МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«УССУРИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ»

Физико–математический факультет

Курсовая работа по математическому анализу

Тема: «Непрерывная, но не дифференцируемая функции»

Выполнила: Пляшешник Ксения

студентка 131 группы

Руководитель: Делюкова Я.В.

Уссурийск – 2011г.

Введение.............................................................................................. 3

Историческая справка......................................................................... 4

Основные определения и теоремы..................................................... 5

Пример непрерывной функции без производной........................... 10

Решение упражнений........................................................................ 13

Заключение........................................................................................ 21

Список литературы........................................................................... 22

Введение

Курсовая работа посвящена изучению связи между непрерывностью и существованием производной функции одной переменной. Исходя из цели ставились задачи:

1. Изучить учебную литературу;

2. Изучить пример непрерывной функции, не имеющей производной ни в одной точке, построенной ван-дер-Варденом;

3. Прорешать систему упражнений.

Историческая справка

Ба́ртель Лее́ндерт ван дер Ва́рден (нидерл. Bartel Leendert van der Waerden , 2 февраля 1903, Амстердам, Нидерланды - 12 января 1996, Цюрих, Швейцария) - голландский математик.

Обучался в Амстердамском университете, затем в Гёттингенском университете, где на него огромное влияние оказала Эмми Нётер.

Основные работы в области алгебры, алгебраической геометрии, где он (наряду с Андре Вейлем и О.Зарисским) поднял уровень строгости, и математической физики, где он занимался приложением теории групп к вопросам квантовой механики (наряду с Германом Вейлем и Ю.Вигнером). Его классическая книга Современная алгебра (1930) стала образцом для последующих учебников по абстрактной алгебре и выдержала множество переизданий.

Ван дер Варден - один из крупнейших специалистов по истории математики и астрономии в Древнем мире. Его Пробуждающаяся наука (Ontwakende wetenschap 1950, русский перевод 1959) даёт развёрнутое изложение истории математики и астрономии в Древнем Египте, Вавилоне и Греции. В Приложении к русскому переводу этой книги опубликована статья «Пифагорейское учение о гармонии» (1943) - фундаментальное изложение пифагорейских взглядов на музыкальную гармонию.

Основные определения и теоремы

Предел функции в точке. Левые и правые пределы

Определение (предел по Коши, на языке Число называется пределом функции в точке , если

Определение (на языке окрестности) Число называется пределом функции в точке , если для любой -окрестности числа сущесвует - окрестность точки такая, что как только

Определение (по Гейне) Число называется пределом функции в точке , если для любой последовательности , сходящейся к (то есть , соответствующая последовательность значений функции сходится к числу

Определение Число называется левым пределом функции в точке , если

Определение Число называется правым пределом функции в точке , если

Теорема (необходимое и достаточное условие существования предела)

Для того чтобы в точке существовал предел функции необходимо и достаточно, чтобы существовали левые и правые пределы равные между собой.

Понятие производной. Односторонние производные.

Рассмотрим функцию заданную на множестве

1. В озьмем возьмем приращение . Дадим точке приращение Получим .

2. Вычислим значение функции в точках . и

3. .

4. .

причем приращение аргумента может быть как положительным, так и отрицательным, то этот предел называется производной в точке и обозначают . Он может быть и бесконечным.

левой (левосторонней) производной функции в точке , а если

существует конечный предел то его называют правосторонней производной функции в точке .

Функция имеет в точке тогда и только тогда, когда в точке совпадают ее левая и правая производные:

( ( .

Рассмотрим функцию Найдем односторонние производные в точке

Следовательно, ( =-1; ( =1 и ( ( , то есть в точке функция производной не имеет.

Различные определения непрерывности функции в точке.

Определение 1 (основное) Функция называется непрерывной в точке , если предел функции при равен значению функции в этой точке.

Определение 2 (на языке Функция называется непрерывной в точке , если ε, δ>0, такое что .

Определение 3 (по Гейне, на языке последовательности) Функция называется непрерывной в точке , если для любой последовательности сходящейся к точке соответствующая последовательность значений функции сходится к .

Определение 4 (на языке приращений) Функция называется непрерывной в точке , если бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции.

Понятие дифференцируемой функции

Определение 1 Функция , заданная на множестве (называется дифференцируемой в точке , если ее приращение в этой точке можно представить как (*), где A - const , независящая от , - бесконечно малая при

Определение 2 Функция, дифференцируемая в любой точке множества, называется дифференцируемой на множестве.

Связь между дифференцируемостью и непрерывностью

Теорема. Если функция дифференцируема в точке , то она непрерывна в точке .

Доказательство.

Пусть задана функция Функция дифференцируема в точке , где

Обратная теорема. Если функция непрерывна, то она дифференцируема.

Обратная теорема неверна.

В - не дифференцируема, хотя непрерывна.

Классификация точек разрыва

Определение Функция не являющаяся непрерывной в точке является разрывной в точке , а саму точку называют точкой разрыва.

Существуют две классификации точек разрыва: I и II рода.

Определение Точка называется точкой разрыва I рода, если в этой точке существуют конечные односторонние пределы неравные друг другу.

Определение Точка называется точкой устранимого разр ыва , если , но они не равны значению функции в точке .

Определение Точка называется точкой разрыва II рода, если в этой точке односторонние пределы равны или один из односторонних пределов бесконечен или в точке не существует предела.

· – бесконечные;

·– бесконечный или– бесконечный;

Признаки равномерной сходимости рядо в

Признак Вейерштрасса.

Если члены функционального ряда (1) удовлетворяют в области неравенствам где - член некоторого сходящегося числового ряда то ряд (1) сходится в равнмерно.

Теорема 1 Пусть функции определены в промежутке и все непрерывны в некоторой точке этого промежутка. Если ряд(1) в промежутке сходится равномерно, то и сумма ряда в точке также будет непрерывна.

Пример непрерывной функции без производной

Первый пример такого рода был построен Вейерштрассом; его функция определяется рядом:

где 0< a <1, а b есть нечетное натуральное число (причем ab >1+π). Этот ряд мажорируется сходящейся прогрессией , следовательно (признаки равномерной сходимости рядов), сходится равномерно, и его сумма является всюду непрерывной функцией от x . Кропотливым исследованием Вейерштрассу удалось показать, что тем не менее ни в одной точке для нее не существует конечной производной.

Здесь будет рассмотрен более простой пример ван-дер-Вардена, построенный по существу на той же идее, лишь колеблющиеся кривые у= cosωχ заменены колеблющимися ломаными.

Итак, обозначим через абсолютную величину разности между числом χ и ближайшим к нему целым числом. Эта функция будет линейной в каждом промежутке вида , где s -целое; она непрерывна и имеет период 1. Ее график представляет собой ломаную, он изображен на рис.1; отдельные звенья ломаной имеют угловой коэффициент ±1.

Положим, затем, для к=1,2,3,…:

Эта функция будет линейной в промежутках вида ; она также непрерывна и имеет период . Ее график также ломаная, но с более мелкими зубчиками; на рис.1(б), например, изображен график функции . Во всех случаях угловые коэффициенты отдельных звеньев ломаной и здесь равны ±1.

Определим теперь, для всех вещественных значений x , функцию f (x) равенством

Так как, очевидно, 0≤ (k =0,1,2,…), так что ряд мажорируется сходящейся прогрессией , то (как и в случае функции Вейерштрасса) ряд сходится равномерно, и функция всюду непрерывна.

Остановимся на любом значении . Вычисляя его с точностью до (где n =0,1,2,…), по недостатку и по избытку, мы заключим его между числами вида:

≤ , где -целое.

(n =0,1,2,…).

Очевидно, что замкнутые промежутки оказываются вложенными один в другой. В каждом из них найдется такая точка , что расстояние ее от точки равно половине длины промежутка.

Ясно, что с возрастанием n варианта .

Составим теперь отношение приращений

=

Но при k > n , число есть целое кратное периодам функции , соответствующие члены ряда обращаются в 0 и могут быть опущены. Если же k ≤ n , то функция , линейная в промежутке , будет линейной и в содержащемся на нем промежутке , причем

(k=0,1,…,n).

Таким образом, имеем окончательно иными словами, это отношение равно четному целому числу при нечетном n и нечетному числу при четном n . Отсюда ясно, что при отношение приращений ни к какому конечному пределу стремится не может, так что наша функция при конечной производной не имеет.

Решение упражнений

Упражнение 1 (, №909)

Функция определена следующим образом: . Исследовать непрерывность и выяснить существование

На непрерывна как многочлен;

На (0;1) непрерывна как многочлен;

На (1;2) непрерывна как многочлен;

На (2; непрерывна как элементарная функция.

Точки подозрительные на разрыв

Так как левый предел равен правому пределу и равен значению функции в точке функция непрерывна в точке

Так как левый предел равен значению функции в точке, то функция разрывна в точке .

1 способ. В точке не существует конечной производной функции Действительно, предположим противное. Пусть в точке существует конечная производная функции непрерывна в точке (по теореме 1: Если функция дифференцируема в точке , то она непрерывна.

2 способ. Найдем односторонние пределы функции в точке x =0.

Упражнение 2 (, №991)

Показать, что функция имеет разрывную производную.

Найдем производную функции.

Предел не существует разрывна в точке

Так как – бесконечно малая функция, - ограниченная.

Докажем, что функция в точке предела не имеет.

Для доказательства достаточно показать, что существуют две последовательности значений аргумента сходящиеся к 0, что не сходится к

Вывод: функция в точке предела не имеет.

Упражнение 3 (, №995)

Показать, что функция где - непрерывная функция и не имеет производной в точке . Чему равны односторонние производные

Односторонние пределы не равны функция не имеет производной в точке .

Упражнение 4 (, №996)

Построить пример непрерывной функции, не имеющей производной функции в данных точках:

Рассмотрим функцию в точках

Найдем односторонние пределы

Односторонние пределы не равны функция не имеет производной в точке . Аналогично, функция не имеет производных в остальных точках

Упражнение 5 (, №125)

Показать, что функция не имеет производной в точке .

Найдем приращение функции в точке

Составим отношение приращения функции в точке к приращению аргумента

Перейдем к пределу

Упражнение 6 (, №128)

Показать, что функция не имеет производной в точке .

Возьмем приращение Дадим точке приращение Получим

Найдем значение функции в точках и

Найдем приращение функции в точке

Составим отношение приращения функции в точке к приращению аргумента

Перейдем к пределу

Вывод: не имеет конечной производной в точке .

Упражнение 7 (, №131)

Исследовать функцию на непрерывность

– точка подозрительная на разрыв

Так как левый предел равен значению функции в точке, то функция непрерывна в точке существует разрыв I рода.

Заключение

В курсовой работе излагается материал, связанный с понятием « Непрерывная, но не дифференцируемая функции », цели данной работы достигнуты, задачи решены.

Список литературы

1. Б. П. Демидович, / Сборник задач по курсу математического анализа. Учебное пособие для студентов физико-математического факультета педагогических институтов. – М.: Просвещение, 1990 –624с.

2. Г. Н. Берман, / Сборник задач по курсу математического анализа. – М.: Наука, 1977 – 416с.

3. Г. М. Фихтенгольц, / Курс дифференциального и интегрального исчисления т.II. - М., Наука, 1970- 800с.

4. И.А. Виноградова, /Задачи и упражнения по математическому анализу ч.1. – М.:Дрофа,2001 – 725с.

5. Ресурс Интернет \ http://ru.wikipedia.org/wiki.

6. Ресурс Интернет \http://www.mathelp.spb.ru/ma.htm.

Определение 1. Функцияназываетсядифференцируемой в точке, если ее приращение в этой точке представимо в виде

, (2.1)

где
и не зависит от
, а
при
.

Теорема 1. Функция
, дифференцируема в точкетогда и только тогда, когда она имеет в этой точке конечную производную
.

Доказательство .Необходимость . Пусть функция
дифференцируема в точке, т.е. имеет место равенство (2.1). Разделив его на
, получим
. Переходя к пределу при
, видим, что
, т.е. предел правой части существует и равенА , значит, существует и предел левой части, т.е.
, причем
.

Достаточность . Пусть существует
. Тогда по теореме 1 § 16 главы 1
, где– бесконечно малая функция при
. Отсюда, т.е. функция дифференцируема в точке.

Теорема доказана.

Замечание . Из теоремы 1 следует, что понятия функции, имеющей конечную производную, и дифференцируемой функции равносильны. Поэтому дифференцируемой можно назвать функцию, имеющую конечную производную, что и делают авторы некоторых учебников.

Как связаны между собой свойства непрерывности и дифференцируемости функций? Имеет место

Теорема 2. Если функция
дифференцируема в точке, то она в этой точке непрерывна.

Доказательство . Поскольку в точке
, имеем, что и означает непрерывность функции в точке.

Теорема доказана.

Обратное неверно, то есть существуют непрерывные функции, которые не дифференцируемы.

Пример 1. Покажем, что функция
непрерывна, но не дифференцируема в точке
.

Решение . Найдем приращение функции в точке
, соответствующее приращению
аргумента. Имеем. Поэтому
, то есть функция
непрерывна в точке
. С другой стороны,,

, то есть односторонние производные в точке
не равны, следовательно, данная функция в этой точке не дифференцируема.

В математическом анализе имеются примеры функций, которые в каждой точке числовой прямой непрерывны, но не дифференцируемы. Они имеют сложную конструкцию.

Теорема 3. Пусть функция
имеет в точкепроизводную
, функция
имеет в соответствующей точке
производную
. Тогда сложная функция
имеет в точкепроизводную

или, короче,
.

Доказательство . Дадим значениюприращение
. Тогда получим соответствующее приращение
функции
и приращение
функции
. В силу теоремы 1 имеем

, где
при
.

.

Заметим, что если
, то и
по теореме 2, поэтому и
. Следовательно,.

Поскольку существует предел правой части равенства, то существует и предел левой части и

.

Теорема доказана.

Замечание . Теорема 3 доказана для случая, когда сложная функция
имеет одну промежуточную переменную
. Если промежуточных переменных несколько, то производная вычисляется аналогично. Например, если
,
,
, то.

§ 3. Правила дифференцирования. Производные основных элементарных функций

Теорема 1. Пусть функция
, непрерывна, строго монотонна на отрезке
и дифференцируема во внутренней точкеэтого отрезка, причем
. Тогда обратная функция
дифференцируема в точке
, причем
.

Доказательство . Заметим, что в условиях теоремы обратная функция
существует, непрерывна и строго монотонна на отрезке
в силу теоремы из § 19 главы 1.

Придадим значению приращение
. Тогда
получит приращение

(так как функция
строго монотонна). Поэтому можно записать
. Поскольку при
в силу непрерывности обратной функции и
и, по условию, существует
, имеем
. Отсюда следует существованиеи равенство
. Теорема доказана.

Пример 1. Найдем производные функцийarcsin x ,arccos x ,arctg x ,arcctg x /

Решение . По теореме 1 имеем(поскольку
, имеем
и корень берем со знаком плюс).

Аналогично,

Теорема 2. Если функции
и
имеют производные в точке, то в точкеимеют производные и функции
(если
) и справедливы формулы

а )
;б )
;в )
.

Доказательство .а ) Пусть
. Дадимприращение
. Тогда функцииu ,v ,y получат приращения
, причем

. Отсюда
ии равенствоа ) доказано.

б ) Пусть
. Аналогично пунктуа ) имеем

,
,, т.е. имеет место формулаб ).

в ) Пусть
. Имеем
,
,
, т.е. имеет место формулав ).

Теорема доказана.

Следствия . 1) Если
, то
.

2) Формула а ) имеет место для любого конечного числа слагаемых.

Доказательство . 1) Поскольку
, имеем.

В общем случае следствия 2) и 3) доказываются методом математической индукции.

Рассмотрим показательно-степенную функцию
, гдеu иv – некоторые функции отх . Найдем производную функцииу в точке, в которой дифференцируемы функцииu иv .Для этого представим функциюу в виде
.По правилу дифференцирования сложной функции, в силу теоремы 2 и примера 1 § 1 имеем

Таким образом,

Заметим, что в полученной формуле первое слагаемое есть результат дифференцирования как показательной функции, а второе – как степенной функции. Примененный прием дифференцирования называетсялогарифмическим дифференцированием . Им бывает удобно пользоваться и тогда, когда дифференцируемая функция является произведением нескольких сомножителей.

Перейдем теперь к параметрическому заданию функций. Если зависимость функции у от аргументах устанавливается не непосредственно, а с помощью некоторой третьей переменнойt , называемой параметром, формулами

, (3.1)

то говорят, что функция у отх задана параметрически.

Если х и у рассматривать как прямоугольные координаты точки на плоскости, то уравнения (3.1) ставят в соответствие каждому значению
точку
на плоскости. С изменениемt точка
опишет некоторую кривую на плоскости. Уравнения (3.1) называются параметрическими уравнениями этой кривой. Например, уравнения

(3.2)

являются параметрическими уравнениями эллипса с полуосями а иb .

Если в (3.1) уравнение
разрешается относительноt ,
, то параметрическое задание функции можно свести к явному:

.

Найдем производную функции, заданной параметрически. Для этого предположим, что функции
и
дифференцируемы, причем
на некотором промежутке, а для функции
существует обратная функция
, имеющая конечную производную
. Тогда по правилу дифференцирования сложной и обратной функций находим:
. Таким образом,

. (3.3)

Например, производная функции, определяемой уравнениями (3.2) имеет вид

.

Уравнение касательной к кривой, заданной параметрически, в точке
, соответствующей значению параметра, получается из уравнения (1.4), если вместо
подставить:

,

отсюда при
имеем

. (3.4)

Аналогично из уравнения (1.5) получаем уравнение нормали:

или. (3.5)

Запишем теперь сводные таблицы производных основных элементарных функций и правил дифференцирования, полученных ранее.

Правила дифференцирования

1.
. 2.
. 3.
. 4.
.

5. Если
, то
. 6. Если
то
.

7. Если
– обратная функция, то
. 8..

Таблица производных основных элементарных функций

1.
, где
. 2.
, в частности,

3.
. 4.
.
.

5.
. 6.
.

7.
. 8.
.

9.
. 10.
.

11.
, в частности,
. 12.
, в частности,
.

„Истинно ли утверждение S?"-это, пожалуй, наиболее типичный для математики вопрос, когда утверждение имеет вид: „Каждый элемент класса А принадлежит также классу В: А В". Доказать, что подобное утверждение истинно, - значит доказать включение А В. Доказать, что оно ложно,- значит найти элемент класса А, не принадлежащий классу В, иными словами, привести контрпример. Например, если утверждение S таково: „Каждая непрерывная функция дифференцируема в некоторой точке", то множества А и В состоят соответственно из всех непрерывных функций и всех функций, дифференцируемых в некоторых точках. Известный же пример Вейерштрасса непрерывной, но нигде не дифференцируемой функции f является контрпримером для включения А В, поскольку f является элементом А, не принадлежащим В. Рискуя впасть в чрезмерное упрощение, можно сказать, что математика (за исключением определений, утверждений и выкладок) состоит из двух частей - доказательств и контрпримеров, а математические открытия состоят в нахождении доказательств и построении контрпримеров.

Этим обуславливается актуальность контрпримеров во времена становления и развития математики.

Большая часть математических книг посвящена доказательству верных утверждений.

Вообще говоря, примеры в математике бывают двух типов - иллюстративные примеры и контрпримеры. Первые показывают, почему то или иное утверждение имеет смысл, а вторые - почему то или иное утверждение лишено смысла. Можно утверждать, что любой пример является в то же время контрпримером для некоторого утверждения, а именно для утверждения, что такой пример невозможен. Мы не желаем придавать термину контрпример столь универсальный смысл, но допускаем, что его значение достаточно широко, чтобы включить в себя все примеры, роль которых не ограничивается иллюстрацией верных теорем. Так, например, полином как пример непрерывной функции не есть контрпример, но полином как пример неограниченной или непериодической функции является контрпримером. Подобным же образом класс всех монотонных функций на ограниченном замкнутом интервале как класс интегрируемых функций не есть контрпример, однако этот же самый класс как пример функционального, но не векторного пространства является контрпримером.

Цель данной работы – рассмотреть контрпримеры и условия монотонности функции в анализе.

Для достижения цели были поставлены следующие задачи:

1. Рассмотреть контрпримеры в анализе

2. Определить понятие контрпримера

3. Рассмотреть использование контрпримеров в дифференцировании

4. Определить понятие монотонности функций

5. Охарактеризовать условия монотонности функции

6. Рассмотреть необходимое условие локального экстремума

7. Рассмотреть достаточные условия локального экстремума

1. Контрпримеры в анализе

1.1. Понятие контрпримера

Крылатые выражения: «учиться на примерах», «сила примера» имеют не только житейский смысл. Слово «пример» является однокоренным со словами «мера», «мерить», «измерить», но не только поэтому присутствует в математике с самих ее начал. Пример иллюстрирует понятие, помогает уяснить его смысл, подтверждает истинность утверждения в его частном проявлении; контрпример, опровергая ложное утверждение, имеет доказательную силу.

Контрпример - пример, опровергающий верность некоторого утверждения.

Построение контрпримера - обычный способ опровержения гипотез. Если имеется утверждение типа «Для любого X из множества M выполняется свойство A», то контрпримером для этого утверждения будет любой объект X 0 из множества M, для которого свойство A не выполняется.

Классический контрпример в истории математического анализа представляет собой построенная Бернардом Больцано функция, непрерывная на всей вещественной оси и не дифференцируемая ни в одной точке. Эта функция послужила контрпримером к гипотезе о том, что дифференцируемость функции является естественным следствием её непрерывности.

2.2. Использование контрпримеров в дифференцировании

Данный раздел был выбран в силу того, что дифференцирование является базовым элементом математического анализа.

В некоторых примерах этой главы термин производная будет применяться и к бесконечным пределам.

Однако термин дифференцируемая функция используется лишь в том случае, если функция имеет конечную производную в каждой точке своей области определения. Функция называется бесконечно дифференцируемой, если она имеет (конечную) производную любого порядка в каждой точке области определения.

Показательная функция с основанием е будет обозначаться символом е х или ехр(x).

Предполагается, что все множества, включая области определения и множества значений функций, являются подмножествами R. В противном случае будет сделано соответствующее уточнение.

1. Функция, не являющаяся производной

Функция sgnA: и вообще всякая функция с разрывом в виде скачка не имеет примитивной, т. е. не является производной никакой функции, поскольку она не обладает свойством Коши принимать все промежуточные значения, а это свойство присуще не только непрерывным функциям, но и производным (см. , стр. 84, упр. 40, а также , т. I, стр. 224). Ниже приводится пример разрывной производной.

2. Дифференцируемая функция с разрывной производной

Рассмотрим функцию

Ее производная

разрывна в точке х = 0.

3. Разрывная функция, всюду имеющая производную (не обязательно конечную)

Для того чтобы такой пример стал возможен, надо расширить определение производной так, чтобы оно включало значения ± . Тогда разрывная функция sgn x (пример 1) имеет производную

4. Дифференцируемая функция, производная которой н е сохраняет знака ни в какой односторонней окрестности экстремальной точки

имеет абсолютный минимум в точке х = 0. А ее производная

в любой односторонней окрестности нуля принимает как положительные, так и отрицательные значения. Функция f не является монотонной ни в какой односторонней окрестности точки х = 0.

5. Дифференцируемая функция, производная которой положитель на в некоторой точке, но сама функция не монотонна ни в какой окрестности этой точки

имеет производную, равную

В любой окрестности нуля производная f / (х) имеет как положительные, так и отрицательные значения.

6. Функция, производная которой конечна, но не ограничена на замкнутом интервале

Рассмотрим функцию

Ее производная

не ограничена на [-1, 1].

7. Функция, производная которой существует и ограничена, но не имеет (абсолютного) экстремума на замкнутом интервале

имеет производную

В любой окрестности нуля эта производная имеет значения, как угодно близкие к 24 и -24. С другой стороны, для 0

Поэтому из неравенства 0 < h 1 следует, что

8. Всюду непрерывная, но нигде не дифференцируемая функция

Функция | х | всюду непрерывна, но не дифференцируема в точке х - 0. С помощью сдвига этой функции можно определить всюду непрерывную функцию, которая не дифференцируема в каждой точке произвольно заданного конечного множества. В этом пункте мы приведем пример, использующий бесконечное множество сдвигов функции | х |.

Покажем, что функция

нигде не дифференцируема. Пусть а - произвольное действительное число, и пусть для всякого натурального n число h n , равное 4 -n или –4 -n , выбрано так, что Тогда величина имеет одинаковое значение | h n | для всех m n и равна нюлю для m > n. Тогда разностное отношение является целым числом, которое чётно при чётном n и нечётно при нечётном n.

Отсюда следует, что предел

не существует, а поэтому не существует и

Приведенный пример является модификацией примера, построенного Б. Л. Ван дер Варденом в 1930 г. (см. , стр. 394). Первый же пример непрерывной нигде не дифференцируемой функции был построен К. В. Т. Вейерштрас-сом (немецкий математик, 1815-1897 г.):

где а - целое нечетное число, а число b таково, что

В настоящее время известны примеры непрерывных функций, которые ни в одной точке не имеют даже односторонней конечной или бесконечной производной. Эти примеры и дальнейшие ссылки можно найти в (стр. 392-394), (стр. 61 - 62, 115, 126), а также в (т. II, стр. 401-412).

Функция настоящего примера не является монотонной ни на каком интервале. Более того, существует пример функции всюду дифференцируемой и нигде не монотонной (см. , т. II, стр. 412-421). Конструкция этого примера очень сложна и приводит к функции, которая всюду дифференцируема и имеет плотное множество относительных максимумов и плотное множество относительных минимумов.

9. Дифференцируемая функция, для которой теорема о среднем не имеет места

В этом примере мы снова вынуждены обратиться к комплекснозначной функции. Функция

действительного переменного х всюду непрерывна и дифференцируема (см. , стр. 509-513). Однако не существует такого интервала для которого при некотором справедливо равенство

Если предположить, что это равенство возможно, то, приравнивая квадраты модулей (абсолютных значений) обеих его частей, мы получим равенство

которое после элементарных преобразований примет вид

Но так как не существует положительного числа h, такого, что sin h = h (см. , стр. 78), то мы получили противоречие.

13. Бесконечно дифференцируемая монотонная функция f, такая, что

Если не требовать монотонности, то тривиальным примером такой функции будет, например, (sinx 2)/x. Построим пример монотонной функции, обладающей указанным свойством. Положим f(х) равной 1 для и равной на замкнутых интервалах для

На оставшихся промежуточных интервалах вида определим f(х) с помощью функции

применяя горизонтальные и вертикальные сдвиги и умножение на соответствующие отрицательные множители.

2. Монотонные функции

2.1. Монотонность функций

Функция f (x) называется возрастающей на промежутке D , если для любых чисел x 1 и x 2 из промежутка D таких, что x 1 < x 2 , выполняется неравенство f (x 1) < f (x 2).

Функция f (x) называется убывающей на промежутке D , если для любых чисел x 1 и x 2 из промежутка D таких, что x 1 < x 2 , выполняется неравенство f (x 1) > f (x 2).

Рисунок 1.

На показанном на рисунке графике функция y = f (x), возрастает на каждом из промежутков [ a ; x 1) и (x 2 ; b ] и убывает на промежутке (x 1 ; x 2). Обратите внимание, что функция возрастает на каждом из промежутков [ a ; x 1) и (x 2 ; b ], но не на объединении промежутков

Если функция возрастает или убывает на некотором промежутке, то она называется монотонной на этом промежутке.

Заметим, что если f – монотонная функция на промежутке D (f (x)), то уравнение f (x) = const не может иметь более одного корня на этом промежутке.

Действительно, если x 1 < x 2 – корни этого уравнения на промежутке D (f (x)), то f (x 1) = f (x 2) = 0, что противоречит условию монотонности.

Перечислим свойства монотонных функций (предполагается, что все функции определены на некотором промежутке D).

• Сумма нескольких возрастающих функций является возрастающей функцией.
• Произведение неотрицательных возрастающих функций есть возрастающая функция.
• Если функция f возрастает, то функции cf (c > 0) и f + c также возрастают, а функция cf (c < 0) убывает. Здесь c – некоторая константа.
• Если функция f возрастает и сохраняет знак, то функция 1/ f убывает.
• Если функция f возрастает и неотрицательна, то где, также возрастает.
• Если функция f возрастает и n – нечетное число, то f n также возрастает.
• Композиция g (f (x)) возрастающих функций f и g также возрастает.

Аналогичные утверждения можно сформулировать и для убывающей функции.

Рис. 2. Свойства функции.

Точка a называется точкой максимума функции f , если существует такая ε-окрестность точки a , что для любого x из этой окрестности выполняется неравенство f (a) ≥ f (x).

Точка a называется точкой минимума функции f , если существует такая ε-окрестность точки a , что для любого x из этой окрестности выполняется неравенство f (a) ≤ f (x).

Точки, в которых достигается максимум или минимум функции, называются точками экстремума.

В точке экстремума происходит смена характера монотонности функции. Так, слева от точки экстремума функция может возрастать, а справа – убывать. Согласно определению, точка экстремума должна быть внутренней точкой области определения.

Если для любого (x ≠ a) выполняется неравенство f (x) ≤ f (a) то точка a называется точкой наибольшего значения функции на множестве D:

Если для любого (x ≠ b) выполняется неравенство f (x) > f (b) то точка b называется точкой наименьшего значения функции на множестве D .

Комплексная функция Вейерштрасса имеет вид

где - некоторое вещественное число, а записывается либо как , либо как . Вещественная и мнимая части функции называются, соответственно, косинусоидой и синусоидой Вейерштрасса.

Функция непрерывна, но нигде не дифференцируема. Однако ее формальное обобщение на случай и непрерывно, и дифференцируемо.

Кроме самой функции в настоящем разделе рассматриваются некоторые ее варианты; необходимость в их представлении обусловлена тем новым смыслом, который придала функции Вейерштрасса теория фракталов.

Частотный спектр функции . Термин «спектр», на мой взгляд, перегружен значениями. Под частотным спектром понимается множество допустимых значений частоты безотносительно к амплитудам соответствующих составляющих.

Частотный спектр периодической функции представляет собой последовательность положительных целых чисел. Частотный спектр броуновской функции – это . Частотный же спектр функции Вейерштрасса есть дискретная последовательность от до .

Энергетический спектр функции . Подэнергетическим спектром понимается множество допустимых значений частоты вместе со значениями энергии (квадратами амплитуд) соответствующих составляющих. На каждое значение частоты вида в функции имеется спектральная линия энергии вида . Следовательно, суммарное значение энергии на частотах сходится и пропорционально .

Сравнение с дробным броуновским движением. Суммарная энергияпропорциональна еще в нескольких рассмотренных нами ранее случаях: дробные периодические случайные функции Фурье – Броуна – Винера, допустимые частоты для которых имеют вид , а соответствующие коэффициенты Фурье равны ; случайные процессы с непрерывной спектральной плотностью совокупности, пропорциональной . Последние процессы суть не что иное, как дробные броуновские функции , описанные в главе 27. Например, при можно обнаружить кумулятивный спектр функции Вейерштрасса в обыкновенном броуновском движении, спектральная плотность которого пропорциональна . Существенное различие: броуновский спектр абсолютно непрерывен, тогда как спектры функций Фурье – Броуна - Винера и Вейерштрасса дискретны.

Недифференцируемость. Для доказательства отсутствия у функции конечной производной при любом значении Вейерштрассу пришлось объединить два следующих условия: - нечетное целое число, вследствие чего функция представляет собой ряд Фурье, и . Необходимые и достаточные условия ( и ) взяты нами из статьи Харди .

Расходимость энергии. Привычному к спектрам физику условия Харди представляются очевидными. Применяя эмпирическое правило, гласящее, что производная функции вычисляется умножением ее - го коэффициента Фурье на , физик находит для формальной производной функции , что квадрат амплитуды коэффициента Фурье с равен . Так как совокупная энергия на частотах, больших , бесконечна, физику становится ясно, что производную определить невозможно.

Интересно отметить, что Риман в поисках примера недифференцируемости пришел к функции , энергия спектра которой на частотах, бóльших , пропорциональна , где . Таким образом, применяя то же эвристическое рассуждение, можно предположить, что производная недифференцируема. Заключение это верно лишь отчасти, поскольку при определенных значениях производная все-таки существует (см. ).

Ультрафиолетовая расходимость / катастрофа. Термин «катастрофа» появился в физике в первом десятилетии ХХ века, когда Рэлей и Джинс независимо друг от друга разработали теорию излучения абсолютно черного тела, согласно которой энергия частотного диапазона ширины в окрестности частоты пропорциональна . Это означает, что совокупная энергия спектра на высоких частотах бесконечна – что оказывается весьма катастрофичным для теории. Поскольку источником неприятностей являются частоты, лежащие за ультрафиолетовой частью спектра, явление получило название ультрафиолетовой (УФ) катастрофы.

Всем известно, что Планк построил свою квантовую теорию на руинах, в которые обратила теорию излучения именно УФ – катастрофа.

Историческое отступление. Отметим (хотя я не совсем понимаю, почему никто не сделал этого раньше; во всяком случае, в доступных мне источниках я ничего похожего не обнаружил), что причиной смерти как старой физики , так и старой математики является одна и та же расходимость, подорвавшая их веру в то, что непрерывные функции просто обязаны быть дифференцируемыми. Физики отреагировали простым изменением правил игры, математикам же пришлось научиться жить с недифференцируемыми функциями и их формальными производными. (Последние представляет собой единственный часто применяемый в физике пример обобщенной функции Шварца.)

В поисках масштабно-инвариантного дискретного спектра. Инфракрасная расходимость. Хотя частотный спектр броуновской функции непрерывен, масштабно-инвариантен и существует при , частотный спектр функции Вейерштрасса, соответствующий тому же значению , дискретен и ограничен снизу значением . Наличие нижней границы обусловлено исключительно тем обстоятельством, что число у Вейерштрасса изначально было целым, а функция – периодической. Для устранения этого обстоятельства следует, очевидно, позволить принимать любое значение от до . А для того, чтобы энергетический спектр стал масштабно-инвариантным, достаточно сопоставить каждой частотной компоненте амплитуду .

К сожалению, получаемый в результате ряд расходится, и повинны в этом низкочастотные компоненты. Такой дефект называется инфракрасной (ИК) расходимостью (или «катастрофой»). Как бы то ни было, с этой расходимостью приходится мириться, поскольку иначе нижняя граница вступает в противоречие с самоподобием, присущим энергетическому спектру .

Модифицированная функция Вейерштрасса, самоаффинная относительно фокального времени . Самая простая процедура, позволяющая продолжить частотный спектр функции Вейерштрасса до значения и избежать при этом катастрофических последствий, состоит из двух этапов: сначала получаем выражение , и лишь затем позволяем принимать любое значение от до . Добавочные члены, соответствующие значениям , при сходятся, а их сумма непрерывна и дифференцируема. Модифицированная таким образом функция

по-прежнему является непрерывной, но нигде не дифференцируемой.

Вдобавок, она масштабно - инвариантна в том смысле, что

.

Таким образом, функция не зависит от . Можно сказать иначе: при функция не зависит от . То есть функция , ее вещественная и мнимая части самоаффинны относительно значений вида и фокального времени .

Гауссовы случайные функции с обобщенным спектром Вейерштрасса. Следующим шагом на пути к реализму и широкой применимости является рандомизация обобщенной функции Вейерштрасса. Простейший и наиболее естественный метод заключается в умножении ее коэффициентов Фурье на независимые комплексные гауссовы случайные величины с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией. Вещественная и мнимая части получаемой в результате функции могут с полным правом называться функциями Вейерштрасса – Гаусса (модифицированными). В некоторых смыслах эти функции можно считать приближенными дробными броуновскими функциями. Когда значения совпадают, их спектры настолько похожи, насколько позволяет то обстоятельство, что один из этих спектров непрерывен, а другой дискретен. Более того, к функциям Вейерштрасса – Гаусса применимы результаты Орея и Маркуса (см. с. 490), а фрактальные размерности их множеств уровня совпадают с фрактальными размерностями множеств уровня дробных броуновских функций.

Учитывая прецедент в лице дробного броуновского движения, можно предположить, что размерность нуль – множеств функции Вейерштрасса – Радемахера окажется равной . Это предположение находит подтверждение в , однако только для целочисленных .

Сингх упоминает о многих других вариантах функции Вейерштрасса. Размерность нуль – множеств некоторых из них легко поддается оценке. Вообще, эта тема явно заслуживает более подробного исследования с учетом достижений современной теоретической мысли.

Построим на плоскости интересное множество В следующим образом: разделим, квадратпрямыми
на 9 равных квадратов и выбросим их них пять открытых, не примыкающих к вершинам исходного квадрата. Затем, каждый из оставшихся квадратов также разделим на 9 частей, и выбросим пять из них, и т.д. Множество, оставшееся после счётного числа шагов, обозначимB и назовёмкладбище Серпинского . Вычислим площадь выброшенных квадратов:

Кладбище Серпинского является совершенным и нигде не плотным множеством.

Заметим фрактальную структуру множества.

2.2 Гребенка Кантора

Назовём Канторовой гребёнкой множествоD на плоскостиOxy , состоящее из всех точек
,координаты которых удовлетворяют следующим условиям:
, где
- множество Кантора на осиOy . Канторова гребёнка является совершенным нигде не плотным множеством на плоскости. МножествоD состоит из всех точек
исходного единичного квадрата, абсциссы которых произвольны
, а ординаты могут быть записаны в виде троичной дроби, не содержащей единицы среди своих троичных знаков.

Можно ли множества B (кладбище Серпинского) иD (гребёнка Кантора) выразить через множество Кантора
с помощью действий дополнения до отрезка и декартова произведения? Очевидно, что множестваB иD выражаются элементарно:

B =
x

D = x

3 Функция Кантора

Можно ли отобразить непрерывно некоторое нигде не плотное на сегменте множество на сам этот отрезок?

Да, возьмём нигде не плотноeмножество Кантора. На первом шаге построения положим в точках смежного интервала первого рода значение функции равное 0,5. На втором шаге каждому смежному интервалу второго рода положим значение функции соответственно 0.25 и 0.75. Т.е. мы как бы делим каждый отрезок на осиOy пополам (y i ) и ставим в соответствующем смежном интервале значение функции равное значению yi .

В результате мы получили неубывающую функцию (было доказано в рамках курса «Избранные главы математического анализа»), определённую на отрезке и постоянную в некоторой окрестности каждой точки из множества \
. Построенная функция
называетсяфункцией Кантора (канторова функция), а её график, приведённый ниже -""чёртовой лестницей"" .

Обратите внимание на фрактальную структуру функции:

Функция
удовлетворяет следующему неравенству:

Функция Кантора является непрерывной на отрезке . Она не убывает на и множество её значений составляет весь отрезок . Поэтому, функция
не имеет скачков. А т.к. монотонная функция не может иметь других точек разрыва, кроме скачков (см. критерий непрерывности монотонных функций), то она является непрерывной.

Любопытным является наблюдение, что график непрерывной функции кантора
невозможно нарисовать ""не отрывая карандаша от бумаги"".

1. Всюду непрерывная, но нигде не дифференцируемая функция

Построим вспомогательную функцию
на отрезке по шагам. На нулевом шаге зададим две точки:

и
.

Далее зафиксируем параметр . На первом и последующем шагах будем задавать точки по следующему правилу: для каждых двух соседних по оси абсцисс ранее построенных точекимы будем строить две новые точкиицентрально-симметрично относительно центра прямоугольника, задаваемого точкамиис коэффициентомk . То есть, на первом шаге задаются две новые точки:

и
, и т.д.

На (m+1)- ом шаге в дополнении к ранее построенным точкам с абсциссами

,

строятся по две точки во всех промежутках по оси абсцисс между соседними уже построенными точками. Это построение выполняется так: промежутки по оси абсцисс между соседними точками (прямоугольники со сторонами a иb ) делятся на 3 равные части каждый. Затем две новые точки строятся по одной из нижеприведённых схем:

В зависимости от того, какая из соседних точек иливыше, используем левую или правую схему. На первом шаге, как это было показано выше, принимаемa = b = 1 .

Повторяем построение счётное число раз при m = 1, 2, 3, … . В результате нами будет получен фрактал, который будет подобен, с точностью до некоторого аффинного преобразования (растяжение, сжатие, поворот) любой своей части, заключенной в каждой полосе:

;

В результате построения фрактала получим функцию
, определённую на множестве точек

,
;
(*)

которое всюду плотно на отрезке .

Какими свойствами обладает построенная функция?

в каждой точке вида (*) либо строгий максимум, либо строгий минимум, т.е. функция g (x ) нигде не монотонная, и имеет плотные на сегменте множества точек строгих экстремумов;

функция g(x) непрерывна, и даже равномерно непрерывна на множестве точек (*);

построенная непрерывная на сегменте функция не имеет ни в одной точке данного отрезка даже односторонних производных;

Вышеуказанные свойства были доказаны в рамках курса «Избранные главы математического анализа».

В рассмотренном примере мы полагали параметр . Изменяя значение данного параметра, можно получить семейства функций со своими особыми свойствами.