Цели:
1. Повторить знания о квадратичной функции.
2. Познакомиться с методом решения квадратного неравенства на основе свойств квадратичной функции.
Оборудование: мультимедиа, презентация “Решение квадратных неравенств”, карточки для самостоятельной работы, таблица “Алгоритм решения квадратного неравенства”, листы контроля с копировальной бумагой.
ХОД УРОКА
I. Организационный момент (1 мин).
II. Актуализация опорных знаний (10 мин).
1. Построение графика квадратичной функции у=х 2 -6х+8 <Рисунок 1. Приложение >
- определение направления ветвей параболы;
- определение координат вершины параболы;
- определение оси симметрии;
- определение точек пересечения с осями координат;
- нахождение дополнительных точек.
2. Определить по чертежу знак коэффициента a и количество корней уравнения ах 2 +вх+с=0. <Рисунок 2. Приложение >
3. По графику функции у=х 2 -4х+3 определить:
- Чему равны нули функции;
- Найти промежутки, на которых функция принимает положительные значения;
- Найти промежутки, на которых функция принимает отрицательные значения;
- При каких значениях х функция возрастает, а при каких убывает? <Рисунок 3>
4. Изучение новых знаний (12 мин.)
Задача 1: Решить неравенство: х 2 +4х-5> 0.
Неравенству удовлетворяют значения х, при которых значения функции у=х 2 +4х-5 равны нулю или положительны, то есть те значения х при которых точки параболы лежат на оси ох или выше этой оси.
Построим график функции у=х 2 +4х-5.
С осью ох: Х 2 +4х-5=0. По теореме Виета: х 1 =1, х 2 =-5. Точки(1;0),(-5;0).
С осью оу: у(0)=-5. Точка (0;-5).
Дополнительные точки: у(-1)=-8, у(2)=7. <Рисунок 4>
Итог: Значения функции положительны и равны нулю (неотрицательны) при
- Необходимо ли каждый раз для решения неравенства подробно строить график квадратичной функции?
- Нужно ли находить координаты вершины параболы?
- А что важно? (а, х 1 ,х 2)
Вывод: Для решения квадратного неравенства достаточно определить нули функции, направление ветвей параболы и построить эскиз графика.
Задача 2: Решить неравенство: х 2 -6х+8< 0.
Решение: Определим корни уравнения х 2 -6х+8=0.
По теореме Виета: х 1 =2, х 2 =4.
а>0 – ветви параболы направлены вверх.
Построим эскиз графика. <Рисунок 5>
Отметим знаками “+” и “–” интервалы, на которых функция принимает положительные и отрицательные значения. Выберем необходимый нам интервал.
Ответ: Х€.
5. Закрепление нового материала (7 мин).
№ 660 (3). Ученик решает на доске.
Решить неравенство-х 2 -3х-2<0.
Х 2 -3х-2=0; х 2 +3х+2=0;
корни уравнения: х 1 =-1, х 2 =-2.
а<0 – ветви вниз. <Рисунок 6>
№ 660 (1) - Работа со скрытой доской.
Решить неравенство х 2 -3х+2< 0.
Решение: х 2 -3х+2=0.
Найдем корни: ; х 1 =1, х 2 =2.
а>0 – ветви вверх. Строим эскиз графика функции. <Рисунок 7>
Алгоритм:
- Найти корни уравнения ах 2 +вх+с=0.
- Отметить их на координатной плоскости.
- Определить направление ветвей параболы.
- Построить эскиз графика.
- Отметить знаками “+” и “ - ”, интервалы на которых функция принимает положительные и отрицательные значения.
- Выбрать необходимый интервал.
6. Самостоятельная работа (10 мин.).
(Прием - копировальная бумага).
Лист-контроль подписывается и сдается учителю для проверки и определения коррекции.
Самопроверка по доске.
Дополнительное задание:
№ 670. Найти значения х, при которых функция принимает значения не большие нуля: у=х 2 +6х-9.
7. Домашнее задание (2 мин).
№ 660 (2, 4), № 661 (2, 4).
Заполнить таблицу:
D | Неравенство | a | Чертеж | Решение |
D>0 | ах 2 +вх+с> 0 | a>0 | ||
D>0 | ах 2 +вх+с> 0 | a<0 | ||
D>0 | ах 2 +вх+с< 0 | a>0 | ||
D>0 | ах 2 +вх+с< 0 | a<0 |
8. Итог урока (3 мин).
- Воспроизведите алгоритм решения неравенств.
- Кто справился с работой на отлично?
- Что показалось сложным?
Графический метод заключается в построении множества допустимых решений ЗЛП, и нахождении в данном множестве точки, соответствующей max/min целевой функции.
В связи с ограниченными возможностями наглядного графического представления данный метод применяется только для систем линейных неравенств с двумя неизвестными и систем, которые могут быть приведены к данному виду.
Для того чтобы наглядно продемонстрировать графический метод, решим следующую задачу:
1. На первом этапе надо построить область допустимых решений. Для данного примера удобнее всего выбрать X2 за абсциссу, а X1 за ординату и записать неравенства в следующем виде:
Так как и графики и область допустимых решении находятся в первой четверти. Для того чтобы найти граничные точки решаем уравнения (1)=(2), (1)=(3) и (2)=(3).
Как видно из иллюстрации многогранник ABCDE образует область допустимых решений.
Если область допустимых решений не является замкнутой, то либо max(f)=+ ?, либо min(f)= -?.
2. Теперь можно перейти к непосредственному нахождению максимума функции f.
Поочерёдно подставляя координаты вершин многогранника в функцию f и сравнивать значения, находим что f(C)=f (4; 1)=19 - максимум функции.
Такой подход вполне выгоден при малом количестве вершин. Но данная процедура может затянуться если вершин довольно много.
В таком случае удобнее рассмотреть линию уровня вида f=a. При монотонном увеличении числа a от -? до +? прямые f=a смещаются по вектору нормали. Если при таком перемещении линии уровня существует некоторая точка X - первая общая точка области допустимых решений (многогранник ABCDE) и линии уровня, то f(X) - минимум f на множестве ABCDE. Если X - последняя точка пересечения линии уровня и множества ABCDE то f(X) - максимум на множестве допустимых решений. Если при а>-? прямая f=a пересекает множество допустимых решений, то min(f)= -?. Если это происходит при а>+?, то max(f)=+ ?.
см. также Решение задачи линейного программирования графически , Каноническая форма задач линейного программирования
Система ограничений такой задачи состоит из неравенств от двух переменных:
и целевая функция имеет вид F
= C
1 x
+ C
2 y
, которую необходимо максимизировать.
Ответим на вопрос: какие пары чисел ( x
; y
) являются решениями системы неравенств, т. е. удовлетворяют каждому из неравенств одновременно? Другими словами, что значит решить систему графически?
Предварительно необходимо понять, что является решением одного линейного неравенства с двумя неизвестными.
Решить линейное неравенство с двумя неизвестными – это значит определить все пары значений неизвестных, при которых неравенство выполняется.
Например, неравенству 3x
– 5 y
≥ 42 удовлетворяют пары (x
, y
) : (100, 2); (3, –10) и т. д. Задача состоит в нахождении всех таких пар.
Рассмотрим два неравенства: ax
+ by
≤ c
, ax
+ by
≥ c
. Прямая ax
+ by
= c
делит плоскость на две полуплоскости так, что координаты точек одной из них удовлетворяют неравенству ax
+ by
>c
, а другой неравенству ax
+ +by
<c
.
Действительно, возьмем точку с координатой x
= x
0 ; тогда точка, лежащая на прямой и имеющая абсциссу x
0 , имеет ординату
Пусть для определенности a
< 0, b
>0,
c
>0. Все точки с абсциссой x
0 , лежащие выше P
(например, точка М
), имеют y M
>y
0 , а все точки, лежащие ниже точки P
, с абсциссой x
0 , имеют y N
<y
0 .
Поскольку x
0 –произвольная точка, то всегда с одной стороны от прямой будут находиться точки,
для которых ax
+ by
> c
, образующие полуплоскость, а с другой стороны – точки, для которых ax
+ by
< c
.
Рисунок 1
Знак неравенства в полуплоскости зависит от чисел a
, b
, c
.
Отсюда вытекает следующий способ графического решения систем линейных неравенств от двух переменных. Для решения системы необходимо:
- Для каждого неравенства выписать уравнение, соответствующее данному неравенству.
- Построить прямые, являющиеся графиками функций, задаваемых уравнениями.
- Для каждой прямой определить полуплоскость, которая задается неравенством. Для этого взять произвольную точку, не лежащую на прямой, подставить ее координаты в неравенство. если неравенство верное, то полуплоскость, содержащая выбранную точку, и является решением исходного неравенства. Если неравенство неверное, то полуплоскость по другую сторону прямой является множеством решений данного неравенства.
- Чтобы решить систему неравенств, необходимо найти область пересечения всех полуплоскостей, являющихся решением каждого неравенства системы.
Эта область может оказаться пустой, тогда система неравенств не имеет решений, несовместна. В противном случае говорят, что система совместна.
Решений может быть конечное число и бесконечное множество. Область может представлять собой замкнутый многоугольник или же быть неограниченной.
Рассмотрим три соответствующих примера.
Пример 1.
Решить графически систему:
x
+ y –
1 ≤ 0;
–2 x –
2y
+ 5 ≤ 0.
- рассмотрим уравнения x+y–1=0 и –2x–2y+5=0 , соответствующие неравенствам;
- построим прямые, задающиеся этими уравнениями.
Рисунок 2
Определим полуплоскости, задаваемые неравенствами. Возьмем произвольную точку, пусть (0; 0). Рассмотрим x
+ y–
1 0, подставим точку (0; 0): 0 + 0 – 1 ≤ 0. значит, в той полуплоскости, где лежит точка (0; 0), x
+ y
–
1 ≤ 0, т.е. полуплоскость, лежащая ниже прямой, является решением первого неравенства.
Подставив эту точку (0; 0), во второе, получим: –2 ∙ 0 – 2 ∙ 0 + 5 ≤ 0, т.е. в полуплоскости, где лежит точка (0; 0), –2x
– 2y
+ 5≥ 0, а нас спрашивали, где –2x
– 2y
+ 5 ≤ 0, следовательно, в другой полуплоскости – в той, что выше прямой.
Найдем пересечение этих двух полуплоскостей. Прямые параллельны, поэтому плоскости нигде не пересекаются, значит система данных неравенств решений не имеет, несовместна.
Пример 2.
Найти графически решения системы неравенств:
Рисунок 3
1. Выпишем уравнения, соответствующие неравенствам, и построим прямые.
x
+ 2y
– 2 = 0
x | 2 | 0 |
y | 0 | 1 |
y – x – 1 = 0
x | 0 | 2 |
y | 1 | 3 |
y + 2 = 0;
y = –2.
2. Выбрав точку (0; 0), определим знаки неравенств в полуплоскостях:
0 + 2 ∙ 0 – 2 ≤ 0, т.е. x + 2y – 2 ≤ 0 в полуплоскости ниже прямой;
0 – 0 – 1 ≤ 0, т.е. y –x – 1 ≤ 0 в полуплоскости ниже прямой;
0 + 2 =2 ≥ 0, т.е. y + 2 ≥ 0 в полуплоскости выше прямой.
3. Пересечением этих трех полуплоскостей будет являться область, являющаяся треугольником. Нетрудно найти вершины области, как точки пересечения соответствующих прямых
Таким образом, А (–3; –2), В (0; 1), С (6; –2).
Рассмотрим еще один пример, в котором получившаяся область решения системы не ограничена.