17.02.2019

Формула центральных прямоугольников онлайн. Вычисление интегралов по формулам прямоугольников и трапеций. Оценка погрешности. Оценка абсолютной погрешности метода средних прямоугольников

Тест

Задание 1

Вариант 1

(4; 0)

(-1; 4)

(4; -1)

(-1; 0)

Вариант 2

Укажите правильное обозначение координаты точки А.

(3; 0)

(2; 3)

(2; 0)

(3; 2)

Вариант 3

Укажите правильное обозначение координаты точки А.

(-4; 2)

(-4; 0)

(2; -4)

(-2; 0)

Вариант 4

Укажите правильное обозначение координаты точки А.

(-1; 0)

(-1; -2)

(-2; -1)

(-2; 0)

Задание 2

Вариант 1

С (1; -5)

К (0; -5)

М (-5; 1)

В (-5; 0)

Вариант 2

Укажите точку, лежащую на оси абсцисс:

С (1; 8)

К (0; 8)

В (8; 0)

М (8; 1)

Вариант 3

Укажите точку, лежащую на оси абсцисс:

С (1; -3)

К (0; -3)

В (-3; 0)

М (-3; 1)

Вариант 4

Укажите точку, лежащую на оси абсцисс:

В (7; 0)

С (1; 7)

К (0; 7)

М (7; 1)

Задание 3

Вариант 1

А (0; -5)

В (-5; 0)

С (1; -5)

М (-5; 1)

Вариант 2

Укажите точку, лежащую на оси ординат:

В (7; 0)

С (1; 7)

М (7; 1)

А (0; 7)

Вариант 3

Укажите точку, лежащую на оси ординат:

В (-9; 0)

А (0; -9)

С (1; -9)

М (-9; 1)

Вариант 4

Укажите точку, лежащую на оси ординат:

В (3; 0)

С (1; 3)

А (0; 3)

М (3; 1)

Задание 4

Вариант 1

В какой координатной четверти расположена точка А (-254; -577)?

в IV четверти

в I четверти

во II четверти

в III четверти

Вариант 2

В какой координатной четверти расположена точка А (-276; 347)?

во II четверти

в IV четверти

в III четверти

в I четверти

Вариант 3

В какой координатной четверти расположена точка А (514; -572)?

в III четверти

в IV четверти

в I четверти

во II четверти

Вариант 4

В какой координатной четверти расположена точка А (187; 491)?

в IV четверти

в III четверти

во II четверти

в I четверти

Задание 5

Вариант 1

Где на координатной плоскости расположены точки, если их абсцисса равна 15?

в I и в IV четвертях

в I и во II четвертях

во II и в III четвертях

в III и в IV четвертях

Вариант 2

Где на координатной плоскости расположены точки, если их абсцисса равна 97?

в III и в IV четвертях

в I и во II четвертях

в I и в IV четвертях

во II и в III четвертях

Вариант 3

Где на координатной плоскости расположены точки, если их абсцисса равна -25?

в I и в IV четвертях

в I и во II четвертях

во II и в III четвертях

в III и в IV четвертях

Вариант 4

Где на координатной плоскости расположены точки, если их абсцисса равна -64?

в I и в IV четвертях

в III и в IV четвертях

в I и во II четвертях

во II и в III четвертях

Задание 6

Вариант 1

На координатной плоскости через точку А (-2; 4) проведена прямая, параллельная оси абсцисс. Укажите координаты точки пересечения прямой с осью ординат.

(4; 0)

(0; 4)

(-2; 0)

(0; -2)

Вариант 2

На координатной плоскости через точку А (3; 2) проведена прямая, параллельная оси абсцисс. Укажите координаты точки пересечения прямой с осью ординат.

(2; 0)

(3; 0)

(0; 2)

(0; 3)

Вариант 3

На координатной плоскости через точку А (5; -4) проведена прямая, параллельная оси абсцисс. Укажите координаты точки пересечения прямой с осью ординат.

(-4; 0)

(5; 0)

(0; -4)

(0; 5)

Вариант 4

На координатной плоскости через точку А (1; -5) проведена прямая, параллельная оси абсцисс. Укажите координаты точки пересечения прямой с осью ординат.

(0; -5)

(-5; 0)

(1; 0)

(0; 1)

Задание 7

Вариант 1

На координатной плоскости через точку В (5; -7) проведена прямая, параллельная оси ординат. Укажите координаты точки пересечения прямой с осью абсцисс.

(0; 5)

(0; -7)

(-7; 0)

(5; 0)

Вариант 2

На координатной плоскости через точку В (-3; -4) проведена прямая, параллельная оси ординат. Укажите координаты точки пересечения прямой с осью абсцисс.

(0; -3)

(0; -4)

(-3; 0)

(-4; 0)

Вариант 3

На координатной плоскости через точку В (-2; 7) проведена прямая, параллельная оси ординат. Укажите координаты точки пересечения прямой с осью абсцисс.

(-2; 0)

(0; -2)

(0; 7)

(7; 0)

Вариант 4

На координатной плоскости через точку В (4; 5) проведена прямая, параллельная оси ординат. Укажите координаты точки пересечения прямой с осью абсцисс.

(0; 4)

(0; 5)

(4; 0)

(5; 0)

Задание 8

Вариант 1

На координатной плоскости через точку А (-1; -2) проведена прямая, параллельная оси абсцисс. Какая из точек лежит на этой прямой?

(5; -2)

(-1; 5)

(-2; -1)

(-3; -1)

Вариант 2

На координатной плоскости через точку А (-2; 3) проведена прямая, параллельная оси абсцисс. Какая из точек лежит на этой прямой?

(-1; -3)

(5; 3)

(-2; -1)

(3; 1)

Вариант 3

На координатной плоскости через точку А (4; 2) проведена прямая, параллельная оси абсцисс. Какая из точек лежит на этой прямой?

(2; 4)

(-2; -1)

(3;- 2)

(5; 2)

Вариант 4

На координатной плоскости через точку А (1; -2) проведена прямая, параллельная оси абсцисс. Какая из точек лежит на этой прямой?

(5; -2)

(-2; 5)

(-2; 1)

(-3; -1)

Задание 9

Вариант 1

На координатной плоскости через точки А (-3; 3) и В (2; 1) проведены прямые, перпендикулярные оси абсцисс. Сколько из перечисленных точек М (-5; 4), К (-2; 1), С (4; 3), Р (-1; 3), О (0; -4) и Н (-4; -2) расположено между этими прямыми?

Вариант 2

На координатной плоскости через точки А (-4; 2) и В (1; 4) проведены прямые, перпендикулярные оси абсцисс. Сколько из перечисленных точек М (-3; 0), К (2; 1), С (0; 3), Р (-5; 3), О (3; -4) и Н (-5; -2) расположено между этими прямыми?

Вариант 3

На координатной плоскости через точки А (-2; -3) и В (3; 4) проведены прямые, перпендикулярные оси абсцисс. Сколько из перечисленных точек М (-4; 4), К (-1; 1), С (2; -3), Р (-1; -2), О (0; 3) и Н (-4; -2) расположено между этими прямыми?

Вариант 4

На координатной плоскости через точки А (-1; 2) и В (5; -1) проведены прямые, перпендикулярные оси абсцисс. Сколько из перечисленных точек М (-5; 4), К (-3; -1),

С (4; -3), Р (-2; -3), О (-3; -4) и Н (6; 2) расположено между этими прямыми?

Задание 10

Вариант 1

Какие из данных точек имеют ординату 2?

А и В

С и D

С и В

А и D

Вариант 2

Какие из данных точек имеют ординату -2?

С и В

С и D

А и D

А и В

Вариант 3

Какие из данных точек имеют ординату 4?

А и В

А и D

С и D

С и В

Вариант 4

Какие из данных точек имеют ординату -4?

А и D

А и В

С и D

С и В

Задание 11

Вариант 1

Точки А (-3; -2), В (-3; 1), С (2; 1) и D D .

(2; -2)

(1; -3)

(-2; 2)

(-2; 0)

Вариант 2

Точки А (-2; -1), В (-2; 5), С (6; 5) и D – вершины прямоугольника. Укажите координату вершины D .

(-1; 6)

(-1; 5)

(6; -1)

(5; -1)

Вариант 3

Точки А (1; 2), В (1; -2), С (-5; -2) и D – вершины прямоугольника. Укажите координату вершины D .

(2; -5)

(-2; 2)

(-2; 0)

(-5; 2)

Вариант 4

Точки А (2; -1), В (-1; -1), С (-1; 6) и D – вершины прямоугольника. Укажите координату вершины D .

(6; 2)

(2; 2)

(2; 6)

(-6; 2)

Задание 12

Вариант 1

На координатной плоскости через точку А (3; 2) проведена прямая, параллельная оси абсцисс, а через точку В (-2; 5) проведена прямая, параллельная оси ординат. Укажите координаты точки пересечения этих прямых.

(-2; 2)

(3; 5)

(2; -2)

(5; 3)

Вариант 2

На координатной плоскости через точку А (5; 4) проведена прямая, параллельная оси абсцисс, а через точку В (-2; -2) проведена прямая, параллельная оси ординат. Укажите координаты точки пересечения этих прямых.

(-2; 5)

(5; -2)

(-2; 4)

(4; -2)

Вариант 3

На координатной плоскости через точку А (3; -4) проведена прямая, параллельная оси абсцисс, а через точку В (-5; 3) проведена прямая, параллельная оси ординат. Укажите координаты точки пересечения этих прямых.

(3; 3)

(-4; -5)

(5; 3)

(-5; -4)

Вариант 4

На координатной плоскости через точку А (5; -1) проведена прямая, параллельная оси абсцисс, а через точку В (-4; 2) проведена прямая, параллельная оси ординат. Укажите координаты точки пересечения этих прямых.

(5; 2)

(2; 5)

(-4; -1)

(-1; -4)

Задание 13

Вариант 1

Найдите координаты точки пересечения отрезка АВ с осью ординат, если А (-3; 2),

В (6; -1).

(1; 0)

(3; 0)

(0; 1)

(0; 3)

Вариант 2

Найдите координаты точки пересечения отрезка АВ с осью ординат, если А (-3; -4),

В (6; 2).

(0; -2)

(-2; 0)

(3; 0)

(0; 3)

Вариант 3

Найдите координаты точки пересечения отрезка АВ с осью ординат, если А (-3; 4),

В (1; -4).

(-1; 0)

(-2; 0)

(0; -1)

(0; -2)

Вариант 4

Найдите координаты точки пересечения отрезка АВ с осью ординат, если А (-6; -1),

В (4; 4).

(0; 2)

(2; 0)

(-4; 0)

(0; -4)

Задание 14

Вариант 1

CD с осью абсцисс, если C (-2; 3),

D (6; -1).

(0; 4)

(2; 0)

(0; 2)

(4; 0)

Вариант 2

Найдите координаты точки пересечения отрезка CD с осью абсцисс, если C (-6; -1),

D (6; 3).

(0; -3)

(1; 0)

(-3; 0)

(0; 1)

Вариант 3

Найдите координаты точки пересечения отрезка CD с осью абсцисс, если C (-2; 6),

D (2; -2).

(1; 0)

(0; 1)

(2; 0)

(0; 2)

Вариант 4

Найдите координаты точки пересечения отрезка CD с осью абсцисс, если C (-6; -2),

D (4; 3).

(0; -2)

(-2; 0)

(1; 0)

(0; 1)

Задание 15

Вариант 1

На координатной плоскости даны точки А (-10; -18), В (35; 15), С (-5; 40) и D I , II , III , IV .

A, B, C, D

D, B, A, C

B, C, A, D

A, D, B, C

Вариант 2

На координатной плоскости даны точки А (20; 48), В (-95; 15), С (-45; -80) и D (1; -20). Расположите данные точки в соответствии с номерами координатных четвертей: I , II , III , IV .

A, B, C, D

B, C, A, D

D, B, A, C

A, D, B, C

Вариант 3

На координатной плоскости даны точки А (-70; -28), В (-85; 75), С (5; -48) и D (61; 86). Расположите данные точки в соответствии с номерами координатных четвертей: I , II , III , IV .

B, C, A, D

A, B, C, D

A, D, B, C

D, B, A, C

Вариант 4

На координатной плоскости даны точки А (10; 18), В (-35; -44), С (65; -40) и D (-51; 36). Расположите данные точки в соответствии с номерами координатных четвертей: I , II , III , IV .

B, C, A, D

A, D, B, C

A, B, C, D

D, B, A, C

Задание 16

Вариант 1

На координатной плоскости даны точки А (0; 3), В (0; 0) и С (5; 0). Определите вид угла АВС.

тупой

острый

прямой

развёрнутый

Вариант 2

На координатной плоскости даны точки А (-5; 2), В (0; 0) и С (4; 1). Определите вид угла АВС.

тупой

прямой

острый

развёрнутый

Вариант 3

На координатной плоскости даны точки А (-4; 5), В (0; 1) и С (4; -3). Определите вид угла АВС.

прямой

тупой

острый

развёрнутый

Вариант 4

На координатной плоскости даны точки А (-4; -1), В (2; 4) и С (-1; -2). Определите вид угла АВС.

прямой

тупой

острый

развёрнутый

Задание 17

Вариант 1

Чему равна градусная мера угла АВС, если А (-2; 6), В (3; 1), С (-2; 1).

90 о

30 о

45 о

80 о

Вариант 2

Чему равна градусная мера угла АВС, если А (-4; -1), В (1; 4), С (4; 1).

90 о

45 о

30 о

80 о

Вариант 3

Чему равна градусная мера угла АВС, если А (-3; -2), В (2; 3), С (2; -2).

30 о

90 о

60 о

45 о

Вариант 4

Чему равна градусная мера угла АВС, если А (-2; 4), В (-2; -3), С (3; -3).

30 о

90 о

60 о

45 о

Задание 18

Вариант 1

На координатной плоскости отметьте точки А (-3; 5), В (1; 2)Чему равна длина отрезка АВ, если, если длина единичного отрезка равна 1 см?

5 см

3 см

4 см

3,5 см

Вариант 2

Чему равна длина отрезка АВ, если А (-1; -1), В (3; 2), если длина единичного отрезка равна 1 см?

4 см

3,5 см

3 см

5 см

Вариант 3

Чему равна длина отрезка АВ, если А (-3; 6), В (3; -2), если длина единичного отрезка равна 1 см?

10 см

6 см

8 см

5 см

Вариант 4

Чему равна длина отрезка АВ, если А (-3; -2), В (5; 4), если длина единичного отрезка равна 1 см?

5 см

8 см

10 см

6 см

Задание 19

Вариант 1

Точки А (-1; -1), В (-1; 3), С (6; 3) и D (6; -1) – вершины прямоугольника на координатной плоскости. Найдите площадь этого прямоугольника, если длина единичного отрезка равна 1 см.

22 см 2

28 см 2

22 см

28 см

Вариант 2

Точки А (-5; 2), В (4; 2), С (4; -3) и D (-5; -3) – вершины прямоугольника на координатной плоскости. Найдите площадь этого прямоугольника, если длина единичного отрезка равна 1 см.

28 см 2

45 см

28 см

45 см 2

Вариант 3

Точки А (-2; 6), В (6; 6), С (6; -1) и D (-2; -1) – вершины прямоугольника на координатной плоскости. Найдите площадь этого прямоугольника, если длина единичного отрезка равна 1 см.

30 см 2

56 см

56 см 2

30 см

Вариант 4

Точки А (-1; 3), В (6; 3), С (6; -2) и D (-1; -2) – вершины прямоугольника на координатной плоскости. Найдите площадь этого прямоугольника, если длина единичного отрезка равна 1 см.

35 см 2

24 см 2

35 см

24 см

Задание 20

Вариант 1

Точки А (-2; 4), В (2; -2) и С (-2; -2) – вершины треугольника на координатной плоскости. Чему равна площадь этого треугольника?

12 см 2

24 см 2

12 см

24 см

Вариант 2

Точки А (-3; 4), В (-3; -4) и С (2; -4) – вершины треугольника на координатной плоскости. Чему равна площадь этого треугольника?

40 см 2

20 см

40 см

20 см 2

Вариант 3

Точки А (-2; -3), В (1; -3) и С (1; 3) – вершины треугольника на координатной плоскости. Чему равна площадь этого треугольника?

18 см 2

9 см

18 см

9 см 2

Вариант 4

Точки А (-1; -4), В (-1; 4) и С (3; 4) – вершины треугольника на координатной плоскости. Чему равна площадь этого треугольника?

32 см 2

16 см

32 см

16 см 2

Вычисление определенных интегралов по формуле Ньютона-Лейбница не всегда возможно. Многие подынтегральные функции не имеют первообразных в виде элементарных функций, поэтому мы во многих случаях не можем найти точное значение определенного интеграла по формуле Ньютона-Лейбница. С другой стороны, точное значение не всегда и нужно. На практике нам часто достаточно знать приближенное значение определенного интеграла с некоторой заданной степенью точности (например, с точностью до одной тысячной). В этих случаях нам на помощь приходят методы численного интегрирования, такие как метод прямоугольников, метод трапеций , метод Симпсона (парабол) и т.п.

В этой статье подробно разберем для приближенного вычисления определенного интеграла.

Сначала остановимся на сути этого метода численного интегрирования, выведем формулу прямоугольников и получим формулу для оценки абсолютной погрешности метода. Далее по такой же схеме рассмотрим модификации метода прямоугольников, такие как метод правых прямоугольников и метод левых прямоугольников. В заключении рассмотрим подробное решение характерных примеров и задач с необходимыми пояснениями.

Навигация по странице.

Суть метода прямоугольников.

Пусть функция y = f(x) непрерывна на отрезке . Нам требуется вычислить определенный интеграл .

Как видите, точное значение определенного интеграла отличается от значения, полученного по методу прямоугольников для n = 10 , менее чем на шесть сотых долей единицы.

Графическая иллюстрация.

Пример.

Вычислите приближенное значение определенного интеграла методами левых и правых прямоугольников с точностью до одной сотой.

Решение.

По условию имеем a = 1, b = 2 , .

Чтобы применить формулы правых и левых прямоугольников нам необходимо знать шаг h , а чтобы вычислить шаг h необходимо знать на какое число отрезков n разбивать отрезок интегрирования. Так как в условии задачи нам указана точность вычисления 0.01 , то число n мы можем найти из оценки абсолютной погрешности методов левых и правых прямоугольников.

Нам известно, что . Следовательно, если найти n , для которого будет выполняться неравенство , то будет достигнута требуемая степень точности.

Найдем - наибольшее значение модуля первой производной подынтегральной функции на отрезке . В нашем примере это сделать достаточно просто.

Графиком функции производной подынтегральной функции является парабола, ветви которой направлены вниз, на отрезке ее график монотонно убывает. Поэтому достаточно вычислить модули значения производной на концах отрезка и выбрать наибольшее:

В примерах со сложными подынтегральными функциями Вам может потребоваться теория раздела .

Таким образом:

Число n не может быть дробным (так как n – натуральное число – количество отрезков разбиения интервала интегрирования). Поэтому, для достижения точности 0.01 по методу правых или левых прямоугольников, мы можем брать любое n = 9, 10, 11, … Для удобства расчетов возьмем n = 10 .

Формула левых прямоугольников имеет вид , а правых прямоугольников . Для их применения нам требуется найти h и для n = 10 .

Итак,

Точки разбиения отрезка определяются как .

Для i = 0 имеем и .

Для i = 1 имеем и .

Полученные результаты удобно представлять в виде таблицы:

Подставляем в формулу левых прямоугольников:

Подставляем в формулу правых прямоугольников:

Вычислим точное значение определенного интеграла по формуле Ньютона-Лейбница:

Очевидно, точность в одну сотую соблюдена.

Графическая иллюстрация.

Замечание.

Во многих случаях нахождение наибольшего значения модуля первой производной (или второй производной для метода средних прямоугольников) подынтегральной функции на отрезке интегрирования является очень трудоемкой процедурой.

Поэтому можно действовать без использования неравенства для оценки абсолютной погрешности методов численного интегрирования. Хотя оценки предпочтительнее.

Для методов правых и левых прямоугольников можно использовать следующую схему.

Берем произвольное n (например, n = 5 ) и вычисляем приближенное значение интеграла. Далее удваиваем количество отрезков разбиения интервала интегрирования, то есть, берем n = 10 , и вновь вычисляем приближенное значение определенного интеграла. Находим разность полученных приближенных значений для n = 5 и n = 10 . Если абсолютная величина этой разности не превышает требуемой точности, то в качестве приближенного значения определенного интеграла берем значение при n = 10 , предварительно округлив его до порядка точности. Если же абсолютная величина разности превышает требуемую точность, то вновь удваиваем n и сравниваем приближенные значения интегралов для n = 10 и n = 20 . И так продолжаем до достижения требуемой точности.

Для метода средних прямоугольников действуем аналогично, но на каждом шаге вычисляем треть модуля разности полученных приближенных значений интеграла для n и 2n . Этот способ называют правилом Рунге.

Вычислим определенный интеграл из предыдущего примера с точностью до одной тысячной по методу левых прямоугольников.

Не будем подробно останавливаться на вычислениях.

Для n = 5 имеем , для n = 10 имеем .

Так как , тогда берем n = 20 . В этом случае .

Так как , тогда берем n = 40 . В этом случае .

Так как , то, округлив 0.01686093 до тысячных, утверждаем, что значение определенного интеграла равно 0.017 с абсолютной погрешностью 0.001 .

В заключении остановимся на погрешности методов левых, правых и средних прямоугольников более детально.

Из оценок абсолютных погрешностей видно, что метод средних прямоугольников даст большую точность, чем методы левых и правых прямоугольников для заданного n . В то же время, объем вычислений одинаков, так что использование метода средних прямоугольников предпочтительнее.

Если говорить о непрерывных подынтегральных функциях, то при бесконечном увеличении числа точек разбиения отрезка интегрирования приближенное значение определенного интеграла теоретически стремиться к точному. Использование методов численного интегрирования подразумевает использование вычислительной техники. Поэтому следует иметь в виду, что при больших n начинает накапливаться вычислительная погрешность.

Еще заметим, если Вам требуется вычислить определенный интеграл с некоторой точностью, то промежуточные вычисления проводите с более высокой точностью. Например, Вам требуется вычислить определенный интеграл с точностью до одной сотой, тогда промежуточные вычисления проводите с точностью как минимум до 0.0001 .

Подведем итог.

При вычислении определенного интеграла методом прямоугольников (методом средних прямоугольников) пользуемся формулой и оцениваем абсолютную погрешность как .

Для метода левых и правых прямоугольников пользуемся формулами и соответственно. Абсолютную погрешность оцениваем как .

Формула левых прямоугольников:

Метод средних прямоугольников

Разделим отрезок на n равных частей, т.е. на n элементарных отрезков. Длина каждого элементарного отрезка. Точки деления будут: x 0 =a; x 1 =a+h; x 2 =a+2Ч h,., x n-1 =a+ (n-1) Ч h; x n =b. Эти числа будем называть узлами. Вычислим значения функции f (x) в узлах, обозначим их y 0 , y 1 ,y 2 ,., y n . Cталобыть, y 0 =f (a), y 1 =f (x 1),y 2 =f (x 2),., y n =f (b). Числа y 0 , y 1 ,y 2 ,., y n являются ординатами точек графика функции, соответствующих абсциссам x 0 , x 1 ,x 2 ,., x n. Площадь криволинейной трапеции приближенно заменяется площадью многоугольника, составленного из n прямоугольников. Таким образом, вычисление определенного интеграла сводится к нахождению суммы n элементарных прямоугольников.

Формула средних прямоугольников

Метод правых прямоугольников

Формула правых прямоугольников

Метод Симпсона

Геометрически иллюстрация формулы Симпсона состоит в том, что на каждом из сдвоенных частичных отрезков заменяем дугу данной кривой дугой графика квадратного трехчлена.

Разобьем отрезок интегрирования на 2Ч n равных частей длины. Обозначим точки разбиения x 0 =a; x 1 =x 0 +h,., x i =x 0 +iЧ h,., x 2n =b. Значения функции f в точках x i обозначим y i , т.е. y i =f (x i). Тогда согласно методу Симпсона

Метод трапеций

Формула трапеций:

Формула означает, что площадь криволинейной трапеции заменяется площадью многоугольника, составленного из n трапеций (рис.5); при этом кривая заменяется вписанной в нее ломаной.

И парадокс состоит в том, что по этой причине (видимо) он довольно редко встречается на практике. Неудивительно, что данная статья появилась на свет через несколько лет после того, как я рассказал о более распространённых методах трапеции и Симпсона , где упомянул о прямоугольниках лишь вскользь. Однако на сегодняшний день раздел об интегралах практически завершён и поэтому настало время закрыть этот маленький пробел. Читаем, вникаем и смотрим видео! ….о чём? Об интегралах, конечно =)

Постановка задачи уже была озвучена на указанном выше уроке, и сейчас мы быстренько актуализируем материал:

Рассмотрим интеграл . Он неберущийся. Но с другой стороны, подынтегральная функция непрерывна на отрезке , а значит, конечная площадь существует. Как её вычислить? Приближённо. И сегодня, как вы догадываетесь – методом прямоугольников.

Разбиваем промежуток интегрирования на 5, 10, 20 или бОльшее количество равных (хотя это не обязательно) отрезков, чем больше – тем точнее будет приближение. На каждом отрезке строим прямоугольник, одна из сторон которого лежит на оси , а противоположная – пересекает график подынтегральной функции. Вычисляем площадь полученной ступенчатой фигуры, которая и будет приближённой оценкой площади криволинейной трапеции (заштрихована на 1-м рисунке) .

Очевидно, что прямоугольники можно построить многими способами, но стандартно рассматривают 3 модификации:

1) метод левых прямоугольников;
2) метод правых прямоугольников;
3) метод средних прямоугольников.

Оформим дальнейшие выкладки в рамках «полноценного» задания:

Пример 1

Вычислить определённый интеграл приближённо:
а) методом левых прямоугольников;
б) методом правых прямоугольников.

Промежуток интегрирования разделить на равных отрезков, результаты вычислений округлять до 0,001

Решение : признАюсь сразу, я специально выбрал такое малое значение – из тех соображений, чтобы всё было видно на чертеже – за что пришлось поплатиться точностью приближений.

Вычислим шаг разбиения (длину каждого промежуточного отрезка) :

Метод левых прямоугольников получил своё называние из-за того,

что высОты прямоугольников на промежуточных отрезках равны значениям функции в левых концах данных отрезков:

Ни в коем случае не забываем, что округление следует проводить до трёх знаков после запятой – это существенное требование условия , и «самодеятельность» здесь чревата пометкой «оформите задачу, как следует».

Вычислим площадь ступенчатой фигуры, которая равна сумме площадей прямоугольников:

Таким образом, площадь криволинейной трапеции : . Да, приближение чудовищно грубое (завышение хорошо видно на чертеже) , но и пример, повторюсь, демонстрационный. Совершенно понятно, что, рассмотрев бОльшее количество промежуточных отрезков (измельчив разбиение), ступенчатая фигура будет гораздо больше похожа на криволинейную трапецию, и мы получим лучший результат.

При использовании «правого» метода высОты прямоугольников равны значениям функции в правых концах промежуточных отрезков:

Вычислим недостающее значение и площадь ступенчатой фигуры:

– тут, что и следовало ожидать, приближение сильно занижено:

Запишем формулы в общем виде. Если функция непрерывна на отрезке , и он разбит на равных частей: , то определённый интеграл можно вычислить приближенно по формулам:
– левых прямоугольников;
– правых прямоугольников;
(формула в следующей задаче) – средних прямоугольников,
где – шаг разбиения.

В чём их формальное различие? В первой формуле нет слагаемого , а во второй -

На практике рассчитываемые значения удобно заносить в таблицу:

а сами вычисления проводить в Экселе. И быстро, и без ошибок:

Ответ :

Наверное, вы уже поняли, в чём состоит метод средних прямоугольников:

Пример 2

Вычислить приближенно определенный интеграл методом прямоугольников с точностью до 0,01. Разбиение промежутка интегрирования начать с отрезков.

Решение : во-первых, обращаем внимание, что интеграл нужно вычислить с точностью до 0,01 . Что подразумевает такая формулировка?

Если в предыдущей задаче требовалось прОсто округлить результаты до 3 знаков после запятой (а уж насколько они будут правдивы – не важно) , то здесь найденное приближённое значение площади должно отличаться от истины не более чем на .

И во-вторых, в условии задачи не сказано, какую модификацию метода прямоугольников использовать для решения. И действительно, какую?

По умолчанию всегда используйте метод средних прямоугольников

Почему? А он при прочих равных условиях (том же самом разбиении) даёт гораздо более точное приближение. Это строго обосновано в теории, и это очень хорошо видно на чертеже:

В качестве высот прямоугольников здесь принимаются значения функции , вычисленные в серединах промежуточных отрезков, и в общем виде формула приближённых вычислений запишется следующим образом:
, где – шаг стандартного «равноотрезочного» разбиения .

Следует отметить, что формулу средних прямоугольников можно записать несколькими способами, но чтобы не разводить путаницу, я остановлюсь на единственном варианте, который вы видите выше.

Вычисления, как и в предыдущем примере, удобно свести в таблицу. Длина промежуточных отрезков, понятно, та же самая: – и очевидно, что расстояние между серединами отрезков равно этому же числу. Поскольку требуемая точность вычислений составляет , то значения нужно округлять «с запасом» – 4-5 знаками после запятой:

Вычислим площадь ступенчатой фигуры:

Давайте посмотрим, как автоматизировать этот процесс:

Таким образом, по формуле средних прямоугольников:

Как оценить точность приближения? Иными словами, насколько далёк результат от истины (площади криволинейно трапеции) ? Для оценки погрешности существует специальная формула, однако, на практике её применение зачастую затруднено, и поэтому мы будем использовать «прикладной» способ:

Вычислим более точное приближение – с удвоенным количеством отрезков разбиения: . Алгоритм решения точно такой же: .

Найдём середину первого промежуточного отрезка и далее приплюсовываем к полученному значению по 0,3. Таблицу можно оформить «эконом-классом», но комментарий о том, что изменяется от 0 до 10 – всё же лучше не пропускать:

В Экселе вычисления проводятся «в один ряд» (кстати, потренируйтесь) , а вот в тетради таблицу, скорее всего, придётся сделать двухэтажной (если у вас, конечно, не сверхмелкий почерк).

Вычислим суммарную площадь десяти прямоугольников:

Таким образом, более точное приближение:

Которые я и предлагаю вам изучить!

Пример 3: Решение : вычислим шаг разбиения:
Заполним расчётную таблицу:

Вычислим интеграл приближённо методом:
1) левых прямоугольников:
;
2) правых прямоугольников:
;
3) средних прямоугольников:
.

Вычислим интеграл более точно по формуле Ньютона-Лейбница:

и соответствующие абсолютные погрешности вычислений:

Ответ :

В общем виде формула левых прямоугольников на отрезке выглядит следующим образом(21) :

В данной формуле x 0 =a, x n =b , так как любой интеграл в общем виде выглядит: (см. формулу18 ).

h можно вычислить по формуле 19 .

y 0 , y 1 ,..., y n-1 x 0 , x 1 ,..., x n-1 (x i =x i-1 +h ).

Формула правых прямоугольников.

В общем виде формула правых прямоугольников на отрезке выглядит следующим образом(22) :

В данной формуле x 0 =a, x n =b (см. формулу для левых прямоугольников).

h можно вычислить по той же формуле, что и в формуле для левых прямоугольников.

y 1 , y 2 ,..., y n - это значения соответствующей функции f(x) в точкахx 1 , x 2 ,..., x n (x i =x i-1 +h ).

Формула средних прямоугольников.

В общем виде формула средних прямоугольников на отрезке выглядит следующим образом(23) :

Где x i =x i-1 +h .

В данной формуле, как и в предыдущих, требуется h умножать сумму значений функции f(x), но уже не просто подставляя соответствующие значения x 0 ,x 1 ,...,x n-1 в функцию f(x), а прибавляя к каждому из этих значенийh/2 (x 0 +h/2, x 1 +h/2,..., x n-1 +h/2), а затем только подставляя их в заданную функцию.

h можно вычислить по той же формуле, что и в формуле для левых прямоугольников." [6 ]

На практике данные способы реализуются следующим образом:

Mathcad ;

Excel .

Mathcad ;

Excel .

Для того, чтобы вычислить интеграл по формуле средних прямоугольников в Excel, необходимо выполнить следующие действия:

Продолжить работу в том же документе, что и при вычислении интеграла по формулам левых и правых прямоугольников.

В ячейку E6 ввести текст xi+h/2, а в F6 - f(xi+h/2).

Ввести в ячейку E7 формулу =B7+$B$4/2, скопировать эту формулу методом протягивания в диапазон ячеек E8:E16

Ввести в ячейку F7 формулу =КОРЕНЬ(E7^4-E7^3+8), скопировать эту формулу методом протягивания в диапазон ячеек F8:F16

Ввести в ячейку F18 формулу =СУММ(F7:F16).

Ввести в ячейку F19 формулу =B4*F18.

Ввести в ячейку F20 текст средних.

В итоге получаем следующее:

Ответ: значение заданного интеграла равно 13,40797.

Исходя из полученных результатов, можно сделать вывод, что формула средних прямоугольников является наиболее точной, чем формулы правых и левых прямоугольников.

1. Метод Монте-Карло

"Основная идея метода Монте-Карло заключается в многократном повторении случайных испытаний. Характерной особенностью метода Монте-Карло является использование случайных чисел (числовых значений некоторой случайной величины). Такие числа можно получать с помощью датчиков случайных чисел. Например, в языке программирования Turbo Pascal имеется стандартная функция random , значениями которой являются случайные чис¬ла, равномерно распределенные на отрезке . Сказанное означает, что если разбить указанный отрезок на некоторое число равных интервалов и вычислить значение функции random большое число раз, то в каждый интервал попадет приблизительно одинаковое количество случайных чисел. В языке программирования basin подобным датчиком является функция rnd. В табличном процессоре MS Excel функция СЛЧИС возвращает равномерно распределенное случайное число большее или равное 0 и меньшее 1 (изменяется при пересчете)" [7 ].

Для того чтобы его вычислить, необходимо воспользоваться формулой () :

Где (i=1, 2, …, n) – случайные числа, лежащие в интервале .

Для получения таких чисел на основе последовательности случайных чисел x i , равномерно распределенных в интервале , достаточно выполнить преобразование x i =a+(b-a)x i .

На практике данный способ реализуется следующим образом:

Для того, чтобы вычислить интеграл методом Монте-Карло в Excel, необходимо выполнить следующие действия:

В ячейку B1 ввести текст n=.

В ячейку B2 ввести текст a=.

В ячейку B3 ввести текст b=.

В ячейку C1 ввести число 10.

В ячейку C2 ввести число 0.

В ячейку C3 ввести число 3,2.

В ячейку A5 ввести I, в В5 – xi, в C5 – f(xi).

Ячейки A6:A15 заполнить числами 1,2,3, …,10 – так как n=10.

Ввести в ячейку B6 формулу =СЛЧИС()*3,2 (происходит генерация чисел в диапазоне от 0 до 3,2), скопировать эту формулу методом протягивания в диапазон ячеек В7:В15.

Ввести в ячейку C6 формулу =КОРЕНЬ(B6^4-B6^3+8), скопировать эту формулу методом протягивания в диапазон ячеек C7:C15.

Ввести в ячейку B16 текст «сумма», в B17 – «(b-a)/n», в B18 – «I=».

Вести в ячейку C16 формулу =СУММ(C6:C15).

Вести в ячейку C17 формулу =(C3-C2)/C1.

Вести в ячейку C18 формулу =C16*C17.

В итоге получаем:

Ответ: значение заданного интеграла равно 13,12416.

Рейтинг: