.

Ответ: 11

Источник: ЕГЭ по ин­фор­ма­ти­ке 05.05.2014. До­сроч­ная волна. Ва­ри­ант 2.

· Прототип задания ·

((x1 ≡ x2) → (x3 ≡ x4)) ∧ ((x3 ≡ x4) → (x5 ≡ x6)) ∧ ((x5 ≡ x6) → (x7 ≡ x8)) = 1

где x1,x2,…,x6,x7,x8 – логические переменные? В ответе не нужно перечислять все различные наборы значений переменных, при которых выполнено данное равенство. В качестве ответа нужно указать количество таких наборов

Пояснение.

Произведём замену: y1 = x1 ≡ x2; y2 = x3 ≡ x4; y3 = x5 ≡ x6; y4 = x7 ≡ x8. Получим уравнение:

(y1 → y2) ∧ (y2 → y3) ∧ (y3 → y4) = 1.

Логическое И истинно, только тогда, когда истины все утверждения, поэтому данное уравнение эквивалентно системе уравнений:

Импликация ложна только в случае, если из истинного следует ложное. Данная система уравнений описывает ряд переменных {y1, y2, y3, y4}. Заметим, что если любую переменную из этого ряда приравнять 1, то все следующие должны также быть равны 1. То есть решения системы уравнений: 0000; 0001; 0011; 0111; 1111.

Уравнения вида xN ≡ x{N+1} = 0 имеют два решение, уравнения вида xN ≡ x{N+1} = 1 также имеет два решения.

Найдём сколько наборов переменных x соответствуют каждому из решений y.

Каждому из решений 0000; 0001; 0011; 0111; 1111 соответствует 2 · 2 · 2 · 2 = 16 решений. Всего 16 · 5 = 80 решений.

Ответ: 80.

Ответ: 80

Источник: ЕГЭ 16.06.2016 по информатике. Основная волна.

Сколько существует различных наборов значений логических переменных x1, x2, x3, x4, x5, y1, y2, y3, y4, y5, которые удовлетворяют всем перечисленным ниже условиям?

(x1→x2) ∧ (x2→x3) ∧ (x3→x4) ∧ (x4→x5) = 1,

(y1→y2) ∧ (y2→y3) ∧ (y3→y4) ∧ (y4→y5) = 1,

(x1 → y1) ∧ (x2→y2) =1.

В ответе не нужно перечислять все различные наборы значений переменных x1, x2, x3, x4, x5, y1, y2, y3, y4, y5, при которых выполнена данная система равенств. В качестве ответа Вам нужно указать количество таких наборов.

Пояснение.

Рассмотрим первое уравнение, конъюнкция истинна тогда и только тогда, когда истинны все её переменные истинны. Импликация ложна только тогда, когда из истины следует ложь. Запишем все переменные x1, x2, x3, x4, x5 по порядку. Тогда, первое уравнение будет верно, если в данной строке справа от единиц нет нулей. То есть подходят строки 11111, 01111, 00111, 00011, 00001, 00000. Аналогичные решения имеет второе уравнение. Первое и второе уравнение не связаны какими-либо переменными, поэтому для системы, состоящей только из двух первых уравнений, каждому набору переменных одного уравнения соответствует 6 наборов переменных другого.

Теперь учтём третье уравнение. Это уравнение не выполняется для таких наборов переменных, в которых x1 = 1, а y1 = 0, либо x2 = 1, а y2 = 0. Это означает, что если записать какой-либо набор переменных x1, x2, x3, x4, x5 над набором переменных y1, y2, y3, y4, y5, то нужно исключить такие наборы, в которых под 1 на первом или втором местах стоят нули. То есть, набору переменных x1, x2, x3, x4, x5 11111 соответствует не 6 наборов y, а только один, а набору 01111 - 2. Таким образом, суммарное число возможных наборов: 1 + 2 + 4 · 6 = 27.

Ответ: 27.

Ответ: 27

· Прототип задания ·

(x 1 ∧ ¬x 2) ∨ (¬x 1 ∧ x 2) ∨ (x 2 ∧ x 3) ∨ (¬x 2 ∧ ¬x 3) = 1

(x 2 ∧ ¬x 3) ∨ (¬x 2 ∧ x 3) ∨ (x 3 ∧ x 4) ∨ (¬x 3 ∧ ¬x 4) = 1

(x 8 ∧ ¬x 9) ∨ (¬x 8 ∧ x 9) ∨ (x 9 ∧ x 10) ∨ (¬x 9 ∧ ¬x 10) = 1

В ответе не нужно

Пояснение.

Количество

пар значений

x 2 x 3
×2 1 1
×2 0 0
×1 1 0
×1 0 1

Поскольку уравнения идентичны с точностью до индексов переменных, древо решений второго уравнения аналогично первому. Следовательно, пара значений x 2 = 1 и x 3 = 1 порождает один набор переменных x 2 , ..., x 4 , удовлетворяющих второму уравнению. Поскольку среди наборов решений первого уравнения данных пар две, всего получаем 2 · 1 = 2 набора переменных x 1 , ..., x 4 , удовлетворяющих системе из двух уравнений. Рассуждая аналогично для пары значений x 2 = 0 и x 3 = 0, получаем 2 набора переменных x 1 , ..., x 4 . Пара x 2 = 1 и x 3 = 0 порождает четыре решения второго уравнения. Поскольку среди наборов решений первого уравнения данная пара одна, получаем 2 · 1 = 2 набора переменных x 1 , ..., x 4 , удовлетворяющих системе из двух уравнений. Аналогично для x 2 = 0 и x 3 = 1 - 2 набора решений. Всего система из двух уравнений имеет 2 + 2 + 2 + 2 = 8 решений.

Ответ: 20

Источник: ЕГЭ по информатике 08.07.2013. Вторая волна. Ва­ри­ант 801.

(x 1 ∧ x 2) ∨ (¬x 1 ∧ ¬x 2) ∨ (x 2 ∧ ¬x 3) ∨ (¬x 2 ∧ x 3) = 1

(x 2 ∧ x 3) ∨ (¬x 2 ∧ ¬x 3) ∨ (x 3 ∧ ¬x 4) ∨ (¬x 3 ∧ x 4) = 1

(x 8 ∧ x 9) ∨ (¬x 8 ∧ ¬x 9) ∨ (x 9 ∧ ¬x 10) ∨ (¬x 9 ∧ x 10) = 1

В ответе не нужно перечислять все различные наборы значений переменных x 1 , x 2 , … x 10 при которых выполнена данная система равенств. В качестве ответа Вам нужно указать количество таких наборов.

Пояснение.

Построим древо решений для первого уравнения.

Таким образом, первое уравнение имеет 6 решений.

Второе уравнение связано с первым только через переменные x 2 и x 3 . На основании древа решений для первого уравнения выпишем пары значений переменных x 2 и x 3 , которые удовлетворяют первому уравнению и укажем количество таких пар значений.

Количество

пар значений

x 2 x 3
×1 1 1
×1 0 0
×2 1 0
×2 0 1

Поскольку уравнения идентичны с точностью до индексов переменных, древо решений второго уравнения аналогично первому. Следовательно, пара значений x 2 = 1 и x 3 = 0 порождает один набор переменных x 2 , ..., x 4 , удовлетворяющих второму уравнению. Поскольку среди наборов решений первого уравнения данных пар две, всего получаем 2 · 1 = 2 набора переменных x 1 , ..., x 4 , удовлетворяющих системе из двух уравнений. Рассуждая аналогично для пары значений x 2 = 0 и x 3 = 1, получаем 2 набора переменных x 1 , ..., x 4 . Пара x 2 = 1 и x 3 = 1 порождает два решения второго уравнения. Поскольку среди наборов решений первого уравнения данных пар две, получаем 2 · 1 = 2 набора переменных x 1 , ..., x 4 , удовлетворяющих системе из двух уравнений. Аналогично для x 2 = 0 и x 3 = 0 - 2 набора решений. Всего система из двух уравнений имеет 2 + 2 + 2 + 2 = 8 решений.

Проведя аналогичные рассуждения для системы из трёх уравнений, получаем 10 наборов переменных x 1 , ..., x 5 , удовлетворяющих системе. Для системы из четырёх уравнений существует 12 наборов переменных x 1 , ..., x 6 , удовлетворяющих системе. Система из восьми уравнений имеет 20 решений.

Ответ: 20

Источник: ЕГЭ по информатике 08.07.2013. Вторая волна. Ва­ри­ант 802.

(x 1 ∧ x 2) ∨ (¬x 1 ∧ ¬x 2) ∨ (¬x 3 ∧ x 4) ∨ (x 3 ∧ ¬x 4) = 1

(x 3 ∧ x 4) ∨ (¬x 3 ∧ ¬x 4) ∨ (¬x 5 ∧ x 6) ∨ (x 5 ∧ ¬x 6) = 1

(x 7 ∧ x 8) ∨ (¬x 7 ∧ ¬x 8) ∨ (¬x 9 ∧ x 10) ∨ (x 9 ∧ ¬x 10) = 1

В ответе не нужно перечислять все различные наборы значений переменных x 1 , x 2 , … x 10 при которых выполнена данная система равенств. В качестве ответа Вам нужно указать количество таких наборов.

Пояснение.

Построим древо решений для первого уравнения.

Таким образом, первое уравнение имеет 12 решений.

Второе уравнение связано с первым только через переменные x 3 и x 4 . На основании древа решений для первого уравнения выпишем пары значений переменных x 3 и x 4 , которые удовлетворяют первому уравнению и укажем количество таких пар значений.

Количество

пар значений

x 3 x 4
×2 1 1
×2 0 0
×4 1 0
×4 0 1

Поскольку уравнения идентичны с точностью до индексов переменных, древо решений второго уравнения аналогично первому (см. рис.). Следовательно, пара значений x 3 = 1 и x 4 = 1 порождает четыре набора переменных x 3 , ..., x 6 , удовлетворяющих второму уравнению. Поскольку среди наборов решений первого уравнения данных пар две, всего получаем 4 · 2 = 8 наборов переменных x 1 , ..., x 6 , удовлетворяющих системе из двух уравнений. Рассуждая аналогично для пары значений x 3 = 0 и x 4 = 0, получаем 8 наборов переменных x 1 , ..., x 6 . Пара x 3 = 1 и x 4 = 0 порождает два решения второго уравнения. Поскольку среди наборов решений первого уравнения данных пар четыре, получаем 2 · 4 = 8 наборов переменных x 1 , ..., x 6 , удовлетворяющих системе из двух уравнений. Аналогично для x 3 = 0 и x 4 = 1 - 8 наборов решений. Всего система из двух уравнений имеет 8 + 8 + 8 + 8 = 32 решения.

Третье уравнение связано со вторым только через переменные x 5 и x 6 . Древо решений аналогичное. Тогда для системы из трёх уравнений каждая пара значений x 5 и x 6 будет порождать количество решений в соответствии с древом (см. рис.): пара (1, 0) породит 2 решения, пара (1, 1) породит 4 решения, и т. д.

Из решения первого уравнения мы знаем, что пара значений x 3 , x 4 (1, 1) встречается в решениях два раза. Следовательно, для системы из трёх уравнений количество решений для пары x 3 , x 4 (1, 1) равно 2 · (2 + 4 + 4 + 2) = 24 (см. рис.). Воспользовавшись таблицей выше, вычислим количество решений для оставшихся пар x 3 , x 4:

4 · (2 + 2) = 16

2 · (2 + 4 + 4 + 2) = 24

4 · (2 + 2) = 16

Таким образом, для системы из трёх уравнений имеем 24 + 16 + 24 + 16 = 80 наборов переменных x 1 , ..., x 8 , удовлетворяющих системе.

Для системы из четырёх уравнений существует 192 набора переменных x 1 , ..., x 10 , удовлетворяющих системе.

Ответ: 192.

Ответ: 192

Источник: ЕГЭ по информатике 08.07.2013. Вторая волна. Ва­ри­ант 502.

(x 8 ∧ x 9) ∨ (¬x 8 ∧ ¬x 9) ∨ (x 8 ≡ x 10) = 1

В ответе не нужно перечислять все различные наборы значений переменных x 1 , x 2 , … x 10 при которых выполнена данная система равенств. В качестве ответа Вам нужно указать количество таких наборов.

Пояснение.

Рассмотрим первое уравнение.

Второе уравнение связано с первым только через переменные x 2 и x 3 . На основании древа решений для первого уравнения выпишем пары значений переменных x 2 и x 3 , которые удовлетворяют первому уравнению и укажем количество таких пар значений.

Количество

пар значений

x 2 x 3
×1 0 0
×2 0 1
×1 1 1
×2 1 0

Проведя аналогичные рассуждения для системы из трёх уравнений, получаем 10 наборов переменных x 1 , ..., x 5 , удовлетворяющих системе. для системы из четырёх уравнений существует 12 наборов переменных x 1 , ..., x 6 , удовлетворяющих системе. Система из восьми уравнений имеет 20 решений.

Ответ: 20

Источник: ЕГЭ по информатике 08.07.2013. Вторая волна. Ва­ри­ант 601.

(x 1 ∧ x 2) ∨ (¬x 1 ∧ ¬x 2) ∨ (x 1 ≡ x 3) = 1

(x 2 ∧ x 3) ∨ (¬x 2 ∧ ¬x 3) ∨ (x 2 ≡ x 4) = 1

(x 7 ∧ x 8) ∨ (¬x 7 ∧ ¬x 8) ∨ (x 7 ≡ x 9) = 1

В ответе не нужно перечислять все различные наборы значений переменных x 1 , x 2 , … x 9 при которых выполнена данная система равенств. В качестве ответа Вам нужно указать количество таких наборов.

Пояснение.

Рассмотрим первое уравнение.

При x 1 = 1 возможны два случая: x 2 = 0 и x 2 = 1. В первом случае x 3 = 1. Во втором - x 3 либо 0, либо 1. При x 1 = 0 также возможны два случая: x 2 = 0 и x 2 = 1. В первом случае x 3 либо 0, либо 1. Во втором - x 3 = 0. Таким образом, уравнение имеет 6 решений (см. рисунок).

Второе уравнение связано с первым только через переменные x 2 и x 3 . На основании древа решений для первого уравнения выпишем пары значений переменных x 2 и x 3 , которые удовлетворяют первому уравнению и укажем количество таких пар значений.

Количество

пар значений

x 2 x 3
×1 0 0
×2 0 1
×1 1 1
×2 1 0

Поскольку уравнения идентичны с точностью до индексов переменных, древо решений второго уравнения аналогично первому. Следовательно, пара значений x 2 = 0 и x 3 = 0 порождает два набора переменных x 2 , ..., x 4 , удовлетворяющих второму уравнению. Поскольку среди наборов решений первого уравнения данная пара одна, получаем 1 · 2 = 2 набора переменных x 1 , ..., x 4 , удовлетворяющих системе из двух уравнений. Рассуждая аналогично для пары значений x 2 = 1 и x 3 = 1, получаем 2 набора переменных x 1 , ..., x 4 . Пара x 2 = 0 и x 3 = 1 порождает два решения второго уравнения. Поскольку среди наборов решений первого уравнения данных пар одна, имеем 2 · 1 = 2 набора переменных x 1 , ..., x 4 , удовлетворяющих системе из двух уравнений. Аналогично для x 2 = 1 и x 3 = 0 - 2 набора решений. Всего система из двух уравнений имеет 2 + 2 + 2 + 2 = 8 решений.

Проведя аналогичные рассуждения для системы из трёх уравнений, получаем 10 наборов переменных x 1 , ..., x 5 , удовлетворяющих системе. для системы из четырёх уравнений существует 12 наборов переменных x 1 , ..., x 6 , удовлетворяющих системе. Система из семи уравнений имеет 18 решений.

Ответ: 18

Источник: ЕГЭ по информатике 08.07.2013. Вторая волна. Ва­ри­ант 602.

· Прототип задания ·

(x 1 ∧ x 2) ∨ (¬x 1 ∧ ¬x 2) ∨ (x 1 ≡ x 3) = 1

(x 2 ∧ x 3) ∨ (¬x 2 ∧ ¬x 3) ∨ (x 2 ≡ x 4) = 1

(x 9 ∧ x 10) ∨ (¬x 9 ∧ ¬x 10) ∨ (x 9 ≡ x 11) = 1

В ответе не нужно перечислять все различные наборы значений переменных x 1 , x 2 , … x 11 при которых выполнена данная система равенств. В качестве ответа Вам нужно указать количество таких наборов.

Пояснение.

Рассмотрим первое уравнение.

При x 1 = 1 возможны два случая: x 2 = 0 и x 2 = 1. В первом случае x 3 = 1. Во втором - x 3 либо 0, либо 1. При x 1 = 0 также возможны два случая: x 2 = 0 и x 2 = 1. В первом случае x 3 либо 0, либо 1. Во втором - x 3 = 0. Таким образом, уравнение имеет 6 решений (см. рисунок).

Второе уравнение связано с первым только через переменные x 2 и x 3 . На основании древа решений для первого уравнения выпишем пары значений переменных x 2 и x 3 , которые удовлетворяют первому уравнению и укажем количество таких пар значений.

Количество

пар значений

x 2 x 3
×1 0 0
×2 0 1
×1 1 1
×2 1 0

Поскольку уравнения идентичны с точностью до индексов переменных, древо решений второго уравнения аналогично первому. Следовательно, пара значений x 2 = 0 и x 3 = 0 порождает два набора переменных x 2 , ..., x 4 , удовлетворяющих второму уравнению. Поскольку среди наборов решений первого уравнения данная пара одна, получаем 1 · 2 = 2 набора переменных x 1 , ..., x 4 , удовлетворяющих системе из двух уравнений. Рассуждая аналогично для пары значений x 2 = 1 и x 3 = 1, получаем 2 набора переменных x 1 , ..., x 4 . Пара x 2 = 0 и x 3 = 1 порождает два решения второго уравнения. Поскольку среди наборов решений первого уравнения данных пар одна, имеем 2 · 1 = 2 набора переменных x 1 , ..., x 4 , удовлетворяющих системе из двух уравнений. Аналогично для x 2 = 1 и x 3 = 0 - 2 набора решений. Всего система из двух уравнений имеет 2 + 2 + 2 + 2 = 8 решений.

Проведя аналогичные рассуждения для системы из трёх уравнений, получаем 10 наборов переменных x 1 , ..., x 5 , удовлетворяющих системе. для системы из четырёх уравнений существует 12 наборов переменных x 1 , ..., x 6 , удовлетворяющих системе. Система из девяти уравнений имеет 22 решения.

«Способы решения систем уравнений» - Б. 15х = 10(1 – х). Упростите выражение. A. A = Nt. 1. 13. 0,5. y. 3. Разложите на множители. Ответ: Б.

«Иррациональное уравнение» - Алгоритм решения уравнений. Здравствуйте! Ход урока. Желаю вам высоких результатов. Решим уравнение: (Чостер, английский поэт, средние века). Является ли число x корнем уравнения: а) ? х – 2 = ?2 – х, х0 = 4 б) ?2 – х = ? х – 2, х0 = 2 в) ? х – 5 = ? 2х – 13, х0 = 6 г) ? 1 – х = ? 1 + х, х0 = 0. ? Х – 6 = 2 ? х – 3 = 0 ? х + 4 =7 ? 5 – х = 0 ? 2 – х = х + 4.

«Решение уравнений с параметром» - На внеклассных занятиях по математике в 6 классе рассматривается решение уравнений с параметрами вида: 1) ах = 6 2) (а – 1)х = 8,3 3) bх = -5. При каких значениях b уравнение bх = 0 не имеет решений? Задачи с параметрами вызывают большие затруднения у учащихся и учителей. Решение линейных уравнений с параметрами.

«Теорема Гаусса-Маркова» - По данным выборки найти: ?, Cov(??), ?u, ?(?(z)). (7.6). (7.3). (7.7). Несмещенность оценки (7.3) доказана. Выражение (7.3) доказано. (7.4). Теорема (Гаусса – Маркова).

«Уравнения с параметром» - Имеет единственное решение. Уравнения с параметрами Что значит решить уравнение с параметрами? Найти все значения параметра a, при каждом из которых уравнение. C4. Пусть. + t +5a – 2 = 0.

«Уравнения и неравенства» - Способы решения систем уравнений. 5. 3. Сколько корней имеет уравнение? Заключается в следующем: строят в одной системе координат графики двух функций. Подстановка. Применение методов решения уравнений и неравенств. x2 – 2x – 3 =0 Представим в виде x2 = 2x +3. 0 2 -1 -2. Найти наименьшее натуральное решение неравенства.

Цель урока: сформировать умение по виду системы двух линейных уравнений с двумя переменными определять количество решений системы.

Задачи:

  • Образовательные :
    • повторить способы решения систем линейных уравнений;
    • связать графическую модель системы с количеством решений системы;
    • найти связь между соотношением коэффициентов при переменных в системе и количеством решений.
  • Развивающие :
    • формировать способности к самостоятельным исследованиям;
    • развивать познавательный интерес учащихся;
    • развивать умение выделять главное, существенное.
  • Воспитательные :
    • воспитывать культуру общения; уважение к товарищу, умение достойно вести себя. закреплять навыки работы в группе;
    • формировать мотивацию на здоровый образ жизни.

Тип урока : комбинированный

ХОД УРОКА

I. Организационный момент (нацелить учащихся на урок)

– На предыдущих уроках мы научились решать системы двух линейных уравнений с двумя переменными разными способами. Сегодня на уроке нам предстоит ответить на вопрос: «Как, не решая систему уравнений определить, сколько же решений она имеет?», поэтому тема урока называется «Исследование системы линейных уравнений с двумя переменными на количество решений ». Итак, начнём урок. Соберёмся с силами. В четыре приёма глубоко вдохнём воздух через нос и в пять приёмов с силой выдохнем, задувая воображаемую свечку. Повторим это 3 раза. Очень быстро активизируем свой мозг. Для этого интенсивно промассажируем межбровную точку: указательным пальцем правой руки делаем 5 круговых движений в одну сторону и в другую. Повторим это 2-3 раза.

II. Проверка домашнего задания (коррекция ошибок)

Показать решение системы разными способами:

А) методом подстановки;
Б) Методом сложения;
В) по формулам Крамера;
Г) Графически.

Пока на доске готовятся к ответам по домашнему заданию, с остальными учениками начинается подготовка к следующему этапу урока.

III. Этап подготовки к усвоению нового материала (актуализация опорных знаний)

– Если вы знаете ответы на вопросы, но вдруг растерялись и всё сразу забыли, попробуйте собраться, убедить себя, что вы всё знаете и у вас всё получится. Хорошо помогает обыкновенный массаж всех пальцев. Во время обдумывания массажируйте все пальчики от основания к ногтю.

– Что называют системой двух уравнений?

– Что значит решить систему линейных уравнений?
– Что является решением системы линейных уравнений?
– Будет ли пара чисел (– 3; 3) решением системы уравнений:

– Расскажите, в чём суть каждого известного вам способа решения систем линейных уравнений с двумя переменными. (Рекомендуется общение в парах)

Ответы учеников сопровождаются показом слайдов 1-14 (Презентация ) учителем. (можно одним из учеников). Проверяем домашнее задание (слушаем ответы учеников у доски).

Учитель: Для решения специфических систем уравнений существует ещё один способ, называется он методом подбора решения. Попробуйте, не решая подобрать решение системы уравнений: . Объясните суть метода.

– Найдите решение системы уравнений:

– Дано уравнение a + b =15, добавьте такое уравнение, чтобы решением полученной системы была пара чисел (– 12; 27)
Перечислите ещё раз все способы решения систем линейных уравнений, с которыми вы познакомились.

IV. Этап усвоения новых знаний (исследовательская работа)

– Прежде чем переходить к следующему этапу урока, немного отдохнём.
Сидя на стуле – расслабьтесь, примите позу пиджака, висящего на вешалке,
«Постреляйте» глазами в соседей. А затем вспомним про «царственную осанку»: спина прямая, мышцы головы без напряжения, выражение лица очень значительное, соберёмся с мыслями, для чего сделаем массаж межбровной точки или пальчиков и приступим к дальнейшей работе.

Учитель: Мы научились решать системы линейных уравнений с двумя переменными разными способами и знаем, что система таких уравнений может иметь:

А) одно решение;
Б) не иметь решений;
В) много решений.

А нельзя ли, не прибегая к решению, ответить на вопрос: сколько же решений имеет система уравнений? Сейчас мы с вами проведём небольшое исследование.
Для начала разобьемся на три исследовательские группы. Составим план нашего исследования, ответив на вопросы:

1) Что представляет собой графическая модель системы линейных уравнений с двумя переменными?
2) Как могут располагаться две прямые на плоскости?
3) Как зависит количество решений системы от расположения прямых?

(После ответов учащихся используем слайды 6-10 Презентации .)

Учитель: Значит основа нашего исследования состоит в том, чтобы по виду системы понять, как располагаются прямые.
Каждая исследовательская группа решает эту задачу на конкретной системе уравнений по плану (Приложение 1 ).
Система для группы №1.

Система для группы №2.

Система для группы №3.

V. Релаксация

Предлагаю отдохнуть, расслабиться: физкультминутка или психологический тренинг. (Приложение 3 )

VI. Закрепление нового материала

А) Первичное закрепление

Используя полученные выводы, ответьте на вопрос: сколько решений имеет система уравнений

а) б) в)

Итак, прежде чем решать систему, можно узнать, сколько она имеет решений.

Б) решение более сложных задач по новой теме

1) Дана система уравнений

– При каких значениях параметра a данная система имеет единственное решение?

(Работа выполняется в группах по 4 человека: пары поворачиваются друг к другу)

– При каких значениях параметра a данная система не имеет решений?
– При каких значениях параметра данная система уравнений имеет много решений?

2) Дано уравнение – 2x + 3y = 12

Добавьте ещё одно уравнение так, чтобы система этих уравнений имела:

А) одно решение;
Б) бесконечно много решений.

3) Провести полное исследование системы уравнений на наличие её решений:

VII. Рефлексия. Методика «Мухомор»

На дополнительной доске (или на отдельном плакате) нарисован круг, разбитый на секторы. Каждый сектор – это вопрос, рассмотренный на уроке. Ученикам предлагается
поставить точку:

  • ближе к центру, если ответ на вопрос не вызывает сомнения;
  • в середину сектора, если сомнения есть;
  • ближе к окружности, если вопрос остался не понятым; (Приложение 4 )

VIII. Домашнее задание

Алгебра-7, под редакцией Теляковского. Параграфы 40-44, №1089,1095а), решать любым способом.
Выяснить, при каком значении a система имеет одно решение, много решений, не имеет решений

– Итак: наш урок подошёл к концу. Приготовим себя к перемене: сцепите руки замком, положите их на затылок. Положите голову на парту, резко сядьте прямо, примите «царственную» позу. Повторите это ещё раз.

– Урок окончен. Всем спасибо. Подойдите к доске и сделайте отметку на предложенном рисунке. До свидания.