Как-то раз Альберт Эйнштейн написал своей маленькой племяннице, которую родители не взяли в гости, такую записку: «Дорогая фрейлейн Лей, мне говорили о твоём огорчении из-за того, что ты не повидала своего дядю Эйнштейна. Позволь рассказать тебе, как он выглядит: бледное лицо, длинные волосы, небольшое начинающееся брюшко. Вдобавок неуклюжая походка, сигара во рту - если случается достать сигару – и перо в кармане или в руке. Но у него нет ни кривых ног, ни бородавок, и потому он вполне красив – тем более что руки у него не волосатые, как это часто бывает у уродливых людей. Выходит, в самом деле жаль, что ты не видела меня. Тёплый привет от твоего дяди Эйнштейна».
Великие люди бывают двух типов: те, с которыми хотелось бы подружиться, и все остальные. Эйнштейн как раз из первой категории, ведь он совсем не зазнавался из-за своих талантов и всемирной славы. Поэтому Букник-младший с особенным удовольствием расскажет вам о великом учёном.
Альберту Эйнштейну 14 лет
Как любой нормальный ребёнок, пятилетний Альберт был заинтригован, впервые увидев компас. И до самой старости чудо науки вызывало у Эйнштейна удивление и трепет.
Альберт был обычным мальчиком из еврейской семьи, так что неудивительно, что с шести лет он учился играть на скрипке. Правда, в отличие от многих, будущий учёный полюбил музыку навсегда. Физика, трубка и скрипка – три вещи, которые сопровождали его всю жизнь.
Эйнштейн ненавидел зубрёжку и строгую дисциплину, а в немецкой гимназии, где он учился, порядки были жёсткие. Поэтому, несмотря на всю его любовь к математике, оценки у Альберта были плохими. Даже очень плохими – настолько, что ему пришлось уйти из школы в 15 лет, так и не получив аттестата. Правда, в отличие от многих других двоечников, Эйнштейн сделал множество открытий, стал доктором двадцати университетов мира и получил Нобелевскую премию.
В течение своей долгой жизни Эйнштейн много раз переезжал с места на место: он родился в Германии в 1879 году, жил в Италии, работал в Швейцарии, потом оказался в Америке, где и умер в 1955 году.
Даже если вы ещё не проходите физику в школе, вы наверняка слышали о теории относительности, которую придумал Эйнштейн. Не пугайтесь, мы не будем пытаться объяснить вам эту теорию прямо здесь. Просто представьте, насколько знаменитым должен быть человек, чтобы о нём знали даже те, кто понятия не имеет о его достижениях.
Эйнштейн изобрёл ещё много всего, помимо теории относительности. Как часто случается с талантливыми учёными, коллеги сначала недоверчиво отнеслись к его открытиям. А на родине Эйнштейна, в Германии, его жестоко критиковали и даже смеялись над ним. Но это было в то время, когда к власти пришли нацисты. Они ненавидели Эйнштейна за то, что он был евреем.
А евреи, естественно, гордились, что такой необыкновенный человек был их соплеменником. Его даже хотели выбрать президентом Израиля.
Изображение Эйнштейна на израильской купюре
Эйнштейн принимал участие в сборе средств на открытие Еврейского университета в Иерусалиме. А уже перед самой смертью написал человеку, который когда-то впервые рассказал ему о возрождении еврейского государства: «Благодарю Вас в мой поздний час за то, что Вы помогли мне осознать мою еврейскую душу».
При этом Эйнштейн, как любой умный и здравомыслящий человек, конечно, понимал, что не так уж серьёзно отличаются друг от друга разные расы и национальности: «Каждый из людей – человеческое существо, независимо от того, американец он или немец, еврей или христианин. Если бы можно было руководствоваться этой точкой зрения, единственно достойной, я был бы счастлив».
К сожалению, далеко не все разделяли его взгляды. На долгий век Альберта Эйнштейна пришлось две мировые войны, более того – его открытия помогли создать атомную бомбу. Он очень жалел, что наука служит не только добру.
Кроме напряжённой научной работы и преподавания, Эйнштейну приходилось отвечать на многочисленные письма. Писали ему, кажется, все кому не лень. Кто-то хотел получить фотографию великого физика с автографом. Кто-то рассказывал Эйнштейну о себе, жалуясь на бессмысленность существования. Кто-то мечтал получить ценный совет, который изменит всю его жизнь. Кто-то задавал конкретные вопросы, потому что думал, будто гений должен знать всё.
И Эйнштейн отвечал на эти письма – без малейшего высокомерия, с сочувствием, доброжелательностью и юмором. Хотя ему и казалось странным, что к нему приковано внимание стольких незнакомых людей. Он относился всерьёз к науке, но не к самому себе. Недаром самая знаменитая его фотография изображает встрёпанного седого человека с высунутым языком.
В 1936 году один американский издатель захотел поместить в фундамент своей будущей библиотеки коробку с вещами, которые могли бы представлять интерес для будущих поколений. Он попросил Эйнштейна обратиться к потомкам, и вот что написал великий учёный:
«Дорогие потомки! Если вы не стали справедливее, миролюбивее и вообще разумнее, чем мы, – что ж, в таком случае чёрт бы вас побрал. Это благочестивое пожелание с глубоким уважением изрёк тот, кто был Альбертом Эйнштейном».
Это, между прочим, и к нам с вами относится.
Средняя линия трапеции равна полусумме оснований. Она соединяет середины боковых сторон трапеции и всегда параллельна основаниям.
Если основания трапеции равны a и b, то средняя линия m равна m=(a+b)/2.
Если известна площадь трапеции, то среднюю линию можно найти и другим способом, разделив площадь трапеции S на высоту трапеции h:
То есть, средняя линия трапеции m=S/h
Способов найти длину средней линии трапеции много. Выбор способа зависит от исходных данных.
Вот формулы длины средней линии трапеции :
Чтобы найти среднюю линию трапеции, можно воспользоваться одной из пяти формул (выписывать их не буду, так как они уже есть в других ответах), но это только в тех случаях, когда известны нужные нам значения исходных данных.
На практике приходится решать много задач, когда данных недостаточно, а нужный размер нужно все таки найти.
Здесь есть такие варианты
пошаговым решением подвести все таки под формулу;
используя другие формулы, составить и решить необходимые уравнения.
нахождения длины середины трапеции методом подвода под нужную нам формулу с помощью других знаний о геометрии и применяя при этом алгебраические уравнения:
Имеем равнобедренную трапецию, ее диагонали пересекаются под прямым углом, высота равна 9 см.
Делаем рисунок и видим, что в лоб эту задачу не решить (недостаточно данных)
Поэтому мы немного упростим и проведем высоту через точку пересечения диагоналей.
Это первый важный шаг, который ведет к быстрому решению.
обозначим высоту двумя неизвестными, увидим нужные нам равнобедренные треугольники со сторонами х и у
и уже легко найдем сумму оснований трапеции
она равна 2х+2у
И вот только теперь мы можем применить формулу где
и равна она х+у а по условию задачи это длина высоты равная 9 см .
И вот теперь мы вывели несколько моментов для равнобедренной трапеции, диагонали которой пересекаются под прямым углом
в таких трапециях
средняя линия всегда равна высоте
площадь всегда равна квадрату высоты .
Средняя линия трапеции это отрезок, который соединяет середины боковых сторон трапеции.
Среднюю линию любой трапеции несложно найти, если пользоваться формулой:
m = (a + b)/2
m длина средней линии трапеции;
a, b длины оснований трапеции.
Итак, длина средней линии трапеции равна полусумме длин оснований .
Основная формула для формулы средней линии трапеции:длина средней линии трапеции равна полусумме е оснований a и b: MN=(a+b)2.Доказательством этой формулы служит формула для средней линии треугольника.Любая трапеция может быть представлена после того как проведены из концов меньшего основания высоты на большее основание.Рассматриваются 2 полученных треугольника,и прямоугольник.После этого легко доказывается формула для средней линии трапеции.
Чтобы найти среднюю линию трапеции нам нужно знать величины оснований.
После того,как нашли эти величины или может быть они нам были известны,то складываем эти числа и просто делим пополам.
Это и будет средняя линия трапеции .
Насколько я помню уроки школьной геометрии, для того, чтобы найти длину средней линии трапеции, нужно сложить длины оснований и разделить на два. Таким образом длина средней линии трапеции, равна полусумме оснований.
В этой статье для вас сделана очередная подборка задач с трапецией. Условия так или иначе связаны с её средней линией. Типы заданий взяты из открытого банка типовых задач. Если есть желание, то можете освежить свои теоретические знания . На блоге уже рассмотрены задачи условия которых связаны с , а также . Кратко о средней линии:
Средняя линия трапеции соединяет середины боковых сторон. Она параллельна основаниям и равна их полусумме.
Перед решением задач давайте рассмотрим теоретический пример.
Дана трапеция ABCD. Диагональ АС пересекаясь со средней линией образует точку К, диагональ BD точку L. Доказать, что отрезок KL равен половине разности оснований.
Давайте сначала отметим тот факт, что средняя линия трапеции делит пополам любой отрезок концы которого лежат на её основаниях. Этот вывод напрашивается сам собой. Представьте отрезок соединяющий две точки оснований, он разобьёт данную трапецию на две других. Получится, что отрезок параллельный основаниям трапеции и проходящий через середину боковой стороны на другой боковой стороне пройдёт через её середину.
Так же это основывается на теореме Фалеса:
Если на одной из двух прямых отложить последовательно несколько равных отрезков и через их концы провести параллельные прямые, пересекающие вторую прямую, то они отсекут на второй прямой равные отрезки.
То есть в данном случае К середина АС и L середина BD. Следовательно EK есть средняя линия треугольника АВС, LF есть средняя линия треугольника DCB. По свойству средней линии треугольника:
Можем теперь выразить отрезок KL через основания:
Доказано!
Данный пример приведён не просто так. В задачах для самостоятельного решения имеется именно такая задача. Только в ней не сказано, что отрезок соединяющий середины диагоналей лежит на средней линии. Рассмотрим задачи:
27819. Найдите среднюю линию трапеции, если ее основания равны 30 и 16.
Вычисляем по формуле:
27820. Средняя линия трапеции равна 28, а меньшее основание равно 18. Найдите большее основание трапеции.
Выразим большее основание:
Таким образом:
27836. Перпендикуляр, опущенный из вершины тупого угла на большее основание равнобедренной трапеции, делит его на части, имеющие длины 10 и 4. Найдите среднюю линию этой трапеции.
Для того, чтобы найти среднюю линию необходимо знать основания. Основание АВ найти просто: 10+4=14. Найдём DC.
Построим второй перпендикуляр DF:
Отрезки AF, FE и EB будут равны соответственно 4, 6 и 4. Почему?
В равнобедренной трапеции перпендикуляры опущенные к большему основанию разбивают его на три отрезка. Два из них, являющиеся катетами отсекаемых прямоугольных треугольников, равны друг другу. Третий отрезок равен меньшему основанию, так как при построении указанных высот образуется прямоугольник, а в прямоугольнике противолежащие стороны равны. В данной задаче:
Таким образом DC=6. Вычисляем:
27839. Основания трапеции относятся 2:3, а средняя линия равна 5. Найдите меньшее основание.
Введём коэффициент пропорциональности х. Тогда АВ=3х, DC=2х. Можем записать:
Следовательно меньшее основание равно 2∙2=4.
27840. Периметр равнобедренной трапеции равен 80, ее средняя линия равна боковой стороне. Найдите боковую сторону трапеции.
Исходя из условия можем записать:
Если обозначить среднюю линию через величину х, то получится:
Второе уравнение уже можно записать в виде:
27841. Средняя линия трапеции равна 7, а одно из ее оснований больше другого на 4. Найдите большее основание трапеции.
Обозначим меньшее основание (DC) как х, тогда большее (AB) будет равно х+4. Можем записать
Получили, что меньшее основание рано пяти, значит большее равно 9.
27842. Средняя линия трапеции равна 12. Одна из диагоналей делит ее на два отрезка, разность которых равна 2. Найдите большее основание трапеции.
Большее основание трапеции мы без труда найдём если вычислим отрезок ЕО. Он является средней линией в треугольнике ADB, и АВ=2∙ЕО.
Что имеем? Сказано что средняя линия равна 12 и разность отрезков ЕО и ОF равна 2. Можем записать два уравнения и решить систему:
Понятно, что в данном случае подобрать пару чисел можно без вычислений, это 5 и 7. Но, всё-таки, решим систему:
Значит ЕО=12–5=7. Таким образом, большее основание равно АВ=2∙ЕО=14.
27844. В равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны. Высота трапеции равна 12. Найдите ее среднюю линию.
Сразу отметим, что высота проведённая через точку пересечения диагоналей в равнобедренной трапеции лежит на оси симметрии и разбивает трапецию на две равные прямоугольные трапеции, то есть основания этой высотой делятся пополам.
Казалось бы, для вычисления средней линии мы должны найти основания. Тут небольшой тупик возникает… Как зная высоту, в данном случае, вычислить основания? А ни как! Таких трапеций с фиксированной высотой и диагоналями пересекающимися по углом 90 градусов можно построить множество. Как быть?
Посмотрите на формулу средней линии трапеции. Ведь нам необязательно знать сами основания, достаточно узнать их сумму (или полусумму). Это мы сделать можем.
Так как диагонали пересекаются под прямым углом, то высотой EF образуются равнобедренные прямоугольные треугольники:
Из выше сказанного следует, что FO=DF=FC, а OE=AE=EB. Теперь запишем чему равна высота выраженная через отрезки DF и AE:
Таким образом, средняя линия равна 12.
*Вообще это задачка, как вы поняли, для устного счёта. Но, уверен, представленное подробное объяснение необходимо. А так… Если взглянуть на рисунок (при условии, что при построении соблюдён угол между диагоналями), сразу в глаза бросается равенство FO=DF=FC, а OE=AE=EB.
В составе прототипов имеется ещё типы заданий с трапециями. Построена она на листе в клетку и требуется найти среднюю линию, сторона клетки обычно равна 1, но может быть другая величина.
27848. Найдите среднюю линию трапеции ABCD , если стороны квадратных клеток равны 1.
Всё просто, вычисляем основания по клеткам и используем формулу: (2+4)/2=3
Если же основания построены под углом к клеточной сетке, то есть два способа. Например!
Отрезок прямой, соединяющей середины боковых сторон трапеции, называется средней линией трапеции. О том, как найти среднюю линию трапеции и как она соотносится с другими элементами этой фигуры, мы расскажем ниже.
Теорема о средней линии
Нарисуем трапецию, в которой AD - большее основание, BC - меньшее основание, EF - средняя линия. Продолжим основание AD за точку D. Проведём линию BF и продолжим её до пересечения с продолжением основания AD в точке О. Рассмотрим треугольники ∆BCF и ∆DFO. Углы ∟BCF = ∟DFO как вертикальные. CF = DF, ∟BCF = ∟FDО, т.к. ВС // АО. Следовательно, треугольники ∆BCF = ∆DFO. Отсюда стороны BF = FO.
Теперь рассмотрим ∆АВО и ∆EBF. ∟ABO общий для обоих треугольников. BE/AB = ½ по условию, BF/BO = ½, поскольку ∆BCF = ∆DFO. Следовательно, треугольники ABO и EFB подобны. Отсюда отношение сторон EF/AO = ½, как и отношение других сторон.
Находим EF = ½ AO. По чертежу видно, что AO = AD + DO. DO = BC как стороны равных треугольников, значит, AO = AD + BC. Отсюда EF = ½ АО = ½ (AD + BC). Т.е. длина средней линии трапеции равна полусумме оснований.
Всегда ли средняя линия трапеции равна полусумме оснований?
Предположим, что существует такой частный случай, когда EF ≠ ½ (AD + BC). Тогда ВС ≠ DO, следовательно, ∆BCF ≠ ∆DCF. Но это невозможно, поскольку у них равны два угла и стороны между ними. Следовательно, теорема верна при всех условиях.
Задача о средней линии
Предположим, в нашей трапеции АВСD АD // ВС, ∟A=90°, ∟С = 135°, АВ = 2 см, диагональ АС перпендикулярна боковой стороне. Найдите среднюю линию трапеции EF.
Если ∟А = 90°, то и ∟В = 90°, значит, ∆АВС прямоугольный.
∟BCA = ∟BCD - ∟ACD. ∟ACD = 90° по условию, следовательно, ∟BCA = ∟BCD - ∟ACD = 135° - 90° = 45°.
Если в прямоугольном треугольнике ∆АВС один угол равен 45°, значит, катеты в нём равны: АВ = ВС = 2 см.
Гипотенуза АС = √(АВ² + ВС²) = √8 см.
Рассмотрим ∆ACD. ∟ACD = 90° по условию. ∟CAD = ∟BCA = 45° как углы, образованные секущей параллельных оснований трапеции. Следовательно, катеты AC = CD = √8.
Гипотенуза AD = √(AC² + CD²) = √(8 + 8) = √16 = 4 см.
Средняя линия трапеции EF = ½(AD + BC) = ½(2 + 4) = 3 см.
